Statyczna próba skręcania metali (wyznaczanie modułu sprężystości poprzecznej)

Transkrypt

1 Istytut Mechak Iżyer Oblczeowej Wydzał Mechaczy Techologczy Poltechka Śląska fb.com/mopolsl twtter.com/mopolsl LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Statycza próba skręcaa metal (wyzaczae modułu sprężystośc poprzeczej)

2 STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI CEL ĆWICZENIA Zazajomee sę z próbą statyczego skręcaa maszyam skręcającym. Pokazae zachowaa sę materału podczas próby. Wyzaczee pewych welkośc charakteryzujących własośc materału (w tym przypadku w zakrese odkształceń sprężystych). Sprawdzee lowej zależośc kąta skręcea od mometu skręcającego M s. Wyzaczee modułu sprężystośc poprzeczej G (określee materału, z jakego wykoaa jest badaa próbka). Statystycze opracowae wyków. WPROWADZENIE Próbę skręcaa przeprowadza sę zwykle a prętach o stałym przekroju kołowym, dla których proste jest określee stau aprężea. Próbk o ym ż kołowy przekroju stosowae są w szczególych przypadkach. d R D L L c L t m - D Wymary próbek zwykle wyoszą: d = 3 mm; L = (5)d, (ajczęścej L = d) Rys. Próbk stosowae do prób skręcaa W przypadku prętów cekch drutów moża je mocować bezpośredo w odpowedch uchwytach. Typowe próbk mają głowy o przekroju kołowym, kwadratowym, -krotym ych, mogą róweż posadać acęca. Jedakże bez względu a kształt, muszą oe spełać wymóg osowego ustawea próbk uemożlwć obrót głowy wewątrz uchwytów. Najczęścej w zwązku z tym stosuje sę próbk z głowam o przekroju kwadratowym.

3 STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI 3 PODSTAWY TEORETYCZNE. Teora skręcaa prętów o przekroju kołowym Jeśl pręt jak a rys. obcążymy w płaszczyźe prostopadłej do jego os parą sł o momece K, to sły wewętrze zredukują sę do mometu M s, którego keruek jest zgody z osą pręta. Momet M s azywamy mometem skręcającym. M s M s B r A B max Rys.. Kąt skręcea (), posuęce () rozkład aprężeń () w pręce skręcaym Momet te powoduje w poszczególych przekrojach poprzeczych próbk płask sta aprężea odpowadający mu sta odkształcea, który dla prętów o przekrojach kołowych w zakrese odkształceń sprężystych określają wzory: gdze: aprężee stycze; M s I () Ms 6Ms max 3 W d () max ajwększe aprężee stycze (a koturze przekroju); I beguowy momet bezwładośc przekroju próbk; W I wskaźk wytrzymałośc a skręcae; r odległość od środka przekroju; r promeń przekroju poprzeczego próbk; d średca próbk. Kąt skręcea pręta a długośc pomarowej l wyos: Msl 3Msl, (3) 4 GI G d gdze: G moduł sprężystośc poprzeczej (moduł Krchhoffa); GI sztywość a skręcae. l Z kole kąt odkształcea postacowego (posuęce) wyraża sę zależoścą: G d l max (4)

4 STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI 4 Typowy wykres próby skręcaa (zależość kąta skręcea od mometu skręcającego M s ) dla materału sprężysto-plastyczego przedstawoy jest a rys. 3. Dla takego materału początkowy fragmet wykresu (odcek OA) jest lowy. Kąt r określa skręcee odcka pomarowego l po zerwau próbk. Wartośc mometów M prs, M sps, M es M ms zazaczoe a wykrese mogą posłużyć do wyzaczea wartośc graczych aprężeń (podobe jak przy rozcągau), tj. odpowedo: gracy proporcjoalośc, sprężystośc, plastyczośc oraz wytrzymałośc przy skręcau. Zazaczyć tu ależy, że próba skręcaa lepej obrazuje własośc plastycze materału ż próba rozcągaa. Wyka to z ezmeośc (w zasadze) wymarów przekroju długośc próbk podczas skręcaa aż do jej zszczea, co pozwala a określee aprężeń w przekroju poprzeczym próbk awet przy zaczych odkształceach. W próbe rozcągaa było to emożlwe ze względu a tworzee sę tzw. szyjk. Z kole ujemą stroą próby skręcaa jest erówomerość rozkładu aprężeń w przekroju poprzeczym próbk, co zacze komplkuje ujęce zjawska powyżej gracy sprężystośc w formę matematyczą (erówomerośc rozkładu aprężeń w przekroju poprzeczym próbk moża ukąć stosując pręty cekoścee). s D C B A prs sps es ms r Rys. 3. Wykres skręcaa dla materału sprężysto - plastyczego. Określee welkośc charakterystyczych w obszarze sprężystym plastyczym a. Wyzaczee modułu sprężystośc poprzeczej G Moduł sprężystośc poprzeczej G możemy wyzaczyć z rówaa: gdze: 3M s l M C s 4 d G, (5) 3l C (6) d W przypadku prób (dla welu mometów skręcających s odpowadających m kątów skręcea ) ależy wyzaczyć wartość średą: G 4 G sr (7)

5 STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI 5 W celu dokładejszego określea wartośc G ależy do oblczeń zastosować jedą z metod statystyczych, p. metodę ajmejszych kwadratów (metoda ta została omówoa w dodatku a końcu ejszej strukcj). b. Określee sposób wyzaczaa R pr, R sp R e przy skręcau Przyjmuje sę, że umowa graca proporcjoalośc R prs jest to aprężee, przy którym stosuek aprężea do odpowadającego mu odkształcea staow / 3 modułu sprężystośc poprzeczej. Zakres sprężysty w praktyce ogracza sę od góry umową gracą sprężystośc (pukt B a rys..3): M sps Rsps (8) W Natomast za podstawę do określea umowej gracy proporcjoalośc R prs plastyczośc R es przyjmuje sę umową wartość trwałego odkształcea postacowego dla włóke skrajych. W celu wyzaczea wymeoych welkośc porówywalych z podobym welkoścam wyzaczaym w próbe rozcągaa umową wartość wylcza sę z odpowedch zależośc mędzy odkształceem postacowym a wydłużeem jedostkowym. Dla małych odkształceń w przypadku rozcągaa zachodz zależość:.5 (9) max Wartość dla wyzaczaa umowej gracy sprężystośc wyos.5%, zaś dla umowej gracy plastyczośc.% długośc pomarowej. Tak węc (przy pewym uproszczeu) przyjmuje sę: - dla umowej gracy sprężystośc przy skręcau: % () - dla umowej gracy plastyczośc: % () Odpowedkam R.5 R. przy rozcągau będą węc R.75 R.3 przy skręcau. Kątow skręcea (rys..) odpowada kąt tak, że: Stąd: tg () l arc tg (3) l Oczywśce, a powerzch próbk (gdy = r, =): arc tg r (4) l Dla ewelkch kątów skręcea wzór (4) moża przyblżyć zależoścą: r (5) l Ostatecze otrzymujemy wyrażee a dopuszczaly kąt skręcea w postac: l 5. l r (6) r r

6 STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI 6 Jest to wartość kąta skręcea odpowadającego umowej gracy wartośc, którą moża zazaczyć a wykrese (rys. 4). Odczytując z wykresu M.75 M.3 wylcza sę R sps R es ze wzorów: M. 75 Rsp. 75, (7) W M 3. Re 3. (8) W s.3 r =.3l /r Rys. 4. Wykreśly sposób określaa M.3 c. Rozkład aprężeń po przekroczeu gracy proporcjoalośc R pr Wzory (-3) są prawdzwe jedye w zakrese własośc sprężystych materału, czyl do takej wartośc s, przy którym a koturze przekroju wystąpą aprężea odpowadające gracy plastyczośc przy czystym ścau. Dla materałów sprężysto - plastyczych przy ścau (sta aprężea w przypadku skręcaa jest ścaem) pomędzy odkształceem a aprężeem zachodz zwązek jak a rys. 5. ' A B O Rys. 5. Zależość mędzy odkształceem aprężeem przy ścau dla materałów deale sprężysto - plastyczych (bez wzmocea) Wzrostow s odpowada wzrost posuęca (a węc zgode z prawem Hooke'a wzrost aprężeń). Po osągęcu wartośc aprężeń (pukt A) dalsze skręcae zwększae sę przemeszczeń astępuje przy stałej wartośc aprężeń (odcek AB). Na rys..6 przedstawoo rozkłady aprężeń styczych w przekroju poprzeczym pręta wykoaego z materału sprężysto - plastyczego dla wzrastającej welkośc s.

7 STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI 7 Ms Ms Ms 3 a) b) c) Rys. 6. Rozkład aprężeń styczych w obszarach: a) sprężystym, b) sprężysto-plastyczym, c) plastyczym Rysuek 6a odpowada skręcau wyłącze sprężystemu. Wykres aprężeń a rys. 6b odpowada skręcau w przypadku, gdy w częśc przekroju (tj. w zewętrzej warstwe przekroju) zostaje przekroczoa graca plastyczośc. Przy dalszym wzrośce s rozkład aprężeń coraz bardzej zblża sę do rozkładu przedstawoego a rys. 6c, tj. do stau, jak wytworzy sę przy skręcau deale plastyczym, w którym aprężea w całym przekroju osągęłyby stałą wartość rówą w praktyce wcześej astępuje zerwae próbk. PRZEBIEG ĆWICZENIA Rysuek 7 przedstawa schemat skręcark frmy Amsler o zakrese s do 5 Nm. Ma oa możlwość astawea a cztery zakresy: 3, 5, oraz 5 Nm. Może służyć do skręcaa próbek płaskch okrągłych, jak róweż do skręcaa gotowych częśc kostrukcyjych (wały, sprzęgła, tp.) a Rys.7. Schemat skręcark frmy Amsler

8 STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI 8 Maszya składa sę z dwóch pozomych prowadc tworzących ramę, zamocowaych a obydwu końcach w stojakach. Badaą próbkę mocuje sę w głowcach 3 4. Głowca 4 wraz z wahadłem 5 oraz urządzeem pomarowym rejestrującym może być przesuwaa wzdłuż prowadc. Położee to ustala sę w zależośc od długośc próbek. Głowca 3 jest osadzoa w eprzesuwym łożysku 7. Skręcae próbk astępuje przez obrót głowcy 3 za pośredctwem przekład ślmakowej 8 za pomocą slka lub ręcze. Prawy koec próbk po sztywym jej zamocowau w uchwyce głowcy 4 staow całość z tą głowcą oraz z wahadłem 5 może sę wraz z m obracać w łożysku 9. Przyłożoy do próbk w uchwyce głowcy 3 momet skręcający jest rówoważoy mometem w uchwyce głowcy 4 poprzez wychylee wahadła. W momece zszczea próbk łagody powrót wahadła jest zapeway przez hamulec lowy. Wychylee wahadła, będące marą mometu, przeoszoe jest za pomocą układu dźwg a wskazówkę tarczy. Tarcza ta jest wyskalowaa tak, że odczytuje sę z ej bezpośredo wartość s. Wskazówka może wykoać dwa obroty, dlatego też tarcza ma dwe skale, przy czym skala zewętrza odos sę do drugego obrotu. Zakres maszyy ustala sę poprzez wydłużee lub skrócee ramea wahadła 5. Odczytuje sę go a pręce 3. Na prowadcach umeszczoe są dwa przyrządy 6 do pomaru kąta skręcea. Odległość mędzy przyrządam określa długość pomarową l. Każdy z przyrządów składa sę z dwóch ruchomych względem sebe perśce może być przesuway wzdłuż os próbk. Jede z perśce jest sztywo połączoy z obudową, drug zaś (za pomocą śrub docskowych zakończoych ostrzem) jest osowo przytwerdzay do próbk. Oba perścee posadają podzałkę umożlwającą odczyt kąta skręcea próbk w daym przekroju (jako zmaę położea jedego perścea względem drugego). Kąt skręcea pomędzy oboma przyrządam jest różcą odczytaych kątów ( = ). W przypadku przeprowadzaa próby szczącej obrotu głowcy 3 dokouje sę za pomocą slka. Jedocześe układ rejestrujący samoczye kreśl wykres skręcaa. Gdy próba jest prowadzoa w zakrese odkształceń sprężystych, zwykle głowcę 3 obraca sę ręcze co określoą wartość s dokouje sę odczytu kąta skręcea. W ramach ćwczea ależy:. Zmerzyć 6-krote (w trzech przekrojach, w każdym z ch w prostopadłych do sebe kerukach) średcę próbk d z dokładoścą do. mm.. Określć wstępe rodzaj materału przypuszczaly max oraz astawć zakres maszyy. 3. Zamocować próbkę w szczękach maszyy. 4. Zamocować przyrząd pomarowy odczytać wstępe wartośc kątów a poszczególych perśceach przyrządu. 5. Zmerzyć długość pomarową l z dokładoścą do mm. 6. Obcążyć mometem skręcającym s odczytywać kąty skręcea (odpowedo a przyrządze lewym prawym). 7. Powtarzać pukt 6 zwększając obcążee stopowo aż do osągęca założoej maksymalej wartośc s. 8. Odcążyć próbkę. Wyk ależy zaotować tabel.

9 STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI 9 Długość pręta (l ) [m] Średca pręta (d ) [mm] Lp. s [kgm] [ o ] [ o ]. (wartośc początkowe) Tabela OPRACOWANIE WYNIKÓW I WYTYCZNE DO SPRAWOZDANIA Sprawozdae powo zawerać: I. Cel ćwczea II. Wstęp teoretyczy III. Część oblczeową, w której ależy:. Uzupełć tabelę (tab. ) uwzględając (odejmując) wartośc początkowe M s. W efekce oblczoa zostae średa wartość modułu sprężystośc poprzeczej (G śr ). Lp s [kgm] s [Nm] [] []... = [] [rad] G śr Tabela G [MPa]. Wylczyć wartość modułu sprężystośc poprzeczej metodą ajmejszych kwadratów szukając współczyka kerukowego c prostej aproksymacyjej w postac: gdze: Przy czym: f (x) = s, x = f ( x) c cx, (9) I c G () l

10 STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI IV. Z rówaa () ależy wylczyć moduł sprężystośc poprzeczej wyzaczoy metodą statystyczą G stat oraz wartość odchylea stadardowego S. Określee, z jakego materału wykoao próbkę (podać ajbardzej zblżoą wartość tablcową oraz źródło, z którego korzystao) V. Wykres skręcaa w układze s [Nm] - [rad] VI. Wosk z ćwczea PRZYKŁADOWE PYTANIA KONTROLNE. Podać podstawowe założea zależośc teor skręcaa prętów kołowych.. Narysować omówć wykres skręcaa dla materału sprężysto - plastyczego. 3. Jak wyzaczamy umową gracę sprężystośc plastyczośc? Przedstawć a wykrese. 4. Narysować omówć rozkład aprężeń styczych w kołowym pręce skręcaym w obszarze sprężystym, sprężysto - plastyczym plastyczym. 5. Podać sposób wyzaczaa modułu sprężystośc poprzeczej. Omówć dwe metody opracowaa wyków. 6. Jak zależy kąt skręcea od mometu skręcającego w zakrese sprężystym? 7. Od czego zależy moduł sprężystośc poprzeczej? LITERATURA. Beluch W., Burczyńsk T., Fedelńsk P., Joh A., Kokot G., Kuś W.: Laboratorum z wytrzymałośc materałów. Wyd. Poltechk Śląskej, Skrypt r 85, Glwce,.. Bąk R., Burczyńsk T.: Wytrzymałość materałów z elemetam ujęca komputerowego, WNT, Warszawa.. Bejam J.R., Corel C.A.: Rachuek prawdopodobeństwa statystyka matematycza teora decyzj dla żyerów, WNT, Warszawa Dyląg Z., Jakubowcz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materałów, t. I-II, WNT, Warszawa Fsz M.: Rachuek prawdopodobeństwa statystyka matematycza, PWN, Warszawa Ćwczea z wytrzymałośc materałów. Laboratorum, Praca zborowa pod red. Lambera T., Skrypty uczelae Pol. Śl., r 57, Glwce 99.

11 DODATEK METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Sformułowae zadaa aproksymacyjego Nech f będze fukcją cągłą, którą ależy przyblżyć w przedzale (a, b) za pomocą kombacj lowej k + daych fukcj,,..., : k f x c x c x ckk x ( ) ( ) ( )... ( ) (D) Należy określć współczyk c, c,..., c k tak, by jak ajmejsze było wyrażee: a) w przypadku cągłym (aproksymacja tegrala): b b) w przypadku dyskretym (aproksymacja puktowa): f f f ( x) f ( x) w( x) dx (D) a ( ) ( ) f f f x f x w (D3) Ozacza to wymagae, by orma eukldesowa ważoa lub semorma ważoa fukcj błędu f f była jak ajmejsza, aczej, by fukcja f (x) możlwe dokłade odtwarzała przebeg fukcj f (x). Tak formułowae zadae azywa sę zadaem aproksymacj średokwadratowej, zaś ajczęścej stosowaą metodę rozwązaa tego zadaa azywa sę metodą ajmejszych kwadratów. Rozwązae zadaa aproksymacyjego dla fukcj jedej zmeej Nech daa będze fukcja (cągła bądź dyskreta) jedej zmeej: y f ( x), x [ a, b] (D4) W dalszym cągu zajmemy sę główe zagadeem aproksymacj puktowej. Poszukuje sę fukcj aproksymacyjej w postac (D). Zależość ta dla fukcj jedej zmeej może być przedstawoa jako: f ( x) f ( x, c,... c k ) (D5) W metodze ajmejszych kwadratów doboru współczyków fukcj f (x) dokouje sę tak, by zmmalzować poższe wyrażee: f ( x, c,... c) f ( x) m (D6) Kryterum to ależy do waruków mocych, gdyż zawera sumę kwadratów odchyłek, a węc lczb eujemych. W przypadku gdy rozwązaa poszukujemy w klase welomaów uogóloych (D), oblczea mmum fukcj (D6) e astręczają trudośc. Rozpatrujemy zbór puktów (x, y ), (x, y ),..., (x, y ), którego aproksymacją ma być fukcja lowa w postac: f ( x) c c x (D7) Kryterum ajmejszych kwadratów przyjmuje postać: c c x y m (D8)

12 DODATEK Korzystając z waruku koeczośc stea ekstremum fukcj dwu zmeych otrzymujemy: S c cx y c (D9) S c cx y x c Powyższy układ rówań moża zapsać w postac dogodej do oblczea współczyków c oraz c : Wprowadzając ozaczea: otrzymujemy: c c x y c x c x x y x y x, y, ( x x) c c y c x (D) (D) ( x x)( y y) ` (D) W celu określea dokładośc pomarów ależy wyzaczyć wartość odchylea stadardowego: gdze: lczba pomarów; m lczba parametrów (tu: m = )., (D3) m S y y Lteratura. Dahlqust G., Björck Å.: Metody umerycze. PWN, Warszawa Fsz M.: Rachuek prawdopodobeństwa statystyka matematycza, PWN, Warszawa Majchrzak E., Mochack B.: Metody umerycze. Podstawy teoretycze, aspekty praktycze algorytmy, Wydawctwo Poltechk Śląskej, Glwce 998.

13 Istytut Mechak Iżyer Oblczeowej Wydzał Mechaczy Techologczy, Poltechka Śląska PROTOKÓŁ Z ĆWICZENIA STA TYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA METALI Wydzał: Keruek: Grupa: Sekcja: Data wykoaa ćwczea: Prowadzący: Podps Długość pręta (l) [m] Średca pręta (d) [mm] Lp. M s [kgm] [ o ] [ o ] wartośc początkowe