CYKLICZNY PROBLEM PRZEPŁYWOWY Z PRZEZBROJENIAMI MASZYN

Transkrypt

1 CYKLICZNY PROBLEM PRZEPŁYWOWY Z PRZEZBROJENIAMI MASZYN Wojciech BOŻEJKO, Łuasz KACPRZAK, Mieczysław WODECKI Streszczenie: W pracy zajmujemy się cylicznym problemem przepływowym z przezbrojeniami maszyn. Polega on na wytwarzaniu w ustalonych odstępach czasu (czas cylu) pewnego zestawu asortymentów. Optymalizacja procesu sprowadza się do minimalizacji czasu cylu, tj. czasu po tórym może nastąpić wyonywanie następnej partii elementów. Ponieważ problem jest silnie NP-trudny, więc do jego rozwiązywania będziemy stosowali algorytmy przybliżone. Przedstawiamy model grafowy problemu oraz własności eliminacyjne bloów umożliwiające znaczne zmniejszenie otoczeń stosowanych w algorytmach loalnych poszuiwań. Słowa luczowe: problemy cyliczne, szeregowanie zadań, problem przepływowy, czas cylu. 1. Wprowadzenie Od wielu lat można zaobserwować rosnące zapotrzebowanie rynu na różnorodność (wieloasortymentowość) producji. Może być to zrealizowane, między innymi, poprzez wytwarzanie cyliczne. W ustalonych odstępach czasu (czas cylu) jest produowana pewna "partia" (mieszana, zestaw) asortymentów. Optymalizacja procesu zazwyczaj sprowadza się do minimalizacji czasu cylu. Właściwy dobór mieszani oraz czasu cylu pozwala zrealizować zapotrzebowanie, a ponadto zwięszyć wydajność oraz efetywności wyorzystania maszyn. W ostatnich latach widać wyraźnie, po liczbie uazujących się publiacji, znaczne zwięszenie się zainteresowania cylicznymi problemami teorii szeregowania zadań. Są to bowiem zazwyczaj problemy cieawe i trudne (w więszości NP-trudne), ważne zarówno z puntu widzenia teorii ja i pratyi. W przeglądowej pracy Panwalara i in. [12] dotyczącej szeregowania zadań stwierdzono, że 75% występujących w pratyce problemów wymaga przynajmniej jednego przezbrojenia zależnego od olejności wyonywania zadań. Natomiast, w 15% problemów należy uwzględnić przezbrojenia pomiędzy wszystimi zadaniami. Jedna w znaczącej więszości prac z dziedziny szeregowania zadań nie uwzględnia się przezbrojeń. Dotyczy to zarówno problemów jedno, ja i wielomaszynowych oraz różnych funcji celu. Tego typu zagadnienia są ważne ze względu teoretycznego i pratycznego. Po optymalizacji czasu cylu dalszą poprawę efetywności funcjonowania systemu uzysuje się poprzez eliminację lub ograniczenie magazynowania półprodutów w magazynach pośrednich lub pomiędzy stanowisami; waruni te znane są w literaturze jao,,zaaz sładowania międzystanowisowego (ang. no store),,,ograniczony obszar sładowania (ang. limited store, buffer) oraz,,ograniczenie czasu oczeiwania (ang. waiting time constraints). Problemy cyliczne stanowią unialną, mało zbadaną podlasę problemów szeregowania, bowiem dotyczą zwyle nieregularnych ryteriów. Systemy cyliczne (w tym taże z dodatowymi ograniczeniami sładowania) cieszą się ostatnio coraz więszym zainteresowaniem zarówno pratyów ja i teoretyów. Są obietem 484

2 badań głównie ze względu na ich duże znaczenie pratyczne oraz łopoty z uzysaniem odpowiednio efetywnych algorytmów rozwiązywania. Zdecydowana więszość otrzymanych dotychczas interesujących wyniów dla systemów z buforowaniem i ograniczeniami czasów oczeiwania dotyczy niecylicznych wariantów tego typu [1]. Generalnie, deterministyczne niecyliczne problemy z ograniczeniami sładowania należą do jednych z trudniejszych zagadnień optymalizacji dysretnej i były dotychczas rozważane dla dość regularnych strutur wytwarzania, szeregowych lub szeregowo - równoległych. Z olei problemy cyliczne z ograniczeniami sładowania były dotychczas formułowane i analizowane wyłącznie dla systemów o stosunowo prostej struturze, np. system jednostanowisowy lub przepływowy [13]. Zarówno stopień sompliowania modelu ja i onstrucja algorytmu dla systemu cylicznego jest istotnie bardziej złożony. Puntem wyjścia do analizy prezentowanej w niniejszej pracy są wynii z monografii [9], dla niecylicznego systemu o struturze szeregowo równoległej z buforowaniem, pozwalające na ich uogólnienie na systemy o dowolnej struturze. W badaniach wyorzystane są taże oryginalne wynii cząstowe zamieszczone w pracach [14-16] dotyczące systemów cylicznych. Silna NP-trudność już wielu najprostszych badanych wersji problemu, ogranicza zares stosowania algorytmów doładnych do instancji o małej liczbie zadań, choć w onteście minimalizacji czasu cylu onstrucja i zastosowanie algorytmów doładnych wydaje się całowicie uzasadnione (i będzie brana pod uwagę). Niemniej, ze względu na NP-trudność, do wyznaczania satysfacjonujących rozwiązań, stosuje się powszechnie szybie algorytmy przybliżone oparte na techniach przeszuiwań loalnych. Metody tego typu opierają się zazwyczaj na dwupoziomowej deompozycji problemu: wyznaczenie optymalnej olejności zadań (poziom górny) oraz wielorotne wyznaczenie minimalnej wartości ryterium dla danej olejności zadań (poziom dolny). O ile dla lasycznych problemów szeregowania rozwiązanie problemu dolnego poziomu można otrzymać w sposób efetywny czasowo przez analizę specyficznego grafu, to w przypadu postawionego zagadnienia rozwiązanie zagadnienia dolnego poziomu jest czasochłonne. Stąd wszelie własności szczególne problemu, w tym pozwalające na bardziej efetywne wyliczanie czasu cylu, poszuiwanie harmonogramu oraz ograniczenie wielości loalnie przeglądanego sąsiedztwa i/lub przyspieszenie szybości jego przeglądania są bardzo pożądane. Bogaty przegląd stanu wiedzy dotyczącego cylicznych zagadnień szeregowania zadań znaleźć można w pracy Levner i in. [10], podejmującej zagadnienia złożoności obliczeniowej algorytmów rozwiązujących poszczególne typy cylicznych zagadnień szeregowania. Autorzy rozpatrują w szczególności problematyę NP-trudności różnego rodzaju problemów cylicznych z uwzględnieniem różnorodnych postaci funcji ryterialnych oraz dodatowych ograniczeń (no wait, no buffer, etc.). Celem prowadzonych badań jest przede wszystim identyfiacja i formalizacja modelu współczesnych przepływowych cylicznych systemów wytwarzania, w szczególności z uwzględnieniem czasów przezbrojeń maszyn, a taże opracowanie i weryfiacja metod rozwiązywania ta zdefiniowanych zagadnień optymalizacji dysretnej z uwzględnieniem różnych funcji celu (głównie czas cylu). Przeprowadzona zostanie weryfiacja jaości uzysiwanych rozwiązań w odniesieniu do wyniów prezentowanych w specjalistycznych, zamieszczonych w Internecie przyładach testowych (benchmars). W pracy rozpatrujemy wielomaszynowy system producji cylicznej, w tórym dowolny element z ustalonej partii (mieszani) przechodzi olejno przez ażdą z maszyn (permutacyjny system przepływowy (ang. permutation flow shop), zobacz Nowici i Smutnici [11] oraz Grabowsi i Wodeci [8]). Ponadto, należy doonać przezbrojenia 485

3 ażdej maszyny, przed wyonaniem olejnego elementu. Problem polega na minimalizacji czasu cylu, tj. czasu po tórym może nastąpić wyonywanie następnej partii elementów. Udowodnimy silną NP-trudność już znacznie uproszczonej wersji rozpatrywanego problemu. O trudności zagadnienia świadczy fat, że jeden z etapów algorytmu sprowadza się do rozwiązania problemu omiwojażera. Z tego powodu, do wyznaczania satysfacjonujących rozwiązań będziemy stosowali szybie algorytmy przybliżone oparte na metodzie loalnych przeszuiwań. Udowodnimy tzw. "własności eliminacyjne bloów", tóre zostaną zastosowane w onstrucjach algorytmów. Umożliwiają one przegląd pośredni pewnych podzbiorów przestrzeni rozwiązań przyspieszając obliczenia i poprawiając jednocześnie jaość wyznaczanych rozwiązań. 2. Sformułowanie problemu Rozpatrywany w pracy system wytwarzania jest pewnym rozszerzeniem silnie NP-trudnego, lasycznego w teorii szeregowania zadań, permutacyjnego problemu przepływowego (oznaczanego w literaturze prze F C max, zobacz: Nowici i Smutnici [11] oraz Grabowsi i Wodeci [8]). Można go sformułować następująco: Problem: Dany jest zbiór n zadań J = {1, 2,, n}, tóre należy wyonać cylicznie (w sposób powtarzalny) na maszynach ze zbioru M = {1, 2,, m}. Dowolne zadanie należy wyonać olejno, na ażdej z m maszyn 1, 2,, m (porząde technologiczny). Zadanie j J jest ciągiem m operacji O1, j, O2, j,, Om, j. Operacja O, j odpowiada czynności wyonywania zadania j na maszynie, w czasie p, j ( = 1,2,, m) j = 1, 2,, n. Po zaończeniu pewnej, a przed rozpoczęciem następnej operacji należy wyonać przezbrojenie maszyny. Niech s i, j ( M, i j i, j J ) będzie czasem przezbrojenia pomiędzy operacją O oraz O,. Problem polega na wyznaczeniu olejności wyonywania zadań (taiej, i j samej na ażdej maszynie), tóra minimalizuje czas cylu, tj. termin rozpoczęcia wyonywania zadań ze zbioru J w następnym cylu. Muszą być przy tym spełnione następujące ograniczenia: (a) ażda operacja może być wyonywana tylo przez jedną, oreśloną przez ciąg technologiczny, maszynę, (b) żadna maszyna nie może wyonywać jednocześnie więcej niż jedną operację, (c) zachowany musi być porząde technologiczny wyonywania operacji, (d) (e) wyonywanie żadnej operacji nie może być przerwane przed jej zaończeniem, pomiędzy olejno wyonywanymi, na tej samej maszynie, operacjami należy doonać przezbrojenia. Zbiór zadań wyonywanych w pojedynczym cylu nazywany jest MPS-em (ang. minimal part set). MPS-y są przetwarzane jeden po drugim w sposób cyliczny, dostarczając partię zadań (mieszanę produtów) w ilościach odpowiedniej dla ażdego cylu. Problem sprowadza się więc do ustalenia momentów rozpoczęcia wyonywania zadań na maszynach spełniających ograniczenia (a)-(e), aby czas cylu (czas po tórym zadanie jest wyonywane w olejnym MPS-ie) był minimalny. W srócie problem ten będziemy oznaczali przez CF. Przyjmujemy, że zadania ze zbioru J wyonywane są w oreślonej olejności, taiej samej dla wszystich MPS-ów, co zapewnia cyliczność sewencji, ale nieoniecznie harmonogramów czasowych w ramach pojedynczego MPS-u. 486

4 W pracy (Grabowsiego i Pempery [7]) udowodniono, że w systemie przepływowym dopuszczalna olejność wyonywania zadań musi być identyczna na ażdej maszynie. Zatem, olejność wyonywania zadań w ażdym MPS-ie może być wyznaczona przez pojedynczą permutację. Każde uszeregowanie zadań może być reprezentowane przez permutację = ( (1),, ( n)) elementów ze zbioru J. Niech oznacza zbiór wszystich taich permutacji. Wobec tego, rozpatrywany w pracy problem sprowadza się do wyznaczenia permutacji zadań zbioru J minimalizującej długość cylu. 3. Model matematyczny Niech [ S ] m n będzie macierzą terminów rozpoczęcia wyonywania zadań -tego MPS-a (dla ustalonej olejności ), gdzie S i, j oznacza termin rozpoczęcia wyonywania zadania j na maszynie i. Załadamy, że nie tylo olejność zadań jest cylicznie powtarzana ale taże, że harmonogram czasowy pracy systemu (tj. wyonywanie olejnych MPS-ów) jest w pełni cyliczny. Oznacza to, że istnieje stała T ( ) (ores) taa, że S = S T ( ), i = 1,..., m, j = 1,..., n, = 1, 2,... (1) 1 i, ( j ) i, ( j ) Ores T ( ) zależy oczywiście od permutacji i jest nazywany czasem cylu systemu. Minimalną wartość T ( ), dla ustalonej, będziemy nazywać minimalnym czasem cylu i oznaczać przez T ( ). Ponieważ lejność wyonywania zadań w ramach pojedynczego MPS-u jest taa sama, więc wystarczy wyznaczyć olejność zadań dla jednego MPS-a i doonać jego przesunięcia o wielość T ( ), =1,2,... na osi czasu. Optymalną wartość czasu cylu T ( ) dla pierwszego MPS-a problemu CF można wyznaczyć rozwiązując następujące zadanie optymalizacyjne: wyznaczyć przy ograniczeniach: T ( ) = min{ T ( ) : }, (2) S p S, i = 1,..., m 1, j = 1,..., n, (3) i, ( j ) i, ( j ) i 1, ( j) S p S, i = 1,..., m, j = 1,..., n 1, (4) i, ( j ) i, ( j ) i, ( j 1) Si, ( n) pi, ( n) Si, (1) T, i = 1,..., m, (5) Si 1, ( n) Si, (1) T, i = 1,..., m 1. (6) Bez straty ogólności możemy przyjąć, że termin rozpoczęcia wyonywania pierwszego zadania na pierwszej maszynie 1, (1) = 0. S Niech n 1, ( i) ( i), ( i 1), ( n) i=1 T ( ) = ( p s ) p. (7) będzie czasem wyonywania zadań w olejności, wraz z przezbrojeniami, na -tej maszynie. 487

5 4. Problem z zerowymi czasami przezbrojeń Załadamy, że czasy przezbrojenia maszyn, pomiędzy olejno wyonywanymi operacjami, są równe zero, więc dla dowolnej permutacji, s = 0, ( ), ( 1) j, = 1, 2, i i m, i = 1, 2,, n. Wówczas, czas (7) wyonywania operacji przez -tą maszynę n p, ( i) i=1 T ( ) = (8) i nie zależy od olejności wyonywania zadań. Łatwo zauważyć, że w tym przypadu minimalny czas cylu T ( ) = min{ T ( ) : = 1,2,, m}, (9) gdzie jest dowolną permutacją zadań ze zbioru J. Na rysunu 1 przedstawiono fragment diagramu Gantta dwóch pierwszych MPS-ów, dla problemu CF z zerowymi czasami przezbrojeń. Przyjęliśmy, że masimum w równości (9) osiągnięto dla -tej maszyny. Rysune 1. Diagram Gantta dla dwóch pierwszych MPS-ów, dla problemu cylicznego bez przezbrojeń maszyn 5. Własności problemu cylicznego z przezbrojeniami Niech będzie pewną ustaloną permutacją zadań. Przez S h, ( i) oznaczamy moment rozpoczęcia zadania ( i) z h-tego MPS-u na -tej maszynie. Dla ustalenia uwagi rozpatrujemy dwa pierwsze MPS-y. Z ograniczeń (3)-(6) wynia, że n n 1 2 1, (1), ( i), ( i) ( i), ( i 1) ( n), (1) i=1 i=1 S S p s s, (10) dla = 1, 2,, m. Podobne zależności zachodzą dla olejnych MPS-ów, tj. pomiędzy S oraz h, (1) h 1 S, (1) ( h = 2,3, ). Podobnie ja (9), czas wyonywania zadań ze zbioru J w olejności na -tej maszynie w ramach jednego MPS-u (wraz z przezbrojeniem maszyny po wyonaniu ostatniego zadania) 488

6 n 1, ( i) ( i), ( i 1), ( n) ( n), (1) i =1 T ( ) = ( p s ) p s, (11) dla = 1, 2,, m. W tym przypadu T ( ) = max{ T ( ) : = 1, 2, }, (12) spełnia wszystie waruni długości cylu. Na rysunu 2 przedstawiono fragment diagramu Gantta dwóch pierwszych MPS-ów. Przyjęliśmy, że masimum w równości (11) osiągnięto dla -tej maszyny. Rysune 2. Diagram Gantta dwóch pierwszych MPS-ów dla problemu cylicznego z przezbrojeniami maszyn. Wobec tego, wyznaczenie minimalnego czasu cylu, dla problemu przepływowego z przezbrojeniami maszyn, sprowadza się do wyznaczenia permutacji optymalnej dla tórej T ( ) = min{ T ( ) : }. (13) Dla ustalonej permutacji zadań minimalny czas cylu 489 T ( ) został oreślony w (12). Załóżmy, że minimum to zostało osiągnięte dla -tej maszynie, tj. T ( ) = T ( ). Rozpatrujemy ciąg czasów T1 ( ), T2 ( ),, T m ( ). Symbolicznie jest on przedstawiony na rysunu 3. Dla ustalonej maszyny, = 1, 2,, m onstruujemy symetryczny graf pełny (sieć) H = V, E; p; s, (14) z obciążonymi wierzchołami i rawędziami, gdzie zbiór wierzchołów: V = J, zbiór rawędzi: E = {{ v, u}: v u, v, u J}, wagi wierzchołów: p : V R, wagi rawędzi: s : E p( v) = p v V,, v R, s( e) = s e E. e

7 Wagi wierzchołów są równe czasom wyonywania zadań, a rawędzi - czasom przezbrojeń. Fragment grafu H, bez czasów wyonywania zadań, przedstawiono na rysunu 4. Rysune 3: Wartości T ( ), = 1,2,, m. Rysune 4. Fragment grafu H. 490

8 Lemat 1. Dla ustalonej permutacji zadań = ( (1), (2),, ( n)), czas wyonywania zadań T ( ) (definicja (11)) na maszynie, = 1, 2,, m jest równy długości L ( ) cylu omiwojażera P ( ) = ( (1), (2),, ( n), (1)) w grafie H. Lemat 2. Permutacja jest optymalną olejnością wyonywania zadań na -tej maszynie (tj. minimalizuje funcję (11)) wtedy i tylo wtedy, gdy ( n), (1)) jest optymalnym cylem omiwojażera w grafie H. Niech L będzie długością optymalnego cylu omiwojażera H m. P w grafie symetrycznym, = 1, 2,, P = ( (1), (2),, Uwaga 1. Dla dwóch różnych maszyn i l nie musi zachodzić równość L L. Uwaga 2. Optymalna wartość czasu cylu T ( ) min{ L : = 1,2,, m}. (15) Twierdzenie 1 Jeżeli czasy przezbrojeń pomiędzy operacjami są na ażdej maszynie taie same, to problem wyznaczenia optymalnego czasu cylu jest silnie NP-trudny. Dowód. W tym przypadu ażde dwa dowolne grafy H i H l ( l, l = 1, 2,, m) są izomorficzne, więc długości optymalnych cyli omiwojażera są taie same. Łatwo zauważyć (orzystając z nierówności (15)), że wyznaczenie optymalnego czasu cylu sprowadza się do wyznaczenia optymalnego cylu omiwojażera w grafie H 1. Jest więc problemem silnie NP-trudnym. Wniose. Rozpatrywany w pracy problem CF jest silnie NP-trudny. 6. Bloi zadań Niech będzie optymalnym cylem Hamiltona w grafie H ( ) ( = 1, 2,, m). Jest to optymalna (tj. minimalna ze względu na czas wyonywania) olejność zadań. Permutację tą będziemy nazywali wzorcem dla -tej maszyny. Niech B = { ( a), ( a 1),, ( b)}, (16) będzie ciągiem bezpośrednio występujących po sobie zadań w permutacji, wzorcem dla -tej maszyny oraz u, v ( u v, u, v = 1,, n) parą liczb taich, że: W1: ( a) = ( u), ( a 1) = ( u 1),, ( b 1) = ( v 1), ( b) = ( v), lub W2: ( b) = ( u), ( b 1) = ( u 1),, ( a 1) = ( v 1), ( a) = ( v) W3:B jest masymalnym podciągiem ze względu na zawieranie, tj. nie można go powięszyć ani o element ( a 1), ani o ( b 1), spełniającym ograniczenia W1 lub W2), Jeżeli ciąg zadań (16) spełnia waruni W1 i W3 lub W2 i W3, to nazywamy go bloiem l 491

9 na -tej maszynie ( M ). Z definicji wynia, że blo może zawierać tylo jeden element. Jeżeli liczba elementów b a 2, to tai blo bez pierwszego i ostatniego elementu nazywamy bloiem wewnętrznym. Własność 1. Permutację zadań na rozłączne bloi. można, na dowolnej maszynie M, rozbić Twierdzenie 2 [17]. Algorytm rozbicia n elementowej permutacji zadań na bloi ma złożoność obliczeniową O( n ). Twierdzenie 3 [17]. Jeżeli permutacja została wygenerowana z permutacji przez zmianę olejności elementów w pewnym blou wewnętrznym na maszynie M, to T ( ) T ( ). Uwaga 3. Aby zmniejszyć bieżącą długość cylu T ( ) należy pewne zadanie z pewnego blou wewnętrznego przestawić przed pierwszy lub za ostatni element tego blou. Z twierdzenia 3 wynia tzw. "własność eliminacyjna bloów". Dzięi niej, przy generowaniu otoczeń w algorytmach typu popraw, można pominąć rozwiązania nie dające bezpośredniej poprawy. Przyspiesza to znacznie działanie algorytmu. 7. Podsumowanie W pracy rozpatrywano cyliczny problem przepływowy z przezbrojeniami maszyn. Należy od do lasy problemów silnie NP-trudnych. Przedstawiono model matematyczny oraz udowodniono pewne specyficznych własności problemu, w tym eliminacyjne własności bloowe. Będą one bezpośrednio zastosowane w onstrucjach algorytmów rozwiązywania przedstawionego problemu. Praca została częściowo sfinansowana ze środów Narodowego Centrum Naui przyznanych na podstawie decyzji numer DEC-2012/05/B/ST7/ Literatura 1. Bożejo W., Mauchowsi M., Solving the no-wait job shop problem by using genetic algorithm with automatic adjustement, International Journal of Advanced Manufacturing Technology, Volume 57, Issue 5, 2011, Chaar J.K., Davidson E.S. Cyclic Job Shop Scheduling Using Reservation Tables. Department of Electrical Engineering and Computer Science. The University of Michigan. 1990, Cavory G., Dupas R., Goncalves G. A genetic approach to solving the problem of cyclic job shop scheduling with linear constraints. European Journal of Operational Research 161, 2005, Caggiano K., Jacson P.L. Finding minimum flow time cyclic schedules for nonidentical, multistage jobs. IIE Transactions, 40, 2008,

10 5. Dąbrowsi P., Pempera J., Smutnici C.: Minimizing cycle time of the flow line-genetic approach with gene expression, Lecture Notes in Computer Science, vol. 4431, 2007, Fournier O., Lopez, P., Lan Sun Lu J.D. Cyclic scheduling following the social behavior of ant colonies. Conference Publications Systems, Man and Cybernetics, 2002 IEEE International Grabowsi J., Pempea J., Sequencing of jobs in some production system, EJOR, 2000,125, Grabowsi J., Wodeci M., A very fast tabu search algorithm for the permutation flow shop problem with maespan criterion, Computers and Operations Research, 31, 2004, Kampmeyer T., Cyclic Scheduling Problems, Ph.D. Dissertation, Universitat Osnabruc, Levner E., Kats V, Lopez A.P., Cheng T.C.E. Complexity of cyclic scheduling problems: A state-of-the-art survey. Computers and Industrial Engineering, 59, 2010, Nowici E., C. Smutnici, A fast tabu search algorithm for the permutation flow-shop problem, European Journal of Operational Research, 1996;91: Panwalar S.S., Dude R.A., Smith M.L.: Sequencing research and the industrial scheduling problem. Symposium on the theory of scheduling and its applications (ed. Elmaghraby S.E.), Springer-Verlag, Berlin, Pempera J., Smutnici C., Minimalizacja czasu cylu wytwarzania na linii: Podejście genetyczne z espresją genów. Automatya 2005, t. 9, z. 1/2, Smutnici C.: Scheduling with high variety of customized compound products. Decision Maing in Manufacturing and Services, 1, 1/2, 2007, Smutnici C., Smutnici A.: Nowe własności harmonogramów cylicznych w systemie przepływowym, Automatya, t. 11, z. 1/2, 2007, Smutnici C., Smutnici A.: Harmonogramowanie cyliczne w systemie gniazdowym, Zastosowania teorii systemów, AGH, 2007, Wodeci M., Identyfiacja własności cylicznego problemu przepływowego pod ątem ich wyorzystania w onstrucji efetywnych algorytmów rozwiązania, Raport Instytutu Informatyi, Automatyi i Robotyi Politechnii Wrocławsiej, 2013 (w przygotowaniu). Prof. nadzw. dr hab. Wojciech BOŻEJKO Mgr inż. Łuasz KACPRZAK Instytut Informatyi Automatyi i Robotyi Politechnii Wrocławsiej ul. Janiszewsiego 11/17, Wrocław wojciech.bozejo@iiar.pwr.wroc.pl Prof. nadzw. dr hab. Mieczysław WODECKI Instytut Informatyi Uniwersytetu Wrocławsiego ul.joliot-curie 15, Wrocław mwd@ii.uni.wroc.pl 493