STATYSTYKA wykład 5-6

Transkrypt

1 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech

2 Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy n mogą być zbieżne do jednego rozkładu, który będzie nazywany rozkładem granicznym (asymptotycznym) dla tego ciągu zmiennych losowych.

3 złote twierdzenie Bernoulli ego inaczej tzw. prawo wielkich liczb, wraz ze wzrostem liczby przeprowadzanych doświadczeń, z których każde może zakończyć się sukcesem lub porażką, zaobserwowana częstość sukcesu skupia się wokół pewnej stałej, równej prawdopodobieństwu sukcesu p To twierdzenie stanowi podstawę statystycznej definicji prawdopodobieństwa

4 twierdzenie Moivre a Laplace a ciąg dystrybuant standaryzowanych zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym jest zbieżny do dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego (0;). Z tego twierdzenia wynika, że ciąg niestandaryzowanych dystrybuant zm. losowych o rozkładzie dwumianowym jest zbieżny do rozkładu normalnego ( np; np( p)) gdzie n oraz p są parametrami rozkładu dwumianowego

5 n=4 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0,

6 n=8

7 n=

8 centralne twierdzenie graniczne Lindenberg a-levy ego, mówi, że zmienne, których wartości kształtują się pod wpływem złożenia wielkiej liczby czynników losowych mają rozkład normalny

9 Centralne twierdzenie graniczne jeżeli X k jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie i skończonej wariancji to ciąg zmiennych losowych zdąża przy n n Z n X i i do rozkładu normalnego ( nex ; ndx) umę można zastąpić średnią, wtedy ciąg zmiennych losowych V n X i n i zdąża do rozkładu normalnego n DX ( EX ; ) n

10 Przykład Kontrola celna pasażerów przybywających na lotnisko we Frankfurcie wykazała, że dziennie 40 przewozi towary niedozwolone, a odchylenie standardowe wynosi 0. Jakie jest prawdopodobieństwo, iż w ciągu 6 losowo wybranych dni średnia liczba pasażerów przewożących towary niedozwolone przekroczy 46? Zmienna V (średnia liczba pasażerów w ciągu 6 dni) ma rozkład 0 zatem ( 40; ) (40;,5) 6 P(V>46)= - F(V=46) = F(U=(46-40)/,5) = - F(.8) = = 0,9974 = 0,006

11 Rozkłady statystyk z próby

12 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizację zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających ten sam rozkład jak rozkład zmiennej losowej w populacji. tatystyką z próby nazywamy zmienną losową (np. Z ), będącą funkcją zmiennych X, X,... X. tatystykami z próby są, na przykład, średnia arytmetyczna, wariancja oraz inne parametry. Rozkład statystyki z próby zależy od rozkładu zmiennych losowych X, X,... X i wielkości próby.

13 Rozkłady statystyk z próby Próba Parametr Populacja x średnia arytmetyczna wartość oczekiwana EX ; m ² wariancja D X ; ² odchylenie standardowe DX ; w częstość empiryczna - prawdopodobieństwo p

14 Rozkłady statystyk z próby Jeżeli znany jest rozkład statystyki z próby to na tej podstawie można szacować wartości nieznanych parametrów populacji. Znajomość rozkładów statystyk z próby jest zatem niezbędna we wnioskowaniu statystycznym. Rozkłady statystyk z próby, w których parametrem jest liczba stopni swobody (zależna od liczebności próby) nazywane są dokładnymi i są wykorzystywane w przypadku małych prób. Jeżeli znalezienie dokładnego rozkładu statystyki nie jest możliwe, wykorzystywane są rozkłady graniczne statystyk, ale wtedy wymagana jest duża próba.

15 Średnia - wartość oczekiwana X~(m,) znana x ~ ( m, ) a po standaryzacji wyrażenie x m ~ (0,)

16 Średnia - wartość oczekiwana X~(m,) - nie znana x m ~ t( ) ma rozkład t-tudenta z lss (v) = ( )

17 Rozkład t-tudenta f ( t) v v v t v 0,5 0, 0,5 x ( x) t e dt dla x 0 0 0, 0, Et 0 D t 3

18 Rozkład t-tudenta ½α=0,05 ½α=0,05 F(t=,447)=0,975

19 Średnia - wartość oczekiwana Jeżeli zmienna ma dowolny rozkład to na mocy centralnego twierdzenia granicznego, dla dużych prób: x ~ ( EX, DX )

20 różnica średnich różnica wartości oczekiwanych Jeśli X ~(m, ) oraz X ~(m, ) i znane są odchylenia standardowe obu rozkładów to różnica średnich prób ma rozkład normalny: a po standaryzacji ; ~ m m x x (0;) ~ ) ( ) ( m m x x

21 Jeśli X ~(m, ) oraz X ~(m, ) - odchylenia standardowe są nieznane, to wyrażenie zawierające różnicę średnich dwóch prób ma rozkład t-tudenta z liczbą st. swobody = + ) ( ~ ) ( ) ( t m m x x x x ) ( ) ( x x różnica średnich różnica wartości oczekiwanych

22 różnica średnich różnica wartości oczekiwanych Jeśli zmienne X oraz X są zmiennymi losowymi o dowolnym rozkładzie to na mocy centralnego twierdzenia granicznego dla dużych prób rozkład różnicy dwóch średnich arytmetycznych jest rozkładem normalnym: x x ~ EX EX ;

23 Przykład Wysokość w kłębie koni rasy śląskiej ma rozkład normalny X ~(70 ; 5), a koni wielkopolskich X ~(68 ; 4). Obliczyć prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 9 elementowej próby wylosowanej z populacji koni śląskich jest większa o co najmniej cm od średniej 6 elementowej próby wylosowanej z populacji koni wielkopolskich. Poszukujemy: P x x ) P( x x ) ( E ( x x) D( x ) 34 x, P( x x ) F( x x ( F( U 0,54)) F( U ) F( U ),944 0,54) 0,6964 F( U 0,54)

24 Wariancja w próbie wariancja w populacji Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny (X~(m, )), to dla dowolnej -elementowej próby poniższa statystyka ma rozkład Chikwadrat Pearson a ( ) ~ ( )

25 Rozkład chi-kwadrat 0,9 0,8 0,7 0,6 =4 0,5 0,4 0,3 0, 0, E² = D²²=

26 Przykład Mierząc długość skór lisów zakłada się, że błąd pomiaru ma rozkład normalny (m=0 ; =0,5 cm). Obliczyć, jaka jest szansa, że wariancja w próbie złożonej z danych o długości dziesięciu skór nie przekroczy 0,5 cm. ( ) statystyka zawierająca wariancję z próby i populacji ma rozkład chi-kwadrat o 9 stopniach swobody P( 0,5) ( P ) 9 0,5 0,5 P( 5,40) F( 5,40) 0,

27 odchylenie standardowe w próbie i w populacji Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny (X~(m,)) oraz próba jest duża, (licząca co najmniej 0 elementów), to odchylenie standardowe tej próby będzie miało rozkład normalny: ~ ( ; ) Dla nieznanego odchylenia standardowego populacji stosuje się przybliżenie: ~ ( ; )

28 Iloraz wariancji dwóch prób i iloraz wariancji dwóch populacji Jeśli zmienna losowa X ~(m, ) oraz zmienna losowa X ~(m, ) to iloraz wariancji dwóch prób o liczebnościach i pobranych z dwóch populacji ma rozkład F nedecora, ) ; ( ~ F

29 Rozkład F - nedecora 0,8 0,7 0,6 0,5 =4 v =4 0,4 0,3 0, 0, EF D F ( ) ( ) ( 4)

30 Przykład Wysokość w kłębie w populacji koni rasy śląskiej jest zmienną losową o rozkładzie normalnym X ~(70;5), a w populacji koni wielkopolskich X ~(68;4,47). Obliczyć prawdopodobieństwo, że wariancja 9- elementowej próby wylosowanej z populacji koni śląskich jest co najmniej pięciokrotnie większa niż wariancja 6-elementowej próby koni wielkopolskich 0,0 3,996) ( 5 9, F P F P P P

31 Częstość empiryczna prawdopodobieństwo Jeżeli próba jest duża (co najmniej 00-0 elementów) i obserwujemy w niej cechę o rozkładzie dwupunktowym, to częstość empiryczna sukcesu na mocy omówionych twierdzeń granicznych, będzie miała rozkład normalny: a po standaryzacji: w p w( w) m w ~ w ~ p; (0;) w( w)

32 różnica częstości empirycznych różnica prawdopodobieństw Jeżeli próby pochodzące z dwóch populacji są duże (co najmniej 00-0 elementów w każdej) i w każdej populacji obserwujemy tę samą cechę o rozkładzie dwupunktowym, to różnica częstości empirycznych sukcesów (w -w ), na mocy omówionych twierdzeń granicznych, będzie miała rozkład normalny: gdzie ) ( ; ~ m m w w w p p w w

33 Przykład Wiadomo, że prawdopodobieństwo pojawienia się albinosa w populacji jest równe 0,06. Jaka jest szansa, aby wśród 00 młodych urodzonych na fermie pojawiło się co najmniej 5 albinosów. P( w P( U 0,075) 0,893) w p 0,075 p 0,075 0,06 P P U p ( p) p ( p) 0,06 0,94 00 F( U ) F( U 0,893) 0,84 0,859

34 Bison bison