Detekcja i korekcja błędów w transmisji cyfrowej
|
|
- Roman Milewski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Detekcja i korekcja błędów w transmisji cyfrowej
2 Błędy w transmisji cyfrowej pojedyncze wielokrotne. całkowita niepewność względem miejsca zakłóconych bitów oraz czy w ogóle występują paczkowe (grupowe) (burst error) długość paczki błędów wymazanie danych (erasure) całkowita niepewność względem wartości zakłóconych bitów, ale miejsca tych bitów są znane
3 CRC (Cyclic Redundancy Check) metoda najbardziej popularna i skuteczna
4 Przykład CRC w systemie dziesiętnym Liczba (informacja) nadawana 745 wybieramy dzielnik np. 7 przesuwamy liczbę w lewo 745 dzielimy przez 7 otrzymujemy resztę 2. Należałoby tę resztę odjąć od 745, aby uzyskać liczbę podzielną przez 7, ale wtedy zmieniłaby się liczba informacyjna Można dodać dopełnienie do 7, czyli dodać 5 Ostatecznie liczba 745 zostaje zakodowana do postaci 7455, która dzieli się przez 7. Jeżeli odebrana liczba będzie zawierać jeden błąd np nie dzielą się bez reszty przez 7 błąd można wykryć dzieli się przez 7!! Zmieniona liczba różni się o od oryginału, a jest podzielne przez 7.
5 Słowa i liczby binarne są reprezentowane przez wielomiany zmiennej Każda potęga w tym wielomianie reprezentuje odpowiednią pozycję cyfry binarnej ma wartość nieoznaczoną, dlatego nie można obliczać wartości tego wielomianu W systemie dwójkowym
6 Arytmetyka wielomianów Dodawanie modulo 2 bez przeniesień z uwzględnieniem właściwych potęg zmiennej ( 7 6 ) ( 6 5 ) 7 ( ) 6 5 ( ) 7 5 Odejmowanie to dodawanie elementu przeciwnego element przeciwny Element przeciwny do a taki, że a + (-a) =, b a b ( a) W arytmetyce mod 2 + = i + = W arytmetyce modulo 2 odejmowanie jest równoważne dodawaniu!
7 Mnożenie ( )( 2 ) ( ) 2 ( ) 3 Dzielenie iloraz : dzielnik reszta : reszta
8 Metoda CRC polega na dodawaniu bitów będących resztą z dzielenia wielomian generujący Traktując bity reszty jako najmniej znaczące, należy bity wiadomości przesunąć odpowiednio w lewo, czyli zwiększyć ich wagę n-k razy, aby zrobić miejsce dla bitów reszty n - k = liczba bitów reszty = liczba bitów dodatkowych
9 Procedura CRC ) przyjmujemy wielomian generujący g() stopnia g = n k; 2) słowo wiadomości (binarne) przedstawiamy w postaci wielomianu m(); 3) wielomian m() przesuwamy w lewo o g pozycji, tj. zwiększamy wagę jego wszystkich wyrazów g razy, a puste miejsca w wielomianie uzupełniamy zerami; 4) otrzymujemy wielomian m() g ; 5) wielomian ten dzielimy przez g(); 6) resztę z dzielenia dopisujemy do wielomianu m() g, 7) otrzymujemy wielomian m() g + r(); 8) zamieniamy go na liczbę binarną otrzymujemy końcowe słowo kodowe. m( ) nk m()
10 Po stronie odbiorczej odbieramy całe słowo łącznie z bitami reszty i dzielimy je przez ten sam wielomian generujący Dlaczego? słowo powinno podzielić się bez reszty! Jak można zapisać wielomian całego słowa kodowego? nk c( ) m( ) r( ) gdzie n = długość słowa kodowego, k = długość wiadomości m( ) nk m()
11 ) ( ) ( ) ( ) ( r q g m k n ) ( ) ( ) ( r m c k n ale podstawiając ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( r r q g c k n m ) (... w stosowanej arytmetyce Prawidłowe słowo kodowe dzieli się bez reszty przez wielomian generujący... i to jest sprawdzane po stronie odbiorczej bo w ten sposób została wyznaczona r()
12 słowo kodowe poprawne c() słowo niepoprawne (błędne) c () przy czym c' ( ) c( ) e( ) dodawanie mod 2! e() = wektor błędów - słowo zawierające i ; jedynka oznacza, że na danym miejscu wystąpił błąd np. e() = - na 5. bicie wystąpił błąd e() = - błąd paczkowy o długości 6 bitów sprawdzana jest podzielność c () przez g() c' ( ) g( ) q( ) e( ) to jest na pewno podzielne czy to jest podzielne przez g()?
13 Wybór wielomianu g() e() nie powinno być podzielne przez g() w przeciwnym razie nie wykryje się błędu! Dla błędów pojedynczych e() =... albo... albo 2... albo 3... albo 4... itd.. Dlatego Wielomian generujący g() nie powinien mieć postaci m - nie może być jednomianem m[, n-]
14 Wybór wielomianu g() Dla błędów podwójnych e() = +... albo albo albo albo itd.. ogólnie e() = i + j = i (+ j-i ) j, i numery = < i < j < n- błędnych bitów Wiadomo już, że g() nie dzieli bez reszty i czy może podzielić bez reszty (+ j-i )?
15 Wybór wielomianu g() Jeżeli g() jest primitive (nierozkładalny) to nie dzieli dwumianu ( + j-i ) dla j - i < 2 n - k - n - k = stopień wielomianu g() Przykład n = 7 k = 3 wielomian g() = nie dzieli (+ n ) dla n < 5 n taki błąd podwójny oraz krótsze będą wykryte
16 Wybór wielomianu g() niektóre stosowane wielomiany generujące CRC reszta 8-bitowa nagłówek ATM CRC reszta -bitowa ATM AAL CRC itd. CRC IBM Bisync ITU HDLC, XMODEM, V.4 CCITT-32 ITU LAN, IEEE 82, V.42 Przykładowo, wielomian CRC-2 wykrywa wszystkie błędy paczkowe o długości 2 b, 99,95% błędów o długości 3 b i 99,976% jeszcze dłuższych!
17 Najlepsze wielomiany generujące wg S. Jackowskiego (Telekomunikacja - Pol. Radomska) n = 3 n = 7 n = 5 n = 3 n = 63 n = 27 n = długość całego słowa
18 Dotychczas było tylko wykrywanie błędów lepiej błędy wykrywać i korygować do tego celu potrzebny jest znaczny nadmiar informacji kodowanie nadmiarowe - - przekształcanie k-pozycyjnych binarnych ciągów informacyjnych w n-pozycyjne ciągi kodowe, gdzie n > k
19 Rodzaje kodów korekcyjnych (protekcyjnych)
20 Kodowanie blokowe - proces kodowania w i-tym takcie nie zależy od przebiegu kodowania w poprzednich taktach. oznaczenie kodu nadmiarowego kod (n,k) bity informacyjne bity nadmiarowe bity informacyjne wydzielone od bitów nadmiarowych kod systematyczny bity informacyjne i bity nadmiarowe pomieszane kod niesystematyczny
21 Zdolność korekcyjna kodu zależy od odległości Hamminga między słowami kodowymi Odległość Hamminga - liczba pozycji bitów, na których dwa słowa kodowe się różnią d H inaczej miara niepodobieństwa słów kodowych Minimalna odległość Hamminga dla kodu - najmniejsza odległość dla dowolnej pary słów z danej przestrzeni kodowej d Hmin
22 Detekcja błędów Największa krotność błędów wykrywanych przez blokowy kod nadmiarowy (n,k) o odległości d Hmin wynosi d H min Korekcja błędów Szukamy takiego słowa kodowego, które jest najbardziej podobne do znanych słów kodowych (ma najmniejszą odległość H. od słowa odebranego). Ilość błędów korygowalnych d E H min 2 część całkowita
23 Błąd typu wymazanie danych (erasure) całkowita niepewność względem zakłóconych bitów, ale miejsca tych bitów są znane liczba korygowalnych błędów wymazania d H min liczba korygowalnych zwykłych błędów d E H min 2 korekcja błędów wymazania jest łatwiejsza!
24 Przykład z jednowymiarową przestrzenią kodową d H = d H = 2 d H = 3 d H = 4 d H = 5 poprawne słowo kodowe niepoprawne słowo kodowe skutek zakłócenia
25 Formalne przedstawienie kodowania nadmiarowego Słowo informacyjne m m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 m(, k) Macierz generująca G (k n) Słowo kodowe c c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 8 c 9 c c c 2 c(, n)
26 słowo informacyjne macierz generująca = słowo kodowe m G = c m [m m 2 m 3 m 4 ] G = [m m 2 m 3 m 4 m m 2 m 4 m m 3 m 4 m 2 m 3 m 4 ] = c Macierz G zawiera podmacierz jednostkową stopnia k oraz podmacierz zadającą kod (do obliczania bitów dodatkowych). Wiersze i kolumny G można przestawić wtedy otrzyma się kod niesystematyczny.
27 Po stronie odbiorczej Kod odebrany c c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 c 8 c 9 c c c 2 Macierz kontroli parzystości H syndrom s s s 2 s 3 s 4 odbiór bez błędów syndrom = macierz odbiór błędny - syndrom wskazuje pozycję błędu
28 Dokładniejsza postać macierzy G i H Na pewno istnieje ścisły związek między macierzami G i H c = m G oraz s = c H uwaga tradycyjnie przyjmuje się, że przy kontroli parzystości korzysta się z macierzy transponowanej, tzn. s = c H T i tak będzie to stosowane postulat: c H T = dla słowa poprawnego ale c = m G m G H T = dla dowolnego słowa informacyjnego G H T G H T = związek między macierzami
29 Dokładniejsza postać macierzy G i H W przypadku słowa błędnego ma być s c H T dla słowa błędnego, ale c = c + e (c + e) H T = c H T + e H T = s = e H T Dla odpowiednio skonstruowanej macierzy H wartość syndromu nie zależy od słowa informacyjnego, a tylko od rozkładu błędów. G H T =
30 Dokładniejsza postać macierzy G i H G = [ P ] podmacierz jednostkowa n k podmacierz zadająca kod aby G H T =, macierz H T powinna być postaci przy mnożeniu macierzy każdy składnik będzie postaci p r,m p r,m, a to jest zawsze =.
31 Dokładniejsza postać macierzy G i H zatem nietransponowana macierz H będzie równa n H = [ P T ] n-k
32 Liczba m bitów korekcyjnych niezbędnych do skorygowania t błędnych bitów. liczba ta musi spełniać nierówność 2 m t i k i m wzór uniwersalny, niezależny od zastosowanego kodu korekcyjnego a b a! b!( a b)!
33 Kodowanie za pomocą wielomianu generującego wyznaczane są bity reszty z dzielenia i one stanowią bity nadmiarowe; jeżeli będzie ich dostatecznie dużo można skorygować błędy Kodery wielomianowe są proste do realizacji sprzętowej
34 Układowa realizacja kodowania wielomianowego dane wej przerzutniki MS
35 Układowa realizacja kodowania wielomianowego dane wej. po pierwszym takcie zegara najpierw bity bardziej znaczące
36 Układowa realizacja kodowania wielomianowego dane wej. słowo informacyjne najpierw bity bardziej znaczące koder koder2 bity reszty
37 Przykład kodera IBM Bisync (z systemu IBM36) g()=
38 Kody cykliczne największe zastosowanie praktyczne (prosta realizacja układowa) specyficzne kody wielomianowe cykliczność = wektory kodowe po przesunięciu symboli ( w kółko ) też należą do prawidłowych słów kodowych c c 2 c 3 c 4 c 5 c 6... to są słowa kodowe (łącznie z bitami nadmiarowymi)!
39 Kodowanie Reeda-Solomona szczególnie do korekcji błędów paczkowych Podstawowa jednostka w kodzie RS = grupa bitów (symbol), a nie bit Aby skorygować t symboli potrzeba 2t symboli dodatkowych (np. bajtów) symbol s-bitowy (np. s = 8) wtedy maksymalna długość całego słowa n = 2 s
40 Przykład kodowania korekcyjnego dotyczącego grup bitów, np. bajtów A B C X Y A+B+C A+2B+3C Jeżeli odebrano (jeden bajt błędny) A B C X Y Oblicza się A+B+C = 5; wartość błędu = X-(A+B+C) = 54-5 = 4 Ale gdzie ten błąd wystąpił? Oblicza się A+2B+3C = 5; (Y 5) / 4 = 3 Miejsce błędu = Y X Y X miejsce błędu Kod koryguje jeden bajt kosztem 2 bajtów dodatkowych
41 Kody splotowe (P. Elias 955) dane wejściowe kodowane są na bieżąco (jak dochodzą do wejścia) nie ma potrzeby zapamiętywania bloków danych w celu ich zakodowania dane wejściowe dane zakodowane przykład prostego kodera splotowego elementy pamięciowe multiplekser na każdy bit wejściowy przypada aż 3 bity wyjściowe! sprawność kodera =/3 bit informacji i 2 nadmiarowe
42 poz. funkcja przejścia = poz.2 funkcja przejścia = + D 2 poz.3 funkcja przejścia = + D + D 2 D = operator opóźnienia D = opóźnienie o takt D 2 = opóźnienie o 2 takty, itd. odpowiedź impulsowa kodera = przy pobudzeniu impulsem, tzn. wejściowy ciąg bitów = na. wyjściu + na 2. wyjściu + na 3. wyjściu
43 poz. funkcja przejścia = poz.2 funkcja przejścia = + D 2 poz.3 funkcja przejścia = + D + D 2 D = operator opóźnienia D = opóźnienie o takt D 2 = opóźnienie o 2 takty, itd. odpowiedź impulsowa kodera = przy pobudzeniu impulsem, tzn. wejściowy ciąg bitów = na. wyjściu + na 2. wyjściu + na 3. wyjściu odpowiedź impulsowa kodera =
44 poz. funkcja przejścia = poz.2 funkcja przejścia = + D 2 poz.3 funkcja przejścia = + D + D 2 D = operator opóźnienia D = opóźnienie o takt D 2 = opóźnienie o 2 takty, itd. odpowiedź impulsowa kodera = przy pobudzeniu impulsem, tzn. wejściowy ciąg bitów = na. wyjściu + na 2. wyjściu + na 3. wyjściu odpowiedź impulsowa kodera =
45 poz. funkcja przejścia = poz.2 funkcja przejścia = + D 2 poz.3 funkcja przejścia = + D + D 2 D = operator opóźnienia D = opóźnienie o takt D 2 = opóźnienie o 2 takty, itd. odpowiedź impulsowa kodera = przy pobudzeniu impulsem, tzn. wejściowy ciąg bitów = na. wyjściu + na 2. wyjściu + na 3. wyjściu odpowiedź impulsowa kodera =
46 poz. funkcja przejścia = poz.2 funkcja przejścia = + D 2 poz.3 funkcja przejścia = + D + D 2 D = operator opóźnienia D = opóźnienie o takt D 2 = opóźnienie o 2 takty, itd. odpowiedź impulsowa kodera = przy pobudzeniu impulsem, tzn. wejściowy ciąg bitów = na. wyjściu + na 2. wyjściu + na 3. wyjściu odpowiedź impulsowa kodera =
47 poz. funkcja przejścia = poz.2 funkcja przejścia = + D 2 poz.3 funkcja przejścia = + D + D 2 D = operator opóźnienia D = opóźnienie o takt D 2 = opóźnienie o 2 takty, itd. odpowiedź impulsowa kodera = przy pobudzeniu impulsem, tzn. wejściowy ciąg bitów = na. wyjściu + na 2. wyjściu + na 3. wyjściu odpowiedź impulsowa kodera =...
48 krata (trellis) stany kodera wyrażone przez stany przerzutników generowane stany na wyjściu pewne przejścia są niedozwolone!
49 stany kodera przy danej sekwencji bitów wejściowych dla kodów splotowych nie można określić odległości Hamminga, bo słowa kodowe jako takie nie isstnieją!
50 dekodowanie kodów splotowych algorytm Viterbiego przykład A. Viterbi poszukiwanie takiego ciągu bitów, aby był on najmniej odległy (np. w sensie Hamminga) od ciągu odebranego współczesne dekodery Viterbiego specjalizowane układy scalone GSM, DVB, UMTS, WLAN
51 koder splotowy z systemu radiofonii DAB
52
Detekcja i korekcja błędów w transmisji cyfrowej
Detekcja i korekcja błędów w transmisji cyfrowej Błędy w transmisji cyfrowej pojedyncze wielokrotne. całkowita niepewność względem miejsca zakłóconych bitów oraz czy w ogóle występują paczkowe (grupowe)
Bardziej szczegółowoW11 Kody nadmiarowe, zastosowania w transmisji danych
W11 Kody nadmiarowe, zastosowania w transmisji danych Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Plan wykładu 1. Kody nadmiarowe w systemach transmisji cyfrowej 2. Typy kodów,
Bardziej szczegółowoTeoria informacji i kodowania Ćwiczenia Sem. zimowy 2016/2017
Algebra liniowa Zadanie 1 Czy jeśli wektory x, y i z, należące do binarnej przestrzeni wektorowej nad ciałem Galois GF (2), są liniowo niezależne, to można to samo orzec o następujących trzech wektorach:
Bardziej szczegółowoLaboratorium ochrony danych
Laboratorium ochrony danych Ćwiczenie nr 3 Temat ćwiczenia: Kod BCH Cel dydaktyczny: Zapoznanie się z metodami detekcji i korekcji błędów transmisyjnych za pomocą binarnych kodów cyklicznych, na przykładzie
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoZygmunt Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Proces transmisji może w prowadzać błędy do przesyłanych wiadomości błędy pojedyncze lub grupowe Detekcja: Wymaga uznania, że niektóre wiadomości są nieważne
Bardziej szczegółowoKody splotowe. Zastosowanie
Kody splotowe Zastosowanie Niekiedy potrzeba buforowania fragmentu wiadomości przed zakodowaniem, tak jak to ma miejsce w koderze blokowym, jest przeszkodą, gdyż dane do zakodowania napływają strumieniem.
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości
Kodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład 13 1 Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości Przykład Różne macierze parzystości dla kodu powtórzeniowego. Co wiemy z algebry
Bardziej szczegółowoSystemy bezpieczne i FTC (Niezawodne Systemy Cyfrowe)
Systemy bezpieczne i FTC (Niezawodne Systemy Cyfrowe) dr inż Krzysztof Berezowski 220/C3 tel +48 71 320 27-59 krzysztofberezowski@pwrwrocpl 1 Wybrane kody dr inż Krzysztof Berezowski 220/C3 tel +48 71
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 7: Kody korygujące błędy Gniewomir Sarbicki Błędy transmisji i kodowanie nadmiarowe Zakładamy, że przy pewnym małym prawdopodobieństwie ɛ przy transmisji bit zmienia wartość.
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 1 Kody cykliczne: dekodowanie Definicja 1 (Syndrom) Niech K będzie kodem cyklicznym z wielomianem generuja- cym g(x). Resztę z dzielenia słowa
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoKody blokowe Wykład 2, 10 III 2011
Kody blokowe Wykład 2, 10 III 2011 Literatura 1. R.M. Roth, Introduction to Coding Theory, 2006 2. W.C. Huffman, V. Pless, Fundamentals of Error-Correcting Codes, 2003 3. D.R. Hankerson et al., Coding
Bardziej szczegółowoxx + x = 1, to y = Jeśli x = 0, to y = 0 Przykładowy układ Funkcja przykładowego układu Metody poszukiwania testów Porównanie tabel prawdy
Testowanie układów kombinacyjnych Przykładowy układ Wykrywanie błędów: 1. Sklejenie z 0 2. Sklejenie z 1 Testem danego uszkodzenia nazywa się takie wzbudzenie funkcji (wektor wejściowy), które daje błędną
Bardziej szczegółowoKod U2 Opracował: Andrzej Nowak
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoSieci Komputerowe Mechanizmy kontroli błędów w sieciach
Sieci Komputerowe Mechanizmy kontroli błędów w sieciach dr Zbigniew Lipiński Instytut Matematyki i Informatyki ul. Oleska 48 50-204 Opole zlipinski@math.uni.opole.pl Zagadnienia Zasady kontroli błędów
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów.
Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. Adam Kolany Instytut Techniczny adamkolany@pm.katowice.pl Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia 2012 1 /
Bardziej szczegółowoKod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych.
Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych. Jeśli bit znaku przyjmie wartość 0 to liczba jest dodatnia lub posiada wartość 0. Jeśli bit
Bardziej szczegółowoArytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI
Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki
Wstęp do Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 4 1 / 1 DZIELENIE LICZB BINARNYCH Dzielenie
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 3 1 / 42 Reprezentacja liczb całkowitych
Bardziej szczegółowoArytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Bardziej szczegółowoZapis liczb binarnych ze znakiem
Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q
LABORAORIUM PROCESORY SYGAŁOWE W AUOMAYCE PRZEMYSŁOWEJ Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q 1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej. Kody stałopozycyjne mają ustalone
Bardziej szczegółowoSystemy zapisu liczb.
Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Arytmetyka. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Arytmetyka Magdalena Lemańska System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności. System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę
Bardziej szczegółowoPolska-Brazylia 5:0, czyli o poprawianiu błędów w przekazywanych informacjach
Polska-Brazylia 5:0, czyli o poprawianiu błędów w przekazywanych informacjach Witold Tomaszewski Instytut Matematyki Politechniki Śląskiej e-mail: Witold.Tomaszewski@polsl.pl Witold Tomaszewski (Instytut
Bardziej szczegółowoKody splotowe (konwolucyjne)
Modulacja i Kodowanie Labolatorium Kodowanie kanałowe kody konwolucyjne Kody splotowe (konwolucyjne) Główną różnicą pomiędzy kodami blokowi a konwolucyjnymi (splotowymi) polega na konstrukcji ciągu kodowego.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoPrzedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński
Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Bardziej szczegółowoKod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie:
Wykład 3 3-1 Reprezentacja liczb całkowitych ze znakiem Do przedstawienia liczb całkowitych ze znakiem stosowane są następujące kody: - ZM (znak-moduł) - U1 (uzupełnienie do 1) - U2 (uzupełnienie do 2)
Bardziej szczegółowoCyfrowy zapis informacji
F1-1 Cyfrowy zapis informacji Alfabet: uporządkowany zbiór znaków, np. A = {a,b,..., z} Słowa (ciągi) informacyjne: łańcuchy znakowe, np. A i = gdtr Długość słowa n : liczba znaków słowa, np. n(sbdy) =
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Informatyki
Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji
Bardziej szczegółowoKodowanie informacji. Kody liczbowe
Wykład 2 2-1 Kodowanie informacji PoniewaŜ komputer jest urządzeniem zbudowanym z układów cyfrowych, informacja przetwarzana przez niego musi być reprezentowana przy pomocy dwóch stanów - wysokiego i niskiego,
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowoArytmetyka stałopozycyjna
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 3. Arytmetyka stałopozycyjna Cel dydaktyczny: Nabycie umiejętności wykonywania podstawowych operacji arytmetycznych na liczbach stałopozycyjnych.
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów
Wykład jest przygotowany dla IV semestru kierunku Elektronika i Telekomunikacja. Studia I stopnia Dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów Prezentacja multimedialna współfinansowana przez Unię
Bardziej szczegółowo2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,
2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d
Bardziej szczegółowoArytmetyka komputera
Arytmetyka komputera Systemy zapisu liczb System dziesiętny Podstawą układu dziesiętnego jest liczba 10, a wszystkie liczby można zapisywać dziesięcioma cyframi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jednostka
Bardziej szczegółowoPodstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych
1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie
Bardziej szczegółowoTemat 7. Dekodery, enkodery
Temat 7. Dekodery, enkodery 1. Pojęcia: koder, dekoder, enkoder, konwerter kodu, transkoder, enkoder priorytetowy... Koderami (lub enkoderami) nazywamy układy realizujące proces zamiany informacji kodowanej
Bardziej szczegółowoDZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY
DZIESIĘTNY SYSTEM LICZBOWY Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje dziesięć symboli (cyfr): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Dowolną liczbę w systemie dziesiętnym możemy przedstawić jako następująca
Bardziej szczegółowo1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q).
1 WPROWADZENIE 1 Kody korekcyjne - zadania Agata Pilitowska 1 Wprowadzenie 1 Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, d(c, f ) = n (c i f i ) 2, i=1 wt(c + f ) = wt(c) + wt(f ) 2wt(cf ), wt(c + f
Bardziej szczegółowo1.1. Pozycyjne systemy liczbowe
1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład IV
Pracownia Komputerowa wykład IV dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych
Kodowanie liczb całkowitych w systemach komputerowych System pozycyjny Systemy addytywne znaczenie historyczne Systemy pozycyjne r podstawa systemu liczbowego (radix) A wartość liczby a - cyfra i pozycja
Bardziej szczegółowoModulacja i Kodowanie. Labolatorium. Kodowanie Kanałowe Kody Hamminga
Modulacja i Kodowanie Labolatorium Kodowanie Kanałowe Kody Hamminga Kody Hamminga należą do grupy kodów korekcyjnych, ich celem jest detekcja I ewentualnie poprawianie błędów. Nazwa tego kody pochodzi
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne
System binarny Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności October 7, 26 Pojęcie bitu 2 Systemy liczbowe 3 Potęgi dwójki 4 System szesnastkowy 5 Kodowanie informacji 6 Liczby ujemne
Bardziej szczegółowoSystem liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.
2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja
Bardziej szczegółowo1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1
Zamiana liczba zapisanych w dowolnym systemie na system dziesiętny: W systemie pozycyjnym o podstawie 10 wartości kolejnych cyfr odpowiadają kolejnym potęgom liczby 10 licząc od strony prawej i numerując
Bardziej szczegółowoKODOWANIE KANAŁOWE (NADMIAROWE) ERROR CONTROL CODING
KODOWANIE KANAŁOWE (NADMIAROWE) ERROR CONTROL CODING - W celu zabezpieczenia danych przed błędami do danych informacyjnych dołącza się według ściśle określonej reguły (definiującej dany kod) dodatkowe
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład V
Pracownia Komputerowa wykład V dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny system
Bardziej szczegółowoDr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI
Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI Ćwiczenia i laboratorium 2 Kolokwia zaliczeniowe - 1 termin - poniedziałek, 29 stycznia 2018 11:30
Bardziej szczegółowoUkłady arytmetyczne. Joanna Ledzińska III rok EiT AGH 2011
Układy arytmetyczne Joanna Ledzińska III rok EiT AGH 2011 Plan prezentacji Metody zapisu liczb ze znakiem Układy arytmetyczne: Układy dodające Półsumator Pełny sumator Półsubtraktor Pełny subtraktor Układy
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne
Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)
Bardziej szczegółowoTechniki multimedialne
Techniki multimedialne Digitalizacja podstawą rozwoju systemów multimedialnych. Digitalizacja czyli obróbka cyfrowa oznacza przetwarzanie wszystkich typów informacji - słów, dźwięków, ilustracji, wideo
Bardziej szczegółowoTranzystor JFET i MOSFET zas. działania
Tranzystor JFET i MOSFET zas. działania brak kanału v GS =v t (cutoff ) kanał otwarty brak kanału kanał otwarty kanał zamknięty w.2, p. kanał zamknięty Co było na ostatnim wykładzie? Układy cyfrowe Najczęściej
Bardziej szczegółowoDane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna
Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,
Bardziej szczegółowoKody blokowe Wykład 1, 3 III 2011
Kody blokowe Wykład 1, 3 III 2011 Literatura 1. R.M. Roth, Introduction to Coding Theory, 2006 2. W.C. Huffman, V. Pless, Fundamentals of Error-Correcting Codes, 2003 3. D.R. Hankerson et al., Coding Theory
Bardziej szczegółowoOperacje arytmetyczne
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Operacje arytmetyczne Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ Dodawanie dwójkowe Opracował: Andrzej Nowak Ostatni wynik
Bardziej szczegółowomgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 4, strona 1. GOLOMBA I RICE'A
mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 4, strona 1. KOMPRESJA ALGORYTMEM ARYTMETYCZNYM, GOLOMBA I RICE'A Idea algorytmu arytmetycznego Przykład kodowania arytmetycznego Renormalizacja
Bardziej szczegółowoB.B. 2. Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską:
Dodawanie dwójkowe Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie binarnym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Bardziej szczegółowo1. Operacje logiczne A B A OR B
1. Operacje logiczne OR Operacje logiczne są operacjami działającymi na poszczególnych bitach, dzięki czemu można je całkowicie opisać przedstawiając jak oddziałują ze sobą dwa bity. Takie operacje logiczne
Bardziej szczegółowoSystem Liczbowe. Szesnastkowy ( heksadecymalny)
SYSTEMY LICZBOWE 1 System Liczbowe Dwójkowy ( binarny) Szesnastkowy ( heksadecymalny) Ósemkowy ( oktalny) Dziesiętny ( decymalny) 2 System dziesiętny Symbol Wartość w systemie Liczba 6 6 *10 0 sześć 65
Bardziej szczegółowoTeoria informacji i kodowania
Teoria informacji i kodowania Politechnika Gdańska Wydział Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki Katedra Systemów i Sieci Radiokomunikacyjnych dr inż. Małgorzata Gajewska e-mail: malgorzata.gajewska@eti.pg.gda.pl
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Zapis liczb. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek
Pojęcie liczebności Wstęp do informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej Cezary Bolek cbolek@ki.uni.lodz.pl Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Naturalna zdolność człowieka do postrzegania
Bardziej szczegółowoARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010
ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 Do zapisu liczby ze znakiem mamy tylko 8 bitów, pierwszy od lewej bit to bit znakowy, a pozostałem 7 to bity na liczbę. bit znakowy 1 0 1 1
Bardziej szczegółowoLICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE
LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia
Bardziej szczegółowoWprowadzanie nadmiaru informacyjnego dla transmitowanych szeregowo danych w kompaktowych sterownikach PLC firmy Mitsubishi Electric
Wprowadzanie nadmiaru informacyjnego dla transmitowanych szeregowo danych w kompaktowych sterownikach PLC firmy Mitsubishi Electric Roman Mielcarek 1. Wprowadzenie W sterownikach PLC typu FX firmy Mitsubishi
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ELEKTRONIKI
WSTĘP DO ELEKTRONIKI Część VII Układy cyfrowe Janusz Brzychczyk IF UJ Układy cyfrowe W układach cyfrowych sygnały napięciowe (lub prądowe) przyjmują tylko określoną liczbę poziomów, którym przyporządkowywane
Bardziej szczegółowoteoria informacji Kanały komunikacyjne, kody korygujące Mariusz Różycki 25 sierpnia 2015
teoria informacji Kanały komunikacyjne, kody korygujące Mariusz Różycki 25 sierpnia 2015 1 wczoraj Wprowadzenie matematyczne. Entropia i informacja. Kodowanie. Kod ASCII. Stopa kodu. Kody bezprefiksowe.
Bardziej szczegółowo12. Wprowadzenie Sygnały techniki cyfrowej Systemy liczbowe. Matematyka: Elektronika:
PRZYPOMNIJ SOBIE! Matematyka: Dodawanie i odejmowanie "pod kreską". Elektronika: Sygnały cyfrowe. Zasadę pracy tranzystorów bipolarnych i unipolarnych. 12. Wprowadzenie 12.1. Sygnały techniki cyfrowej
Bardziej szczegółowoNaturalny kod binarny (NKB)
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2 1 0 wartość 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 wartość 128 64 32 16 8 4 2 1 bity b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 System
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wyk ad IV
Pracownia Komputerowa wykad IV dr Magdalena Posiadaa-Zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Reprezentacje liczb i znaków Liczby: Reprezentacja
Bardziej szczegółowoARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH
ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek
Wstęp do informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej Cezary Bolek cbolek@ki.uni.lodz.pl Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Pojęcie liczebności Naturalna zdolność człowieka do postrzegania
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 9 października Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października / 42
Wykład 2 Informatyka Stosowana 9 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 2 / 42 Definicja : system
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 10 października Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października / 42
Wykład 2 Informatyka Stosowana 10 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 2 / 42 Definicja : system
Bardziej szczegółowoStan wysoki (H) i stan niski (L)
PODSTAWY Przez układy cyfrowe rozumiemy układy, w których w każdej chwili występują tylko dwa (zwykle) możliwe stany, np. tranzystor, jako element układu cyfrowego, może być albo w stanie nasycenia, albo
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wyk ad V
Pracownia Komputerowa wyk ad V dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Reprezentacje liczb i znaków Liczby: Reprezentacja
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 5 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie
Bardziej szczegółowoMikrooperacje. Mikrooperacje arytmetyczne
Przygotowanie: Przemysław Sołtan e-mail: kerk@moskit.ie.tu.koszalin.pl Mikrooperacje Mikrooperacja to elementarna operacja wykonywana podczas jednego taktu zegara mikroprocesora na informacji przechowywanej
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład VI
Pracownia Komputerowa wykład VI dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby całkowite : Operacja modulo % reszta z dzielenia: 125%2=62 reszta 1
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)
Bardziej szczegółowoKodowe zabezpieczenie przed błędami oraz kanał telekomunikacyjny i jego właściwości
Kodowe zabezpieczenie przed błędami oraz kanał telekomunikacyjny i jego właściwości Mikołaj Leszczuk 2010-12-27 Spis treści wykładu Kodowe zabezpieczenie przed błędami Definicje Odległość Hamminga Waga
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów
Architektura komputerów Wykład 4 Jan Kazimirski 1 Reprezentacja danych 2 Plan wykładu Systemy liczbowe Zapis dwójkowy liczb całkowitych Działania arytmetyczne Liczby rzeczywiste Znaki i łańcuchy znaków
Bardziej szczegółowoLista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014
Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014 Temat 1. Algebra Boole a i bramki 1). Podać przykład dowolnego prawa lub tożsamości, które jest spełnione w algebrze Boole
Bardziej szczegółowoDYDAKTYKA ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE
ZAGADNIENIA CYFROWE ZAGADNIENIA CYFROWE @KEMOR SPIS TREŚCI. SYSTEMY LICZBOWE...3.. SYSTEM DZIESIĘTNY...3.2. SYSTEM DWÓJKOWY...3.3. SYSTEM SZESNASTKOWY...4 2. PODSTAWOWE OPERACJE NA LICZBACH BINARNYCH...5
Bardziej szczegółowoDla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego
Arytmetyka cyfrowa Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego (binarnego). Zapis binarny - to system liczenia
Bardziej szczegółowoCyfrowy zapis informacji. 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 2
Cyfrowy zapis informacji 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 2 Bit, Bajt, Słowo 5 grudnia 2013 Wojciech Kucewicz 3 Cyfrowy zapis informacji Bit [ang. binary digit] jest elementem zbioru dwuelementowego używanym
Bardziej szczegółowoOperacje arytmetyczne w systemie dwójkowym
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Operacje arytmetyczne w systemie dwójkowym Zasady arytmetyki w systemie binarnym są identyczne (prawie) jak w dobrze nam znanym systemie dziesiętnym. Zaletą arytmetyki
Bardziej szczegółowo0 --> 5, 1 --> 7, 2 --> 9, 3 -->1, 4 --> 3, 5 --> 5, 6 --> 7, 7 --> 9, 8 --> 1, 9 --> 3.
(Aktualizacja z dnia 3 kwietnia 2013) MATEMATYKA DYSKRETNA - informatyka semestr 2 (lato 2012/2013) Zadania do omówienia na zajęciach w dniach 21 i 28 kwietnia 2013 ZESTAW NR 3/7 (przykłady zadań z rozwiązaniami)
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym
SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów
Wykład jest przygotowany dla IV semestru kierunku Elektronika i Telekomunikacja. Studia I stopnia Dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów Prezentacja multimedialna współfinansowana przez Unię
Bardziej szczegółowo4. Systemy algebraiczne i wielomiany nad ciałami zastosowania Rodzaje systemów algebraicznych ciała, grupy, pierścienie
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoTechnika Cyfrowa 1 wykład 1: kody. Dr inż. Jacek Mazurkiewicz Katedra Informatyki Technicznej
Technika Cyfrowa 1 wykład 1: kody Dr inż. Jacek Mazurkiewicz Katedra Informatyki Technicznej e-mail: Jacek.Mazurkiewicz@pwr.edu.pl Sprawy formalne konsultacje, p. 225 C-3: PN: 12:45-15:15, PT: 14:30-16:00
Bardziej szczegółowo