Cel Zbudowanie modelu pewnego zjawiska/procesu w oparciu o obserwowane zmiany w czasie pewnych mierzalnych wielkości opisujących ten proces.

Transkrypt

1 Analiza szeregów czasowych i prognozowanie Dr inż. Krzyszof Krawiec Zakład Ineligennych Sysemów Wspomagania Decyzji Insyu Informayki, Poliechnika Poznańska Cel Zbudowanie modelu pewnego zjawiska/procesu w oparciu o obserwowane zmiany w czasie pewnych mierzalnych wielkości opisujących en proces. Cele: weryfikacja inuicyjnych przypuszczeń, wyjaśnianie naury zjawiska, predykcja (eksrapolacja) przebiegu lub jego składowych => prognozowanie. hp://www-idss.cs.pu.poznan.pl Szereg czasowy W saysyce: szczególny przypadek szeregu dynamicznego (nazwanego ak przez analogię do szeregu rozdzielczego). Przykład : Obciążenie akywności 5. Dane hisoryczne m RDCIN IDCOUT Rozróżnia się szeregi czasowe: momenów (np. liczba ludności pewnego miasa w laach od 99 do 999 liczona wg sanów na 3 grudnia), okresów (np. roczna produkcja spinaczy w Polsce w laach od 99 do 999)

2 Przykład : Odwiedziny wiryny WWW Gazelle.com - a legwear and legcare web reailer Sof-launch: Jan 3, Hard-launch: Feb 9, wih an Ally McBeal TV ad on 8h and srong $ off promoion clicksream analysis Przykład : Toal Sales, Discouns, and "Heavy Spenders" /7/ /3/ // /7/ /4/ 3// 3/9/ 3/6/ 3/3/ 3/3/ $ No daa. Sof Launch. Ally McBeal ad & $ off promoion Discouns greaer han order amoun (afer discoun) 3. Seady sae.% 9.% 8.% 7.% 6.% 5.% 4.% 3.%.%.%.% Order dae [Kohavi ] Percen heavy Discoun Order amoun 5 6 Przykład szereg czasowy okresów wielowymiarowy Top Referrers Percen of op referrers % 8% 6% 4% % % // /4/ /6/ /8/ // // /4/ /6/ /8/ // // /4/ /6/ /8/ 3// 3/3/ 3/5/ 3/7/ 3/9/ 3// 3/3/ 3/5/ 3/7/ 3/9/ 3// 3/3/ 3/5/ 3/7/ 3/9/ Session dae Fashion Mall Yahoo ShopNow MyCoupons Winnie-cooper Toal from op referrers 3/3/ Przykład 3: Szereg czasowy momenów A7875 A7675 A8375 A8375 A875 A8375 A9775 A9775 wig A9575 A375 A75 A975 A975 wig A775 A575 A375 A

3 Sposrzeżenia aki a nie inny kszał danych hisorycznych nie jes (nie był) jedynym możliwym scenariuszem (warianem), na nasz przebieg wpływają akże czynniki zewnęrzne względem modelu, kórych w nim nie uwzględniamy ZATEM: konieczność probabilisycznego ujęcia modelowania szeregów czasowych => saysyka. Proces sochasyczny a szereg czasowy Proces sochasyczny X(,ω) o zbiór losowych funkcji czasu () przyporządkowanych zdarzeniom ω. Gdy usalamy: - dosajemy zmienną losową X (ω) ω - dosajemy funkcję czasu x(). Funkcje x() o realizacje procesu sochasycznego X(,ω), szeregi czasowe (SC). W szczególności, gdy czas przyjmuje warości dyskrene (np. nauralne), funkcje x() nazywamy dyskrenymi szeregami czasowymi (DSC). 9 Proces sochasyczny a szereg czasowy Przykład - dyskreny szereg czasowy X (,ω ) X ( ω) Obserwowany szereg czasowy x() X (,ω ) ω ω 3 ω i ω P[ X ( ω) = X ] 3

4 Typowy przebieg procesu analizy SC Zbieranie i przygoowywanie danych Analiza Modelowanie = odkrywanie srukury przebiegu czasowego (np. przez dekompozycję) Prognozowanie, w ym m.in.: weryfikowanie prognoz, szacowanie jakości prognoz, Przebieg wykładu Zbieranie i przygoowywanie danych Analiza szeregów czasowych Dekompozycja szeregu czasowego Prognozowanie Prognozowanie w przedsiębiorswie Uwagi końcowe Sudium przypadku => przebieg wykładu 3 4 Założenia meoda pozyskiwania Zbieranie i przygoowywanie danych Jednorodny charaker danych: szeregi okresów: okresy powinny być równej długości, szeregi momenów: momeny powinny być równo odległe w czasie. Bardzo isone! Większość meod zakłada jednorodność danych. Dane hisoryczne powinny doyczyć okresu, w kórym paramery modelu opisującego proces były (choćby w przybliżeniu) sałe

5 Założenia ilość danych Dane hisoryczne powinny jak najlepiej reprezenować poszukiwane regularności. W ogólności obowiązuje zasada im więcej, ym lepiej. W szczególności, jeżeli obserwujemy (lub domyślamy się isnienia) cyklicznej zmienności w analizowanym procesie, zbierane dane powinny obejmować minimum jeden pełen okres cyklu. Dane rzeczywise = Problemy nieregularny charaker kalendarza, warości brakujące, spowodowane np. dniem wolnym od pracy, awarią sysemu zbierania danych, zmiana charakeru/paramerów modelowanego procesu Przykład: Dane hisoryczne doyczące produkcji (oal). Czy należy ignorować fak, iż na pewnym eapie asorymen produków uległ zmianie? wiarygodność danych 7 8 Dane rzeczywise = Problemy (c.d.) obserwacje odsające przyczyny: Błędy w danych saysycznych (np. przy wprowadzaniu), Silny wpływ rzadko wysępującego czynnika zewnęrznego (np. jednorazowa realizacja bardzo dużego zamówienia, zw. elephan order), Silny wpływ rzadko wysępującego czynnika wewnęrznego (np. awaria urządzenia produkcyjnego), Środki zaradcze nieregularny charaker kalendarza: sandaryzacja długości miesiąca, sandaryzacja liczby dni roboczych w ygodniu. Przykład: Miesiąc Sprzedaż(sz) Sprzedaż po sandaryzacji L. dni sy lu mar kwi maj cze

6 Problem Manipulacje na poszczególnych warościach dezakualizują dane agregaowe (np. podsumowania). Miesiąc Sprzedaż(sz) Sprzedaż po sandaryzacji L. dni sy lu mar kwi maj cze Suma: Koreka Sprzedaż po Miesiąc Sprzedaż(sz) L. dni sandaryzacji Wskaźnik sy lu mar kwi maj cze Suma: => konieczność koreky. Przewarzanie obserwacji odsających i brakujących uwzględnić w modelu, rudne, ale najbardziej pożądane. pominąć (eliminować), wada: redukcja zbioru danych, zasąpićśrednią (arymeyczną) obserwacji sąsiednich, wada: słabe podparcie saysyczne, inerpolować funkcją złożoną, Przewarzanie obserwacji odsających X ( ) średnia arymeyczna inerpolacja braki danych 3 4 6

7 Inerpolacja wielomianowa Meoda Lagrange a: oszacowanie współczynniki Gdzie: N liczba węzłów inerpolacji L f ( ) = f ( i ) Pi ( ) i= ( ) L j i j Pi ( ) = ( i j ) numer chwili, dla kórej dokonuje się szacunku nieznanej warości szeregu czasowego, f( ) warość ego szacunku P i L współczynniki wielomianu Lagrange a Założenie: liczba brakujących punków jes niewielka. N j i Przebieg wykładu Zbieranie i przygoowywanie danych Analiza szeregów czasowych Dekompozycja szeregu czasowego Prognozowanie Prognozowanie w przedsiębiorswie Uwagi końcowe Sudium przypadku 5 6 Analiza szeregów czasowych Cel Opisanie ilościowe dynamiki szeregu czasowego (SC) Podsawowe miary sosowane w analizie SC o przyrosy: absoluny sosunkowy oraz ich średnie

8 Przyros absoluny Różnica w poziomie zjawiska zanoowana w dwóch różnych okresach/momenach, y y gdzie y - poziom zjawiska w okresie/chwili, y - poziom odniesienia, w zw. okresie podsawowym. Ciągi przyrosów absolunych Za pomocą przyrosów można uworzyć ciąg przyrosów absolunych jednopodsawowy, lub łańcuchowy y y y y, K, n, y y y y, y y, K, y n yn 9 3 Ciągi przyrosów absolunych - przykład Samochody osobowe (san na dzień 3 XII) Laa Liczba Przyrosy absolune samochodów jednopodsawowy łańcuchowy Przyros sosunkowy Sosunek przyrosu absolunego do poziomu zjawiska w okresie wyjściowym, y y y gdzie y - poziom zjawiska w okresie/chwili, y - poziom odniesienia, w zw. okresie podsawowym. Za: [Kassyk-Rokicka 998] 3 3 8

9 Ciągi przyrosów sosunkowych Za pomocą sosunków można uworzyć ciąg przyrosów względnych jednopodsawowy, lub y y y y,, łańcuchowy, yn y K y y y y y y,, K, y y y yn y y n n Ciągi przyrosów sosunkowych- przykład Samochody osobowe (san na dzień 3 XII) Laa Liczba Przyrosy sosunkowe samochodów jednopodsawowy łańcuchowy Za: [Kassyk-Rokicka 998] Przebieg wykładu Zbieranie i przygoowywanie danych Analiza szeregów czasowych Dekompozycja szeregu czasowego Prognozowanie Prognozowanie w przedsiębiorswie Uwagi końcowe Sudium przypadku Dekompozycja szeregu czasowego i konsrukcja modelu

10 Idea Poszukujemy adekwanego, i możliwie oszczędnego modelu wyjaśniającego obserwowane szeregi. Na przykład: spośród kilku możliwych do zasosowania modeli wybieramy en, kóry charakeryzuje się najmniejszą liczbą paramerów. Podłoże filozoficzne: brzywa Ockhama (Occam s razor; William of Ockham 85-?) One should no increase, beyond wha is necessary, he number of eniies required o explain anyhing. Nie należy mnożyć byów ponad porzebę. Overfiing Problem: nawe jeżeli zbudujemy model bardzo dobrze (j. z małym błędem) wyjaśniający dane hisoryczne, o nie mamy gwarancji, czy generowane przez niego prognozy będą równie dobre. W prakyce: model zby dokładnie dopasowany (overfied) do danych hisorycznych/uczących zazwyczaj sprawuje się na nowych danych (u: w przyszłości) gorzej niż model prosszy, gorzej dopasowany do danych hisorycznych (oczywiście do pewnego sopnia). Powód: indukcyjny charaker procesu konsruowania modelu zjawiska i prognozowania Overfiing przykład Once upon a ime here was a lile girl named Emma. She had never eaen banana in all her life nor had she ever aken a journey on a rain. On one occasion circumsances made necessary for her o journey from New York o Pisburgh alone. To relieve Emma's anxiey her moher gave her a large bag of bananas o ea on her railway journey wes. A Emma's firs bie of her banana, he rain plunged ino a unnel. A he second bie, he rain broke ino he dayligh again. Emma, being a brigh lile girl, akes a hird bie. Lo! Ino a unnel. A fourh bie and ino he dayligh again. And so on all he way o Pisburgh (and all he way o he boom of he bag of bananas). Is Emma jusified in saying o he people who me her a he saion, ``Every odd bie of a banana makes you blind; every even bie pus hings righ again? [N. H. Hanson, za: H.Bensusan, Odd bies ino bananas don' make you blind -- learning abou simpliciy and aribue addiion ] Overfiing - przykład Wielkość sprzedaży Dane hisoryczne Przyszłość Poly. (Dane hisoryczne) Czas y = -.875x 5 +.3x x x x

11 Ogólne założenie Obserwowany przebieg X() składa się z: części sysemaycznej (kórej model chcemy zbudować), szumu. Uwaga: składa się niekoniecznie oznacza w ym konekście sumę. Szum urudnia analizę procesu. Może wynikać z: błędów pomiarowych, inerakcji procesu z ooczeniem, nieprzewidywalnych zdarzeń losowych. Podsawowa srukura SC sały (przecięny) poziom zmiennej, rend (endencja rozwojowa) - reprezenuje ogólny monooniczny kierunek rozwoju zjawiska; może być linowy, lub nieliniowy, np. logarymiczny, wykładniczy składowa okresowa (wahania okresowe) - składnik powarzający się cyklicznie, szum (zakłócenia, wahania przypadkowe). 4 4 Podsawowa srukura SC W szczególności, składowa okresowa może być wypadkową wahań: cyklicznych o niesałym okresie i/lub ampliudzie (np. cykl koniunkuralny gospodarki, cykl rozwoju populacji nabywców danego produku, ec.), i/lub sezonowych o dość sałym okresie i ampliudzie (wynikają z zachowań ludzi wynikających z kalendarza, np. rym pracy w skali ygodnia, dnia, pory roku, święa, ec.) Ilusracja srukury SC na przykładzie Srukura addyywna Składowe Czynnik sały Trend Składowa okresowa Szum Przebieg Czas 43 44

12 Ilusracja srukury SC na przykładzie Srukura muliplikaywna.5.5 Czynnik sały Trend Składowa okresowa Szum Przebieg Przykład: seria G Liczba pasażerów pewnych linii loniczych w USA w poszczególnych miesiącach w laach Składowe Czas [Box & Jenkins 976] Taksonomia meod analizy/modelowania SC analiza rendu, analiza sezonowości, dopasowanie funkcji (aproksymacja), analiza widmowa (Fouriera), wyrównywanie wykładnicze, dekompozycja sezonowa, podejścia niekonwencjonalne (sieci neuronowe, heurysyki worzone ad hoc, specjalizowane, ec.) Wyodrębnianie i analiza rendu Dwie grupy meod: mechaniczne (średnie ruchome) analiyczne, opare na meodzie najmniejszych kwadraów. (Ograniczamy się do meod ilościowych) 47 48

13 Trend meody mechaniczne Wygładzanie - polega na lokalnym (w czasie) uśrednieniu przebiegu. Najbardziej popularna meoda: średnia ruchoma (moving average): Warość przeworzona X () jes pewną średnią n próbek wokół (czyli dokładniej próbek X(n/),...,X(+n/). Średnie ruchome Średnia ruchoma 3-okresowa: y + y+ = y + y 3 Problem: jak liczyćśrednią ruchomą z parzysej liczby okresów (momenów)? Najczęściej sosuje się: średnią arymeyczną (wygładzanie arymeyczne), medianę Średnia ruchoma ogólna definicja Średnia ruchoma n-okresowa zdefiniowana jes nasępująco: dla n nieparzysych + n / n y = y n τ = n / dla n parzysych (zw. średnie ruchome scenrowane) + n / n y = y + y n / + y+ n n / τ = n / + Średnia ruchoma podsumowanie Nie należy przesadzać zby długa średnia ruchoma prowadzi do zamazania endencji rozwojowej i skrócenia przebiegu czasowego (=> uraa danych). Inna wada: brak możliwości przedsawienia głównej endencji w formie maemaycznej funkcji rendu. Na przykład dla n=4: y + y + y3 + y4 + y5 4 y 3 =

14 Wygładzanie arymeyczne - przykład Trend - meoda analiyczna Gdy isnieje wyraźna, monooniczna zależność -> dopasowanie funkcji (aproksymacja). y = f ( ) + z gdzie: f() funkcja rendu, z składnik reszowy Problem: nie znamy z góry posaci analiycznej rendu. Zaem niezbędne jes u aprioryczne założenie Regresja liniowa Funkcja f() jes liniowa: Warości paramerów a i b poszukujemy przez minimalizację składnika reszowego: min Sosując maemayczne warunki minimalizacji powyższego wyrażenia dosajemy: Wówczas oszacowanie: y = a + b + z z = ( y f ( ) ) = ( y a b) y y y a b = n ( ) n n a =, y = a + b Regresja liniowa - przykład Dane: Liczba dni nie przepracowanych z powodu choroby Za: [Kassyk-Rokicka 998] Laa Kwarały Dni w ys. 99 I 9 II 7 III 6 IV 99 I II 8 III 6 IV I II 9 III 7 IV I II 9 III 9 IV I 4 II III IV

15 Regresja liniowa - przykład 3 Trend liniowy - przykład Szereg G po odjęciu rendu liniowego 5 Dni w ysiącach 5 5 Dni w ys. Prosa regresji Series Czas Ocena jakości dopasowania (regresji) Problem: regresja liniowa da zawsze jakiś wynik (warości a i b). Czy o oznacza, że zależność liniowa zawsze isnieje? Konieczność oceny jakości dopasowania. Sosując regresję wyjaśniamy ylko część zmienności; pewna część zmienności zjawiska pozosaje niewyjaśniona. Ocena jakości dopasowania Współczynnik deerminacji informuje, jaka część zaobserwowanej (w próbie) całkowiej zmienności y zosała wyjaśniona (przez f()) względem. ( f ( ) y) r =, r, ( y y) Współczynnik indeerminacji informuje, jaka część zaobserwowanej (w próbie) całkowiej zmienności y nie zosała wyjaśniona względem. Można dowieść, że: ( f ( ) y ) z ϕ = =, ϕ, ( y y) ( y y) r +ϕ =

16 Ocena jakości dopasowania przykład Kwadra odchylenia modelu od średniej Kwadrad odchylenia danych hisorycznych od średniej Czas Laa Kwarały Dni w ys. Prosa regresji 99 I Współczynniki równan.5 II prosej regresji y=a+b.5 3 III a IV b I II III Średnia.5 8 IV I.3..5 II III IV I II III IV I II III IV Suma odch. Kw. 95 Współczynnik deerminacji.34 Współczynnik indeerminacji.66 Ocena jakości dopasowania Wariancja składnika reszowego miara niedopasowania funkcji regresji do regresji empirycznej (danych) Gdzie: S ( z) n zi i= = = n λ n ( yi ayxi by ) i= n λ, S n liczba badanych okresów (momenów), ( z) = S ( z) λ liczba niezależnych zmiennych w modelu regresji (dla regresji liniowej λ=) Przesłanka: miarą wielkości przecięnego błędu losowego popełnianego przy esymacji nieznanego parameru z populacji generalnej za pomocą esymaora jes odchylenie sandardowe esymaora. 6 6 Ocena jakości dopasowania przykład Kwarały Dni w ys. Prosa regresji Składnik reszowy Kwadra składnika reszowego I Współczynniki równania II prosej regresji y=a+b III a.3 IV b 7. I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV Suma kwadraów resz 9.3 Wariancja składnika reszowego 7.8 chylenie sandardowe składnika reszowego.68 Obliczanie błędów szacunku paramerów Zagadnienie pokrewne w sosunku do oceny jakości dopasowania, doyczy jednak jakości oszacowania paramerów a i b. Przecięny błąd losowy oszacowania współczynnika rendu liniowego (a) i wyrazu wolnego (b): S( a) = S( b) = S( z ) S( z ) n = n n = n = n n

17 Inne posaci rendu logarymiczny, wykładniczy, wielomianowy (prosy), ilorazowy, Analiza okresowości Cel: wyodrębnienie składowej okresowej (sezonowej, cyklicznej). Pyanie: czy w ogóle isnieje? jak odróżnić ją od składnika losowego? Ważne rozgraniczenie: okres zmian cyklicznych znany => wskaźniki wahań okresowych, okres zmian cyklicznych nieznany => (np.) analiza auokorelacji Analiza okresowości (sezonowości) Wskaźniki wahań okresowych (sezonowości) uzyskujemy przez porównanie wyrazów szeregu empirycznego (pierwonego) z szeregiem eoreycznym (reprezenującym rend). Przypomnienie: okresowość może mieć (względem rendu) charaker addyywny lub 67 muliplikaywny. Addyywne wskaźniki okresowości Addyywny (bezwzględny) wskaźnik okresowości: gdzie: 68 ( yi yi ) ni g i = n i=,,...,d - liczba podokresów w cyklu okresowości (np. dla danych kwaralnych o rocznym cyklu wahań d=4, dla danych miesięcznych d=, ec.) n i liczba numerów obserwacji, kóre doyczą i-ego podokresu. Miary g i mają charaker absoluny i rzeba je skorygować, aby ich suma w cyklu wahań była równa. W ym celu definiujemy wskaźnik korygujący: d k = g g i d i i= 7

18 Addyywne wskaźniki okresowości Wówczas czyse wskaźniki okresowości o: i spełniają one warunek g = g k i i d g i i= g = Muliplikaywne wskaźniki okresowości Muliplikaywny (względny) wskaźnik okresowości (surowy): ( yi / yi ) ni O i = ni (oznaczenia jak w przypadku addyywnym). Sosujemy wskaźnik korygujący: = d O i i= Wówczas oczyszczony wskaźnik okresowości: i zachodzi: d i= O i = d k d O = O k i i 69 7 Analiza okresowości przykład Przypadek : rend wyodrębniony meodą mechaniczną, j. średnimi ruchomymi scenrowanymi. Dni w ysiącach Dni w ys. Średnie ruchome scenrowane (4- okresowe) I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV Czas Przykład wskaźniki bezwzględne Kwarały Laa Kwarały Dni w ys. Średnie ruchome scenrowane (4- okresowe) I II III IV 99 I 9 II 7 III IV I II III IV I 9.9. II III IV I.. II III IV I II III IV 7 Suma (licznik wyrażenia we wzorze) Suma konrolna Bezwzględny wskaźnik okresowości Współczynnik korygujący -. Skorygowany (czysy) wskaźnik [ys. h]

19 Przykład wskaźniki względne Kwarały Laa Kwarały Dni w ys. Średnie ruchome scenrowane (4- okresowe) I II III IV 99 I 9 II 7 III IV I 8.8. II III IV I 9.9. II III IV I.. II III IV I 4.6. II.9.9 III IV 7 Suma (licznik wyrażenia we wzorze) Suma konrolna Względny wskaźnik okresowości Współczynnik korygujący.5 Skorygowany (czysy) wskaźnik Przykład inerpreacja W pierwszym kwarale każdego badanego roku, ylko i wyłącznie na skuek działania czynnika okresowości, liczba dni nie przepracowanych z powodu choroby jes wyższa od poziomu zjawiska określonego przez rendśrednio o 5.8%, w drugim i rzecim kwarale niższa średnio o 7.6% i 5.%, a w czwarym wyższa średnio o 6.9% (współczynniki względne). Współczynniki bezwzględne podają skalę ych odchyleń w liczbach bezwzględnych Analiza okresowości przykład Przypadek : rend wyodrębniony meodą analiyczną, j. meodą regresji liniowej. 75 Czas Laa Kwarały Dni w ys. Prosa regresji 99 I 9 Współczynniki równania 7,5 II 7 prosej regresji y=a+b 7,83 3 III 6 a,3 8,4 4 IV b 7, 8, I 8,77 6 II 8 9,9 7 III 6 9,4 8 IV 3 9, I,3 II 9,34 III 7,66 IV 5, I,9 4 II 9,6 5 III 9,9 6 IV 6, I 4,54 8 II,86 9 III 3,7 IV 7 3,49 Przykład wskaźniki bezwzględne 76 Kwarały Czas Laa Kwarały Dni w ys. Prosa regresji I II III IV 99 I II III IV a I b 7. 6 II III IV I.. II III IV I..8 4 II III IV I II III IV Suma (licznik wyrażenia we wzorze) Suma konrolna Bezwzględny wskaźnik okresowości Współczynnik korygujący.5 Skorygowany (czysy) wskaźnik [ys. h]

20 Przykład wskaźniki względne Kwarały Porównanie wyników przykładów 77 Czas Laa Kwarały Dni w ys. Prosa regresji I II III IV 99 I II III IV 8.4. a I 8.8. b 7. 6 II III IV I.. II III IV I.. 4 II III IV I II III 3..9 IV Suma (licznik wyrażenia we wzorze) Suma konrolna Względny wskaźnik okresowości Współczynnik korygujący. Skorygowany (czysy) wskaźnik Konkluzja: miary okresowości uzyskane meodą mechaniczną i meodą analiyczną nie są idenyczne, ale bardzo zbliżone. Wybór modelu Ponieważ ampliudy zmian okresowych są względnie sałe, należałoby wybrać model addyywny. 78 Meoda mechaniczna analiyczna Kwarał I II III IV Wskaźnik bezwzględny względny bezwzględny względny Porównanie przebiegu rzeczywisego z modelem Analiza sezonowości - Auokorelacja Cel: pomaga wykryć długość okresu wahań cyklicznych Dni w ys Dni w ys. Esymaa Opisuje zależność przebiegu od niego samego, ściślej: zależność korelacyjną między i-ym elemenem szeregu a i*k-ym elemenem szeregu (dla różnych rzędów/opóźnień k). ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) X X X + k X ρ X, k = σ Czas 79 8

21 Auokorelacja - przykład Funkcja auokorelacji dla serii G Funkcja auokorelacji SZEREG_G: Miesięczna liczba pasażerów (w ysiącach) (Błędy sandardowe o oceny białego szumu) Lag Corr. S.E Q p Przebieg wykładu Zbieranie i przygoowywanie danych Analiza szeregów czasowych Dekompozycja szeregu czasowego Prognozowanie Prognozowanie w przedsiębiorswie Uwagi końcowe Sudium przypadku Prognozowanie Moo: Prognozowanie o szuka przewidywania przyszłości... i uzasadniania, dlaczego owe przewidywania się nie sprawdzają Forecasing is he ar of saying wha will happen, and hen explaining why i didn [Chafield 986] Definicja (cechy) prognozy prognoza jes formułowana z wykorzysaniem dorobku nauki, prognoza jes swierdzeniem odnoszącym się do określonej przyszłości, prognoza jes swierdzeniem weryfikowalnym empirycznie, prognoza nie jes swierdzeniem sanowczym (jes niepewna), ale jes swierdzeniem akcepowanym. Za [Cieślak 993] 83 84

22 Celowość konsruowania prognoz Analogia do praw mechaniki Newona (!): prawidłowości obserwowane w danych są ym wyraźniejsze, im silniejsze są powiązania zjawisk (procesów, podmioów) je generujących, zależności obecne w świecie rzeczywisym charakeryzują się częso wysępowaniem pewnej inercji, (doyczy m.in.. prognozowania gospodarczego) Założenia zaobserwowany rend nie zmieni się co do kszału i siły działania w okresie przyszłym, wahania przypadkowe nie zakłócą znacząco zaobserwowanego rendu. Wnioski: Spełnienie powyższych założeń ma większą szansę powodzenia dla okresów leżących bliżej osaniego okresu badanego aniżeli dla okresów bardziej odległych. Niezbędna wiedza dziedzinowa, czyli znajomość charakeru zjawiska, przyczyn (np. ekonomicznych czy pozaekonomicznych) warunkujących jego rozwój Eapy posępowania prognosycznego Zgromadzenie maeriału empirycznego (ze źródeł wewnęrznych i zewnęrznych). Przeworzenie maeriału empirycznego. Przyjęcie reguły prognosycznej. Usalenie horyzonu prognozy. Ocena jakości skonsruowanej prognozy.... świecenie oczami przed przełożonymi lub zleceniodawcą, gdy prognoza się nie sprawdza ;-) Błąd prognozy ex ane Błąd prognozy ex ane jes o dokonana w chwili budowy prognozy ocena różnicy między rzeczywisą warością zmiennej Y w momencie/okresie >n (n numer osaniej znanej obserwacji) a wyznaczoną prognozą. Ocenia wiarygodność prognozy. Cechy: esymaa, opinie sformułowane na jego podsawie da się zweryfikować po upływie czasu, do kórego prognoza się odnosi, daje się wyznaczyć ylko dla prognoz ilościowych, nie wszyskie meody pozwalają na jego wyznaczenie

23 Błąd prognozy ex pos Błąd prognozy ex pos o inaczej rafność prognozy. Rodzaje: Bezwzględny błąd prognozy ex pos q = y y Względny błąd prognozy ex pos * y y Ψ = % y Średni błąd absoluny: MSE = z n Średni procenowy błąd absoluny: MSE MAPE = y * Meody prognozowania 89 9 Rodzaje modeli szeregów czasowych dla prognozowania Modele ze sałym poziomem zmiennej prognozowanej Dokonuje się podziału ze względu na (domniemaną) posać SC na: modele ze sałym poziomem zmiennej prognozowanej, modele z rendem, modele z wahaniami okresowymi (sezonowymi i/lub cyklicznymi), + kombinacje

24 Modele prognozowania naiwne opare na bardzo prosych przesłankach doyczących przeszłości, i zakładające, iż nie wysąpią zmiany w doychczasowym sposobie oddziaływania czynników określających warości zmiennej prognozowanej, umożliwiają budowanie jedynie prognoz krókookresowych, Najprossza wersja (opara na modelu zw. błądzenia losowego znanym ze saysyki): y y * = Badania pokazują [Makridakis 989], że w niekórych zasosowaniach prognozy naiwne sprawdzają się bardzo dobrze (np. rynek papierów warościowych) (!). Modele średniej ruchomej (prosej) Wykorzysywane zarówno do wygładzania, jak i prognozowania. Założenie: poziom warości zmiennej prognozowanej jes prawie sały w rozparywanym okresie (niewielkie odchylenia losowe, brak sezonowych i cyklicznych). Idea: warość zmiennej prognozowanej w nasępnym okresie jes równa średniej arymeycznej z k osanich warości ej zmiennej: * y = y i k i= k gdzie: k - sała wygładzania. Problem: jak dobrać k? Dobór sałej wygładzania k Można oprzeć na badaniu średniokwadraowego błędu prognozy ex pos: n * * s = ( ) y y n k = k + Idea: wybierz ę warość k, kóra minimalizuje esymaę błędu s*. Wada modelu średniej ruchomej: wszyskie obserwacje z rozparywanego okna hisorii parycypują w ym samym sopniu w budowaniu prognozy. Idea: Nadawać mniejsze wagi obserwacjom sarszym => posarzanie informacji. Model średniej ruchomej ważonej Prognoza zbudowana na podsawie ważonej średniej ruchomej z odpowiednio dobranymi wagami: gdzie: w i waga nadana przez prognosę. Problem: jak dobrać wagi w i? * y = yiwi + k + i= k i, k : wi < wi + w >, wk k wi = i=

25 Model wygładzania wykładniczego Idea: model średniej ruchomej ważonej z wagami dobranymi wg prawa wykładniczego. Rozważamy zw. prosy model wyrównywania wykładniczego. Założenia: prawie sały poziom zmiennej i wahań przypadkowych. Formuła: gdzie: y α (,] + ( α ) y * * = y α paramer wygładzania, waga nadana osaniej (najnowszej) obserwacji zmiennej prognozowanej. α Model wygładzania wykładniczego Inna reprezenacja: Jes o zaem w sumie prognoza naiwna korygowana osanio popełnionym błędem bezwzględnym ex pos. Problem: jak dobrać α? y * ( y y ) * * = y + α Odpowiedź: można esymować podobnie jak w przypadku sałej wygładzania. n * * s = ( ) y y n k = k Modele z rendem Model z rendem posać ogólna Model addyywny y = f ( ) + ς Model muliplikaywny y = f ( ) ς gdzie: f() funkcja rendu, ζ - zmienna losowa (wahania przypadkowe). 99 5

26 Sosowane modele szeregów z rendem analiyczne, opare na funkcjach segmenowych, model Hola, auoregresyjne, podwójnej średniej ruchomej. Modele analiyczne Kluczowy problem: usalenie posaci analiycznej funkcji rendu (na podsawie przesłanek wynikających z mechanizmu rozwojowego zmiennej prognozowanej, czyli pewnej wiedzy dziedzinowej). Modele przydane w prakyce można podzielić na wykorzysujące: funkcje o sałych przyrosach (model liniowy), funkcje o rosnących przyrosach, funkcje o malejących przyrosach. (Zasadniczo chodzi u o warość bezwzględną przyrosu) Eap : Wybór funkcji rendu Wyboru funkcji rendu dokonujemy na podsawie przesłanek empirycznych (analiza danych), dedukcyjnych (wiedza dziedzinowa). Im bardziej złożona funkcja rendu, ym lepiej powinna być uzasadniona od srony dedukcyjnej, j. wynikać z głębszych, meryorycznych przesłanek doyczących mechanizmu rozwojowego zjawiska. (Pewien związek z zasadą brzywy Ockhama) Funkcje o rosnących przyrosach funkcja wykładnicza gdzie: β - sopa wzrosu. wielomian sopnia drugiego (parabola) = α + α + α α funkcja poęgowa ~ ~ ( α + β), β >, lub = αβ, y = exp β < y y, > y = α β, β > Przykład: przedsiębiorswo wprowadza na rynek nowy produk, kórego sprzedaż wzrasa (przez jakiś czas) nieograniczenie. Uwaga! Sosować ylko do prognoz krókookresowych! 3 4 6

27 Funkcje o malejących przyrosach funkcja logarymiczna funkcja poęgowa wielomian (parabola) odwronościowy α α α α wielomian (parabola) α y y = y = α + β ln, β > y = α β, β (,) + +, < = α + α + α, < Funkcje o malejących przyrosach Gdy ponado wiemy, że wzros zdąża do pewnego poziomu: funkcja liniowo-odwronościowa funkcja ilorazowa y y β = α +, β < = α, α, > β + β Przykład: względne nasycenie rynku. Zalea: mniejsze błędy (ryzyko) niż funkcje o rosnących przyrosach. 5 6 Funkcja logisyczna Szczególne isona w zasosowaniach ekonomicznych, bo modeluje zw. krzywążycia produku. Trzy fazy: α y = + βe wprowadzenie produku na rynek, przyspieszone i malejące empo wzrosu popyu na produk, nasycenie rynku, spadek popyu. δ Eap : Esymowanie paramerów funkcji rendu Najczęściej: meoda najmniejszych kwadraów (MNK). [Nie doyczy funkcji logisycznej (zawiera nieliniowy związek pomiędzy paramerami a zmiennymi); wymaga innych meod, np. Hoellinga, Marquarda.] Ocena dopasowania: odchylenie sandardowe składnika reszowego (mianowane), współczynnik zmienności losowej (nie mianowany), współczynnik deerminacji, skorygowany współczynnik deerminacji

28 Prognozowanie z rendem - przykład Sawianie prognozy na podsawie rendu wyznaczonego meodą analiyczną i wyznaczonych absolunych wskaźników okresowości. Kwarały Czas Laa Kwarały Dni w ys. Prosa regresji Prognoza I II III IV 4 II III IV I II III IV I 3.7 II 4. 3 III IV a.3suma (licznik wyrażenia we wzorze) Suma kon b 7. ezwzględny wskaźnik okresowości Współczynnik korygujący.5 Skorygowany (czysy) wskaźnik [ys. h] Modele auoregresyjne Przesłanka: wiele zjawisk charakeryzuje się pewną bezwładnością (opóźnieniem). Np. w sprzedaży: zw. zasada echa: popy resyucyjny na rwałe dobra konsumpcyjne jes echem popyu z la wcześniejszych. Posać ogólna: W prakyce najczęściej liniowa y = f ( y, y,..., y, ζ ) p p logarymiczno-liniowa ln y = α + α i y i + ζ p y = α + α i y i + ζ i= i= 9 Modele szeregów czasowych z wahaniami okresowymi Meody Dla przebieg z wahaniami okresowymi sezonowymi ( ławiejsze ), meoda wskaźników, analiza harmoniczna, cyklicznymi, podejścia wieloeapowe, najczęściej opare na wskaźnikach. 8

29 Modele ARMA i ARIMA Bardzo ogólna klasa modeli szeregów czasowych, zw. modele auoregresji i średniej ruchomej. Podsawa: zjawisko auokorelacji, j. korelacji warości zmiennej prognozowanej z warościami ej samej zmiennej opóźnionymi w czasie. Wyróżnia się rzy rodzaje: modele auoregresji, modele średniej ruchomej, modele mieszane auoregresji i średniej ruchomej. Szacowanie jakości prognozy ARMA = Auoregressive moving average ARIMA = Auoregressive inegraed moving average 3 4 Esymowanie błędu prognozy Średni błąd prognozy S p (Y T ): Gdzie: 5 S p ( Y ) = S( z ) T ( T ) n = ( ) T okres (momen), na kóry prognozujemy, T=n,n+,... S(z ) odchylenie sandardowe składnika reszowego numeracja okresów w empirycznym szeregu czasowym - -średnia arymeyczna numerów okresów, N liczba badanych okresów (liczebność próby) + + n Esymowanie błędu prognozy przykład 6 Bezwzględny wskaźnik okresowości Warość bezwzględna składnika reszowego Czas Laa Kwarały Dni w ys. Prosa regresji Esymaa Składnik reszowy 99 I 9 7,5,7 8,68,3,3 Współczyn II 7 7,83 -,55 6,8,7,7 prosej regr 3 III 6 8,4-3,6 5,8,9,9 a 4 IV 8,46 3,44,9 -,9,9 b 5 99 I 8,77,7 9,94,6,6 6 II 8 9,9 -,55 7,54,46,46 7 III 6 9,4-3,6 6,34 -,34,34 8 IV 3 9,7 3,44 3,5 -,5, I,3,7, -,, II 9,34 -,55 8,79,, III 7,66-3,6 7,6 -,6,6 IV 5,97 3,44 4,4,59, I,9,7,46 -,46,46 4 II 9,6 -,55,5 -,5,5 5 III 9,9-3,6 8,85,5,5 6 IV 6,3 3,44 5,67,33, I 4,54,7 3,7,9,9 8 II,86 -,55,3 -,3,3 9 III 3,7-3,6, -,, IV 7 3,49 3,44 6,93,7,7 Suma warości bezwzględnych resz 8, MSE,4 9

30 Esymowanie błędu prognozy przykład Esymowanie błędu inerpreacja Dni w ys Dni w ys. (dane) Esymaa Składnik reszowy Prognozowana liczba dni nie przepracowanych z powodu choroby dla IV kwarału 996 wynosi 8. ys. dni, z dokładnością.4 dni (czyli.4/8.=.45% dla ego okresu) Czas 7 8 Rozkład odchyleń losowych modelu Badania rozkładu odchyleń losowych doyczą: symerii (czy liczby odchyleń dodanich i ujemnych są akie same), losowości (es serii), niezależności (doyczy niezależności nasępujących po sobie resz), nieobciążoności (czy warość oczekiwana reszy jes równa ), normalności (np. przy użyciu percenyli). Z każdym z powyższych badań związany jes pewien es saysyczny. Dobry model powinien dawać negaywny wynik wszyskich powyższych esów. Inne zagadnienia związane z prognozowaniem 9 3

31 Prognozy ilościowe i jakościowe Prognozy ilościowe - doyczą przyszłej wielkości zjawiska. Prognozy jakościowe - doyczą zachowania zjawiska w przyszłości (np. charakerysyki rendu, nasycenia, załamania, ec.); zazwyczaj opare na sądach ekspera (-ów), modele myślowe. Szczególnym przypadkiem prognozowania jakościowego (isonym w zasosowaniach ekonomicznych) jes prognozowanie osrzegawcze. Prognozowanie osrzegawcze Zadaniem prognozy osrzegawczej jes dosarczenie na czas obserwacji o ewenualnej przyszłej niekorzysnej zmianie kierunku rozwoju czy naężenia badanego zjawiska (Siedlecka 996) W szczególności: Przypuszczenie, że w przyszłym momencie T san analizowanego zjawiska będzie niższy niż w momencie T -. Prognoza spadku Tak Nie Rzeczywisość Tak Nie Prognozy punkowe i przedziałowe punkowe prognoza jes pojedynczą warością liczbową dla każdego okresu (momenu), przedziałowe określamy przedział poziomu zjawiska dla każdego okresu (momenu) (meodami esymacji paramerów). Prognoza saysyczna Wielkość x p () nazywa się prognozą saysyczną nie znanej warości X() szeregu czasowego dla <n+,t>, jeżeli dla pewnych ε i η zachodzi: P{ X ( ) x ( ) < ε} > η p ε - wiarygodność prognozy, -η - (bliskie ) dokładność (precyzja) prognozy. Jes o zw. warunek dopuszczalności prognozy

32 Koszy posępowania prognosycznego Można podzielić na: koszy zebrania danych, koszy przechowywania danych, koszy przewarzania danych. Koszy prognozowania a koszy sra Większe wydaki na przygoowanie prognoz => mniejszy sopień niepewności w procesie decyzyjnym i, w konsekwencji, mniejsze koszy (błędów). Koszy całkowie prognozowania sra 5 6 opimum Sopień pewności Horyzon prognozy - definicja naiwna Horyzon prognozy (horyzon czasowy) o osani momen (okresem), dla kórego budujemy prognozę. Okres prognozy długość przedziału pomiędzy osanim momenem (okresem), dla kórego znane są warości analizowanych przebiegów (osanim momenem, dla kórego znane są dane obserwowane, hisoryczne ), a horyzonem prognozy. Tradycyjnie wyróżnia się prognozy: krókoerminowe (< 3 miesiące), średnioerminowe (3 miesiące do la), i długoerminowe (> la). (w konekście prognozowania w przedsiębiorswie) Horyzon prognozy a ypy prognozy Krókoerminowa zakładamy, że w badanym zjawisku zajdą ylko zmiany ilościowe. Średnioerminowa w badanym zjawisku zajdą zmiany ilościowe i niewielkie zmiany jakościowe. Długoerminowa w badanym zjawisku mogą wysąpić zarówno zmiany ilościowe, jak i jakościowe

33 Horyzon prognozy - definicja realisyczna Horyzon prognozy o Szuczne sieci neuronowe w prognozowaniu T = max { τ =... : δ δ } gdzie: δ dopuszczalny błąd prognozy, δ τ błąd prognozy dla (przyszłego) okresu (momenu). τ 9 3 Model szucznego neuronu Sieć warswowa x x x 3 x n w w w w w 3 n f(e) n wejść x i (synapsy) oparzonych wagami w i (wekor wag w i wekor wejść x) waga synapsy decyduje o jej ważności y neurony ułożone warswami połączenia ylko pomiędzy kolejnymi warswami jednokierunkowa (brak sprzężeń zwronych) neurony nieliniowe => percepron działanie sieci: propagacja sygnału od warswy wejściowej do wyjściowej wyjœcia sieci warswa wyjœciowa warswy ukrye warswa wejœciowa wejœcia sieci

34 Zarys idei? Inne zagadnienia związane z emaem Zagadnienia eoreyczne: Prognozowanie ilościowe jakościowe Podejścia hybrydowe: jednoczesne sosowanie wielu meod reprezenujących różne filozofie. Prognozowanie zbiorów szeregów i analiza zależności pomiędzy szeregami. Serowanie procesami (co muszę podać na wejście, żeby orzymać pożądaną warość wyjścia). Analiza ryzyka. Wizualizacja Przebieg wykładu Zbieranie i przygoowywanie danych Analiza szeregów czasowych Dekompozycja szeregu czasowego Prognozowanie Prognozowanie w przedsiębiorswie Uwagi końcowe Sudium przypadku Prognozowanie w przedsiębiorswie

35 Prognozowanie w przedsiębiorswie Ooczenie markeingowe przedsiębiorswa zespół czynników zewnęrznych bezpośrednio lub pośrednio wpływających na jego działania (Diman 998) ooczenie = mikroooczenie + makroooczenie Mikroooczenie elemeny bezpośrednio wpływające na działanie przedsiębiorswa (dosawcy, konkurenci, pośrednicy markeingowi, nabywcy, inne podmioy) Makroooczenie wpływ pośredni (czynniki demograficzne, ekonomiczne, społeczno-kulurowe, nauralne, echnologiczne, poliyczno prawne, ec). Cecha wspólna: przedsiębiorswo ma na nie znikomy wpływ. Prognozowanie w przedsiębiorswie może być realizowane w warunkach: pewności (rzadko), ryzyka (znajomość [rozkładów] prawdopodobieńsw powiązanych z warianami), niepewności (brak znajomości rozkładów prawdopodobieńsw), niepełnej informacji (nieznajomości wszyskich warianów/kryeriów) Po co prognozować w przedsiębiorswie? Porzeba prognozowania w przedsiębiorswie wynika z: niepewności przyszłości, opóźnienia w czasie między momenem podjęcia decyzji a wynikłymi z niej skukami. Niesey prognozy zjawisk gospodarczych, nawe przy lepszym niż obecnie poznaniu ich mechanizmów, nie osiągną nigdy sopnia pewności prognoz zjawisk fizycznych (Diman 998, s. 8) Procedury prognosyczne są obecnie częścią sysemu wspomagania decyzji większości sysemów informacji markeingowej. Badania pokazują, że ok.. 9% przedsiębiorsw w Europie Zachodniej sosuje prognozowanie krókoerminowe

36 Szczoeczka pocieszenia albo Schandenfreude Przykłady wyjąkowo nierafnych prognoz: liczba koni w Paryżu (koniec XIX wieku), oszacowanie liczby samochodów we Francji: prognoza mln (945), rzeczywisość 4 mln (97), oszacowa ie wielkości poencjalnego rynku kserokopiarek przez IBM: prognoza 5 ys. (959), rzeczywisość ys. (97), Meody prognozowania sprzedaży ilościowe modele szeregów czasowych, modele ekonomeryczne, modele analogowe, modele zmiennych wiodących, modele analizy kohorowej, esy rynkowe, jakościowe opinie sprzedawców, opinie kierownicwa, opinie eksperów, badania inencji nabywców. (Diman 998) 4 4 Przebieg wykładu Zbieranie i przygoowywanie danych Analiza szeregów czasowych Dekompozycja szeregu czasowego Prognozowanie Prognozowanie w przedsiębiorswie Uwagi końcowe Sudium przypadku Narzędzia i pakiey programisyczne Pakiey analizy danych (przydane do analiz off-line przeprowadzanych raz na jakiś czas): Sagraphics SPSS R QS STATISTICA SCA Saisical Sysem Rozwiązania dedykowane (am gdzie wymagane jes prognozowanie on-line) => sudium przypadku

37 Lieraura Kassyk-Rokicka, H. Saysyka nie jes rudna. Tom I: Mierniki saysyczne. Polskie Wydawnicwo Ekonomiczne, Warszawa, 998. Siedlecka, U. Prognozowanie osrzegawcze w gospodarce. Pańswowe Wydawnicwo Ekonomiczne, Warszawa, 996. Diman, P., Meody prognozowania sprzedazy w przedsiebiorswie. Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław, 998. Box, G.E.P., Jenkins, G.M. Analiza szeregow czasowych. Pańswowe Wydawnicwo Naukowe, Warszawa, 983. Gaely, E. Sieci neuronowe. Prognozowanie finansowe i projekowanie sysemów ransakcyjnych. WIG-Press Warszawa, 999. Rybinski, K. Analiza echniczna. Wydawnicwo AWA-press, Warszawa, 995. Cyowania: Cieślak, M. Prognozowanie gospodarcze, 993. Osasiewicz S., Meody dyskryminacyjne w prognozowaniu dyskrenym, Ossolineum, Wrocław