Notatki z lekcji fizyki prowadzonych przez Pana mgr Marka Golkę

Transkrypt

1 Notatki z lekcji fizyki prowadzonych przez Pana mgr Marka Golkę Klasa 1 Opracowanie: Małgorzata Śleszyńska Tomasz Rogozik Radom 006

2 Wydanie I. Wydano na prawach rękopisu Konsultacja metodyczna mgr Marek Golka Spis treści Od Redakcji Przedstawiamy notatki z lekcji fizyki zgromadzone przez nas w czasie zajęć szkolnych z fizyki w klasie mat-fiz-inf prowadzonych przez Pana mgr Marka Golkę w VI Liceum Ogólnokształcącym im. Jana Kochanowskiego w Radomiu w latach Zeszyt może być przeznaczony dla profilów ogólnych oraz biologiczno-chemicznych po weryfikacji programów nauczania. Na końcu książki umieściliśmy miejsce na notatki własne ucznia, które można poświęcić na rozwiązania zadań domowych, dzięki czemu posiadanie danego zeszytu zwolni z konieczności prowadzenia dodatkowego, osobistego zeszytu do fizyki. W celu ułatwienia nauki fizyki w naszej szkole, będziemy zabiegać o to, aby także inni nauczyciele fizyki ZSO nr 6 honorowali ten zeszyt jako przedmiotowy. Notatki te są doskonałą pomocą naukową i idealnym uzupełnieniem wykładu nauczyciela. Pragniemy bardzo serdecznie podziękować Panu mgr Markowi Golce za konsultację metodyczną, poparcie idei stworzenia zeszytu i ogromną pomoc w jego wydaniu. Dziekujemy także wszytkim innym życzliwym ludziom, bez których pomocy książka ta nie mogłaby zaistnieć. Rzeczowe uwagi dotyczące zeszytów są mile widziane i będą uwzględniane w kolejnych wydaniach. 1 Wektory Rachunek wektorowy Analityczna postać wektora Kinematyka 14.1 Ruch jednostajny prostoliniowy Niezależność ruchów Ruch jednostajnie zmienny Rzuty Dynamika Zasady dynamiki Newtona Tarcie Statyka Środek masy układu ciał Zasada zachowania pędu Dynamika ruchu jednostajnego po okręgu Moment bezwładności bryły sztywnej Dynamika w układzie nieinercjalnym Prawo ruchu obrotowego i zasady dynamiki bryły sztywnej Ruch obrotowy - toczenie się ciał Zasada zachowania momentu pędu Energia kinetyczna bryły sztywnej Praca, moc, energia 66 5 Ruch harmoniczny Równania ruchu harmonicznego Energia w ruchu harmonicznym

3 5.3 Wahadło matematyczne, stożkowe, fizyczne Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego z wykorzystaniem wahadła grawitacyjnego Składanie drgań harmonicznych wzajemnie do siebie prostopadłych Drgania tłumione, drgania wymuszone Ruch falowy Podstawowe pojęcia ruchu falowego, równanie fali Prędkość w ruchu falowym Prawo załamania i odbicia fali Interferencja fal, fala stojąca Polaryzacja fal, prawo Brewstera Zderzenia Zderzenia doskonale sprężyste Zderzenia niesprężyste, sprężyste skośne Termodynamika Wiadomości wstępne Podstawowy wzór kinetycznej teorii gazu doskonałego Przemiany gazowe Praca i I zasada termodynamiki w przemianach gazowych Silnik Carnota Entropia jako funkcja stanu II zasada termodynamiki Pompa cieplna Silniki cieplne Budowa i zasada działania lodówki sprężarkowej Zmiany stanu skupienia Para nasycona i nienasycona. Punkt potrójny Wilgotność powietrza Rozdział 1 Wektory 1.1 Rachunek wektorowy Wektor to uporządkowana para punktów. Przedstawia się go za pomocą odcinka zakończonego strzałką. Cechy wektora : kierunek - prosta, na której leży wektor zwrot - określony przez grot strzałki wartość - długość wektora w odpowiedniej skali Oznaczenie wektora, np.: F Oznaczenie wartości liczbowej wektora : F Dodawanie wektorów Wektory można dodać do siebie metodą równoległoboku. Należy sprowadzić początki wektorów do wspólnego punktu poprzez przesunięcia równoległe, a następnie dodać wektory według schematu (1.1). Można również dodać do siebie dwa wektory, przesuwając je tak, aby początek drugiego pokrył się z końcem pierwszego. Sumę tych wektorów otrzymamy łącząc początek pierwszego wektora z końcem drugiego z nich (1.). c = a + b + a b cos α gdzie α - kąt pomiędzy wektorami 4 5

4 Odejmowanie wektorów Aby odjąć od siebie dwa wektory, należy do pierwszego z nich dodać wektor przeciwny do drugiego (1.3). Rysunek 1.1: Dodawanie wektorów Rysunek 1.3: Odejmowanie wektorów W odejmowaniu, tak jak w dodawaniu, można skorzystać z drugiej metody. Należy sprowadzić wektory do wspólnego początku i połączyć ich końce. Zwrot otrzymanego wektora określa się w stronę odjemnej (1.4). Rysunek 1.: Dodawanie wektorów () Rysunek 1.4: Odejmowanie wektorów () 6 7

5 c = a + b a b cos α gdzie α - kąt pomiędzy wektorami Iloczyn wektorowy a b = c Wynikiem mnożenia wektorowego jest nowy wektor prostopadły do Mnożenie wektora przez skalar Mnożąc wektor przez skalar otrzymujemy nowy wektor o niezmienionym kierunku, wartości tyle razy większej, na ile wskazuje skalar, a zwrocie dla k > 0 takim samym i k < 0 przeciwnym do początkowego zwrotu wektora. b = k a = ka b = k a = k a Iloczyn skalarny wektorów a b = a b cos ( a, b) Rysunek 1.6: Iloczyn wektorowy płaszczyzny mnożonych wektorów. Jego zwrot wynika z reguły śruby prawoskrętnej - obracamy śrubę prawoskrętną od pierwszego wektora do drugiego przez mniejszy kąt. Postępowy ruch tej śruby zgodny jest ze zwrotem wektora c. c = a b sin ( a, b) b a = c Rysunek 1.5: Iloczyn skalarny wektorów a = a cos α a b = a b 8 9

6 1. Analityczna postać wektora Każdy wektor może być przedstawiony w układzie współrzędnych jako suma tylu wektorów równoległych do osi układu, ilu wymiarowy jest układ. W układzie trójwymiarowym jest złożeniem trzech wektorów. W układzie współrzędnych istnieją wersory ( i, j, k), czyli wektory jednostkowe (1.7). Rysunek 1.8: Składowe wektora Rysunek 1.7: Wersory w przestrzeni trójwymiarowej i = j = k = 1 i i = 1 1 cos 0 o = 1 i j = 1 1 cos 90 o = 0 j j = 1 i k = 0 k k = 1 j k = 0 i i = j j = k k = 0 i j = k j k = i k i = j j i = k k j = i i k = j Od tej pory, w książce tej, zamiast a używane będzie oznaczenie a dla wartości, o których wiadomo, że są wektorami. a x = i x A a y = j y A a z = k z A a x = a cos γ a y = a cos β a z = a cos α a = a z + a x y a x y = a x + a y a = a x + a y + a z a = ix a + jy a + kz a a x y = y A + x A a = a x y + za = x A + ya + za a = x A + y A + z A 10 11

7 Przykład obliczeń: Niech a = [1,, 3] a = 1 i + j + 3 k a = = 14 Obliczanie kątów, jakie wektor tworzy z osiami: cos α = a x a cos β = a y a cos γ = a z a Analityczna postać sumy wektorów Niech a = [a x, a y, a z ] i b = [b x, b y, b z ]. Wtedy c = a + b = ia x + ja y + ka z + ib x + jb y + kb z = = i(a x + b x ) + j(a y + b y ) + k(a z + b z ) = ic x + jc y + kc z c x = a x + b x c y = a y + b y c z = a z + b z c = (a x + b x ) + (a y + b y ) + (a z + b z ) c = c x + c y + c z Analityczna postać różnicy wektorów Niech a = [a x, a y, a z ] i b = [b x, b y, b z ]. Wtedy c = a b = ia x + ja y + ka z ib x jb y kb z = = i(a x b x ) + j(a y b y ) + k(a z b z ) = ic x + jc y + kc z c x = a x b x c y = a y b y c z = a z b z c = (a x b x ) + (a y b y ) + (a z b z ) c = c x + c y + c z Analityczna postać iloczynu skalarnego dwóch wektorów a b = ( ia x + ja y + ka z ) ( ib x + jb y + kb z ) = = i a x b x + ia x jb y + ia x kb z + ja y ib x + + j a y b y + ja y kb z + ka z ib x + ka z jb y + k a z b z = = 1 a x b x + 0 a x b y + 0 a x b z + 0 a y b x + 1 a y b y a y b z + 0 a z b x + 0 a z b y + 1 a z b z = = a x b x + a y b y + a z b z Analityczna postać iloczynu wektorowego dwóch wektorów a b = ( ia x + ja y + ka z ) ( ib x + jb y + kb z ) = = ( i j)a x b y + ( i k)a x b z + ( j i)a y b x + + ( j k)a y b z + ( k i)a z b x + ( k j)a z b y = = ka x b y ja x b z ka y b x + ia y b z + ja z b x ia z b y = = i(a y b z a z b y ) + j(a z b x a x b z ) + k(a x b y a y b x ) c = (a y b z a z b y ) + (a z b x a x b z ) + (a x b y a y b x ) Przykłady: a = [1, 1, ] b = [ 1,, 3] a b = 1 6 = 9 a b = i( 1 3 ( ) ) + j( ( 1) 1 3) + + k(1 ( 1) ( 1)) = i( 3 + 4) + j( 3) + k( 1) = = i j + k a b = 1 + ( 1) + 1 =

8 r(t) lim = V t 0 t chwilowe = d r dt /qquad[ V ] = m s Rozdział Kinematyka d dt ( r) = d dt ( i dx) + d dt ( j dy) + d dt ( k dz) V = iv x + jv y + kv z z drugiej strony : V = ds dt ds = V dt.1 Ruch jednostajny prostoliniowy S = V dt Jeżeli ciało porusza się ruchem prostoliniowym, to r = S. W ruchu jednostajnym prędkość ciała jest stała - V = const Dla ruchu jednostajnego prostoliniowego : S = V dt = V dt = V t r = V t r B r A = V t Rysunek.1: Wektor przesunięcia r A, r B, r t - wektory wodzące (położenia) r C - przemieszczenie całkowite r t - elementarny wektor przesunięcia r(t) = r(t) r A r B = r A + V t x(t) x(0) = V x t y(t) y(0) = V y t z(t) z(0) = V z t x(t) = x(0) + V x t y(t) = y(0) + V y t z(t) = z(0) + V z t r(t) t = V sr x(t) = x(0) + V x t 14 15

9 . Niezależność ruchów Ruch złożony możemy rozpatrywać jako kilka ruchów prostych składowych, niezależnych od siebie, z których każdy trwa tyle samo czasu. Zadanie Rzeka ma szerokość d. Łódka płynie pod kątem α do brzegu rzeki, a jej prędkość to V. Po jakim czasie tam dopłynie i jaka będzie współrzędna punktu po drugiej stronie rzeki, jeżeli prędkość wody w rzece jest równa V r? Zadanie Ciało 1 i ciało poruszają się naprzeciw siebie ruchem jednostajnym z prędkościami odpowiednio V 1 i V. Po jakim czasie się spotkają? x 1 (t) = x 01 + V 1 t x (t) = x 0 V t t s - czas po jakim się spotkają x 1 (t s ) = x (t s ) x 01 + V 1 t s = x 0 V t s t s = x 0 x 01 V 1 + V Zgodnie z zasadą niezależności ruchów, możemy oddzielnie rozpatrywać ruch wzdłuż osi x i wzdłuż osi y przyjętego układu współrzędnych. ix = ( iv cos α + iv r ) t x = (V cos α + V r ) t jy = ( jv sin α) t x s - współrzędna miejsca spotkania y = V sin α t d y C = d = V sin α t k t k = V sin α x C = x(t k ) = d(v cos α + V r) V sin α x s = x 01 + V 1 t s = x 0 V t s 16 17

10 Zadanie Z punktu A wyrusza łódź w kierunku równoległym do brzegów rzeki. Płynie ze stałą prędkością V s. Ma skręcony i zablokowany ster. Przepłynęła równolegle do przeciwnego brzegu ocierając się o niego i wylądowała w punkcie B, znajdującym się na tym samym brzegu co punkt A. Prędkość rzeki wynosi V r, a jej szerokość d. Oblicz odległość punktów A i B. t = Πr V s r = d t = Πd V s Drugi ruch, to ruch jednostajny prostoliniowy wzdłuż rzeki. Rysunek.: Złożony ruch łódki Zgodnie z zasadą niezależności ruchów rozpatrujemy dwa niezależne ruchy. Pierwszy z nich to ruch po okręgu. S AB = V r t S AB = Πd V r V s t = Πd V s 18 19

11 .3 Ruch jednostajnie zmienny W ruchu jednostajnie zmiennym przyspieszenie jest stałe (ma stałą wartość, kierunek i zwrot), a prędkość zmienia się proporcjonalnie do czasu. x(t) x 0 = V 0 t 0 + a t 0 x(t) = x 0 + V 0 t 0 + a t 0 a = const a = V t a = d V dt V (t) V (0) = a t [ a] = m s V (t) = V 0 + a t V x (t) = V 0x + a x t V y (t) = V 0y + a y t V z (t) = V 0z + a z t tg α(t) = V (t). W tym przypadku β > α więc przyspieszenie jest dodatnie. Rysunek.3: Droga w ruchu jednostajnie zmiennym V (t) dt = ds S = t0 0 V (t)dt = t0 0 (V 0 + at)dt = t0 0 t0 V 0 dt + atdt 0 Tutaj β < α więc przyspieszenie jest ujemne. Można przeanalizować wszystkie możliwe przypadki ruchów jednostajnie zmiennych. Zostały one przedstawione na rysunkach (.4), (.5) oraz (.6). 1)x = 0 )x = V 0 t 3)x = V 0 t S = V 0 t 0 + a t 0 4)x = at 5)x = at 6)x = V 0 t + at 0 1

12 8)x = x 0 + V 0 t at 9)x = x 0 V 0 t + at Rysunek.4: Analiza ruchu dla x(0) = 0 Rysunek.6: Analiza ruchu dla x(0) = x 0 7)x = V 0 t at 8)x = V 0 t at 9)x = V 0 t + at 1)x = x 0 )x = x 0 + V 0 t 3)x = x 0 V 0 t 4)x = x 0 + at 5)x = x 0 at 6)x = x 0 + V 0 t + at 7)x = x 0 V 0 t at 8)x = x 0 + V 0 t at 9)x = x 0 V 0 t + at Rysunek.5: Analiza ruchu dla x(0) = x 0 1)x = x 0 )x = x 0 + V 0 t 3)x = x 0 V 0 t 4)x = x 0 + at 5)x = x 0 at 6)x = x 0 + V 0 t + at 7)x = x 0 V 0 t at 3

13 Zadanie Mamy dane dwa ciała. Ich parametry opisane są na rysunku. Podaj równania ruchu i określ jaka będzie największa odległość pomiędzy nimi. { x1 = x 01 V 01 t + a 1t x = x 0 + V 0 t a t a w d V w {}}{{}}{{}}{ (a + a 1 ) t x(t) = x x 1 = x 0 x 01 + (V 0 V 01 ) t x = d + V w t a wt V 1 = V 01 + a 1 t d x dt V = V 0 a t = 0 + V w a w t x d x dt V w = a w t x t x = V w a w x max = d + V w a w = 0 4 5

14 .4 Rzuty Z: g = const rozważamy rzuty blisko powierzchni Ziemi Rzut ukośny y(x) = y 0 + (x(t) x 0 ) tg α g(x(t) x 0) Równanie toru: y(x) = x tg α gx V 0 cos α V 0 cos α By wyznaczyć wysokość ekstremalną, przyrównujemy pochodną do 0: dy dx = 0 = tg α g x w V0 cos α gx w V 0 cos α = sin α cos α sin α cos α = sin α x w = V 0 sin α g V 0x = V 0 cos α a x = 0 a y = g W naszym przypadku Mamy : x 0 = 0 y 0 = 0 x(t) = x 0 + V 0 cos αt Rysunek.7: Rzut ukośny V 0y = V 0 sin α y(t) = y 0 + V 0 sin αt gt V x (t) = V 0x = V 0 cos α = const V y (t) = V 0y gt = V 0 sin α g t t = x(t) V 0 cos α 6 y max = y(x w ) = V 0 sin α g Ponieważ ciało wznosi się tyle samo czasu co spada: 1 t c = x w V 0x V0 sin α g t c = x w = V 0x V 0 cos α t c = V 0 sin α g = V 0 sin α g V (t) = V0x + (V 0y gt) V (t) = (V 0 cos α) + (V 0 sin α gt) x k = V x t k x k = V 0 cos α V 0 sin α g = V 0 sin α = x w g V 7 1 cos α = V 0 sin α g

15 Rzut pionowy Rysunek.8: Rzut poziomy Rzut poziomy { y(t+ = H gt x(t) = V 0 t 0 = H gt k H t k = g H x k = V 0 g V (t) = V0 y = V0 t V k = V (t k ) = V 0 Równanie toru: y(x) = H gx V 0 x = x 0 V x (t) = 0 Rysunek.9: Rzut pionowy y(t) = y 0 + v 0 t gt V y (t) = V 0 gt Wysokośc jest maksymalna gdy V y = 0. 0 = V 0 gt x t x = V 0 g y max = y(t x ) = y 0 + V 0 g t c = t x = V 0 g Zadanie Pocisk został wystrzelony z prędkością V 0 pod kątem α do podłoża. Spadł na równię pochyłą o kącie nachylenia β. Oblicz współrzędne upadku; początek równi jest w punkcie x

16 Zadanie Kulka spada z wysokości H na równię pochyłą o kącie α, odbija się sprężyście a następnie leci w dół równi. Oblicz miejsce upadku. Z zasady Rysunek.10: Rysunek do zadania { x(t) = V0 cos α t y(t) = V 0 sin α t gt gx u y k = x k tg α V0 cos α Otrzymujemy układ równań: { yk = (x k x 0 ) tg β y k = x k tg α gx u V 0 cos α z którego po rozwiązaniu otrzymujemy x k oraz y k. zachowania energii : mgh = mv 0 Rysunek.11: Rysunek do zadania V 0 = gh Kąt padania równy jest kątowi odbicia. Przyjmujemy układ współrzędnych, w którym oś X równoległa jest do powierzchni równi, a punkt 0 leży na równi. V 0x = V 0 sin α a x = g sin α V 0y = V 0 cos α a y = g cos α { x(t) = V0 sin α t + g sin α t y = 0 y(t) = V 0 cos α t g cos α t V 0 cos αt x = g cos α t x t x = V 0 g 30 31

17 x k = x(t x ) = V 0 sin α V 0 g 0 + g sin α4v g = 4V 0 sin α g = 4 gh sin α g h gt = V 0y t gt x k = 8H sin α h = V 0y x0 V 0x Zadanie Dwa ciała wyrzucono równocześnie z dwóch różnych punktów. Jedno ciało zostało rzucone poziomo z prędkością początkową V 0x z wieży o wysokości h, drugie wyrzucono pionowo z prędkością V 0y z miejsca odległego o x 0 od podnóża wieży. Jaka powinna być prędkość V 0y, aby ciała zderzyły się nad ziemią? V 0y = h V 0x x 0 Rysunek.1: Rysunek do zadania x 1 = V 0x t y 1 = h gt x = x 0 W momencie spotkania: y = V 0y t gt { x1 = x y 1 = y V 0x t = x 0 t = x 0 V 0x 3 33

18 dv dt = F m F dt = m dv m V = p Rozdział 3 Dynamika 3.1 Zasady dynamiki Newtona I Zasada Dynamiki Newtona Istnieje układ odniesienia, w którym, jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. { F = 0 a = F m } a = 0 V V = const II Zasada Dynamiki Newtona Jeżeli na ciało o stałej masie m działają siły nierównoważne o wypadkowej F, to ciało porusza się ruchem przyspieszonym, z przyspieszeniem a, takim, że a = F m. Kierunek i zwrot tego przyspieszenia są zgodne z kierunkiem i zwrotem siły wypadkowej. F a = m m = const Wyprowadzenie: Ogólna postać II Zasady Dynamiki: F dt = d p d p = md V + V dm i dla m = const dm=0 d p = md V F dt = m d V F m = a Ogólne równianie ruchu: Jeżeli a = 0 F = m d V dt + V dm dt ( d V dt F = V dm dt = 0) wówczas : (sytuacja możliwa, gdy masy ciała przybywa) Masa relatywistyczna dla dużych prędkości: m = m 0 1 V c gdzie m 0 - masa spoczynkowa a = d V dt 34 35

19 3. Tarcie Siła tarcia to siła, która powstaje na styku powierzchni dwóch ciał i przeciwdziała ich względnemu ruchowi. Jest ona zawsze skierowana przeciwnie do kierunku ich względnej prędkości. Siła tarcia statycznego III Zasada Dynamiki Newtona Jeżeli ciało A działa na ciało B siłą akcji F B, to ciało B oddziałuje na ciało A taką samą co do wartości, lecz skierowaną przeciwnie siłą reakcji F B. Siły te są równe co do wartości i skierowane przeciwnie, jednak nie równoważą się, gdyż są przyłożone do różnych ciał. Tarcie statyczne jest wynikiem oddziaływań zachodzących w punktach styku powierzchni dwóch ciał pozostającyh względem siebie w spoczynku, pomimo działania na jedno z nich siły, która chce je przesunąć (siła ta jest równoważona przez siłę tarcia). Maksymalna wartość siły tarcia statycznego równa jest wartości siły F, która ruszy ciało z miejsca. Właściwości tarcia statycznego: Wartość maksymalna tarcia statycznego T Smax nie zależy od pola powierzchni styku Dla danych dwóch powierzchni, wartość T Smax jest wprost proporcjonalna do wartości siły wzajemnego oddziaływania ciała z podłożem, prostopadłej do powierzchni zetknięcia. T Smax = f S F N Współczynnik proporcjonalności f S nosi nazwę współczynnika tarcia statycznego. Zależy on od rodzaju i stopnia nierówności stykających się powierzchni: F AB = F BA f S < 1 Siła tarcia kinetycznego Siła tarcia działająca na ciało bedące w ruchu nazywana jest tarciem kinetycznym. Ma ona zawsze zwrot przeciwny do prędkości ciała. Siła tarcia kinetycznego: nie zależy od prędkości ciała. nie zależy od wielkości powierzchni styku ciała z podłożem

20 jest proporcjonalna do siły naciku F N ciała na podłodze. T = µ F N gdzie mu nosi nazwę współczynnika tarcia.jego wartość zależy rodzaju i stanu trących się powierzchni. ma wartość mniejszą od maksymalnej wartości siły tarcia statycznego T < T Smax P X = P sin α P Y = P cos α m a = m( ia X + ja Y ) = ip X it + jr jp Y { m ia X = ip X it m ja Y = jr jp Y a Y = 0 R = P Y = P cos α T = R µ = P µ cos α m a X = P X T a X = P sin α P cos α m a X = g(sin α µ cos α) Zadanie Wyznaczyć przyspieszenie a układu ciał dla m = m 1 : Zadanie 1 Wyznaczyć przyspieszenie a ciała znajdującego się na równi pochyłej, o kącie nachylenia α. N-siła naciągu nici Układ można przedstawić następująco: i(m 1 + m ) a = im 1 g im g in + in 38 39

21 3.3 Statyka Ciało znajduje się w stanie statycznym, gdy: (m 1 + m ) a = m 1 g m g a = m 1 m m 1 + m g dla m = m 1 : a = g 3 { F = 0 a = 0 M = 0 ɛ = 0 M = r F M = r F sin α Rodzaje stanów satycznych: równowaga trwała (E P min ) równowaga nietrwała (E P max ) równowaga obojętna (E P = const) Rysunek 3.1: Równowaga trwała, nietrwała i obojętna 40 41

22 3.4 Środek masy układu ciał Środek masy układu dwóch ciał Układ ciał jest statyczny zatem: { F = 0 M = 0 { R = m1 g + m g m 1 g d + m g (d + r 1 + r ) R(d + r 1 ) = 0 m 1 g d + m g (d + r 1 + r ) = m 1 g (d + r 1 ) = m g (d + r ) m 1 r = m r { r1 = x S x 1 r = x x S Środek masy układu trzech ciał x S = (m 1 + m ) x S1, + m 3 x3 m 1 + m + m 3 x S = (m 1 + m ) m 1x 1 +m x m 1 +m + m 3 x 3 m 1 + m + m 3 x S = m 1x 1 + m x + m 3 x 3 m 1 + m + m 3 Środek masy układu n ciał: x n = y n = z n = ni=1 m i x i ni=1 m i ni=1 m i y i ni=1 m i ni=1 m i z i ni=1 m i Wektor określający środek masy układu n ciał: m 1 (x S x 1 ) = m (x x S ) m 1 x S m 1 x 1 = m x m x S x S = m 1x1 + m x m 1 + m r S = ix s + jy S + kz S r S = x S + y s + zs cos α = xs r cos β = y S r cos γ = z S r 4 43

23 3.5 Zasada zachowania pędu Pęd ciała równa się iloczynowi jego masy m i prędkości V. p = m V Załóżmy, że ciało o masie m porusza się pod wplywem stałej siły F. Wówczas uzyskuje ono stałe przyspieszenie a. Początkowa prędkość ciała wynosiła V 1, a po czasie t uzyska prędkość V. Zatem: a = v V 1 t a = F m F m = v V 1 t F t = mv mv 1 F t = p Zasada zachowania pędu Całkowity pęd układu odosobnionego (czyli takiego, na który nie działają żadne siły zewnętrzne lub działanie tych sił można zaniedbać) jest stały i nie ulega zmianie podczas dowolnych procesów zachodzących w układzie. Zadanie Z działa, znajdującego się na poruszającej się z prędkością U kładce, wystrzelono z prędkością V pocisk o masie m. Znając kąt nachylenia α działa do kładki oraz masę M działa z kładką, obliczyć prędkość U K, z jaką będzie się poruszać kładka po wystrzeleniu pocisku. Rozważmy dwa poruszające się w jedną stronę ciała: pierwsze o masie m 1 i prędkości U 1, drugie o masie m i prędkości U. Po zderzeniu ciała te uzyskają prędkości V 1 i V. Pęd początkowy układu: P P x = (M + m)u Pęd końcowy układu: P Kx = mv cos α + MU K Z Zasady zachowania pędu: { m1u1 + F t = m 1V1 m U + F 1 t = m V m 1U1 + m U + ( F 1 + F 1 ) = m 1 +V 1 m V F 1 = F P P = P K (M + m)u = mv cos α + MU K U K = MU+m(U V cos α) M m 1U1 + m U = m 1V1 + m V PP = PK 44 45

24 Rozpatrzmy rakietę o masie M, poruszającą się z prędkością V, wyrzucającą gazy z prędkością U. 3.6 Dynamika ruchu jednostajnego po okręgu Ruch jednostajny po okręgu to ruch, w którym wartośc prędkości nie ulega zmianie, a jego torem jest okrąg. Wielkości opisujące ruch jednostajny po okręgu: r - wektor położenia V - wektor prędkości ϕ - zakreślony kąt ( AB r ) T - okres obiegu (czas jedmego okrążenia) f - częstotliwość ( ilość obrotów w jednostce czasu) ω - prędkość kątowa (omega) Pęd początkowy układu: P P = M 0 V Pęd końcowy układu: P K = (M 0 M)(V + V ) + M(V U) Z Zasady zachowania pędu: M 0 V = M 0 V + M 0 V MV M V MU M V 0 M 0 V = MU V = MU M 0 Przechodząc do granicy i uwzględniając fakt, że ubytek masy rakiety powoduje jej wzrost prędkości: dv = U dm M V (M) V 0 dv = U M M 0 V (M) V 0 = U ln M 0 M Wzór Ciołkowskiego: V (M) = V 0 + U ln M 0 M dm M r 1 = r = r V 1 = V = V a = dv dt a = V t = V V 1 t = V + ( V 1 ) t 46 47

25 ABO BCD AB = V r V AB = V t V t r = V V a r = V r r F = m a F r = m v r r Siła dośrodkowa: F r = mv r V t = V r Twierdzenie Steinera Jeżeli oś obrotu przesuniemy rownolegle na odległość d, to moment bezwładności względem nowej osi obrotu wynosi: I A = I 0 + md gdzie I 0 - moment bezwładności względem początkowej osi obrotu 3.7 Moment bezwładności bryły sztywnej Bryła sztywna to ciało, w którym odległość dwóch, dowolnie wybranych punktów, nie ulega zmianie pomimo działających na ciało sił. Moment bezwładności I jest to suma momentów bezwładności punktów materialnych bryły względem osi obrotu. I p.m. = mr gdzie r - odległość od osi obrotu Definicja: I = m i r i I = m 0 dm r Wartości momentów bezwładności dla niektórych brył sztywnych: I walca = 1 mr I kuli = 5 mr 48 49

26 I preta = 1 1 ml I = kmr Zadanie Wyznaczyć moment bezwładności I 0 pręta o masie m i długości l. Twierdzenie o trzech osiach I 0 = k m l Moment bezwładności połówki pręta względem osi O 1 : I 1 = k m ( l ) = K m 8 Korzystając ze wzoru Steinera wyznaczamy moment bezwładności połówki pręta względem osi O: I O = K m l 8 + m ( l 4 ) = K m l 8 + m l 3 I OX = m i y i I OY = m i x i I OZ = m i r i r i = x i + y i I OX + I OY = m i (x i + y i ) = m i r i = I OZ IOX + I OY = I OZ I OX + I OY = I OZ I O = I O kml = ( Kml 8 k = k k = 1 16 k = 1 1 I O = ml 1 + ml 3 ) 50 51

27 Zadanie Wyznaczyć moment bezwładności I Dynamika w układzie nieinercjalnym W układzie nieinercjalnym siły działające na ciało równoważą się. F = 0 I 0 = kma d = 1 3 a 3 Ponieważ każdy z małych trójkątów ma masę m 4, to moment bezwładności pojedynczej figury wynosi k m 4 ( a ). Korzystając ze wzoru Steinera, moment bezwładności trójkątów narożnych względem punktu O wynosi: Układ inercjalny k m 4 (a ) + m 4 d Zatem: I 0 = k m 4 (a ) + 3 (k m 4 a m + 4 d ) kma = kma 16 k = k kma ma 36 4 k = 1 1 I 0 = ma 1 R = mg 5 53

28 T = rµ Zadanie a = T m = gµ Układ nieinercjalny Dane: g, T, α Szukane: l W układzie nieinercjalnym na ciało działa dodatkowo siła bezwładności: F b = m a F b = ma R = mg T = Rµ F b = T ma = mgµ a = gµ F b = m 4Π T r Układ nieinercjalny zatem F = 0 { Fb R X = 0 R Y mg = 0 { Fb = R X mg = R Y R Y = tg α = mgt R X mg4π r r = l sin α l = gt cos α 4Π 54 55

29 3.9 Prawo ruchu obrotowego i zasady dynamiki bryły sztywnej Prawo ruchu obrotowego bryły sztywnej M t = b gdzie b - wektor momentu pędu ( kręt) { b = MC t b = J ω } M C t = I ω ω t = M C I ω t = ɛ II Zasada Dynamiki dla bryły sztywnej M ε = C I gdzie ε - przyspieszenie kątowe S - sprężystość Zadanie F iii = S F i t = p i Prawo ruchu postepowego bryły sztywnej F t = p F i t = m i V i V = ω r F i t = m i r i ω F i t r i = m i ri ω M = F r n n ( M t) = I i ω i=1 i=1 t M C = ω I C I ω = b Znając masy klocków m 1, m, moment bezwładności bloczka I oraz jego promień r, obliczyć przyspieszenie kątowe ε

30 Korzystając z Zasad Dynamiki otrzymujemy następujące zależności: m g N 1 = m a m 1 g + N = m 1 a N 1 r N r = I 0 ε a = εr 3.10 Ruch obrotowy - toczenie się ciał (m g m εr)r (m 1 εr + m 1 g)r = I 0 ε ε(i 0 + m r + m 1 r ) = m gr m 1 gr ε = gr(m m 1 ) r (m 1 + m ) + I 0 chwilowa oś obrotu ciała przechodzi przez punkt A. V 0 = ω r V C = ω r V G = ω (r + l) względem podłoża V A = 0. V A = V B I A = I 0 + mr Na toczenie sie ciała składają się dwa ruchy: obrotowy i postępowy

31 V K = ω (R r) V M = ω x = ω R + r = V N 3.11 Zasada zachowania momentu pędu Jeżeli na układ ciał, mogących obracać się względem wspólnej osi obrotu, nie działa żaden zewnętrzny moment siły, to moment pędu układu jest zachowany. Zadanie Oblicz prędkość ciała w punktach: A, K, L, M, N zaznaczonych na rysunku. M Z = 0 M 1 = M { M1 t = b 1 M t = b ( M 1 + M ) t = b 1 + b b 1 + b = 0 b 1 = b b1k b 1p = b k + b p b1p + b p = b 1k + b k bp = bk Chwilowa oś obrotu przechodzi przez punkt A. V A = 0 V L = ω (R + r) 60 61

32 Zadanie O ile zmieni sie prędkość kątowa ω jeśli masa m przemieści się z punku A, do punku O- przez który przechodzi oś obrotu? Moment bezwładności pręta wynosi I 0, prędkość kątowa przed przemieszzceniem się masy m wynosi ω 1. Zadanie Na obracajacej się z prędkością kątową ω 1 okrągłej platformie stoi człowiek i trzyma w ręce (odchylonej od pionu o kąt ϕ) obracającą się z prędkością kątową ω parasolkę. Zakładając, że M Z = 0, wyznaczyć prędkość kątową ω X w momencie, gdy człowiek przeniesie parasolkę nad głowę.(momenty bezwładności człowieka i parasolki I 1, I są znane). Początkowy moment pędu układu: b p = (I 0 + mr ) ω 1 Końcowy moment pędu układu: b k = I 0 ω Z zasady zachowania momentu pędu: b p = b k (I 0 + mr ) ω 1 = I 0 ω ω = I 0 + mr I 0 ω 1 ω = ω 1 ( I 0 + mr I 0 1) Początkowy moment pędu układu (względem osi OY): b Y P = I 1 ω 1 + I ω cos ϕ Końcowy moment pędu układu: b Y K = (I 1 + I )ω X Z zasady zachowania momentu pędu: b p = b k I 1 ω 1 + I ω cos ϕ = (I 1 + I )ω X ω X = I 1ω 1 + I ω cos ϕ I 1 + I 6 63

33 3.1 Energia kinetyczna bryły sztywnej Energia kinetyczna bryły sztywnej równa się sumie energii kinetycznej ruchu obrotowego bryły względem środka masy i energii kinetycznej ruchu postępowego środka masy. Szukane: ω { V1 = ωr V = ωr E K = mv E KC = mv = m ω r = ω n i=1 m i r i = ω I H R r = h Energia początkowa układu: E P = m 1 gh + m gh E K = I ω I = I 0 + md E K = (I 0 + md )ω = I 0ω + md ω = I 0ω + mv Energia końcowa układu: E K = I 0ω + m 1V1 + m V Z Zasady zachowania energii: + m g(h + h) Zadanie E P = E K m 1 gh + m gh = I 0ω + m 1V1 + m V + m g(h + h) I 0 ω ghr (m 1 gh m ω = = m 1 gh + m gh m 1V1 + m V R m 1V1 +m V ) I 0 m g(h + Hr R ) Dane: m 1, m, g, H, I 0, R, r 64 65

34 Rozdział 4 Praca, moc, energia W - praca W = F r Jednostka pracy: [W ] = N m = J W = F r cos r W > 0 dla α 0 o ; 90 o ) (70 o ; 360 o W < 0 dla α (90 o ; 70 o ) W = 0 dla α {90 o, 70 o } n W C = F i r i cos α i i=1 W i = mg r i cos α i W i = mg r iii n W C = mg W = mgh Dla α = const: W = cos α r iii i=1 n F i r i i=1 n W = F i r iii n W = F iii r i i=1 i=1 n W C = F i r iii i=1 Dla F = const : W = F r cos α 66 67

35 Zadanie Wyznaczyć pracę wykonaną na odcinku x 1 x Zasada zachowania energii Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne, to całkowita energia układu jest stała. Zadanie Z wysokości h puszczamy z pewną prędkością V X kulkę o masie m. Wiedząc, że odbije się ona od ziemi na wysokość 3 h, wyznaczyć prędkość, z jaką kulka została puszczona. F 1 = kx 1 Moc F = kx w = F 1 + F (x x 1 ) = k(x x 1 ) P Sr = W t [P ] = J s = W Energia Energia potencjalna cięzkości jest równa pracy, jaką trzeba wykonać, aby podnieść ciało na pewną wysokość względem wybranego poziomu odniesienia. E P c = mgh gdzie h - wysokość na jakij ciało się znajduje E K = mv gdzie V - prędkość z jaką ciało się porusza Energia początkowa kulki: E pocz = mv + mgh Energia końcowa kulki: E konc = mg 3 h Z zasady zachowania energii: E pocz = E konc mv + mgh = E konc V = gh V = gh 68 69

36 { a = dv dt V = dx dt } a = d dt dx dt = d x dt Rozdział 5 Ruch harmoniczny 5.1 Równania ruchu harmonicznego Ruchem harmonicznym nazywamy taki ruch, który jest wywołany przez siłę F = kx, gdzie x A; A (A - amplituda). d x dt m = kx Główne równanie różniczkowe ruchu harmonicznego d x dt + k m x = 0 x(t) = A sin k m t + ϕ k 0 ω = m x(t) = A sin (ωt + ϕ 0 ) V = dx dt = d k A sin dt m t + ϕ 0 k V = A m cos k m t + ϕ 0 V = A k m cos k m t + ϕ 0 V = Aω cos (ωt + ϕ 0 ) F = m a a = dv dt = d x dt k a = A m k m sin k m t + ϕ

37 a = A k k sin m m t + ϕ 0 F = F 0 sin k m t + ϕ 0 a = Aω sin(ωt + ϕ 0 ) F = F 0 sin(ωt + ϕ 0 ) a = ω x { a = ω x a = F m F = mω x Faza ruchu: k α(t) = m t + ϕ 0 gdzie ϕ 0 - faza poczatkowa α(0) = ϕ 0 F = maω sin(ωt + ϕ 0 ) x(0) = A sin ϕ 0 Zastępcze współczynniki spręzystości dla układów sprężynowych { ω = k m ω = Π T m T = Π k F = k x k F = k A sin m t + ϕ 0 F 0 = k A 7 73

38 { k1 x 1 = m g x 1 = mg k 1 k x = m g x = mg k Zadanie 1 Wyznaczyć okres wahań masy m. x c = x 1 + x gdzie x c - wydłużenie całkowite x c k z = mg gdzie k z - zastępczy współczynnik sprężystości k z = mg x c k z = k z = mg k 1 mg + mg k 1 1 k k k 1 x 1 = mg k x + k 3 x = mg k z (x 1 + x ) = mg x 1 = mg x = mg k 1 k 1 + k mg k z = mg( 1 k k +k 3 ) k z = 1 1 k k +k 3 m T = Π kz masę sprężynek zaniedbujemy F 1 + F = mg F 1 = k 1 x F = k x mg = k z x k 1 x + k x = k z x T = Π m( 1 k k + k 3 ) k z = k 1 + k 74 75

39 Zadanie Wyznaczyć okres drgań rozkołysanej wody w naczyniu (dane: l, h 0, g). Założenie: powierzchnia kołyszącej się wody jest płaska. Środek masy wody z obszaru A przemieścił się w górę: y = 1 3 p = 3 1 (a b) = 1 (a b) 3 oraz w lewo: x = 3 q = 4 3 q = 4 3 l Obliczymy zmianę położenia środka masy wody, wywołaną drganiami: Położenie środka masy trójkąta prostokątnego: Także część wody, która nie zmieniła swojego położenia wpływa na zmianę położenia środka masy całej wody.przesuwa się on proporcjonalnie do tego, jaka część wody uległa przemieszczeniu. Stosunek mas równa się stosunkowi pól: x c = c m c x = S S c x y = m m c y = S S c y Podczas maksymalnego wychylenia woda znajduje się w takim położeniu zględem położenia równowagi, jakby woda z obszarua przemieściła się na obszar B. S = 1 l a b S c = l a + b S S c = = a b 4 l = (a + b)l (a b)l 4(a + b)l = a b 4(a + b) x c = a b 4(a + b) 4 3 l = a b 3(a + b) l y c = a b 4(a + b) 1 (a b) (a b) = 3 1(a + b) 76 77

40 Energia potencjalna wody zwiększyła się: E p = mg y c (a b) E p = mg 1(a + b) E p = mg 1 a + b = h 0 a b = 3(a + b) x c l 9(a + b) l (a + b) x c = 3 mg(a + b) 4 l X c E p = 3 mg 4 l h 0 x c = 1 m3gh 0 l x c Zmiana grawitacyjnej energii potencjalnej ma taką samą postać, jak energia potencjalna drgań harmonicznych: E p = 1 mω x gdzie x - przemieszczenie położenia równowagi Po porównaniu obu wzorów otrzymujemy: ω = 3gh 0 l ω = 3gh 0 T = Π ω T = Πl 3gh0 Zadanie 3 Wyprowadzić wzór na częstotliwość drgań struny. gdzie l - długość struny F 0 - siła napięcia struny Przyjmujemy, że l i F 0 nie ulegają zmianie ( dla x l). Z podobieństwa trójkątów ABC i DEF : 1 F x F 1 0 l F 4F x 0 l Siłą kierująca posiada tą samą wartość co siła F i przeciwny zwrot. Struna będzie wykonywała drgania harmoniczne, gdyż siła jest proporcjonalna do wychylenia i ma przeciwny zwrot niż wychylenie. Równanie ruchu: ma = 4F 0 x l Zatem: a = ω x ω = 4F 0 ml Liniowa gęstość struny: ϱ = m l ω = Πf 4Π f = 4F 0 ϱl f = 1 F0 Πl ϱ Wynik ten jest jednak przybliżony, gdyż struna nie przyjmuje kształtu trójkąta, a przyspieszenie nie jest jendakowe dla każdego elementu struny. Po dokładnej analizie: f = 1 l F0 ϱ dla kolejncych harmonicznych: f n = n F0 l ϱ 78 79

41 5. Energia w ruchu harmonicznym E P max = E C = ka F harmoniczna = kx F zewnetrzna = kx E K = E C E P dw = F Z (x) dx W = W = x 0 x 0 W = k x F Z (x) dx x kx dx = k dx 0 E P pocz = 0 W Z = E konc E C = ka E K = ka kx E K = ka ka sin (ωt) E K = ka (1 sin (ωt)) E K = ka cos (ωt) E K = ω ma E K = mv cos (ωt) V = Aω cos (ωt) E P konc = kx x A; +A 80 81

42 Zadanie Oblicz okres drgań T klocka przedstawionego na rysunku. 5.3 Wahadło matematyczne, stożkowe, fizyczne Wahadło matematyczne Whadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici, wykonujący wahania w płaszczyźnie pionowej. k 1 A = m ef V0 gdzie m ef - masa efektywna m ef = m 0 + I 0 r k ω = m mef T = Π k 1 m 0 + I 0 r T = Π k 1 ω = Π T Założenie: α 0. F Z = F sin α F α α = x l { FZ = F x l F Z = m d x dt } m d x dt = F x l d x dt + F ml x = 0 Równanie ruchu harmonicznego: d x dt + ω x =

43 F ml = ω = 4Π T T = Π ml F F = mg Okres wahań wahadła matematycznego: l T = Π g Wahadło stożkowe Wahadło stożkowe to punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici, wykonujący wahania w płaszczyźnie poziomej. Założenie: α 0. N y = mg N x = m 4Π c T Z podobieństwa trójkątów AEO i OBE: N x N y = x l = x gt l 4Π x = x x l x T = Π g Okres wahań wahadła stożkowego: l T = Π g x l 84 85

44 Wahadło fizyczne Wahadło fizyczne to bryła sztywna wykonująca wahania pod wpływem własnej siły ciężkości mg, względem nieruchomej osi poziomej O zwanej osią wahań wahadła, nie przechodzącej przez jej środek ciężkości. d α dt + d F α = 0 I A Korzystając z równania ruchu harmonicznego: d F I A = ω d F I A = 4Π T T = Π IA mdg Okres wahań wahadła fizycznego: I T = Π 0 + md mdg Założenie: α 0. M = d F M = d F sin α M d F α M = d F α ɛ = M I A ω = d α dt d α dt = d F α I A Długość zredukowana wahadła fizycznego: Jest to długość wahadła matematycznego, które posiada taki sam okres wahań jak wahadło fizyczne. T = Π lzred l zred = I md g I = Π mdg Drgania izochroniczne Są to drgania, których częstości i okresy nie zależą od amplitudy. Przykład drgań izochroniczmncyh stanowią drgania wahadła fizycznego, matematycznego i stożkowego przy małych kątach wychyleń (α 0)

45 Zadanie Wyznaczyć okres wahań wahadła w układzie poruszającym się ruchem zmiennym z przyspieszeniem a (długośc l jest znana). 5.4 Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego z wykorzystaniem wahadła grawitacyjnego F = (ma) + (mg) = m a + g T = Π l N m gdzie N - naprężenie nici w położeniu równowagi F = N l T = Π a + g T = Π I 0 + md 1 + I N m c gd gdzie: I 0 = 5 mr d 1 = l + r I N = m nl 3 m c = m n + m 88 89

46 5.5 Składanie drgań harmonicznych wzajemnie do siebie prostopadłych d = m n l + m(l + r) m n + m T = π 5 mr + m(l + r) m nl m c g mn l +m(l+r) m n+m g[m n, m, l, r, T ] Z tego równania, znając wartości m n, m, l, r, T, możemy wyznaczyć wartośc przyspieszenia ziemskiego g. F x = k 1 x F y = k y { m d x dt + k 1 x = 0 m d y dt + k y = 0 { d x dt + k 1 m x = 0 d y dt + k m y = 0 x = A 1 sin ( k1 m t + ϕ 1) y = A sin ( k m t + ϕ ) { x = A1 sin ω 1 t y = A sin (ω t + ϕ) 90 91

47 Krzywe (figury) Lissajous Są to zamknięte tory punktu A wykonującego jednocześnie drgania harmoniczne w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach. Przykładowe figury Lissajous { x = A1 sin ωt y = A sin (ωt) x = A 1 sin (ωt) y = A cos (ωt) x A 1 x A 1 = sin (ωt) + y A y A = 1 ELIP SA = cos (ωt) x y = A 1 A y = x A A 1 tg α = A A 1 gdy A 1 = A wówczas powstaje OKRĄG o promieniu A: x + y = A 9 93

48 { x = A sin(ωt o ) y = A sin(ωt) { x = A sin ωt y = A sin 3 4 ωt 94 95

49 5.6 Drgania tłumione, drgania wymuszone m d x dt + r dx dt + kx = 0 Równanie różniczkowe drgań tłumionych: d x dt + r dx m dt + k m x = 0 Rozwiązanie rónania: x = A 0 e r m t sin(ωt + ϕ 0 ) e, 718 ω = ω0 ( r m ) ω 0 r m Drgania tłumione gdzie η - współczynnik lepkości dynamicznej Siła Stokesa: F 0 = 6ΠηhV F 0 = r V r = 6Πηh dla niewielkich prędkości V. m a = kx rv A n A n+1 = δ = ln r A 0e m t A 0 e r m t+t = e r A n A n+1 = r m T m T gdzie δ - logarytmiczny dekryment tłumienia β = r m gdzie β - współczynnik tłumienia δ = β T 96 97

50 Drgania wymuszone A = f(ω, F 0, ω) ma = kx rv + F z (Ω) gdzie Ω - regulowana częstotliwość generatora m d x dt + kx + rv = F 0sin(Ωt) d x dt + r dx m dt + k m x = F 0 m sin(ωt) Równanie różniczkowe drgań wymuszonych: d x dx + β dt dt + ω 0x = a 0 sin(ωt) Rozwiązanie równania: x = A sin(ωt + ϕ 0 ) Częstotliwość drgań ciała jest równa częstotliwości zmian siły wymuszającej drgania. 98 gdy: Ω rez = ω 0 β β = 0 Ω rez = ω 0 A β > ω0 nie ma rezonansu 99

51 Fale spójne to fale, posiadające jednakową amplitudę i identyczne częstotliwości drgań. Są one wysyłane ze źródła koherentnego. Rozdział 6 Równanie fali: Ruch falowy 6.1 Podstawowe pojęcia ruchu falowego, równanie fali Podstawowe pojęcia ruchu falowego: Fale dzielimy na podłużne i poprzeczne: W falach poprzecznych drgania odbywają się w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. W falach podłużnych kierunek drgań jest zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali. Długością fali λ nazywamy odległość między punktami, które w tej samej chwili czasu różnią się fazą o Π. Powierzchnią falową nazywamy zbiór punktów, posiadających w danej chwili tą samą fazę. Prędkością fazową fali nazywamy prędkość rozchodzenia się fali. Dyfrakcją fali nazywamy ugięcie się fali (na przeszkodzie). y = A sin(ωt) y 1 = A sin(ωt ϕ 0 ) y = A sin(ωt ϕ 0 ) y n = A sin(ωt nϕ 0 ) nϕ 0 nx 0 ϕ x ϕ = kx y = A sin(ωt kx) gdzie (ωt kx) = ϕ - faza fali Interferencją fali nazywamy zjawisko nakładania się fal

52 Fale Równanie fali podłużnej: ( t ε x = ε 0x sin Π T λ) x gdzie ε x - odchylenie z położenia równowagi w kierunku x. 6. Prędkość w ruchu falowym V y = δ y δ t V y = δ δt [ ( Πt A sin T Πx )] λ ) V y = A Π ( t T cos Π T x λ gdzie A Π T - największa wartość prędkości y(x 1 ) = y(x ) y(x 1 = A sin(ωt kx 1 ) y(x ) = A sin(ωt kx ) (ωt kx 1 ) (ωt kx ) = Π k(x x 1 ) = Π x x 1 = λ kλ = Π ω = Π T ( ) Π y = A sin T t Π λ x Równanie fali poprzecznej: [ ( t y = A sin Π T λ)] x gdzie: Π( t T x λ ) = ϕ 0 = const - faza fali y - wychylenie cząstki z położenia równowagi 10 a = δv δt = δ y δt = A ( Π T ( a = 4Π t T A sin Π T x ) λ ( δy t δx = AΠ λ cos Π T x ) λ δ y δx = +/ A ( Π λ δ y δt δ y δx = λ T λ = V T δ y δt = V δ y δx Postać ogólna równania fali: δ y δt V δ y δx = 0 ) ( t sin Π T λ) x ) ( t sin Π T λ) x 103

53 6.3 Prawo załamania i odbicia fali Prawo załamania fali (II Prawo Snelliusa) Kąt padania fali jest związany z kątem załamania następującą zależnością: sin α sin β = V 1 V i leżą one w tej samej płaszczyźnie. λ AB = sin β λ 1 = sin α λ sin β = V 1T V T sin α = sin β = const V 1 V Dowód na zasadzie najkrótszego czasu (Fermata): Dowód falowy Każdy punkt ośrodka, do którego dociera fala, staje się źródłem nowej fali. punkty B i D są to punkty o tych samych fazach, stanowiące czoło nowej fali. BC = λ 1 t = x + h 1 (l x) + h + V 1 V Aby czas był najkrótszy, to dt dx = 0. dt dx = x (l x)( 1) + V 1 x + h 1 V (l x) + h V AD = λ λ 1 AB = sin α x V 1 x + h 1 = (l x) V (l x) + h V

54 sin α = sin β V 1 V sin α sin β = V 1 V 6.4 Interferencja fal, fala stojąca Interferencja fal Prawo odbicia fali (I Prawo Snelliusa) Kąt padania fali jest równy kątowi odbicia i leży w tej samej płaszczyźnie. α = β Źródła Z 1 i Z są źródłami koherentnymi. y 1 = A sin Π( t T x 1 λ ) Dowód na zasadzie najkrótszego czasu (Fermata): h + x + h + (l x) t = Aby czas był najkrótszy, to dt dx = 0. V dt dx = 1 V ( x (l x)( 1) + h + x h + (l x) ) x h + x = sin α = sin β α = β l x h + (l x) 106 y = A sin Π( t T x λ ) Z Zasady Superpozycji: y = y 1 + y y = A sin Π( t T x 1 λ + t T x λ ) cos Π( t T x 1 λ t T + x λ ) x 1 + x = ˆx gdzie ˆx - x średnie x x 1 = x y = A cos(π x λ ) sin Π( t T ˆx λ ) 107

55 Interferujące ze sobą dwie fale spójne dają nową falę o równaniu: y = B( x) sin Π( t T ˆx λ ) gdzie B( x) = A cos(π x λ ) - nowa amplituda fali W zależności od x możemy zaobserwować: wzmocnienie fali: B max = A gdy cos Π x λ = +/ 1 = kπ Π x λ x = kλ wygaszenie fali: B min = 0 gdy cos Π x λ = 0 = Π + kπ Π x λ x = λ (k + 1) Fala stojąca Fala stojąca powstaje poprzez interferencję fal spójnych, biegnących w przeciwne strony. Fale spójne, biegnące w przeciwne stron, można uzyskać poprzez odbicie. Fala, odbijając się od ośrodka bardziej sprężystego niż ten, w którym się rozchodzi, zmienia przy odbiciu fazę na przeciwną. y = A sin Π( t T x λ + t T + x λ ) cos Π( t T x λ t T x λ ) y = A cos( Πx λ ) sin(π t T ) Równanie fali stojącej: y = B(x) sin(ωt) Drgania fali stojącej danego punktu są więc drganiami harmonicznymi, a co za tym idzie energia tych drgań jest stała. B(x) = 0 cos Πx λ = 0 Πx λ = kπ + Π x = λ ( 1 + k) - węzły x w = λ 4, 3 4 λ, 5 4 λ... B(x) = A cos Πx Πx λ λ = +/ 1 = kπ x = λ k - strzałki x s = 0, λ, λ, 3 λ... y 1 = A sin Π( t T x λ ) y = A sin Π( t T + x λ ) y = y 1 + y

56 6.5 Polaryzacja fal, prawo Brewstera Falą niespolaryzowaną nazywamy falę, w której drgania występują we wszytkich możliwych płaszczyznach, prostopadłych do kierunku rozchodzenia się fali. Falą spolaryzowaną liniowo nazywamy falę, w której drgania wystepują w tylko jednej płaszczyźnie. Polaryzator to urządzenie, przekształcające falę niespolaryzowaną w falę spolaryzowaną. Prawo załamania dla światła: n sin α = const sin αn 1 = sin βn β = 90 o α sin β = cos α Ponieważ nie można spolaryzować fali podłużnej, zjawisko to pozwala odróżnić fale poprzeczne od podłużnych. n 1 sin α = n cos α tg α = n = n 1 n 1 Pierwszej polaryzacji światła (fali poprzecznej) dokonał Brewster. Prawo Brewstera Światło odbite jest całkowicie spolaryzowane liniowo, jeśli kąt padania α = α Br spełnia warunek: tg α = n 1, gdzie n 1 jest względnym współczynnikiem załamania ośrodka, na granicy którego zachodzi odbicie światła. Kąt α Br nazywamy kątem Brewstera. Jeśli α = α Br, to promienie odbity i załamany są do siebie prostopadłe

57 m 1 U 1 + m U = m 1 V 1 + m V m 1 (U 1 V 1 ) = m (V U ) Początkowa energia układu: Rozdział 7 Zderzenia 7.1 Zderzenia doskonale sprężyste Zderzenie to silne, krótkowałe, wzajemne oddziaływanie dwóch ciał, przy ich zetknięciu ze sobą, w wyniku czego doznają zmiany prędkości. Ukłąd zderzających się ciał można uznać za ukłąd zamknięty, w którym spełniona jest zasada zachowania pędu. Zderzenia doskonale sprężyste centralne E pocz = m 1U 1 + m U Końcowa energia układu: E konc = m 1V1 + m V Z zasady zachowania energii: E pocz = E konc m 1 U 1 + m U = m 1V1 + m V m 1 (U 1 V 1 )(U 1 + V 1 ) = m (V U )(V + U ) Mamy zatem: m (V U )(U 1 + V 1 ) = m (V U )(U + V ) U 1 + V 1 = U + V V 1 = U + V U 1 m 1 U 1 + m U = m 1 U + m 1 V m 1 U 1 + m V Pęd początkowy układu: p pocz = m 1 U 1 + m U Pęd końcowy układu: m 1 U 1 + U (m m 1 ) = V (m 1 + m ) V = m 1U 1 +U (m m 1 ) m 1 +m V 1 = m U +U 1 (m 1 m ) m 1 +m Jeżeli m 1 = m to V 1 = U i V = U 1. Jeżeli m m 1 to V U i V 1 U U 1. p kon = m 1 V 1 + m V Z zasady zachowania pędu: p pocz = p konc

58 Zderzenia doskonale sprężyste skośne 7. Zderzenia niesprężyste, sprężyste skośne Pęd początkowy układu: p pocz = m 1 U 1 + m U Pęd końcowy układu: p konc = (m 1 + m )V Z zasady zachowania pędu: W kierunku y nie występuje oddziaływanie pomiędzy kuleczkami: F y = 0 V 1y = U 1 cos α V y = U cos β W kierunku x, ponieważ jest to zderzenie doskonale sprężyste, otrzymujemy: U 1 sin α + V 1x = U sin β + V x Z zasady zachowania pędu: m 1 U 1 sin α + m U sin β = m 1 V 1x + m V x p pocz = p konc m 1 U 1 + m U = (m 1 + m )V V = m 1U 1 + m U m 1 + m Równanie energii: m 1 U 1 + m U = (m 1 + m )V + Q Następnie z równań tych wyliczamy V 1x i V x V 1 = V = V1y + V 1x Vy + V x Zadanie Kulka o masie m 1 porusza się z prędkością V w stronę spoczywajacej kulki o masie m. Wiedząc, że nastąpi zderzenie niesprężyste, wyznaczyć ciepło Q, wydzielone podczas zderzenia

59 Rozdział 8 Termodynamika Pęd początkowy układu: p pocz = m 1 V Pęd końcowy układu: p konc = (m 1 + m )U Z zasady zachowania pędu: p pocz = p konc m 1 V = (m 1 + m )U U = m 1V m 1 + m Energia początkowa układu: E pocz = m 1V Energia końcowa układu: E konc = (m 1 + m )U = (m 1 + m )m 1 V (m 1 + m ) = m 1 V (m 1 + m ) 8.1 Wiadomości wstępne Układem termodynamicznym nazywamy odizolowany energetycznie od otoczenia zbiór ciał i cząsteczek, oddziaływujących za sobą. Jednoznacznymi funkcjami stanu układu termodynamicznego są: energia wewnętrzna i entropia. Energią wewnętrzną układu nazywamy sumę energii kinetycznej oraz energii wzajemnych oddziaływań cząsteczek układu. Parametrami układu termodynamicznego są: ciśnienie, temperatura i gęstość. Jeżeli w każdym miejscu układu występuje takie samo ciśnienie, temperatura i gęstość, to układ ten znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej. Czas, po jakim układ termodynamiczny osiąga stan równowagi termodynamicznej, nazywamy czasem relaksacji. E pocz = E konc + Q Q = m 1V m 1 V (m 1 + m ) Q = m 1V m 1 (1 ) m 1 + m 116 ni=1 E ki = n Êk T = Êk 0K = 73, 16 o C 117

60 8. Podstawowy wzór kinetycznej teorii gazu doskonałego Gaz doskonały dla gazów: Ê k = 3 kt Ciepłem nazywamy energię, która przepływa z jednego ciała do drugiego w wyniku różnicy temperatur. Q = U gdzie ˆV - średnia prędkość kwadratowa E c = E i T 1 > T Eˆ k1 > E ˆ k ˆV 1 > ˆV E ni=1 c n = E E i sr = n m ˆV ni=1 mvi = ni=1 ˆV Vi = n ni=1 V ˆV i = n

61 p = 3 ne k a 3 a 3 = V p = 3 ne k V N V = l koncentacja Ê k = 3 kt gdzie k = R N A = 1, J deg - stała Boltzmana p = 3 l 3 kt p = lkt p = m ˆV m ˆV p m ˆV p = F t F = m ˆV t m ˆV F a = t gdzie F a - siła akcji F a = N 6 Nm ˆV F a = 6a F a = 3 ne k a p = F S = F a m ˆV t 1 t 1 = aˆv 10 p lt p = N V p = nrt V R N A T n = N N A Równanie Clapeyrona (dla gazu doskonałego): pv = nrt gdzie: p - ciśnienie V - prędkość n - liczba moli R - stała gazowa (R = 8, 31b T - temperatura J mol K ) Równanie Van der Waalsa dla gazu rzeczywistego: ( p + a ) V (V b) = RT gdzie: a V - dodatkowe ciśnienie (wzajemne zderzanie) b - stała dla danego gazu (b = 4V 0 i V 0 - objętość własna cząsteczki) 11

62 8.3 Przemiany gazowe Przemiana izotermiczna T = const Przemiana izobaryczna p = const pv = nrt pv = nrt p = const nr p = const V T = const V T T = const nrt = const pv = const p 1 V tg α = V T = nr T Przemiana izochoryczna V = const p 1 V 1 = p V Przy sprężaniu powietrza wydziela się ciepło, zatem, aby uzyskać przemianę izotermiczną, należy sprężać nieskończenie długo, w zbiornikach o doskonałej przewodności cieplnej. pv = nrt V = const nr V = const p T = const p T 1 13

63 Przemiana adiabatyczna Q = 0 Przemiana adiabatyczna to taka przemiana, w której nie zachodzi wymiana ciepła z otoczeniem. pv κ = const Równania adiabaty: 8.4 Praca i I zasada termodynamiki w przemianach gazowych dw = F d r = F dr cos α F = ps dw = ps dx pv κ = const T V κ 1 = const T κ = const pκ 1 W = x x 1 psdx 1.Przemiana izotermiczna (T = const) pv = nrt p = nrt V W g = p dv W g = V V 1 nrt V dv = nrt V V 1 dv V W g = nrt ln V V

64 3.Przemiana izochoryczna (V = const) Nie ma przesunięcia nie ma pracy W g = W z = 0.Przemiana izobaryczna (p = const) W = V V 1 w g = p V = W z x p dv = ps dx = ps (x x 1 ) = p V x 1 4.Przemiana adiabatyczna (Q = 0) W = V V 1 p dv p 0 V κ 0 = pv κ p = p 0 V κ 0 V κ p = A V κ W = V V 1 AV κ dv = A κ 1 W = A ( 1 κ 1 V 1 κ 1 1 V κ 1 ( ) V1 κ+1 V κ+1 ) 16 17

65 I zasada termodynamiki w przemianach gazowych Zmiana energii wewnętrznej układu zamkniętego jest równa sumie pracy wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne i dostarczonego do tego układu ciepła. gdzie C V U = Q + W z U = Q W g U = nc V T - ciepło molowe gazu przy stałej objętości 1.Przemiana izotermiczna T = const U = 0 0 = Q W z Q = W g.przemiana izobaryczna p = const W g = p V U = nc p T p V nc V T = nc p T p V gdzie C p - ciepło molowe przy stałym ciśnieniuu p V = nr T nc V T = nc p T nr T C V = C p R c p c V = C p = κ C V κ = i + i gdzie i - ilść stopni swobody 3.Przemiana izochoryczna V = const W g = 0 U = Q = nc V T 4.Przemiana adiabatyczna Q = 0 U = W g U = nc V T W g = nc V T p 1 V 1 = nrt 1 T 1 = p 1V 1 nr p V = nrt T = p V nr T = p V p 1 V 1 nr p 1 V κ 1 = p V κ p = p 1 ( V1 T = p 1V p 1 V 1 U = nc V nr U = p 1V 1 κ 1 ( ) κ V1 V p1 V 1 nr (( V1 V ) κ = p 1V 1 nr κ 1 ) ) 1 V [ (V1 ) κ 1 1] V (( V1 V κ 1 ) 1 ) R = C p C V κ = C p C V c V = c p R µ 18 19

66 Zadanie Pompa rozrzedzająca 8.5 Silnik Carnota Założenie: T = const Z równania Clapeyrona: { p0 V 0 = nrt p 1 (V 0 + V ) = nrt } p 1 = p 0V 0 V 0 + V { p1 V 0 = n 1 RT p (V 0 + V ) = n 1 RT } p = p 1V 0 V 0 + V p = p 0V0 (V 0 + V ) p n = p 0V n 0 (V 0 + V ) n T < T 1 T 1 = const T = const

67 3 4 Izotermiczne sprężanie gazu. Q = W 3 = nrt ln V 4 V 3 < Adiabatyczne sprężanie gazu. W 4 = U = nc V (T 1 T ) < 0 W c = W 1 + W + W 3 + W 4 = Q 1 + Q η = W c Q 1 gdzie η - sprawność - stosunek otrzymanej w całym cyklu pracy W do pobranego ciepła Q 1. 1 Izotermiczny proces rozprężania gazu - ilość ciepła pobranego przez cylinder równa się pracy gazu. Q 1 = W 1 = nrt 1 ln V V 1 > 0 3 Adiabatyczny proces rozprężania gazu. W = U = nc V (T T 1 ) > 0 13 η = 1 + Q Q 1 η = 1 + T ln V 4 V 3 T 1 ln V = 1 T ln V3 V 4 T V 1 1 ln V V 1 p 1 V 1 = p V p V κ = p 3V3 κ p 3 V 3 = p 4 V 4 p 4 V4 κ = p 1V1 κ p 1 V 1 p V κ p 3 V 3 p 4 V4 κ = p V p 3 V3 κ p 4 V 4 p 1 V1 κ V 1 V κ V 3 V4 κ = V1 κ V V3 κ V 4 V 3 = V V 4 V 1 η = 1 T 1 T Sprawność silnika Carnota jest sprawnością maksymalną, nieosiągalną. 133

68 8.6 Entropia jako funkcja stanu S - entropia ( miara nieuporządkowania) ds = dq T Entopia układu nie może zmaleć. Entropia wszechświata stale rośnie. Kiedy na śweicie pozostanie jedynie energia cieplna, to entropia osiągnie maksymalną wartość. Średnia temperatura wyniesie wówczas 7K. 1.Entropia w przemianie izotermicznej T = const dq S = T = 1 T dq = Q T 8.7 II zasada termodynamiki Istnieje wiele równoważnych sformułowań II zasady termodynamiki. Oto dwa najcześciej spotykane: 1. Niemożliwy jest taki proces, którego jedynym rezultatem byłoby przekazywanie ciepła od ciała o niższej temperaturze do ciała o wyższej temperaturze.. Niemożliwy jest proces, którego jedynym rezultatem jest zamiana całego otrzymanego od jakiegoś ciała ciepła na równoważną mu pracę. II zasada termodynamiki wskazuje kierunek przemian w przyrodzie. Mówi o tym, że proces zamiany pracy na ciepło jest procesem nieodwracalnym. Zamiana pracy w całości na ciepło jest dopuszczalna (np. w przypadku tarcia) i realnie zachodzi w przyrodzie, tylko gdy proces jest odwracalny, tzn. całkowite zamienienie ciepła na pracę jest niemożliwe. II zasada termodynamiki mówi o niemożliwości zbudowania perpetuum mobile II rodzaju (maszyny cieplnej, która wykonywałaby pracę kosztem jedynie pobranego ciepła). Gdyby skonstruowanie perpetuum mobile II rodzaju było możliwe, to można by praktycznie czerpać nieograniczone ilości energii z otoczenia(np. oceanów i wykonywać kosztem niej pracę)..entropia w przemianie izobarycznej dq = nc p dt ncp dt S = T dt = nc p T = nc p ln T 3.Entropia w przemianie izochorycznej dq = nc V dt ncv dt S = = nc V ln T T T 1 4.Entropia w przemianie adiabatycznej Q = 0 dq = 0 ds = 0 S = const T

69 8.8 Pompa cieplna Q 1 η = = T 1 Q 1 Q T 1 T Założenie: T 1 = 310K T = 73K η = , 5 = 850% 8.9 Silniki cieplne Maszyna parowa η = 10 1% η = Q 1 W gdzie: Q 1 - ciepło pobrane z chłodnicy W - praca prądu η = W Q dost = Q Qdost

70 Równania Clapeyrona dla poszczególnych przemian: Mechanizm działania maszyny parowej: 1 p 1 T 1 = p T 3 V = V 3 T T p 3 V3 κ = p 4 V4 κ 4 5 p 4 = p 5 T 4 T 5 V = V 1 T 5 T 1 Ciepło w poszczególnych przemianach: Q 1 = nc V T 1 Q 3 = nc p T Q 3 4 = 0 Q 4 5 = nc V T 3 Q 5 1 = nc p T 4 U = Q + W Q = W η = nc V (T T 1 ) + nc p (T 3 T ) + nc V (T 5 T 4 ) + nc p (T 1 T 5 ) nc V (T T 1 ) + nc p (T 3 T ) otwarcie Z 1 wyrównanie się ciśnienia w kotle i cylindrze napłynięcie nowej pary do cylindra zamknięcie Z adiabatyczne rozprężanie się pary spadek temperatury, skraplanie się pary otwarcie Z w najwyższym położeniu tłoka całkowite rozprężenie się pary wyrównanie się ciśnienia w cylindrze do ciśnienia atmosferycznego powrót tłoka do położenia początkowego, zamknięcie Z

71 Silnik czterosuwowy wysokoprężny - DIESEL η = 40% Silnik czterosuwowy niskoprężny η 30% 1. Zassanie powietrza (tłok do góry). Adiabatyczne sprężanie powietrza (temperatura powietrza wzrasta, jest większa od temperatury zapłonu oleju) 3. Wtryśnięcie przez pompę wtryskową porcji oleju pod ciśnieniem 130 atmosfer przez maleńki otwór, spalanie oleju bez wybuchy (izobaryczne) 4. adiabatyczne rozprężanie, otwarcie Z, spadek ciśnienia do wartości początkowej, przesunięcie tłoka w pierwotne położenie, wydech spalin na zewnątrz. 1. Zassanie mieszanki paliwowo-powietrznej (tłok do góry, rośnie V ). Sprężanie mieszanki przy zamkniętych Z 1 i Z (rośnie T, kropelki benzyny parują) 3. Wybuch mieszanki spowodowany przez iskrę (gwałtowny wzrost ciśnienia - przemiana izochoryczna) 4. Gwałtowne przesunięcie się tłoka do góry, otwarcie Z przy najwyższym położeniu tłoka (spadek ciśnienia do ciśnienia początkowego), powró tłoka do położenia najniższego, wydech spalin na zewnątrz

72 Silniki turbinowe W silnikach turbinowych strumień sprężonego gazu działa na łopatki wirnika turbiny. W turbinach parowych para sprężana jest w kotle ciśnieniowym, ogrzewanym węglem. W turbinach spalinowych powietrze jest wstępnie ogrzewane za pomocą już rozprężonych, lecz jeszcze gorących gazów spalinowych. Następuje adiabatyczne sprężanie powietrza za pomocą sprężarki (wzrost temperatury). Następnie powietrze tłoczone jest do komory spalania, do której wtryskiwane jest jednocześnie pod ciśnieniem paliwo. Spalanie jest w przybliżeniu izobaryczne. Gazy spalinowe, wyrzucane przez otwór wylotowy, działają na łopatki turbiny i ulegają adiabatycznemu rozprężeniu. Turbina stanowi jednocześnie źródło napędu sprężarki Budowa i zasada działania lodówki sprężarkowej Silniki pulsacyjne i turboodrzutowe W obu rodzajach silników wykorzystywany jest odrzut gazów spalinowych, wyrzucanych z komory spalania przez odpowiednio ukształtowaną dyszę wylotową. W przednije części silnika pulsacyjno-odrzutowego znajduje się dysza o wąskim wylocie, rozszerzająca sie w kierunku komory spalania(oddzialone są zaworami). Prędkość przepływu powietrzawpadającego do dyszy wlotowej maleje wraz ze wzrostem przekroju tej dyszy. Ciśnienie w szerokiej części jest większe niz u wylotu. Dysza wlotowa, zwana dyfuzorem, jest zatem sprężarką. Zawory pomiędzy dyfuzorem a komorą spalania zamykają się w chwili, gdy zaczyna się proces spalania, a otwieraja się, gdy proces się zakończy. W silnikach turboodrzutowych część gazu wylatujacego z komory spalania porusza turbinę napędzającą sprężarkę (turbina jest tu urządzeniem pomocniczym). η = Q 1 W 1. Tłok znajduje się w górnym położeniu, Z 1 otwarty, Z i Z zamknięte.. Tłok porusza się w dół - w lewej części pompy zwiększa się objętość i maleje ciśnienie, freon wrze pod zmniejszonym ciśnieniem, pobiera ciepło ze wszystkiego z czym ma kontakt, pary freonu zostają wciągnięte do cylindra. 3. W najniższym położeniu tłoka otwieta się Z, co powoduje przerwanie procesu wrzenia

73 4. Tłok zaczyna poruszać się w górę przy otwartym Z, freon skrapla się, oddaje ciepło Q. 5. Chwilowe otwarcie Z pozwala na uzupełnienie freonu w wężownicy. 6. Proces powtarza się od początku Zmiany stanu skupienia Ciepło porzebne na stopienie Q = ml gdzie L - ciepło topnienia [ J kg ] Ciepło oddane podczas krzepnięcia Q = m( L) Ciepło potrzebne na wyparowanie Q = mr gdzie R - ciepło parowania [ J kg ] Ciepło oddane podczas skraplania Q = m( R) Ciepło przekazane przez ciało Q = mc T 1. Wzrost temperatury lodu (temperatura początkowa lodu - t P L ). Topnienie Q 1 = m L c L (0 o C t P L ) Q = m L L 3. Wzrost temperatury wody (temperatura końcowa wody - t KW ) Q 3 = m W c W (t KW 0 o C) 4. Spadek temperatury pary (temperatura wrzenia - t W, temperatura początkowa pary - t P P ) 5. Skraplanie Q 4 = m p c p (t W t P P ) Q 5 = m P ( R) 6. Spadek temperatury wody (temperatura końcowa wody - t KW ) Q 6 = m W c W (t KW t W ) 6 Q i = 0 i=

74 8.1 Para nasycona i nienasycona. Punkt potrójny Punkt potrójny W punkcie potrójnym wody lód, ciekła woda i para wodna współistnieją w stanie równowagi termodynamicznej. Para nasycona - jest to para, która istnieje w równowadze termodynamicznej ze swoją cieczą. Para nienasycona - jest to para, której ciśnienie jest niższe od ciśnienia pary nasyconej (także gęstość jest mniejsza). Równowaga termodynamiczna - występuje wówczas, gdy masy jakiejś substancji, istniejącej jednocześnie w dwóch lub trzech stanach skupienia, nie ulegają zmianie. Ciśnienie pary Para nasycona - ciśnienie rośnie wraz z temperaturą, nie zależy od objętości. Para nienasycona - spełnione jest równanie pv = nrt, ciśnienie rośnie niezależnie od temperatury

75 8.13 Wilgotność powietrza Wilgotność bezwzględna - jest to stosunek masy pary wodnej do jej objętości. w b = m P V = d P pv = m µ RT pµ RT = m V = d = w b w w = m P m P nas = d P = p P (T ) (T ) = p P nas(t rosy ) d P nas p P nas p P nas (T ) T rosy = 1 o C T 1 = 5 o C I - ciecz II - para nasycona + ciecz III - para nienasycona IV - gaz Chcąc skroplić gaz, należy obniżyć temperaturę poniżej krytycznej (zmiana ciśnienia i objętości nie umożliwi skroplenia)

76 Sposób na wyznaczenie względnej wilgotności powietrza: 1. Mierzymy T pocz otoczenia.. Wkładamy termometr. 3. Powoli dmuchamy. 4. Temperatura eteru spada. 5. W pewnej chwili odblask się znacznie pogorszy - notujemy T 1,a następnie (dalej dmuchamy) odblask zaniknie - notujemy T. 150

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96