Kody korekcyjne - Konspekt wykładu

Transkrypt

1 Kody korekcyjne - Konspekt wykładu Agata Pilitowska Rok akademicki 2013/ Wprowadzenie Zasadnicza idea kodowania polega na przesyłaniu wraz z oryginalna wiadomościa pewnej informacji nadmiarowej, nie wnosza cej nic do treści samej wiadomości Odebrana, wydłużona w ten sposób wiadomość, odwzorowywana jest za pomo przekształcenia dekoduja cego na cia g pierwotnej długości Powszechnie stosowanymi w praktyce sa kody blokowe, których słowa kodowe tworza (dla ustalonego n N) niepusty podzbiór n-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem GF (q) Mówimy wówczas, że kod jest długości n nad ciałem GF (q) Załóżmy, że przesyłana informacje dzielimy na skończone cia gi zawieraja ce ustalona liczbe k N tzw symboli informacji, które moga być kodowane i dekodowane niezależnie od innych cia gów W tym przypadku kod C jest obrazem pewnego różnowartościowego przekształcenia ξ : GF (q) k GF (q) n, zwanego funkcja koduja (algorytmem kodowania) Odwzorowanie ξ każdemu wektorowi u GF (q) k długości k, w jednoznaczny sposób przyporza dkowuje słowo kodowe c C = ξ(gf (q) k ), w którym pewne n k symboli dodatkowych to tzw symbole sprawdzaja ce Przekształcenie η : GF (q) n GF (q) k takie, że dla każdego u GF (q) k, η(ξ(u)) = u, nazywamy funkcja dekoduja (algorytmem dekodowania) W przypadku, gdy wysłanym wektorem jest słowo kodowe c C, zaś odebranym po transmisji jest wektor f GF (q) n, to wektor e := f c GF (q) n nazywamy wektorem błe du Kod blokowy, dla którego w każdym słowie kodowym można odróżnić elementy informacyjne od kontrolnych nazywamy kodem systematycznym Niech C be dzie kodem blokowym długości n nad ciałem GF (q) Jeśli q = 2, to C jest kodem binarnym Jeśli C = 1 lub C = q n, to C nazywamy kodem trywialnym 1

2 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 2 Przykład 11 Kod powtórzeniowy długości n nad ciałem GF (q) powstaje przez (n 1)-krotne powtórzenie pojedynczego symbolu c GF (q) Funkcja koduja ca ξ : GF (q) GF (q) n ma postać: c (c,, c) Przykład 12 Kod kontroli parzystości długości n nad ciałem GF (q) powstaje przez dodanie na końcu każdej wysyłanej wiadomości (c 1,, c n 1 ) GF (q) n 1, elementu przeciwnego do sumy n 1 i=1 c i Funkcja koduja ca ξ : GF (q) n 1 GF (q) n jest wtedy postaci: n 1 (c 1,, c n 1 ) (c 1,, c n 1, c i ) Definicja 13 Waga wt(c) wektora c GF (q) n nazywamy liczbe jego niezerowych współrze dnych Niech 0 n oznacza wektor zerowy długości n natomiast 1 n wektor również długości n, ale którego wszystkie współrze dne sa równe 1 Przykład 14 wt(0 n ) = 0, wt(1 n ) = n; wt((1, 0, 1, 1, 1, 0)) = 4, wt((0, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 0)) = 6 Definicja 15 Odległościa Hamminga d(c, f) mie dzy dwoma wektorami c, f GF (q) n nazywamy liczbe współrze dnych, na których wektory te sie różnia Przykład 16 d((1, 0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 0, 1)) = 2, d((0, 1, 2, 2), (1, 2, 2, 0)) = 3 Ponadto, dla dowolnych b, c, f, GF (q) n : d(c, f ) = wt(c f ), d(c, c) = 0, d(c, f ) = d(f, c), d(c, b) d(c, f ) + d(f, b) (nierówność trójka ta) Definicja 17 Odległościa kodu C nazywamy liczbe i=1 d := min{d(c, f) c, f C, c f} Przykład 18 Odległość binarnego kodu C = {(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} kontroli parzystości długości n = 3 równa jest 2, natomiast odległość kodu powtórzeniowego długości n wynosi n Twierdzenie 19 Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby kod C umożliwiał wykrycie t lub mniej błe dów jest, aby odległość kodu była równa co najmniej t + 1

3 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 3 Oznaczmy przez K(c, r) := {f GF (q) n d(c, f ) r} kule o promieniu r i środku c GF (q) n Jeśli odległość kodu C wynosi d oznacza to, że dowolne dwa słowa kodowe różnia sie na co najmniej d miejscach Sta d kule K(c, r) o promieniu r = [ 1 2 (d 1)] wokół słów kodowych c C sa rozła czne1 Twierdzenie 110 Kod C może poprawić do [ 1 2 (d 1)] błe dów wtedy i tylko wtedy, gdy jego odległość wynosi d Przykład 111 Kod kontroli parzystości z Przykładu 18 może wykryć jeden bła d, ale nie jest w stanie go poprawić Natomiast kod powtórzeniowy długości n wykryje wszystkie błe dy (n 1)-krotne i poprawi do [ 1 2 (n 1)] błe dów Jako wysłane słowo przyjmuje wektor (c,, c) GF (q) n, w którym symbol c GF (q) znajduje sie na najwie kszej liczbie pozycji w wektorze otrzymanym Niech v = (v 1,, v n ) GF (q) n i π S n be dzie permutacja zbioru {1,, n} Wprowadźmy oznaczenie: π(v) := (v π(1),, v π(n) ) Definicja 112 Dwa kody C 1 i C 2 długości n, nad ciałem GF (q), sa równoważne, jeśli C 1 = C 2, istnieje permutacja σ zbioru {1, 2,, n} oraz n permutacji π 1,, π n zbioru GF (q) takich, że (c 1,, c n ) C 1 σ(π 1 (c 1 ),, π n (c n )) C 2 Przykład 113 Kody C 1 = {(0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1)} oraz C 2 = {(0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1)} sa równoważne dla permutacji σ = (23) Kody równoważne zachowuja odległość mie dzy słowami kodowymi zatem maja dokładnie takie same własności dotycza ce zdolności wykrywania i korygowania błe dów Definicja 114 Współczynnikiem sprawności kodu C o M elementach nad ciałem GF (q) nazywamy liczbe 0 < R := log q M n 1 Twierdzenie 115 (Ograniczenie Hamminga) Kod długości n, nad ciałem GF (q), zawieraja cy M słów kodowych i poprawiaja cy t błe dów spełnia nierówność: ( ) ( ) n n M(1 + (q 1) + + (q 1) t ) q n (1151) 1 t 1 [x] := max{m Z m x}

4 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/ Kody liniowe Definicja 21 (n, k)-kodem liniowym nad ciałem GF (q) nazywamy k-wymiarowa podprzestrzeń n-wymiarowej przestrzeni GF (q) n (n, k)-kod liniowy ma długość n i wymiar k Jeśli jego odległość równa jest d to powiemy o nim, że jest (n, k, d)-kodem liniowym Przykład 22 Kod powtórzeniowy nad ciałem GF (q) jest (n, 1)-kodem liniowym ze współczynnikiem sprawności R = 1 n, zawieraja cym q słów kodowych Przykład 23 Kod kontroli parzystości nad ciałem GF (q) jest (n, n 1)-kodem liniowym, dla którego współczynnik sprawności R = 1 1 n Wektor c GF (q) n jest słowem kodowym (n, k)-kodu liniowego wtedy i tylko wtedy, gdy jest kombinacja liniowa wektorów bazy przestrzeni k-wymiarowej Sta d (n, k)-kod liniowy C = {Gu T u GF (q) k } dla pewnej macierzy G M k n(gf (q)) Macierz G jest zatem macierza liniowej funkcji koduja cej ξ : GF (q) k GF (q) n Macierz G be dziemy nazywać macierza generuja (koduja ) kod C Przykład 24 Macierze G 1 = i G 2 = sa macierzami generuja cymi binarny (4,2)-kod C = {(0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0)} Niech I k M k k ({0, 1}) oznacza macierza ( jednostkowa ) Macierz koduja ca Ik G jest w postaci standardowej, jeśli G = M P k n(gf (q)), dla pewnej macierzy P M k n k (GF (q)) Wówczas w każdym słowie kodowym c = (c 1,, c n ) C pierwszych k symboli to symbole wysyłanej informacji u = (u 1,, u k ), natomiast pozostałe n k symboli to symbole sprawdzaja ce, be da ce funkcja symboli informacji: c k+1 = c 1 = u 1,, c k = u k, k k p 1i u i,, c n = p (n k)i u i (241) i=1 Dla każdego kodu liniowego, istnieje równoważny mu kod, którego macierz generuja ca jest w postaci standardowej Zatem, dla każdego kodu liniowego istnieje równoważny mu kod systematyczny Macierz H, dla której c C wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest naste - cy warunek: Hc T = 0 T n k (242) i=1

5 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 5 be dziemy nazywać macierza kontroli parzystości (sprawdzaja ) kodu C a wektor Hc T syndromem słowa c GF (q) n Układ n k równości (242) nosi nazwe równości kontroli parzystości i oznacza, że każdy wektor c C jest ortogonalny do każdego wiersza macierzy H Kody różnia ce sie jedynie kolejnościa kolumn w macierzy kontroli parzystości sa równoważne W przypadku, gdy macierz generuja ca jest w postaci standardowej G = ( Ik P ), macierz kontroli parzystości H = (P I n k ) Przykład 25 Dla (n, 1)-kodu powtórzeniowego C nad ciałem GF (q): G = M 1 n({1}), H = Mn n 1(GF (q)) 1 1 Warunek (242) oznacza, że wektor c = (c 1,, c n ) należy do kodu C wtedy i tylko wtedy, gdy c 1 = = c n Przykład 26 Macierza generuja i sprawdzaja (n, n 1)-kodu kontroli parzystości C nad ciałem GF (q) sa odpowiednio: G = Mn 1 n (GF (q)), H = ( 1 1 ) M n 1 ({1}) Warunek (242) oznacza, że wektor c = (c 1,, c n ) należy do kodu C wtedy i tylko wtedy, gdy n c i = 0 i=1 Metoda lidera warstwy Dla (n, k)-kodów liniowych zbiór słów kodowych C tworzy k-wymiarowa podprzestrzeń n-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem GF (q) Sta d otrzymany po transmisji wektor f musi należeć do jednej z warstw wzgle dem C Niech f a +C dla pewnego a GF (q) n, czyli f = a +c 1 dla c 1 C Wówczas e = f c = a + c 1 c a + C, czyli wektory f i e należa do tych samych warstw wzgle dem podprzestrzeni C Zauważmy, że gdy H jest macierza kontroli parzystości kodu C to Hf T = H(c T + e T ) = Hc T + He T = He T, czyli syndrom Hf T wektora f jest taki sam jak syndrom He T wektora błe du Ponadto, jeśli dla pewnych wektorów e i f, He T = Hf T to H(f e) T = 0 T n k,

6 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 6 czyli f e C Sta d oba wektory należa do tej samej warstwy wzgle dem C Wszystkie warstwy sa równoliczne i jest ich q n k Po otrzymaniu słowa f możemy wybrać wektor błe du e o minimalnej wadze w tej warstwie, do której należy wektor f (lidera warstwy) i odkodować f jako słowo c = f e Jeśli istnieje wie cej niż jeden wektor o minimalnej wadze w danej warstwie, to lidera warstwy wybieramy losowo Przykład 27 Niech C be dzie binarnym (4, 2)-kodem liniowym o macierzy kontroli parzystości ( ) H = Słowo c = (c 1, c 2, c 3, c 4 ) C wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest naste cy układ równań: c 1 + c 3 = 0 c 1 + c 2 + c 4 = 0 Sta d C = {(0, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 0)} Wszystkie 16 wektorów przestrzeni Z 4 2 możemy podzielić na cztery warstwy wzgle dem podprzestrzeni C słów kodowych: Niech f lider syndrom (0, 0, 0, 0) (1, 0, 1, 1) (0, 1, 0, 1) (1, 1, 1, 0) (0, 0) (1, 0, 0, 0) (0, 0, 1, 1) (1, 1, 0, 1) (0, 1, 1, 0) (1, 1) (0, 1, 0, 0) (1, 1, 1, 1) (0, 0, 0, 1) (1, 0, 1, 0) (0, 1) (0, 0, 1, 0) (1, 0, 0, 1) (0, 1, 1, 1) (1, 1, 0, 0) (1, 0) = (1, 1, 1, 1) be dzie otrzymanym wektorem Ponieważ syndrom Hf T = (0, 1) T nie jest wektorem zerowym, to w czasie transmisji zostały popełnione błe dy Dekoder decyduje, że wektorem błe du e = (0, 1, 0, 0) jest lider warstwy, do której należy wektor f Wektor f zostaje odkodowany jako słowo kodowe c = f e = (1, 0, 1, 1) Definicja 28 (n, n k)-kod liniowy C := {c GF (q) n c f = 0, 0 n f C} nazywamy kodem dualnym (ortogonalnym) do (n, k)-kodu C Dla dowolnego (n, k)-kodu liniowego C, (C ) = C Przykład 29 Kodem dualnym do (n, 1)-kodu powtórzeniowego C nad ciałem GF (q) jest (n, n 1)-kod kontroli parzystości, gdyż C = {c GF (q) n c a = 0, 0 n a = (a,, a) C} = n n {(c 1,, c n ) GF (q) n ac i = 0, a 0} = {c GF (q) n c i = 0} = i=1 n 1 {c GF (q) n c = (c 1,, c n 1, c i )} i=1 i=1

7 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 7 Jeśli G jest macierza generuja zaś H macierza kontroli parzystości kodu C, to H T jest macierza generuja a G T jest macierza kontroli parzystości kodu dualnego C Definicja 210 Kod liniowy C C nazywamy kodem słabo samo-dualnym W kodach słabo samo-dualnych, dla każdej pary słów kodowych c, f C (niekoniecznie różnych), c f = 0 Przykład 211 Binarny (n, 1)-kod powtórzeniowy C = {0 n, 1 n } jest słabo samo-dualny, gdy n jest liczba parzysta Definicja 212 Kod liniowy C = C nazywamy kodem samo-dualnym Dla (n, k)-kodów samo-dualnych, n k = k Sta d długość n musi być liczba parzysta Zatem każdy kod samo-dualny jest (n, n 2 )-kodem Przykład 213 Binarny (2,1)-kod powtórzeniowy C = {(0, 0), (1, 1)} jest kodem samo-dualnym Twierdzenie 214 Odległość kodu liniowego równa jest minimalnej wadze niezerowych słów kodowych Lemat 215 Niech H M n n k (GF (q)) be dzie macierza kontroli parzystości (n, k)-kodu liniowego C Kod C ma odległość równa d wtedy i tylko wtedy, gdy układ każdych d 1 kolumn macierzy H jest liniowo niezależny i układ pewnych d kolumn tej macierzy jest liniowo zależny Twierdzenie 216 (Ograniczenie Singletona) Dla dowolnego (n, k)-kodu liniowego o długości d n k d 1 (2161) Niech N(k, d) oznacza długość najkrótszego binarnego kodu liniowego wymiaru k i odległości d Lemat 217 Dla dowolnych k, d N, N(k, d) d + N(k 1, d 2 ) 2 (2171) Wniosek 218 (Ograniczenie Griesmera) Najkrótszy binarny kod liniowy wymiaru k i odległości d ma co najmniej długość równa k 1 i=0 d 2 i 2 x = min{m Z m x}

8 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/ Wybrane metody konstrukcji kodów Niech C be dzie kodem nad ciałem GF (q) o długości n, odległości d, zawieraja cym M słów kodowych Kod rozszerzony Kod rozszerzony Ĉ kodu C definiujemy naste co: Ĉ := {(c 1,, c n, c n+1 ) GF (q) n+1 (c 1,, c n ) C, c n+1 = n c i } Przykład 31 (n + 1, n)-kod kontroli parzystości jest kodem rozszerzonym kodu trywialnego GF (q) n Kod skrócony Procesem odwrotnym do rozszerzania kodu jest jego skracanie Usuwaja c z każdego słowa kodowego kodu C ustalona współrze dna otrzymujemy skrócony kod C długości n 1 o tej samej liczbie M elementów i najcze ściej odległości d 1 Przykład 32 Usuwaja c dowolna współrze dna ze słów kodowych binarnego (3,2,2)-kodu kontroli parzystości C = {(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}, otrzymujemy (2,2,1)-kod skrócony C = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} = Z 2 2 Kod okrojony Kod okrojony C kodu C uzyskujemy poprzez usunie cie ze zbioru C cze ści słów kodowych Przykład 33 Niech C be dzie liniowym kodem binarnym wymiaru k 2 Kod okrojony C złożony ze wszystkich tych słów kodu C, których waga jest parzysta, jest liniowym kodem binarnym wymiaru k 1 Cze sto kod okrojony C kodu C tworzymy przez wybranie wszystkich słów kodowych należa cych do C, zakończonych takim samym symbolem i usunie ciu z każdego wybranego wektora ostatniej współrze dnej Otrzymany kod ma mniejsza długość oraz liczbe słów kodowych, ale zachowuje odległość Przykład 34 Niech C be dzie liniowym (n, k)-kodem binarnym o odległości d Kod okrojony C, powstały przez wybranie wszystkich słów c C zakończonych 0 i opuszczenie ostatniej współrze dnej jest (n 1, k 1)-kodem o odległości d, gdzie d d Kod powie kszony Niech C be dzie kodem długości n i załóżmy, że 1 n / C Kod powie kszony C 1 kodu C definiujemy jako C 1 := C {1 n } Przykład 35 Niech C be dzie binarnym liniowym (n, k)-kodem o odległości d, który nie zawiera wektora 1 n Najmniejszy kod liniowy zawieraja cy C 1 składa sie ze słów c C oraz wszystkich ich uzupełnień c + 1 n Otrzymujemy w ten sposób (n, k + 1)-kod C {1 n + C} o odległości d 1, gdzie d 1 = min{d, n d } dla d = max{wt(c) c C} i=1

9 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 9 Suma kodów Niech C 1 be dzie kodem o długości n 1, odległości d 1, zawieraja cym M 1 słów kodowych i C 2 be dzie kodem o długości n 2, odległości d 2, zawieraja cym M 2 słów kodowych nad ciałem GF (q) Kod C 1 + C 2 := {c 1 + c 2 c 1 C 1, c 2 C 2 } nazywamy suma kodów C 1 i C 2 (Jeżeli kody C 1 i C 2 sa różnej długości, to aby utworzyć kod C 1 + C 2 należy dodać na końcu każdego słowa w krótszym kodzie brakuja liczbe zer) Suma prosta Niech C 1 be dzie kodem o długości n 1, odległości d 1, zawieraja cym M 1 słów kodowych i C 2 be dzie kodem o długości n 2, odległości d 2, zawieraja cym M 2 słów kodowych nad ciałem GF (q) Suma prosta kodów C 1 i C 2 nazywamy kod długości n 1 +n 2, odległości d = min(d 1, d 2 ) i liczbie słów kodowych M 1 M 2 : C 1 C 2 := {c f : c C 1, f C 2 }, gdzie c f := (c 1,, c n1, f 1,, f n2 ) dla c GF (q) n 1 i f GF (q) n 2 Dla n 1 = n 2 = n, szczególnym przykładem sumy prostej jest kod 4 Kody nieliniowe C 1 C 1 + C 2 := {c c 1 + f : c, c 1 C 1, f C 2 } Kody liniowe maja wiele praktycznych zalet Jednak, gdy chcemy otrzymać kod z najwie ksza możliwa liczba słów kodowych o zadanej długości i odległości musimy czasami stosować kody nieliniowe Przykład 41 Załóżmy, że poszukujemy binarnego kodu długości n = 11, który poprawia błe dy podwójne Z ograniczenia Hamminga (1151) otrzymuje- 2 my, że liczba słów kodowych M nie może być wie ksza niż 11 1+( 11 1 )+( 11 2 ) = < 32 Gdyby szukany kod był kodem liniowym, to wówczas M = 2 k < 32, czyli k 4 Zatem najwie kszy kod liniowy spełniaja cy zadane warunki może mieć co najwyżej 2 4 = 16 elementów Natomiast można skonstruować nieliniowy binarny [11, 24, 5]-kod Niech A(n, d) oznacza maksymalna liczbe słów kodowych w kodzie długości n z odległościa co najmniej d (nad ustalonym ciałem GF (q)) Kod C długości n i odległości d, dla którego C = A(n, d) nazywamy kodem optymalnym Badanie liczby A(n, d) jest jednym z głównych problemów kombinatorycznych teorii kodowania Z ograniczenia Singletona (2161) wynika, że liczba słów kodowych w liniowym kodzie długości n i odległości d nad ciałem GF (q), nie może przekroczyć q n d+1 Podobne ograniczenie uzyskujemy dla dowolnych kodów Twierdzenie 42 (Ograniczenie Singletona II) Niech GF (q) be dzie ustalonym ciałem skończonym Dla dowolnych n, d N, A(n, d) q n d+1 (421)

10 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 10 Kody Hadamarda Macierza Hadamarda nazywamy macierz kwadratowa H n Mn n o wyrazach 1 i -1 taka, że H n Hn T = ni n Oznacza to, że dwa różne wiersze macierzy H n sa parami ortogonalne, natomiast iloczyn skalarny wiersza przez siebie jest równy n Ponieważ Hn 1 = 1 n HT n, zatem Hn T H n = ni n i kolumny macierzy Hadamarda maja takie same własności Jeśli H n jest macierza Hadamarda to rza d n równy jest 1, 2 lub jest wielokrotnościa 4 Jeśli H n jest macierza Hadamarda rze du n, to macierz [ ] Hn H H 2n := n (422) H n H n jest macierza Hadamarda rze du 2n Sta d np H 1 = [ 1 ], H 2 = H 8 = [ ], H 4 = oraz Przykładem macierzy Hadamarda, której rza d nie jest pote ga liczby 2 jest macierz H 12 = Niech n = 4k 1 > 7 be dzie liczba pierwsza Zasta pmy w macierzy H n+1 wszystkie +1 przez 0, zaś wszystkie 1 przez 1 Otrzymana w ten sposób macierz A n+1 M n+1 n+1 ({0, 1}) posłuży do konstrukcji kodów nieliniowych Niech A n+1 be dzie zbiorem wszystkich wierszy macierzy A n+1 traktowanych jako wektory c Z2 n+1 Wyróżniamy naste ce trzy binarne kody Hadamarda:

11 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 11 [n, n+1, n+1 2 ]-kod A1 n złożony ze wszystkich wektorów zbioru A n+1 skróconych o pierwsza współrze dna ; [n, 2(n + 1), n 1 2 ]-kod A2 n := A 1 n (A 1 n + 1 n ); [n + 1, 2(n + 1), n+1 2 ]-kod A3 n := A n+1 (A n n+1 ) 5 Kody doskonałe Kody doskonałe sa to najlepsze kody w tym sensie, iż nie istnieja inne kody takiej samej długości i liczbie słów kodowych, moga ce skorygować wie ksza liczbe błe dów Niech V be dzie n-wymiarowa przestrzenia wektorowa nad ciałem GF (q) i niech C V be dzie kodem o odległości d Kule K(c, t) o promieniu t = [ d 1 2 ] wokół słów kodowych c C sa rozła czne Aby zminimalizować prawdopodobieństwo błe du po dekodowaniu kule K(c, t) powinny pokrywać cała przestrzeń V Zwykle jednak istnieja wektory w przestrzeni V, które nie należa do żadnej takiej kuli Przykład 51 Binarny (6, 3)-kod liniowy C o odległości d = 3 składa sie z 8 słów kodowych Dla każdego słowa c C, kula K(c, 1) zawiera ( 6 0) + ( 6 ) 1 = 7 wektorów Zatem tylko 56 wektorów z przestrzeni Z 6 2 zawartych jest w rozła cznych kulach K(c, 1) o środkach w słowach kodowych Pozostałe = 8 wektorów musi znajdować sie poza nimi Definicja 52 kod C V nad ciałem GF (q) o odległości d nazywamy kodem doskonałym, jeśli dla t = [ d 1 2 ] K(c, t) = V (521) c C Zauważmy, że aby warunek (521) był spełniony, w ograniczeniu Hamminga (1151) musi zachodzić równość: ( ) n M(1 + (q 1)n + + (q 1) t ) = q n (522) t Przykład 53 Trywialnymi kodami doskonałymi długości n sa : kod zawieraja - cy dokładnie jedno słowo kodowe c GF (q) n (poprawia wszystkie popełnione błe dy), cała przestrzeń V (nie poprawia żadnego błe du) oraz binarny (n, 1)-kod powtórzeniowy dla n nieparzystego Przykład 54 Binarny (4, 1)-kod powtórzeniowy C = {(0, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1)} nie jest kodem doskonałym, gdyż wektor (0, 0, 1, 1) nie należy do żadnej kuli o środku w słowie kodowym i promieniu t = 1

12 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 12 Kody doskonałe o odległości d moga wykryć i poprawić wszystkie t = [ d 1 2 ] (lub mniej) błe dów i nie moga poprawić wie kszej liczby błe dów Istnieje bardzo mało liczb naturalnych n, 1 t < n 1 2, M i q, dla których zachodzi równość (522) Sta d parametry kodów doskonałych sa ściśle określone Lemat 55 Niech C be dzie doskonałym kodem nad ciałem GF (q), o długości n, odległości d i o M słowach kodowych Wówczas, dla pewnego m Z + W szczególności, M = q n m t i=0 ( ) n (q 1) i = q m i Wniosek 56 Każdy kod doskonały nad ciałem GF (q), który poprawia błe dy pojedyncze, ma długość równa n = qm 1 q 1, dla pewnego m N Kody Hamminga Macierz H kontroli parzystości binarnych kodów poprawiaja cych błe dy pojedyncze musi mieć kolumny niezerowe i parami różne Niech H m M 2m 1 m (Z 2 ) be dzie macierza, której każda i-ta kolumna jest binarna reprezentacja liczby 1 i 2 m 1 zapisana z dołu do góry Definicja 57 Niech m N Binarnym kodem Hamminga H m rze du m nazywamy kod, dla którego H m jest macierza kontroli parzystości W macierzy H m każde dwie kolumny sa różne i liniowo niezależne Ponadto istnieja 3 kolumny, które sa liniowo zależne Sta d na mocy Lematu 215, odległość kodu H m wynosi d = 3 Zatem, dla każdego m 1, binarne kody Hamminga sa (2 m 1, 2 m 1 m)-kodami liniowymi Każdy nietrywialny binarny liniowy (2 m 1, 2 m 1 m)-kod doskonały poprawiaja cy błe dy pojedyncze jest równoważny z kodem Hamminga H m, gdyż macierz kontroli parzystości takiego kodu różni sie od macierzy H m jedynie kolejnościa kolumn Dla wygody możemy przyja ć, że w każdym słowie kodowym c H m, współrze dne o indeksach 2 j, dla 0 j m 1, sa symbolami kontrolnymi, a pozostałe, symbolami wektora źródłowego Przykład 58 Macierza kontroli parzystości binarnego (7, 4)-kodu Hamminga H 3 jest H 3 = Wektor c = (c 1, c 2, c 3, c 4, c 5, c 6, c 7 ) H 3 wtedy i tylko wtedy, gdy H 3 c T = 0 T 3, czyli gdy symbole sprawdzaja ce c 1, c 2 i c 4 spełniaja naste cy układ równań: c 1 = c 3 + c 5 + c 7 c 2 = c 3 + c 6 + c 7 c 4 = c 5 + c 6 + c 7

13 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 13 Jeśli w otrzymanym słowie f wysta pił pojedynczy bła d na i-tej pozycji, to syndrom H m e T = H m f T wektora błe du e be dzie i-ta kolumna macierzy H m, czyli binarna reprezentacja liczby i Pojedynczy bła d w otrzymanym słowie f korygujemy zaste c współrze dna f i przez 1 f i Przykład 59 Załóżmy, że po transmisji słowa kodowego c H 3 otrzymaliśmy wektor f = (0, 0, 1, 1, 1, 1, 1) Wówczas H 3 f T = czyli f nie jest słowem kodowym Wektor (0, 1, 1) jest przedstawieniem liczby 3 = w systemie dwójkowym, zatem bła d w słowie c wysta pił na 3-ciej pozycji Bła d poprawiamy zmieniaja c trzecia współrze dna wektora f Wysłanym słowem jest c = (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1) Nie każdy układ dwóch niezerowych wektorów długości m o współrze dnych z dowolnego ciała GF (q), q > 2, jest liniowo niezależny Sta d metody konstrukcji macierzy kontroli parzystości, która zastosowaliśmy w przypadku binarnych kodów Hamminga, nie można bezpośrednio powtórzyć do zbudowania takich kodów nad pozostałymi ciałami skończonymi Aby otrzymać układ wektorów parami liniowo niezależnych, musimy usuna ć wszystkie te, które sa wynikiem mnożenia przez skalary różne od 1 Jako kolumny macierzy kontroli parzystości kodu Hamminga nad ciałem GF (q) należy wybrać po jednym niezerowym wektorze z każdego zbioru {αf α GF (q)}, dla f GF (q) m Na przykład można wybierać wektory, dla których pierwsza niezerowa współrze dna równa jest 1 Takich wektorów be dzie qm 1 q m 1 q 1 m q 1 Niech H m (q) M (GF (q)) be dzie macierza, której kolumny sa wszystkimi niezerowymi wektorami f GF (q) m o pierwszej niezerowej współrze dnej równej 1 Definicja 510 Niech m, q N, q > 2 Kodem Hamminga H m (q) nad ciałem GF (q) nazywamy kod, którego macierza kontroli parzystości jest macierz H m (q) q m 1 q 1 Analogicznie jak dla kodów binarnych, każdy nietrywialny liniowy ( qm 1, q 1, m)-kod doskonały nad ciałem GF (q), q > 2, poprawiaja cy błe dy pojedyncze jest równoważny z kodem Hamminga H m (q) Każdy nietrywialny liniowy kod doskonały poprawiaja cy błe dy pojedyncze jest równoważny z kodem Hamminga Dla pozostałych kodów doskonałych poprawiaja cych błe dy pojedyncze sytuacja jest nieco inna W 1962 roku Y L Vasilev skonstruował rodzine nieliniowych binarnych kodów doskonałych poprawiaja cych błe dy pojedyncze z takimi samymi parametrami jak kody Hamminga Przykład 511 Niech C be dzie binarnym kodem doskonałym poprawiaja cym błe dy pojedyncze (niekoniecznie liniowym) o długości n = 2 m 1 i liczbie słów

14 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 14 kodowych M = 2 n m Niech λ : Z2 n Z 2 be dzie odwzorowaniem takim, że λ(0 n ) = 0 oraz dla pewnych c, f C, λ(c + f ) λ(c) + 2 λ(f ) Niech ponadto π : Z2 n Z 2 be dzie zdefiniowane naste co: π(a) := Nieliniowy kod doskonały nazywamy kodem Vasileva { 0, jeśli wt(a) jest liczba parzysta, 1, jeśli wt(a) jest liczba nieparzysta V := {a a + c π(a) + 2 λ(c) : a Z n 2, c C} Nieco później J Schönheim i B Lindström znaleźli nieliniowe kody doskonałe koryguja ce pojedyncze błe dy nad dowolnym ciałem GF (q) Jednak problem znalezienia wszystkich nieliniowych kodów doskonałych poprawiaja cych błe dy jednokrotne jest nadal nierozwia zany Przykład 512 Dla t = q = 2 równość (522) przyjmuje postać ( ) n 1 + n + = 2 m, (5121) 2 dla pewnego m N Pierwsza liczba naturalna n N spełniaja (5121) jest n = 5 Wtedy ( 5 2) = 2 4, czyli M = 2 Sa to parametry (5, 1)-kodu powtórzeniowego Naste pna liczba n N, która spełnia (5121) jest n = 90 Wtedy ) = 2 12 i M = 2 78 ( 90 2 Nawet istnienie liczb M, n, q i t spełniaja cych (522) nie gwarantuje, że kod o podanych parametrach można skonstruować Niech n N i q = p m, gdzie p jest liczba pierwsza Dla każdego x R i t = 0, 1,, n wielomian 3 L t (x) := t ( )( ) x 1 n x ( 1) j (q 1) t j j t j j=0 nazywamy wielomianem Lloyda Twierdzenie 513 (S P Lloyd [?]) Niech C be dzie nietrywialnym kodem doskonałym nad ciałem GF (q) o długości n, poprawiaja cym t błe dów Wtedy wielomian Lloyda L t (x) ma t pierwiastków δ 1,, δ t N spełniaja cych warunek 0 < δ 1 < < δ t < n 3 Dla dowolnej liczby x R rozszerzony współczynnik dwumianowy definiujemy ( { x(x 1) (x m+1) ), dla m N; x m! naste co: m := 1, dla m = 0; 0, dla m R \ N

15 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 15 Wniosek 514 Nie istnieja nietrywialne binarne kody doskonałe poprawiaja ce błe dy podwójne Kody Golaya Kody Goleya sa prawdopodobnie najważniejszymi ze wszystkich kodów, zarówno ze wzgle dów teoretycznych jak i praktycznych Zostały na przykład zastosowane do kontroli błe dów w wiadomościach przesyłanych z bezzałogowej sondy kosmicznej Voyager 1, wysłanej przez NASA do zbadania Jowisza Doskonałe kody Golaya sa jedynymi kodami doskonałymi poprawiaja cymi błe dy wielokrotne G 23 : binarny, doskonały (23, 12, 7)-kod skrócony G 24, koryguja cy błe dy potrójne G 11 : ternarny (11, 6, 5)-kod doskonały, koryguja cy błe dy podwójne Twierdzenie 515 Każdy doskonały kod binarny poprawiaja cy wie cej niż dwa błe dy jest równoważny z kodem Golaya G 23 Dla q > 2, każdy nietrywialny kod doskonały nad ciałem GF (q), poprawiaja - cy błe dy podwójne jest równoważny z ternarnym kodem Golaya G 11 Dla q > 2 nie istnieja nietrywialne kody doskonałe nad ciałem GF (q), poprawiaja ce wie cej niż dwa błe dy Sta d, jedynymi kodami doskonałymi, które koryguja błe dy wielokrotne sa kody G 11 i G 23 Kod H m, dualny do binarnego kodu Hamminga H m, nazywamy kodem sympleksowym Wszystkie niezerowe słowa kodowe kodu H m sa wagi 2 m 1 Sta d kody sympleksowe to (2 m 1, m, 2 m 1 )-kody liniowe Ponieważ każda para słów kodowych kodu H m jest w tej samej odległości, to jeśli ze zbioru wierzchołków n-wymiarowej kostki {0, 1} n wybierzemy tylko te, które sa słowami kodowymi, to utworza one zbiór wypukły generowany przez te wierzchołki (tzw sympleks) Przykład 516 Binarny (3, 1, 3)-kod Hamminga H 2 jest kodem powtórzeniowym Jak pokazaliśmy w Przykładzie 29, kod sympleksowy H 2 jest (3, 2, 2)- kodem kontroli parzystości Wszystkie jego słowa kodowe sa w odległości 2 i tworza czworościan przedstawiony na poniższym rysunku: Najkrótszy kod liniowy wymiaru m i odległości d = 2 m 1 ograniczenia Griesmera 218 długość równa co najmniej ma na mocy m 1 2m 1 2 i = 2 m m = 2 m 1 i=0 Zatem (2 m 1, m, 2 m 1 )-kody sympleksowe H m sa przykładem kodów, które osia gaja ograniczenie Griesmera na minimalna długość kodu liniowego

16 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 16 (0,1,1) (1,0,1) (0,0,0) (1,1,0) 6 Kody wielomianowe Rysunek 1: Kod sympleksowy H 2 Niech k, n N i niech g(x) = g 0 + g 1 x + + g n k x n k GF (q)[x], g n k 0 Określmy odwzorowanie ξ : GF k (q)[x] GF n (q)[x] w naste cy sposób: u(x) c(x) := g(x)u(x) Dla u(x), v(x) GF k (q)[x], równość ξ(u(x)) = ξ(v(x)) implikuje g(x)(u(x) v(x)) = 0, czyli u(x) = v(x) i odwzorowanie ξ jest różnowartościowe Definicja 61 k-wymiarowa podprzestrzeń C g := ξ(gf k (q)[x]) = {g(x)t(x) t(x) GF k (q)[x]} n-wymiarowej przestrzeni GF n (q)[x] nazywamy (n, k)-kodem wielomianowym generowanym przez wielomian g(x) Niech p(x) GF (q)[x] be dzie wielomianem stopnia n takim, że g(x) p(x) i niech c(x) C g Kod wielomianowy C g jest ideałem w pierścieniu GF (q)[x]/(p(x)) Twierdzenie 62 Niech p(x) GF (q)[x] be dzie wielomianem stopnia n i niech C be dzie ideałem głównym w pierścieniu GF (q)[x]/(p(x)) generowanym przez wielomian g(x) Wówczas g(x) p(x) oraz C jest kodem wielomianowym generowanym przez wielomian g(x) Wielomiany 1, x,, x k 1 sa liniowo niezależne i tworza baze przestrzeni GF k (q)[x] Zatem macierz generuja ca kod wielomianowy C g = {g(x)t(x) t(x)

17 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 17 GF k (q)[x]} ma postać: g g 1 g g 2 g 1 g 0 0 G = g n k g n k 1 g n k 2 M k n(gf (q)) 0 g n k g n k g n k g n k Jednakże kod zdefiniowany przy zastosowaniu tak określonej macierzy generuja cej nie jest systematyczny Przykład 63 Niech C g be dzie binarnym kodem wielomianowym długości n = 7 generowanym przez wielomian g(x) = 1 + x + x 3 Ponieważ stg(x) = 3, zatem wymiar kodu k = 4 Macierza generuja kod C 1+x+x 3 jest G = M 4 7(Z 2 ) Dla wiadomości u = (u 0, u 1, u 2, u 3 ) Z 4 2, odpowiadaja cym jej słowem kodowym jest c = (u 0, u 0 + u 1, u 1 + u 2, u 0 + u 2 + u 3, u 1 + u 3, u 2, u 3 ) C Algorytm systematyczny Niech C g be dzie (n, k)-kodem wielomianowym generowanym przez wielomian g(x) i niech u(x) = u 0 + u 1 x + + u k 1 x k 1 be dzie wielomianem odpowiadaja cym przesyłanej wiadomości u = (u 0, u 1,, u k 1 ) GF (q) k Niech c (x) := x n k u(x) = u 0 x n k + + u k 1 x n 1 Istnieja (wyznaczone jednoznacznie), wielomiany f(x) GF k (q)[x] i r(x) GF n k (q)[x] takie, że c (x) = g(x)f(x) + r(x) Funkcje koduja ξ : GF k (q)[x] GF n (q)[x] definiujemy naste co: u(x) c(x) := c (x) r(x) = x n k u(x) r(x) = g(x)f(x) C g Dla tak zdefiniowanej funkcji koduja cej ξ, macierz generuja ca be dzie postaci ( ) P, gdzie P M k Ik n k (GF (q))

18 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 18 Wielomian sprawdzaja cy Jak pokazaliśmy wcześniej, (n, k)-kod wielomianowy C g jest ideałem w pierścieniu GF (q)[x]/(p(x)), gdy stp(x) = n oraz g(x) p(x) Niech c(x) C g Wtedy wielomian h(x) := p(x) k g(x) = h i x i jest stopnia k (h k 0) oraz i=0 c(x) C g c(x)h(x) (p(x)) 0 Wielomian h(x) nazywamy wielomianem sprawdzaja cym kodu C g 7 Kody cykliczne Definicja 71 Liniowy kod C nad ciałem GF (q) nazywamy kodem cyklicznym, jeśli jego słowa kodowe spełniaja warunek: c = (c 0, c 1,, c n 1 ) C (c n 1, c 0,, c n 2 ) C Przykład 72 (3, 2)-kod kontroli parzystości C = {(0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} jest kodem cyklicznym Niech c(x) = c 0 + c 1 x + + c n 1 x n 1 GF n (q)[x] be dzie wielomianem odpowiadaja cym wektorowi c = (c 0,, c n 1 ) GF (q) n W pierścieniu GF (q)[x]/(x n 1) xc(x) = c 0 x + c 1 x c n 2 x n 1 + c n 1 x n (xn 1) c n 1 + c 0 x + c 1 x c n 2 x n 1 Otrzymany wielomian odpowiada wektorowi (c n 1, c 0,, c n 2 ) Zatem mnożenie w pierścieniu GF (q)[x]/(x n 1) wielomianu c(x) przez x odpowiada cyklicznemu przesunie ciu współrze dnych wektora c = (c 0, c 1,, c n 1 ) Twierdzenie 73 Liniowy kod C GF n (q)[x] jest kodem cyklicznym wtedy i tylko wtedy, gdy C jest ideałem w pierścieniu GF (q)[x]/(x n 1) Każdy kod cykliczny C = (g(x)) jest kodem wielomianowym oraz g(x) x n 1 Wielomianem sprawdzaja cym kodu cyklicznego C = (g(x)) jest wielomian h(x) = xn 1 g(x) Ponadto c(x) C = (g(x)) c(x)h(x) (x n 1) 0 Przykład 74 Wielomian g(x) = 1 + x + x x n 1 generuje (n, 1)-kod powtórzeniowy nad dowolnym ciałem GF (q) Wielomian g(x) = x 1 generuje (n, n 1)-kod kontroli parzystości nad dowolnym ciałem GF (q), gdyż c(x) = c c n 1 x n 1 C x 1

19 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 19 n 2 (x 1) c(x) c(1) = 0 c n 1 = c i Ponieważ x n 1 = (x 1)(1 + x + x x n 1 ), oba te kody sa kodami cyklicznymi długości n Aby skonstruować wszystkie kody cykliczne długości n nad ciałem GF (q), należy rozłożyć wielomian x n 1 na czynniki nierozkładalne nad ciałem GF (q) W praktyce, dla dużych n, może to być bardzo trudne Przykład 75 Wielomian x 7 1 ma naste cy rozkład na czynniki nierozkładalne nad ciałem Z 2 : i=0 x 7 1 = (x + 1)(x 3 + x + 1)(x 3 + x 2 + 1) Istnieje 6 nietrywialnych binarnych kodów cyklicznych długości n = 7 Niech g(x) x n 1 Wtedy c(x) C g c(x)h(x) (xn 1) 0, gdzie h(x) = h 0 + h 1 x + + h k x k, jest wielomianem sprawdzaja cym kodu C g W iloczynie m(x) := c(x)h(x) wszystkie współczynniki m j, dla k j n 1, spełniaja naste cy układ n k równań: c 0 h k + c 1 h k c k 1 h 1 + c k h 0 = 0 c n k 2 h k + c n k 1 h k c n 3 h 1 + c n 2 h 0 = 0 (751) c n k 1 h k + c n k h k c n 2 h 1 + c n 1 h 0 = 0 Niech h k h k 1 h 1 h h k h k 1 h 1 h 0 0 H := 0 0 h k h k 1 h 1 h 0 0 Mn n k(gf (q)) 0 0 h k h k 1 h 1 h 0 Zatem, jeśli wektor c C g, to Hc T = 0 T n k Ponadto, h k 0, czyli rza d macierzy H równy jest n k Ponieważ stopień wielomianu generuja cego g(x) równy jest n k, to wymiar kodu C g wynosi k Jeśli k współrze dnych wektora c = (c 0, c 1,, c n k 1, c n k,, c n 1 ) przyjmiemy jako symbole wiadomości, to układ (751) jednoznacznie definiuje pozostałe n k symboli sprawdzaja cych Warunek Hc T = 0 T n k jest wie c wystarczaja cy na to, by c C g Sta d H jest macierza kontroli parzystości kodu wielomianowego C g Przykład 76 Niech p(x) = 1 + x 7 Z 2 [x] Wielomianem sprawdzaja cym kodu wielomianowego C 1+x+x 3 z przykładu 63 jest h(x) = 1 + x7 1 + x + x 3 = 1 + x + x2 + x 4

20 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 20 Sta d macierza kontrolna jest H = M 7 3(Z 2 ) Wektor c = (c 0, c 1, c 2, c 3, c 4, c 5, c 6 ) C 1+x+x 3 wtedy i tylko wtedy, gdy jego współrze dne spełniaja naste cy układ równań: c 0 + c 2 + c 3 + c 4 = 0 c 1 + c 3 + c 4 + c 5 = 0 c 2 + c 4 + c 5 + c 6 = 0 Macierza generuja kod dualny Cg do kodu C g jest transponowana macierz kontroli parzystości kodu C g, czyli macierz h k h k 1 h k 0 0 h k 2 h k 1 h k 0 H T = h 0 h 1 h 2 M n k n (GF (q)) 0 h 0 h h h 0 Jest to jednocześnie macierz generuja ca kod wielomianowy wymiaru n k generowany przez wielomian g (x) := x k h(x 1 ) = h k + h k 1 x + + h 1 x k 1 + h 0 x k Twierdzenie 77 Niech C g be dzie kodem wielomianowym z wielomianem sprawdzaja cym h(x) = xn 1 g(x) Kod dualny C g do kodu C g jest również kodem wielomianowym generowanym przez wielomian g (x) = x sth(x) h(x 1 ) Przykład 78 Nich C 1+x+x 3 be dzie kodem z Przykładu 76 Jego wielomianem sprawdzaja cym jest h(x) = 1 + x + x 2 + x 4 Sta d c C 1+x+x 3 = C 1+x 2 +x 3 +x 4 c = H T u T = (u 0, u 1, u 0 + u 2, u 0 + u 1, u 0 + u 1 + u 2, u 1 + u 2, u 2 ), dla u = (u 0, u 1, u 2 ) Z 3 2 Na mocy Twierdzenie 77, kod dualny do kodu cyklicznego C = (g(x)) jest kodem wielomianowym C g (x) generowanym przez wielomian g (x) = x sth(x) h(x 1 ) Jak nietrudno sprawdzić, x sth(x) h(x 1 )x n sth(x) g(x 1 ) = x n 1

21 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 21 Zatem g (x) x n 1 i kod C g (x) = (g (x)) jest również kodem cyklicznym Lemat 79 [Euler] Niech n i q be da liczbami naturalnymi takimi, że NW D(n, q) = 1 Istnieje najmniejsza liczba całkowita m 0 taka, że q m n 1 Liczbe m z Lematu 79 nazywamy rze dem liczby q modulo n Niech F be dzie ciałem Twierdzenie 710 Każdy unormowany wielomian f(x) F [x], dla którego stf(x) > 0, rozkłada sie jednoznacznie (z dokładnościa do kolejności czynników) na iloczyn unormowanych, nierozkładalnych nad F wielomianów, o stopniach wie kszych od zera Lemat 711 Każdy wielomian f(x) F [x] stopnia n N, ma w dowolnym rozszerzeniu K F, co najwyżej n pierwiastków Definicja 712 Niech n N Element α F nazywamy pierwiastkiem n- tego stopnia z 1, jeśli α jest pierwiastkiem wielomianu x n 1 Podgrupe µ n (F ) := {α F α n = 1} grupy multiplikatywnej ciała F nazywamy grupa pierwiastków z 1 Niech F = GF (q) be dzie ciałem skończonym o q = p r elementach i niech n = q 1 Grupa multiplikatywna GF (q) ciała GF (q) ma rza d q 1 i dla każdego 0 α GF (q), α q 1 = 1 Wobec tego µ q 1 (GF (q)) = GF (q) Ponieważ rza d grupy GF (q) jest równy stopniu wielomianu x n 1, ciało GF (q) jest najmniejszym rozszerzeniem ciała Z p zawieraja cym wszystkie pierwiastki tego wielomianu Niech m be dzie rze dem liczby q modulo n Wtedy n q m 1 i x n 1 x qm 1 1 W ciele GF (q m ) wielomian x qm 1 1 ma q m 1 różnych pierwiastków (każdy element grupy multiplikatywnej ciała GF (q m ) jest pierwiastkiem tego wielomianu) zatem również wielomian x n 1 ma n różnych pierwiastków w tym ciele Z definicji liczby m wynika, że x n 1 nie dzieli żadnego wielomianu x qs 1 1, dla 0 < s < m Sta d wszystkie pierwiastki wielomianu x n 1 leża w rozszerzeniu GF (q m ) ciała GF (q) i w żadnym mniejszym Wniosek 713 Najmniejszym rozszerzeniem ciała GF (q), w którym wielomian x n 1 rozkłada sie na czynniki liniowe jest ciało GF (q m ), gdzie m jest rze dem liczby q modulo n

22 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 22 Każda podgrupa grupy cyklicznej jest grupa cykliczna Sta d również grupa µ n (GF (q m )) jest cykliczna Generator grupy µ n (GF (q m )) nazywamy pierwotnym n-tym pierwiastkiem z 1 Jeśli n = q m 1, to µ n (GF (q m )) = GF (q m ) i pierwotny n-ty pierwiastek z 1 jest elementem pierwotnym ciała GF (q m ) Niech n i q be da wzgle dnie pierwsze, m be dzie rze dem liczby q modulo n oraz α GF (q m ) be dzie pierwotnym n-tym pierwiastkiem z 1 Wówczas n 1 x n 1 = (x α i ) i=0 Niech C = (g(x)) be dzie kodem cyklicznym długości n nad ciałem GF (q), którego g(x) jest wielomianem generuja cym Ponieważ g(x) jest podzielnikiem wielomianu x n 1 nad ciałem GF (q), zatem g(x) = i K(x α i ) GF (q)[x], dla pewnego podzbioru K {0,, n 1} Definicja 714 n-ty pierwiastek z jedynki należa cy do zbioru {α i i K} nazywamy zerem kodu C = (g(x)) Pozostałe n-te pierwiastki z 1 nazywamy niezerami tego kodu Niezera kodu C = (g(x)) sa zerami wielomianu h(x) = xn 1 g(x) Ponadto c(x) C g(x) c(x) c(α i ) = 0 dla każdego i K Twierdzenie 715 Niech α GF (q m ) be dzie pierwotnym n-tym pierwiastkiem z 1 i niech C = (g(x)) be dzie kodem cyklicznym długości n Załóżmy, że dla pewnych liczb całkowitych b 0 i δ 2, kod C ma cia g δ 1 kolejnych pote g α jako zera: g(α b ) = g(α b+1 ) = = g(α b+δ 2 ) = 0 Wówczas odległość kodu C jest wie ksza ba dź równa δ Niech K be dzie rozszerzeniem ciała F Twierdzenie 716 Niech α K be dzie elementem algebraicznym nad ciałem F Wtedy istnieje wyznaczony jednoznacznie unormowany wielomian nierozkładalny M(x) F [x], którego α jest pierwiastkiem, taki, że jeśli α jest pierwiastkiem wielomianu f(x) F [x], to M(x) f(x) Wielomian M(x) F [x] (z Twierdzenia 716) nazywamy wielomianem minimalnym elementu α K nad ciałem F K Lemat 717 Wielomiany minimalne elementów ciała skończonego maja naste ce własności:

23 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 23 Wielomian minimalny M(x) Z p [x] elementu α GF (p m ) ma stopień nie wie kszy niż m Wielomian minimalny M(x) Z p [x] elementu pierwotnego ciała GF (p m ) ma stopień równy m Jeśli M(x) Z p [x] jest wielomianem minimalnym niezerowego elementu α GF (p m ), to M(x) x pm 1 1 Elementy α i α p należa ce do ciała GF (p m ) maja taki sam wielomian minimalny M(x) Z p [x] W szczególności, elementy α, α 2 GF (2 m ) maja taki sam wielomian minimalny nad Z 2 Niech α be dzie elementem pierwotnym ciała GF (2 m ) Wówczas każda kolumne macierzy kontroli parzystości binarnego kodu Hamminga H m można traktować jako niezerowy element zbioru GF (2 m ): H m = ( 1 α α 2 α 2m 2 ) Sta d dla c(x) = c 0 + c 1 x + + c 2 m 2x 2m 2 Z 2 [x], c = (c 0, c 1,, c 2m 2) H m H m c T = 0 2 m 2 i=0 c i α i = 0 c(α) = 0 Niech M (1) (x) Z 2 [x] be dzie wielomianem minimalnym elementu pierwotnego α GF (2 m ) Na mocy Lematu 717, M (1) (x) x 2m 1 1 To oznacza, że (M (1) (x)) jest binarnym kodem cyklicznym długości 2 m 1 Ponieważ c(α) = 0 to M (1) (x) c(x), a zatem c(x) (M (1) (x)) Ponadto, dla każdego f(x) = f 0 + f 1 x + + f 2 m 2x 2m 2 (M (1) (x)), f(α) = 0, czyli f = (f 0, f 1,, f 2 m 2) H m Twierdzenie 718 Dla każdego m N, binarny kod Hamminga H m jest równoważny z binarnym kodem cyklicznym generowanym przez wielomian minimalny elementu pierwotnego α GF (2 m ) Przykład 719 Na mocy Twierdzenia 718, binarny kod Hamminga H m ma jako wielomian generuja cy wielomian minimalny M (1) (x) Z 2 [x] elementu pierwotnego α GF (2 m ) Na mocy Lematu 717, w ciele GF (2 m ) elementy α i α 2 maja taki sam wielomian minimalny, sta d M (1) (α) = M (1) (α 2 ) = 0 i kod H m ma pare kolejnych zer: α i α 2 Na mocy Twierdzenia 715, odległość binarnego kodu Hamminga H m równa jest co najmniej 3

24 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/ Kody BCH Niech n, m, q N, NW D(n, q) = 1, m be dzie rze dem q modulo n, α GF (q m ) be dzie pierwotnym n-tym pierwiastkiem z jedynki i niech M (i) (x) be dzie wielomianem minimalnym elementu α i Definicja 81 Niech b, δ Z +, δ 2 oraz g(x) := NW W (M (b) (x), M (b+1) (x),, M (b+δ 2) (x)) GF (q)[x] Kod cykliczny C = (g(x)) długości n nad ciałem GF (q) nazywamy kodem BCH o zadanej odległości δ Przykład 82 Binarne (2 m 1, 2 m m 1, 3)-kody Hamminga H m sa szczególnym przypadkiem BCH kodów dla q = 2, n = 2 m 1, b = 1 i δ = 3 (NW W (M (b) (x), M (b+1) (x),, M (b+δ 2) (x))) = (M (b) (x)) (M (b+1) (x)) (M (b+δ 2) (x)), czyli BCH kod C = (NW W (M (b) (x), M (b+1) (x),, M (b+δ 2) (x))) jest najwie kszym kodem cyklicznym długości n generowanym przez unormowany wielomian, dla którego α b,, α b+δ 2 sa pierwiastkami Każdy BCH kod C ma cia g δ 1 kolejnych pote g α jako zera Na mocy Twierdzenia 715 odległość kodu jest wie ksza ba dź równa zadanej odległości δ, czyli taki kod poprawia do t = [ δ 1 2 ] błe dów Stopień wielomianu minimalnego elementu α GF (q m ) jest zawsze mniejszy ba dź równy m, sta d stg(x) = n k m(δ 1) Twierdzenie 83 Kod BCH nad ciałem GF (q), długości n i zadanej odległości δ, ma faktyczna odległość d δ a wymiar wie kszy ba dź równy n m(δ 1) Twierdzenie 84 Niech h Z + BCH kod nad ciałem GF (q), długości n = q m 1 i zadanej odległości δ = q h 1 ma faktyczna odległość równa δ Twierdzenie 85 Niech C be dzie BCH kodem nad ciałem GF (q), długości n = q m 1 i zadanej odległości δ Wówczas faktyczna odległość d kodu C jest co najwyżej równa qδ 1 Jeśli b = 1, to kody BCH be dziemy nazywać kodami BCH w wa skim sensie Jeśli n = q m 1, to takie kody sa nazywane pierwotnymi kodami BCH W przypadku, gdy q = 2 oraz n = 2 m 1, stopień wielomianu g(x) generuja cego kod BCH można zredukować, gdyż M (2i) (x) = M (i) (x) Dla b = 1, kody z zadana odległościa 2t i 2t + 1 pokrywaja sie - oba maja taki sam wielomian generuja cy: g(x) = NW W (M (1) (x), M (3) (x),, M (2t 1) (x))

25 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 25 Wielomian c(x) = c 0 +c 1 x+ +c n 1 x n 1 GF (q)[x] jest słowem kodowym kodu C wtedy i tylko wtedy, gdy c(α b ) = c(α b+1 ) = = c(α b+δ 2 ) = 0 (851) Jako macierz kontroli parzystości dla kodu C możemy przyja ć H = 1 α b α 2b α (n 1)b 1 α b+1 α 2(b+1) α (n 1)(b+1) 1 α b+δ 2 α 2(b+δ 2) α (n 1)(b+δ 2) Mn δ 1(GF (q m )) Dla b = 1 i n = 2 m 1 w przypadku binarnym macierz kontroli parzystości przyjmuje postać: 1 α α 2 α n 1 H = 1 α 3 α 6 α 3(n 1) Mn t (GF (2 m )), 1 α 2t 1 α 2(2t 1) α (n 1)(2t 1) gdzie α jest elementem pierwotnym ciała GF (2 m ) Twierdzenie 86 Niech n = rs, dla r, s N Binarny BCH kod C w wa skim sensie, długości n i zadanej odległości δ = r, ma faktyczna odległość d = r Kody BCH sa praktyczne również z tego wzgle du, że istnieja efektywne algorytmy ich dekodowania Niech C be dzie binarnym, pierwotnym (n = 2 m 1, k)-kodem BCH w wa skim sensie z zadana odległościa δ = 2t + 1 i niech α be dzie elementem pierwotnym ciała GF (2 m ) Załóżmy, że przesyłamy słowo kodowe c = (c 0,, c n 1 ) C i w wyniku transmisji otrzymujemy wektor f = c + e = (f 0,, f n 1 ) Z2 n, gdzie e = (e 0,, e n 1 ) Z2 n jest wektorem błe du Z definicji kodu BCH, syndrom wektora f równy jest Hf T = 1 α α 2 α n 1 1 α 3 α 6 α 3(n 1) 1 α δ 2 α 2(δ 2) α (n 1)(δ 2) n 1 i=0 f iα i n 1 i=0 f iα 3i n 1 i=0 f iα (δ 2)i = f(α) f(α 3 ) f(α δ 2 ) =: A 1 A 3 A δ 2 f 0 f 1 f n 1 = Zauważmy, że dla l = 2r, A 2r = f(α 2r ) = [f(α r )] 2 = A 2 r Sta d A 2 = A 2 1, A 4 = A 2 2,, A 2t = A 2 t

26 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 26 Okazuje sie, że istnieje wielomian, którego współczynniki można obliczyć znaja c syndrom wektora f, a którego pierwiastki wskaża pozycje, na których zostały popełnione błe dy w przesyłanym słowie kodowym Załóżmy, że wektor błe du e ma wage wt(e) = w i zawiera 1 na pozycjach r 1,, r w Wielomianem lokalizacji nazywamy wielomian σ(x) := w (1 α r i x) = i=1 w σ i x i GF (2 m )[x] i=0 Oczywiście σ 0 = 1 oraz dla 1 l δ 1, A l = f(α l ) = c(α l ) + e(α l ) = e(α l ) = w α lri Współczynniki σ i oraz A l sa zwia zane naste cym układem tzw równań Newtona: σ 1 A 1 A 2 A σ 2 A 3 A 4 A 3 A 2 A σ 3 = A 5 A 2w 2 A 2w 3 A w 1 i=1 σ w A 2w 1 Równania Newtona pozwalaja ustalić liczbe w faktycznie popełnionych błe - dów Twierdzenie 87 Niech w, t N, A l := w i=1 αlr i oraz A 2 A M t := A 4 A 3 A 2 A M t t(gf (2 m )) A 2t 4 A 2t 5 A t 3 A 2t 2 A 2t 3 A t 1 Wtedy: 1 Jeśli w = t lub w = t 1, to detm t 0 2 Jeśli w < t 1, to detm t = 0 Na podstawie Twierdzenia 87 możemy przyja ć naste strategie dekodowania Załóżmy, że przy transmisji słowa c C nasta piło t błe dów W układzie równań Newtona podstawmy w = t Na mocy Twierdzenia 87, jeśli faktycznie wysta piło t lub t 1 błe dów, to istnieje jednoznaczne rozwia zanie układu równań Newtona Jeśli jednak wysta piło mniej niż t 1 błe dów, układ nie ma jednoznacznych rozwia zań Wtedy zakładamy, że nasta piły t 2 błe dy, zaste pujemy w układzie równań Newtona w przez t 2 i ponownie próbujemy rozwia zać układ Procedure powtarzamy, aż do chwili, gdy dla pewnego t be dzie

27 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 27 istniało jednoznaczne rozwia zanie układu Newtona Dla tak znalezionego w = t rozwia zujemy układ równań Newtona i znajdujemy współczynniki wielomianu lokalizacji Jeśli obliczony wielomian lokalizacji ma pierwiastki, to wskaża one pozycje, na których zostały popełnione błe dy Jeśli nie, oznacza to, że ilość popełnionych błe dów przekracza możliwości korekcyjne kodu Trudność tej metody polega na tym, iż wymaga wielokrotnego wyliczania wyznacznika wysokiego stopnia w ciele GF (2 m ) Jeśli zatem t jest duże, stosuje sie inne metody Przykład 88 Dla binarnego BCH kodu poprawiaja cego błe dy podwójne (w = 2) równania Newtona przybieraja naste postać: ( 1 0 A 2 A 1 ) ( σ1 σ 2 Jeśli A 1 0 to otrzymujemy: ) = ( A1 A 3 ) σ 1 = A 1 A 2 σ 1 + A 1 σ 2 = A 3 A 1 σ 2 = A 3 + A 2 σ 1 = A 3 + A 1 A 2 σ 2 = A 2 + A 3 A 1 Ponieważ A 2 = A 2 1, zatem σ 2 = A A 3 A 1 i wielomian lokalizacji ma postać: σ(x) = 1 + σ 1 x + σ 2 x 2 = 1 + A 1 x + (A A 3 A 1 )x 2 Jeśli A 3 = A 3 1 to jedynym pierwiastkiem wielomianu σ(x) = 1 + A 1 x jest α i Wnioskujemy sta d, że bła d wysta pił na pozycji i, gdzie α i = A 1 Jeśli A 3 A 3 1 to równanie σ(x) = 1 + A 1 x + (A A3 A 1 )x 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki α i i α j, co oznacza, że błe dy wysta piły na pozycjach i oraz j Jeśli natomiast dla A 1 0, równanie 1 + A 1 x + (A A 3 A 1 )x 2 = 0 nie ma rozwia zań lub jeśli A 1 = 0 i A 3 0, to zostały popełnione co najmniej 3 błe dy Przykład 89 Niech α be dzie elementem pierwotnym ciała GF (16) i niech C be dzie BCH kodem binarnym długości n = 15, generowanym przez wielomian g(x) = M (1) (x)m (3) (x)m (5) (x), czyli kod C ma α, α 2, α 3, α 4, α 5, α 6 jako kolejne zera Zatem jego odległość d 7 i może on poprawić do 3 błe dów Załóżmy, że w = 3 i obliczmy wyznacznik macierzy M 3 : detm 3 = det A 2 A A 4 A 3 A 2 Jeśli detm 3 = A A 3 0 to układ A 2 A A 4 A 3 A 2 = A 1 A 2 + A 3 = A A 3 σ 1 σ 2 σ 3 = A 1 A 3 A 5

28 Kody korekcyjne - konspekt wykładu 2013/14 28 ma jednoznaczne rozwia zanie: σ 1 = A 1 σ 2 = A2 1A 3 + A 5 A A 3 σ 3 = A 1A 5 + A A 3 1A 3 + A 6 1 A A 3 Na mocy Twierdzenia 87, jeśli przy transmisji zostały popełnione dwa lub trzy błe dy to pierwiastki wielomianu lokalizacji σ(x) = 1+σ 1 x+σ 2 x 2 +σ 3 x 3 wskaża pozycje, na których one wysta piły Jeśli natomiast detm 3 = A A 3 = 0 to wnioskujemy, że wysta pił co najwyżej jeden bła d i ewentualny pierwiastek wielomianu lokalizacji σ(x) = 1 + A 1 x wskaże na miejsce jego popełnienia Przykład 810 Niech C be dzie binarnym BCH kodem z Przykładu 88 Załóżmy, że po transmisji słowa kodowego c C otrzymujemy wektor f Z2 15, którego syndrom równy jest (A 1, A 3 ) = (α 14, α) Ponieważ (A 1, A 3 ) (0, 0) wnioskujemy, że w trakcie przesyłania wysta piły błe dy Obliczamy wielomian lokalizacji σ(x) = 1 + α 14 x + (α 13 + α α 14 )x2 = 1 + α 14 x + α 14 x 2 Pierwiastkami tego wielomianu sa x 1 = α 9 oraz x 2 = α 7 Zatem w czasie transmisji błe dy zostały popełnione na pozycjach 6 i 8 Sta d wysłanym słowem kodowym jest c = f + (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) Złóżmy teraz, że syndrom wektora f równy jest (A 1, A 3 ) = (α 7, α 4 ) Wówczas σ(x) = 1 + α 7 x + α 5 x 2 W tym przypadku wielomian σ(x) nie ma pierwiastków, co pokazuje, że w czasie transmisji musiały być popełnione co najmniej 3 błe dy Przykład 811 Dla n = = 127, t = 5 oraz k = n 7t = 92, binarny (127, 92, 11)-kod był pierwszym praktycznie realizowanym BCH kodem Natomiast dla n = = 255, t = 3 oraz k = n 3t = 231, binarny (255,231,7)-kod BCH jest powszechnie stosowany w europejskich systemach przesyłania danych Twierdzenie 812 Niech m N be dzie liczba parzysta i niech n = 2 m 1 be dzie długościa pierwotnego binarnego BCH kodu C w wa skim sensie, poprawiaja cego błe dy podwójne Wówczas C jest kodem prawie-doskonałym 9 Kody Reeda-Solomona Kody Reeda-Solomona tworza szczególna podklase kodów BCH Stosujemy je, gdy chcemy by długość kodu była mniejsza od wielkości ciała Kody Reeda- Solomona maja znaczenie zarówno teoretyczne jak i praktyczne