Algorytm genetyczny dla problemu gniazdowego z ograniczeniem bez czekania

Transkrypt

1 lgorym geneyczny dla problemu gniazdowego z ograniczeniem bez czeania Mariusz Mauchowsi Insyu Cyberneyi Technicznej, Poliechnia Wrocławsa Słowa luczowe: (problem gniazdowy, ograniczenie bez czeania, rozwiązania super-aywne, rozwiązania pseudo-aywne, algorym geneyczny) Sreszczenie: W pracy analizuje się problem gniazdowy z ograniczeniem bez czeania z ryerium opymalizacji będącym erminem zaończenia wyonywania wszysich zadań. Przedsawia się lasę rozwiązań superaywnych oraz jej rozszerzenie lasę rozwiązań pseudo-aywnych. Na bazie omówionych las rozwiązań proponuje się dwa algorymy geneyczne. Jaość proponowanych algorymów ocenia się na podsawie przeprowadzonych badań numerycznych, wyorzysując lieraurowe przyłady esowe. 1. WPROWDZENIE W pracy rozwaŝa się problem gniazdowy (ang. job shop problem) z dodaowym ograniczeniem bez czeania (ang. no-wai). Opymalizowaną funcją celu jes ermin zaończenia wyonywania wszysich zadań (ang. maespane). Problem en róŝni się od swojego lasycznego odpowiednia wymogiem rozpoczęcia wyonywania operacji doładnie w chwili zaończenia wyonywania jej poprzednia echnologicznego (bezzwłocznie). Ograniczenie o jes ypowe dla wielu rzeczywisych procesów producyjnych, w órych przewarzany produ zmienia swoje własności fizycznochemiczne, przyładowo podczas wyrobu sali [1], producji Ŝywności [2], czy wyrobu elemenów beonowych [3]. Z punu widzenia złoŝoności obliczeniowej, juŝ lasyczny problem gniazdowy jes silnie NPrudny, co zosało poazane w pracy [4]. nalizowało go wielu badaczy, co zaowocowało opracowaniem szeregu algorymów (róŝnego rodzaju). Dla niewielich insancji dedyowane są algorymy doładne, bazujące na echnice dziel i ograniczaj (ang. branch and bound) [5], a dla pozosałych algorymy przybliŝone, najczęściej algorymy popraw [6,7]. Problem gniazdowy z ograniczeniem bez czeania jes aŝe problemem silnie NP-rudnym [4], nawe w przypadu zreduowanym do dwóch maszyn [8]. Choć eoreyczna złoŝoność obu wymienionych warianów problemu gniazdowego jes idenyczna, o wielu badaczy uwaŝa, z praycznego punu widzenia, problem z ograniczeniem bez czeania, za znacznie rudniejszy. Przyładowo przedsawiony w pracy [9] algorym doładny, bazujący na meodzie podziału i ograniczeń, porafi rozwiązać w sensownym czasie insancje o liczbie zadań nie więszej niŝ 15 przy 5 maszynach i nie więszej niŝ 10 przy 10 maszynach. Ponado rozwaŝany problem doczeał się wielu algorymów przybliŝonych bazujących na róŝnorodnych echniach. Przyładowo w pracy [10] przedsawiono algorym opary na echnice poszuiwania z zabronieniami, w pracy [11] algorym opary na echnice symulowanego wyŝarzania, a w pracy [12] algorym geneyczny z elemenami symulowanego wyŝarzania. Dalszy uład pracy jes nasępujący. W rozdziale drugim podaję sformułowanie maemayczne rozwaŝanego problemu oraz wprowadzam najporzebniejsze oznaczenia wyorzysywane w dalszej części pracy. W rozdziale rzecim definiuję dwie lasy rozwiązań, zn. rozwiązania super-aywne oraz rozwiązania pseudo-aywne. Nasępnie przeprowadzam esperymen numeryczny mający na celu prayczną ocenę najlepszych rozwiązań wysępujących w danej lasie. W rozdziale czwarym opisuję zaproponowane algorymy geneyczne, bazujące na wcześniej opisanych rozwiązaniach superaywnych oraz pseudo-aywnych. Rozdział en ończę badaniami numerycznymi z wyorzysaniem znanych w lieraurze przyładów esowych. Uzysane rezulay porównuję do algorymu lieraurowego [12], uwzględniając zarówno czas pracy algorymu ja i jaość orzymanych rozwiązań. Osani piąy rozdział zawiera ogólne uwagi auora, zarówno na ema zaproponowanych las rozwiązań super-aywnych i pseudo-aywnych ja i zasosowania podejścia ewolucyjnego do rozwiązywania insancji rozwaŝanego problemu.

2 2. SFORMUŁOWNIE PROBLEMU Problem gniazdowy z ograniczeniem bez czeania i funcją ryerialną, będącą erminem zaończenia wyonywania wszysich zadań, oznaczany jes w noacji Graham'a przez: J no wai Cmax, [13]. MoŜe on być sformułowany zgodnie z noacją zaproponowaną w pracy [12] w nasępujący sposób: Dany jes zbiór maszyn M = { 1,2,, m} oraz zbiór zadań J = { 1,2,, n} wyonywanych na ych maszynach. Dla aŝdego zadania producyjnych. Operacja l ( 1 J dany jes ciąg O = o, K, or ) zawierający r operacji l l o słada się z pary ( m, p ) oreślającej olejno wyorzysywaną maszynę oraz czas rwania operacji. Ponado w rozwaŝanym problemie obowiązują nasępujące ograniczenia: olejnościowe: operacje zadania naleŝy wyonać w olejności O, synchroniczne: aŝda maszyna moŝe wyonywać w danej chwili, co najwyŝej jedną operację oraz nie moŝna w ym samym czasie wyonywać więcej niŝ jednej operacji danego zadania, bez czeania: aŝda nie pierwsza operacja danego zadania, musi rozpocząć się doładnie w momencie zaończenia wyonywania operacji wcześniejszej ego samego zadania. ZauwaŜmy, Ŝe ermin rozpoczęcia wyonywania zadania (momen rozpoczęcia wyonywania operacji o 1 ) oreśla precyzyjnie erminy rozpoczęć oraz zaończeń wyonywania wszysich operacji o O ego zadania. Dlaego jao rozwiązanie (uszeregowanie) problemu przyjmuję weor T =, K, ) erminów rozpoczęcia wyonywania wszysich n zadań. Rozwiązanie spełniające ( 1 n wszysie powyŝsze ograniczenia nazywamy rozwiązaniem dopuszczalnym. Długością ( T ) uszeregowania T nazywamy ermin wyonania wszysich zadań: C ( T ) = max ( + p ). (1) max J Problem polega na znalezieniu rozwiązania dopuszczalnego T * o najmniejszej długości. r l= 1 l 3. USZEREGOWNI SUPER-KTYWNE I PSEUDO-KTYWNE Uszeregowania super-aywne rozwaŝane w pracy, zdefiniowane są precyzyjnie przez daną permuację zadań π = ( π (1), K, π ( n) ) (permuacja ładująca) oraz pewną procedurę przeszałcającą ę permuację w rozwiązanie. Procedura worząca uszeregowanie super-aywne z permuacji π słada się z n idenycznych roów. W i-ym rou do częściowego rozwiązania doładane jes zadanie π (i ), worząc nowe uszeregowanie częściowe. Procedura zaczyna działanie z pusego uszeregowania, a po zaończeniu działania budowane uszeregowanie częściowe saje się osaecznym rozwiązaniem. Dodanie zadania π (i ) w i-ym rou procedury polega na wyznaczeniu minimalnego erminu π 0 spełniającego wszysie ograniczenia względem π ( l), l = 1, K, i 1, uszeregowanych juŝ ( i) wcześniej zadań. ZauwaŜmy, Ŝe aŝda permuacja π zbioru J definiuje doładnie jedno uszeregowanie, co więcej, uszeregowanie o jes zawsze dopuszczalne, co wynia bezpośrednio ze sposobu jego onsrucji. Zaimplemenowana procedura posiada złoŝoność obliczeniową O ( n 2 N 2 ), gdzie N = max { r } oznacza najwięszą liczbę operacji w szeregowanych zadaniach. J W rozwaŝanym problemie nie ma Ŝadnej gwarancji, Ŝe lasa rozwiązań super-aywnych zawiera poszuiwane rozwiązanie opymalne. Przyład aiej insancji (moŝliwie najmniejszy pod względem liczby maszyn i zadań) wraz z najlepszym rozwiązaniem super-aywnym oraz rozwiązaniem opymalnym znajduje się na rysunu 1.

3 Rys.1. Harmonogram zadań, a) najlepsze rozwiązanie super-aywne, b) rozwiązanie opymalne Chcąc zmniejszyć częsoliwość wysępowania niepoŝądanej, wspomnianej wyŝej własności, zdecydowałem się na rozszerzenie rozwiązań super-aywnych o ich symeryczne odpowiednii. W onsewencji procedura generująca rozwiązania rozszerzona zosała o dodaowy omplemenarny moduł. W srócie, moduł en pracuje na odbiciach lusrzanych oryginalnych danych, generując harmonogram super-aywny, po czym zwraca rozwiązanie odpowiadające lusrzanemu odbiciu wygenerowanego harmonogramu. Osaecznie jao rozwiązanie dla danej sewencji ładującej przyjmuję harmonogram lepszy w sensie warości funcji celu. Uzysane w en sposób rozwiązania będę nazywał dalej rozwiązaniami pseudo-aywnymi (wszysie zadania na wyresie Gan a dosunięe są najdalej ja o moŝliwe do lewej lub prawej srony) OCEN JKOŚCI ROZWIĄZŃ SUPER-KTYWNYCH I PSEUDO- KTYWNYCH W celu praycznej oceny jaości rozwiązań super-aywnych oraz pseudo-aywnych, zaprojeowałem algorym doładny wyznaczający najlepszą (w sensie warości funcji celu) permuację ładującą. Badania przeprowadziłem dla przyładów, w órych liczba zadań była nie więsza niŝ 10 (warości rozwiązań opymalnych podano w pracy [9,12]). Orzymane rezulay zamieściłem w abeli 1. Tabela 1. Błędy względne najlepszych rozwiązań danej lasie względem rozwiązań opymalnych Grupa przyładów Błędy względne najlepszych rozwiązań lasy: super-aywnej pseudo-aywnej La01-La05 0,70 0,00 La16-La20 0,19 0,00 Orb01-Orb05 0,07 0,03 Orb06-Orb10 0,46 0,00 F06, F10 0,00 0,00 Średnia 0,32 0,01 Z abeli 1 wynia, Ŝe pogorszenie jaości rozwiązań związane z ograniczeniem przeglądania rozwiązań ylo super-aywnych czy pseudo-aywnych jes sosunowo małe. Połączenie ego fau z ławością odowania ych rozwiązań (jedna ładująca permuacja zadań) oraz sosunowo prosą meodą ich onsrucji sugeruje, Ŝe omawiane lasy są dobrą bazą dla projeowania efeywnych algorymów przybliŝonych. Oczywise jes, Ŝe przeglądanie rozwiązań pseudo-aywnych umoŝliwia znalezienie lepszych rozwiązań, niŝ w przypadu przeglądania rozwiązań super-aywnych, jednaŝe obarczone jes o dwuronie dłuŝszym czasem wyznaczenia warości funcji celu. 4. LGORYTM SG i PG Ogólna idea algorymu ewolucyjnego przedsawiona jes po raz pierwszy w pracy [14]. lgorymy geneyczne są programami symulującymi dobór nauralny, ewolucję i dziedziczenie, wysępujące w

4 przyrodzie. Pojedyncze osobnii symulowanej populacji uoŝsamiane są z rozwiązaniami danego problemu. Zazwyczaj jedna ieracja aiego algorymu odpowiada Ŝyciu jednego poolenia, w órym najsłabsze osobnii giną, a najlepiej przysosowane sają się rodzicami nowego poolenia. Jaość przysosowania osobnia oceniana jes na podsawie warości funcji ryerialnej odpowiadającego mu rozwiązania. W celu nadania ewolucji endencji do generowania coraz lepszych rozwiązań, nowo powsałe osobnii dziedziczą geny (pewne arybuy rozwiązań) swoich rodziców. Naomias w celu uninięcia syuacji, w órej wszysie nowo generowane osobnii są bardzo do siebie podobne, sosuje się niewielą ich muację. Z powyŝszego opisu wynia, Ŝe podsawowymi operacjami wysępującymi w aŝdej ieracji algorymu geneycznego są: selecja (wybór rodziców z całego poolenia), rzyŝowanie (generowanie nowych osobniów na podsawie maeriału geneycznego rodziców) oraz muacja (wprowadzenie niewielich zmian w maeriale geneycznym nowo powsałych osobniów). Szczegółowa implemenacja poszczególnych elemenów algorymu (warianu algorymu o najwyŝszej jaości osiąganych rozwiązań z pośród iludziesięciu esowanych) opisana jes poniŝej: selecja: w algorymie zasosowano najprosszy rodzaj selecji, zwaną selecją wardą, polegającą na wyborze paren najlepszych osobniów, rzyŝowanie: do rzyŝowania sosuję dwa operaory bazujące na bazie operaora PMX. Oba z nich losują po dwa puny przecięcia się permuacji, dzieląc permuację rodzica na rzy części. Pierwszy z nich, operaor LRX, polega na sopiowaniu 1 i 3 części rodzica, naomias braujące środowe elemeny uzupełniane są zgodnie z olejnością wysępowania w rodzicu B. Drugi, operaor MX, jes analogiczny, z ą róŝnicą, Ŝe opiowaniu podlega środowa część permuacji, a począowa i ońcowa jes uzupełniana, muacja: w algorymie zasosowano muację ypu wsaw. Polega ona na przełoŝeniu jednego losowego elemenu permuacji ładującej na nową wylosowaną pozycję, dodaowa dywersyfiacja: aŝdy osobni o warości funcji celu wysępującej juŝ u innego osobnia w pooleniu poddawany jes dodaowej muacji. Ta dodaowa muacja wyonuje się a długo, aŝ nasąpi zmiana warości funcji celu muowanego rozwiązania. Osaecznie paramerami serującymi pracą algorymu są olejno: imen: masymalny czas pracy algorymu podany w seundach, iern: masymalna liczba pooleń symulowana przez algorym, idlen: liczba pooleń bez poprawy po órej nasępuje resar (dla idlen>0) lub zarzymanie algorymu (dla idlen<0), childn: liczba osobniów w pooleniu, paren : liczba osobniów będących rodzicami dla nasępnego poolenia, crossover: zbiór operaorów rzyŝowania. Operaory z ego zbioru uŝywane są cylicznie, inserp: prawdopodobieńswo muacji, N: roność powórzenia algorymu. Opisany algorym bazujący na rozwiązaniach super-aywnych nazywany jes algorymem SG, naomias algorym bazujący na rozwiązaniach pseudo-aywnych, algorymem PG NLIZ EKSPERYMENTLN Wszysie badania przedsawione w ej pracy, zosały przeprowadzone na ompuerze lasy PC z procesorem hlon XP aowanym zegarem 1666 MHz. Prezenowane algorymy zosały zaprogramowane w języu C++ i uruchamiane były w środowisu Windows XP. Efeywność proponowanych algorymów rozumiana zarówno jao szybość działania, ja i jaość dosarczanych rozwiązań, przeesowana zosała na znanych w lieraurze przyładach esowych. Przyłady e są zróŝnicowane zarówno pod względem ilości maszyn (od 5 do 20), ja i ilości zadań (od 6 do 30). Dla lepszej inerpreacji uzysanych rezulaów, porównane zosały one względem wyniów

5 orzymanych algorymem hybrydowym [12], łączącym w sobie algorym geneyczny z elemenami algorymu symulowanego wyŝarzania. Przyład Tabela 2. Wynii działania algorymów i PG dla przyładów ławych m n OPT PG PG PG La01 5 x , ,00 La02 5 x , ,00 La03 5 x , ,00 La04 5 x , ,00 La05 5 x , ,00 La16 10 x , ,00 La17 10 x , ,00 La18 10 x , ,00 La19 10 x , ,00 La20 10 x , ,00 Orb01 10 x , ,00 Orb02 10 x , ,00 Orb03 10 x , ,00 Orb04 10 x , ,00 Orb05 10 x , ,15 Orb06 10 x , ,00 Orb07 10 x , ,00 Orb08 10 x , ,00 Orb09 10 x , ,00 Orb10 10 x , ,00 F06 6 x , ,00 F10 10 x , ,00 Tabela 3. Średni błąd oraz suma czasów działania algorymów i PG dla grup ławych Grupy przyładów PG PG La01-La , ,00 La16-La , ,00 Orb01-Orb , ,03 Orb06-Orb , ,00 F06, F , ,00 Wszysie 794 3, ,01 255,178,93 167,25,14 Właściwy es słada się z dwóch części. W pierwszej z nich bada się efeywność algorymu na ławych, a w drugiej na rudnych przyładach esowych. Przyłady ławe o e, óre udało się rozwiązać doładnie sosując algorym ypu dziel i ograniczaj opisany w pracy [9], naomias pozosałe noszą miano przyładów rudnych. Pewnego omenarza wymagają przyłady La06-La10, óre udało się rozwiązać doładnie, a zawalifiowane zosały do przyładów rudnych. Decyzja o aim przydziale wynia bezpośrednio z fau, iŝ pozosałe przyłady o liczbie zadań wynoszącej 15 są przyładami rudnymi. Ponado prayczna rudność ich rozwiązania (parz abela 3 i abela 5) jes na poziomie cechującym przyłady rudne. W pierwszej części esu isnieje duŝa szansa na osiągnięcie rozwiązań niewiele róŝniących się od rozwiązania opymalnego (w sensie warości funcji celu), dlaego zdecydowałem się na zasosowanie algorymu PG, oparego na rozwiązaniach pseudo-aywnych (najlepsze z rozwiązań lasy pseudoaywnej są znacznie bliŝej rozwiązania opymalnego niŝ analogiczne rozwiązania w lasie rozwiązań super-aywnych, parz abela 1). lgorym PG uruchamiany był z nasępującymi paramerami serującymi: PG( 999,250,-100,50,20,(coMX,coLRX),0.005,10 ). Znaczenie wszysich paramerów (w olejności ich wsępowania) wypunowałem i omówiłem wcześniej.

6 Dla aŝdego przyładu wyznaczyłem długość uszeregowania PG generowanego przez badany PG algorym PG w czasie. nalogiczne dane i dla algorymu orzymano uruchamiając 30 razy algorym (na ompuerze z procesorem hlon 1400 Mhz). Nasępnie dla aŝdego przyładu obliczyłem OPT, względny błąd w sosunu do rozwiązania opymalnego, OPT OPT 100 max max max = % ( C C ) / C, {, PG }. (2) Przyład Tabela 4. Wynii działania algorymów i SG dla przyładów rudnych m n REF σ PG SG SG σ La06 5 x , La07 5 x , La08 5 x , La09 5 x , La10 5 x , La11 5 x , La12 5 x , La13 5 x , La14 5 x , La15 5 x , La21 10 x , La22 10 x , La23 10 x , La24 10 x , La25 10 x , La26 10 x , La27 10 x , La28 10 x , La29 10 x , La30 10 x , La31 10 x , La32 10 x , La33 10 x , La34 10 x , La35 10 x , La36 15 x , La37 15 x , La38 15 x , La39 15 x , La40 15 x , F20 20 x , Tabela 5. Średni błąd oraz suma czasów działania algorymów i SG dla grup rudnych Grupy przyładów SG SG σ La06-La , La11-La , La21-La , La26-La , La31-La , La36-La , F , Wszysie ,

7 Ja juŝ wspominałem, rozwiązania algorym doładny ypu dziel i ograniczaj. Warości OPT zaczerpnięo z pracy [9], w órej orzymano je sosując PG, PG, aŝdego z ławych przyładów zamieszczono w abeli 2. Średnie warości sum, oraz błędu OPT dla oraz sumę czasów działania algorymu {, PG } dla poszczególnych grup przyładów ławych zamieściłem w abeli 3. Dla drugiej części esu algorym SG (dwuronie szybszy względem algorymu PG) wydaje się być bardziej odpowiedni. Przyłady esowe są ym razem na yle rudne, Ŝe spodziewana odległość względem rozwiązania opymalnego będzie duŝo więsza niŝ błąd wyniający z ograniczenia się do analizy rozwiązań super-aywnych, zamias rozwiązań pseudo-aywnych. Tym razem algorym SG uruchamiany był z paramerami: SG( 999,250,250,50,20,(coMX,coLRX),0.000,20 ). Dalszy przebieg drugiej części esu przebiegał analogicznie do pierwszej części, z ą zasadniczą róŝnicą, Ŝe porównywane algorymy {, SG } esowane były na przyładach rudnych, a błędy rozwiązań Rozwiązania REF σ liczone są względem warości funcji celu rozwiązań referencyjnych. REF REF 100 max max max σ = % ( C C ) / C, {, SG }. (3) REF zaczerpnięo z pracy [15], w órej orzymano je sosując algorym ypu poszuiwania z zabronieniami oraz algorym ypu symulowanego wyŝarzania. Warości oraz SG, REF przyładów rudnych zaware są w abeli 4, naomias średnie warości SG,, σ błędu σ oraz sumę czasów działania sum algorymu {, SG } dla poszczególnych grup przyładów rudnych zamieściłem w abeli UWGI KOŃCOWE Z badań wsępnych zamieszczonych w puncie 3 wynia, Ŝe zarówno sosowanie algorymów przybliŝonych bazujących na lasie rozwiązań super-aywnych, ja i pseudo-aywnych, wydaje się być bardzo dobrym podejściem. lgorym bazujący na rozwiązaniach super-aywnych, względem analogicznego algorymu bazującego na rozwiązaniach pseudo-aywnych, odznacza się dwuronie rószym czasem działania oraz ylo niewiele słabszymi (w sensie warości funcji celu) dosarczanymi rozwiązaniami. Przyładowo dla esowanych ławych insancji algorym bazujący na rozwiązaniach super-aywnych, moŝe znaleźć w najlepszym przypadu rozwiązania o średnim błędzie 0,32%, podczas gdy algorym bazujący na rozwiązaniach pseudo-aywnych moŝe znaleźć rozwiązania ze średnim błędem mniejszym niŝ 0,01% (błąd liczony względem warości funcji celu rozwiązania opymalnego). Wynia z ego, Ŝe lasa rozwiązań pseudo-aywnych jes szczególnie polecana dla przyładów ławych, gdzie osiągane błędy względne są bardzo małe. Naomias lasę rozwiązań superaywnych poleciłbym dla przyładów rudnych, gdzie znajdowane rozwiązania są ciągle daleie od ideału (warość funcji celu jes duŝo więsza niŝ warość funcji celu rozwiązania opymalnego). Zasosowanie algorymu PG dla przyładów ławych, a algorymu SG dla przyładów rudnych było dobrą decyzją. Dodaowe esy na rudnych przyładach wyazały przewagę algorymu SG nad PG. Oba algorymy działały jednaowo długo, przy czym algorym SG wyonywał 2 razy więcej ieracji niŝ algorym PG. Dosarczane algorymem SG rozwiązania były ooło 1% lepsze w sensie warości funcji celu od rozwiązań dosarczonych przez algorym PG. Naomias w przypadu przyładów ławych algorym SG mógłby w najlepszym wypadu znaleźć rozwiązania gorsze o 0,31% niŝ znalezione rozwiązania algorymem PG. Wynia o z fau, Ŝe najlepsze rozwiązania w lasie rozwiązań super-aywnych są gorsze od rozwiązań dosarczonych algorymem PG (parz abela 1 i abela 3). Ponado na szczególną uwagę zasługuje fa, Ŝe dla wszysich przyładów ławych algorym PG znalazł najlepsze moŝliwe rozwiązania. MoŜna powiedzieć, Ŝe znalazł rozwiązania opymalne w lasie rozwiązań pseudo-aywnych (parz abela 1 i abela 3). Wśród ych rozwiązań aŝ 21 na 22 o rozwiązania opymalne (parz abela 2). Porównując osiągnięe rezulay względem lieraurowego algorymu wyraźnie widać przewagę proponowanych algorymów. Wszysie porównywane algorymy są algorymami geneycznymi (algorym zawiera w sobie dodaowo elemeny symulowanego wyŝarzania). lgorymy

8 SG i PG dosarczają rozwiązań zdecydowanie lepszych w sensie warości funcji celu niŝ lieraurowy algorym działający w porównywalnym czasie. Pisząc o porównywalnym czasie uwzględniam zarówno realny czas działania algorymu, ja i róŝnicę w szybości pracy ompuerów. Dla ławych insancji algorym dosarczył rozwiązań z średnim błędem 3,68%, podczas, gdy algorym PG w idenycznym czasie (po uwzględnieniu róŝnicy szybości ompuerów) wygenerował rozwiązań o średnim błędzie 0,01%. Podobnie dla przyładów rudnych algorym dosarczył rozwiązania z średnim błędem 8,32%, podczas, gdy algorym SG wygenerował rozwiązania z średnim błędem 1,38%. Definicja omawianych błędów zawara jes w rozdziale 4.1. Waro aŝe zwrócić uwagę na fa całowiej rezygnacji, w esowanej wersji algorymu SG, z radycyjnej muacji, na rzecz muacji osobniów podobnych (parz dodaowa dywersyfiacja w rozdziale 4). Prezenowane podejście nie wymaga precyzyjnego srojenia a uzysiwane rozwiązania są saysycznie lepsze (w sensie warości funcji celu) niŝ w przypadu podejścia radycyjnego. Praca była częściowo finansowana ze środów KBN gran T PIŚMIENNICTWO CYTOWNE [1] WISMER D.., Soluion of he flowshop scheduling-problem wih no inermediae queues. Operaions Research. 1972, 20, 689. [2] HLL N., SRISKNDRJH C., survey of machine scheduling-problems wih blocing and no-wai in process. Operaions Research. 1996, 44 (3), 510. [3] GRBOWSKI J., PEMPER J., Sequencing of jobs in some producion sysem. European Journal of Operaional Research. 2000, 125, 535. [4] LENSTR J., RINNOOY KN., Compuaional complexiy of discree opimizaion problems. nnals of Discree Mahemaics, 1979, 4, 121. [5] BRUCKER P., JURISCH B., SIEVERES B., branch and bound algorihm for he job-shop-scheduling-problem, Discree pplied Mahemaics, 1994, 49, 107. [6] NOWICKI E., SMUTNICKI C., fas aboo search algorihm for he job shop scheduling problem, Managmen Science, 1996, 42 (6), 797. [7] PEZZELL F., MERELLI E., abu search mehod guided by shifing bolenec for job-shop-schedulingproblem, branch and bound algorihm for he job-shop-scheduling-problem, European Journal of Operaional Research. 2000, 120, 297. [8] SHNI S., CHO Y., Complexiy of scheduling shops wih no-wai in process, Mahemaics of Operaions Research, 1979, 4, 448. [9] MSCIS., PCCIRELLI D., Job shop scheduling wih blocing and no-wai consrains, European Journal of Operaional Research. 2002, 142 (3), 498. [10] MCCHIROLI R., MOLE S., RIEMM S., Modelling and opimizaion of indusrial manufacuring processes subjec o no-wai consrains, Inernaional Journal of Producion Research, 1999, 37 (11), [11] RYMKERS W., HOOGEVEEN J., Scheduling mulipurpouse bach process indusries wih no-wai resricions by simulaed annealing, European Journal of Operaional Research. 2000, 126, 131. [12] SCHUSTER C., FRMINN J., pproximaive procedures for no-wai job shop scheduling, Operaions Research Leers. 2003, 31, 308. [13] GRHM R., LWLER E., LENSTR J., RINNOOY KN., Opimizaion and approximaion in deerminisic sequencing and scheduling: a survey, nnals of Discree Mahemaics, 1979, 5, 287. [14] HOLLND J.H., Geneic lgorihms, Scienific merican, 1992, 267, 44. [15] Mauchowsi M., Problemy gniazdowe z operacjami wielomaszynowymi. Własności i algorymy. Rapor Poliechnii Wrocławsiej, seria: Prepriny nr 37 / GENETIC LGORITHM FOR NO-WIT JOB SHOP PROBLEM Keywords: (no-wai job shop problem, super acive soluions, pseudo acive soluions, geneic algorihm)

9 Summary: The paper deals wih he no-wai job shop scheduling problem wih he maespan crierion. The new class of so called super-acive soluion is inroduced. Two geneic algorihms SG and PG, based on aforemenioned class, and he class of pseudo-acive schedules, are proposed. These algorihms are esed on easy and hard benchmars well-now in lieraure. Resuls of compuaional experimens are given and hey are compared wih resuls yielded by he bes geneic algorihm discusses in lieraure.