POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MATEMATYKI I NAUK INFORMACYJNYCH PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA MATEMATYKA. Kody doskonałe. Autor:

Transkrypt

1 POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MATEMATYKI I NAUK INFORMACYJNYCH PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA MATEMATYKA Kody doskonałe Autor: Bogumił Buczkowski nr albumu: Promotor: dr inż. Agata Pilitowska Warszawa, grudzień 2009

2 podpis promotora podpis autora

3 Wstęp W obecnych czasach niezwykle istotna rolę odgrywa przesyłanie i przechowywanie informacji. W celu zwiększenia bezpieczeństwa i niezawodności przekazu powszechnie stosuje się różnego rodzaju metody kodowania i szyfrowania. Na przykład do oznaczania produktów wykorzystywane sa kody kreskowe, każda jednostkowa osobę fizyczna możemy rozpoznać po numerze PESEL, zapis na nośnikach danych odbywa się przy użyciu odpowiedniego kodowania. Kody stosuje się powszechnie w telekomunikacji czy podczas łaczności z sondami kosmicznymi. Zastosowanie kodowania w procesie przesyłania informacji umożliwia zwiększenie niezawodności przekazu. Kody korekcyjne sa jedyna metoda poprawienia wierności transmisji tam, gdzie retransmisja błędnego sygnału jest niemożliwa np. w łaczności satelitarnej. W praktyce ważne jest, aby zastosowana metoda kodowania minimalizowała prawdopodobieństwo błędnego przekazu oraz umożliwiała łatwe wykrycie i poprawienie ewentualnych błędów, gdyż często odtworzenie danych w inny sposób jest niemożliwe. Powszechnie stosowane w praktyce sa tzw. kody blokowe, w których słowa kodowe sa ustalonej długości, a zbiór C jest niepustym podzbiorem n-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem GF (q). Mówimy wtedy, że kod jest długości n. Zasadnicza idea kodowania polega na przesyłaniu wraz z wiadomościa pewnej informacji "nadmiarowej", nie wnoszacej nic do treści samej wiadomości. Odebrana, wydłużona w ten sposób wiadomość odwzorowywana jest za pomoca przekształcenia dekodujacego na ciag pierwotnej długości. Podczas analizy informacji zawartych w dodatkowo przesyłanych znakach odbiorca może wykryć, a w niektórych przypad- 1

4 2 kach nawet skorygować powstały na skutek zakłóceń w kanale transmisyjnym bład. W zwiazku z tym kody dzielimy na kody wykrywajace błędy i na kody korygujace błędy. Kody wykrywajace błędy maja, po pierwsze na celu ustalenie czy w otrzymanej wiadomości wystapił bład pojedynczy, ponieważ takie błędy sa najbardziej prawdopodobne. Następnie będa starać się wykrywać błędy podwójne, potrójne i tak dużo jak to będzie możliwe. Natomiast w przypadku kodów korygujacych w procesie dekodowania należy błędy wykryć, zlokalizować a następnie poprawić. Dla wspomnianego na poczatku numeru PESEL w którym ukryta jest informacja o dacie urodzenia, czy płci mamy również na pozycji jedenastej cyfrę kontrolna, która jest obliczana na podstawie pierwszych 10 cyfr. Dzięki temu przy podawaniu naszego numeru PESEL np. w banku operator po wprowadzeniu kodu do komputera widzi czy jest on prawidłowy, ponieważ program może natychmiast zweryfikować wprowadzone cyfry. Podsumowujac jest tu zastosowany kod potrafiacy wykrywać błędy. Praca dotyczy tzw. kodów doskonałych, ich własności oraz pewnych problemów z nimi zwiazanych. Kod C długości n nad ciałem GF (q) nazywamy kodem doskonałym, jeśli wszystkie wektory z przestrzeni GF n (q) zawarte sa w rozłacznych kulach o środkach będacych słowami kodowymi. Istnieje nieskończenie wiele kodów doskonałych korygujacych błędy pojedyncze i tylko dwa (nierównoważne) kody doskonałe korygujace błędy wielokrotne. Praca składa się z 3 części. W pierwszej zostały umieszczone definicje i twierdzenia z zakresu algebry i ogólnej teorii kodów. W drugiej części zdefiniowano kody doskonałe, podano przykłady takich kodów oraz ich najważniejsze własności. Przedstawiono także zwiazki kodów doskonałych z kombinatoryka oraz twierdzenie Lloyd a o istnieniu kodów doskonałych. Ostatni rozdział dotyczy grup permutacji kodów doskonałych. W głównym twierdzeniu (3.3.1) została podana konstrukcja binarnego kodu doskonałego poprawiajacego błędy pojedyncze z trywialna grupa permutacji. Za wkład własny do pracy uważam wybranie i opracowanie z bogatej literatury tych wiadomości i przykładów, które były przydatne w opracowaniu niniejszej pracy. Ponadto oznaczenia, definicje, lematy, twierdzenia i przykłady zostały wprowadzone

5 3 w taki sposób, aby były zgodne z nomenklatura ogólnie przyjęta w teorii kodów. Uzupełniłem również brakujace części niektórych dowodów. W pracy stosuję następujace oznaczenia: M k n - macierz o n wierszach i k kolumnach.

6 Streszczenie Praca dotyczy tzw. kodów doskonałych, ich własności oraz pewnych problemów z nimi zwiazanych. Kod C długości n nad ciałem GF (q) nazywamy kodem doskonałym, jeśli wszystkie wektory z przestrzeni GF n (q) zawarte sa w rozłacznych kulach o środkach będacych słowami kodowymi. Istnieje nieskończenie wiele kodów doskonałych korygujacych błędy pojedyncze i tylko dwa (nierównoważne) kody doskonałe korygujace błędy wielokrotne. Praca składa się z 3 części. W pierwszej zostały umieszczone definicje i twierdzenia z zakresu algebry i ogólnej teorii kodów. W drugiej części zdefiniowano kody doskonałe, podano przykłady takich kodów oraz ich najważniejsze własności. Przedstawiono także zwiazki kodów doskonałych z kombinatoryka oraz twierdzenie Lloyd a o istnieniu kodów doskonałych. Ostatni rozdział dotyczy grup permutacji kodów doskonałych. W głównym twierdzeniu (3.3.1) została podana konstrukcja binarnego kodu doskonałego poprawiajacego błędy pojedyncze z trywialna grupa permutacji.

7 Spis treści 1 Podstawowe definicje i twierdzenia Pojęcia wstępne z algebry Pojęcia wstępne z teorii kodów Przykłady i własności kodów doskonałych Kody Hamming a Kody Goley a Systemy Steinera dla kodów Parametry kodów doskonałych Wielomian Lloyd a Nieliniowy kod Vasil eva Kody doskonałe a grupy permutacji Grupy automorfizmów kodów Kody doskonałe z trywialna grupa permutacji Twierdzenie Heden a

8 Rozdział 1 Podstawowe definicje i twierdzenia 1.1 Pojęcia wstępne z algebry Definicja Niech A będzie zbiorem i n N. Każde przekształcenie f : A n A nazywamy n-argumentowa (n-arna) operacja lub działaniem określonym w zbiorze A. 0-argumentowymi operacjami w A sa wyróżnione elementy zbioru A. Definicja Parę uporzadkowan a A = (A, F ), gdzie A jest zbiorem, a F rodzina operacji w A nazywamy F -algebra abstrakcyjna lub F -algebra lub po prostu algebrą. Zbiór A nazywa się nośnikiem algebry, a zbiór F zbiorem operacji podstawowych. O zbiorze A mówimy również, że określona jest w nim struktura F -algebry. Algebrę (A, ) z jedna binarna operacja nazywamy grupoidem. : A A A, (x, y) x y. Definicja Funkcję a : F N przyporzadkowuj ac a każdej operacji f F liczbę a(f) jej argumentów nazywamy typem algebry A. Jeśli F = {f 1,..., f k }, to piszemy (A, f 1,..., f k ) zamiast (A, F ). Jeśli a(f i ) = n i, to mówimy również, że ciag (n 1,..., n k ) jest typem algebry (A, f 1,..., f k ). Algebry tego samego typu nazywamy algebrami podobnymi. 3

9 4 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE I TWIERDZENIA Definicja Niech (A, F ) będzie algebra ustalonego typu, podzbiór B A nazywamy podalgebrą algebry (A, F ), jeśli B jest zamknięty ze względu na wszystkie operacje należace do F, tzn. dla każdej n-arnej operacji f A, oraz b 1,..., b n B, f(b 1,..., b n ) B. Piszemy wówczas, że B = (B, F ) (A, F ) = A. Definicja Niech (A, F ), (B, F ) będa algebrami podobnymi. Przekształcenie h: A B nazywamy homomorfizmem, jeśli dla każdej n-arnej operacji f F oraz a 1,..., a n A, h(f(a 1,..., a n )) = f(h(a 1 ),..., h(a n )). Jeśli A = B to homomorfizm h nazywamy endomorfizmem. Zbiór wszystkich endomorfizmów algebry (A, F ) oznaczamy End(A, F ). Definicja (A, ) nazywamy półgrupą jeśli dla każdego x, y, z A; (xy)z = x(yz), tzn działanie binarne jest łaczne. Definicja Monoidem nazywamy trójkę (A,, 1), gdzie (A, ) jest półgrupa, a 1 jest elementem neutralnym (jednościa monoidu), tzn. a M, a 1 = 1 a = a. Definicja Algebra (G,, 1, 1) typu (2, 1, 0) jest grupą, jeśli (G, ) jest półgrupa oraz dla każdego x G xx 1 = x 1 x = 1, x1 = 1x = x. Oznaczenia Grupę wszystkich permutacji zbioru n-elementowego będziemy oznaczali S n. Definicja Niech (G,, 1, 1) będzie grupa i X zbiorem. Każdy homomorfizm ϕ : G X! grupy G w grupę X! bijekcji zbioru X na X, nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X. Parę (X, ϕ : G X!) nazywamy G-zbiorem. Działanie ϕ nazywamy wiernym, jeśli ϕ jest zanurzeniem. W tej sytuacji ϕ jest izomorfizmem G na pewna grupę przekształceń zbioru X. Niech H G. Przekształcenia: L : H G!; h (L h : G G, x hx = L h (x)),

10 1.1. POJECIA WSTEPNE Z ALGEBRY 5 R : H G!; h (R h : G G, x xh = R h (x)), sa działaniami grupy H na zbiorze G. W przypadku, gdy H = G, każde z tych działań pokazuje w szczególności prawdziwość następujacego twierdzenia. Twierdzenie (Cayleya) Każda grupa G jest izomorficzna z pewna grupa bijekcji zbioru G. Wniosek Każda grupa rzędu skończonego n zanurza się w grupę wszystkich permutacji zbioru n-elementowego. Definicja Algebra (P, +,, 0, ) typu (2, 1, 0, 2) jest pierścieniem jeśli: 1) (P, +,, 0) grupa przemienna; 2) (P, ) półgrupa; 3) dla każdego x, y, z P x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz. Definicja Pierścień z 1, w którym wszystkie niezerowe elementy tworza grupę względem mnożenia nazywamy pierścieniem z dzieleniem lub quasi-ciałem. Przemienne quasi-ciało nazywamy ciałem. Definicja Niech a, b Z. Relację równoważności a n b n a b, nazywamy relacją przystawania modulo n. Przykład Przykładem skończonego ciała jest: (Z p, + p,, 0, p), gdzie p-liczba pierwsza oraz dla a, b, c Z p a + p b c p a + b a p b c p a b Twierdzenie Każde ciało skończone zawiera p m elementów, dla pewnej liczby pierwszej p i liczby naturalnej m.

11 6 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE I TWIERDZENIA Definicja Ciało skończone zawierajace p m elementów nazywamy ciałem Galois rzędu p m i oznaczamy GF (p m ). Z dokładnościa do izomorfizmu istnieje jedno ciało rzędu p m. Jeśli m = 1, to GF (p) = Z p jest ciałem Galois rzędu p. Lemat Niech r, s N. Wówczas x r 1 x s 1 wtedy i tylko wtedy, gdy r s. Definicja Modułem (M, +,, 0, P ) (prawym) nad pierścieniem P nazywamy grupę przemienna (M, +,, 0) wraz z homomorfizmem pierścieni R : P End(M, +); p (R p : M M; m m p ). W przypadku, gdy P jest ciałem moduł M nazywamy przestrzenia wektorowa nad ciałem P. Twierdzenie Niech (A, F ) będzie algebra oraz dla każdego i I, (B i, F ) jej podalgebrami. Wówczas ( i I B i, F ) jest podalgebra (A, F ) lub. Definicja Najmniejsza podalgebrę algebry (A, F ) zawierajac a zbiór H A nazywamy podalgebrą generowaną przez zbiór (generatorów) H i oznaczamy < H >. Twierdzenie < H >= ( i I {B i B i A, H B i }, F ) Definicja Niech (A i, F ) i I, będzie rodzina algebr podobnych. Iloczynem (lub produktem) algebr (A i, F ) nazywamy algebrę (Π i I A i, F ), gdzie dla każdej operacji f F, powiedzmy k-arnej, i dla a 1,..., a k Π i I A i oraz i I f(a 1,..., a k )(i) := f(a 1 (i),..., a k (i)). Definicja Niech X będzie zbiorem, R ciałem liczb rzeczywistych, a f : X X R funkcja. Jeśli dla dowolnych x, y, z X, f spełnia następujace warunki: 1) f(x, y) x = y 2)f(x, y) = f(y, x) 3)f(x, z) f(x, y) + f(y, z) to f nazywamy metryką lub odległościa w zbiorze X. Parę (X, f) nazywamy przestrzenią metryczną. Definicja Niech (X, f) będzie przestrzenia metryczna, p X, r > 0. Wtedy K(p, r) = {x X : f(p, x) r} nazywamy kulą domknięta o promieniu r i środku w punkcie p.

12 1.2. POJECIA WSTEPNE Z TEORII KODÓW Pojęcia wstępne z teorii kodów Definicja Wagą wt(u) wektora u GF n (q) nazywamy liczbę jego niezerowych współrzędnych. Lemat Niech v, w Z n 2. Wtedy prawdziwy jest wzór: wt(v + w) = wt(v) + wt(w) 2wt(v w). Definicja Odległością Hamminga d(u, v) między wektorami u, v GF n (q) nazywamy liczbę miejsc, na których one się różnia, tzn. d(u, v) = wt(u v). Lemat Powiemy, że wektory u, v GF n (q) sa ortogonalne ozn. (v u) n i=1 v iu i = 0 w ciele GF (q). Lemat Dla u, v Z n 2 v u wt(v u) jest parzysta. Definicja Kodem C długości n N nad ciałem GF (q) nazywamy podzbiór C GF n (q). Elementy zbioru C nazywamy słowami kodowymi. Jeśli GF (q) = Z 2, to kod nazywamy binarnym. Kody C = GF n (q) oraz C = {(0,..., 0)} nazywamy kodami trywialnymi. Przykład Zbiór C = {000, 110, 101, 011} jest przykładem kodu binarnego długości 3. Definicja Niech C i C będzie podzbiorem słów kodowych o wadze i. Niech A i := Ci. Ciag (A 0, A 1,..., A n ) nazywamy rozkładem wagi kodu C. Definicja Odległością kodu C nazywamy d = min{d(u, v) u v C}. Niech v GF n (q) i niech c C będzie słowem kodowym najbliższym (w sensie odległości) do wektora v. Jeśli v C, to c = v. Jeśli v / C, to wektor e := v c nazywamy błędem. Jeżeli po transmisji otrzymany wektor nie jest słowem kodowym to mówimy, że w czasie przesyłania wiadomości zostały popełnione błędy. Jeżeli zastosowana metoda dekodowania pozwala mimo wszystko odtworzyć wysłane słowo kodowe, to mówimy wtedy że kod poprawia błędy. O tym, czy takie błędy można wykryć i ewentualnie poprawić decyduje odległość kodu.

13 8 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE I TWIERDZENIA Twierdzenie Niech C będzie kodem o odległości d. Kod C wykrywa t błędów wtedy i tylko wtedy, gdy t d 1. Twierdzenie Kod C koryguje t błędów wtedy i tylko wtedy, gdy odległość d tego kodu spełnia warunek t (d 1)/2. Twierdzenie (Ograniczenie Hamming a). Niech C będzie kodem długości n o M słowach kodowych nad ciałem GF (q) mogacym poprawić do t błędów. Wtedy M[1 + ( n 1)(q 1) + ( n 2)(q 1) ( n t )(q 1) t ] q n. Dowód. Niech B 1,..., B M będa kulami domkniętymi o promieniu t wokół M słów kodowych. Z założenia odległość d 2t + 1. Zatem takie kule sa parami rozłacz- ne. W każdej kuli jest ( n 1)(q 1) + ( n 2)(q 1) ( n t )(q 1) t wektorów. Wszystkich kul jest M. Stad wszystkich wektorów, które sa zawarte w kulach B 1,..., B M jest M[1 + ( n 1)(q 1) + ( n 2)(q 1) ( n t )(q 1) t ]. Natomiast wszystkich wektorów w przestrzeni n-wymiarowej nad ciałem GF n (q) jest q n. Definicja Dwa kody C 1 i C 2 długości n nad GF (q) sa równoważne, gdy istnieje permutacja π S n taka, że u = (u 1,..., u n ) C 1 (u π(1),..., u π(n) ) C 2. Definicja Kod C nad GF (q) jest (n, k)-kodem liniowym, jeśli C jest k-wymiarowa podprzestrzenia przestrzeni GF n (q). Definicja Niech C będzie (n, k) kodem liniowym. Wówczas różnowartościowe przekształcenie liniowe c: GF k (q) GF n (q) takie, że c(gf k (q)) = C, nazywamy funkcją kodującą kodu C. Przykład (k + 1, k)-kod kontroli parzystości nad ciałem GF (q). Funkcję kodujac a definiujemy następujaco: c: GF k (q) GF k+1 (q); (c 1,..., c k ) (c 1,..., c k, k i=1 c i). Ciag (b 1,..., b k+1 ) jest słowem kodowym k+1 i=1 b i = 0 w ciele GF (q). Ponieważ każde dwa wektory (c 1,..., c k ) (d 1,..., d k ) z przestrzeni GF k (q) różnia się na co najmniej jednym miejscu to k i=1 c i k i=1 d i. Zatem wektory (c 1,..., c k, k i=1 c i) i (d 1,..., d k, k i=1 d i) różnia się na co najmniej dwóch pozycjach. Zatem odległość

14 1.2. POJECIA WSTEPNE Z TEORII KODÓW 9 wynosi d = 2. Wynika stad, iż kod ten pozwala wykryć pojedyncze błędy, ale nie daje możliwości ich poprawienia. Kod z przykładu jest (3, 2)-kodem kontroli parzystości. Przykład (n, 1)-kod powtórzeniowy nad ciałem GF (q). Funkcja kodujaca ma postać c: GF (q) GF n (q); a (a, a,..., a). (b 1,..., b n ) jest słowem kodowym b 1 = b 2 =... = b n. W szczególności binarny (n, 1)-kod powtórzeniowy zawiera tylko dwa słowa kodowe: 0 n := (0,..., 0) Z2 n oraz 1 n := (1,..., 1) Z2 n. Stad odległość d = n, czyli kod wykryje wszystkie n 1 błędów. Ponadto dla n-nieparzystego kod ten poprawia wszystkie n 1 2 błędów. Jeśli w otrzymanym słowie więcej jest zer, to za słowo kodowe przyjmujemy (0,..., 0). W przeciwnym przypadku za słowo kodowe przyjmujemy (1,..., 1). Przykładem kodów liniowych sa kody wielomianowe. Definicja Niech n, k N, p(x) będzie wielomianem stopnia n k o współczynnikach w GF (q). Kodem wielomianowym generowanym przez wielomian p(x) nazywamy (n, k)-kod C, w którym funkcja kodujaca c: GF k (q) GF n (q) określona jest w następujacy sposób: 1) (a 0,..., a k 1 ) GF k (q) m(x) := a 0 + a 1 x a k 1 x k 1 GF (q) 2) tworzymy wielomian x n k m(x), 3) obliczamy resztę r(x) z podzielenia x n k m(x) przez p(x), 4) definiujemy wielomian v(x) = r(x) + x n k m(x) = r 0 + r 1 x r n k 1 x n k 1 + a 0 x n k a k 1 x n 1, 5) wiadomość zakodowana ma postać c(a 0,..., a k 1 ) := (r 0, r 1,..., r n k 1, a 0,..., a k 1 ). Definicja Niech C będzie (n, k)-kodem liniowym nad ciałem GF (q) z funkcja kodujac a c: GF k (q) GF n (q). Macierz G Mn k przekształcenia liniowego c nazywamy macierzą kodująca kod C. Kolumny macierzy G tworza bazę przestrzeni c(gf k (q)). Wektor v GF n (q) jest słowem kodowym jest kombinacja liniowa kolumn macierzy G.

15 10 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE I TWIERDZENIA Definicja Macierzą kontroli parzystości (macierza sprawdzajac a) (n, k)-kodu liniowego C nazywamy macierz H Mn k n taka, że u C HuT jest wektorem zerowym. Wektor Hu T nazywamy syndromem wektora u. Definicja Kodem dualnym do (n, k) kodu liniowego C nazywamy (n, n k) kod liniowy C taki, że C = {u GF n (q) u w, w C}. Twierdzenie Niech C będzie kodem o macierzy generujacej G i macierzy sprawdzajacej H. Wtedy dla kodu dualnego C macierz generujac a ma postać H T, a macierz sprawdzajac a G T. Definicja Jeśli każda para wektorów kodu C jest ortogonalna, tzn. C C, to kod nazywamy słabo samo-dualnym. Ponadto jeśli C = C wtedy kod nazywamy samo-dualnym. Definicja Niech C GF n+1 (q) będzie kodem. Kodem skróconym kodu C nazywamy kod C, którego słowa otrzymujemy z wektorów c C przez usunięcie ostatniej współrzędnej. Definicja Niech C GF n (q) będzie kodem. Kodem rozszerzonym kodu C nazywamy kod: C e := {(c 1,..., c n, n c i ) : (c 1,..., c n ) C}. Dla dowolnego wektora c GF n (q) wprowadźmy następujace oznaczenie: n n c c i := (c 1,..., c n, c i ). i=1 i=1 W szczególności kod rozszerzony liniowego (n, k) kodu C jest (n + 1, k)-kodem. Lemat Niech C będzie kodem binarnym. Jeśli odległość d kodu C jest nieparzysta to odległość kodu C e wynosi d + 1. Dowód. Niech C będzie kodem binarnym o długości n i odległości d = 2t + 1. W C istnieja słowa c 1 i c 2 dla których wt(c 1 c 2 ) = d. Ponieważ liczba d jest nieparzysta, zatem w kodzie rozszerzonym C e słowa n c e 1 := {(c 11,..., c 1n, c 1i ) oraz c e 2 := {(c 21,..., c 2n, i=1 i=1 n c 2i ) i=1

16 1.2. POJECIA WSTEPNE Z TEORII KODÓW 11 różnia się na pierwszych n pozycjach na d miejscach oraz na pozycji n + 1. Zatem odległość kodu C e wynosi d + 1. Definicja Niech, u, v Z n 2. Mówimy, że wektor u pokrywa wektor v, jeżeli współrzędne niezerowe w v sa podzbiorem zbioru wszystkich współrzędnych niezerowych w u. Przykład Niech C będzie kodem binarny o długości n = 3. Rozważmy następujace u, v C: u = (1, 1, 1), v = (1, 1, 0). Współrzędne niezerowe w v sa podzbiorem zbioru współrzędnych niezerowych w u, stad u pokrywa v. W przypadku kodów liniowych, do zakodowania wektora v, możemy wykorzystać macierz kodujac a G, badź macierz sprawdzajac a H. Okazuje się, że macierz H może być również pomocna w procesie dekodowania. W procesie dekodowania, dekoder musi zdecydować na podstawie otrzymanego po transmisji wektora y jakie słowo kodowe v zostało wysłane. Wystarczy, gdy dekoder znajdzie wektor błędu e, gdyż wówczas v = y e. Ponieważ dla (n, k)-kodów liniowych C zbiór słów kodowych tworzy k-wymiarowa podprzestrzeń n-wymiarowej przestrzeni wektorowej GF n (q), wektor y GF n (q) musi należeć do jednej z warstw względem C. Niech y a + C dla pewnego a GF n (q), czyli y = a + u dla u C. Wówczas e = y v = a + u v = a + v a + C. Zatem wektory y i e należa do tych samych warstw względem podprzestrzeni C. Wektor y odkodujemy jako najbliższe mu w sensie odległości słowo kodowe u. Wektor błędu będzie miał wtedy najmniejsza możliwa wagę. Zauważmy, że gdy H jest macierza kontroli parzystości kodu C to Hy = H(v + e) = Hv + He = He, czyli syndrom Hy wektora y jest taki sam jak syndrom He wektora błędu e. Zatem po otrzymaniu słowa y wybieramy wektor błędu e o minimalnej wadze w tej warstwie, do której należy wektor y (tzw. lidera warstwy) i dekodujemy y jako słowo v = y e. Jeśli istnieje więcej niż jeden wektor o minimalnej wadze w danej warstwie, to lidera

17 12 ROZDZIAŁ 1. PODSTAWOWE DEFINICJE I TWIERDZENIA warstwy wybieramy losowo. Jeśli słowo y C ma wagę w, to syndrom Hy jest kombinacja liniowa pewnych w kolumn macierzy H. Jeśli wektor e jest wektorem błędu to syndrom He jest kombinacja liniowa tych kolumn macierzy H, na których został popełniony bład. Jeśli wystapił tylko pojedynczy bład na i-tym miejscu to wektor błędu e = (0,..., b,..., 0) ma wagę 1 i syndrom He jest i-ta kolumna macierzy H pomnożona przez stała b. Gdyby i-ta kolumna macierzy H była zerowa to bład występujacy na i-tej pozycji nie został by wykryty. Ponadto dla kodów binarnych, jeśli dwie kolumny macierzy H byłyby identyczne, to dwa syndromy dla dwóch różnych błędów pojedynczych byłyby takie same. W obu tych przypadkach nie byłoby możliwe poprawienie błędów pojedynczych. Stad macierz kontroli parzystości H dla binarnych kodów wykrywajacych błędy pojedyncze musi mieć kolumny parami różne i niezerowe.

18 Rozdział 2 Przykłady i własności kodów doskonałych Definicja Kod C długości n i odległości d nad ciałem GF (q) nazywamy kodem doskonałym, jeśli wszystkie wektory z przestrzeni GF n (q) zawarte sa w kulach o środkach będacymi słowami kodowymi i promieniu t = [ d 1]. 2 Zauważmy, że jeśli C GF n (q) jest kodem doskonałym o M słowach kodowych to w ograniczeniu Hamming a zachodzi równość: M(1 + (q 1)( n 1) (q 1) t ( n t )) = q n. Przykład Trywialnymi przykładami kodów doskonałych sa: kod zawierajacy jedno słowo kodowe kod będacy cała przestrzenia GF n (q) binarny (n, 1)-kod powtórzeniowy dla n-nieparzystych. Nietrywialnymi i najważniejszymi przykładami kodów doskonałych sa kody Hamming a i kody Goley a. 2.1 Kody Hamming a Kody Hamming a sa ważna rodzina kodów liniowych, doskonałych, poprawiajacych błędy pojedyncze, które sa bardzo łatwe w kodowaniu i dekodowaniu. 13

19 14 ROZDZIAŁ 2. PRZYKŁADY I WŁASNOŚCI KODÓW DOSKONAŁYCH Niech r 1 będzie liczba naturalna większa od zera. Definicja Kolumny macierzy kontrolnej Hr 2 M 2r 1 r (Z 2 ) liniowego binarnego kodu Hamming a H r sa wszystkimi niezerowymi wektorami binarnymi długości r, gdzie i-ta kolumna macierzy Hr 2 jest binarna reprezentacja liczby i. Przyjmujemy, że współrzędne o numerach 2 j, 0 j r 1 sa współrzędnymi kontrolnymi, natomiast pozostałe 2 r 1 r współrzędnych to współrzędne wiadomości. Kod Hamming a H r (q) nad ciałem GF (q), q > 2 ma jako macierz kontroli parzystości macierz H q r M r q r 1 q 1 (GF (q)), której kolumny sa wszystkimi niezerowymi ciagami długości r o elementach w GF (q), których pierwszy niezerowy element jest 1. Przykład W roku 1950 R. Hamming przedstawił binarny kod obecnie zwany (7, 4)-kodem Hamming a. Zgodnie z definicja jego macierz kontroli parzystości H3 2 jest następujaca: H3 2 = Stad macierza generuj ac a tego kodu jest: G = Kody Hamming a wyznaczone sa jednoznacznie, ponadto każdy nietrywialny liniowy kod o parametrach kodu Hamming a jest z nim równoważny. Twierdzenie Niech r N. Każdy binarny (2 r 1, 2 r r 1)-kod liniowy o odległości d = 3 jest równoważny z binarnym kodem Hamming a H r. Dowód. Kolumnami macierzy H3 2 kontroli parzystości Hr 2 kodu binarnego H r sa wszystkie binarne niezerowe ciagi długości r.

20 2.1. KODY HAMMING A 15 Kolumnami macierzy kontroli parzystości H dowolnego (2 r 1, 2 r r 1)-kodu binarnego C sa 2 r 1 wektory długości r. Aby ten kod poprawiał błędy pojedyncze, to: 1) Żadna z kolumn macierzy H nie może być kolumna zerowa (wtedy bład nie mógł by być wykryty, ponieważ syndrom byłby zerowy). 2) Żadne dwie kolumny macierzy H nie moga być równe, ponieważ nie można by wykryć błędów pojedynczych. Zatem macierz H różni się od macierzy kontroli parzystości kodu H r tylko kolejnościa kolumn. Stad kod C jest równoważny z kodem Hamming a H r. Podobnie możemy dowieść, że każdy liniowy (q r 1, q r r 1)-kod doskonały nad ciałem GF (q) jest równoważny z kodem Hamming a H r (q). Twierdzenie Dla każdego niezerowego słowa c H r, wt(c) = 2 r 1. Uwaga Niech H r będzie kodem Hamming a o długości n = 2 r 1. Wtedy wektor 1 n = (1,..., 1) T H r. Dowód. Wektor 1 n jest słowem kodowym jeśli syndrom tego wektora jest zerowy. Stad otrzymujemy następujacy układ równań: h 1, h 1,n 2 0. h r, h r,n 2 0 Powyższe równania sa zawsze spełnione ponieważ waga słów w macierzy generujacej kodu dualnego jest zawsze potęga dwójki na mocy (2.1.4). Uwaga (7, 4)-kod Hamming a, H 3, ma następujacy rozkład wagi: i A i Łatwo zauważyć, że po dodaniu symbolu kontroli parzystości do powyższego kody otrzymamy (8, 4)-kod o następujacym rozkładzie wagi:

21 16 ROZDZIAŁ 2. PRZYKŁADY I WŁASNOŚCI KODÓW DOSKONAŁYCH i A i Waga słów (8, 4)-kodu jest zawsze podzielna przez 4. Twierdzenie Niech H r będzie kodem Hamming a długości n = 2 r 1. Wtedy dla każdego i {1,..., n}: (i + 1)A i+1 + A i + (n i + 1)A i 1 = ( n i ) dla i {1,..., n}. 2.2 Kody Goley a Definicja Kodami Goley a nazywamy następujace 4 kody liniowe: binarny (23, 12) -kod G23 o odległości 7 binarny (24, 12) -kod G24 o odległości 8 ternarny (11, 6) -kod G11 o odległości 5 ternarny (12, 6) -kod G12 o odległości 6 Definicja Kod G24, binarny (24, 12)-kod o odległości 8 jest kodem liniowym o następujacej macierzy generujacej:

22 2.2. KODY GOLEY A Kod G24 ma następujace własności: 1) Waga każdego słowa c G24 jest podzielna przez 4. Dowód. Waga każdej kolumny w macierzy generujacej jest podzielna przez 4. Dowolne słowo c G24 jest kombinacja liniowa kolumn macierzy G24. Na mocy lematu 1.2.2

23 18 ROZDZIAŁ 2. PRZYKŁADY I WŁASNOŚCI KODÓW DOSKONAŁYCH otrzymujemy, że: wt(v + w) = wt(v) + wt(w) 2wt(v w). Dwa pierwsze składniki sa podzielne przez 4. Ponadto kolumny w macierzy G24 sa parami ortogonalne, więc z lematu wt(v w) jest parzysta. Stad waga wszystkich słów jest podzielna przez 4. 2) Kod G24 jest samodualny, tzn. G24 = G24. Dowód. Kolumny macierzy G24 sa parami ortogonalne. Z ortogonalności kolumn wynika, że dla dowolnych słów c 1, c 2 C, c 1 c 2 = 0. Zatem prawdziwa jest implikacja: c C c C, stad kod ten jest słabo-samodualny(c C ). Ponieważ wymiar kodu C wynosi 12 oraz kodu dualnego n k = = 12, to kody C i C maja taki sam wymiar, stad zachodzi równość C = C i otrzymujemy, że kod C jest samodualny. Definicja Kod G23 to skrócony kod G24, powstajacy przez usunięcie ostatniej współrzędnej. Jest to również kod wielomianowy generowany przez: x 11 + x 10 + x 6 + x 5 + x 4 + x Po dodaniu do niego symbolu kontroli parzystości otrzymujemy kod G24. Jak się później przekonamy jest to jedyny binarny kod doskonały poprawiajacy błędy wielokrotne (potrójne). Lemat Kod G23 ma następujacy rozkład wagi: i 0 7/16 8/15 11/12 23 A i Dowód. Niech dla i = 1,..., 23, A i oznacza liczbę słów kodowych c G23 wagi i. Kod G23 jest kodem liniowym, zatem wektor zerowy jest słowem kodowym, co oznacza, że A 0 = 1. Dla i = 1, 2,..., 6 A i = 0, ponieważ odległość kodu d = 7 zatem nie ma słów kodowych

24 2.2. KODY GOLEY A 19 o wadze 6. Niech x Z 23 2 będzie wektorem wagi 4. Ponieważ kod G23 jest kodem doskonałym, istnieje słowo u G23, wagi wt(u) = 7, dla którego d(u, x) 3. Odległość d(u, x) = wt(u x) 3, stad liczba wektorów x Z2 23 wagi 4 takich, że d(u, x) = 3, równa jest ( 7 3). Ponieważ liczba wszystkich binarnych wektorów długości 23 i wagi 4 równa jest ( 23 4 ), otrzymujemy: ( 23 4 ) = A 7 ( 7 3) A 7 = 253. Niech x Z 23 2 będzie wektorem wagi 5. Ponieważ kod G23 jest kodem doskonałym, istnieje słowo u G23, wagi wt(u) = 8, dla którego d(u, x) 3 lub słowo v G23 wagi wt(v) = 7 dla którego d(v, x) 2. Liczba wektorów x Z 23 2 wagi 5 takich, że d(u, x) = 3, równa jest ( 8 3). Natomiast liczba wektorów x Z 23 2 wagi 5 takich, że d(v, x) = 2, równa jest ( 7 2). Ponieważ liczba wszystkich binarnych wektorów długości 23 i wagi 5 równa jest ( 23 5 ), otrzymujemy: Podobnie dla i = 9, otrzymujmy: ( 23 5 ) = A 8 ( 8 3) + A 7 ( 7 2) A 8 = 506. ( 23 6 ) = A 9 ( 9 3) + A 8 ( 8 2) + A 7 (( 7 1) + ( 7 2)( 16 1 )) A 9 = 0. Stosujac analogiczne rozumowanie A 11 =1288=A 12, A 15 =A 8, A 16 =A 7 i A 23 = 1, a pozostałe A i równe sa 0. Wniosek Niech i oznacza wagę słowa, a A i liczbę słów o wadze i. Kod G24 ma następujacy rozkład wagi: i A i Dowód. Słowa kodowe w binarnym kodzie rozszerzonym sa zawsze wagi parzystej. Niech c G23 będzie słowem o parzystej wadze wt(c) = i. Wtedy odpowiadajace mu słowo c e G24 również ma wagę i. Jeśli natomiast waga słowa c jest nieparzysta, to waga słowa c e G24 wynosi i + 1.

25 20 ROZDZIAŁ 2. PRZYKŁADY I WŁASNOŚCI KODÓW DOSKONAŁYCH Definicja Kod Goley a G11 jest ternarnym kodem wielomianowym generowanym przez wielomian x 5 + x 4 + 2x 3 + x Z 3 [x]. Jest to kod poprawiajacy błędy podwójne. Definicja Kod Goley a G12 to kod rozszerzony kodu G11. Podobnie jak kod G24, kod G12 jest samo-dualny, a wszystkie jego słowa maja wagę podzielna przez 3. Twierdzenie Kody Goley a sa jednoznaczne w tym sensie, że każdy kod o parametrach kodów G11, G12, G23 lub G24 jest równoważny z jednym z nich. 2.3 Systemy Steinera dla kodów Kody doskonałe maja ciekawe zwiazki z kombinatoryka. Definicja Niech C będzie kodem długości n. Powiemy, ze wektory o wadze w kodu C tworza system Steiner a S(a, w, n), jeśli każdy zbiór a współrzędnych występuje jako niezerowa pozycja dokładnie w jednym słowie kodowym wagi w. Bezpośrednio z definicji kodów doskonałych wynika następujace twierdzenie. Twierdzenie Niech C będzie kodem doskonały długości n i odległości d = 2t + 1. Wówczas słowa kodowe o wadze 2t + 1 tworza system Steiner a S(t + 1, 2t + 1, n). Wniosek Niech C będzie kodem doskonały długości n zawierajacym wektor 0 n i odległości d = 2t + 2. Wówczas słowa kodowe o wadze 2t + 2 tworza system Steiner a S(t + 2, 2t + 2, n + 1). Dowód. Niech C będzie binarnym kodem doskonałym długości n i odległości d = 2t+1 zawierajacym wektor 0 n. Zauważmy, że wówczas dla każdego słowa c C wt(c) = d(c, 0 n ) d = 2t + 1. Pokażemy, że słowa kodu rozszerzonego C e tworza system Steiner a S(t + 2, 2t + 2, n + 1). To oznacza, że wybór dowolnych t + 2 niezerowych współrzędnych jednoznacznie wyznacza słowo kodowe kodu C e wagi 2t + 2. Po pierwsze zauważmy, że jeśli dwa wektory u, v C e maja wagę równa 2t + 2 oraz 1

26 2.3. SYSTEMY STEINERA DLA KODÓW 21 dokładnie na tych samych t + 2 pozycjach to sa wyznaczone jednoznacznie. Przypuśćmy, że u v, wtedy d(u, v) = 2t, co jest sprzeczne z założeniem, że odległość kodu C e na mocy lematu wynosi 2t + 2. Niech teraz v = (v 1, v 2,..., v n, v n+1 ) C e, dla którego v i1 =... = v it = v it+1 = v it+2 = 1. Rozważmy dwa przypadki: 1) i t+2 < n + 1 oraz 2) i t+2 = n + 1. Przypadek 1. Jeśli i t+2 < n + 1 to v n+1 = 0. Niech u := (v 1,..., v n ) Z n 2, wt(u) = t + 2. Kod C jest doskonały, zatem istnieje słowo kodowe c C takie, że d(u, c) t oraz wt(c) 2t + 1. Wtedy wektory u i c moga się różnić na t 1 pozycjach lub t pozycjach. Jeśli d(u, c) = t 1, to wt(c) = 2t + 1. Wówczas szukanym słowem jest u e := c 1 C e. Jeśli d(u, c) = t, to wt(c) = 2t + 2. Wówczas u e := c 0 C e. Przypadek 2. Jeśli i t+2 = n + 1 to v n+1 = 1. Ponownie niech u := (v 1,..., v n ) Z n 2, ale tym razem wt(u) = t + 1. Wtedy istnieje c C taki, że wt(c) = 2t + 1 oraz d(u, c) = t. Stad szukanym słowem jest c e := c 1 = (c 1,..., c n, 1). Pokazaliśmy, że słowa kodowe o wadze 2t + 2 rozszerzonego kodu C e tworza system Steinera S(t + 2, 2t + 2, n + 1). Wniosek Niech H r będzie kodem Hamming a. Wtedy słowa kodowe wagi 4 z H e r tworza system Steiner a S(3, 4, 2 r ), jednocześnie słowa kodowe o wadze 3 z H r tworza system Steiner a S(2, 3, 2 r 1). Wniosek Słowa wagi 8 kodu G24 tworza system Steiner a S(5, 8, 24). Słowa wagi 7 kodu G23 tworza system Steiner a S(4, 7, 23). Słowa wagi 6 kodu G12 tworza system Steiner a S(5, 6, 12). Słowa wagi 5 kodu G11 tworza system Steiner a S(4, 5, 11).

27 22 ROZDZIAŁ 2. PRZYKŁADY I WŁASNOŚCI KODÓW DOSKONAŁYCH 2.4 Parametry kodów doskonałych Lemat Niech C będzie kodem doskonałym długości n, nad ciałem GF (q). Wtedy liczba jego elementów musi być potęga liczby q i zachodzi równość: t (q 1) i ( n i ) = q l, dla pewnego l N i=0 Dowód. Niech q = p r, dla pewnej liczby pierwszej p oraz r Z +. Dla kodu doskonałego nad ciałem GF (q), długości n i liczbie elementów M mamy: M(1 + (q 1)( n 1) (q 1) t ( n t )) = p rn, czyli M p rn M = p j. Stad 1 + (q 1)( n 1) (q 1) t ( n t ) = p rn j q 1 p rn j 1, ale q = p r oraz z lematu 1.1 wynika, że r (rn j) r j j = r l dla pewnego l N. Ostatecznie M = p r l = q l. Okazuje się, że czwórek liczb M, n, q i t, dla których w ograniczeniu Hamming a występuje równość jest mało. Poniższe przykłady ilustruja jakie moga być parametry kodów doskonałych. Przykład Niech t = 1 i q = 2. Na mocy lematu liczba słów kodowych binarnego kodu doskonałego równa jest 2 k, dla pewnego k N. W tym przypadku ograniczenie Hamming a przyjmuje postać: 2 k (1 + ( n 1)) = 2 k (1 + n) = 2 n n = 2 n k 1. Przyjmujac r = n k otrzymujemy, że każdy binarny kod doskonały o odległości d = 3 ma długość n = 2 n k 1 = 2 r 1. W szczególności każdy binarny doskonały kod liniowy poprawiajacy błędy pojedyncze ma wymiar k = 2 r r 1. Zatem każdy taki kod ma parametry równe parametrom binarnych kodów Hamming a H r. Przykład Niech t = 2 i q = 2. Korzystajac z lematu ograniczenie Hamming a przyjmuje postać: 1 + ( n 1) + ( n 2) = 1 + n + n2 n 2 = 2 n k, dla pewnych n, k N. Dla n = 5 oraz k = 1 otrzymujemy parametry (5, 1)-kodu powtórzeniowego. Następna para liczb dla których w ograniczeniu Hamming a zachodzi równość jest n = 90 oraz k = 78. W twierdzeniu pokażemy, że nie istnieje żaden binarny kod doskonały o takich parametrach.

28 2.5. WIELOMIAN LLOYD A 23 Przykład Niech t = 3 i q = 2. Korzystajac z lematu ograniczenie Hamming a przyjmuje postać: 1 + ( n 1) + ( n 2) + ( n 3) = 2 n k, dla pewnych n, k N. Dla n = 23 i k = 12 otrzymujemy parametry binarnego kodu Goley a G23. Przykład Niech t = 1 i q > 2. Wtedy ograniczenie Hamming a przyjmuje postać: 1 + (q 1)( n 1) = q n k n = (q n k 1)/(q 1), dla pewnych n, k N. Niech t = 2 i q = 3. Wtedy ograniczenie Hamming a przyjmuje postać: 1 + 2( n 1) + 4( n 2) = 3 n k. Równość jest spełniona dla n = 11 oraz k = 6, które sa parametrami kodu Goley a G Wielomian Lloyd a Istnienie kodów doskonałych jest ściśle zwiazane z istnieniem całkowitych rozwiazań pewnego wielomianu. Definicja Niech x R, n 0 będzie liczba całkowita i niech q = p m dla dodatniej liczby pierwszej p. Dla każdego k = 0, 1,..., n wielomianem Lloyd a nazywamy: L k (x) := k j=0 Twierdzenie Twierdzenie (Lloyd a) ( 1) j (q 1) k j ( x 1 j )( n x k j ), gdzie x(x 1)... (x m+1) m Z, m > 0, m! ( x m) := 1 dla m = 0, 0 wpp. Niech C będzie nietrywialnym kodem doskonałym długości n o M słowach kodowych i odległości 2t+1 nad ciałem GF (q). Wówczas wielomian Lloyd a L t (x) ma t pierwiastków całkowitych spełniajacych warunek: 0 < δ 1 <... < δ t < n. Lemat Niech C będzie nietrywialnym kodem doskonałym długości n i odległości 2t+1 nad ciałem GF (q). Wtedy L t (0) = q l, dla pewnego l N oraz L t (1) 0 i L t (2) 0.

29 24 ROZDZIAŁ 2. PRZYKŁADY I WŁASNOŚCI KODÓW DOSKONAŁYCH Dowód. Zauważmy, że ( 1 j ) = ( 1) j. Stad oraz z lematu otrzymujemy L t (0) = t (q 1) t j ( n t j) = (q 1) t ( n t ) (q 1) 0 ( n 0) = j=0 t (q 1) i ( n i ) = q l, i=0 dla pewnego l N. Teraz pokażę, że wielomian Lloyd a dla x = 1 i x = 2 nie ma pierwiastków. Ponieważ ( 0 0) = 1 oraz dla j > 1, ( 0 j) = 0, to z definicji wielomianu Lloyd a mamy: L t (1) = t j=0 ( 1) j (q 1) t j ( 1 1 j )( n 1 t j ) = (q 1)t ( n 1 t ) 0, gdyż dla kodów nietrywialnych t n 1. Ponadto L t (2) = t j=0 ( 1) j (q 1) t j ( 2 1 j t j ) = (q 1)t ( t n 2 ) (q 1) t 1 ( n 2 )( n 2 t 1 ). Zauważmy, że: Stad = Ale q 2, czyli czyli L t (2) 0. t( n 2 t ) = (n 1 t)( n 2 t 1 ) oraz ( t 1 n 2 ) = L t (2) = (n 2)! (n 2 t + 1)!(t 1)! (q 1)t 1 ( n 2 t 1 )((q 1)(n 1 t) t) = t (q 1)t 1 ( n 2 t 1 )(q(n t 1) n + 1) = 0 dla q = 1 + t/(n t 1). t t n t 1 1, co implikuje n = 2t + 1. Z założenia kod C jest nietrywialny, Twierdzenie Nie istnieja nietrywialne binarne kody doskonałe poprawiajace błędy podwójne. Dowód. Niech C będzie binarnym kodem doskonałym długości n, poprawiajacym błędy podwójne. Z lematu otrzymujemy: 1 + n + ( n 2) = 2 l, dla pewnego l N (2.1) Z założenia kod C nie jest kodem trywialnym, zatem l > n + (n 1)n 2 = 2 l

30 2.5. WIELOMIAN LLOYD A 25 4n 2 + 4n + 8 = 2 l+3 (2n + 1) 2 = 2 l+3 7, dla l N. (2.2) Z definicji wielomianu Lloyd a dla k = 2 otrzymujemy: L 2 (x) = 2 j=0 ( 1) j (q 1) 2 j ( x 1 j )( n x 2 j ) = (q 1)2 ( n x 2 ) (q 1)(x 1)(n x) + ( x 1 2 ). Dla q = 2 L 2 (x) = 1 ((n x 1)(n x) + (x 1)(x 2) 2(x 1)(n x)) = (n2 nx n nx + x 2 + x + x 2 2x x + 2 2nx 2x + 2n + 2x 2 ) = 1 2 (n2 4nx + n + 4x 2 4x + 2) = 1 2 (4x2 4xn 4x n + n 2 n) = 1 2 (4x2 4xn 4x + 2(1 + n + n(n 1) )) = (4x2 4xn 4x + 2 l+1 ) = = 1 2 ((2x)2 2(n + 1)2x + 2 l+1 ) L 2 (y) = 1 2 (y2 2(n + 1)y + 2 l+1 ), dla y = 2x. Na mocy twierdzenia Lloyd a wielomian L 2 (y) posiada dwa całkowite pierwiastki. Na mocy lematu mamy, że L 2 (2) 0 oraz L 2 (4) 0. Stad pierwiastki wielomianu L 2 (y) sa postaci: y 1 = 2d 1 i y 2 = 2d 2 dla pewnych liczb naturalnych d 1, d 2 > 2. Ze wzorów Viete a: y 1 + y 2 = 2(n + 1) oraz y 1 y 2 = 2 l+1. (2.3) Stad y 1 = 2 a, y 2 = 2 b dla pewnych a, b takich, że 2 < a < b. (2.4) To implikuje, że y 1 + y 2 = 2(n + 1) = 2 a + 2 b, czyli 2n + 1 = 2 a + 2 b 1. Zatem z (2.2) otrzymujemy: (2 a + 2 b 1) 2 = 2 l+3 7. (2.5) Na mocy (2.3) mamy: y 1 y 2 = 2 l+1 = 2 a 2 b a + b 1 = l.

31 26 ROZDZIAŁ 2. PRZYKŁADY I WŁASNOŚCI KODÓW DOSKONAŁYCH Stad (2.5) przyjmuje postać: (2 a + 2 b 1) 2 = 2 l+3 7 = 2 a+b+2 7 (2 a + 2 b ) 2 2(2 a + 2 b ) + 1 = 2 a+b a + 2 a+b b 2 a+1 2 b = 2 a+b a + 2 a+b b = 2 a+b a b+1 2 2a a+b b = 2a+b a b 3. Z uwagi iż 2 < a < b łatwo zauważyć, że lewa strona ostatniej równości zawiera ułamek 1 zaś prawa jest zawsze liczb a całkowit a, a zatem otrzymaliśmy sprzeczność. Udo- 2 wodniliśmy, że nie istnieja nietrywialne binarne kody doskonałe poprawiajace błędy podwójne. Lemat Niech C będzie kodem doskonałym nad ciałem GF (q) długości n, k n N, oraz a 1,... a k będa pierwiastkami wielomianu Lloyd a L k (x). Wtedy: a a k = k(n k)(q 1) q a 1 a 2... a k = k!q l k, + k(k + 1), 2 gdzie q l, dla pewnego l N, jest liczba słów kodowych kodu doskonałego, jak w lemacie Twierdzenie Nietrywialny kod doskonały poprawiajacy dwa błędy nad ciałem GF (q), q = p r 2 ma takie same parametry jak ternarny kod Goley a G11. Dowód. Niech C będzie kodem doskonałym nad ciałem GF (q), długości n poprawiaja- cym błędy podwójne. Na mocy lematu 2.4.1: 1 + (q 1)n + (q 1) 2 ( n 2) = q l, dla pewnego l N. (2.6) Stad 2 n(n 1) 1 + qn n + (q 1) 2 = q l 2 + 2qn 2n + (n 2 n)(q 2 2q + 1) = 2q l

32 2.5. WIELOMIAN LLOYD A qn 2n + q 2 n 2 2qn 2 + n 2 nq 2 + 2qn n = 2q l 2 3n + n 2 + 4nq 2n 2 q + q 2 n 2 nq 2 = 2q l 8 12n + 4n nq 8n 2 q + 4q 2 n 2 4nq 2 = 8q l 4q 2 n 2 4nq 2 + q n + 4n nq 6q 8n 2 q = q 2 6q q l q 2 (2n 1) n + 4n 2 + 2(6nq 3q 4n 2 q + 2nq) = q 2 6q q l (2nq q) 2 + (3 2n) 2 + 2(2nq q)(3 2n) = q 2 6q q l (2nq q + 3 2n) 2 = q 2 6q q l 2nq 2n q + 3 = q 2 6q q l 2nq 2n 4q q = 1 + q 2 6q q l 2(nq n 2q + 2) + 3q = 1 + q 2 6q q l 2(n 2)(q 1) + 3q = 1 + q 2 6q q l 2(n 2)(q 1) q( + 3) = 1 + q q 2 6q q l. Niech a 1 i a 2 będa pierwiastkami wielomianu Lloyd a L 2 (x). Z lematu otrzymujemy: czyli a 1 a 2 = 2q l 2, a 1 + a 2 = 2(n 2)(q 1) q + 3, (2.7) q(a 1 + a 2 ) = 1 + q 2 6q q l. (2.8) Zgodnie z lematem pierwiastkami wielomianu Lloyd a sa różne od 1 i 2, stad a 1, a 2 > 2. Ponadto dla q = p r, gdzie p > 2 jest liczba pierwsza, wynika, że a 1 = p w oraz a 2 = 2p t dla pewnych liczb naturalnych w, t 1. Wtedy a 1 a 2 = 2p w+t = 2q l 2 = 2p r(l 2). Podstawiajac a 1 i a 2 do (2.8) otrzymujemy: q(p w + 2p t ) 1 = q 2 6q q l q 2 (p w + 2p t ) 2 2q(p w + 2p t ) + 1 = q 2 6q q l

33 28 ROZDZIAŁ 2. PRZYKŁADY I WŁASNOŚCI KODÓW DOSKONAŁYCH 2(p w + 2p t ) + q(p w + 2p t ) 2 = q 6 + 8q l 1 6 = 2(p w + 2p t ) q(p w + 2p t ) 2 + q + 8q l 1 6 = 2(p w + 2p t ) p r (p w + 2p t ) 2 + p r + 8q l 1. (2.9) Dla minimalnych w = t = r = 1 i p liczby pierwszej wynika z (2.9), że p = 2 lub p = 3, ponieważ już dla p = 5 lewa strona wynosi 6 a prawa 410. Jeśli p = 2 to q 6 jest podzielne przez 4, co implikuje q = 2 wbrew założeniu. Rozważmy p = 3. Jeśli q = 3 (tzn. r = 1) to: 2(3 w t ) + 3(3 w t ) 2 = l 1. Ponieważ 2(3 w t ) + 3(3 w t ) to dla l 3 powyższe równanie nie ma rozwiazań. Niech teraz l 4. Po podzieleniu obu stron równania przez 3 mamy: 3 2w w+t t 2 3 w t 1 = l 2. Równość zachodzi dla t = 1, w = 2 oraz l = 5. Na mocy (2.6) n = 11 i C ma parametry ternarnego kodu Goley a G11. Niech teraz q = 3 r, gdzie r > 1. Równanie (2.9) przyjmuje postać: 7(3 w t ) r(l 1). Jeśli C jest nietrywialnym kodem doskonałym, to l > 1. Wtedy: 7(3 w t ) 9 3. Mnożac przez 4 otrzymujemy: 3 w t 9 3, czyli w = 1 i t > 1. Z zależności (2.7) otrzymujemy 1 + t = r(l 2), co implikuje 3 1+t+r = 3 r(l 1). Wtedy ponownie z (2.9) 2( t ) + 3 r ( t ) 2 = 3 r r+t t r = 4 3 r+t t+r

34 2.6. NIELINIOWY KOD VASIL EVA 29 3 t r = 3 r+t+1 3 2t+r. Jak łatwo zauważyć, prawa strona ostatniej równości jest podzielna przez wyższa potęgę liczby 3 niż lewa, stad otrzymujemy sprzeczność. Zatem jedynymi parametrami kodu doskonałego poprawiajacego dwa błędy nad ciałem GF (q), dla q = p r parametry kodu Goley a G11. 2 sa Twierdzenie Każdy doskonały kod binarny poprawiajacy więcej niż dwa błędy ma takie same parametry jak kod Goley a G23. Twierdzenie Nie istnieja nietrywialne kody doskonałe nad ciałem GF (q), q > 2, poprawiajace więcej niż 2 błędy. Wniosek Nietrywialny kod doskonały na ciałem GF (q) musi mieć dokładnie parametry kodów Hamming a lub kodów Goley a G23 i G11. Zatem jedyne nietrywialne kody doskonałe poprawiajace błędy wielokrotne sa równoważne jednemu z kodów Goley a G23 lub G11. Dla doskonałych kodów poprawiajacych błędy pojedyncze sytuacja jest nieco inna. 2.6 Nieliniowy kod Vasil eva Dowolny nietrywialny liniowy kod doskonały poprawiajacy błędy pojedyncze jest równoważny z jednym z kodów Hamming a H r (q) dla q 2. Nie jest to jednak prawda jeśli pominie się założenie o liniowości. W 1962 roku Vasil ev skonstruował rodzinę nieliniowych binarnych kodów poprawiajacych błędy pojedyncze z takimi samymi parametrami jak kody Hamming a. Niech C będzie kodem doskonałym, binarnym, o długości n = 2 m 1, poprawiaja- cym błędy pojedyncze o M = 2 n m słowach kodowych i odległości d = 3, niekoniecznie liniowym. Niech λ będzie nieliniowym (tzn. λ(u + v) λ(u) + λ(v) dla pewnych u, v C) przekształceniem z C w Z 2 spełniajacym warunek λ(0) = 0. Niech ponadto dla u Z2 n oraz k N: 0 dla wt(u) = 2k, π(u) := 1 dla wt(u) = 2k + 1.

35 30 ROZDZIAŁ 2. PRZYKŁADY I WŁASNOŚCI KODÓW DOSKONAŁYCH Kodem Vasil eva poprawiajacym błędy pojedyncze nazywamy następujacy kod V V := {u u + v π(u) + 2 λ(v) : u Z 2, v C}, długości n = 2 m+1 1 o 2 n m 1 słowach kodowych i odległości 3. Jest to kod nieliniowy. Niech v 1, v 2 C będa takie, że λ(v 1 + v 2 ) λ(v 1 ) + λ(v 2 ). Wtedy dla u 1, u 2 Z 2 suma dwóch słów u 1 u 1 + v 1 π(u 1 ) + 2 λ(v 1 ), u 2 u 2 + v 2 π(u 2 ) + 2 λ(v 2 ) V nie należy do V gdyż, u 1 u 1 + v 1 π(u 1 ) + 2 λ(v 1 ) + u 2 u 2 + v 2 π(u 2 ) + 2 λ(v 2 ) = = u 1 + u 2 u 1 + v 1 + u 2 + v 2 π(u 1 ) + 2 λ(v 1 ) + 2 π(u 2 ) + 2 λ(v 2 ) a to słowo nie należy do V, ponieważ dla u 3 = u 1 + u 2 oraz u 3 + v 3 = u 1 + v 1 + u 2 + v 2, trzeci fragment ma postać: π(u 3 ) + 2 λ(v 3 ) = π(u 1 + u 2 ) + 2 λ(v 1 + v 2 ) π(u 1 ) + 2 λ(v 1 ) + 2 π(u 2 ) + 2 λ(v 2 ). Przykład Niech C będzie (7, 4)-kodem Hamming a o długości n = = 7 i M = 2 4 = 16 słowach kodowych. Niech λ będzie nieliniowym przekształceniem z C w Z 2 : λ(1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) := 1, λ(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) := 1, dla c C \ {(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0)}, λ(c) := 0. Wtedy dla u = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) oraz v = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1) spełnione jest założenie o nieliniowości: λ(u + v) λ(u) + λ(v) oraz λ(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) = 0. Niech D będzie kodem Vasil eva: D := {u u + v π(u) + 2 λ(v) : u Z 2, v C}. Dla u = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) oraz v = (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1) słowo kodu Vasil eva ma postać: d 1 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1 1), ostatni symbol jest jedynka ponieważ wt(u) = 3, zatem π(u) = 1, a λ(v) = 0. Dla u = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) oraz v = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) słowo kodu Vasil eva ma postać:

36 2.6. NIELINIOWY KOD VASIL EVA 31 d 2 = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 0). Stad d 1 + d 2 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0 1). Słowo to nie należy do D ze względu na ostatni symbol, który powinien być zerem, ponieważ wt(u) = 0, czyli π(u) = 0 oraz λ(v) = λ(0, 0, 1, 0, 1, 1, 0) = 0. Pokazaliśmy, że kody Vasil eva istnieja tworzac kod D oraz udowodniliśmy, że rzeczywiście nie jest on liniowy. Nieco później Schonheim i Lindstrom znaleźli nieliniowe kody doskonałe nad dowolnymi ciałami.

37 Rozdział 3 Kody doskonałe a grupy permutacji 3.1 Grupy automorfizmów kodów Zauważmy, że każda permutację π S n można reprezentować macierza A 1,1 A 1,n A =... M n n, gdzie A n,1 A n,n 1 jeśli π(i) = j, A i,j := 0 wpp. Przykład Na przykład permutację: można reprezentować macierza: A = M Definicja Niech C będzie kodem długości n. Wszystkie permutacje współrzędnych wektorów kodu C, które przekształcaja kod C w ten sam kod C, tworza podgrupę 32

38 3.1. GRUPY AUTOMORFIZMÓW KODÓW 33 Aut(C) grupy S n, zwana grupą automorfizmów (lub grupą permutacji) kodu C. Zauważmy, że π Aut(C) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego słowa c = (c 1,..., c n ) C, π(c) := (c π(1),..., c π(n) ) C. Przykład Dla trywialnych kodów C 1 = Z n 2 oraz C 2 = {0 n }, grupa automorfizmów jest równa S n. Przykład Grupa automorfizmów kodu C = {(0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1)} składa się z następujacych 8 permutacji π S 4 : Aut(C) = {(1), (12), (34), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1324), (1423)}. Lemat Niech G Mn k będzie macierza generujac a binarny (n, k)-kod C i π S n będzie permutacja reprezentowana przez macierz A Mn n. Permutacja π Aut(C) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwracalna macierz K M k k taka, że GK = AG. Dowód. Jeśli G Mn k jest macierza generujac a kod C to macierz (AG) Mn k też jest macierza generujac a kod C wtedy i tylko wtedy, gdy permutacja π Aut(C). Z drugiej strony macierze AG i G generuja ten sam kod wtedy i tylko wtedy, gdy sa kolumnoworównoważne, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwracalna macierz K M k k taka, że GK = AG. To oznacza, że π Aut(C) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwracalna macierz K M k k taka, że GK = AG. Lemat Niech C będzie kodem liniowym, a C kodem dualnym do C. Wtedy AutC = AutC. Dowód. Aby udowodnić, że AutC = AutC pokażę, że każda permutacja z grupy AutC należy również do grupy AutC i odwrotnie. Z definicji kodu dualnego: C = {u GF n (q) u w, w C}. Niech d C. Wtedy d c dla każdego c C. (3.1) Niech π AutC. Z (3.1), π(d) π(c) dla każdego c C. Ponieważ π(c) C, zatem każdy wektor π(d), gdzie d C, jest ortogonalny do dowolnego wektora z przestrzeni

39 34 ROZDZIAŁ 3. KODY DOSKONAŁE A GRUPY PERMUTACJI C. Z definicji kodu dualnego π(d) C, czyli π Aut(C ). Zawieranie Aut(C ) Aut(C) dowodzi się analogicznie. Bezpośrednia konsekwencja twierdzenia Cayley a (1.1.11) jest następujacy fakt. Wniosek Każda skończona grupa jest izomorficzna z podgrupa grupy AutC, dla pewnego kodu doskonałego C poprawiajacego błędy pojedyncze. Dowód. Na mocy lematów (3.1.5) oraz (3.1.6) grupa automorfizmów binarnego (n, k)- kodu liniowego jest izomorficzna z pewna podgrupa wszystkich odwracalnych macierzy binarnych wymiaru (n k) (n k). W szczególności dla binarnego liniowego kodu doskonałego C długości n = 2 r 1 oznacza to, że permutację π S n określona dla pewnych r elementów można w jednoznaczny sposób rozszerzyć do automorfizmu kodu C. Niech G będzie grupa o r elementach. Na mocy twierdzenia Cayley a (1.1.11) G jest izomorficzna z pewna podgrupa grupy S r, która jest izomorficzna z grupa automorfizmów pewnego kodu doskonałego. Jak pokazał Phelps [3] można udowodnić nawet więcej. Twierdzenie Każda skończona grupa jest izomorficzna z grupa automorfizmów pewnego binarnego kodu doskonałego poprawiajacego błędy pojedyncze. 3.2 Kody doskonałe z trywialna grupa permutacji Liczba różnych binarnych kodów doskonałych poprawiajacych błędy pojedyncze jest bardzo duża, stad potrzeba pewnej ich klasyfikacji. Jedna z metod może być badanie grup permutacji, rzędu badź jadra takich kodów. Niech C będzie binarnym kodem doskonałym, długości n = 2 w 1 dla w N, poprawiajacym błędy pojedyncze. Najmniejsza przestrzeń liniowa zawierajac a zbiór C będziemy oznaczać < C >. Definicja Wymiar przestrzeni liniowej < C > generowanej przez kod C nazywamy rzędem kodu C i oznaczamy r(c).