Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.
|
|
- Barbara Kołodziejczyk
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody numeryczne Janusz Szwabiński nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.1/63
2 Plan wykładu 1. Dokładność w obliczeniach numerycznych 2. Złożoność obliczeniowa algorytmów 3. Interpolacja funkcji 4. Całkowanie numeryczne funkcji 5. Różniczkowanie numeryczne funkcji 6. Układy równań liniowych 7. Równania nieliniowe 8. Zagadnienia własne 9. Zagadnienia początkowe i brzegowe dla równań różniczkowych zwyczajnych nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.2/63
3 Literatura 1. Å. Björck, G. Dahlquist, Metody numeryczne 2. S. E. Koonin, Computational Physics 3. J. Stoer, Wstęp do metod numerycznych 4. D. Potter, Metody obliczeniowe fizyki 5. W. H. Press, S. A. Teutolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Numerical Recipes in ( 6. K. A. Ross, Ch. R. B. Wright, Matematyka dyskretna 7. P. Wróblewski, Algorytmy, struktury danych i techniki programowania nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.3/63
4 the purpose of computing is insight, not numbers (Hamming) nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.4/63
5 Dokładność w obliczeniach numerycznych 1. Analiza błędów Źródła błędów Błędy bezwzględne i względne Cyfry poprawne i znaczące Ucinanie i zaokrąglanie Przenoszenie się błędów 2. Przedstawienia liczb Liczby całkowite Reprezentacja zmiennopozycyjna Arytmetyka zmiennopozycyjna i błędy zaokrągleń 3. Analiza zaburzeń pozornych nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.5/63
6 Źródła błędów (i) błędy danych wejściowych (ii) zaokrąglenia w czasie obliczeń (iii) błędy zakresu (iv) błędy obcięcia (v) uproszczenia modelu matematycznego (vi) błędy człowieka i maszynowe nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.6/63
7 Błędy bezwzględne i względne - wartość przybliżona - wartość dokładna Definicja Błędem bezwzględnym wartości. nazywamy Definicja Błędem względnym wartości, jeśli. nazywamy Jeśli pozostaje nieznane, wówczas szacuje się nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.7/63
8 Cyfry ułamkowe i istotne Definicja Cyfry ułamkowe to wszystkie cyfry po kropce dziesiętnej w ułamku. Cyfry istotne to cyfry jakie pozostaną po pominięciu zer na początku ułamka. Przykład Liczba 0,00245 ma pięć cyfr ułamkowych i trzy istotne. Liczba 12,12 ma dwie cyfry ułamkowe i cztery istotne nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.8/63
9 Cyfry poprawne i znaczace Definicja Jeżeli, to ma ułamkowych. Cyfry istotne występujace w kropce to cyfry znaczące. poprawnych cyfr do pozycji tej po Przykład Liczba poprawnych (ponieważ ma pięć cyfr ) i trzy znaczące. cyfry poprawne cyfry znaczące błąd bezwzględny błąd względny nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.9/63
10 Ucinanie i zaokraglanie (1) Cel: skrócenie liczby do danej długości Metody: cyfr ułamkowych 1. ucinanie, czyli odrzucenie cyfr na prawo od tej błąd bezwzględny błąd ma systematycznie znak przeciwny niż sama liczba nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.10/63
11 Ucinanie i zaokraglanie (2) 2. zaokrąglanie, czyli wybór liczby najbardziej zbliżonej do danej jeśli, to jeśli jeśli Przykład liczba zaokrąglanie ucinanie 0,2379 0,238 0,237-0,2379-0,238-0,237 0,2375 0,238 0,237 nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.11/63
12 Przenoszenie się błędów - dodawanie i odejmowanie (1) Niech Zachodzą następujące związki czyli nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.12/63
13 Przenoszenie się błędów - dodawanie i odejmowanie (2) Zatem Twierdzenie 1 Oszacowanie błędu bezwzględnego wyniku dodawania lub odejmowania jest suma oszacowań błędów bezwzględnych składników. Dowód Metodą indukcji matematycznej nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.13/63
14 Przenoszenie się błędów - mnożenie i dzielenie (1) wynika Z definicji błędu względnego Stąd Wobec tego. i jeżeli tylko nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.14/63
15 Przenoszenie się błędów - mnożenie i dzielenie (2) Podobnie. i jeżeli tylko Niech Wówczas i nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.15/63
16 Przenoszenie się błędów - mnożenie i dzielenie (3) Twierdzenie 2 W mnożeniu i dzieleniu oszacowania błędu względnego argumentów (o ile tylko błędy te sa ) dodaja się. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.16/63
17 Przenoszenie się błędów - znoszenie się składników jeżeli i niewiele się różnią między sobą, ich różnica może mieć małą dokładność względną Przykład Niech. Mamy i oszacowanie błędu jest tak samo duże, jak otrzymana różnica nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.17/63
18 Przenoszenie się błędów - wzór ogólny (1) Niech - funkcja jednej zmiennej - dokładna wartość argumentu - przybliżona wartość argumentu - błąd, którego oszacowania szukamy nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.18/63
19 Przenoszenie się błędów - wzór ogólny (2) y y ~ y (x) x x ~ x x można przybliżyć za pomocą różniczki funkcji. to przy tym miara wrażliwości argumentu na zakłócenie nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.19/63
20 Przenoszenie się błędów - wzór ogólny (3), Twierdzenie 3 Jeśli jest funkcj a to wartość przybliżona argumentu, to i, oraz wówczas ogólny wzór na przenoszenie się błędów ma postać: krokach, do przesuwamy się w Dowód Załóżmy, że z zmieniając w każdym z nich tylko jedną współrzędną. Zatem dla mamy nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.20/63
21 Przenoszenie się błędów - wzór ogólny (4) Dowód (ciąg dalszy) oraz Gdy przechodzi się z na do, zmienia się. Z twierdzenia o wartości średniej wynika ta współrzędna z gdzie. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.21/63
22 Przenoszenie się błędów - wzór ogólny (5) Dowód (ciąg dalszy) Ponieważ otrzymujemy nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.22/63
23 Znoszenie się błędów Przykład Niech się, ponieważ oraz, gdzie. Błędy wielkości i, znoszą Zatem i oraz należało by wyznaczyć z czterema cyframi ułamkowymi, choć nawet cyfry jedności nie są pewne. Jeśli jednak przekształcimy w następujacy sposób: otrzymamy z żądaną dokładnościa przy niskiej dokładności pierwiastka kwadratowego. Wynik: nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.23/63
24 Zaburzenia eksperymentalne Skomplikowane zadania obliczeniowe: związki między danymi WE/WY zbyt skomplikowane, aby stosować wzór na przenoszenie się błędów obliczenia testowe, w których bada się wrażliwość danych WY na zaburzenie danych WE nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.24/63
25 Przedstawienia liczb Maszyny cyfrowe: skończona pamięć skończona liczba operacji WE/WY w jednostce czasu zbiór liczb reprezentowanych w maszynie skończony nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.25/63
26 Liczby całkowite (1) Maszynowa, -bitowa liczba całkowita reprezentowana jest w następujący sposób: przy czym Zakres: Oszacowanie błędu:.. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.26/63
27 Liczby całkowite (2) Przykład Liczba Reprezentacja 8-bitowa Wartościowość nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.27/63
28 Liczby całkowite (3) Liczby ujemne: w liczbie dodatniej o tym samym module zmień każdy bit na przeciwny dodaj 1 dzięki temu nie trzeba rozróżniać na liczby dodatnie i ujemne przy dodawaniu Przykład nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.28/63
29 Reprezentacja zmiennopozycyjna (1) Liczba maszynowa postać: w reprezentacji zmiennopozycyjnej ma - bit znaku, - mantysa, - wykładnik (cecha), - podstawa (ustalona), operacje na ustalonej liczbie cyfr istotnych. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.29/63
30 Reprezentacja zmiennopozycyjna (2) 32 bitowy, zmiennopozycyjny standard IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers): - bit znaku, - część ułamkowa (23 bity), - wykładnik przesunięty o 127 (8 bitów), Zakres:. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.30/63
31 Reprezentacja zmiennopozycyjna (3) Przesunięcie wykładnika: ogólnie o wykładnika,, gdzie to liczba bitów w polu wykładnik reprezentowany przez liczby dodatnie, najmniejsza liczba maszynowa może być odwrócona bez wykroczenia poza zakres. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.31/63
32 Reprezentacja zmiennopozycyjna (4) Wartości specjalne: NaN NaN nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.32/63
33 Reprezentacja zmiennopozycyjna (5) Przykład Chcemy przekształcić liczbę 5,375 do formatu IEEE: przekształcamy do postaci dwójkowej: renormalizujemy otrzymaną liczbę: pomijamy wiodącą jedynkę w mantysie wyznaczamy wykładnik: znak dodatni 0 znak wykładnik mantysa nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.33/63
34 Reprezentacja zmiennopozycyjna (6) Przykład -113,3125: przekształcamy wartość bezwzględną do postaci dwójkowej: część całkowita: część ułamkowa: renormalizujemy otrzymaną liczbę: pomijamy wiodącą jedynkę w mantysie nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.34/63
35 Reprezentacja zmiennopozycyjna (7) Przykład (ciąg dalszy) wyznaczamy wykładnik: znak ujemny 1 znak wykładnik mantysa nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.35/63
36 Reprezentacja zmiennopozycyjna (8) Przykład 1,7: przekształcamy część ułamkową do postaci dwójkowej:. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.36/63
37 Reprezentacja zmiennopozycyjna (9) Przykład (ciąg dalszy) pomijamy wiodącą jedynkę w mantysie wyznaczamy wykładnik: znak dodatni 0 znak wykładnik mantysa nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.37/63
38 Arytmetyka zmiennopozycyjna (1) Dla dowolnych liczb maszynowych i mamy gdzie to odwzorowanie zaokrąglania (lub ucinania), przekształcające liczbę rzeczywistą na maszynową. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.38/63
39 Arytmetyka zmiennopozycyjna (2), Przykład Niech. Wówczas mamy: oraz Z drugiej strony nie jest łączne. czyli nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.39/63
40 Arytmetyka zmiennopozycyjna (3) algorytmy równoważne matematycznie nie zawsze są równoważne numerycznie. Definicja Algorytmy nazywamy równoważnymi matematycznie, jeśli dają te same wyniki dla jednakowych danych wejściowych, o ile tylko obliczenia wykonuje się bez zaokrągleń. Definicja Algorytmy nazywamy równoważnymi numerycznie, gdy wyniki dla jednakowych danych wejściowych różnią się tylko o tyle, o ile mogą zmienić się dokładne dane wyjściowe zadania, gdy dane wejściowe zaburzy się o niewiele, gdzie jest względnym błędem zaokrąglenia lub ucięcia. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.40/63
41 Analiza zaburzeń pozornych (1) Z definicji wynika gdzie to jednostka maszynowa. wynik każdego z działań można przedstawić jako wynik dokładnego działania wykonanego na zaburzonych argumentach, przy czym zaburzenie względne nie przewyższa nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.41/63
42 Analiza zaburzeń pozornych (2) Definicja Dane wyjściowe otrzymane za pomocą algorytmu interpretujemy jako dokładne dane wyjściowe tych samych obliczeń, ale ze zmienionymi danymi wejściowymi. Wówczas wskaźnik uwarunkowania algorytmu, wskazuje wystarczający zakres takiej względnej zmiany danych wejściowych z jako jednostką. Definicja Wskaźnik uwarunkowania zadania z pewnymi danymi wejściowymi jest największą zmianą względną, mierzoną w jednostkach, dokładnych danych wyjściowych, spowodowaną zakłóceniem względnym danych wejściowych o wielkości. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.42/63
43 Analiza zaburzeń pozornych (3) Jeśli jest oszacowaniem błędu względnego danych wejściowych, to jest oszacowaniem błędu względnego danych wyjściowych. zależą od danych wejściowych, natomiast są wzajemnie niezależne. i nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.43/63
44 Analiza zaburzeń pozornych (4) Przykład - zadanie obliczenia wartości funkcji w punkcie. Z definicji wynika, że wskaźnik ten jest większą z wartości wyrażenia dla i (o ile tylko funkcja jest dostatecznie reguralna w otoczeniu ). Stąd w praktyce przyjmuje się często nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.44/63
45 Analiza zaburzeń pozornych (5) Przykład Chcemy obliczyć Mamy zadanie źle uwarunkowane dla zadanie bardzo dobrze uwarunkowane dla nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.45/63
46 Złożoność obliczeniowa algorytmów 1. Notacja 2. Złożoność obliczeniowa algorytmów Uproszczone zasady analizy algorytmów Kilka słów o rekurencji nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.46/63
47 Notacja (1) Definicja Niech i będą ciągami liczb rzeczywistych. Piszemy wtedy, gdy istnieje stała dodatnia taka, że dla dostatecznie dużych wartości. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.47/63
48 Notacja (2) Twierdzenie 4 W poniższej hierarchii ciagów każdy z nich jest od wszystkich ciagów na prawo od niego: Dowód (i) można przedstawić w postaci Ponieważ po prawej stronie jest nich jest co najwyżej równy 2, więc również. czynników i każdy z, a zatem nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.48/63
49 Notacja (3) Dowód (ciąg dalszy) (ii) Ponieważ, więc dla. (iii) Dla mamy Pierwszy czynnik pozostałych jest większy od, a każdy z czynników jest większy od 2. Zatem nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.49/63
50 Notacja (4) Dowód (ciąg dalszy) (iv) Nierówność jest oczywista, ponieważ jest iloczynem liczb naturalnych, z których wszystkie poza jedną są mniejsze od. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.50/63
51 Notacja (5) Twierdzenie 5 (a) Jeśli i jest stał a, to (b) Jeśli i, to (c) Jeśli i, to (d) Jeśli i, to nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.51/63
52 Notacja (6) Dowód (a) Z definicji notacji mamy dla dostatecznie dużych. Zatem: czyli. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.52/63
53 Notacja (7) Dowód (ciąg dalszy) (b) Jeśli i, to istniej a liczby dodatnie i takie, że oraz dla dostatecznie dużych. Ponieważ dla, więc wynika stąd, że dla dostatecznie dużych. Zatem. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.53/63
54 Notacja (8) Dowód (ciąg dalszy) (c) Jeśli i, to istniej a liczby dodatnie i takie, że oraz dla dostatecznie dużych. Stąd wynika, że dla dostatecznie dużych. Zatem. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.54/63
55 Notacja (9) Dowód (ciąg dalszy) (d) Jeśli i, to istniej a liczby dodatnie i takie, że oraz dla dostatecznie dużych. Zatem dla dostatecznie dużych, a więc. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.55/63
56 Notacja (10) Twierdzenie 6 Dla dowolnych ci agów i mamy (a). (b). nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.56/63
57 Notacja (11) Dowód (a) Niech oraz. Wtedy istniej a liczby dodatnie i takie, że oraz dla dostatecznie dużych. Zachodzi zatem nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.57/63
58 Notacja (12) Dowód (a) (ciąg dalszy) dla dostatecznie dużych. Czyli. (b) Dowód wynika natychmiast z poprzedniego twierdzenia (podpunkt c) nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.58/63
59 Złożoność obliczeniowa algorytmów Przykład Zestawienie czasów wykonania algorytmów różnych klas. Założenie: elementarny czas wykonania wynosi jedną mikrosekundę ( ( s) ,00001s 0,00002s 0,00003s 0,00004s 0,00005s 0,00006s 0,0001s 0,0004s 0,0009s 0,0016s 0,0025s 0,0036 0,001s 0,008s 0,027s 0,064s 0,125s 0,216s 0,001s 1,048s 17,9min 12,7dni 35,7lat 366w 0,059s 58min 6,5lat 3855w 227* 3,6s 771w 8,4* oznacza tutaj wiek) w 2,6* w 9,6* w 1,3* w 2,6* w w nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.59/63
60 Uproszczone zasady analizy algorytmów (1) 1. w analizie programu należy zwracać uwagę tylko na najbardziej czasochłonne operacje, 2. należy wybrać wiersz programu znajdujący się w najgłębiej położonej instrukcji iteracyjnej, następnie zliczyć liczbę jego wywołań i na tej podstawie wnioskować o klasie algorytmu. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.60/63
61 Uproszczone zasady analizy algorytmów (2) Przykład Przeanalizujmy poniższy fragment programu: while(i<n) { while(j<=n) { suma=suma+2; j=j+1; } i=i+2; } Wiersz suma=suma+2 będzie tu wykonywany Powyższy fragment jest zatem klasy jest tu wielkość ). razy. (rozmiarem danych nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.61/63
62 Kilka słów o rekurencji (1) int silnia(int n) { if(n>0) return n*silnia(n-1); else return 1; } Niech czas sprawdzenia warunku wynosi najbardziej czasochłonna operacja. Wówczas. Załóżmy, że jest to dla nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.62/63
63 Kilka słów o rekurencji (2). algorytm jest klasy nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.63/63
Metody numeryczne I. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61
Metody numeryczne I Dokładność obliczeń numerycznych. Złożoność obliczeniowa algorytmów Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61 ... the purpose of
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łan Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 2 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Arytmetyka zmiennopozycyjna
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Bardziej szczegółowoBŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci:
Reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze. Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: k = m * 2 c gdzie: m częśd ułamkowa,
Bardziej szczegółowoKod IEEE754. IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci
Kod IEEE754 IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci (-1) s 1.f
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne Wykład 4
Technologie Informacyjne Wykład 4 Arytmetyka komputerów Wojciech Myszka Jakub Słowiński Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Wydział Mechaniczny Politechnika Wrocławska 30 października 2014 Część
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennoprzecinkowe i błędy
i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q
LABORAORIUM PROCESORY SYGAŁOWE W AUOMAYCE PRZEMYSŁOWEJ Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q 1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej. Kody stałopozycyjne mają ustalone
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych. Krzysztof Patan
Wprowadzenie do metod numerycznych Krzysztof Patan Metody numeryczne Dział matematyki stosowanej Każde bardziej złożone zadanie wymaga opracowania indywidualnej metody jego rozwiązywania na maszynie cyfrowej
Bardziej szczegółowoSamodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Bardziej szczegółowoPrzedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński
Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)?
METODY NUMERYCZNE Wykład 2. Analiza błędów w metodach numerycznych Met.Numer. wykład 2 1 Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? Przykład 1. W jaki sposób można zapisać
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoEMN. dr Wojtek Palubicki
EMN dr Wojtek Palubicki Zadanie 1 Wyznacz wszystkie dodatnie liczby zmiennopozycyjne (w systemie binarnym) dla znormalizowanej mantysy 3-bitowej z przedziału [0.5, 1.0] oraz cechy z zakresu 1 c 3. Rounding
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 3 1 / 42 Reprezentacja liczb całkowitych
Bardziej szczegółowoSystemy zapisu liczb.
Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów.
Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów. Prezentacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego w projekcie pt. Innowacyjna dydaktyka
Bardziej szczegółowoPodstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych
1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie
Bardziej szczegółowoKod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych.
Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych. Jeśli bit znaku przyjmie wartość 0 to liczba jest dodatnia lub posiada wartość 0. Jeśli bit
Bardziej szczegółowoZapis liczb binarnych ze znakiem
Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne
System binarny Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności October 7, 26 Pojęcie bitu 2 Systemy liczbowe 3 Potęgi dwójki 4 System szesnastkowy 5 Kodowanie informacji 6 Liczby ujemne
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Postać zmiennoprzecinkowa liczby. dr Artur Woike. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa. Uwarunkowanie zadania.
Ćwiczenia nr 1 Postać zmiennoprzecinkowa liczby Niech będzie dana liczba x R Mówimy, że x jest liczbą zmiennoprzecinkową jeżeli x = S M B E, gdzie: B N, B 2 (ustalona podstawa systemu liczbowego); S {
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja
Bardziej szczegółowoLICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE
LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia
Bardziej szczegółowoKod U2 Opracował: Andrzej Nowak
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim
Bardziej szczegółowoW wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku.
W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku. Nie wolno dzielić przez zero i należy sprawdzić, czy dzielna nie jest równa zeru. W dziedzinie liczb
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 2. Analiza błędów w metodach numerycznych. Met.Numer. wykład 2 1
METODY NUMERYCZNE Wykład. Analiza błędów w metodach numerycznych Met.Numer. wykład 1 Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? Przykład 1. W jaki sposób można zapisać liczbę
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. O arytmetyce komputerów, Czyli jak nie dać się zaskoczyć. Bartek Wilczyński 29.
Obliczenia Naukowe O arytmetyce komputerów, Czyli jak nie dać się zaskoczyć Bartek Wilczyński bartek@mimuw.edu.pl 29. lutego 2016 Plan semestru Arytmetyka komputerów, wektory, macierze i operacje na nich
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład VI
Pracownia Komputerowa wykład VI dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby całkowite : Operacja modulo % reszta z dzielenia: 125%2=62 reszta 1
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Bardziej szczegółowo2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,
2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d
Bardziej szczegółowoArytmetyka binarna - wykład 6
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Arytmetyka binarna - wykład 6 Adam Szmigielski aszmigie@pjwstk.edu.pl SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 2 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne
Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowo3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)
3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Informatyki
Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Bardziej szczegółowoArytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Bardziej szczegółowoPozycyjny system liczbowy
Arytmetyka binarna Pozycyjny system liczbowy w pozycyjnych systemach liczbowych wkład danego symbolu do wartości liczby jest określony zarówno przez sam symbol, jak i jego pozycję w liczbie i tak np. w
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoZestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1
Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 Zapis znak - moduł (ZM) Zapis liczb w systemie Znak - moduł Znak liczby o n bitach zależy od najstarszego bitu b n 1 (tzn. cyfry o najwyższej pozycji): b
Bardziej szczegółowoKod znak-moduł. Wartość liczby wynosi. Reprezentacja liczb w kodzie ZM w 8-bitowym formacie:
Wykład 3 3-1 Reprezentacja liczb całkowitych ze znakiem Do przedstawienia liczb całkowitych ze znakiem stosowane są następujące kody: - ZM (znak-moduł) - U1 (uzupełnienie do 1) - U2 (uzupełnienie do 2)
Bardziej szczegółowoZwykle liczby rzeczywiste przedstawia się w notacji naukowej :
Arytmetyka zmiennoprzecinkowa a procesory cyfrowe Prawa algebry stosują się wyłącznie do arytmetyki o nieograniczonej precyzji x=x+1 dla x będącego liczbą całkowitą jest zgodne z algebrą, dopóki nie przekroczymy
Bardziej szczegółowoDane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna
Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 5 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie
Bardziej szczegółowoArytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI
Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów
Wykład jest przygotowany dla IV semestru kierunku Elektronika i Telekomunikacja. Studia I stopnia Dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów Prezentacja multimedialna współfinansowana przez Unię
Bardziej szczegółowoSystem liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.
2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład V
Pracownia Komputerowa wykład V dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny system
Bardziej szczegółowoNaturalny kod binarny (NKB)
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2 1 0 wartość 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 wartość 128 64 32 16 8 4 2 1 bity b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 System
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny
Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza
MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe
Bardziej szczegółowoBŁĘDY PRZETWARZANIA NUMERYCZNEGO
BŁĘDY PRZETWARZANIA NUMERYCZNEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Dlaczego modelujemy... systematyczne rozwiązywanie problemów, eksperymentalna eksploracja wielu rozwiązań, dostarczanie abstrakcyjnych
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne sposób i potrzebę zaokrąglania
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł
Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych Wykład 1 Przybliżenia
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 1 Przybliżenia Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Poprawność obliczeń komputerowych 2
Bardziej szczegółowoDr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI
Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI Ćwiczenia i laboratorium 2 Kolokwia zaliczeniowe - 1 termin - poniedziałek, 29 stycznia 2018 11:30
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki dla Nauczyciela
Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Wykład 2 1 / 1 Informacja
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoWykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym
1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji
Bardziej szczegółowoDZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.
DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, (
Bardziej szczegółowoW jaki sposób użyć tych n bitów do reprezentacji liczb całkowitych
Arytmetyka komputerowa Wszelkie liczby zapisuje się przy użyciu bitów czyli cyfr binarnych: 0 i 1 Ile różnych liczb można zapisać używajac n bitów? n liczby n-bitowe ile ich jest? 1 0 1 00 01 10 11 3 000001010011100101110111
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wyk ad VI
Pracownia Komputerowa wyk ad VI dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby ca kowite
Bardziej szczegółowoPowtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *
Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do informatyki - ć wiczenia
Kod uzupełnień do 2 (U2) dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Reprezentacja liczb całkowitych Jak kodowany jest znak liczby? Omó wimy dwa sposoby kodowania liczb ze znakiem:
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne,
Bardziej szczegółowoDokładność obliczeń numerycznych
Dokładność obliczeń numerycznych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2016 MOTYWACJA Komputer czasami produkuje nieoczekiwane wyniki >> 10*(1-0.9)-1 # powinno być 0 ans = -2.2204e-016 >>
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowo1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia
L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć
Bardziej szczegółowoAlgorytm. a programowanie -
Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik
Bardziej szczegółowoWymagania z matematyki KLASA VII
Wymagania z matematyki KLASA VII Wymagania na ocenę dopuszczającą: -porównywanie liczb wymiernych (łatwiejsze -zaznaczanie liczb wymiernych na osi liczbowej - zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny i odwrotnie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 1. Teoria błędów, notacja O
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 1. Teoria błędów, notacja O 1.1. Błąd bezwzględny, błąd względny 1.2. Ogólna postać błędu 1.3. Problem odwrotny teorii błędów - zasada równego wpływu
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA
Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 1. Wprowadzenie do metod numerycznych
METODY NUMERYCZNE Wykład 1. Wprowadzenie do metod numerycznych dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak Met.Numer. wykład
Bardziej szczegółowoCyfrowy zapis informacji
F1-1 Cyfrowy zapis informacji Alfabet: uporządkowany zbiór znaków, np. A = {a,b,..., z} Słowa (ciągi) informacyjne: łańcuchy znakowe, np. A i = gdtr Długość słowa n : liczba znaków słowa, np. n(sbdy) =
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie
Bardziej szczegółowoLISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24
LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24 x=6 ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność
Bardziej szczegółowo