Współczynniki korelacji czastkowej i wielorakiej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017

Transkrypt

1 STATYSTYKA OPISOWA Dr Alina Gleska Instytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017

2 1 Regresja krzywoliniowa 2

3 Model potęgowy Model potęgowy y = αx β e można sprowadzić poprzez zlogarytmowanie obu stron równania do postaci liniowej co możemy zapisać jako ln(y) = ln(α) + βln(x) + lne, y = α + βx + e. Otrzymaliśmy model regresji liniowej logarytmów z wartości zmiennej Y względem logarytmów z wartości zmiennej X.

4 Po oszacowaniu MNK parametrów α i β oceny parametrów wyjściowego modelu sa takie: α = exp(α ), β = β. Parametr α określa teoretyczny poziom zmiennej zależnej Y przy jednostkowej wartości zmiennej niezależnej X, natomiast parametr β określa procentowa zmianę wartości zmiennej zależnej spowodowana zmiana wartości zmiennej niezależnej o 1% (właściwość tę nazywa się elastycznościa zmiennej zależnej względem zmiennej niezależnej).

5 Model wykładniczy Model wykładniczy y = αβ x e można sprowadzić poprzez zlogarytmowanie obu stron równania do postaci liniowej co możemy zapisać jako ln(y) = ln(α) + xln(β) + lne, y = α + β x + e. Otrzymaliśmy model regresji liniowej logarytmów z wartości zmiennej Y względem zmiennej X.

6 Po oszacowaniu MNK parametrów α i β oceny parametrów wyjściowego modelu sa takie: α = exp(α ), β = exp(β ). Parametr α określa teoretyczny poziom zmiennej zależnej Y w okresie bezpośrednio poprzedzajacym pierwszy badany okres (czyli dla X = 0), natomiast β może posłużyć do określenia średniookresowego tempa zmian zmiennej Y : r g = (β 1) 100%. Wielkość r g jest stała stopa zmian i określa względny przyrost zmiennej Y w przeliczeniu na stała jednostkę czasowa.

7 Wskaźniki korelacyjne Pearsona Wskaźniki korelacyjne Pearsona wykorzystuje się do mierzenia siły korelacji cech mierzalnych, niezależnie od kształtu zależności między nimi. Podstawę do obliczenia wskaźników korelacyjnych stanowi: pogrupowanie wartości cech X i Y w formie tablicy dwudzielnej o wymiarach r k (r - liczba wierszy, k - liczba kolumn), obliczenie wariancji ogólnej cechy Y lub/i wariancji ogólnej cechy X według wzorów: S 2 (X) = 1 n r i=1 (xi 0 ) 2 n i x 2, S 2 (Y ) = 1 n k j=1 (yj 0 ) 2 n j y 2,

8 obliczenie wariancji międzygrupowej cechy Y lub/i cechy X według wzorów: S 2 m(x) = 1 n k j=1(x j x) 2 n j, S 2 m(y ) = 1 n r i=1 (y i y) 2 n i, gdzie x, y to zwykłe średnie arytmetyczne obliczane według wzorów: x = 1 n r i=1 x 0 i n i, y = 1 n k j=1 y 0 j n j,

9 zaś x j to j-ta średnia dla cechy X przy wartości y j cechy Y : x j = 1 n j r i=1 x 0 i n ij dla j = 1,2,...,k, a y i to i-ta średnia dla cechy Y przy wartości x i cechy X: y i = 1 n i k j=1 y 0 j n ij dla i = 1,2,...,r.

10 Wskaźniki korelacyjne Pearsona sa dane wzorami: dla cechy X względem cechy Y : S 2 r P(X,Y ) = m(x) S 2 (X), dla cechy Y względem cechy X: S 2 r P(Y,X) = m(y ) S 2 (Y ).

11 Wskaźniki korelacyjne Pearsona r P(X,Y ) i r P(Y,X) przyjmuja wartości z przedziału [0,1] i nie wskazuja kierunku korelacji. Wartość 0 przyjmuja w przypadku, gdy brak jest zwiazku między cechami, natomiast wartość 1, gdy między cechami istnieje zależność funkcyjna. Na ogół sa niesymetryczne, czyli r P(X,Y ) r P(Y,X). Ponadto między wskaźnikami korelacyjnymi Pearsona a współczynnikiem korelacji liniowej Pearsona zachodza nierówności: rp(x,y 2 ) > r 2 i rp(y 2,X) > r 2.

12 Mierniki krzywoliniowości służa do badania stopnia krzywoliniowości zwiazku: cechy X względem cechy Y : M K (X,Y ) = r 2 P(X,Y ) r 2, cechy Y względem cechy X: M K (Y,X) = r 2 P(Y,X) r 2. Mierniki krzywoliniowości również przyjmuja wartości z przedziału [0, 1], przy czym jeśli wartość miernika krzywoliniowości jest mniejsza lub równa 0, 2, to zwiazek jest prostoliniowy, a jeśli przekracza 0, 2, to pomiędzy cechami zachodzi zwiazek krzywoliniowy. PRZYKŁAD.

13 służa do mierzenia siły zwiazku między wieloma cechami X j (j = 1,2,...,m). Można tu wyróżnić dwie typowe sytuacje badawcze, polegajace na określeniu: siły zwiazku korelacyjnego jedynie między dwiema dowolnymi cechami X j1 i X j2 (1 j 1 j 2 m), z wyłaczeniem wpływu na ten zwiazek innych cech (korelacja czastkowa), siły zwiazku korelacyjnego między wybrana cecha X j1 a zespołem innych cech (korelacja wieloraka).

14 Współczynniki korelacji czastkowej Współczynniki korelacji czastkowej obliczamy na podstawie wzoru r jl Ω = R jl, Rjj Rll gdzie pierwsze dwie litery jl w indeksie jl Ω oznaczaja, że obliczamy współczynnik korelacji czastkowej dla cech X j i X l z wyłaczeniem działania cech o numerach ze zbioru Ω = {1,2,...,j 1,j + 1,...,l 1,l + 1,...,m}, Rjl, Rjj, Rll sa dopełnieniami algebraicznymi macierzy korelacji R o wymiarach m m, która uzyskuje się obliczajac współczynniki korelacji liniowej Pearsona dla każdej pary cech osobno.

15 Współczynniki korelacji czastkowej Macierz R współczynników korelacji liniowej jest macierza symetryczna, a jej elementami na głównej przekatnej sa jedynki (r jj = 1). Tak więc: 1 r 12 r r 1m r 21 1 r r 2m R =..... r m1 r m2 r m3... 1

16 Współczynniki korelacji czastkowej Minorem det(r jl ) macierzy korelacji R nazywamy wyznacznik podmacierzy powstałej przez wykreślenie j-tego wiersza oraz l-tej kolumny z macierzy R, natomiast dopełnienie algebraiczne R jl macierzy korelacji R określamy wzorem:

17 Współczynniki korelacji czastkowej R jl = ( 1) j+l det(r jl ) = 1... r 1,l 1 r 1,l+1... r 1m = ( 1) j+l det r j 1,1... r j 1,l 1 r j 1,l+1... r j 1,m r j+1,1... r j+1,l 1 r j+1,l+1... r j+1,m r m1... r m,l 1 r m,l

18 Współczynniki korelacji czastkowej Dopełnienie algebraiczne R jj jest określone poprzez minor macierzy korelacji R powstały przez wykreślenie j-tego wiersza i j-tej kolumny z macierzy R, a dopełnienie algebraiczne R ll poprzez wykreślenie l-tego wiersza i l-tej kolumny z macierzy R.

19 Współczynniki korelacji czastkowej Współczynniki korelacji czastkowej r jl Ω przyjmuja wartości z przedziału [ 1,1], a ich wartość może być większa lub mniejsza od wartości współczynnika korelacji całkowitej dla pary badanych cech. Ponadto wartości tych współczynników moga się różnić znakiem. Interpretacja współczynnika korelacji czastkowej dla dwóch badanych cech jest podobna do współczynnika korelacji liniowej Pearsona, z założeniem o wyłaczeniu wpływu innych cech.

20 Współczynnik korelacji wielorakiej Współczynnik korelacji wielorakiej obliczamy na podstawie wzoru: R j Ω = 1 det(r) det(r jj ), gdzie j w indeksie j Ω oznacza, że obliczamy współczynnik korelacji wielorakiej między cecha X j a zespołem cech o numerach ze zbioru Ω = {1,2,...,j 1,j + 1,...,m}, natomiast R jj jest dopełnieniem algebraicznym macierzy korelacji R.

21 Współczynnik korelacji wielorakiej Współczynnik korelacji wielorakiej R j Ω wyraża siłę korelacji i przyjmuje wartości z przedziału [0, 1]. Im bliższa jedności jest wartość współczynnika R j Ω, tym zwiazek między cecha X j a zespołem pozostałych cech jest silniejszy, natomiast im bardziej wartość tego współczynnika jest bliższa zeru, tym zwiazek jest słabszy. PRZYKŁAD.