WIELOSTANOWE PODEJ CIE DO ANALIZY BEZPIECZE STWA SYSTEMÓW

Transkrypt

1 DIAGNOSTYKA 2 (38)/2006 KO OWROCKI, Welotaowe podej ce do aalzy bezpecze twa ytemów 135 WIELOSTANOWE PODEJ CIE DO ANALIZY BEZPIECZE STWA SYSTEMÓW Krzyztof KO OWROCKI Akadema Morka w Gdy Gdya, Morka 81-87, e-mal: katmatkk@am.gdya.pl Strezczee Zapropoowae jet welotaowe podej ce do zdefowaa podtawowych poj aalzy dagozowaa bezpecze twa ytemów. Zdefowae fukcja bezpecze twa ytemu fukcja ryzyka ytemu. Zdefowae podtawowe truktury welotaowych ytemów elemetów z pogarzaj cym taam bezpecze twa. Dla tych ytemów wyzaczoe fukcje bezpecze twa. Propoowae podej ce jet zatoowae do ocey fukcj bezpecze twa, fukcj ryzyka oraz ych charakterytyk bezpecze twa ytemu traportu ruroc gowego, kabla eergetyczego oraz ly talowej. S owa kluczowe: bezpecze two ytemów, ytemy welotaowe, dagotyka. MULTI-STATE APPROACH TO SYSTEM SAFETY ANALYSIS Summary A mult-tate approach to defg bac oto of the ytem afety aaly ad dago propoed. A ytem afety fucto ad a ytem rk fucto are defed. Bac afety tructure of mult-tate ytem of compoet wth degradg afety tate are defed. For thee ytem the multtate afety fucto are determed. The propoed approach appled to the evaluato of afety fucto, rk fucto ad other afety charactertc of a ppg traportato ytem, a eergetc cable ad a teel rope. Keyword: ytem afety, mult-tate ytem, dagotc. 1. WPROWADZENIE Z uwag a bezpecze two oraz efektywo ekploatacj ytemów techczych podcza aalzy dagotyczej wkazaym jet odej ce od dwutaowego modelu ch bezpecze twa. Przyj ce za o ea, e oe welotaowym ytemam tarzej cym z powodu pogarzaj cych w czae taów techczych ch elemetów jet podtaw do bardzej dok adej aalzy dagozowaa proceu ekploatacj tych ytemów. Za o ee to pozwala a wyró ee progowego tau krytyczego ytemu, którego przekroczee jet ebezpecze dla otoczea lub te e zapewa odpowedego pozomu efektywo c ekploatacj tego ytemu. Wtedy podtawow charakterytyk bezpecze twa ytemu taje rozk ad czau do przekroczea tau progowego zway fukcj ryzyka ytemu. Rozk ad te jet c le wyzaczoy przez welotaow fukcj bezpecze twa ytemu. Wyzaczae fukcj bezpecze twa oraz fukcj ryzyka du ych ytemów a podtawe fukcj bezpecze twa ch elemetów jet podtawowym zadaem badawczym. Temu zagadeu po w coa jet praca, z odeeem do podtawowych truktur bezpecze twa ytemów techczych. 2. POJ CIA PODSTAWOWE W celu wprowadzea welotaowego podej ca do aalzy bezpecze twa ytemów elemetów z pogarzaj cym taam bezpecze twa, podobe jak w przypadku badaa ezawodo c tego typu ytemów welotaowych ([1], [2], [3]), przyjmujemy, e: - E, = 1,2,...,, elemetam ytemu, - wzytke rozwa ae elemety oraz ytem maj zbór taów bezpecze twa {0,1,...,z}, z 1, - tay uporz dkowae, 0 jet taem ajgorzym atomat ta z jet ajlepzym, - T ( ezale ym zmeym loowym reprezetuj cym czay przebywaa elemetów E w podzborze taów {u,u+1,...,z}, podcza gdy elemety te w chwl t = 0 zajdowa y w tae z, - T( jet zme loow reprezetuj c cza przebywaa ytemu w podzborze taów {u,u+1,...,z}, podcza gdy w chwl t = 0 ytem te zajdowa w tae z, - tay bezpecze twa ytemu oraz elemetów pogarzaj wraz z up ywem czau - E (t) jet taem elemetu E w chwl t (-, ), podcza gdy elemet te w chwl t = 0 zajdowa w tae z,

2 1 DIAGNOSTYKA 2 (38)/2006 KO OWROCKI, Welotaowe podej ce do aalzy bezpecze twa ytemów - S(t) jet taem ytemu w chwl t (-, ), podcza gdy ytem w chwl t = 0 zajdowa w tae z. Powy ze za o ea ozaczaj, e tay bezpecze twa elemetów ytemu mog zmea w czae tylko od lepzych do gorzych. Spoób, w jak zmeaj tay bezpecze twa elemetów ytemu zlutroway jet a ry. 1. przej ca ta ajgorzy ta ajlepzy Ry. 1. Zmay podzborów taów bezpecze twa Defcja 1. Wektor (t, ) = [ (0), (1),..., (z)] dla t (-, ), = 1,2,...,, ( = P(E (t) u E (0) = z) = P(T ( > t) (1) dla t (-, ), u = 0,1,...,z, jet prawdopodobe twem tego, e elemet E w chwl t (-, ), zajduje w jedym ze taów podzboru {u,u+1,...,z}, podcza gdy w chwl t = 0 zajdowa w tae z, azywamy welotaow fukcj bezpecze twa elemetu E. Przy tej defcj oczywta jet at puj ca w ao k adowych welotaowych fukcj bezpecze twa elemetów (0) (1)... (z) dla t (-, ), = 1,2,...,. Je l p (t) = [p (0), p (1),..., p (z)] dla t (-, ), = 1,2,...,, u-1 u... z-1 z. p ( = P(E (t) = u E (0) = z) dla t (-, ), u = 0,1,...,z, jet prawdopodobe twem tego, e elemet E w chwl t zajduje w tae u, podcza gdy w chwl t = 0 zajdowa w tae z, to wobec (1) (0) = 1, (z) = p (z) (2) dla t (-, ), = 1,2,...,, oraz a poadto dla u = 1,2,...,z, = 1,2,...,, m ( = ( dt (4) 0 jet warto c oczekwa ( red ) czau przebywaa elemetu E w podzborze taów {u,u+1,...,z}, ( ( [ m ( ] (5) dla u = 1,2,...,z, = 1,2,...,, 0 dla u = 1,2,...,z, = 1,2,...,, ( 2 t ( dt (6) jet odchyleem tadardowym czau przebywaa elemetu E w podzborze taów {u,u+1,...,z} oraz m ( p ( d u = 1,2,...,z, = 1,2,...,, (7) 0 jet warto c oczekwa czau przebywaa elemetu E w tae u, w przypadku gdy ca k okre loe wzoram (4), (6) oraz (7) tej. Wtedy, zgode z (2), (3), (4) oraz (7), mamy m ( m ( m ( u 1), u = 1,2,...,z-1, m ( z) m ( z), = 1,2,...,. (8) Defcja 2. Wektor (t, ) = [ (0), (1),..., (z)], t (-, ), ( = P(S(t) u S(0) = z) = P(T( > t) (9) dla t (-, ), u = 0,1,...,z, jet prawdopodobe twem tego, e ytem w chwl t (-, ), zajduje w podzborze taów {u,u+1,...,z}, podcza gdy w chwl t = 0 zajdowa w tae z, azywamy welotaow fukcj bezpecze twa ytemu. Przy tej defcj prawdzwa jet at puj ca w ao k adowych welotaowej fukcj bezpecze twa ytemu (0) (1)... (z), t (-, ). 2 p ( = ( - (u+1) (3) dla u = 0,1,...,z -1, t (-, ), =1,2,...,,

3 DIAGNOSTYKA 2 (38)/2006 KO OWROCKI, Welotaowe podej ce do aalzy bezpecze twa ytemów 137 Je l p(t) = [p(0), p(1),..., p(z)], t (-, ), w tae z, azywamy fukcj ryzyka ytemu lub krótko ryzykem. Przy tej defcj, uwzgl daj c (9), mamy p( = P(S(t) = u S(0) = z) dla t (-, ), u = 0,1,...,z, jet prawdopodobe twem tego, e ytem w chwl t zajduje w tae u, podcza gdy w chwl t = 0 zajdowa w tae z, to wobec (9) mamy oraz (0) = 1, (z) = p(z), t (-, ), (11) p( = ( - (u+1) (12) dla u = 0,1,...,z-1, t (-, ). Poadto m( = 0 (d u = 1,2,...,z, (13) jet redm czaem przebywaa ytemu w podzborze taów {u,u+1,...,z}, 2 ( ( [ m( ], u = 1,2,...,z, (14) 0 ( 2 t (d u = 1,2,...,z, (15) jet odchyleem tadardowym czau przebywaa ytemu w podzborze taów {u,u+1,...,z} oraz m ( p( d u = 1,2,...,z, (16) 0 jet redm czaem przebywaa ytemu w tae u, w przypadku gdy ca k (13), (15) (16) tej. Wtedy, zgode z (11), (12), (13) (16), mamy m ( m( m( u 1), u = 1,2,...,z-1, m( z) m( z). (17) Defcja 3. Prawdopodobe two r(t) = P(S(t) < r S(0) = z) = P(T(r) t), t (-, ), tego, e ytem w chwl t zajduje w podzborze taów bezpecze twa gorzych ta krytyczy r, r {1,...,z}, podcza gdy w chwl t = 0 zajdowa r(t) = 1 - P(S(t) r S(0) = z) = 1 - (r) (18) dla t (-, ). Poadto, je l jet chwl, w której ryzyko przekroczy pewe dopuzczaly pozom, <0,1>, to = r -1 ( ), (19) r 1 (t), je l teje, jet fukcj odwrot fukcj ryzyka r(t). 2. PODSTAWOWE STRUKTURY BEZPIECZE STWA SYSTEMÓW Defcja 4. Sytem welotaowy azywamy ytemem zeregowym, je l zajduje w podzborze taów {u,u+1,...,z} wtedy tylko wtedy, gdy wzytke jego elemety zajduj w tym podzborze taów. Woek 1. Cza T( przebywaa welotaowego ytemu zeregowego w podzborze taów {u,u+1,...,z} okre loy jet T( = m{ ( }, u = 1,2,...,z. T 1 Woek 2. Fukcja bezpecze twa welotaowego ytemu zeregowego okre loa jet (t, ) = [1, (1),..., (z) ], (20) ( = (, t (-, ), u = 1,2,...,z. (21) 1 Defcja 5. Welotaowy ytem zeregowy azywamy jedorodym, je l czay T ( przebywaa jego elemetów w podzborach taów {u,u+1,...,z} maj detycz dytrybuat F ( = F(, u = 1,2,...,z, t (-, ), = 1,2,...,, tz. je l jego elemety E maj t am fukcj bezpecze twa, czyl gdy ( = ( = 1 - F(, t (-, ), dla u = 1,2,...,z, = 1,2,...,. Woek 3. Fukcja bezpecze twa jedorodego welotaowego ytemu zeregowego okre loa jet

4 138 DIAGNOSTYKA 2 (38)/2006 KO OWROCKI, Welotaowe podej ce do aalzy bezpecze twa ytemów (t, ) = [1, (1),..., (z) ], (22) ( = [(] (23) dla t (-, ), u = 1,2,...,z. Woek 4. Je l elemety jedorodego welotaowego ytemu zeregowego maj wyk adcz fukcj bezpecze twa, tz., gdy (t, ) = [1, (1),..., (z)], ( 1 ( exp[ ( ( 0 dla u = 1,2,...,z, to jego fukcja bezpecze twa okre loa jet (t, ) = [1, (1),..., (z)], (24) ( = 1, t 0, ( = exp[ ( (25) dla u = 1,2,...,z. Defcja 6. Sytem welotaowy azywamy ytemem rówoleg ym, je l zajduje w podzborze taów {u,u+1,...,z} wtedy tylko wtedy gdy co ajmej jede z jego elemetów zajduje w tym podzborze taów. Woek 5. Cza T( przebywaa welotaowego ytemu rówoleg ego w podzborze taów {u,u+1,...,z} okre loy jet T( = max{ ( }, u = 1,2,...,z. T 1 Woek 6. Fukcja bezpecze twa welotaowego ytemu rówoleg ego okre loa jet (t, ) = [1, (1),..., (z)], (26) ( = 1 - F (, t (-, ), u = 1,2,...,z. (27) 1 Defcja 7. Welotaowy ytem rówoleg y azywamy jedorodym, je l czay T ( przebywaa jego elemetów w podzborach taów {u,u+1,...,z}maj detycz dytrybuat F ( = F(, u = 0,1,...,z, t (-, ), = 1,2,...,, tz. je l jego elemety E maj t am fukcj bezpecze twa, czyl gdy ( = ( = 1 - F(, t (-, ), dla u = 0,1,...,z, = 1,2,...,. Woek 7. Fukcja bezpecze twa jedorodego welotaowego ytemu rówoleg ego okre loa jet (t, ) = [1, (1),..., (z)], (28) ( = 1 - [1-(], t (-, ), u = 1,2,...,z. (29) Woek 8. Je l elemety jedorodego welotaowego ytemu rówoleg ego maj wyk adcz fukcj bezpecze twa, tz., gdy (t, ) = [1, (1),..., (z)], ( 1 ( exp[ ( ( 0 dla u = 1,2,...,z, to jego fukcja bezpecze twa okre loa jet (t, ) = [1, (1),..., (z)], (30) ( = 1 ( = 1 - [ 1 exp[ ( u ) ] (31) dla u = 1,2,...,z. Defcja 8. Sytem welotaowy azywamy ytemem progowym m z, je l zajduje w podzborze taów {u,u+1,...,z} wtedy tylko wtedy gdy co ajmej m z jego elemetów zajduje w tym podzborze taów. Woek 9. Cza T( przebywaa welotaowego ytemu progowego m z w podzborze taów {u,u+1,...,z} okre loy jet T( = T ), m = 1,2,...,, u = 1,2,...,z, ( m 1)( u

5 DIAGNOSTYKA 2 (38)/2006 KO OWROCKI, Welotaowe podej ce do aalzy bezpecze twa ytemów 139 T( m 1)( jet m-t makymal tatytyk pozycyj w c gu zmeych loowych T 1 (, T 2 (,..., T (. Woek 10. Fukcja bezpecze twa welotaowego ytemu progowego okre loa jet (t, ) = [1, 1 (1),..., (z)], (32) ( t, 1 [ ( ] [1 ( ] (33) r1, r2,..., r 0 r1 r2... r m 1 dla t (-, ), u = 1,2,...,z, lub (t, ) = [1, 1 r 1 r (1),..., (z)], (34) ( t, [1 ( ] [ ( ] (35) r1, r2,..., r 0 r1 r2... r m dla t (-, ), u = 1,2,...,z. r 1 r Defcja 11. Welotaowy ytem progowy azywamy jedorodym, je l czay T ( przebywaa jego elemetów w podzborach taów {u,u+1,...,z} maj detycz dytrybuat F ( = F(, u = 0,1,...,z, t (-, ), = 1,2,...,, tz. je l jego elemety E maj t am fukcj bezpecze twa, czyl gdy ( = ( = 1 - F(, t (-, ), dla u = 0,1,...,z, = 1,2,...,. Woek 8. Fukcja bezpecze twa jedorodego welotaowego ytemu progowego okre loa jet (t, ) = [1, m 1 (1),..., (z)], () ( t, 1 [ ( ] [1 ( ] (37) 0 dla t (-, ), u = 1,2,...,z, lub (t, ) = [1, (1),..., (z)], (38) m 0 ( [1 ( ] [ ( ] (39) dla t (-, ), u = 1,2,...,z. Woek 12. Je l elemety jedorodego welotaowego ytemu progowego maj wyk adcz fukcj bezpecze twa, tz., gdy (t, ) = [1, (1),..., (z)], ( 1 ( exp[ ( ( 0 dla u = 1,2,...,z, to jego fukcja bezpecze twa okre loa jet (t, ) = [1, ( 1 m 1 0 ( 1 u = 1,2,...,z, lub (1),..., (z)], (40) exp[ ( [1 exp[ ( ] (41) (t, ) = [1, ( 1 m 0 ( u = 1,2,...,z. (1),..., (z)], (42) [ 1 exp[ ( ] exp[ ( ) ( (43) Podobe defuje aalzuje e welotaowe truktury bezpecze twa ytemów. 4. ZASTOSOWANIA Przyk ad 1. (ytem traportu ruroc gowego) Sytem ruroc gowy jet zbudoway z = 80 p cotaowych (z = 4) egmetów rur. Segmety rur wyt puj ce w yteme czterech at puj cych typów:

6 140 DIAGNOSTYKA 2 (38)/2006 KO OWROCKI, Welotaowe podej ce do aalzy bezpecze twa ytemów 20 egmetów poada welotaowe wyk adcze fukcje bezpecze twa (t, ) = [1, (1), (2), (3), (4)], 1,2,...,20, o k adowch (1) = exp[ 0.01, (2) = exp[ , (3) = exp[ 0.015, (4) = exp[ 0.025, 1,2,...,20, 20 egmetów poada welotaowe wyk adcze fukcje bezpecze twa (t, ) = [1, (1), (2), (3), (4)], 21,22,...,40, o k adowch (1) = exp[ 0.018, (2) = exp[ 0.019, (3) = exp[ 0.020, (4) = exp[ 0.023, 21,22,...,40, 10 egmetów poada welotaowe webullowke fukcje bezpecze twa (t, ) = [1, (1), (2), (3), (4)], 41,42,...,50, o k adowych (1) = exp[ t 2 ], (2) = exp[ t 2 ], (3) = exp[ t 2 ], (4) = exp[ t 2 ], 41,42,...,50, 30 egmetów poada welotaowe webullowke fukcje bezpecze twa (t, ) = [1, (1), (2), (3), (4)], 51,52,...,80, o k adowych (1) = exp[ t 3 ], (2) = exp[ t 3 ], (3) = exp[ t 3 ], (4) = exp[ t 3 ], 51,52,...,80, rede czay przebywaa w podzborach taów, lczoe w latach, przyk adowo dla egmetów rur typu drugego, po zatoowau wzoru (4), odpowedo wyoz : m 2 (1) = 1/0.018 = 55.56, m 2 (2) = 1/0.019 = 52.63, m 2 (3) = 1/0.020 = 50.00, m 2 (4) = 1/0.023 = 43.48, atomat ch rede czay przebywaa w pozczególych taach, wobec (8), odpowedo wyoz : m 2 (1) = 2.93, m 2 (2 ) = 2.63, m 2 (3) = 6.52, m 2 (4 ) = Zgode z Defcj 4, rozwa ay ytem jet ejedorodym welotaowym ytemem zeregowym. Zatem, wobec (20) (21), otrzymujemy at puj cy wzór a fukcj bezpecze twa tego ytemu 80 ( t, ) = [1, 80 (1), 80 (2), 80 (3), 80 (4) ], 80 (1) = exp[ 0.2t 0.t 0.005t t 3 ], 80 (2) = exp[ 0.24t 0.38t 0.006t t 3 ], 80 (3) = exp[ 0.3t 0.4t 0.01t t 3 ], 80 (4) = exp[ 0.5t 0.46t 0.015t t 3 ] dla t 0. Oczekwae rede czay przebywaa ytemu ruroc gu w pozczególych taach, po zatoowau powy zego wyku, wzoru (13) oraz przybl oego ca kowaa, przyjmuj at puj ce warto c: m(1) 1.79, m(2) 1.61, m(3) 1.43, m(4) 1.04, a at pe, a podtawe wzoru (17), rede czay przebywaa ytemu w pozczególych taach przyjmuj warto c: m(1) 0.18, m(2) 0.18, m(3) 0.39, m(4) Je l za o ymy, e krytyczym taem bezpecze twa jet ta r = 2, to fukcja ryzyka ytemu, a podtawe wzoru (18), przyjmuje pota r(t) = 1 exp[ 0.24t 0.38t 0.006t t 3 ] dla t 0. St d, po zatoowau wzoru (19), otrzymujemy, e

7 DIAGNOSTYKA 2 (38)/2006 KO OWROCKI, Welotaowe podej ce do aalzy bezpecze twa ytemów 141 chwl przekroczea przez fukcj ryzyka ytemu dozwoloego pozomu, p. = 0.05, jet = r 1 ( ) roku. Przyk ad 2. (ytem kabla eergetyczego) Przyjmjmy, e kabel eergetyczy zbudoway jet z detyczych drutów mo e przewodz pr d, gdy co ajmej jede z drutów przewodz pr d. Za o ee to, wobec Defcj 7, ozacza, e jet to jedorody ytem rówoleg y zbudoway z = elemetów. Przyjmuj c dalej, e pozczególe druty elemetam czterotaowym ( z 3) poadaj cym webullowke fukcje bezpecze twa (t, ) = [1, (1), (2), (3)], 1,2,...,, których k adowe ( u (t, u ) = exp[ ( ) t ] u = 1,2,3, maj parametry ( = 2, ( = (7.07) 2u 8, u = 1,2,3, po zatoowau Woku 5, otrzymujemy at puj cy wzór a fukcj bezpecze twa kabla [ (0), (1), (2), (3)] = [1, 1 [1 exp[ 2t ]], 1 [1 exp[ 2t dla t ]] 0.02, 1 [1 exp[ 2t ]] ] rede warto c czaów przebywaa kabla eergetyczego w podzborach taów, po zatoowau wzoru (13) oraz przybl oego ca kowaa, przyjmuj at puj ce warto c: m(1) 723, m(2) 102, m(3) 14.5, (1) 120, (2) 17, (3) 2.4, podcza, gdy rede czay przebywaa tego ytemu w pozczególych taach, a podtawe wzoru (17), przyjmuj warto c: St d, po zatoowau wzoru (19), otrzymujemy, e chwl przekroczea przez fukcj ryzyka ytemu dozwoloego pozomu, p. = 0.05, jet 1 = [log[ log(1 2 1/ )] 1/ = 80 me cy. Warto c fukcj ryzyka ytemu kabla eergetyczego dae w Tablcy 1. Tablca 1. Warto c fukcj ryzyka ytemu kabla eergetyczego t r(t) Przyk ad 3. (ytem ly talowej) Rozwa my l talow k adaj c z = czterotaowych ( z 3) detyczych plotek maj cych welotaowe wyk adcze fukcje bezpecze twa (t, ) = [1, (1), (2), (3)], 1,2,...,, których k adowe (t, u ) = exp[ ( u ) u = 1,2,3, charakteryzuj at puj cym teywo cam przej pom dzy podzboram taów ( = 0.2u/rok, u = 1,2,3. Przekrój poprzeczy ly talowej przedtawoy jet a ry. 2. m (1) 621, m (2) 87.5, m (3) Je l krytyczym taem jet ta r = 2, to fukcja ryzyka ytemu, a podtawe wzoru (18), przyjmuje pota r(t) = [ 1 exp[ 2t ]] dla t 0. Ry. 2. Przekrój poprzeczy ly talowej

8 142 DIAGNOSTYKA 2 (38)/2006 KO OWROCKI, Welotaowe podej ce do aalzy bezpecze twa ytemów Przyjmuj c, e la zajduje w podzborze taów { u, u 1,..., z}, je l przyajmej m = 10 po ród jej plotek zajduje w tym podzborze taów, zgode z Defcj 9, wokujemy, e jet oa czterotaowym jedorodym ytemem progowym 10 z. Wtedy, zgode ze wzoram (40) (41), fukcja bezpecze twa ly daa jet ( t, ) = [1, ( t,1), ( t,2), ( t,3) ], oraz (,1) u ( t, ) = 1 dla t < 0, u = 1,2,3, 9 t = 1 exp[ 0.2[1 exp[ 0.2], (,2) 0 9 t = 1 exp[ 0.4[1 exp[ 0.4], (,3) 0 9 t = 1 exp[ 0.6[1 exp[ 0.6] dla t 0. 0 rede warto c czaów przebywaa ly talowej w podzborach taów, po zatoowau wzoru (13) oraz przybl oego ca kowaa, przyjmuj at puj ce warto c: m(1) 6.66, m(2) 3.33, m(3) 2.22, (1) 1.62, (2) 0.81, (3) 0.54, podcza, gdy rede czay przebywaa tego ytemu w pozczególych taach, a podtawe wzoru (17), przyjmuj warto c: m (1) 3.33, m (2) 1.11, m (3) Je l krytyczym taem jet ta r = 2, to fukcja ryzyka ytemu, a podtawe wzoru (18), przyjmuje pota 9 0 r(t) = 0.4[1 exp[ 0.4] exp[ dla t 0. St d, po zatoowau wzoru (19), otrzymujemy, e chwl przekroczea przez fukcj ryzyka ytemu dozwoloego pozomu, p. = 0.05, jet 2.07 roku. Warto c k adowych welotaowej fukcj bezpecze twa ly talowej oraz jej fukcj ryzyka dae w Tablcy 2. Tablca 2. Warto c k adowych welotaowej fukcj bezpecze twa oraz fukcj ryzyka ly talowej t (1) (2) (3) r(t) LITERATURA [1] Ko owrock, K., Relablty of Large Sytem, Elever: Amterdam-Boto - Hedelberg - Lodo - New York - Oxford - Par - Sa Dego - Sa Fracco - Sgapore - Sydey - Tokyo, [2] Sozyka, J., Relablty of large ere-parallel ytem varable operato codto. Proc. Europea Safety ad Relablty Coferece, ESREL 2005, Jue, 2005, Tr Cty, Polad. [3] Advace Safety ad Relablty, Edtyed by K. Ko owrock, Volume 2, [4] A. A. Balkema Publher: Lede - Lodo - New York - Phladelpha - Sgapore, [5] Xue J., Yag K., Dyamc relablty aaly of coheret mult-tate ytem. IEEE Traacto o Relablty 4, 44, 1995, Krzyztof KO OWROCKI jet profeorem zwyczajym oraz kerowkem Katedry Matematyk a Wydzale Nawgacyjym Akadem Morkej w Gdy. Jet tak e wceprezeem Polkego Towarzytwa Bezpecze- twa Nezawodo c. Jego obzarem zatereowa aukowych jet modelowae bezpecze- twa ezawodo c z o oych ytemów proceów. W tym zakree opublkowa poad 200 prac aukowych. W cej daych mo a zale a jego troe teretowej