Przewodnik do ćwiczeń ze statystyki

Transkrypt

1 Przewodk do ćwczeń ze tatytyk Podtawowe defcje Próbka loowa, tatytycza Próbką loową jet ograczoy zbór oberwacj dokoay a pewej hpotetyczej lub realej zborowośc zwaej populacją. Waże jet, że oberwacje ą ezależe wzytke mają jedakową zaę wytąpea. Przy loowym wyborze daych z populacj, wartośc w poblżu średej powy pojawać ę częścej. Dokładość Im wękza dokładość, tym mejza różca wytępuje mędzy wartoścą prawdzwą średą wartoścą merzoą. W praktyce wartośc prawdzwej częto e zamy. Precyzja Im blżej względem ebe położoe ą wyk oberwacj, tym wękza jet precyzja pomarów (ozaczeń). Marą precyzj jet waracja lub odchylee tadardowe. Im mejza jet waracja tym bardzej precyzyje ą wyk aaltycze. precyzja dokładość Rozkład ormaly Najważejzym rozkładem w tatytyce jet rozkład ormaly Gaua-Laplace a. Jego fukcja gętośc prawdopodobeńtwa określoa dla wzytkch rzeczywtych wartośc wyraża ę wzorem: Fukcja rozkładu prawdopodobeńtwa fukcja p() określoa a pewym zborze X, taka, że X PX p p cągłej. p oraz dla zmeej loowej kokowej oraz f dla zmeej loowej Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa

2 f M e M ozacza wartość oczekwaą zmeej - to odchylee tadardowe zmeej. Grafcza prezetacja reguły 3σ Jedym z ważych twerdzeń opartym a założeu o rozkładze ormalym zmeej X jet tzw. reguła trzech gm. Mów oa, że realzacje zmeej loowej e będą ę różły ( plu a mu) od wartośc oczekwaej węcej ażel o trzy odchylea tadardowe, co opuje rówae: P M 3 X M Geerowae lczb loowych o zadaych rozkładach możlwe jet w Ecelu dzęk arzędzu aalzy daych Geerowae lczb peudoloowych. Podobe jak Htogram 3 (arzędze umożlwające grafcze przedtawee rozkładów), Statytyka opowa, Próbkowae e ależą do paketu Aaly Toolpak z dodatków Ecela. (patrz: zadaa do rozwązaa). Oblczae ektórych parametrów dla daych populacj lub próby op fukcj dotępych w programe Ecel: (Wtaw->Fukcje->Statytycze) Średa arytmetycza próbk 4 ŚREDNIA(zakre) Zmea loowa fukcja określoa a zborze zdarzeń elemetarych, przyporządkowująca każdemu zdarzeu elemetaremu pewą lczbę. Zmee loowe ozaczamy zazwyczaj dużym lteram X, Y, Z 3 Htogram grafcza metoda przedtawaa rozkładu zmeej loowej, czyl wykre, a którym prawdopodobeńtwa p k przedtawoe ą jako pola protokątów. 4 Na podtawe wartośc średej próbk wokujemy o wartośc średej populacj wartośc prawdzwej. W zwązku z powzechym wytępowaem błędów loowych wartość średej próbk praktycze e może być rówa wartośc prawdzwej. Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa

3 Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 3 Waracja 5 z próby WARIANCJA(zakre) Iy zap Waracja dla całej populacj 6 WARIANCJA.POPUL(zakre) Iy zap (wartość jet zaa) μ Odchylee tadardowe dla próby ODCH.STANDARDOWE(zakre) Iy zap Odchylee tadardowe dla populacj ODCH.STANDARD.POPUL(zakre) Iy zap (wartość jet zaa) μ Odchylee średe d ODCH.ŚREDNIE(zakre) 5 Waracja jet marą rozprozea wyków czy też precyzj. W zależośc od tego czy mamy do czyea z populacją, czy próbką. Warto zwrócć uwagę a fakt, że ze wzrotem różca pomędzy dwoma welkoścam mu zakać. 6 Populacja zbór elemetów, zborowość tatytycza, której pewe cechy ą badae za pomocą arzędz metod tatytyczych.

4 Odchylee kwadratowe, to aczej uma kwadratów odchyleń daych puktów od średej arytmetyczej z próby. d ODCH.KWADRATOWE(zakre) Błąd tadardowy (wartośc średej) S E =ODCH.STANDARDOWE(zakre)/PIERWIASTEK() Wyzukwae elemetu o ajwękzej ajmejzej wartośc MAX(zakre) MIN(zakre) Oblczae krotośc wytępowaa elemetów CZĘSTOŚĆ(tabela dae, tabela przedzały) Oblczee lośc daych w zborze ILE.LICZB(zakre) Oblczee elemetu wytępującego ajczęścej (mody, modalej, domaty) WYST.NAJCZĘŚCIEJ(zakre) Oblczae meday MEDIANA(zakre) Geerowae fukcj rozkładu ormalego ROZKŁAD.NORMALNY(zmea, średa, odch.tad, fukcja) gdze fukcja = 0, dla fukcj gętośc, dla dytrybuaty oblczoa fukcja rozkładu ormalego dla 0, 3,3 zotała umezczoa w komórkach B:B6 atępująco: {=ROZKŁAD.NORMALNY(A:A6;0;;0)} Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 4

5 Przedzały ufośc Ry. 5. Ilutracja P X Z / Są to przedzały, w których ezay parametr zajdze ę z zadawalającym prawdopodobeńtwem. Wraz ze wzrotem pozomu ufośc 7 zwękza ę rozpętość przedzału ufośc. Prawdopodobeńtwo zwązae z przedzałam ufośc azywa ę pozomem ufośc. Jet oo podawae w jedej z dwóch form: p lub p, gdze to pozom totośc (ryzyko błędu) Najczęścej określaym pozomem ufośc jet pozom dla (5%). Natomat z teoretyczego puktu wdzea pozom ufośc może być dowoly. Im mejze jet, tym przedzał ufośc będze wękzy. Spoób określaa przedzału ufośc zależy od welu czyków. Należą do ch rodzaj rozkładu, zae ezae parametry rozkładu lczebość próby. Model I W programe Ecel jet tylko jeda fukcja dotycząca określaa przedzału ufośc ( Z ) (gdze Z-jet oblczoą ufoścą) dla średej z populacj (podajemy a fukcja lczy ufość wykorzytując jak pokazao a ry. 5) dla rozkładu ormalego: UFNOŚĆ(alfa; odch.tadardowe; lczebość) Z Z - odchylee tadardowe dla populacj Z - jet wartoścą tatytyk odczytaą z tablc rozkładu ormalego, przy zadaym prawdopodobeńtwe w Ecelu moża wykorzytać fukcję ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(prawdopodobeńtwo) lczebość próby powa być wękza od 30 prawdopodobeńtwo podajemy. Korzytając z powyżzej fukcj dodatkowo ależy oblczyć średą arytmetyczą dla daych z próby, a wówcza otrzymamy lewy ( Z ) oraz prawy ( Z ) koec przedzału ufośc. Powyżze oblczea moża przeprowadzć gdy wartość średa dla populacj jet ezaa (oblczamy średą z daych) a odchylee tadardowe populacj jet zae). 7 Pozom ufośc prawdopodobeńtwo, z jakm wartość ezaego parametru ma ę zaleźć w zukaym przedzale ufośc p. Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 5

6 Model II Populacja geerala ma rozkład ormaly. Wartość średa oraz odchylee tadardowe w populacj ą ezae. A próba lczy mej ż 30 elemetów 30. Końce przedzału ufośc oblcza ę atępująco: Lewy koec przedzału ( t ), prawy ( t ), odchylee tadardowe z próby, P t t. t - ma rozkład t-tudeta o - topach wobody, atomat Wartość t oblcza ę za pomocą fukcj: ROZKŁAD.T.ODW(prawdopodobeńtwo; tope_wobody) Stope_wobody podtawamy -, prawdopodobeńtwo podajemy. Model III Populacja geerala ma rozkład dowoly. Wartość średa oraz odchylee tadardowe w populacj ą ezae. A próba lczy węcej ż 30 elemetów 30. Końce przedzału ufośc oblcza ę atępująco: Z Z - odchylee tadardowe dla próby Z - jet wartoścą tatytyk odczytaą z tablc rozkładu ormalego, przy zadaym prawdopodobeńtwe w Ecelu moża wykorzytać fukcję ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(prawdopodobeńtwo) - lczebość próby powa być wękza od 30 prawdopodobeńtwo podajemy. Błąd względy zacuku B Z 00% - średa oblczoa a potawe próby - odchylee tadardowe populacj geeralej, Z - wartość tadaryzowaej zmeej loowej rozkładu ormalego dla zadaego wpółczyka ufośc, lczebość badaej próby ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(prawdopodobeńtwo) Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 6

7 Błąd makymaly zacuku wartośc średej t d - odchylee tadardowe z próby, t - wartość zmeej loowej rozkładu t-studeta dla zadaego wpółczyka ufośc - top wobody, ROZKŁAD.T.ODW(prawdopodobeńtwo; tope_wobody) lczebość badaej próby Lczebość próby Z N d - odchylee tadardowe populacj geeralej, Z - wartość tadaryzowaej zmeej loowej rozkładu ormalego dla zadaego wpółczyka ufośc, ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(prawdopodobeńtwo) d makymaly błąd zacuku średej. Tet a wykryce błędu grubego Błąd gruby objawa ę teem jedego wyku zacząco odtającego od pozotałych uzykaych w daej er pomarów. Źródłem tego błędu może być eoczekwae zaburzee układu pomarowego lub czyto ludzka pomyłka (p. podcza zapywaa daej). Błęda decyzja o pozotaweu lub odrzuceu tego rezultatu ( podejrzaego pomaru ) będze mała egatywy wpływ a końcową wartość średej. Dlatego moża połużyć ę odpowedm tetem tatytyczym p. tetem Doa, aby a gruce tatytyk utalć czy podejrzay wyk ależy, czy też e, do tego amego rozkładu ormalego co pozotałe rezultaty. Przed wykoaem tetu ależy uporządkować zbór wyków według wzratających wartośc: Błędem grubym może być obarczoa albo ajwękza ( ), albo ajmejza wartość ( ) w próbce. Natępe oblcza ę wartośc parametrów m ma w zależośc od lczby wykoaych pomarów według wzorów:. dla 3, 7 m oraz ma. dla 8, 3. dla 3, 40 m m 3 oraz oraz ma ma 3 Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 7

8 Natępym krokem jet wybrae do dalzych oblczeń parametru m (jeśl m ma ozacza to, że epewym pomarem jet ) lub ma (jeśl ma m, dla podejrzaego ). Z tabel odczytuje ę wartość parametru kryt dla odpowedej lczby pomarów porówuje ę ją z wybraą wartoścą ma lub m. Jeżel kryt ma to podejrzay ależy pozotawć, jeśl kryt ma to ależy odrzucć, albo wykoać dodatkowe pomary poowe przeprowadzć oblczea od początku dla wzytkch pomarów. Jeżel kryt m to podejrzay ależy pozotawć, jeśl kryt m to ależy odrzucć, albo wykoać dodatkowe pomary poowe przeprowadzć oblczea od początku dla wzytkch pomarów. Tabela. Lczba pomarów () Wartość krytycza parametru Lczba pomarów () Wartość krytycza parametru 95% 99% 95% 99% Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 8

9 Dodatek Przykłady zatoowaa oblczeń tatytyczych zawartych w pakece Dae -> Aalza daych -> Geerowae lczb peudoloowych, Statytyka opowa oraz Htogram Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 9

10 W wydruku oblczoym za pomocą paketu Statytyka opowa pojawają ę dodatkowe pojęca take jak: Tryb oblcza wartość modalą odp. fukcj WYST.NAJCZĘŚCIEJ() Kurtoza jet cechą rozkładu ymetryczego, ale dalekego od ormalego wzorca, gdy jet bardzej wymukły lub bardzej płak ż prawdzwa krzywa ormala. Skośość kośe rozkłady mają wartośc, których czętośc kupają ę z jedej troy rozcągają ę z drugej. Dokoała krzywa rozkładu ormalego ma kośość rówą 0. Lewotroa kośość ma wartość dodatą, a prawotroa - ujemą. Lteratura. Regel W.: Ćwczea z podtaw tatytyk w Ecelu, Mkom, Warzawa Obecy A.: Statytyka matematycza w Ecelu dla zkól ćwczea praktycze, Helo, Glwce Hyk W., Strojek Z.: Aalza tatytycza w laboratorum aaltyczym, WCh UW, Warzawa 006. Wydzał Chem UWr, Ćwczea z formatyk I rok, oprac. Władyław Wrzezcz Stroa 0