2 Podobieństwo dwóch sekwencji
|
|
- Grzegorz Krzemiński
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wst ep do obliczeniowej biologii molekularnej (J. Tiuryn, wykĺad nr.3-4, 8 listopada 2005) Spis treści 2 Podobieństwo dwóch sekwencji Globalne uliniowienie Metoda dynamicznego programowania Odtwarzanie optymalnych uliniowań Odleg lość edycyjna Podobieństwo dwóch sekwencji Motywacje Odkrywanie podobieństw pomiedzy dwoma sekwencjami ma fundamentalne znaczenie w biologii molekularnej. Jest to zwiazane z obserwacja. że wiele podobnych sekwencji ma podobne cechy funkcjonalne lub strukturalne (odwrotna implikacja nie jest prawdziwa istnieja bia lka majace podobne cechy funkcjonalne i strukturalne, ktorych sekwencje aminokwasów sa zupe lnie niepodobne). Na przyk lad, znane sa geney wystepuj ace u różnych gatunków (np. muszka owocowa i cz lowiek) majace zadziwiajace podobieństwo. Bia lka kodowane przez te geny pe lnia podobne funkcje i maja podobny kszta lt 3D. Geny u różnych gatunków moga być podobne jeśli obydwa gatunki wywodza sie ze wspólnego korzenia. Wówczas geny praprzodka, w procesie ewolucji, mog ly sie przekszta lcić w podobne, ale nie identyczne, geny osobników różnych odga l ezień. Przyjmuje sie, że wieksze podobieństwo pomiedzy genami (genomami) różnych gatunków jest wskazówka na to, że te gatunki znajduja sie bliżej w drzewie ewolucji. Ponieważ genomowy DNA danego gatunku jest ca l a informacja (genetyczna) o tym gatunku, zatem ewolucja jest zwiazana ze zmianami DNA. Procesy zwiazane z tymi zmianami sa przedmiotem badań nowej dziedziny zwanej ewolucja molekularna. Najprostsze zjawiska prowadzace do zmian DNA to mutacje punktowe polegajace na zamianie jednego nukleotydu na inny, wypadnieciu badź wstawieniu nowego nukleotydu. Podobne zjawiska zachodza na poziomie RNA. Zjawiska te sa wywo lane b l edami w kopiowaniu badź zewnetrznymi warunkami (np. promieniowanie radioaktywne). W tej cześci wyk ladu bedziemy sie zajmować dwoma typami problemów. Dane mamy dwa ciagi S 1 i S 2, 15
2 globalne uliniowienie porównujemy ze soba S 1 i S 2 (możemy wstawiać spacje do obydwu ciagów) tak, aby zmaksymalizować ich podobieństwo. lokalne uliniowienie poszukujemy fragmentów ciagów S 1 i S 2 o maksymalnym podobieństwie (do badanych fragmentów możemy wstawiać spacje). Troche notacji dotyczacej s lów Niech Σ oznacza skończony zbiór. Przez Σ bedziemy oznaczać zbiór wszystkich skończonych ciagów (czyli s lów) o elementach z Σ. Zbiór Σ bedzie nazywany alfabetem a jego elementy literami. Szczególnym s lowem jest puste s lowo, oznaczane ε. Dla dowolnego s lowa S Σ, przez S bedziemy oznaczać d lugość tego s lowa, czyli liczbe liter w nim wystepuj acych. Dla s lów S 1, S 2 Σ, przez S 1 S 2 bedziemy oznaczać wynik dopisania S 2 z prawej strony do S 1. Dla 1 i S, przez S(i) bedziemy oznaczać i-ta litere s lowa S. 2.1 Globalne uliniowienie Pojecie globalnego uliniowienia zosta lo wprowadzone w 1970 przez Needleman a i Wunsch a. Opiera sie ono na pojeciu uliniowienia oraz funkcji podobieństwa. Dane dwa s lowa S 1, S 2 Σ. Bedziemy zak ladać, że jest specjalnym symbolem (spacja) nie należacym do Σ. 1 Globalne uliniowienie dla pary s lów (S 1, S 2 ) to każda taka para s lów (S # 1, S# 2 ) (Σ { }) (Σ { }), która spe lnia nastepuj ace trzy warunki: S 1 otrzymuje sie z S # 1 przez usuniecie wszystkich symboli. Podobnie S 2 otrzymuje sie z S # 2. S # 1 = S# 2. Dla każdego 1 i S # 1, symbole S# 1 (i) oraz S# 2 (i) nie s a jednocześnie równe. Liczba możliwych uliniowień dla danych s lów rośnie wyk ladniczo wraz z ich rozmiarem. Alfabety wystepuj ace w zastosowaniach w biologii to: Σ = {A, C, G, T } (dla porównywania sekwencji DNA); Σ = {A, C, G, U} (dla porównywania sekwencji RNA) oraz Σ = aminokwasy (dla porównywania bia lek). 1 Nazwy spacja b edziemy używać dla zaznaczenia, że chodzi o miejsce po wypadni etym nukleotydzie (lub aminokwasie). 16
3 Funkcja podobieństwa to pewna funkcja s : (Σ { }) (Σ { }) R majaca charakter kary/nagrody za odpowiadajace sobie symbole. W zastosowaniach zwykle przyjmuje sie, że dla x, y Σ { }, s(x, x) > 0, o ile x, s(x, y) = s(y, x), s(x, y) < s(x, x), o ile x y oraz x, s(x, ) < 0. Nie istnieje jedna funkcja podobieństwa dobra dla wszystkich zastosowań. W literaturze jest dużo prac na temat jak dobierać s dla porównywania bia lek lub DNA, dla różnych zastosowań. Przyk lad Prostym przyk ladem funkcji podobieństwa jest s zdefiniowane nastepuj aco: s(x, ) = 2, dla x Σ oraz dla x, y Σ, { 1, gdy x = y s(x, y) = 1, gdy x y B edziemy tej funkcji używać w przyk ladach. Majac dana funkcje podobieństwa oraz uliniowienie (S # 1, S # 2 ) definiujemy podobieństwo tego uliniowienia jako n s(s # 1 (i), S# 2 (i)), i=1 gdzie n = S # 1 = S # 2. Uwaga: gdy n = 0, to powyższa suma przyjmuje wartość 0. Przyk lad Weźmy, na przyk lad s lowa S 1 = CACT GT oraz S 2 = CAGGT G. Jedno możliwe uliniowienie to S # 1 = S 1 oraz S # 2 = S 2. Podobieństwo tego uliniowienia wynosi -2. Natomiast dla uliniowienia S # 1 = CAC T GT oraz S # 2 = CAGGT G dostajemy podobieństwo
4 Globalne podobieństwo dwóch ciagów S 1, S 2 Σ to maksymalne podobieństwo uliniowienia, brane po wszystkich uliniowieniach: sim(s 1, S 2 ) = max{ n s(s # 1 (i), S # 2 (i)) (S # 1, S # 2 ) jest uliniowieniem dla i=1 (S 1, S 2 ) oraz n = S # 1 = S# 2 }. Globalne podobieństwo dwóch ciagów nazywa sie też wartościa optymalnego uliniowienia, a każde uliniowienie realizujace te wartość nazywa sie optymalnym uliniowieniem. W ogólności dana para s low może mieć wiecej niż jedno optymalne uliniowienie Metoda dynamicznego programowania Metoda ta pos luży nam do znalezienia szybkiego algorytmu obliczajecego wartość globalnego podobieństwa dla dowolnych dwóch s lów S 1, S 2. Zadanie to bedziemy rozwiazywać dla dowolnej funkcji podobieństwa s. G lówna idea tej metody polega na sukcesywnym obliczaniu poszukiwanej wartości, opierajac sie na wartościach obliczonych dla pewnych mniejszych podzadań. Te pośrednie wartości sa przechowywane w tablicy. Dla 0 i S 1, niech S 1 [1..i] oznacza pods lowo s lowa S 1 sk ladajace sie z pierwszych i liter, czyli S 1 (1)... S 1 (i). Podobnie dla S 2 [1..i]. Niech V (i, j) bedzie globalnym podobieństwem dla s lów S 1 [1..i] oraz S 2 [1..j]. Niech m = S 1, n = S 2. Jak obliczyć V (i, j)? Oczywiście mamy V (0, 0) = 0 oraz V (0, j) = j s(, S 2 (k)), k=1 V (i, 0) = i s(s 1 (k), ). k=1 Kluczowa obserwacja polega na zauważeniu, że aby policzyć V (i, j) dla i > 0 oraz j > 0, wystarczy znać wartości V (i 1, j), V (i 1, j 1) oraz V (i, j 1). Twierdzenie Dla 0 < i m oraz 0 < j n, mamy: V (i, j) = max[v (i 1, j 1) + s(s 1 (i), S 2 (j)), V (i 1, j) + s(s 1 (i), ), V (i, j 1) + s(, S 2 (j))]. 18
5 Dowód: Niech V oznacza liczbe po prawej stronie równości w tezie twierdzenia. Niech (T 1, T 2 ) bedzie dowolnym uliniowieniem dla (S 1 [1..i], S 2 [1..j]). Jeśli ostatni symbol w T 1 i w T 2 jest litera z Σ, to podobieństwo tego uliniowienia jest nie wieksze od V (i 1, j 1) + s(s 1 (i), S 2 (j)) V. Jeśli, na przyk lad, ostatnim symbolem w T 1 jest, to ostatnim symbolem w T 2 musi być S 2 (j). Zatem podobieństwo tego uliniowienia jest nie wieksze od V (i, j 1) + s(, S 2 (j)) V. Podobnie postepujemy w przypadku, gdy ostatnim symbolem w T 2 jest. Tak wiec udowodniliśmy, że V (i, j) V. Na odwrót, jeśli weźmiemy optymalne uliniowienie (T 1, T 2 ) dla par kolejnych s lów S 1 [1..i 1], S 2 [1..j 1]; S 1 [1..i 1], S 2 [1..j]; S 1 [1..i], S 2 [1..j 1], to dopisujac z prawej strony: w pierszym przypadku: S 1 (i) do T 1 oraz S 2 (j) do T 2 ; w drugim przypadku: S 1 (i) do T 1 oraz do T 2 ; w trzecim przypadku: do T 1 oraz S 2 (j) do T 2, otrzymamy w każdym przypadku uliniowanie dla s lów (S 1 [1..i], S 2 [1..j]), a zatem wartość podobieństwa tego uliniowania jest nie wieksza od V (i, j). Zatem V, bed ace maksimum z tych wartości, jest nie wieksze od V (i, j). Poprawność poniższego algorytmu jest oparta na Twierdzeniu
6 Wejście: s lowa S 1, S 2 Σ Wynik: globalne podobieństwo, sim(s 1, S 2 ) m := S 1 ; n := S 2 ; V (0, 0) := 0; for i = 1 to m do V (i, 0) := V (i 1, 0) + s(s 1 (i), ); for j = 1 to n do V (0, j) := V (0, j 1) + s(, S 2 (j)); for i = 1 to m do for j = 1 to n do V (i, j) := max[v (i 1, j 1)+s(S 1 (i), S 2 (j)), V (i 1, j)+s(s 1 (i), ), V (i, j 1) + s(, S 2 (j))]; return V (m, n); Algorytm 2.1.1: Oliczanie globalnego podobieństwa. Obliczmy czas dzia lania Algorytmu Pierwsza petla for wykonywuje m 1 kroków. Druga petla wykanuje n 1 kroków. Natomiast trzecia petla (ze wzgledu na zagnieżdżenie petli) wykonuje (m 1)(n 1) kroków. Zatem l acznie program wykona O(mn) kroków. Pamieć użyta przez ten program jest O(mn), bo tyle miejsca zajmuje tablica V. Można latwo poprawić użycie pamieci do O(min(m, n)), zapamietuj ac tylko ca ly porzedni wiersz (badź kolumne) w celu obliczenia nastepnego nowego wiersza (kolumny). alg Odtwarzanie optymalnych uliniowień Aby odtworzyć optymalne rozwiazanie, w miejscu (i, j) w tablicy V wystarczy umieścić informacje o miejscach, z których pochodzi obliczane maksimum. Z Twierdzenia wynika, że V (i, j) jest równe maksimum z nastepuj acych trzech wartości: V (i 1, j 1) + s(s 1 (i), S 2 (j)), V (i 1, j) + s(s 1 (i), ), V (i, j 1) + s(, S 2 (j)). Jeśli V (i, j) jest równe pierwszej z powyższych trzech wartości, to wpisujemy w miejscu (i, j) symbol, 20
7 drugiej z powyższych trzech wartości, to wpisujemy w miejscu (i, j) symbol, trzeciej z powyższych trzech wartości, to wpisujemy w miejscu (i, j) symbol. Oczywiście może sie tak zdażyć, że w tablicy w jednym miejscu znajda sie dwa (a nawet trzy) symbole. Dodatkowo w pozycjach (i, 0), dla i > 0, wpisujemy symbol. Natomiast w pozycjach (0, j), dla j > 0, wpisujemy. Po wpisaniu strza lek we wszystkie miejsca tablicy optymalne uliniowienie otrzymuje sie przez wybranie dowolnej drogi z miejsca (m, n) do miejsca (0, 0). Przy czym przejście z miejsca (i, j) do (i, j ) jest możliwe tylko wtedy, gdy w miejscu (i, j) znajduje sie strza lka pokazujaca na miejsce (i, j ). Na przyk lad, gdy pozycja (i, j) zawiera strza lki oraz, to możemy przejść z (i, j) tylko do (i 1, j 1) lub do (i 1, j). Na razie za lóżmy, że taka droga istnieje. Majac wybrana taka droge D, 2 uliniowienie odpowiadajace D konstruujemy od prawej do lewej w nastepuj acy sposób. Na poczatku mamy dwa puste ciagi (tworzace sufiksy konstruowanego uliniowienia) oraz aktualna pozycja (najbardziej prawa pozycja jeszcze nie rozpatrywana) w D jest (m, n). W ogólności za lóżmy, że T 1, T 2 sa już skonstruowanymi sufiksami uliniowienia oraz (i, j) jest najbardziej prawa pozycja w D dotad nie rozpatrywana. Jeśli i = 0 = j, to T 1, T 2 jest poszukiwanym uliniowieniem. W przeciwnym przypadku, jeśli nastepn a pozycja w D jest (i, j ) to mamy nastepuj ace możliwości: i = i 1 oraz j = j 1. Wówczas do T 1 dopisujemy z lewej strony S 1 (i), a do T 2 dopisujemy z lewej strony S 2 (j). i = i 1 oraz j = j. Wówczas do T 1 dopisujemy z lewej strony S 1 (i), a do T 2 dopisujemy z lewej strony. i = i oraz j = j 1. Wówczas do T 1 dopisujemy z lewej strony, a do T 2 dopisujemy z lewej strony S 2 (j). Otrzymujemy w ten sposób nowa pare s lów, a nastepn a pozycja, która bedziemy rozważać w nastepnym kroku jest (i, j ). Twierdzenie Jeśli D jest droga od (m, n) do (0, 0) zbudowana przy użyciu strza lek, to uliniowienie wyznaczone przez te droge jest optymalne. 2 Czyli taki ciag par (i, j) od (m, n) do (0, 0), że jeśli (i, j ) stoi bezpośrednio za (i, j) to pozycja (i, j) w tablicy V musi zawierać strza lke skierowana w strone (i, j ). 21
8 Dowód: Niech (T 1, T 2 ) bedzie uliniowieniem wyznaczonym przez D. Dowodzimy nastepuj ac a, nieco ogólniejsza w lasność. Dla każdego 0 k D, jeśli para (i, j) stoi na k-tym miejscu w D, to wartość podobieństwa dla uliniowienia (T 1 [1..k], T 2 [1..k]) jest równa V (i, j). Oczywista indukcje ze wzgledu na k pozostawiamy czytelnikowi. Zatem wartość podobieństwa dla (T 1, T 2 ) wynosi V (m, n), czyli uliniowienie to jest optymalne. Zauważmy, że z powyższego twierdzenia nie wynika czy taka droga od (m, n) do (0, 0) musi istnieć. Również nie jest oczywiste czy każde optymalne uliniowienie dla S 1, S 2 możemy otrzymać ta metoda. Twierdzenie Dla każdego optymalnego uliniowienia (S # 1, S # 2 ) dla s lów (S 1, S 2 ) istnieje droga D od (m, n) do (0, 0), wyznaczona przy pomocy w/w regu l i taka, że (S # 1, S# 2 ) jest wyznaczone przez D. Przyk lad Znajdziemy wszystkie optymalne uliniowienia dla s lów S 1 = AT T GC oraz S 2 = AT GC. Używamy funkcji podobieństwa z Przykladu A T G C A T T G C Mamy wi ec dwa optymalne uliniowienia o wartości 2: S # 1 S # 2 S # 1 S # 2 = AT T GC = A T GC, oraz = AT T GC = AT GC Zadanie Wyznaczyć wszystkie optymalne uliniowienia dla s lów z Przyk ladu
9 Zadanie Obliczyć globalne podobieństwo s lów S 1 = CAGT AT T CGCA, S 2 = AAGT T AGCAG dla funkcji podobieństwa s(x, ) = 1, { 1 gdy x = y, s(x, y) = 1 gdy x y. Zadanie Udowodnić Twierdzenie Zadanie (Hirschberg) Algorytm znajdujacy optymalne uliniowienie, opisany w notatkach używa pamieci O(mn). Znaleźć algorytm znajdujacy optymalne uliniowienie, dzia lajacy w czasie O(mn) i w pamieci liniowej od rozmiaru s lów Odleg lość edycyjna Pojecie odleg lości edycyjnej pomiedzy s lowami zosta lo zaproponowane przez Levensteina w 1966r. Pojecie to jest oparte na minimalnej liczbie mutacji, które przeprowadzaja jedno s lowo w drugie. Rozważamy cztery typy operacji na s lowach: Wstawienie litery (I); Usuni ecie litery (D); Zamiana liter (R); Pozostawienie litery nie zmienionej (M). Niech T {D, I, M, R} bedzie danym ciagiem operacji na s lowach oraz niech S 1, S 2 Σ bed a dowolnymi s lowami. Zdefiniujemy relacje T : S 1 S 2 (czytamy: T przekszta lca S 1 w S 2 ) przez indukcje ze wzgledu na T. ε : S 1 S 2 S 1 = S 2 = ε; IT : S 1 S 2 istnieja x Σ oraz S 2 Σ takie, że S 2 = xs 2 oraz T : S 1 S 2; DT : S 1 S 2 istnieja x Σ oraz S 1 Σ takie, że S 1 = xs 1 oraz T : S 1 S 2 ; RT : S 1 S 2 istnieja x, y Σ oraz S 1, S 2 Σ takie, że S 1 = xs 1, S 2 = ys 2 oraz T : S 1 S 2 ; MT : S 1 S 2 istnieja x Σ oraz S 1, S 2 Σ takie, że S 1 = xs 1, S 2 = xs 2 oraz T : S 1 S 2. 23
10 Niech T oznacza liczbe wystapień symboli I, D, R w T (nie liczymy wystapiń litery M). Odleg lość edycyjna pomiedzy dwoma s lowami S 1, S 2 Σ definiuje sie nastepuj aco: δ(s 1, S 2 ) = min{ T T : S 1 S 2 }. Twierdzenie Dla dowolnych S 1, S 2, S 3 Σ zachodzi, (i) δ(s 1, S 2 ) 0, oraz δ(s 1, S 2 ) = 0 S 1 = S 2. (ii) δ(s 1, S 2 ) = δ(s 2, S 1 ). (iii) δ(s 1, S 2 ) δ(s 1, S 3 ) + δ(s 3, S 2 ). Każda funkcja δ : Σ Σ R spe lniajaca warunki (i)-(iii) Twierdzenia nazywa sie odleg lościa. Zadanie Znaleźć algorytm, który oblicza δ(s 1, S 2 ), dla dowolnych s lów S 1, S 2 Σ w czasie O( S 1 S 2 ). Zadanie Określić funkcj e podobieństwa s : (Σ { }) (Σ { }) R, tak aby dla dowolnych S 1, S 2 Σ zachodzi lo δ(s 1, S 2 ) = sim(s 1, S 2 ). Zadanie Uogólnić definicje odleg lości edycyjnej, tak aby mia la nastepuj ac a w lasność. Dla dowolnej funkcji podobieństwa s : (Σ { }) (Σ { }) R istnieje odleg lość edycyjna ˆδ taka, że dla dowolnych S 1, S 2 Σ, ˆδ(S 1, S 2 ) = sim(s 1, S 2 ). (Uwaga: uogólnienie powinno polegać na tym, że cena operacji I oraz D jest taka sama, ale może zależeć od litery wstawianej/usuwanej. Natomiast cena R może zależeć od liter zamienianych.) Zadanie Niech s bedzie funkcja podobieństwa z Przyk ladu Niech n 1 bedzie dowolna liczba naturalna i niech Σ n oznacza zbiór wszystkich s lów d lugości n. Definiujemy funkcje d : Σ n Σ n R nastepuj acym wzorem d(s 1, S 2 ) = sim(s 1, S 1 ) + sim(s 2, S 2 ) 2sim(S 1, S 2 ). Czy d jest odleg lościa? 24
2 Podobieństwo dwóch sekwencji. 2.2 Lokalne uliniowienie Przerwy w uliniowieniach Dowolna wartość kary za przerwe
Wst ep do obliczeniowej biologii molekularnej (J. Tiuryn, wykĺad nr.5, 22 listopada 2005) Spis treści 2 Podobieństwo dwóch sekwencji 25 2.2 Lokalne uliniowienie....................... 25 2.3 Przerwy w
Bardziej szczegółowoPodobieństwo dwóch sekwencji. Motywacje
Motywacje Podobieństwo dwóch sekwencji Odkrywanie podobieństw pomiedzy dwoma sekwencjami ma fundamentalne znaczenie w biologii molekularnej Jest to zwiazane z obserwacja że wiele podobnych sekwencji ma
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowo2 Uliniowienie wielu sekwencji Miara typu suma par (SP) Uliniowienie gwiazdowe dla SP... 24
Spis treści 1 Podobieństwo dwóch sekwencji 1 11 Globalne uliniowienie 111 Metoda dynamicznego programowania 4 11 Odtwarzanie optymalnych uliniowań 6 113 Odległość edycyjna 8 1 Lokalne uliniowienie 10 13
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Bardziej szczegółowoep do obliczeniowej biologii molekularnej (J. Tiuryn, wykĺady nr. 12 i 13; 25 stycznia 2006) 8 Konstrukcja drzew filogenetycznych
Wst ep do obliczeniowej biologii molekularnej (J. Tiuryn, wykĺady nr. 2 i 3; 25 stycznia 2006) Spis treści 8 Konstrukcja drzew filogenetycznych 82 8. Metoda UPGMA......................... 82 8.2 Metoda
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowowarunek (tzn. macierz M musi być stochastyczna): dla każdego k Q mamy
Wst ep do obliczeniowej biologii molekularnej (J. Tiuryn, wykĺad nr.11, 18 stycznia 2006) Spis treści 7 Ukryte modele arkowa 75 7.1 Algorytm Viterbiego....................... 77 7.2 Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoOptymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej.
Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej. Zagadnienie diety. Jak wymieszać wymieszać pszenice, soje i maczk e rybna by uzyskać najtańsza
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowocelu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n
123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoUzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień
Bardziej szczegółowoP. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF
29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoRachunek zdań - semantyka. Wartościowanie. ezyków formalnych. Semantyka j. Logika obliczeniowa. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010
Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 formu l rachunku zdań Wartościowanie i sta le logiczne Logiczna równoważność 2 Model formu ly Formu la spe lniona Formu la spe
Bardziej szczegółowoGrzegorz Mazur. Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ. 14 marca 2007
Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ 14 marca 2007 Rzad 1 Zamiast wst epu 2 Rzad Notacja dużego O Notacja Ω Notacja Θ 3 S lowniczek Rzad Algorytm W matematyce oraz informatyce to skończony, uporzadkowany
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoWyk lad 4. Grafy skierowane
Wyk lad 4 Grafy skierowane Definicja Graf skierowany G sk lada si e z dwóch zbiorów, niepustego zbioru V (G) grafu G i zbioru E(G) kraw edzi grafu G oraz z funkcji γ (gamma) ze zbioru E(G) w zbiór V (G)
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoZastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium
Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoUproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany
Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany W. Rytter Dla uproszczenia rozważamy tylko teksty binarne. S lowa Lyndona sa zwartymi reprezentacjami liniowymi s lów cyklicznych. Dla s lowa x niech
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowow teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak
Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoNierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana
Nierówność Krafta-McMillana, Kodowanie Huffmana Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 2 1 marca 2010 Test na jednoznaczna dekodowalność Kod a jest prefiksem kodu b jeśli b jest postaci ax. x nazywamy
Bardziej szczegółowoProcesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry
Bardziej szczegółowoArchitektura systemów komputerowych
Architektura systemów komputerowych Grzegorz Mazur Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii Uniwersytet Jagielloński 12 kwietnia 2011 Grzegorz Mazur (ZMOCh UJ) Architektura systemów komputerowych 12 kwietnia
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych.
Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Krzysztof M. Ocetkiewicz Krzysztof.Ocetkiewicz@eti.pg.gda.pl Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów, WETI, PG Problem plecakowy mamy plecak o określonej pojemności
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoKOLOKWIUM PODSTAWY PROGRAMOWANIA
KOLOKWIUM PODTAWY PROGRAMOWANIA BARTOZ ZIELIŃKI pis treści 1. Zasady ogólne 2 2. Zadanie cześć wspólna 3 2.1. Cel zadania 3 2.2. Wskazówki 4 2.3. Uwagi na temat uruchamiania programów 5 3. Zestawy 7 3.1.
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoPrzykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}
Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy
Bardziej szczegółowo3 Przeszukiwanie baz danych
Spis treści 3 Przeszukiwanie baz danych 1 3.1 Heurystyczne algorytmy...................... 1 3.1.1 FASTA........................... 1 3.1.2 BLAST........................... 3 3.2 Macierze substytucyjne.......................
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoLiczby naturalne i ca lkowite
Chapter 1 Liczby naturalne i ca lkowite Koncepcja liczb naturalnych i proste operacje arytmetyczne by ly znane już od oko lo 50000 tysiȩcy lat temu. To wiemy na podstawie archeologicznych i historycznych
Bardziej szczegółowoZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW MASZYNY O DOSTEPIE SWOBODNYM (RAM) Bartosz Zieliński Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Zima 2011-2012 INSTRUKCJE MASZYNY RAM Instrukcja Argument Znaczenie READ
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoMiNI Akademia Matematyki na Politechnice Warszawskiej
MiNI Akademia Matematyki na Politechnice Warszawskiej Krzysztof Che lmiński Okr egi i styczne MiNI PW, 14.10.2017 Podstawowe twierdzenia wykorzystywane w zadaniach z ćwiczeń Twierdzenie 1 (najmocniesze
Bardziej szczegółowoPlan wyk ladu. Kodowanie informacji. Systemy addytywne. Definicja i klasyfikacja. Systemy liczbowe. prof. dr hab. inż.
Plan wyk ladu Systemy liczbowe Poznań, rok akademicki 2008/2009 1 Plan wyk ladu 2 Systemy liczbowe Systemy liczbowe Systemy pozycyjno-wagowe y 3 Przeliczanie liczb Algorytm Hornera Rozwini ecie liczby
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowo25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1. P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Logika Hoare a
25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Logika Hoare a Rozważamy najprostszy model imperatywnego jezyka programowania z jednym typem danych. Wartości tego
Bardziej szczegółowoPodstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9
Wstęp do programowania 1 Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Element minimalny i maksymalny zbioru Element minimalny
Bardziej szczegółowoKompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana
Kompresja bezstratna. Entropia. Kod Huffmana Kodowanie i bezpieczeństwo informacji - Wykład 10 29 kwietnia 2013 Teoria informacji Jeśli P(A) jest prawdopodobieństwem wystapienia informacji A to niech i(a)
Bardziej szczegółowoW poszukiwaniu kszta ltów kulistych
W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch
Bardziej szczegółowo1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie
Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoWyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Granice niew laściwe Definicja 1 Ci ag (x n ) d aży do (jest rozbieżny do) + jeśli c R N n > N x n > c a do
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1
Bardziej szczegółowoNiezmienniki i pó lniezmienniki w zadaniach
Niezmienniki i pó lniezmienniki w zadaniach Krzysztof Che lmiński Wydzia l Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska MiNI-Akademia Matematyki Warszawa, 2 marca, 2013 Na czym polega metoda
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie z dynamicznej optymalizacji
Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2
Bardziej szczegółowoJak matematyka pomaga w wyszukiwanie wzorca
Jak matematyka pomaga w wyszukiwanie wzorca Artur Jeż 28 września 2011 Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX 2011 1 / 18 Wiek nauki Artur Jeż Matematyka i wyszukiwanie wzorca 28 IX 2011 2 /
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoJeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI.
Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Micha l Ramsza Szko la G lówna Handlowa Micha l Ramsza (Szko la G lówna Handlowa) Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. 1 / 13 Dlaczego
Bardziej szczegółowoParadygmaty programowania
Paradygmaty programowania Programowanie generyczne w C++ Dr inż. Andrzej Grosser Cz estochowa, 2016 2 Spis treści 1. Zadanie 3 5 1.1. Wprowadzenie.................................. 5 1.2. Obiekty funkcyjne................................
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoRozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoOSOBNO ANALITYCZNYCH
Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowo