WYZNACZANIE NIESTACJONARNYCH PÓL TEMPERATURY PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH W OBSZARACH 2D

Transkrypt

1 Z E S Z Y T Y A U K O W E P O L I T E C H I K I P O Z AŃSKIEJ r Budowa Maszyn Zarządzane Producą 5 AGIESZKA FRASKA WYZACZAIE IESTACJOARYCH PÓL TEMPERATURY PORÓWAIE METOD UMERYCZYCH W OBSZARACH D W artyule orównano doładność metod numerycznych. Jao rzyłady testowe wyorzystano dwuwymarowe zagadnena oczątowo-brzegowe maące doładne rozwązana. Porównano dwe różne werse metody oloac brzegowe. Perwsza z nch to metoda źródeł ozornych, w tóre est wyorzystana metoda oloac brzegowe metoda rozwązań odstawowych. Druga est oarta na transformac Lalace a oraz na metodze rozwązań odstawowych. a odstawe otrzymanych wynów można stwerdzć, że metoda oarta na transformac Lalace a est lesza od względem doładnośc nż metoda źródeł ozornych. Słowa luczowe: nestaconarne ole temeratury, metoda oloac brzegowe, transformaca Lalace a, metoda źródeł ozornych. WPROWADZEIE W welu zagadnenach techncznych stotną westą est umeętność wyznaczana nestaconarnych (zależnych od czasu) ól temeratury. Problem tego tyu wystęue mędzy nnym rzy chłodzenu odlewu. Z tego owodu zamemy sę netórym metodam wyznaczana nestaconarnego ola temeratury w obszarze dwuwymarowym oraz badanem doładnośc tych metod. Jeśl wewnątrz rozatrywanego obszaru ne wystęuą źródła ceła, to zmenne w czase ole temeratury osue równane różnczowe nazywane równanem rzewodzena ceła: t t t α + =, () x y τ gdze t [K] est temeraturą, τ [s] czasem, α λ ( c ρ ) 3 c [ J ( g K) ] est cełem właścwym materału, ρ [ m ] =, rzy czym g gęstoścą mate-

2 6 rału, a λ [ ( m K) ] A. Frasa W wsółczynnem rzewodzena ceła zależnym od rodzau materału. Równane () rozwązue sę z warunem oczątowym oraz warunam brzegowym ( x, y, ) = t ( x y) t τ, dla τ = () ( x y, τ ) g( x, y,τ ) t = na Γ, (3) b, b b b g znaną teme- gdze t ( x, y) est znaną temeraturą oczątową, ( x b, y b,τ ) raturą w untach brzegowych ( x b, y b ), Γ brzegem rozważanego obszaru. Równane różnczowe () z warunem oczątowym () oraz warunem brzegowym (3) est sformułowanem tzw. roblemu oczątowo-brzegowego. Rozwązane analtyczne roblemów oczątowo-brzegowych tego tyu est możlwe tylo dla rostych geometr obszarów (rostoąt, orąg t.) z rostym ostacam func wystęuących w warunu oczątowym brzegowym. Obecne z reguły stosue sę w tym celu metody numeryczne, z tórych naoularnesze są metoda różnc sończonych metoda elementów sończonych. że zastosuemy dwe mne oularne metody. Perwsza z nch to metoda źródeł ozornych, w tóre est wyorzystana metoda oloac brzegowe metoda rozwązań odstawowych. Metodę tę będzemy w dalszym cągu oznaczać ao BCMFS. Druga z tych metod należy do gruy metod bezsatowych est oarta na transformac Lalace a oraz na metodze rozwązań odstawowych (BCMLT). Celem demonstrac doładnośc tych metod rozwążemy roblemy oczątowo-brzegowe, tóre maą doładne rozwązana.. PRZYKŁADY TESTOWE Przyład Rozważmy ole temeratury w rostoątnym obszarze o wymarach a b. ech w chwl oczątowe temeratura rostoątnego walca t wynos. astęne na brzegach rostoąta rzyładamy temeraturę t = t chłodzmy rostoąt do te temeratury [3]. W celu wyznaczena ola temeratury należy rozwązać równane bezwymarowe: θ θ + = X Y T z warunem oczątowym w obszarze < X <, < Y < E (4)

3 oraz z warunam brzegowym: Wyznaczane nestaconarnych ól temeratury... 7 θ = dla T =, X, Y E (5) θ = dla T >, X =, Y E, (6) θ = dla T >, Y = E, X, (7) = X = Y dla T >, X =, Y E, (8) dla T >, Y =, X, (9) gdze θ bezwymarowa temeratura, T bezwymarowy czas (lczba Fourera), X Y bezwymarowe wsółrzędne artezańse. Doładne rozwązane roblemu oczątowo-brzegowego (4 9) ma ostać: θ = + m= ex n= m+ n+ ( ) cos ( m ) cos ( n ) ( m )( n ) π T [( m ) + ( n ) E ]. 4 πx πey () Przyład Rozatruemy zagadnene ogrzewana nesończonego walca ołowego o romenu odstawy r = r, tórego temeratura oczątowa równa sę zeru, a na ego owerzchn utrzymue sę temeratura U = const []. Powyższy roblem osue równane bezwymarowe: θ + = R R R T z warunem oczątowym warunam brzegowym w obszarze R, ϕ π () θ = dla T =, R () θ = dla T >, R =, (3) = ϕ dla T >, R, ϕ =, (4)

4 8 A. Frasa = ϕ dla π T >, R, ϕ =, (5) gdze θ bezwymarowa temeratura, T bezwymarowy czas (lczba Fourera), R ϕ bezwymarowe wsółrzędne walcowe. Doładne rozwązane roblemu oczątowo-brzegowego ( 5) ma ostać: gdze n J ( µ R) θ ( R, T ) =, (6) µ ) n ex( µ n T ) n= µ nj( n µ są dodatnm erwastam równana J ( µ ). = 3. ZASTOSOWAIE METODY ŹRÓDEŁ POZORYCH DO WYZACZAIA IEUSTALOEGO POLA TEMPERATURY Metoda ta est szczegółowo omówona w racy [5]. Je stota srowadza sę do założena stnena soncentrowanych źródeł ceła (tzw. źródła ozorne) dzałaących oza rozatrywanym obszarem w untach ξ, ). Wydaność ( η tych źródeł W zmena sę soowo w czase. Wówczas wzór na temeraturę wewnątrz rozważanego obszaru, sowodowaną dzałanem źródeł ozornych będącą ednocześne rozwązanem zagadnena oczątowo-brzegowego, ma ostać: M θ ( X, Y, T ) = W G( X ξ, Y η, T T ) η( T T ), (7) = = gdze W są neznanym wsółczynnam, tóre należy wyznaczyć, orzystaąc z warunów brzegowych, oraz G = 4π E [( X ξ ) ] + ( Y η ) + E T T [ ] [( X + ξ ) ] + [( Y η ) ] [( X ξ ) ] + ( Y + η ) T T + E [ ] [( ) ] [( ) ] X + ξ + Y + η, + E T T T T + (8) gdze E ( z) = ex( u) du. u z

5 Wyznaczane nestaconarnych ól temeratury... 9 Rozwązane dane w ostac (7) sełna równane rzewodnctwa ceła, warune oczątowy warun symetr. Po odstawenu rozwązana (7) do warunów brzegowych w untach ( X, Y ) w chwlach czasowych T otrzymamy M uładów równań na wyznaczene M neznanych wartośc W : l = = W θ est znaną bezwymarową temeraturą w untach brzego- gdze ( X, Y, Tl ) wych ( X Y ). G( X ξ, Y η, T l =,,..., M, l T ) η( T l T ) = θ =,,...,, ( X, Y, T ), l (9), 4. ZASTOSOWAIE TRASFORMACJI LAPLACE A ORAZ METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH DO WYZACZEIA IEUSTALOEGO POLA TEMPERATURY Po wyonanu transformac Lalace a na równanu rządzącym (4) wyorzystanu warunu oczątowego (5) otrzymuemy: X gdze + Y ~ θ = ~ ( X, Y, ) θ ( X, Y, ) w obszarze < X <, < Y < E, () ~ θ dt, () ( X, Y, ) = ex( T ) θ ( X, Y, T ) rzy czym est arametrem transformac Lalace a. Po transformac warun brzegowe (6 9) rzymuą ostać: ~ θ = dla X =, Y E, () ~ θ = dla Y = E, X, (3)

6 ~ = X ~ = Y A. Frasa dla X =, Y E, (4) dla Y =, X. (5) Zastosowane transformac Lalace a ozwala srowadzć roblem oczątowo-brzegowy wyrażony równanem rządzącym (4), warunem oczątowym (5) oraz warunam brzegowym (6 9) do roblemu brzegowego wyrażonego równanem () oraz warunam brzegowym ( 5). Jedną z możlwośc rozwązana ta oreślonego roblemu brzegowego est zastosowane metody rozwązań odstawowych. Rozwązane odstawowe równana () ma ostać: [ ( )], ~ θ ( X, Y, ξ, η) = K ( x ξ ) + ( y η) (6) π rzy czym ξ, η są wsółrzędnym tzw. untu źródłowego leżącego oza rozważanym obszarem. Po wyorzystanu warunu symetr rozwązane roblemu brzegowego możemy zasać w ostac suerozyc rozwązań odstawowych: gdze ( ) β są chwlowo neznanym funcam arametru transformac, odczas gdy K est zmodyfowaną funcą Bessela, a wsółrzędne ( ) ~ θ = β, (7) π = ( ) K(, X, Y, ξ, η ) K [ ( )] (, X, Y, ξ, η ) = K ( X ξ ) + ( Y η ) + K + K [ ( X + ξ ) + ( Y η ) )] + K ( X ξ ) + ( Y + η ) [ ( + ) + ( + ) )] X ξ Y η + [ ( )] + (8) otrzymano w wynu odowednego lustrzanego odbca rozwązana odstawowego od os X = oraz = K, X, Y,ξ, η została dobrana Y. Funca ( ) w ta sosób, aby warun brzegowe (4 5) wynaące z symetr zagadnena były sełnone w sosób ścsły, odobne a równane różnczowe ().

7 Wyznaczane nestaconarnych ól temeratury..., a nastęne na odwrócenu Problem olega na wyznaczenu func β ( ) transformaty Lalace a, czyl wyznaczenu ola temeratury θ ( X, Y, T ). Do dysozyc mamy warun brzegowe ( 3). Po odstawenu rozwązana (7) do tych warunów otrzymuemy: = = π β = dla X =, Y E, (9) ( ) K(, X, Y, ξ, η ) π β = dla Y = E, X. (3) ( ) K(, X, Y, ξ, η ) Poneważ ścsłe wyznaczene func ( ) oberzemy sończoną lczbę arametrów transformac z równań (9 3) otrzymuemy: = β wydae sę zagadnenem trudnym,,..,, M. Wówczas ( ) ( ) π β K(, X, Y, ξ, η ) =, =,,..., M, (3) ( ) ( ) gdze ( X ),Y są untam brzegowym oraz ( ) β = β (3) est macerzą M, tóre wartośc należy wyznaczyć. W tym celu na brzegach X =, Y E Y = E, X oberamy ( ) ( ) łączne untów oloac X Y. Pozwala to na uzysane uładu ( ), M równań z newadomym β w ostac: = ( ) ( ) π β K(, X, Y, ξ, η ) =, =,,..., M, =,,...,. (33) Powyższy uład równań można rozwązać metodą elmnac Gaussa. Maąc wyznaczone wsółczynn β, celem wyznaczena ola temeratury należy oblczyć odwrotną transformatę Lalace a. Obecne stnee wele metod numerycznego odwracana transformac Lalace a, tórych os można znaleźć w rzeglądowe racy []. Ogólne można stwerdzć, że a dotychczas ne ma metody daące dobre rezultaty we wszystch rzyadach. W zależnośc od ostac obrazu func stosuemy odowedną metodę numeryczną odwracana tego obrazu. Tuta zastosuemy metodę zaroonowaną rzez Schaery ego [4], tóra wydae sę odowedna do za-

8 A. Frasa gadneń rzewodzena ceła. a odstawe te metody oszuuemy rozwązana dla ola temeratury w ostac: gdze ( X Y ) M ( X, Y, T ) = + c ( X, Y ) ex( b T ) θ, (34) l= c l, są neznanym funcam, a b l neznanym wsółczynnam. Po wyonanu transformac Lalace a na wzorze (34) otrzymuemy: l M cl l= + ( X, Y ) ~ θ ( X, Y, ) = +. (35) b W wynu orównana rawych stron równań (7) (35) otrzymuemy: c ( X, Y ) M l + = l= + bl π = l ( ) K(, X, Y, ξ, η ) l β. (36) Po zasanu ostatnego równana dla wybranych wartośc arametru transformac,,..., M oraz założenu, że b =, b =,..., b M = M, otrzymue- c l X, Y : my uład równań z newadomym funcam ( ) ( X, Y ) M cl + = l= + l π = β K (, X, Y, ξ, η ) Po wyberanu untu o wsółrzędnych ( ) lnowych w ostac: gdze B A Y, =,,..., M. (37) X, otrzymuemy uład równań Ac = B (38) =, (39) + ( ) = + K ( X ξ ) + ( Y η ) π [ ( )] β, (4) = ( ) c ( X Y ) c =,. (4) Po rozwązanu tego uładu metodą elmnac Gaussa wyznaczamy wsółczynn c. Maąc te wsółczynn ze wzoru (34), otrzymuemy wartość ( ) temeratury w unce o wsółrzędnych ( X, Y ).

9 Wyznaczane nestaconarnych ól temeratury WSKAŹIKI BŁĘDÓW W celu srawdzena doładnośc owyższych metod zastosowano dwa rytera błędów [3]. Perwsze ryterum oera sę na tzw. błędze globalnym dla bezwymarowe temeratury ma ostać: ERG = T P T P = = θ ( X, Y, T ) θ ( X, Y, T, ), (4) e rzy czym ndesy e a oznaczaą doładne rzyblżone rozwązana rzedstawonych rzyładów otrzymane metodą źródeł ozornych lub metodą transformac Lalace a. W metodze źródeł ozornych lczba untów X, ), w a ( Y tórych oblczamy błędy, P =5, są one ednaowo rozmeszczone w całym regone. Druge ryterum tzw. błąd loalny est zdefnowane nastęuąco: ERL = max θ ( X, Y, T ) θ ( X, Y, T, ). (43) e Rozmeszczene untów oloac untów źródłowych est dla obu metod dentyczne, rzy czym unty źródłowe są rozmeszczone na onturze odobnym do brzegu rozatrywanego obszaru, a s oznacza odległość mędzy untam źródłowym a brzegem obszaru. Przyładowe rozmeszczene untów oloac untów źródłowych oazano na rys.. a Y a) b) Y X X Rys.. Rozmeszczene untów oloac untów źródłowych: a) dla rzyładu, b) dla rzyładu Fg.. The dstrbuton of collocaton and source onts a) examle, b) examle

10 4 A. Frasa 6. WYIKI OBLICZEŃ I WIOSKI a odstawe otrzymanych wynów można sformułować nastęuące wnos: W metodze BCMFS masymalne wartośc błędów wystęuą w erwszym rou czasowym maleą wraz z uływem czasu (atrz tab. ). Jest to rawdoodobne sowodowane tym, że wystęue so temeratury na brzegu obszaru dla t =. W metodze BCMFS wartośc błędów maleą wraz ze wzrostem odległośc s mędzy untam źródłowym a brzegem obszaru (atrz tab. ). Zarówno w metodze BCMLT, a BCMFS wartośc błędu globalnego masymalnego błędu loalnego maleą monotonczne wraz ze wzrostem lczby untów (ston swobody); atrz tab Dla rzyładu lesze rezultaty otrzymano, stosuąc metodę BCMLT, (atrz tab. 3). Dotyczy to zarówno błędu globalnego, a masymalnego błędu loalnego. Rezultaty osągnęte w BCMFS są do zaacetowana, ale gorsze. a odstawe zadana testowego z rzyładu możemy stwerdzć, że numeryczne bardze efetywna est BCMLT w orównanu z BCMFS. Wartośc błędów dla BCMFS w zależnośc od czasu T, s =,5 Values of errors for BCMFS n deendence of tme T, s =.5 Tabela T,,,5,3,35,4,45,5,55,6,65,7,75,8,85,9,95, Przyład Przyład = 6 = 5 ERG ERL ERG ERL,3,38,748E-,7684,5939E-,59,47583E-,955,3779E-,935,9747E-,954,34E-,759,84E-,68,4468E-,5,368E-,395,8994E-,33,756E-,8,5597E-,443,4337E-,78,3393E-,9,668E-,96569E-,877E-,9759E-,6339E-,8746E-,6774E-,5346E-,45899E-,448E-,376E-,3438E-,3585E-,95E-,78E-,54E-,3476E-,997E-,676E-,949E-,843E-,7459E-,6584E-,5788E-,88677,5397,4858,389,3353,767,3393,73,7749E-,5945E-,4555E-,3558E-,736E-,484E-,749E-,3699E-,7E-,953E-

11 Wyznaczane nestaconarnych ól temeratury... 5 Wartośc błędów dla BCMFS w zależnośc od arametru s, T =, Values of errors for BCMFS n deendence of arameter s, T =. Tabela S,5,,,3,4,5,6,7,9, Przyład Przyład = 6 = 5 ERG ERL ERG ERL,874E-,6974E-,4984E-,3796E-,774E-,334E-,84E-,94E-,787E-,66E-,63788E-,4384E-,478E-,5495E-,338E-,7474E-,555E-,435E-,786E-,99E-,939,8333,485,969,87,,44,8,94484E-,8984E-,4897,595,8653E-,6358E-,547E-,473E-,3367E-,737E-,88E-,88E- Porównane błędów metod BCMLT BCMFS dla rzyładu, E =, Comarson of errors for BCMLT and BCMFS, Examle, E =, Tabela BCMLT BCMFS ERG ERL ERG ERL s =, s =,4,8E-,743E-3,44E-3,39E-3,99E-4,97E-4,865E-4,85E-4,857E-4,854E-4,94E-,759E-,536E-3,E-,E-,89E-3,E-,E-,E-,E-,668E-,57E-,335E-,69E-,36E-,5E-,98E-,8E-,8E-,74E-,385,5,47,34,5,9,5,,,9 Wartośc błędów dla BCMFS w zależnośc od wartośc arametru, T =,5 Values of errors for BCMFS n deendence of arameter, T =.5 Tabela Przyład Przyład ERG ERL ERG ERL s =,5 s =,5,484E-,656,896E-,68,84E-,5898,8454E-,596,8597E-,5836,86E-,587,3396E-,35E-,95E-,98E-,9E-,94E-,9,73,97745E-,9593E-,94648E-,94439E-

12 6 A. Frasa PODZIĘKOWAIA Dzęuę bardzo rofesorow J.A. Kołodzeow rofesorow J. Stefanaow za omoc rzy sanu te racy, cenne wsazów ośwęcony czas. Ta raca została zrealzowana w ramach badań własnych -49/4 BW. LITERATURA [] Buda B.M., Samars A.A., Tchonow A.., Zadana roblemy fzy matematyczne, Warszawa, PW 965. [] Daves B., Martn B., umercal nverson of the Lalace transform: a survey and comarson of methods, J. Comut. Physcs, 978, 33, s. 3. [3] Kołodze J. A., Stefana J., Kleber M., Transent heat conducton by boundary collocaton methods and FEM a comarson study, n: umercal technques for boundary element methods. Proceedngs of the Seventh GAMM-Semnar, Kel, January 99, ed. W. Hacbusch, otes on umercal Flud Mechancs, vol. 33, s [4] Schaery R. A., Aroxmaton methods of transform nverson for vscoelastc stress analyss, n: Proceedngs of the Truth U.S. atonal Congress on Aled Mechancs, 96, vol., s [5] Stefana J., Controllng the concentrated sources n some roblems of heat conduton, J. Tech. Phys., 985, 6, s Recenzent: dr hab. Tadeusz Hoffmann, rof. nadzw. CALCULATIO TIME DEPEDET TEMPETATURE FIELDS A COMPARISO STUDY S u m m a r y The comutatonal accuracy of boundary collocaton methods s comared. D ntalboundary value roblems are consdered. Two dfferent verson of the boundary collocaton are consdered. The frst one s based on the fundamental soluton of governng dfferental equaton and dscretzaton n tme. The second one s based on coulng of the Lalace transform and the boundary collocaton method. To obtan the nverse Lalace transform the Schaery method s emloyed. It follows from the comarson of these two methods that n consdered examles, for the same arameters, the second method s referable to ts accuracy. Key words: transent temerature feld, boundary collocaton method, Lalace transformaton Lalace a, method of aarent sources Mgr Agnesza Frasa Instytut Mechan Stosowane, Poltechn Poznańse ul. Potrowo 3, 6-38 Poznań tel. (6) 665 3, e-mal: agnesza.frasa@ut.oznan.l