Zastosowanie szeregów potęgowych do rozwiązywania równań różniczkowych

Transkrypt

1 Zastosowae szeregów potęgowch do rozwązwaa rówań różczkowch Ogól kształt rówaa lowego drugego rzędu jedorodego o współczkach zmech ma postać: '' + f ' + g = 0 (1) Tego tpu klasa rówań obejmuje wele zjawsk fzk techk. Wśród ch zajduje sę rówae postac: '' + u = λ = h () określae jako stacjoare rówae Schrödgera (użwae w mechace kwatowej). Tutaj u() ma ses eerg potecjalej (potecjał jedej cząstk puktowej). Np. jeżel otrzmujem reprezetację przpadku osclatora harmoczego (k /). Aalzę tego rówaa przeprowadzm poprzez poszukwae takej fukcj (, ). Zakładam, że λ ( ) 0 = u, wówczas, gdze λ ozacza parametr, od którego zależ rozwązae. Natomast dzałae operatora jest rówe co do stałej. Stosujem zaawasowae metod, które pozwalają uzskać owe wrażea. Jeżel fukcja jest aaltcza, to rozwjam ją w szereg potęgow postac: λ ( ) = C = 0 Poszukwae rozwązaa w takej postac jest podejścem ogólm. Dlatego potrzebe są waruk początkowe brzegowe, b take rówae rozwązać. Należ dokłade prz tm podać, jake są grace, odcek rozwązwaa. Nech rozwązaa. Tak waruek ma swoje fzcze uzasadee. λ ( ) (3) ± pod takm właśe warukem szukam λ ma ses prawdopodobeństwa odalezea cząstk w pukce. Stąd akłada sę pewe ograczee fukcj dae poprzez uormowae daej fukcj: = 1 λ d (4) Podstawm wobec tego (3) do (1): '' + = λ (5) Uwzględam (), co daje: ' λ = C = 1 1 a różczkowae powższego daje: '' λ ( 1) = = C (7) Z powższch otrzmujem: ( 1) λ C + C C = 0 (8) = = 0 = 0 Podstawą zastosowaej metod rozwązwaa jest stwerdzee, że fukcje są lowo ezależe ( a = 0 a = 0). Otrzmujem zatem: = 0 (6)

2 0 1 1 ( C ) λc C λc C C λc ( 1 ) + ( 3() ) + ( ) +... = 0 (9) W wrażeu (6) każd awas zeruje sę. W przpadku fukcj lowo ezależch moża apsać, że: C + λc = 0 0 6C + λc = 0 (10) 3 1 1C C + λc = Np. prz dowolm astępując szereg ( + )( + 1) C+ C + λc = 0 jest dowole określo. Z powższch rozważań wdać, że rozwązaem jest welkość λ. Wprowadzam ową fukcję: / ( 0 1 λ 1 ) C,, C = e ϕ C,, C (11) 1 Moża udowodć, że ϕ λ (, C1, C) jest welomaem dla λ = λ +. Szereg dla φ moża wprowadzć, powtarzając procedurę, prz czm szereg urwa sę dla pewch wartośc λ. Wka z tego, że λ 0, gd ±. Tak waruek prz jest speło tlko dla szczególch wartośc λ. Są to wartośc włase tego rówaa lub operatora H. hλ = λ λ (1) Take podejśce jest stote, gdze do aalz fukcj specjalch stosuje sę metodę rozwęca w szereg. Wprowadzae są tu fukcje Hermte a λ. Ogóle Metoda szeregów potęgowch (tzw. metoda Frobeusa) Mając ogóle rówae różczkowe zwczaje jedorode rzędu : ( ) ( 1 ) + f f0 ( ) = 0 (13) chcem zaleźć pukt, w którch fukcja dąż do. Za pomocą przesuęca moża tak pukt sprowadzć do =0. Nech =0 jest puktem, w którm 0, gdze ν < 0. Ozacza to, że w tm pukce e steje rozwęce w szereg Talora, a w rówau ν z( ) regularą. Twerdzee Rówae (13) posada rozwązae w postac szeregu + ν = C ν = 0 ν = fukcja z() jest już fukcją jeżel fukcje f k () są regulare w zerze (=0) steje pewa wartość ε>0 taka, że szereg (14) jest zbeż w < ε. (14) Metoda faktorzacj do rówaa osclatora harmoczego d d d d d + + = + + (15) d d d d d Aalze poddajem różcę d d. d d

3 L= ( d d ) ϕ( ) = ψ ' ( ψ) ' = ψ ' ψ ' ψ = d d = 1 d d d d (16) Te operator w awase jest rówoważ do operatora (-1). d L= 1+ d (17) Wracam do rówaa osclatora d ( + ) = λ d (18) Z tożsamośc (16) wka: d d + + = ( λ + 1) d d (19) Moża sprawdzć, że d d d + + = d d d (0) Pozwala to rozwązać rówae w tak sposób, że wprowadza sę operator: d a+ = + d (1) d a = + d () prz czm a a ( a ) = ( λ + 1) a, gdze a+ jest rozwązaem rówaa z operatorem aa dla wartośc własej λ + 1. Pamętać ależ, że a + daje wartość λ wększą o ( λ + ), a a obża wartość λ o 1 ( λ 1). Stąd: a 0 = 0 (3) + 0 = a (4) Rówaa (3) (4) przedstawa zagadee o wartoścach własch dla rozwązaa rówaa. Podsumowae Isteją dwa sposob tworzea fukcj specjalch: 1. za pomocą szeregów potęgowch f = a + a + a + (5) gdze współczk a określają fukcję (regularą), a w otoczeu puktu =0 szukam rozwązaa rówaa różczkowego.. za pomocą metod faktorzacj d d d L = + 1 = A A + + = + (6) d d d Tego tpu operator tworzą przestrzeń rozwązań dla osclatora kwatowego. A AA ψ = Aψ = AA Aψ (7) + ( + ) + ( + ) + ψ ( 1)( ψ) ( Mając rówae AAψ ( E 1) ψ ( A A )( Aψ ) ( E 1) Aψ ) A A A = E A = A A Aψ (8) = to możąc przez A + dostajem: = (9)

4 ( ψ ) ( ψ) ( ψ) ( 1) ( AA + )( A+ ψ ) ( E 3)( A+ ψ ) Lψ ( E 1) ψ A A A = A A A + A = E Aψ = (31) = (3) Krok po kroku podwższeu ulega wartość E w te sposób otrzmujem róże wartośc parametrów. 0 m ψ = A ψ ależ do przestrze fzczej (pozom eerg osclatora harmoczego) w tm sese, że ψ d <. Uwaga W te sposób moża wgeerować weloma Legedre a fukcje Bessela. Każda z tch fukcj specjalch rozwązuje pewe rówaa różczkowe drugego rzędu. (30) Rozwązae przblżoe. Metod umercze. Wcześej pozalśm sposób rozwązaa przblżoego poprzez szereg potęgowe. Pewe uogólee daje metoda Frobeusa. Isteje jedak jeszcze tzw. metoda kodów umerczch. Ozacza to, że jego podstawą jest możlwość zastępstwa pochodej df d przez różcę f ( + 1 ) f ( ): df 1 ( f ( + 1) f ), d h h [ 0,1] (1) Isteje możlwość korzstaa z przblżoego opsu pochodej, ze wzoru Talora. Mając fukcję f, steje rozwęce w szereg Talora obok puktu = + h. h f ( = + h) = f + f ' h+ f '' +... () ε, + ε, ε > 0 (3) Rozważm astępujące rówae różczkowe perwszego rzędu: ' = F, (4) ( ) Rówae to moża zastąpć przez ( + h) = F(, ) (5) h lub w postac deksów jako 1 F h (6) + 1 hf (7) Rozważając stuację fzcze, to gd h 0, pukt leżą gęsto a odcku to może staowć już rozwązae. Pozostaje problem zbeżośc. prz Ab udowodć, że rówae (6) jest rozwązaem (5) trzeba udowodć, że h 0. Mus dlatego steć przejśce gracze w tm sese, że ( h) 0. h 0 Wstąpć może pewe problem z określeem puktów osoblwośc. I stąd powstaje ptae, cz ta metoda daje rozwązae tego rówaa. Podejśce do problemu wmaga spełea trzech

5 waruków: a) zbeżośc, b) prędkośc zbegaa, c) stablośc- każde rozwązae jest fukcją rówaa, a małe zma powodują małe zma rozwązań. Na postać zagadea fzczego składa sę rówae (5) (albo e) oraz waruk brzegowe (początkowe). Rozważm poższe zagadee brzegowe: = F(, ) (8) ( 0) = a Dla rówaa perwszego rzędu to jest układ waruków zawerającch w sobe pełą formację. W takm przpadku moża udowodć twerdzee o steu stablośc prz pewch, a. Twerdzee daje sę ograczeach a fukcj f. Rozwązae moża zazaczć jako udowodć przez reprezetację rówaa (5) przez rówae algebracze (6). Korzstając z ego apszem: + 1 = + hf(, h) (9) 0 = 0 To ajprostsz algortm do oblczea. Poza tm łatwo spostrzec, że układ (8) daje sę zastąpć przez (9). Np. 1 = 0 + hf ( 0,0 ) ( 1 = a+ hf a,0) (10) Czasam moża wprost scałkować rówae umercze. Tak samo da sę polczć z powższego = 1 + hf ( 1, h) = a + hf ( a,0 ) + hf ( a + hf ( a, 0 ), h) (11) Poza tm wstępuje możlwość oce błędu, dokoaego podczas wkowaa oblczeń. Na każdm kroku lczea pojawa sę błąd z m zwąza N h '' Nma (1) = 1 Algortm jest tak, ze błąd wzrasta z każdm krokem lczea. N h h '' Nma '' = 1 Rozwązae ogóle zależ od jedego parametru a. Jeżel druga pochoda steje jest ograczoa, to gd h 0, to błąd róweż dąż do zera. Waże bowem jest, b e tlko stworzć wk, ale róweż podać oceę dokładośc, z której moża polczć rozwązae a dam odcku prz zadach warukach brzegowch. Uwaga 1. W podob sposób moża rozważć rówae drugego rzędu, prz czm e ozacza to jedoczesej możlwośc udowodea.. Isteje e podejśce (klascze) do twerdzea o steu o rozwązau przblżom przez rówae całkowe. (13)

6 Stablość. Ruch chaotcz. Stablość ozacza cągłą zależość od waruków początkowch. W teor rówań różczkowch zwczajch stablość jest stabloścą fzczą Cągłość różczkowalość rozwązwaa rówań różczkowch zwczajch względem parametrów zagadea fzczego ( rówae + waruk brzegowo- początkowe) ( Rozważm ' = F, ). Jest to rówae różczkowe zwczaje perwszego rzędu. ( 0) = a Rozwązae jest fukcją współrzędej parametru a. Jeżel fukcja (, a ) jest fukcją cągłą o zmeej a, wted mówm, że rozwązae jest cągłm względem waruków brzegowch. Stwerdzee to waże jest od stro fzczej zagadea, bowem pomar zawsze wkowae są z pewą dokładoścą. Ozacza to, że wartość a jest ustaloa z pewm błędem pomarowm. Z kole brak cągłośc ozacza brak możlwośc przewdzea przszłośc w zagadeu, co ależ do przpadków szczególch. Hadamard wprowadzł tzw. zagadee źle uwarukowae (ll-posed problem). Wstępują trz stuacje problemowe : 1.rozwązae e steje w pewch obszarach. e ma jedego rozwązaa 3. rozwązae e cągle zależ od waruków początkowch albo brzegowch Podobe moża mówć o zależośc parametrów rówaa: ' = F,, b, a, b) (1) ( W tch przpadkach zagadee fzcze jest źle uwarukowae, lecz steje możlwość popraw tego zagadea. Mówm wówczas wówczas o tzw. zagadeach odwrotch. Rówaa różczkowe cząstkowe & = f ( 1,..., ) (1) gdze 1,..., R ( 0) ξ ϕ ( t, ξ ) = () = (3) Stablość (statczość) Przkład: zegar wahadłow Określee stablośc wg Lapuowa (1898) Rozważm układ rówań różczkowch (1). Załóżm, że f e zależ jawe od czasu (jest to układ autoomcz). Załóżm, że steje zbór drugch pochodch określo jako: f (4) j, gdze = ϕ ( t, ξ ), ξ { ξ ξ } Δ R = 1,..., (5) Pukt a R azwam puktem stablośc wg Lapuowa jeśl: 1) ρ > 0 ξ a ρ (6) < tξ (, ) t

7 ) ε > 0 δ < ρ ξ a < δ ϕ ( t, ξ) a < ε t (7) 3) mówm, że a jest puktem stablośc asmptotczej, jeżel σ < ρ ξ a < σ oraz ( t ξ) lm ϕ, a = 0 (8) t + Waruek stablośc układów lowch (waruek wstarczając) & = A (9) & 1 a11 a1 1 a1 a = & (10) Ptae: Jak pukt jest stabl dla układu lowego? = T (11) 1 A = T AT = dag { λ,..., λ} (1) 1 det A-λ I = 0 λ to wartośc włase macerz A, λ t λ < 0 e 0 (13) 1 = T 0 jest to pukt asmptotcze stabl (14) Jeśl wartośc włase macerz A są mejsze od zera wówczas możem powedzeć, że α,r 0 ψ t, ξ r ξ e αt t > 0 (15) > wted = 0 jest puktem stablm (wg Lapuowa) asmptotcze stablm. Twerdzee Lapuowa Rozważm dowol układ (róweż elow) (1) prz warukach (). = a +Δ (16) a staow pukt stabl (rówowag), a Δ to odchlee od puktu rówowag Podstawając astępe (16) do rówaa (1) otrzmujem: f ( a) f ( a) Δ & = f ( a) + Δ j + R, gdze aj j= 1 j Uzskalśm rozwęce wrażea w szereg Talora. Jeżel a jest puktem rówowag, wted f ( a ) = 0. Otrzmujem: j j Δ & = a Δ + R (18) R f j Twerdzee Lapuowa j (17) (19)

8 Jeśl wszstke wartośc włase λ macerz A { a j } = mają Im λ < 0, wted pukt a jest asmptotcze stabl. Ozacza to, że σ > 0 ξ a < σ ϕ a r ξ a e α t, gdze r > 0, α > 0 e zależ od ξ. Wprowadzee rówań różczkowch cząstkowch w fzce. Rówaa stru. Propagacja fal. Im przkładem wprowadzea rówań w stosuku do zjawsk fzczch jest będące połączeem zasad fzk rówań różczkowch jest druge prawo Newtoa: mr r&& = R r (1) gdze R r to rówoważąca sła dzałająca a cząstkę puktową. Wrażee to zastosujem do wprowadzea rówaa ruchu eskończoego stru. Oberam czas t jako dowol, ale jed. Nech U() to odchlee od położea rówowag. Zakładam też, że U, t U. Główm celem jest połączee pochodch przez rówae oraz z geometrą (tj. 0 kąta achlea, tp.). Rozważeom w pewch warukach poddajem małe drgaa, wchlea z położea rówowag, które pow zostać określoe. Charakterstką odchlea U jest pochoda cząstkowa U ΔU () Δ U Wka z tego. Że = tg α, gdze α to kąt achlea stczej, prz czm zakładam, ze tgα 1 ( ) czl jest fukcją bezwmarową. ρ tlko jedej współrzędej: Drugą fukcją jest Δm ρ ( ) (3) Δ Podobe ważm elemetem tego wprowadzea jest sła aprężea stru T( ). Prz r ajprostszm założeu sła T jest skerowaa wzdłuż stczej (strua łatwo sę wga). Jeśl strua jest eskończoa, wówczas rozcągęce zależ od waruków dla przpadku eskończoośc. Iteresuje as ruch stru wzdłuż os, co ozacza, że: U(, t) Δm T ( ) sα( ) + T( + ) sα( + ) ( ) t Po prawej stroe wrażea mam sumę sł dzałającch a cząstkę puktową, prz czm zak ozacza, że rozważam odcek, a e cząstkę puktową, a przspeszee jest dla jedej współrzędch. U Uwaga s α ~ tgα = Dla (1) uzskujem: A' U(, t) U(, t) A( ) = ρ ( ) T ( ) + T( + ) (4) t Przjmujem, że rozważa odcek dąż do cząstk puktowej.

9 F + F lm = (5) 0 Rówae (6) odtwarza ejako rówae (1). Jest to tzw. druge rówae Newtoa, które róweż os azwę rówaa stru. Jest to rówae dwóch zmech: t. Isteje przpadek, gd: T( ) ρ ρ ( ) = cost, = 0, = 0 (6) Wted mówm, że strua jest jedoroda. Po dokoau pewch uproszczeń otrzmujem: U T U U = = C t ρ T gdze: C = ρ Rówae stru jest rówaem falowm, jedowmarowm. Przkład te pozwala zrozumeć duż cąg zjawsk. U(, t) posada węc ses fzcz fal. Za tm sto cał szereg przblżeń. Jeżel kąt achlea stczej jest ewelk, a odchlee od położea rówowag także jest małe, wówczas rówae jest lowe. W przpadku odrzucea waruku ( ) otrzmujem rówae elowe. Rówae stru jest ajprostszm rówaem falowm. Waruek ( ) da sę uzupełć, dodając z lewej stro wrażea słę zewętrzą. Uwaga 1 + f t, 4 + f t, (8) Z prawej stro (4) ależ jeszcze dodać słę f (, ) (7) t zmeą w czase (p. w polu grawtacjm lub o pochodzeu zupełe m- p. magetcze wted a każd odcek dzała sła Loretza zależa od prędkośc). Strua staow bardzo dobr przkład jedowmarow. Uwaga Rówae w trzech wmarach ma postać ogólą: (, ) U r t r r r ρ ( ) = T U(, t) + f (, t t ) (9) Rówae dfuzj. Przewodctwo ceple. Poższe rówae T Cv = ( κ T ) (1) t gdze q = κ T wka z prawa Fourera. os azwę rówaa przewodctwa ceplego w układze trójwmarowm. Podobe rówae moża wprowadzć dla zjawska dfuzj. Dfuzję moża określć jako zmaę kocetracj cząstek w czase t w obszarze o powerzch S objętośc V. r m C(, t cz ) () V

10 Nech całkowta masa cząstek zajdującch sę w obszarze o objętośc V wos: r M = C(, t) dv V M Prędkość zma mas jest sumą strumea Q cząstek po powerzch S t M = QdS t r r (3) S ' r r gdze ds = ds, r to wektor jedostkow ormal do powerzch S. Rówae (3) wraża prawo zachowaa mas. Strumeń cząstek przepłwając przez powerzchę S wraża rówae: r r Q= D C, t (4) Jeśl (4) ( ) wstawm do () to uzskam rówae form zamkętej r r C(, t) C(, t) dv = D ds t (5) V S' Stosując prawo Gaussa - Ostrogradskego do całk powerzchowej S otrzmujem: C( r, t) r C = (, C) = (, ) C = dv D grad C dv ( D ) C = (6) t V Rówae (6) to rówae dfuzj mas. Uwaga W przpadku obecośc źródła mas o q( r, t ) dodajem odpowed czło do prawej stro wrażea, co daje sę zapsać jako: q r, t 3 qdv + Przkładem są reakcje chemcze. Wted wka z tego, że 6 + q r, t D Najprostsz wrażee powstaje w stuacj jedowmarowej prz założeu, że = 0. Wówczas rówae (6) przjmuje poższą postać: C C = D (8) t ( ) (7) r dvb = 0 r r dve = f r Jeżel E = grad V Rówae Laplace a Possoa. Zagadee elektrostatk. to dv grad V = V = Δ V = f ( r ) Powższe rówae os azwę rówaa Possoa. Jeżel f = 0, wówczas dostajem zae r,, to otrzmujem rówae Laplace a. Natomast ked { } ϕ ϕ + = f (, ) r (1) () (3) (4)

11 Dostajem rówae o dwóch zmech. Jest to rówae Possoa a płaszczźe. Rówae różczkowe dwóch zmech. Klasfkacja. Dotchczas rozważalśm klasę rówań różczkowch różczkowch jedej zmeej. Bł to rówaa różczkowe zwczaje. W przpadku wstępowaa dwóch zmech sprawa przedstawa sę aczej. U, rówae różczkowe lowe drugego rzędu, Rozważm fukcję dwóch zmech które ogóle da sę przedstawć w postac: U U U a11, + a 1, + a, = FU (, U,, ) (1) U U gdze: U =, U = Rówae (1) to ogóla postać rówaa różczkowego lowego drugego rządu (ajwższa wartość pochodej) z dwoma zmem o pochodch cząstkowch. Rówaa różczkowe tego tpu da sę w pewe sposób uproścć. Dokoam tego poprzez wprowadzee owch zmech ezależch. Otóż każdą ze zmech, moża przedstawć w postac kombacj owch zmech: ξ ϕ, η = ψ, = oraz Stąd druga postać przbera ą postać, czl U(, ) U( ξ, η ) Dlatego możem róweż apsać: U = U = U ξϕ + U ηψ U = U = U ξϕ + U ηψ Ozaczam, że ξξϕ ξηϕψ ηηψ %. U = U + U + U (4) U = U ϕ ψ + U ϕ ψ + U ψ ϕ + U ψ ψ + U ψ + U ψ (5) ξξ ξη ηξ ηη ξ η ξξϕ ξηϕψ ηηψ U = U + U + U (6) Następe rówaa (4),(5),(6) wstawam do (1), wobec czego uzskujem astępujące wrażee: ( a11ϕ + a1ϕϕ + aϕ) Uξξ + a11ϕψ + a1 ( ϕψ + ψϕ) + aϕψ Uξη + (7) + a ψ + a ψ ψ + a ψ U =Φ U, U, ξ, η ( 11 1 ) ηη ( ξ η ) Rówae (7) poddam teraz aalze. Dokoujem przekształcea ze zmem ξ ϕ, η = ψ, = oraz Nech ξξ + ξη + ηη =Φ( ξ, η,, η) α U α U α U U U ξ a11 a1 a α = ϕ + ϕ ϕ + ϕ (9) α1 = a11ϕψ + a1 ϕψ + ψϕ + aϕψ (10) () (3) (8)

12 a11 a1 a α = ψ + ψ ψ + ψ (11) Rozpoczęlśm od rówaa postac: a 11 U + a 1 U + a U. Jest to rówae różczkowe drugego rzędu. Wprowadzam owe zmee dokoujem przekształcea, ab zmejszć lczbę drugch pochodch. Dlatego też z (8) α 11 mus rówać sę zero. Natomast rozważm (9), (10), (11) jako rówaa dla fukcj ϕ. Stąd: α 11 = 0 (1) oraz ϕ ϕ a11 + a1 + a = 0 (ale ϕ ϕ 0 ) (13) ϕ Wkoae został dzałaa algebracze, w wku którch dostajem algebracze rówae kwadratowe, prz czm ϕ, ϕ to pochode cząstkowe. Uzskao rówae różczkowe perwszego rzędu. Moża je otrzmać względem tego, że: ϕ a ± a a a = = k± ked a11 0 (14) ϕ a 11 co róweż moża zapsać jako: ϕ k ϕ = 0 (15) ± Rozważając z kole rówae (11) uzskuje sę podobe rówae: ψ k ψ = 0 ( gdze dobrao tak współczk, b α = 0 ) ± Stwerdzam, że jeżel steje rozwązae ϕ, ψ, wted steje rozwązae α11 = α = 0. Prz czm jedo rówae z k ± daje ϕ, a druge z k ± daje ψ. Metoda charakterstk Zmerzam do rozwązaa rówaa (15). Moża zastosować w tm mejscu metodę, której deę staow wbór współrzędch wgodch do scałkowaa rówaa różczkowego. Rozważm wobec tego różczkę dϕ w fukcj ϕ dϕ dϕ d dϕ d d d = + = ϕ + d d d Nech d = k ( tgβ ) β - kąt achlea krzwej d Jeżel ϕ + kϕ = 0 (17), to z tego wka, że dϕ = 0. (18) ϕ (16) d Otrzmujem wówczas krzwą postac: k(, d = ) (19) dla której spełoa jest zależość (18). Wdać z powższego, że udało sę sprowadzć rówae różczkowe o pochodch cząstkowch (17) sprowadzć do rówaa zwczajego postac (19). Rozwązując atomast to ostate rówae dostajem w wku, że ϕ, = ξ cost (0) ( ) Powższe wrażee azwa sę całką rówaa charakterstczego (19).

13 Przkład ϕ ϕ = 0 (1) Rozwązae tego rówaa wgeerujem krok po kroku. d = 1 () d Po scałkowau tego rówaa dostajem w wku = +C (3) Odpowedkem (0) jest tutaj + = ξ (4) Należ wspomeć, że (4) jest szczególm przkładem rówaa ϕ, = + Powstaje ptae, w jak moża stworzć rozwązae ogóle. W tm celu rozpatrzm płaszczzę (, ). Rówae (3) określa rodzę krzwch dla różch wartośc C. Pozwala to wprowadzć połowę układu odesea; jest to zbór prostch rówoległch. Rozwązae ogóle rówaa (1) jest możlwe do otrzmaa. Rozwązae to da sę zdobć lcząc od puktu =0 (tzw. zagadee Cauch ego). Wka z tego, że: ϕ 0, = A (5) ( ) Zauważć ależ, że dopero (5)+(1) tworz zagadee Cauch ego, a samo (5) jest zagadeem początkowm rówaa (1). Rozwązae jest fukcją zmeej ξ. ϕ(, ) = A( ξ) = A( + ) Twerdzee Dowola fukcja A( ) A ξ A ϕ = = = A ξ ξ ϕ = A ξ = A ξ skąd ϕ ϕ = Aξ Aξ = 0 Uwaga Ogóle ξ ξ + jest rozwązaem (1). Jeżel (5) zawera fukcje A( ), wted (, ) A( ) albo zagadea Cauch ego. ϕ = + jest rozwązaem (1)+ (5) A( ξ ) jest rozwązaem rówaa (15), jeśl tlko ξ ϕ(, ) charakterstk. = jest całką rówaa

14 Do rówaa stru Powżej udało sę rozwązać rówae powstałe a drodze trasformacj rówaa różczkowego pochodch cząstkowch drugego rzędu. Mając rozwązae rówaa (15) moża wprowadzć dwe zmee, różące sę o czk k ±. Z kole elmując α 11 α, mam α 1 ( tu poszczególe czk e wzerują sę). Wróćm do postac ogólej rówaa różczkowego daej przez: ξη ( ξ η ξη) α1 U =Φ U, U, U,, (6) Fukcja ta przbera taką formę ze względu a to, ż udaje sę rozwązać (15) w dodatku pod warukem k k W tm przpadku steje dwe fukcje: a) ξ ϕ(, ) b) η ψ (, ) + =, która jest perwszą całką k = 0 ϕ + =, będąca perwszą całką ψ k ψ = 0 Uzskujem w tej stuacj dwe astępujące możlwośc: a1 a 1. Δ= a a a > w obszarze D R Ogóle są fukcjam, a to ozacza, że k + k są rzeczwste. Wted część urojoa Im k ± = 0, co prowadz do tego, że ξ η są rzeczwste. Rówae (0) przjmuje postać (6) w owch zmech. Wted (1) os azwę rówaa hperbolczego hperbolczego obszarze. W tch współrzędch rówaa są rzeczwste. Uwaga Końcowa forma (6) przedstawa sę astępująco: Uξη =Φ ( Uξ, Uη, U, ξ, η ) (6 ) Rówae (6 ) to postać kaocza rówaa (6).. Δ< 0 W takm przpadku zmee są zmem zespolom k = k k ± (7) ± 1, ±, Z tego wka, że ξ = σ + τ (8) η = σ τ (9) Rówaa te są sprzężoe. Jeżel k = + k, wted ξ η są zmem sprzężom. Łatwo wówczas przejść do zmech ξ + η = σ ξ η = τ prz czm σ τ są zmem rzeczwstm. Ozacza to dalej, że U U U Uξη = + = U U σσ + ττ = ΔU( σ, τ ) (30) ξ η σ τ W takm przpadku rówae (1) azwam rówaem elptczm.

15 Zaś Uσσ + Uττ =Φ ( Uσ, Uτ, U, σ, τ ) (31) os azwę postac kaoczej rówaa (30). 3. Δ= 0 wted k = k + Otrzmujem jedo rówae. Isteje węc wówczas tlko ξ ϕ(, ) = (3) Moża dla tego przpadku udowodć, ze wówczas α 1 = 0. Ozacza to, że jeda zmea może zostać wbraa jako (9), a druga- dowole, p. ξ =. Tz. ab speło bł jakoba, któr powe bć określo jedozacze. ϕ ϕ 0 ϕ ϕ (33) Formuła kaocza przedstawa sę astępująco: U + U = φ3 U, U, U, ξη, (34) ξ ηη ( ξ η ) Odosząc powższe zagadea do fzk moża zauważć, że w przpadku 3. mam do czea z rówaem dfuzj. I wted ξ t oraz η. Przpadek. obrazuje rówae Possoa Δ U = f. Zaś 1. przedstawa rówae falowe, a w układze jedowmarowm jest to już rówae stru. Wdzm węc, ze każde z przedstawoch rówań posada swoją formę kaoczą. Natomast mając kształt takego rówaa, moża już woskować o jego tpe. Twerdzee Zak a a a =Δ jest ezmekem trasformacj tpu, ξ, η. Jako 1 11 współczk traktujem jakoba postac α = Δ. 1 α11α J Przedstawoe rówaa, tj. rówae dfuzj, Possoa, falowe staową ejako podstawę fzk teoretczej. W oparcu o e otrzmujem modele różch procesów. Moża też stwerdzć, że rówae różczkowe daje podstaw, b zrozumeć fzkę jako całość oraz przewdzeć modele procesów. Rówae hperbolcze. Rozwązae rówaa stru. Propagacja fal. Rozważm propagację fal płaskej w próż. U tt T C U = 0 (1) gdze C =, prz czm: T = cost, ρ = cost strua jedoroda ρ Postępujem jak podobe jak dotchczas. Wberam metodę charakterstk. Przechodzm do,. Sprowadzam do fukcj kaoczej zmech (, t ). Przjmujem, że ϕ a ± a a a = k+ = () ϕ a 11

16 ± C Tutaj: a 1 = 0, a 11 = 1, a = C. Natomast k± = =± C. 1 Rówae charakterstk przedstawa sę astępująco: d =± C (3) dt czl dostajem dwa róże rówaa hperbolcze. Stąd ct = ξ + ct = η (4) Uzskujem rówae kaocze: U ξη = 0 (5) Dostajem układ współrzędch ξ η. Na podstawe powższego rówaa możem zapsać jego ogóle rozwązae jako: U =Φ ξ + F η (6) Natomast U =Φ ct + F + ct) (7) ( staow rozwązae ogóle (1).