Semi-parametryczna estymacja punktu zmiany parametrów w szeregach niegaussowskich metodą maksymalizacji wielomianu

Transkrypt

1 do:.599/ Seh W. ZABOLOTNII Zygmut Lech WARSZA Chekak Nacoaly Tekhch Uvetet Ukaa() zemyłowy Itytut Automatyk omaów IA Wazawa () Sem-paametycza etymaca puktu zmay paametów w zeegach egauowkch metodą makymalzac welomau Stezczee. Zatoowao metodę makymalzac welomau do ytezy adaptacyych algoytmów dla etymac puktu zmay watośc śede oaz waac zeegu loowego w tybe a poteo. Aalza wyk modelowaa tatytyczego wykazały że uwzględaąc paamety e-gauowkch daych tatytyczych w ozacowau welomaowym uzykue ę toty wzot dokładośc. Abtact. A applcato of the mamzato techque the ythe of polyomal adaptve algothm fo a poteo (etopectve) etmato of the chage-pot of the mea value o vaace of adom equece peeted. Stattcal mulato how a gfcat ceae the accuacy of polyomal etmate whch acheved by takg to accout the o-gaua chaacte of tattcal data.(sem-paametc etmato of the chage-pot of paamete of the o-gaua equece by polyomal mamzato method) Słowa kluczowe: pukt zmay paametów etymaca a poteo weloma tochatyczy watość śeda waaca kumulaty. Keywod: chage-pot a poteo etmato tochatc polyomal mea value vaace cumulat coeffcet. Wtęp Techkę pomaową w coaz wękzym topu toue ę w auce pzemyśle medycye ych zatoowaach do badaa właścwośc ygałów o kładowych modelowaych poceam tochatyczym a pzy ówomeym ch póbkowau - zeegam loowym. Zadaa take ozwązue ę metodam tatytyczym zaówo w czae zeczywtym ak a poteo czyl metodam etopektywym. odeśce apoteo wymaga dłużzego okeu a uzykae podtaw do podęca decyz o dalzych dzałaach ale moża wówcza wykozytać całą fomacę o badaym obekce zawatą w póbce ygału. Zapewa oo badze dokłade waygode ozacowae badaych paametów poceu. Jedym z takch zadań et wykywae mometu wytępowaa "zabuzea" w obewowaym pocee p. dla celów kotolych lub dagotyczych czyl poma położea puktu zmay ego paametów tatytyczych. ukt tak azywa ę w lteatuze tatytycze kótko puktem zmay []. Ozacowae a poteo puktu zmay paametów poceów tochatyczych et wykozytywae w paktyce w welu dzedzach takch ak wykywae wahań klmatu [] aalza geetycza zeegów czaowych [] wykywae włamań w ecach komputeowych [] telekomukacyych [5] egmetaca ygałów mowy wadomośc z potal połeczoścowych [6] wykywae poawea ę ygałów em akutycze [7] detekca ygałów wdeo [8]. Moża też e zatoować w badau pzebegu cągłych poceów pzemyłowych Tak zeok zake zadań aplkacyych wymaga opacowaa welu óżych model matematyczych algoytmów do pzetwazaa daych pozykwaych w pomaach poceów loowych. Badaa dotyczące metod wykywaa puktu zmay obemuą główe klaę poceów loowych modelowaych ozkładem gętośc pawdopodobeńtwa (ag. akom DF) w potac fukc Gaua. Itee też wele poceów zeczywtych któe badze dokłade modeluą e ozkłady DF. Metody opate a ozkładach DF azywa ę paametyczym. odtawowe tudośc podeśca paametyczego (wg Bayea metody awękze waygodośc) to: wymóg poadaa a po fomac o potac ozkładu pawdopodobeńtwa potecale duża złożoość aalzy właścwośc tatytyczych tudość zatoowaa e w paktyce. Bakue też ekomedac uedolcaące zacowae epewośc takch pomaów. Szeeg otatch badań teoetyczych ukeukowaych et a toowae alteatywych metod tatytyczych któe umożlwały by zmezee lub mmalzacę ezbęde a po lośc fomac. Wykozytue ę tu odpoe (ag. obut) poceduy pzetwazaa tatytyczego któe ą eczułe a edokładośc model pobabltyczych lub też toue tety epaametycze e zwązae z daym typem ozkładu. Ceą za tę "ezależość" metod alteatywych ą eco goze ch właścwośc akoścowe ż optymalych metod paametyczych [9]. Jedym z alteatywych poobów ozwązywaa zadań z pzetwazaa daych e-gauowkch poceów loowych et użyce tatytyk (mometów kumulatów) wyżzego zędu []. Tak poób modelowaa toue ę w óżych dzedzach do wykywae zabuzea w pocee mezoym czyl do etymac położea puktu zmay ego paametów. W eze pacy do wykywaa w tybe a poteo puktu zmay paametów ygału zatoowao metodą makymalzac welomau (ag. polyomal mamzato method - akom MM). Yu. Kucheko zapopoował wykozytae do tego celu e-gauowkch welomaów tochatyczych []. Stoue ę e w połączeu z opem daych póbk za pomocą mometów kumulatów. Upazcza to zacze ytezę adaptacyych algoytmów tatytyczych któe opeaą ę a pobabltyczych właścwoścach pozykaych daych umożlwaą totą popawę dokładośc waygodośc ozacowaa (me błędych decyz pzy mezych waacach oce). Op daych loowych popzez momety kumulaty et pzyblżoy. Opate a m metody tatytycze waz ze wzotem zędu użyte tatytyk umożlwaą uzykwae ezultatów zblżaących ę aymptotycze do optymalych. Metody te w polke lteatuze tatytycze azywa ę em-paametyczym w ślad za ag. empaametc (chocaż dołowe tłumaczee - to pół-paametycze). Celem eze pacy et omówee algoytmów do zacowaa w tybe a poteo puktu zmay watośc śede lub waac w póbkach ygału opywaego egauowkm zeegem loowym. Stoue ę tu metodę opatą a makymalzac welomau tatytyczego. Skuteczość popoowae metody zbada ę za pomocą modelowaa tatytyczego metodą Mote Calo. Matematycze fomułowae zagadea Załóżmy że w wyku pomaów poceu loowego w czae dyketyzowaym p. pzez egulae póbkowae otzymao póbkę... zy czym elemety RZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN -97 R. 9 NR /5

2 te póbk moża taktować ako zbó tatytycze ezależych zmeych loowych t. ekoelowaych ze obą (czyl póbkowae było e za częte a tyle że dla poceów o ogaczoym wdme moża e uwzględać autokoelac daych). obabltycze właścwośc póbk okeśla ę p. pzez e watość oczekwaą waacę watośc wpółczyków kumulatów l aż do zędu l... ( topeń welomau). Rozpatzymy klka pzypadków gdy do pewe ezae a po chwl czau dyketego wytępue w pocee watość śeda waaca a w chwl ede z tych paametów zmea ę tote (p. watość śeda z - a lub waaca z a ). Na podtawe aalzy całe póbk ależy ozacować położee puktu zmay. Waaty tego zadaa mogą óżć ę zdobytą a po fomacą o watośc zmeaącego ę paametu (pzed lub po wytąpeu puktu zmay) oaz watoścam ych paametów modelu zeegu loowego. Ozacowae a poteo puktu zmay śede metodą makymalego pawdopodobeńtwa Jedym z główych poobów badaa a poteo puktu zmay tało ę podeśce opate a makymalzac pawdopodobeńtwa opacowae pzez Hckley'a []. Zapopoował o ogólą aymptotyczą metodę otzymywaa pot factum ozkładów ozacowań puktu zmay metodą makymalego pawdopodobeńtwa (MM). Zatoowae te metody wymaga poadaa a po fomac o ozkładze pawdopodobeńtwa daych loowych pzed po zmae ch paametu. Dla daych zeegu loowego o ozkładze Gaua ocea śede metodą MM pokywa ę z metodą mometów (MM) t. () Ozacowae () et zgode (ag. cotet) eobcążoe. Ocea take póbk pzy e et pzeuęta względem watośc śede całe populac a pokywa ę z ą. Metodę tę ako ozacowae epaametycze moża wykozytywać do zacowaa watośc śede zmeych loowych o dowolym ozkładze pawdopodobeńtwa. Jedakże ocea ta et efektywa tylko dla modelu Gaua. Dla tego modelu pzy zae waac logaytm fukc makymalego pawdopodobeńtwa pzekztałca ę w tatytykę []: () T Ma oa makmum w okolcy zeczywte watośc położea puktu zmay. Tak węc wyk ocey tego puktu zadue ę według algoytmu: (a) ag ma T Hckley [] ozważył dla ozkładu Gaua óweż pzypadek ezaych paametów. Wówcza ozacowae metodą MM puktu zmay śede ag ma () gdze () Statytyk () () e zależą od ych paametów pobabltyczych. Moża wykozytywać e do epaametyczego zacowaa puktu zma śede zeegu loowego o dowolym ozkładze. Jedak wówcza tak ak pzy ocee śede a podtawe () algoytmy epaametycze tacą optymalość. Dlatego też poda ę owe algoytmy etymac elowe opate a metodze makymalzac welomau (MMW). ozwalaą oe w poób doyć poty uwzględć topeń egauowośc daych tatytyczych. Ozacowae a poteo puktu zmay waac metodą makymalego pawdopodobeńtwa Dla ozkładu Gaua ozacowae waac metodą MM pzy zae watośc oczekwae ma potać: (5) Ozacowae (5) et epzecze (zgode) eobcążoe (aymptotycze epzeuęte). Metoda mometów (ag. akom MM) może być wykozytywaa do ocey epaametycze zacowaa waac zmeych loowych o dowolym ozkładze. Dla tego modelu pobabltyczego logaytm fukc makymalego pawdopodobeńtwa ma potać []: (6) l L l l l Jeśl watość et z góy zaa ezmea to póbkę moża cetować t. pzyąć za ówą zeu e watość śedą. Wówcza moża utwozyć tatytykę o potac: (7) T l l l Ma oa makmum w okolcy zeczywte watośc puktu zmay. Dla ezaych a po watośc waac zeegu loowego pzed po zmae w algoytme moża zatoować ch chwlowe (a poteo) zacuk (8) Wówcza algoytm etymac puktu zmay ma potać []: (9) ag ma l l l w któym zacowaą watość oblcza ę dla całe póbk ze wzou (5). oeważ tatytyk (7) (9) e zależą od ych paametów to otzymae wyk moża toować do epaametyczego zacowaa puktu zmay waac RZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN -97 R. 9 NR /5

3 ekwec loowe o dowolym ozkładze. Jedakże podobe ak pzy ocee śede epaametycze algoytmy tacą woą optymalość. Ozacza to że uzyka ę dokładość zacze mezą ż dla ozacowaa optymalego. Dlatego też poże ozpatzy ę owe welomaowe algoytmy do etopektywe ocey puktu zma w e-gauowkm zeegu loowym. Ogóly algoytm welomaowe metody etymac puktu zmay paametu Metodą MMW [] dla ozmezczoych ówomee w wyku póbkowaa elemetów póbk moża zaleźć ozacowae dowolego paametu ozwązuąc ówae tochatycze o potac () h w któym: - topeń welomau użytego do zacowaa paametów; h - wpółczyk - teoetycze momety początkowe -tego zędu. Wpółczyk h dla... zadue ę ozwązuąc układ ówań algebaczych lowych (dla daego topa welomau ) otzymay z wauku mmum waac dla pozukwaego ozacowaa paametu p. () h F d gdze: F -cetowae koelaty o wymaze. Układ ówań () ozwązue ę metodą Kamea: h dla det - weloma tochatyczy gdze: F o wymaze ; - wyzaczk otzymae po zamae w kolumy a kolumę wyazów wolych układu (). oże popoue ę zatoowau metody MMW do ozacowaa w tybe a poteo puktu zmay paametu ygału loowego. W tym celu wykozytue ę właścwośc welomaów tochatyczych o potac: () l k k gdze (a) k h d a (b) k h d dla... a Watość oczekwaa El d fukc od oąga makmum w pukce zeczywte watośc tego paametu. Jeśl węc zeczywta watość paametu z pewego a b będze makymalzować weloma pzedzału tochatyczy o potac () to aby zaleźć watość paametu pzy któe wytępue zabuzee (agła zmaa watośc z a ). twozy ę weloma tochatyczy () k k k k Ma o makmum w poblżu pawdzwe watośc puktu zmay. Tak węc ogóly algoytm dla pozukwaa ozacowaa puktu zmay pzy zatoowau metody MMW ma potać: (5) ag ma Welomaowa etymaca puktu zmay watośc śede Ozacowae śede metodą makymalego pawdopodobeńtwa (MM) z zatoowaem welomau topa pokywa ę z lowym ozacowaem MM wg wzou () []. Stąd yteza welomaowych algoytmów do ozacowaa puktu zma tego paametu ma zaczee edye w pzypadku top. Dla topa welomau ozacowae śede zadue ę popzez ozwązywae ówaa kwadatowego o potac: (6). gdze: / - wpółczyk aymet / - wpółczyk kutozy l - momet cetaly zędu l. Z (6) wyka że a oceę dodatkowo wpływaą wpółczyk: aymet kutozy. Dla obu tych wpółczyków ówych zeu (ak dla ozkładu Gaua) ozacowae wg welomau (6) degeeue ę do ozacowaa klayczego wg (). W [] wykazao że pzy zatoowau ówaa (6) uzykue ę wękzą dokładość ozacowaa (7) g gdze: g - wpółczyk zmezea waac w touku do ozacowaa wg () dla gacy. Z () () wyka że weloma tochatyczy () o topu makymalzuą w poblżu pawdzwe watośc paametu atępuące wpółczyk: (8) k 6 6 k k. 6 gdze W [] wykazao że dla fomac a po o watośc śede pzed puktem zmay po tym pukce RZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN -97 R. 9 NR /5

4 RZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN -97 R. 9 NR /5 5 oaz pzy wauku tatytyka () dla topa welomau ma potać (9) zy baku fomac a po o watoścach śedch w welomaowe ocee puktu zmay (ak w klayczym pzypadku) moża ezae watośc tych paametów zatąpć ozacowaam o potac (). Twozy ę e dla każdego potecalego puktu zmay. Wówcza algoytm adaptacyy dla ozacowaa puktu zmay opaty a metodze MMW dla topa moża pzedtawć ako: (). ma ag Aalza tuktuy welomaów tatytyk (9) () po az koley potwedza że wykozytae metody MM dla topa welomau et celowe tylko pzy aymet ( ) fukc ozkładu daych. Welomaowa etymaca puktu zmay waac W [] wykazao że ozacowae waac metodą makymlzac welomau MMW uzykue ę tylko dla topa welomau. Dla welomaowe ozacowae tego paametu (pzy ) ma potać () Z () wyka że dodatkowym paametem któy ma wpływ a oceę et edye wpółczyk aymet. Dla ego watośc ówe zeu (ymeta DF) ozacowae welomaowe () degeeue ę do klayczego (5). W [] wykazao że w pzypadku aymptotyczym wykozytae () dae wzot dokładośc (zmezee waac etymac). Uzykue ę watość poówywalą ak dla ocey (5) opaą w (7) ako g. Z (9) (ab) wyka że w poblżu pawdzwe watośc tochatyczy weloma dla topa o potac () makymalzuą wpółczyk: () l k k k. Nezależe od wyażee ) ( wytąp w maowku każdego kładka () pzy twozeu potzebe tatytyk moża ego e uwzględać. Tak węc pzy teu fomac a po o watośc waac pzed zmaą po zmae tatytykę welomaowa () zędu ma potać: () l l Wykazao też [] że dla zaych a po watośc waac zeegu loowego potac () odpowada a wygodeza w oblczeach tatytyka: () l l zy ezaych a po watoścach waac zeegu loowego w welomaowym ozacowau puktu zmay zatępue ę te waace ozacowaam uzykaym apoteo o potac (5). Twozy ę to dla każdego potecale możlwego puktu zmay. Jeśl a pzykład ezaa a po et tylko watość waac po zmae to algoytm ozacowaa puktu zmay ma potać: (5) l l ma ag Gdy e ą zae a po watośc obu paametów pzed zmaą po to algoytm dla ma potać: (6) l l ) ( ma ag Aalza tuktuy welomaowych tatytyk () - (6) po az koley potwedza że wykozytywae metody MMW dla welomau topa ma e gdy wpółczyk aymet ozkładu daych tatytyczych.

5 Statytycze modelowae ozacowaa a poteo puktu zmay Na podtawe wyków powyżze aalzy opacowao w śodowku pogamowym MATLAB paket opogamowaa do modelowaa tatytyczego popoowaych empaametyczych pocedu etymac puktu zmay watośc śede lub waac e-gauowkch zeegów loowych. aket te umożlwa modelowae tatytyczych ekpeymetów zaówo poedyczych ak welokotych według metody Mote Calo aby moża było poówać oblczeowo dokładość algoytmów klayczych popoowaych algoytmów welomaowych. Na yuku b pzedtawoo wyk edego z modelowań poceduy etymac puktu zmay śede ( ) w e-gauowkm zeegu loowym o paametach 5 (y.a). Jako pzykład a yukach podao watośc G otzymae z modelowaa tatytyczego zeegu pzy m powtózeach póbek o daych. Chaakteyzuą oe uzykae metodą MMW zmezee oce puktu zmay waac welomau topa w touku do otzymywaych metodą klayczą. a) а) b) Ry - zykład zacowaa a poteo puktu zmay watośc śede. W poceduze te zatoowao klayczą weę algoytmu () do ozacowaa a poteo metodą MM (odpowadaącą MMW dla ) algoytm welomaowy () MMW pzy (y.b). odae wyk wykazuą wzuale że dla tatytyk welomaowe topa uzykue ę potecale wyżzą dokładość poeważ ma oa otzezy wezchołek w poówau do "ozmytego" makmum tatytyk dla (la pzeywaa a y b). Wyk poedyczego ekpeymetu e wytaczaą edak do w peł waygodego poówywaa dokładośc algoytmów ocey tatytycze. W tym pzypadku ako kyteum do poówywaa kuteczośc może być touek waac ozacowań puktu zmay zabuzeń otzymywaych pzy dośwadczeach powtazaych welokote dla tych amych watośc początkowych paametów modelu. Teoetycze a wyk modelowaa tatytyczego algoytmów do etymac a poteo puktu zmay paametu może wpływać wele czyków w tym: względa watość zmay paametu właścwośc pobabltycze (wpółczyk kumulatów wyżzych zędów) póbk z e-gauowkego zeegu loowego zake dotępych a po fomac o watoścach zma paametów. oadto a dokładość zacowaa puktu zabuzea ma óweż wpływ lczość póbk a a dokładość wyzaczea waac oce - lczba ymulac m wykoaych metodą Mote Calo dla edakowych wauków początkowych. b) Ry. - Watośc dośwadczale wpółczyków edukc waac G dla oce puktu zmay śede: - - zae watośc śede - - zae watośc śede pzed zmaą - - ezae watośc śede. Ryuek a pzedtawa zależośc G od względe watośc zmay q uzykae dla óżych watośc wpółczyków aymet kutozy a yuek b - zależośc G od pzy q 5 dla óże welkośc fomac a po o watoścach śedch zeegów loowych pzed po pukce zmay. Ryuek a (a atępe toe) pzedtawa zależośc watośc G od watośc względe zmay waac D uzykae dla óżych watośc wpółczyków aymet kutozy. Zaś a yuku b podao zależośc G od (dla D ) otzymae dla óże zae a po fomac klku watośc zmeych paametów ozkładu. Aalza tych ych wyków dośwadczalych potwedza założee teoetycze o kuteczośc welomaowych ozacowań puktu zmay paametu w zeegu loowym. W tym pzypadku względy wzot dokładośc dla óżych waatów zadaa w pzyblżeu et podoby wyka z tea lub baku fomac a po o watoścach paametu podlegaącego zmae. 6 RZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN -97 R. 9 NR /5

6 Wzot dokładośc oce e zależy zacząco od względe welkośc zmay ale pzede wzytkm od topa e-gauowośc ozkładu daych wyażoego lczbowo pzez watośc bezwzględe wpółczyków kumulatów wyżzego zędu. а) b) Ry. - Dośwadczale watośc wpółczyków edukc waac oce puktu zmay waac: - - zae watośc śede - - zae watośc śede pzed zmaą - - ezae watośc śede. Wok Wyk wykoaych badań powadzą łącze do ogólego woku o potecale duże kuteczośc zatoowaa metody makymalzac welomau (MMW) do ytezy potych w ealzac adaptacyych algoytmów do zacowaa puktów zmay paametów w poceach tochatyczych o tatytykach e-gauowkch. Nowoścą o chaakteze aukowym et opacowae oygalego podeśca do twozea em-paametyczych algoytmów dla etymac w tybe apoteo puktu zmay paametów zeegu loowego z wykozytaem welomaów tochatyczych. Z welu możlwych keuków ozwou te metody powo ę uwzględć: zwękzee topa welomau tochatyczego dla uzykaa badze kuteczych ozwązań zagadea zwłazcza dla e-gauowkch zeegów loowych o ozkładach ymetyczych; aalzę wpływu dokładośc wyzaczaa paametów modelu e-gauowkego (tatytyk wyżzego zędu) a tablość algoytmów welomaowych dla zacowaa a poteo puktu zmay; ytezę welomaowych algoytmów do zacowaa puktu zmay ych paametów (wpółczyków ege koelac) oaz położea puktu ówoczee zmay klku paametów poceu (p. śede waac). zewdue ę że zaówo opaą tu metodę wykywaa apoteo puktu zmay paametu poceu tochatyczego ak metody w czae zeczywtym w tym polke badaa teoetycze [] będze moża wykozytać w opogamowau ytemów pomaowych do beżących badań paametów takch poceów []. LITERATURA. Che J. Gupta A. K. aametc tattcal chage pot aaly. Bkhaeue () p.7. Reeve J. Che X. L. Wag R. Lud ad Q. Lu. A evew ad compao of chage-pot detecto techque fo clmate data. Joual of Appled Meteoology ad Clmatology 6(6): 9 95 (7).. Wag Y. C. Wu Z. J B. Wag ad Y. Lag. No-paametc chage-pot method fo dffeetal gee epeo detecto. LoS ONE 6(5):e6 ().. Yamah K. Takeuch J. Wllam G. ad Mle. O-le uupeved outle detecto ug fte mtue wth dcoutg leag algothm. I oceedg of the Sth ACM SIGKDD Iteatoal Cofeece o Kowledge Dcovey ad Data Mg () p.. 5. Cotato S. Hla Ioa T. Rekao ad a At. Matoocota Chage ot Detecto Tme See Ug Hghe-Ode Stattc: A Heutc Appoach Mathematcal oblem Egeeg vol. Atcle ID 76 page (). 6. Lu S. Yamada M. Colle N. & Sugyama M. Chage-pot detecto tme-ee data by elatve dety-ato etmato. Neual Netwok vol. () p Lokacek T ad Klma K. A Ft Aval Idetfcato Sytem of Acoutc Emo (AE) Sgal by Mea of a Hghe-Ode Stattc Appoach. Meauemet Scece ad Techology Vol. 7 (6) p Yh-Ru Wag The gal chage-pot detecto ug the hghode tattc of log-lkelhood dffeece fucto oceedg of IEEE Iteatoal Cofeece o Acoutc Speech ad Sgal oceg ICASS (8). vol. o. p Bodky B. Dakhovky B. Nopaametc Method Chage- ot oblem. Kluwe Academc ublhe Dodecht the Nethelad (99).. Kucheko Y. olyomal aamete Etmato of Cloe to Gaua Radom vaable. Shake Velag Aache Gemay ().. Hkley D. Ifeece about the chage-pot а equece of adom vaable Bometka. v. 57 (97) o p. 7.. Кucheko Y.. Zaboloty S. V. olomalye ocek paametov luchaykh velchy. Chat II. Oceka paametov blkh k gauowkm luchayh velchy. Moogaphy of Chekay State Uvety of Techology ChITI Chekay ()..5 ( Rua). Noek K. Metody wykywaa puktu zmay pzy ogaczeach a kztałt alteatyw. aca doktoka. AGH. Koczyńk M. J. Waza Z. L.: opete of vtual tumet to o-le meauemet of otatoay pocee. oceedg (Abtact) of d Iteatoal Cofeece Maufactug ozań Uvety of Techology.98 Autozy: Doc. d ż. Seh W. Zabolot Chekak Nacoal Tekhchek UvetetCzekay Ukaa e-mal:zabolot@uk.et ; Doc.(em.) d ż. Zygmut L. Waza zemyłowy Itytut Automatyk omaów IA 86 Wazawa Al. Jeozolmke e-mal: zlw@op.pl RZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY ISSN -97 R. 9 NR /5 7