OPERATOROWO-DYSTRYBUCYJNA METODA PARAMETRÓW BRZEGOWYCH Z WYKORZYSTANIEM S FUNKCJI DO OBLICZEŃ DRGAŃ GIĘTNYCH KADŁUBA STATKU

Transkrypt

1 Zbgew Powerza Akadema Morska w Gdy OPERATOROWO-DYSTRYBUCYJNA METODA PARAMETRÓW BRZEGOWYCH Z WYKORZYSTANIEM S FUNKCJI DO OBLICZEŃ DRGAŃ GIĘTNYCH KADŁUBA STATKU W artykule przedstawoo aaltyczą metodę oblczaa drgań gętych kadłuba statku. Jako model fzyczy przyjęto belkę Eulera o zmeej mase sztywośc pływającą swobode a powerzch wody. Wykres zmay parametrów ma praktycze postać fukcj schodkowej w takm ujęcu różczkowalej w zakrese dystrybucyjym, co pozwala z kole przy pewych przekształceach a doprowadzee rówaa różczkowego drgań gętych kadłuba do postac dającej sę łatwo rozwązać przez przekształcee Carsoa-Laplace a. Tego typu rozwązań e ma w lteraturze dotyczącej zagadeń dyamk kadłuba statku. Słowa kluczowe: model, drgaa gęte, kadłub, statek, belka, masa. WSTĘP Do oblczeń ogólej wytrzymałośc kadłuba oraz jego drgań gętych stosowae są róże modele oblczeowe. Przy stadardowych oblczeach, zarówo statyczych, jak dyamczych, modelem fzyczym jest belka o zmeej mase sztywośc belka Eulera-Beroullego poddaa obcążeom zewętrzym, pływająca a powerzch wody. Według daych agelskch [15] wykresy aprężeń ormalych merzoych oblczaych w przekrojach poprzeczych kadłuba praktycze sę pokrywają, a różce e przekraczają %. Aaltycze rozwązae rówaa różczkowego () przy skokowo zmeych parametrach wykoao a podstawe teor dystrybucj [6]. Stosując metodę Łazarjaa [9 1], wprowadzoo do rówaa różczkowego S fukcję perwszego stopa [1,, 5, 16, 18], która służy w tym przypadku e do aproksymacj, lecz do sprowadzea rówaa do postac dającej sę rozwązać za pomocą przekształcea Laplace a-carsoa. Tego typu rozwązae e było dotychczas stosowae w lteraturze okrętowej z zakresu dyamk kadłuba. Przy okazj przedstawoe rozwązae aaltycze moża łatwo uogólć do oblczeń częstośc drgań własych belek epryzmatyczych o dowole zmeej mase dowolych warukach brzegowych.

2 106 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, r 96, grudzeń 016 Przedstawoa metoda ma szereg zalet: przyjęce prostego modelu fzyczego przy dostateczej dokładośc wyków w zakrese drgań oraz oblczeń ogólej wytrzymałośc kadłuba; krótk czas przygotowaa daych; łatwość aalzy wyków oblczeń. 1. DRGANIA WŁASNE TŁUMIONE KADŁUBA STATKU Modelując kadłub statku belką epryzmatyczą, o zmeej mase sztywośc, pływającą swobode a powerzch wody, zapsujemy rówae różczkowe l ugęca w postac: x [EI(x) z(x, t) x ] + m(x) z(x, t) t + p(x, t) + γb(x)z(x, t) + q(x, t) = 0. (1) Przyjęce skokowo zmeej masy sztywośc prowadz do zapsu rówaa (1) w postac: x {[EI 0 ξ H 0 (x x )] z x } + [m 0 ϛ H 0 (x x )] z t + +p(x, t) + [γb 0 θ H 0 (x x )] z(x, t) + q(x, t) = 0, () gdze: EI 0, m 0, B 0 sztywość, masa szerokość kadłuba przy 0 < x < x 1, ξ, ϛ, ϑ parametry zmay, EI(x), m(x), B(x) dla x = x 1,. przy czym dla = 0 ξ 0 = ϑ 0 = 0 = 1, x 0 = 0, H 0(x x ) fukcja Heavsde a, H 0(x x ) = { 0 dla x < x 1 dla x x Sły tłumea: p(x, t) = α m(x) z t

3 Z. Powerza, Operatorowo-dystrybucyja metoda parametrów brzegowych z wykorzystaem S fukcj przyjęto jako proporcjoale do masy prędkośc. W tym przypadku współczyk α zawera łączy efekt tłumea materałowego kadłuba oraz tłumea zewętrzego. Przyjęce tego typu jest szeroko stosowae ze względu a wygodę rozwązaa rówaa (1) (por. p. [7, 19]), jak róweż krytykowae ze zrozumałych powodów. W tym przypadku welkość współczyka α dla okrętu oblczoo wg wzoru () ustaloego a drodze teoretyczo-dośwadczalej przez W. Czyża []: α = 1,9,5 T (6,7 8,9) EI o m 0 L [1 ], () S T = 0,81 m 0L EI 0 [s], gdze: L = L pp[m] długość kadłuba mędzy poam, E [MPa] moduł sprężystośc materału kadłuba, m 0 [ t m ] I 0 [m ] q(x, t) masa zredukowaa kadłuba a jedostkę długośc, zredukoway momet bezwładośc przekroju poprzeczego kadłuba wg [17], obcążee zewętrze kadłuba. Rozwązaa rówaa () poszukujemy w postac: z(x, t) = z k (x) F k (t). () k=1 Obcążee dyamcze rozkładamy w szereg: q(x, t) = q k (t) m(x) z k (x). (5) k=1 Po podstaweu () (5) do (1) rozdzeleu zmeych mamy: x [EI(x)z k (x)] + γb(x) m(x) z k (x) m(x) = F k(t) F k (t) F k(t) q k(t) F k (t) F k (t). (6) Przyrówując każdą stroę do stałej welkośc ω k, otrzymujemy eskończoą lczbę k = 1, układów dwóch rówań: x [EI(x) z k (x)] [ω k m(x) γ B(x)] z k (x) = 0, (7) F k(t) + F k(t) + ω k F k (t) = q k (t). (8)

4 108 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, r 96, grudzeń 016 Poeważ możemy wprowadzć ozaczee: gdze: M k (x) = EI(x) z k (x), (9) M k = M k EI 0 = I(x) I 0 z k, (10) M k= M K(x) momet gący M k = M k (x) w przekroju x pomożoy przez współczyk: 1 z k = z k(x) stąd: la ugęca, EI 0, Po podstaweu zależośc (11) do (7) otrzymujemy: Poeważ: to " M kx = [ ω k m 0 EI 0 Ozaczając astępe: otrzymujemy: " M kx = EI 0 M K = EI(x) z k. (11) 1 EI 0 [ω k m(x) γ B(x)] z k. (1) m(x) = m 0 ϛ H 0 (x x ), (1) B(x) = B 0 θ H 0 (x x ), (1) ϛ H 0 (x x ) γb 0 θ EI H 0 (x x )] z k. (15) 0 k 1k = ω k m 0, (16) EI 0 k k = γb 0, (17) EI 0 " M KX = [k 1k ϛ H 0 (x x ) k k θ H 0 (x x )] z k. (18) Pochodą z k(x) wyzaczamy z rówaa (10), podstawając: EI(x) = EI 0 ξ H 0 (x x ), (19)

5 Z. Powerza, Operatorowo-dystrybucyja metoda parametrów brzegowych z wykorzystaem S fukcj skąd: z k = M k [ ξ H 0 (x x )] Rówaa (18) (0) tworzą układ rówoważy rówau (7). Stosując przekształcea za pomocą splaju perwszego stopa (rys. 1), otrzymujemy dla M k(x) z k (x) odpowede rówaa ze stałym współczykam. Przekształcee to ma postać (1), zaś wykres tego przekształcea przedstawoo a rysuku 1.. (0) a 1 = b 1 γ 0, a = a 1 + (b b 1 )(γ + γ 0 ), a = a + (b b )(γ 0 + γ 1 + γ ) = b γ 0 + (b b 1 )γ 1 + (b b 1 )γ. Rys. 1. Splaj perwszego stopa Ogóle: Fg. 1. Frst-degree sple gdze: u owy argumet, x = u + (u b ) γ H 0 (u b ), (1) przy czym: atomast: zaś: u = b, dla x = a, a 1 = b 1, b = b + (a a )( γ j ), ( = 1,,, ), (γ 0 = 1), () γ parametry przekształcea.

6 110 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, r 96, grudzeń 016 Perwsza pochoda dystrybucyja zależośc (1) względem u wyos: x u = 1 + γ H 0 (u b ) + (u b )γ H 1 (u b ). Drug czło rówa sę zeru, poeważ: b u dla H 1 = 0, zaś dla b = u, (u b ) = 0. Przez H 0, H 1, H ozaczoo fukcję jedostkową jej pochode, czyl: x u = 1 + γ H 0 (u b ), () x u = γ H 1 (u b ), () x u = γ H (u b ). (5) Poeważ z k = z k (x), zaś x = x(u), to: z ku = [1 + γ z ku = [1 + γ H 0 (u b )] H 0 (u b )] z kx, (6) z kx + [ γ Po podstaweu z kx z rówaa (0) do (7) mamy: H 1 (u b )] z kx. (7) = [ ξ H 0 (x a )] z ku [ γ H 0 (u b )] M k + z kx γ H 1 (u b ) (dla = 0 ξ = γ 0 = 1). (8) Podobe: = M kx (x u ) + M kx x u. (9)

7 Z. Powerza, Operatorowo-dystrybucyja metoda parametrów brzegowych z wykorzystaem S fukcj Podstawając zależośc (19), (), () do (9), mamy: Ozaczając: = [k 1k ϛ [ γ H 0 (u b )] H 0 (x a ) k k θ H 0 (x a )] z k + M kx γ H 1 (u b ) (dla = 0 ϛ 0 = θ 0 = γ 0 = 1; a 0 = b 0 = 0). (0) oraz [ ϛ H 0 (x a )] [ γ H 0 (u b )] = δ H 0 (u b ) (1) [ θ H 0 (x a )] [ γ H 0 (u b )] otrzymujemy: δ = ( ϛ j ) ( γ j ) θ = ( θ j ) ( γ j ) Gdy uwzględmy dalej, że: rówae (0) przyjme postać: = k 1k [ δ = θ H 0 (x b ), () ( ϛ ) ( γ j ), () ( θ j ) ( γ ). () M kx H 1 (u b ) = M kx (a ) H 1 (u b ), (5) H 0 (u b )] z k k k [ θ H 0 (u b )] z k + + M kx (a ) γ H 1 (u b ), (6)

8 11 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, r 96, grudzeń 016 zaś = k 1k [ δ k k [ θ H 0 H 0 (u b )] z ku + k 1k z k (u b )] z ku k k + M kx (a )θ H 1 (u b ) + z k ( a )θ H 1 (u b ) + (a )γ H (u b ). Po podstaweu z ku z rówaa (6) mamy: +k 1k = k 1k [ δ H 0 (u b )] [ γ H 0 (u b )] z k + z k ( a )δ H 1 (u b ) k k [ θ H 0 (u b )] [ γ z k +k k ( a )θ H 1 (u b ) + M kx (7) H 0 (u b )] z kx + (a )γ H (u b ). (8) Ozaczając z kole [ δ H 0 (u b )] [ γ H 0 (u b )] = [ ψ H 0 (u b )] (δ 0=γ 0 = ψ 0=1; b 0 = 0), skąd (9) ψ = ( δ j ) ( γ j ) ( δ j ) ( γ j ) (0) oraz [ θ H 0 (u b )] [ γ H 0 (u b )] = ϛ H 0 (u b ), (1)

9 Z. Powerza, Operatorowo-dystrybucyja metoda parametrów brzegowych z wykorzystaem S fukcj otrzymujemy: ϛ = ( θ j ) ( γ j ) ( θ j ) ( γ j ), () = [ ψ k k [ ϛ H 0 (u b )] z kx + k 1k z k H 0 (u b )] z kx k k z k + M kx Czwarta pochoda ma postać: IV = k 1k {[ ψ k k {[ ϛ (a )γ H (u b ). ( a )δ H 1 (u b ) + ( a )θ H 1 (u b ) + H 0 (u b)] d du (z kx ) + z kx (a )ψ H 1 (u b 1 )} + H 0 (u b )] d du (z kx ) + z kx (a )ϛ H 1 (u b )} + +k 1k z k (a )δ H (u b ) k k z k gdze borąc pod uwagę (6): d du (z kx ) = {z ku + M kx (a )θ H (u b ) + () (a )γ H (u b ), () [ γ H 0 (u b ) z ku γ H 1 (u b )]} [ γ H 0 (u b )] zaś z ku po wstaweu (0) do (7) ma postać:, (5) z ku = [ γ H 0 (u b )] [ ξ H 0 (x a )] M k + [ γ H 1 (u b )] z kx, (6)

10 11 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, r 96, grudzeń 016 zatem: d du (z kx ) = {[ γ H 0 (u b )] + [ γ [ ξ H 0 (x a )] H 1 (u + b )z kx ]} [ γ H 0 (u b )] M k + + z ku [ γ H 1 (u b )] [ γ H 0 (u b )]. (7) Po uwzględeu zależośc (6) uporządkowau otrzymamy: d du (z kx ) = [ γ Natomast po podstaweu do (): IV = k 1k {[ ψ H 0 (u b )] [ ξ H 0 (x a )] H 0 (u b )] [ γ H 0 (u b )] M k. (8) [ ξ H 0 (x ± a )] M k + z kx ( a )ψ H 1 (u b 1 )} + k k {[ ξ H 0 (u b )] [ γ H 0 (u b )] [ ξ H 0 (x a )] M k + + z kx ( a )ϛ H 1 (u b )} + k 1k z k ( a )δ H (u b ) + z k ( a )θ H (u b ) + M k ( a )γ H (u b ). (9) k k Podobe jak poprzedo mamy waruek: [ ψ H 0 (u b )] [ γ H 0 (u b )] = ξ H 0 (x a ), (50)

11 Z. Powerza, Operatorowo-dystrybucyja metoda parametrów brzegowych z wykorzystaem S fukcj stąd oraz γ = ( ξ j ) 1 ( ϛ j ) + ( ξ j ) 1 ( ϛ j ) (51) [ γ H 0 (u b )] [ ϛ H 0 (u b )] = ξ H 0 (x a ). (5) Fukcje z k z kx występujące w rówau (9) moża wyzaczyć przez M kx M kx, borąc za a (a = 0) lub (a + 0). W tym celu do rówaa (0) podstawmy zależość (19). Otrzymamy: = M kx [ γ H 0 (u b )] Po zróżczkowau względem u mamy: = M kx [ γ H 0 (u b )] [ γ H 1 (u b )] + M kx + M kx [ γ + M kx [ γ H 1 (u b )]. (5) H 0 (u b )] (a )γ H (u b ). (5) Poeważ u = b, przy x = a, borąc a za a, podstawamy do rówaa (5), które w tym celu ależy zapsać w postac: (u) = M kx (x) [ γ j H 0 (u b j )] + M kx (a j )γ j=1 H 1 (u b j ); (55) (b 0) = M kx (a 0) [ γ j + M kx (a j )γ j=1 j=δ H 0 (b 0 b j )] + H 1 (b 0 b j ), (56)

12 116 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, r 96, grudzeń 016 przy czym: czyl Zapsując rówae (18) w postac: 1 przy > j H 0 (b 0 b j ) = { 0 przy < j, (57) 0 przy = j M kx (a 0) = (b 0) ( γ j ) M kx = [k 1k ϛ j H 0 (x a j ) k k θ j podstawając a 0 za x, otrzymujemy: oraz k 1k z k (a 0) ϛ j k k z k (a 0) ( θ j k 1k z kx (a 0) ϛ j k k z kx (a 0) ( θ j Po podstaweu M kx (a 0) z (58) do (60) mamy:. (58) H 0 (x a j )] z k (59) ) = ) = M kx (a 0) (60) M kx (a 0). (61) k 1k z k (a 0) ϛ j k k z k (a 0) θ j = (6) = (b 0) ( γ j ), poeważ = M kx γ H 0 (u b ). (6)

13 Z. Powerza, Operatorowo-dystrybucyja metoda parametrów brzegowych z wykorzystaem S fukcj Po podstaweu jak wyżej: M kx (a 0) = (b 0) ( γ j ) Zapsując rówae (5), podobe jak (56), podstawając (b 0) za u, otrzymujemy co po podstaweu do (61) daje: (b 0) = M kx (a 0) ( γ j ), [k 1k ϛ j k k ξ j ] z kx (a 0) = (b 0) ( γ j ). Następe po podstaweu zależośc (50) (5) do (9) mamy: z k +k 1k IV = k 1k [M k + z kx +k k (a )ψ H 1 (u b )] + [M k + z kx (a )ϛ jh 1 (u b )] + (a )δ H (u b ) k k z k (a )θ. H (u b ) +. (6) (65) (66) + M kx (a )γ H (u b ). (67) Po uporządkowau wstaweu za a (a 0) mamy: IV = M k(k 1k k k ) + z kx (a 0) [k 1k ψ H 1 (u b ) k k ϛ H 1 (u b )] + + z k (a 0)[ k 1k δ. H (u b ) k k θ H (u b )] + + M kx (a 0)γ H (u b ). (68)

14 118 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, r 96, grudzeń 016 Występujące w tym rówau welkośc z kx (a 0) oraz z k (a 0) wyzaczamy z rówań (66) (6): z kx (a 0) = (b 0) ( γ j ) (γ 0 = ϛ 0 = θ 0 = 1), z k (a 0) = (b 0) ( γ j ) j=1 wstawmy wraz z (6) do (68). Zatem: [k 1k ϛ k k θ j ] [k 1k ϛ j k k θ j ] v = (k 1k k k )M k + (b 0) ( γ j ) [k 1k ψ H 1 (u b ) k k ϛ Gdy ozaczymy: + (b 0) ( γ j ) [k 1k δ rówae (71) przyjme postać: H 1 (u b )] + [k 1k. [k 1k ϛ j k k θ j ] ϛ j k k θ j ] H (u b ) k k θ H (u b )] + + (b 0) ( γ j ) γ H (u b ). [k 1k ϛ j k k θ j ] = A k, v (k 1k k k )M k(u) = (b 0) ( γ j ) A k (69) (70) (71)

15 Z. Powerza, Operatorowo-dystrybucyja metoda parametrów brzegowych z wykorzystaem S fukcj [k 1k ψ H 1 (u b ) k k ϛ [k 1k δ + (b 0) ( γ j ) H 1 (u b )] + A k H (u b ) k k θ H (u b )] + + (b 0) ( γ j ) Gdy wprowadzmy ozaczea: zależość (7) zapszemy w postac: γ j H (u b ). (7) K r = ε r (r) (b 0); (r = 1,, ), (7) v (k 1k k k ) M k (u) = K r r=1 H r (u b ), (7) gdze: ε 1 = γ ( γ j ), ε = A k ( γ j ) (k 1k δ k k θ ), ε = A k ( γ j ) (k 1k ψ k k ϛ ). (75) Borąc pod uwagę zwązk (), (), (0), (), (51), (5), otrzymamy: A k = [(k 1k k k ) ( ϛ j ) ] = [k k ϛ j ], (76)

16 10 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, r 96, grudzeń 016 gdze Zależośc (75) przyjmą postać: ε = [1 + ϛ ( ϛ j ) k k = k 1k k k. ε 1 = γ ( γ j ) ] [1 + γ ( γ j ), ] 1, ε = [1 + ϛ ( ϛ j ) ] [1 + γ ( γ j ) ] 1, (77) (dla j = 0 ϛ 0 = γ 0 = 1), atomast γ lczymy wg (51), co po podstaweu do (77) daje: ε 1 = ( ξ j ) 1 ε = ( ξ j ) ε = ( ξ j ) ( ξ j ) 1 ( ξ j ) ( ξ j ) 1 1 ( ϛ j ) ( ϛ j ) ( ϛ j ) ( ϛ j ) ( ϛ j ) ( ϛ j ) , 1, 1. (78) Rówae (7) moża rozwązać, stosując przekształcee Laplace a-carsoa. Gdy ozaczymy przez M k(p) obraz M k (u) orygał, czyl M k (u) M k(p), rówae (7) przyjme postać: p M k(p) p M k (0) p M k (0) p M k (0) pm k (0) k k M k(p) = = K 1 p exp( pu ) + K p exp( pu ) + K p exp( pu ),

17 Z. Powerza, Operatorowo-dystrybucyja metoda parametrów brzegowych z wykorzystaem S fukcj skąd: 1 M k(p) = p k [ p( r) M (r) k (0) + K r p ( r) exp( pu )]. (79) k r=0 r=1 Stosując odwrote przekształcee Laplace a-carsoa, mamy: zaś p r p k k Y r (u), (80) (r = 0, 1,, ), gdze: Y r fukcje Kryłowa [8]. p ( r) exp ( pu ) p k k Y r (u u )H 0 (u u ), (81) Rozwązae rówaa (79) ma węc postać: M k(u) = M (r) k (0)Y r (u) + ε r (b 0) Y r (u u )H 0 (u u ). (8) r=0 r=1 (r) (r) Rówae (8) moża przekształcć, rugując parametry pośrede M k (b 0) (r) będące jedorodym lowym fukcjam parametrów brzegowych M k (0). W tym celu będze wygode zmeć deks r w perwszym człoe rówaa (8), przepsując je w postac: M k(u) = M k (s) (r) (0)Y s (u) + ε r (b 0) Y r (u u )H 0 (u u ). (8) s=0 r=1 Parametry pośrede wyzaczamy: Poeważ (r) (b 0) = M k s=0 (r = 1,, ). (s) (0)C rs (8) (r) u=b 0 = (r) (b 0), (85)

18 1 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, r 96, grudzeń 016 a podstawe (8) moża zapsać: (r) (b 0) = M k Podobe: s=0 (s) (s) (bj 0) = M k przy czym: czyl: Zaś r=0 (s) (0)Y (r) (r) su (b ) + ε sj (b j 0)Y su (b b j ). (86) (r) s=1 j=1 j (s) (0)Y ru (bj ) + ε pk C kpr p=1 k=1 (s) (bj 0) = M k j r=0 (r) (s) C jsr = Y ru (bj ) + ε pk C kpr p=1 k=1 (s) Y pu (bj b k ), (87) (0)C jsr, (88) (s) Y pu (bj b k ). (89) C rs = Y (r) (r) su (b ) + ε sj C jsr Y su (b b j ). (90) s=1 j=1 Rozwązaa rówaa (7) moża węc zapsać w postac: + ε r s=0 r=1 M k(u) = M k s=0 (s) (0)Y s (u) + M k (s) (0)C rs Y r (u b )H o (u b ), (91) lub M k(u) = M k s=0 (s) (0)V s (u),

19 Z. Powerza, Operatorowo-dystrybucyja metoda parametrów brzegowych z wykorzystaem S fukcj... 1 gdze: V s (u) = Y s (u) + ε r C rs Y r (u b )H o (u b ). (9) r=1 Waruk brzegowe mają postać: M k(0) = M k (0) = 0, M k(b) = M k (b) = 0. (9) Na podstawe zależośc (91) mamy węc: M k(u) = M k (0)V (u) + M k (0)V (u), a astępe: M k(b) = M k (0)V (b) + M k (0)V (b) = 0, M k (b) = M k (0)V (b) + M k (0)V (b) = 0. (95) Wartośc włase zajdzemy z wyzaczka: zaś fukcje włase a podstawe (9) (9): gdze: to stała dowola. V (b) V (b) V (b)v (b) = 0, (96) M k(u) = A[V (u)v (b) V (u)v (b) ], (97) A = M k (0) V (b) Przejśce do współrzędej x wykoujemy przez odwrócee splaju (1): Poeważ: u = x + (x x ) x H 0 (x x ). (98) [1 + γ H 0 (u u )] [1 + X H 0 (x x )] = 1, (99) to dla u 1 < u < u, x 1 < x < x, u < u < u, x < x < x

20 1 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, r 96, grudzeń 016 otrzymamy: χ 1 = γ 1 (1 + γ 1 ), dla dowolego χ = γ (1 + γ ) (1 + γ 1 + γ ), χ = γ 1 ( γ j ) ( γ j ) ( γ 0 = 1). (100) W podoby sposób, drogą dość żmudych przekształceń, moża wyzaczyć fukcje włase z k (x). Dystrybucyje rówae różczkowe w tym przypadku, podobe jak (7), ma postać: = z ku (b 0) ( ξ j +z ku z IV ku (k 1k k k )z k = ) ( γ j ) (b 0) ( ξ j ) ( γ j )) φ H 1 (u b ) + φ H (u b ) + Ozaczając: +z ku (b 0) ( γ j ) γ j H (u b ) (101) rówae (101) apszemy w postac: z ku K r = ε rz (r) ku (b 0), (10) (r = 1,, ), IV k k z k = K r H r (u b ), (10)

21 Z. Powerza, Operatorowo-dystrybucyja metoda parametrów brzegowych z wykorzystaem S fukcj gdze: ε = [1 ξ ( ξ j ) ε 1 = γ ( γ j ) ε = [1 ξ ( ξ j ) przy czym dla j = 0 ξ 0 = γ 0 = 1. Wykorzystując zaś (51), mamy ostatecze: ε 1 = ( ξ j ) 1 ε = ( ξ j ) ε = ( ξ j ) ( ξ j ) 1 1 ] [1 + γ ( γ j ), ] [1 + γ ( γ j ) 1 ( ξ j ) ( ξ j ) 1 1 ( ϛ j ) ( ϛ j ) ( ϛ j ) 1 1 ] ] ( ϛ j ) 1, 1, (10) 1 ( ϛ j ) ( ϛ j ) 1 1, 1, 1. (105) Jak wdać z porówaa wzorów (78) oraz (105), mamy astępujące zależośc: przy czym: α = ( ξ j ) ε 1 = ε 1, ε = (ε + 1) 1, ε = α (ε + 1) 1, (106) ( ϛ j ) ( ξ j ) ( ϛ j ).

22 16 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, r 96, grudzeń 016 Stosując jak poprzedo przekształcee Laplace a-carsoa, otrzymamy rozwązae rówaa (10) w postac: z k (u) = z (r) k (0)Y r (u) + K r Y r (u u )H o (u u ). (107) r=0 r=1 Parametry pośrede z (r) ku (b 0) w rówau (107) wyzaczamy podobe jak w rówaach (8) do (9) w rezultace otrzymamy: z k (u) = z (s) k (0)V s(u), (108) s s=0 V s (u) = Y s (u) + ε r C rsy r (u b )H o (u b ) r=1 (s = 0, 1,, ). ε r wyzaczają zależośc (10) (106), zaś C rs lczymy podobe jak C jsr (89): j (s) C jrs = Y ru (bj ) + ε pk p=1 k=1 (109) (s) C kpr Y pu (bj b k ). (110) Waruk brzegowe wykają z zerowaa sę mometów gących sł tących a końcach belk: z k (0) = z k (0) = 0 dla u = 0, z k (u max ) = z k (u max ) = 0 dla u = u max. (111) Wykorzystując powyższe waruk, rówae (108) zapsujemy: gdze: z k (u) = z k (0)V 0(u) + z k (0)V 1(u), (11) V 0(u) = Y r (u) + ε r C ro Y r (u b )H o (u b ), r=1 V 1(u) = Y 1 (u) + ε r C r1 Y r (u b )H o (u b ). r=1

23 Z. Powerza, Operatorowo-dystrybucyja metoda parametrów brzegowych z wykorzystaem S fukcj Na podstawe (11): z k (u max ) = z k (0)V 0 (u max ) + z k (0)V 1 (u max ) = 0, (11) z k (u max ) = z k (0)V 0 (u max ) + z k (0)V 1 (u max ) = 0. (11) Wartośc włase oblczamy z wyzaczka: V 0 (u max )V 1 (u max ) V 0 (u max )V 1 (u max ) = 0. (115) Rówe dobrze moża zapsać wyzaczk a podstawe waruków brzegowych (91): V (u max )V (u max ) V (u max )V (u max ) = 0. (116) Zależość V s(u) wyraża sę wzorem (109). Po oblczeu wartośc własych λ k z rówaa (115) lub (116) otrzymujemy zależośc a fukcje włase. Po wykorzystau (11) rówae (11) przyjme postać: z k (u) = z k (0) [V 0(u) V 0 (u max ) V (u max ) V 1(u)], (117) gdze: z k (u) = H[V 0(u)V 1 (u max ) V 1(u)V 0 (u max )], (118) H = z k(0) V 1 (u max ) stała dowola. Przejśce do współrzędej x moża łatwo wykoać wg zależośc (98) (100).. PRZYKŁADY LICZBOWE Korzystając z daych lczbowych przedstawoych w pracy [], oblczoo wartośc drgań własych kadłuba statku przedstawoą metodą aaltyczą (MA) oraz metodą sztywych elemetów skończoych (SES) [1] (Program HESAC-PC). Dae lczbowe dla obu metod zestawoo w tabelach 1, zaś oblczea w tabel.

24 18 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, r 96, grudzeń 016 Tabela 1. Współczyk zmay sztywośc masy do przykładu 1 (metoda MA) Table 1. The rates of chage of rgdty ad mass the example 1 (the aalytcal method) Nr odcka kadłuba x 1. forma. forma. forma m 1 11,811,17,1,151,0777,6 7,869,709,180,9956 5,,565,950,798,655 7,,65,1710,0168, ,055-0,965 1,6566 1,69 1, ,860 0,579 1,175 1,117 1, ,677 0,117 -,897 -,8976 -, ,88 0,0000 -,7867 -,808 -, ,99 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,011 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,91 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,7,78,0905,156,0 1 15,5 -,78 1,0150 1,011 1, ,5-1,0000-1,8-1,068-1, ,165-0,517-5,1189-5,0807-5, ,976-1,0869 -,0-1,910-1, ,787 -,0000 -,950 -,797 -, ,598 -,6000-9,876-9,7105-9,595 19,09 6,8 -,865 -,7615 -, ,0

25 Z. Powerza, Operatorowo-dystrybucyja metoda parametrów brzegowych z wykorzystaem S fukcj Tabela. Współczyk zmay sztywośc masy do przykładu (metoda SES) Table. The rates of chage of rgdty ad mass the example (the Rgd FEM) Nr odcka kadłuba Masa odcka kadłuba z wodą towarzyszącą przy lczbe węzłów: Momet bezwładośc przekroju poprzeczego k 1 k 6 x10 - x10 - x10 - x10-10 x10-11 kg kg kg m N/m N/m 1 9,7,5 7,5 11,5 0,180,07 185,6 1769,9 17, 50,8 0,5017 9,0,8 176, 0,8 1,6 1,15570,919 69,7 89,6 158,6 8,7 1,61798, ,7 610,9 5810,6 15,1 1,951 8, ,8 116,9 115,0 0,0 1, , ,8 11, ,0 10,6 1,8557 7, , 10868, 1055,8 1,0 1,856 7, , 90, 8790,8 1,0 1,856 7, , 90, 8790,8 1,0 1,856 7, , 90, 8790,8 1,0 1,856 7, , 90, 9790,8 1,0 1,856 7, , , ,7 50,5,07, , 11019, 10616,8,5 1,9700 7, , 105, , 1,0 1,856 7, ,6 850, 7911,0 06,0 1,8067 6, ,5 7,1 71,6 19,5 1,696, ,5 60,1 605,6 170,5 1,518 0, , 00,6 1950,6 117,6 1, , , 90,0 7,0,6 0,5017 7,751

26 10 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, r 96, grudzeń 016 Rys.. Częstośc drgań własych (kadłub wg MA) Fg.. The atural frequecy vbratos (the hull due to [MA]) Współczyk zmeośc masy oblczoo osobo dla każdej formy ze wzgledu a zmeość masy wody towarzyszącej. To samo dotyczy cężarów odcków kadłuba wraz z wodą towarzyszącą. Kadłub podzeloo w obu przypadkach a 0 odcków, co staow optymalą welkość w tego rodzaju oblczeach. Otrzymae wyk z obu metod zestawoo w tabel. Tabela. Zestawee wyków Table. Summary of the results ω [rad/s] M A SES Różca w % do MA Merzoe wg [] Różce w % do MA ω 1,7,51 1,7,6 0,7 ω 9,9 9,9 0,1 9,5 0,11 ω 15,7 15,660 0,7 15,1 1,6

27 Z. Powerza, Operatorowo-dystrybucyja metoda parametrów brzegowych z wykorzystaem S fukcj PODSUMOWANIE Końcowe zależośc moża łatwo uogólć do oblczeń drgań gętych belek o zmeej mase sztywośc przy dowolych warukach brzegowych. Wprowadzee dowolego obcążea dyamczego ujętego w przedstawoym różczkowym rówau dystrybucyjym () pozwala a łatwe oblczee przedstawoą metodą mometu gącego kadłuba belk jego ogólej wytrzymałośc [1]. Poprawość przyjętej metody oblczeń drgań gętych kadłuba potwerdzają wykoae oblczea porówawczą metodą umeryczą SES oraz do wartośc merzoych []. W wększośc przypadków (tab. ) różce e przekraczają 1%. WAŻNIEJSZE OZNACZENIA, SKRÓTY I SYMBOLE B = B(x) szerokość statku a wodcy; E moduł sprężystośc materału kadłuba; f k częstość drgań własych kadłuba; F pole przekroju poprzeczego odcka kadłuba ( = 1, ); H 0, H 1, H fukcja Heavsde a jej pochode; I(x) momet bezwładośc przekroju poprzeczego kadłuba względem os obojętej; I 0 momet bezwładośc przekroju poprzeczego perwszego odcka kadłuba okrętu (0 x x 1); beżący wskaźk zma sztywośc, masy szerokośc kadłuba ( = 1,, ); j umer elemetu (odcka kadłuba) przy obcążeach metodą ES SES oraz przy podzale obcążea; k umer częstośc drgań własych; m(x) masa a jedostkę długośc kadłuba w przekroju x; m 0 masa a jedostkę długośc perwszego odcka kadłuba (0 x x 1); M k = M k(x) momet gący w przekroju x; M k momet gący M k(x) w przekroju x pomożoy przez 1 M kx, M kx,,, pochode mometu gącego względem x u; I długość odcka kadłuba = (1,, ); T okres drgań własych; Y r fukcje Kryłowa (r = 0, 1,, ); z k = z k(x) la ugęca; α współczyk tłumea; γ współczyk S fukcj; ϛ współczyk zmay masy z uwzględeem wody towarzyszącej; współczyk zmay sztywośc; ξ EI 0 ;

28 1 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, r 96, grudzeń 016 ω k częstośc kołowe drgań własych kadłuba; MA metoda aaltycza; MES metoda elemetów skończoych; SES metoda sztywych elemetów skończoych. LITERATURA 1. Ahlberg J.N., Nlso E.N., Walsh J.L., The Theory of Sples ad Ther Applcatos, Ac. Press, New York Lodo Adersso G., Norrad K.,,A Method of the Calculato of Vertcal Vbrato wth Several Modes ad some other Aspects of Shp Vbratos, Trasactos of RINA 111, 1969, p Czyż W., Metoda wyzaczaa wartośc współczyka tłumea drgań kadłuba okrętu, Zeszyty Naukowe WSMW, 198/85, r 1.. Desa C.S., Nolear Aalses usg Sple Fuctos, Joural of the Sol Mech. ad Faud. Dv. Proceedgs of the Amer. Soc. of Cvl Eg., 1971, vol. 97, pp Grevlle T.N.E, Theory ad Aplcatos of Sple Fuctos, Ac. Press, Lodo Kečs W., Teodorescu P., Vvedee v teorju obobščeych fukcj z prłožejam w techke (tłum. z rumuńskego), Mr, Mockva Kselev V.A., Strotelaja Mechaka, Strozat, Moskva Krylov A.N., O ekotorych dfferecjalych uravejach matematčesko fzk, Gos. Izd. Tech. Teoret. Lt., Moskva Lazarja V.A., Techčeskaja teora zgba, Nauk. Dumka, Kjev Lazarja V.A, Koašeko S.I., O prmeej obobščeych fukcj pr ssledovaj kolebaj steržej s kusočo postojaym parametram, 1971, P.M. T 7, vyp Lazarja V.A., Krjutčeko E.V., Opredelee častot form sobstveych kolebaj steržej so sosredotočeym vklučejam, 1971, P.M. T VII, vyp Lazarja V.A., Mausk Ł.A., Sobstveyje prodolyje kolebaja steržej so soredotočeym massam, 1970, P.M. T VI, vyp Metoda elemetów skończoych w dyamce kostrukcj, J. Kruszewsk, W. Gawrońsk, W. Ostachowcz, J. Tarowsk, E. Wttbrodt (red.), Arkady, Warszawa Powerża Z., Wytrzymałość ogóla kadłuba okrętu przy ekotaktowych wybuchach podwodych, Zeszyty Naukowe AMW, 1991, r 108 A. 15. Putov N.E., Projektotrovaje kostrukcj korpusa morskch sudov, cz., Izd. Sudostr, Legrad Slepja L.I., Jakovlev J.S., Itegralyje preobrazovaa v estacjoarych zadačach mechak, Izd. Sudostr., Legrad Spravočk po stroteloj mechake korablja, t., A. Šmaskog (red.), Izd. Sudpromgz, Legrad Stečk S.B., Subbot J.N., Splajy v vyčsltelo matematke, Izd. Nauka, Moskva Węckowsk J., Koleda J., Kursk W., Wtuszyńsk K., Dyamka kostrukcj okrętowych, Wyd. MSMW, Gdya 198.

29 Z. Powerza, Operatorowo-dystrybucyja metoda parametrów brzegowych z wykorzystaem S fukcj... 1 OPERATIONAL DISTRIBUTION METHOD WITH THE USAGE OF,,S FUNCTION FOR THE CALCULATION OF VERTICAL SHIPS HULL VIBRATIONS AND OTHER STRENGTH ASPECTS Summary The paper descrbes a aalytcal calculato method o the bass of dstrbuto ad operator theory. The preseted method s very useful I the calculato of vertcal vbratos of shp hull. The physcal model s a elastc beam havg arbtrary mass ad stffess dstrbuto. Icludg a kd of dyamc force the basc equato, we ca also determe the bedg momets. The result of ths calculato s show the table as well as the comparso wth the theoretcal values ad the umercal calculato results. Keywords: mass, model, beam, shp, hull, vbrato.