Kody blokowe Wykład 5a;

Transkrypt

1 Kody blokowe Wykład 5a;

2 1 Kolorowanie hiperkostki Definicja. W teorii grafów symbol Q n oznacza kostkę n-wymiarową, czyli graf o zbiorze wierzchołków V (Q n ) = {0, 1} n i zbiorze krawędzi E(Q n ) = {uv P 2 (V (Q n )): d H (u, v) = 1} dla n 1, gdzie symbol P 2 (V ) oznacza rodzinę 2-elementowych podzbiorów zbioru V. Kostkę wielowymiarową nazywamy hiperkostką. Uwaga. Symbol P(V ) (= 2 V ) oznacza zbiór potęgowy (tzn. rodzinę wszystkich podzbiorów) zbioru V (ang. power set). Hiperkostkę Q n zanurzoną w R n możemy interpretować jako połączenie dwóch hiperkostek rozmiaru mniejszego Q n 1 za pomocą rozłącznych krawędzi równoległych do jednej z osi układu współrzędnych w R n. Poniższy rysunek przedstawia hiperkostki o małych wymiarach. Liczba wierzchołków hiperkostki, czyli jej rząd, wynosi V (Q n ) = {0, 1} n = 2 n. Natomiast liczbę krawędzi wyznaczamy, mnożąc liczbę krawędzi równoległych do pojedynczej osi układu współrzędnych przez liczbę takich osi, E(Q n ) = n V (Q n 1 ) = n2 n 1. Pokażemy zastosowanie binarnych kodów liniowych do tzw. d-kolorowania wierzchołków hiperkostki. d-kolorowaniem wierzchołków grafu G nazywamy kolorowanie, w którym każde dwa wierzchołki nawzajem odległe o d lub mniej mają różne kolory. Zatem d-kolorowanie jest kolorowaniem z minimalnym dystansem d 1 dla wierzchołków o tym samym kolorze. Kolorowanie właściwe jest więc 1-kolorowaniem. Problemem kolorowania n-kostki jest znalezienie minimalnej liczby, χ d (n), kolorów, która wystarcza do d-kolorowania wierzchołków grafu Q n, czyli do d- kolorowania słów w przestrzeni (metrycznej) Hamminga F n 2. Parametr χ d (n) =: χ d (Q n ) zwie się d-dystansową liczbą chromatyczną n-kostki. W języku kodów blokowych χ d (n) jest więc najmniejszą liczbą części w podziale przestrzeni F n 2 na kody binarne o dystansie przynajmniej d 1. 2

3 Jeśli więc istnieje liniowy [n, k, d1] kod C o wymiarze k, to warstwy kodu C są klasami wierzchołków o jednakowym kolorze w d-kolorowaniu, a zatem liczba tych warstw 2 n k χ d (n). (Wtedy każda warstwa W kodu C z przewodnikiem e W 0 jest kodem nieliniowym o dystansie d 1.) Np. kod Hamminga [n = 2 r 1, k = n r, d = 3] daje oszacowanie χ 2 (n) n 1, gdzie r 2. Z drugiej strony wtedy χ 2 (n) = n 1, czyli χ 2 (2 r 1) = 2 r, ponieważ kod Hamminga długości n należy do klasy kodów o największej mocy wśród wszystkich kodów o długości n i dystansie d = 3 dla każdego n = 2 r 1 i r 2, p. Tw. 3 poniżej. Kolorowanie właściwe, czyli 1-kolorowanie, wierzchołków n-kostki zapewnia liniowy kod parzystości o długości n i dystansie 2, uzyskany przez wydłużenie kodu trywialnego F n 1 2, oraz jedyna nieliniowa warstwa kodu parzystości, którą tworzą wierzchołki o wagach nieparzystych. Zatem χ(q n ) = 2. Hiperkostka jest bowiem przykładem grafu dwudzielnego. Dla dowolnego stałego d znane jest asymptotycznie dokładne oszacowanie dla d-dystansowej liczby chromatycznej n-kostki [2, 3], χ d (Q n ) = Θ(n d 2 ), tzn. c 1 n d 2 χ d (Q n ) c 2 n d 2 dla pewnych stałych dodatnich c j i dla prawie wszystkich n. Nadto [1] lim n χ d (n)/n = d 1 dla d = 2, 3. Literatura [1] P.R.J. Östergård, On a hypercube coloring problem, J. Combin. Theory A 108 (2004) [2] Z. Skupień, Some maximum multigraphs and edge/vertex distance colourings, Discuss. Math. Graph Theory 15 (1995) home.agh.edu.pl/~skupien/dmgt95new.pdf [3] Z. Skupień, BCH codes and distance multi- or fractional colorings in hypercubes asymptotically, (in: M. Horňák and S. Jendrol, guest eds., Cycles and Colourings 2003) Discrete Math. 307 (2007)

4 2 Ograniczenia na kody blokowe 2.1 Ograniczenie Hamminga lub OGRANICZENIE DLA UPAKOWANIA KUL (ang. Hamming bound lub sphere packing bound) w przypadku binarnym Twierdzenie 1. Jeżeli 0 t n oraz v {0, 1} n, to liczba słów długości n w odległości co najwyżej t od v jest równa ( ) ( ) ( ) n n n. 0 1 t j. Dowód. Istotnie, wtedy bowiem ( n j) oznacza liczbę słów odległych od v o Twierdzenie 2 (Hamminga). Jeśli C jest kodem binarnym o długości n i dystansie d = 2t 1 lub d = 2t 2, gdzie t = d 1 2, to. C (( ) n 0 ( ) n 1 ( n t )) 2 n Dowód. Ponieważ d > 2t, więc domknięte kule o promieniu t i o środkach będących słowami kodowymi są rozłączne, patrz rysunek poniżej (gdzie v i v są słowami kodowymi). 4

5 Definicja. Kody, dla których zachodzi równość w ograniczeniu Hamminga nazywamy binarnymi kodami doskonałymi. Zadanie. Udowodnij, że kodami doskonałymi binarnymi są następujące liniowe kody C trywialne lub prawie trywialne: (i) pełnowymiarowy kod F n 2 o dystansie d = 1 dla n 1, (ii) zerowymiarowy kod o mocy C = 1, C = {0... 0}, (iii) binarny n-krotnie powtarzający dla n nieparzystego, n = d 3, C = 2, t = (n 1)/2. Te kody liniowe i ich nieliniowe odpowiedniki: kody jednoelementowe oraz o mocy 2 z dwoma elementami binarnymi, których sumą jest słowo z samych jedynek i o długości nieparzystej n 3, są doskonałe i nazywają się binarnymi kodami trywialnie doskonałymi. 5

6 Twierdzenie 3. Wśród binarnych kodów liniowych jedynymi kodami nietrywialnie doskonałymi są kody Hamminga i kod Golaya C 23 z parametrami [23, 12, 7]. Udowodnimy tylko prostą część, mianowicie doskonałość wskazanych kodów. Doskonałość kodu Golaya C 23. Ma on długość n = 23 oraz liczność C 23 = Niech B(v, 3) oznacza kulę domkniętą o środku v i promieniu t = 3 = (d 1)/2, przy czym v C 23. Wtedy B(v, 3) = = 3 = = = = 8 ( ) = = Zatem w ograniczeniu Hamminga równość zachodzi. Dla kodu Hamminga H r mamy n = 2 r 1, k = n r, t = 1 dla d = 3, a stąd H r = 2 n r, kule zaś mają objętość 1 n = 2 r. Dlatego równość też zachodzi. 6

7 2.2 Ograniczenie Singletona Twierdzenie 4. Dla dowolnego kodu z parametrami (n, M, d) nad alfabetem A rozmiaru q (np. A = F q, q = p m ) zachodzi nierówność d n (log q M 1). Dowód. Niech l = log q M 1. Ponieważ q l < M, więc istnieją dwa słowa, które są identyczne na l początkowych pozycjach. Zatem d n l n (log q M 1). 7