3. ZASADY OBLICZANIA PRĄDÓW I NAPIĘĆ PRZY ZWARCIACH NIESYMETRYCZNYCH Element liniowy i jego macierz impedancyjna

Transkrypt

1 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych. AADY OBLCANA ĄDÓW NAĘĆ Y WACACH NEYMEYCNYCH.. Eleent liniowy i jego cierz ipedncyjn Eleenty sieci sprowdzją się do ukłdów, z których njprościej ożn by uownie nzwć czwórniki trójfzowyi pokzne n rys... ELEMEN ÓJFAOWY OANY MACEĄ ' ' ' ' ' N N ' ' ' ys... Eleent czteroprzewodowy liniowy. ozwżono stn ustlony, sinusoidlny prcy tkiego eleentu. W dlszej nlizie złożono, że ipedncje tkiego eleentu są ipedncji liniowyi, dltego eleent z rys... nzywy liniowy. Eleenty tkie są trudne do nlizy, dltego ogrniczono się do eleentów pozbwionych ipedncji poprzecznych, co jest zgodne z złożenii przyjownyi w teorii zwrć. Eleent okrojony w ten sposób chrkteryzuje się równością prądów n wejściu i wyjściu wtedy ożn posługiwć się schete z rys... wprowdzjąc bezoporowy przewód powrotny. pedncj ziei jest wprowdzon do ipedncji przewodów fzowych. ' ELEMEN ÓJFAOWY OANY MACEĄ ' ' ' ' ' ' N N ys... proszczony eleent czteroprzewodowy

2 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych trty npięci w tki eleencie w stnie ustlony przy wyuszeniu sinusoidlny ożn zpisć wzore: ' ' ' (.) lub postci cierzowej: przy czy: (.) (.) (.4) (.5) Eleent trójfzowy przedstwiony n rys.. nzwiey eleente syetryczny, jeśli jego cierz ipedncyjn nstępującą budowę: więc s s (.6) s s (.7) Gdy eleent trójfzowy syetryczny jest eleente sttyczny, to: (.8) - 8 -

3 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych cierz ipedncyjn będzie: s s s (.9) W dlszych rozwżnich zjęto się tylko eleente trójfzowy syetryczny. kłdy wektorów prądów i npięć w ogólny przypdku ogą być ukłdi niesyetrycznyi. Nleży zuwżyć, że gdy prądy fzowe w ukłdzie trójfzowy tworzą ukłd syetryczny, tzn.: o o j j4 e e (.) to spdki npięć n syetryczny, sttyczny eleencie trójfzowy ożn opisć nstępującyi równnii: ( ) s s s ( ) s s s (.) ( ) s s s lbowie j j (.) Mcierz ipedncyjn syetrycznego eleentu trójfzowego obciążonego syetrycznyi prądi stje się cierzą digonlną, obliczeni ożn wtedy prowdzić dl zstępczych obwodów jednofzowych np. fzy... odstwy teorii skłdowych syetrycznych W obwodch elektrycznych złożonych z eleentów syetrycznych ogą występowć niesyetryczne ukłdy wektorów prądów i npięć np. w przypdku zwrć niesyetrycznych. Operownie w tych przypdkch prądi, npięcii i skojrzenii gnetycznyi włsnyi i wzjenyi, prowdzi do dużych koplikcji ntury obliczeniowej. Gdyby cierz ipedncyjn eleentu trójfzowego był digonln, to nwet przy prądch niesyetrycznych spdek npięci w kżdej fzie zleżłby tylko od prądu w tej włśnie fzie. Nleżłoby więc znleźć tkie przeksztłcenie liniowe, które zdigonlizuje cierze ipedncyjne wszystkich eleentów sieciowych, przy czy jedno przeksztłcenie digonlizowć wszystkie cierze. lgebry liniowej widoo, że dl kżdej cierzy ożn znleźć odpowiednie przeksztłcenie digonlizujące, le stosownie różnych przeksztłceń do różnych cierzy utrudniłoby prcę. W przypdku, gdy eleenty ukłdu elektroenergetycznego są syetryczne ożn znleźć cierz digonlizującą cierze ipedncyjne eleentów. Wyznczono tką cierzy A, przy czy: det A (.)

4 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych któr nie zienijąc zleżności (.) uczyni przeksztłconą cierz ipedncyjną (.) cierzą digonlną. W ty celu równnie (.) ponożono lewostronnie przez A A A (.4) do równni (.4) wprowdzono iloczyn A A A A (.5) W wyniku otrzyno równnie: A A A A (.6) Wprowdzjąc oznczeni dl wielkości przeksztłconych: A (.7) A (.8) A A (.9) otrzyno równnie: (.) które jest postci równni (.). Mcierz A nleży tk dobrć, by cierz digonlną. Będzie to spełnione dl: był cierzą k A (.) n k,, n dowolne liczby zespolone, przy czy k n Wrto zuwżyć, że włsności digonlizowni posid nieskończenie wiele cierzy. rzyjęcie, że k n to y tzw. cierz, któr jest njprostszą postcią cierzy A i tą cierz przyjęto jko cierz digonlizującą. Mcierz więc postć: (.) - 4 -

5 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych cierz odwrotn (.) o wprowdzeniu w iejsce cierzy A cierz do równni (.8) otrzyno równnie: ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) (.4) rądy fzowe otrzyujey z równni: (.5) które w postci rozwiniętej postć: ( ) () ( ) ( ) () ( ) (.6) ( ) () ( ) ównnie ożn npisć w postci: ( ) () ( ) ( ) () ( ) (.7) ( ) () ( ) kłdowe ( ) ( ) ( ) ( ) (.8) tworzą syetryczny ukłd kolejności zerowej (nzw wzięł się z zerowych wrtości kąt iędzy wektori). Wielkość ) ( nzyw się prąde skłdowej zerowej lub skłdową zerową prądu. o so ożey powiedzieć o npięciu. kłdowe: () () () () () () (.9)

6 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych tworzą syetryczny ukłd kolejności zgodnej. rąd () nzyw się skłdową zgodną prądu. kłdowe: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.) tworzą syetryczny ukłd kolejności przeciwnej, prąd () - to skłdow przeciwn prądu. Możliwość rozkłdu niesyetrycznego ukłdu prądów fzowych n trzy ukłdy syetryczne orz ożliwość złożeni z trzech ukłdów syetrycznych dowolnych trzech wektorów niesyetrycznych było ideą skłdowych syetrycznych zproponownego przez Fortescue w 98 r. Grficzn weryfikcj tej tezy zostł pokzn n rys... ) b) E () ( ) E ( ) ( ) ( ) () E E E E ys.. ozkłd trzech niesyetrycznych wektorów fzowych n zestw trzech ukłdów syetrycznych (przypdek ) orz zbudownie trzech niesyetrycznych wektorów fzowych w oprciu o zestw trzech ukłdów syetrycznych (przypdek b). Fz, dl której zchodzi: α ( ) () ( ) (.) nzyw się fzą osobliwą (odniesieni, podstwową). Kżd z fz oże być fzą osobliwą. Fzą osobliwą jest fz, któr w cierzy jest w pierwszy wierszu. Może to być w przypdku ogólny fz, lub. Kolejność uieszczeni dlszych prądów fzowych w kolejnych wierszch cierzy wynik z nstępstw fz. W obliczenich prądów zwrć niesyetrycznych jko fzę osobliwą przyjuje się fzę, któr jest w odiennych wrunkch od dwóch pozostłych fz i tk np. dl zwrci dwufzowego fz i będzie to fz, dl zwrci jednofzowego w fzie - fz. o wprowdzeniu do równni (.9) zist cierzy A cierz orz otrzyujey: - 4 -

7 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych ( )( ) ( )( ) ( )( ) ()( ) ()() ()( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) s s s (.) gdy eleent jest syetryczny i sttyczny: s s (.) s powyższej cierzy otrzyno, że: () ( ) s (.4) ( ) s (.5) po przeksztłceniu: s ( ) () (.6) ( ) () (.7) Eleent trójfzowy, którego cierz jest cierzą digonlną jest eleente syetryczny ukłdzie współrzędnych fzowych. prwdzono czy przeksztłcenie z ukłdu współrzędnych fzowych do ukłdu skłdowych syetrycznych jest przeksztłcenie unitrny tzn. niezienniczy względe ocy. Moc w ukłdzie trójfzowy wynosi: iloczyn gdyż: * * * (.8) (.9) ( ) (.4) - 4 -

8 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych * * * * ( ) (.4) (.4) (.4) więc nie jest przeksztłcenie unitrny lbowie oc w ukłdzie skłdowych syetrycznych wyrż się wzore: ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) (.44) W celu otrzyni przeksztłceni unitrnego stosowne są tzw. skłdowe Kron cierz przeksztłceni Kron jest postci.. chety zstępcze dl skłdowych syetrycznych ozptrzy prosty, trójfzowy ukłd przesyłowy, którego schet zstępczy jest n rys..4. E E E ELEMEN ÓJFAOWY OANY MACEĄ K K u u K K ys..4 chet rozptrywnego ukłdu, gdzie: - ipedncje włsne i wzjene ukłdu przesyłowego u - ipedncj uzieieni punktu gwizdowego źródł. N Oznczjąc: (.45)

9 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych E E E E (.46) (.47) ( ) u u (.48) lub cierzowo: u u u u u u u u u u u u u (.49) godnie z drugi prwe Kirchhoff jest: u E (.5) przy czy cierz fzowych strt npięci opisn jest równnie (.). kłd równń (.5) opisuje powyższy schet w forie rozwiniętej postć: E u (.5) rzechodząc do ukłdu skłdowych syetrycznych ponożono lewostronnie równnie (.5) przez cierz otrzyując: u u E (.5) Oznczjąc: ( ) () ( ) E E E E E (.5) ( ) () ( ) (.54) ( ) () ( ) (.55)

10 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych ( )( ) ()() ( )( ) (.56) u u u (.57) otrzyno równnie (.5) w ukłdzie współrzędnych skłdowych syetrycznych w postci: E (.58) u rzyjuje się, że siły elektrootoryczne źródeł zwsze tworzą ukłd syetryczny, więc: E E (.59) E E (.6) wtedy E( ) (E E E ) E ( ) (.6) E ( ) (E E E ) E E (.6) E( ) (E E E ) E ( ) (.6) czyli: E( ) E () ( ) E E (.64) E Gdy ukłd przesyłowy jest syetryczny i sttyczny, to strty npięć w ukłdzie skłdowych syetrycznych są w postci: () ()() () ( s ) () ( ) ( )( ) ( ) ( s ) ( ) (.65) ( ) ( )( ) ( ) ( s ) ( ) trty npięć n ipedncji uzieieni w ukłdzie skłdowych syetrycznych wynoszą: u( ) u ( ) u () (.66) u ( ) o podstwieniu otrzyno:

11 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych ( ) ( )( ) ( ) u ( ) (.67) E () () ()() () (.68) ( ) ( )( ) ( ) (.69) po przeksztłceniu ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) u ( ) ( )( ) u (.7) () ()() () (.7) ( ) ( )( ) ( ) (.7) Oznczjąc: ( ) ( ) ( )( ) u () ()() (.7) ( ) ( )( ) ) E () () () () () K () b) ( ) ( ) () ( ) c) ( ) ( ) K () () ( ) K () ys..5 chety zstępcze dl skłdowych syetrycznych: ) zgodnej, b) przeciwnej, c)zerowej

12 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych gdzie: ( ) - ipedncj zstępcz sieci dl skłdowej zerowej, () - ipedncj zstępcz sieci dl skłdowej zgodnej, ( ) - ipedncj zstępcz sieci dl skłdowej przeciwnej. kłd równń (.7)-(.7) ożn zpisć w postci: ( ) ( ) ( ) (.74) () () () (.75) ( ) ( ) ( ) (.76) powyższych równń wynik, że ożn ówić o trzech zstępczych, jednofzowych, niesprzęgniętych ipedncją wzjeną obwodch, inowicie dl skłdowej zerowej, zgodnej i przeciwnej, przedstwionych n rys..5. unkty (), () i () w obwodch poszczególnych skłdowych odpowidją punktowi K w sieci rzeczywistej i są to tzw. punkty początkowe obwodów, punkty K (), K () i K () - punkty końcowe znjdujące się w uyślony przewodzie powrotny..4. rnsforcj skłdowych syetrycznych rnsforcj npięci i prądu w trnsfortorze powoduje zinę wrtości ich odułów zleżnie od przekłdni trnsfortor orz zinę fzy zleżnie od sposobu połączeń uzwojeń trnsfortor grupy ukłdu połączeń tych uzwojeń. rzekłdni zespolon trnsfortor ϑ jest zdefiniown: d d Π jn 6 Π jn 6 g g ϑ e ϑe (.77) gdzie: N tzw. przesunięcie godzinowe trnsfortor np. dl trnsfortor o ukłdzie połączeń Yd wynosi N, N Π - kąt iędzy npięcie górny i dolny trnsfortor liczony przeciwnie do ruchu 6 wskzówek zegr od npięci dolnego do górnego. łożono, że występuje ideln trnsforcj tzn. poijy prąd gnesujący trnsfortor. rnsforcj npięci dl skłdowej zgodnej zchodzi zgodnie ze wzore: ϑ() () () g d ϑ (.78) powyższego wzoru wynik:

13 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych Π jn 6 () g () d ϑ () d ϑe (.79) Π jn 6 () d () g () g e (.8) ϑ ϑ rnsforcj prądu jest nstępując: ϑ () d ()g (.8) Π jn 6 () g () d () d e (.8) ϑ ϑ Π j N 6 () d () g ϑ () g ϑe (.8) leżności iędzy skłdowyi przeciwnyi npięć i prądów otrzyno zstępując w powyższych wzorch przekłdnię zespoloną trnsfortor jej wrtością sprzężoną. Wynik to z fktu, że dl ukłdu skłdowej przeciwnej trnsfortor inną grupę połączeń. Dl skłdowej przeciwnej przesunięcie godzinowe trnsfortor równ się dopełnieniu do dwunstu przesunięci godzinowego dl skłdowej zgodnej tzn. jeżeli dl skłdowej zgodnej grup połączeń wynosi Yd, N () to dl skłdowej przeciwnej trnsfortor grupę połączeń Yd, przesunięcie godzinowe N (). k zin grupy połączeń odpowid zstąpieniu przekłdni zespolonej trnsfortor przez przekłdnię sprzężoną. owyższą zinę ożn również uzsdnić tetycznie. W ty celu rozptrzono trnsfortor o grupie połączeń Yd. rzekłdni zwojow tego trnsfortor wynosi: ϑ ϑ z (.84) Dl tego trnsfortor zleżność poiędzy prądi fzowyi po stronie górnej i dolnej jest nstępując: d d d ϑ z g g g (.85) lub d ϑ N (.86) z g rzeksztłcono to równnie do ukłdu skłdowych syetrycznych:

14 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych d z ϑ N (.87) g d ϑ N (.88) z g o j N N e o (.89) j e ( ) () ( ) d d d ϑ z e o j o j e o j ( ) g () g ( ) g (.9) () d ϑ () g e (.9) o j ( ) d ϑ ( ) g e (.9) rnsforcj npięci dl skłdowej przeciwnej zchodzi zgodnie ze wzore: ϑ ( ) g ( )d (.9) Π j N 6 ( ) g ( ) d ϑ ( ) d ϑe (.94) Π jn 6 ( ) d ( ) g ( ) g e (.95) ϑ ϑ rądy trnsforują się nstępująco: ( ) d ϑ (.96) ( )g Π jn 6 ( ) g ( ) d ( ) d e (.97) ϑ ϑ Π jn 6 ( ) d ( ) g ϑ ( ) g ϑe (.98) kłdow zerow nie jest trnsforown przez trnsfortory o grupie połączeń Yd, Dy, Yz czy y, jest trnsforown przez trnsfortory o grupie połączeń YNyn. Dlszy ciąg postępowni dl trnsfortor o grupie połączeń YNyn jest identyczny jk dl skłdowej zgodnej. nny sposobe udowodnieni różnic w trnsforcji skłdowych syetrycznych oże być nrysownie wykresu wskzowego prądów (lub npięć) po obu stronch trnsfortor np

15 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych o grupie połączeń Ynd pokznego n rys..6. rzy określniu kierunków przepływu prądu złożono, że kierunek prądu w uzwojeniu po jednej stronie jest identyczny jk po drugiej stronie tk jk n rys..6. u u r s r s u t t ys..6 rzepływ prądu przez trnsfortor Ynd. Wykreślono wykres wskzowy prądów przy zsilniu trnsfortor zgodny ukłde prądów rys..7 orz przy zsilniu ukłde przeciwny rys..8. wykresu n rys..7 wynik, że trnsfortor o połączenich jk n rys..6 jest rzeczywiście trnsfortore o grupie połączeń Yd podczs zsilni go zgodny ukłde prądów. Gdy zsiliy ten s trnsfortor ukłde przeciwny, to z rys..8 wynik, że on przesunięcie godzinowe wynoszące o czyli jest trnsfortore Yd. otwierdz to wzór (.9). r u u s u u u u t ys..7 Wykres wskzowy prądów przy zsilniu trnsfortor ukłde zgodny. Moc dl skłdowej zgodnej po obu stronch trnsfortor obliczono z zleżności: - 5 -

16 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych () g () g () g () d ϑ () d () d () d ()d (.99) ϑ ( ) dl skłdowej przeciwnej: ( ) g ( ) g ( ) g ( ) d ϑ ( ) d ( ) d ( ) d ϑ ( )d (.) u r u s u u u u t ys..8 Wykres wskzowy prądów przy zsilniu trnsfortor ukłde przeciwny. tosunki ipedncji po stronie pierwotnej i wtórnej trnsfortor są równe: () () g d () () g g () d () d () () g g () g () g ϑe e ϑ NΠ j 6 NΠ j 6 ϑ (.) ( ) ( ) g d ( ) ( ) g g ( ) d ( ) d ( ) ( ) g g ( ) g ( ) g ϑe e ϑ NΠ j 6 NΠ j 6 ϑ (.) - 5 -

17 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych.5. wrcie jednofzowe N podstwie etody skłdowych syetrycznych orz uwzględnijąc wrunki grniczne dl prądów i npięć w iejscu zwrci ożn wyznczyć skłdową okresową prądu zwrciowego i npięcie w iejscu zwrci w przypdku różnych rodzjów zwrć. fzę odniesieni (osobliwą) przyjujey we wszystkich rozwżnich fzę. ozptrzono przypdek bezpośredniego zwrci fzy z zieią. unkt neutrlny sieci jest uzieiony bezpośrednio. W iejscu zwrci z zieią fzy przyjuje on potencjł ziei. te: (.) W fzch nie dotkniętych zwrcie (.4) Wrunki grniczne npięci i prądu określone równnii (.) i (.4) wyrziy przez skłdowe syetryczne prądu i npięci w iejscu zwrci. kłdowe syetryczne prądu w fzie wyznczono z równni (.4) i z wrunków grnicznych dl prądów (.4): ( ) () ( ) (.5) wrunku grnicznego (.) skłdowe syetryczne npięci w iejscu zwrci w fzie powiązne są równnie: ( ) () ( ) (.6) kłdowe syetryczne npięci w iejscu zwrci określone są równnii (.74)-(.76): ( ) ( ) ( ) () () () (.7) ( ) ( ) ( ) Wstwijąc skłdowe syetryczne (.7 do wzoru (.6) jest: E () () () ( ) ( ) ( ) ( ) (.8) względnijąc równnie (.5) otrzyno: ( ) () E () () ( ) ( ) (.9) kłdowe syetryczne prądu zwrciowego w fzie wynoszą: () ( ) ( ) (.) () ( ) ( ) - 5 -

18 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych N podstwie równń (.5) i (.6) ożn zbudowć schet zstępczy obwodu zwrciowego w przypdku zwrci jednofzowego bezpośredniego (rys..9). chet ten skłd się z połączonych szeregowo schetów dl skłdowej zgodnej, przeciwnej i zerowej. rąd w iejscu zwrci w fzie zwrtej jest określony równnie: () ( ) ( ) (.) () ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) K() ( ) ( ) () ( ) K() ( ) ( ) () ( ) ys..9. chet zstępczy obwodu zwrciowego w przypdku zwrci jednofzowego. K() Moduł prądu zwrci to prąd początkowy: (.) () ( ) ( ) kłdowe syetryczne npięci w iejscu zwrci są określone równnii (.74)-(.76), uwzględnijąc wzór (.) otrzyno: ( ) ( ) ( ) ( ) (.) () ( ) ( )

19 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych ( ) ( ) () () () (.4) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.5) () ( ) ( ) E E( ) () ( ) ( ) ( ) () () E ( ) ( ) ( ) () () () E ys.. Wykres wektorowy prądów i npięć w iejscu zwrci dl etlicznego zwrci jednofzowego przy poinięciu rezystncji sieci. Npięcie fzowe w iejscu zwrci: ( ) () ( ) (.6) [( ) ( ) ( ) ( )] E () ( ) () ( ) (.7) () ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] E () ( ) () ( ) (.8) () ( ) ( )

20 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych Wykresy wektorowe prądów i npięć przedstwione n rys.. wykreślono zkłdjąc, że () jx() ( ) jx( ), ( ) jx( ) > jx( ). W przypdku gdy: () ( ) (.9) ożn wyprowdzić, że: () ( ) (.) Wtedy ożn przedstwić npięci fzowe jko: ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) E ( ) ( ) (.) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) E ( ) ( ) (.) powyższego wykresu wskzowego orz wzorów (.) i (.) wynik, że w przypdku gdy iejsce geoetryczny końców wektorów npięć fz zdrowych są proste: () ( ) równoległe do wektor siły elektrootorycznej fzy zwrtej, przechodzące przez końce wektorów sił elektrootorycznych fz nie zwrtych. Długość wektorów npięć fz zdrowych zleży od wzjenego stosunku npięci dl skłdowej zerowej do skłdowej przeciwnej. W przypdku gdy: npięcie dl skłdowej zerowej jest większe od npięci skłdowej przeciwnej to npięci fz zdrowych są większe od sił elektrootorycznych tej sej fzy, npięcie dl skłdowej zerowej jest niejsze od npięci skłdowej przeciwnej to npięci fz zdrowych są niejsze od sił elektrootorycznych tej sej fzy. Fizyczną przyczyną tego zjwisk jest indukownie się w fzch zdrowych strt npięć wywołnych przez prąd fzy zwrtej i indukcyjność wzjeną tych dwóch fz. strt npięci jest opóźnion o 9 o w stosunku do prądu zwrciowego. N rys.. ukzno wykres wektorowy prądów i npięć w iejscu zwrci dl zwrci jednofzowego etlicznego z uwzględnienie rezystncji sieci. względnienie rezystncji sieci powoduje, że prąd zwrciowy leje i zwier tkże skłdową czynną, npięcie jednej zdrowej leje drugiej rośnie w stosunku do sytucji z rys... W przypdku zwrci jednofzowego z pośrednictwe ipedncji, któr oże być np. rezystncją łuku lub rezystncją uzieieni słup, wrunki grniczne w iejscu zwrci są nstępujące: (.) (.4) kłdowe syetryczne prądu i npięcie w iejscu zwrci wynoszą: ( ) () ( ) (.5) ( ) () ( ) () (.6)

21 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych E E () ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) E E ( ) ( ) ( ) ( ) ys.. Wykres wektorowy prądów i npięć w iejscu zwrci dl etlicznego zwrci jednofzowego z uwzględnienie rezystncji sieci. Otrzyne wrunki brzegowe wskzują, że schet z rys..9 trzeb terz uzupełnić o ipedncję w głęzi łączącej schety skłdowych syetrycznych n zewnątrz kżdej z nich. Dodjąc do powyższych równń brzegowych równni dl skłdowych syetrycznych: ( ) ( ) ( ) () () () (.7) ( ) ( ) ( ) Wykorzystując powyższe zleżności otrzyno: stąd: E () () () ( ) ( ) ( ) ( ) () (.8) ( ) () E () () ( ) ( ) (.9)

22 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych () ( ) ( ) () ( ) ( ) (.) rąd w fzie zwrtej: () ( ) ( ) (.) () ( ) ( ) kłdowe syetryczne npięci wynoszą: ( ) ( ) ( ) ( ) (.) () ( ) ( ) ( ) ( ) () () () (.) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.4) () ( ) ( ) E E () ( ) () ( ) ( ) E E ( ) ( ) ( ) ( ) ys.. Wykres wektorowy prądów i npięć w iejscu zwrci dl nieetlicznego zwrci jednofzowego przy poinięciu rezystncji sieci

23 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych Npięcie fzowe w iejscu zwrci: ( ) () ( ) E () (.5) () ( ) ( ) ( ) () ( ) [( ) ( ) ( ) ( ) ] () ( ) ( ) (.6) ( ) () ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] () ( ) ( ) (.7) Npięcie n ipedncji uzieieni punktu zerowego: u u u ( ) (.8) () ( ) ( ) Otrzyne zleżności ożn zobrzowć z poocą wykresu wektorowego prądów i npięć w iejscu zwrci rys... wrcie jednofzowe oże wystąpić tkże w fzie lub. W tki przypdku są dw rozwiązni: obliczeni przeprowdzić dl fzy nstępnie wyniki przetrnsforowć do fzy zwrtej, wyprowdzić zleżności dl zwrcie jednofzowego w fzie lub lecz w tki przypdku otrzyy, że schety zstępcze skłdowych syetrycznych będą połączone z sobą nie bezpośrednio lecz z udziłe trnsfortorów o przekłdnich, co zncznie utrudni obliczeni..6. wrcie dwufzowe ozptrzono przypdek bezpośredniego zwrci fz i tk by znów fz był fzą osobliwą. W iejscu zwrci npięci fz i są jednkowe (.9) prąd w fzie zdrowej równy zeru: (.4) W iejscu zwrci w fzch i płynie prąd (.4) Wrunki grniczne określone powyższyi wzori wyrźy przez skłdowe syetryczne prądu i npięci w iejscu zwrci. kłdowe syetryczne prądu n podstwie wrunków grnicznych wynoszą:

24 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych () ( ) j (.4) ( ) ( ) j (.4) ( ) ( ) (.44) równni tego wynik, że: () ( ) (.45) ( ) (.46) kłdowe syetryczne npięć wynoszą: ( ) ( ) ( ) (.47) () ( ) ( ) (.48) ( ) ( ) ( ) (.49) równń tych wynik, że: () ( ) (.5) Dl powyższych wrunków nrysowno schety zstępcze dl skłdowych syetrycznych rys... Do wzoru n skłdowe syetryczne npięć podstwiy równnie obwodowe: ( ) ( ) ( ) () () () (.5) ( ) ( ) ( ) ( ) () po uwzględnieniu npięciowych wrunków brzegowych jest: stąd: E () () () ( ) () (.5) () ( ) (.5) () ( ) - 6 -

25 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych E () () () () () K () ( ) ( ) () ( ) K () ( ) ( ) () ( ) ys.. chet zstępczy obwodu zwrciowego w przypdku zwrci dwufzowego. rądy w fzch i wynoszą: K () j (.54) () ( ) Moduły prądów fzowych (.55) () ( ) o uwzględnieniu równń (.74)-(.76) i (.5) skłdowe syetryczne npięć wyrżono wzore: ( ) () ( ) () () ( ) ( ) (.56) () ( ) kłdjąc () jx() ( ) jx( ) n rys..4 przedstwiono wykres wektorowy prądów i npięć podczs zwrci dwufzowego. Npięci fzowe w iejscu zwrci wynoszą: - 6 -

26 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych ( ) ( ) () ( ) () () ( ) (.57) ( ) E () ( ) () ( ) () () ( ) (.58) Wyuszenie dl prądów podczs zwrci dwufzowego jest iędzyprzewodow sił elektrootoryczn fz i - E. oijjąc rezystncję sieci z równni (.54) ożn stwierdzić, że prąd w fzie jest przeciwfzie do siły elektrootorycznej fzy więc jest opóźniony o 9 o w stosunku do wyuszeni. Npięci fzy zdrowej i fz zwrtych zleżą od stosunku ipedncji dl skłdowej zgodnej i przeciwnej równni (.57) orz (.58). W większości przypdków zwrci dwufzowego, poz zwrcie n zciskch genertor, ipedncje dl skłdowej zgodnej i przeciwnej są sobie równe. Ozncz to, że npięcie fzy zdrowej jest równe sile elektrootorycznej fzy zdrowej. Npięci fz zwrtych są zś równe połowie siły elektrootorycznej fzy zdrowej i skierowne przeciwnie, czyli ich iejsce geoetryczny jest iędzyprzewodow sił elektrootoryczn E. owyższe stwierdzeni są uwidocznione również n rys..4. E E () ( ) ( ) () () () ( ) E () ( ) () ( ) ( ) ( ) E E ys..4 Wykresy wektorowe prądów i npięć w iejscu zwrci dl etlicznego zwrci dwufzowego przy poinięciu rezystncji sieci

27 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych W przypdku zwrci dwufzowego z pośrednictwe ipedncji wrunki grniczne są nstępujące: (.59) (.6) (.6 leżność iędzy skłdowyi syetrycznyi fzy wyrżją się w ten s sposób jk w przypdku zwrci bezpośredniego tzn. równnie: () ( ) (.6) ( ) (.6) wrunku grnicznego dl npięć otrzyno: ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) () j () ( ) j (.64) równni (.64) wynik wrunek brzegowy zwrci dl npięć w ukłdzie skłdowych syetrycznych, inowicie: () ( ) () (.65) powyższego równni wynik, że schet z rys.. trzeb terz uzupełnić o ipedncję w głęzi łączącej schety skłdowych syetrycznych n zewnątrz kżdej z nich. Do wrunków brzegowych dopisujey równni obwodowe otrzyując koplet równń: ( ) ( ) ( ) () () () (.66) ( ) ( ) ( ) ( ) () względnijąc równni (.65) orz (.66) wyprowdzono: stąd: E () () () ( ) () () (.67) () ( ) (.68) () ( ) rąd w fzch i : - 6 -

28 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych j (.69) () ( ) (.7) () ( ) kłdowe syetryczne npięci są postci: ( ) () (.7) () ( ) ( ) ( ) () ( ) (.7) i npięcie fzowe w iejscu zwrci ( ) (.7) () ( ) ( ) (.74) () ( ) ( ) (.75) () ( ).7. wrcie dwufzowe doziene ozptrzono przypdek bezpośredniego zwrci fz i z zieią przy złożeniu, że punkt neutrlny ukłdu jest uzieiony bezpośrednio. Wrunki grniczne są nstępujące: (.76) (.77) równni (.4)wynik, że: () ( ) ( ) (.78) z równni (.4) i (.76): () ( ) (.79) względnijąc w powyższy równniu wzory:

29 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych otrzyno: ( ) ( ) ( ) () () () (.8) ( ) ( ) ( ) () () () ( ) ( ) (.8) () () () ( ) ( ) (.8) ozwiązując powyższy ukłd równń, skłdowe syetryczne prądu w iejscu zwrci wynoszą: () (.8) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) () (.84) ( ) ( ) ( ) ( ) () (.85) ( ) ( ) N podstwie równń zbudowno schet zstępczy obwodu zwrciowego przedstwiony n poniższy rysunku - rys..5. rądy fzowe dl tego zwrci wynoszą: ( ) ( ) ( ) () ( ) () (.86) ( ) ( ) ( ) ( ) zkłdjąc, że () jx() ( ) jx( ) (.87) ( ) jx( ) otrzyno: [ ] () X( ) j ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( X X ) (.88) X X [ ] () X( ) j ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( X X ) (.89) X X

30 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych E () () () () () K () ( ) ( ) () ( ) K () ( ) ( ) () ( ) K () ys..5 chet zstępczy obwodu zwrciowego w przypdku zwrci dwufzowego dozienego. Moduł prądu fzowego: () X( ) X( ) () X ( ) X ( ) 9 X ( ) ( ) ( ) ( ) ( X X ) X( ) X( ) X( ) X( ) ( ) () X( ) X( ) ( ) ( ) ( ) ( X X ) X( ) X( ) 9 X( ) X( ) () ( X( ) X( ) ) (.9) kłdowe syetryczne npięci wynoszą:

31 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) (.9) ( ) ( ) () ( ) ( ) i npięci fzowe () (.9) (.9) kłdjąc, że () jx(), ( ) jx( ), ( ) jx( ) czyli () ( ) ( ) n rysunku przedstwiono wykresy wektorowe prądów i npięć (rys..6). ( ) E E( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () E ( ) E ( ) ( ) ys..6 Wykresy wektorowe prądów i npięć w iejscu zwrci w przypdku zwrci dwufzowego dozienego etlicznego przy poinięciu rezystncji sieci. W przypdku zwrci dwufzowego dozienego z pośrednictwe ipedncji grniczne są postci: ( ) wrunki (.94) (.95)

32 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych wrunku grnicznego dl npięć wynik, że: () ( ) ( ) ( ) ( ) (.96) dl prądu: () ( ) ( ) (.97) N podstwie powyższych dwóch równń nrysowno schet zstępczy obwodu zwrciowego w przypdku zwrci dwufzowego z zieią z pośrednictwe ipedncji - rys..7. () ( ) () ( ) K () () ( ) () ( ) K () () ( ) () z ( ) K () ys..7 chet zstępczy obwodu zwrciowego w przypdku zwrci dwufzowego dozienego z pośrednictwe ipedncji z. N podstwie równni (.74)-(.76) i (.96) wyprowdzono: () () ( ) ( ) (.98) orz: () () ( ) ( ) ( ) (.99) ozwiązując ukłd równń (.98), (.99), (.97) otrzyno:

33 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych () (.) ( ) ( ( ) ) () ( ) ( ) ( ) ( ) () (.) ( ) ( ) ( ) ( ) () (.) ( ) ( ).8. wrcie trójfzowe doziene, zwrcie trójfzowe wrcie trójfzowe doziene i trójfzowe rozwżono jednocześnie lbowie ją tkie se wrunki brzegowe. ozptrzono zwrcie bezpośrednie. Wrunki grniczne są postci: (.) (.4) wrunku grnicznego y: czyli: z () ( ) ( ) (.5) ( ) ( ) (.6) () (.7) () (.8) ().9. orównnie prądu początkowego dl różnych rodzjów zwrci kłdow zgodn prądu początkowego dl różnych zwrć bezpośrednich wyrż się wzore: ) zwrcie trójfzowe: () (.9) ()

34 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych b) zwrcie dwufzowe: () (.) () ( ) c) zwrcie jednofzowe: () (.) () ( ) ( ) d) zwrcie dwufzowe doziene E () () (.) ( ) ( ) () ( ) ( ) N podstwie tych wzorów npisno wzór ogólny: () (.) () Gdzie wynosi: ) trójfzowe b) dwufzowe ( ) c) jednofzowe ( ) ( ) d) dwufzowe z zieią ( ) ( ) ( ) ( ) rąd początkowy w funkcji skłdowej zgodnej prądu początkowego wyrż się wzore: ) zwrcie trójfzowe () b) zwrcie dwufzowe () c) zwrcie jednofzowe () d) zwrcie dwufzowe doziene tąd ożn było npisć wzór: X( ) X( ) ( ) X( ) X( ) () () (.4) gdzie wynosi dl: ) zwrci trójfzowego b) zwrcie dwufzowego - 7 -

35 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych c) zwrcie jednofzowego d) zwrcie dwufzowego dozienego X( ) X( ) ( ) X( ) X( ).. Wpływ stosunku X( ) X() n wrtość prądu początkowego i npięci łożono, że () ( ) ( ) orz, że X () X ( ). Dl zwrć etlicznych wyprowdzono wzory n współczynniki: f f k (.5) f f k (.6) fz f k z (.7) X( ) Wprowdzono współczynnik α. X() iętjąc, że przy powyższych złożenich y: f (.8) X() X( ) f X() (.9) f X() (.) fz X ( ) X( ) (.) ( X ( ) X ( ) ) X( ) X ( ) X () X ( ) X ( ) Otrzyno: k (.) - 7 -

36 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych k (.) α α α k z (.4) α Wyprowdzono zleżność npięci fz zdrowych od współczynnik α. Dl zwrci jednofzowego, dwufzowego i dwufzowego dozienego jest: f f α α (.5) α f E () (.6) fz α (.7) α orównując wzory (.)-(.7) wyciągnięto wnioski zebrne w postci tbl... Anlizy te zzwyczj ujuje się dodtkowo z poocą przebiegu izolinii odułu npięci fz zdrowych przy zwrciu jednofzowy lub dwufzowy dozieny rys..8 lub wykresu określjącego n X płszczyźnie () X(, ) rodzj zwrci bezoporowego, przy który występują njwiększe X( ) X() prądy zwrciowe rys..9. bl.. Wpływ stosunku X( ) X() wrtość prądu początkowego i npięci α X( ) X() rąd zwrci jednofzoweg o do prądu zwrci trójfzowego α> X ( ) > X f f ( ) < rąd zwrci dwufzowego dozienego do prądu zwrci trójfzowego fz < f rąd zwrci jednofzoweg o do prądu zwrci dwufzowego dozienego fz f Npięcie fz zdrowych podczs zwrci jednofzoweg o f Npięcie fzy zdrowej podczs zwrci dwufzowego dozienego fz > > E () > E () α X ( ) X f f ( ) α< X ( ) < X f f ( ) > fz fz > f f fz f f fz E () E () fz f f fz < < E () < E () - 7 -

37 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych 7 X ( ) () X( ) X() ys..8 zolinie odułu npięci fz zdrowych, tj. większego z npięć fzowych przy zwrciu jednofzowy lub dwufzowy dozieny, wyrżone w krotnościch npięci znionowego fzowego. oszczególne linie są dl: 6 krotności.7; 5 krotności.56; 4 krotności.47; krotności.9; krotności.; krotności.. rzy poinięciu rezystncji z powyższych wzorów i tbl.. wynikją nstępujące wnioski: W przypdku gdy X ( ) > X ( ) njwiększy prąde zwrciowy jest prąd zwrci trójfzowego. W przypdku gdy X ( ) < X ( ) njwiększy prąde zwrciowy jest prąd zwrci jednofzowego. W przypdku gdy X ( ) > X ( ) npięci fz zdrowych podczs zwrci jednofzowego i dwufzowego dozienego są większe od siły elektrootorycznej. X( ) W przypdku gdy X ( ) > X ( ) orz < njwiększy npięcie fz zdrowych podczs X() zwrci jest npięcie fzy zdrowej zwrci dwufzowego dozienego. W przypdku gdy X ( ) < X ( ) npięci fz zdrowych podczs zwrci jednofzowego i dwufzowego dozienego są niejsze od siły elektrootorycznej. ełniejszą nlizę, który z prądów zwrciowych jest njwiększy pokzno n rys..9. Wnioski z wykresu.8 zostną wykorzystne w rozdzile

38 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych,8 X( ) X( ),6,4 fz, f,8,6,4, f,,4,6,8, ys..9 Określnie rodzju zwrci bezoporowego, przy który występują njwiększe prądy zwrciowe. fz f X( ) X().. Modele trójfzowe eleentów ukłdu elektroenergetycznego dl nlizy zkłóceń niesyetrycznych W przypdku prostych ukłdów elektroenergetycznych, w niektórych przypdkch prościej jest prowdzić nlizę zkłóceń niesyetrycznych n odelu trójfzowy zist etodą skłdowych syetrycznych. zczególnie prosto przedstwi się odelownie odcink linii syetrycznej. ozwżono dowolny odcinek linii jednotorowej syetrycznej włączony obustronnie do ukłdu elektroenergetycznego zsiljącego. pdek npięci n ty odcinku w fzie wyniesie: () ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) (.8) gdzie: (), ( ), ( ) - ipedncj rozptrywnego odcink MN. Jeżeli złożyy, że () ( ) to: ( ) () () ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) () ( ( ) () ( ) ) ( ) ( () () ) (.9)

39 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych oniewż: to: ( ) () ( ) (.) ( ) (.) ( ) () () (.) Dl fzy y: () ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () () ( ) ( ) ( ) () () (.) Dl fzy otrzyy: ( ) () () (.4) powyższych wzorów wynik, że odcinek ten ożn zstąpić schete zstępczy jk n rys..: W ty schecie zstępczy nie występują żdne sprzężeni elektrognetyczne fzfz czy fz-ziei. Do punktów M lub N przyłączono odele innych eleentów np. inną linię czy źródło. ozwżono idelne trójfzowe źródło npięci, którego punkt neutrlny jest połączony z zieią przez ipedncję. owyższe schety są jednkowe lbowie: u () (.5) ( ) u (.6) co w wyniku dje: ( ) () u u (.7) ( ) u (.8) ( ) () u u (.9)

40 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych M () N () M () N ( ) () ys.. chet zstępczy odcink linii. ) b) E M E M E E E E u u ys.. chet źródł, przy czy: ) w ukłdzie wyjściowy, b) po przeksztłceniu. ozptrzono połączone szeregowo: odel źródł i odele dwóch linii. łożono dodtkowo, że n końcu drugiej linii występuje zwrcie jednofzowe. W oprciu o schet z rys.. ożn wyprowdzić, że E ( ) () ( ) b () b () () b E () () b ( ) (.4) ( )b

41 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych owyższy wzór jest identyczny z otrzyny z poocą etody skłdowych syetrycznych. odobnie ożn obliczyć npięci w punktch czy N w dowolnej fzie czy inne rodzje zwrć. E M () ()b N E M () ()b N E M () ()b N N ( ) () ( ) b () b ys.. chet zstępczy przykłdowej sieci... ytni kontrolne. Dlczego rezystncj uzieieni punktu gwizdowego trnsfortor orz rezystncj przejści w iejscu zwrci są wprowdzne do schetu zstępczego dl skłdowej zerowej ze współczynnikie do schetu dl skłdowej zgodnej ze współczynnikie.. Oówić zsdy trnsforcji skłdowych syetrycznych prądu i npięci przez trnsfortory o różnych grupch połączeń.. Oówić trnsforcję prądów zwrć niesyetrycznych przez trnsfortory o różnych grupch połączeń. Wykonć to etodą prądów fzowych bez użyci etody skłdowych syetrycznych. 4. Dlczego skłdow przeciwn prądu, npięci jest inczej trnsforown przez trnsfortor o grupie połączeń YNd niż skłdow zgodn. 5. Wpływ rezystncji przejści n wielkości prądu i npięci w iejscu zwrci podczs: ) zwrci trójfzowego, b) zwrci dwufzowego, c) zwrci jednofzowego, d) zwrci dwufzowego dozienego. Anlizę przeprowdzić w oprciu o wykresy wskzowe dl sieci ze skutecznie uzieiony punkte neutrlny. 6. Wpływ rezystncji obwodu n wielkości prądu i npięci w iejscu zwrci podczs: ) zwrci trójfzowego, b) zwrci dwufzowego, c) zwrci jednofzowego, d) zwrci dwufzowego dozienego. Anlizę przeprowdzić w oprciu o wykresy wskzowe dl sieci ze skutecznie uzieiony punkte neutrlny. 7. rzenlizowć jk zieniją się npięci poz iejsce zwrci dl:

42 A. Knicki: wrci w siecich elektroenergetycznych ) zwrci trójfzowego, b) zwrci dwufzowego, c) zwrci jednofzowego, d) zwrci dwufzowego dozienego. Anlizę przeprowdzić w oprciu o wykresy wskzowe dl sieci ze skutecznie uzieiony punkte neutrlny. 8. X( ) rzenlizowć wpływ stosunku X() n wykres wskzowy prądów i npięć dl zwrci dwufzowego dozienego. W rozwżnich poinąć rezystncje obwodu. 9. X( ) rzenlizowć wpływ stosunku X() n wykres wskzowy prądów i npięć dl zwrci jednofzowego. W rozwżnich poinąć rezystncje obwodu.. Wyprowdzić wzory n stosunki iędzy odułi npięć iędzyprzewodowych w pewny punkcie poz iejsce zwrci dl nstępujących przypdków: ) zwrcie trójfzowe i dwufzowe, b) zwrcie trójfzowe i dwufzowe doziene, c) zwrcie trójfzowe i jednofzowe, d) zwrcie jednofzowe i dwufzowe doziene.. Nrysowć wykres wskzowy dl zwrci jednofzowego w fzie.. Nrysowć wykres wskzowy dl zwrci jednofzowego w fzie.. Nrysowć wykres wskzowy dl zwrci dwufzowego w fzch i. 4. Nrysowć wykres wskzowy dl zwrci dwufzowego dozienego w fzch i. 5. Jkie skłdowe syetryczne są w npięcich iędzyprzewodowych gdy widoo, że npięci fzowe zwierją wszystkie trzy skłdowe syetryczne? 6. Wpływ rezystncji uzieieni sieci n wielkości prądu i npięci w iejscu zwrci podczs: ) zwrci jednofzowego, b) zwrci dwufzowego dozienego. Anlizę przeprowdzić w oprciu o wykresy wskzowe dl sieci ze skutecznie uzieiony punkte neutrlny