POMIARY MAŁYCH CZĘSTOTLIWOŚCI W OBECNOŚCI ZAKŁÓCEŃ

Transkrypt

1 Meriły konferencji nukowo-echnicznej PPM 0 Poliechnik Lubelsk Kedr Auomyki i Merologii POMIARY MAŁYCH CZĘSTOTLIWOŚCI W OBECNOŚCI ZAKŁÓCEŃ W prcy porusz się problemykę pomiru młych częsoliwości w obecności zkłóceń. Prezenuje się podswy eoreyczne i lgorymy meod bzujących n przewrzniu wrości chwilowych sygnłu. Rozwż się lgorym wykorzysujący meodę njmniejszych kwdrów i rozwinięcie funkcji sinusoidlnej w szereg Tylor. Przedswi się rezuly esów. LOW FREQUENCY MEASUREMENTS IN THE PRESENCE OF NOISE The pper presens some specs of low frequency mesuremens in he presence of noise. The heoreicl bckground nd severl mesuremens lgorihms bsed on smpled d of volge signl re presened. A new mehod bsed on he les error squres curve fiing echnique wih Tylor series is discussed in deils. Some es resuls re presened in he pper oo.. WPROWADZENIE Pomiry częsoliwości są dziś relizowne zzwyczj z pomocą uniwerslnych liczników-częsościomierzy cyfrowych. Przyrządy e są uznwne z sosunkowo dokłdne, pomiry relizowne z ich pomocą są w większości zsosowń obrczone niewielkimi, kcepowlnymi przez użykownik błędmi. Nie zwsze jednk jes o prwdą. Niepewność pomiru częsościomierzem cyfrowym mją ż rzy skłdowe: niepewność wzorc, niepewność kwnowni orz niepewność wnoszon przez ukłdy wejściowe. Generor wzorcowy częsościomierz cyfrowego jes sosunkowo dokłdny, jego błąd jes nie większy od ±0-5, w przyrządch wyższej klsy jes mniejszy od ±0-8. Wysok dokłdność wzorc częsoliwości może sugerowć wysoką dokłdność wszyskich pomirów relizownych częsościomierzem cyfrowym, le kolejny skłdnik - niepewność kwnowni zleży od czsu owrci brmki orz od wrości mierzonej częsoliwości i może on osiągć sosunkowo duże wrości. Dl przykłdu, przy pomirze częsoliwości npięci w sieci energeycznej 50 Hz w czsie 0 s (njdłuższy prkycznie sosowny czs owrci brmki) niepewność kwnowni osiąg wrość ±0, %, czyli o kilk rzędów więcej od błędu wzorc. niepewność ę możn ogrniczyć zsępując bezpośredni pomir częsoliwości pomirem okresu, le pojwi się wedy niepewność wnoszon przez ukłdy wejściowe, kór może osiągć również sosunkowo duże wrości, szczególnie jeśli sygnł jes zniekszłcony,

2 96 zszumiony i posid niezby srome zbocz w okolicy przejści przez poziom zerowy. Objwi się o drżeniem zboczy określjących począek i koniec okresu sygnłu F x, w kórym zliczne są impulsy sygnłu wzorcowego F w, co ilusruje rys.. Typowo przyjmuje się, że dl sosunku sygnłu sinusoidlnego do zkłóceń równego 40 db niepewność przy pomirze jednego okresu jes rzędu 0,3 %. Przy pomirze wielokroności okresu niepewność proporcjonlnie zmniejsz się, le koszem wydłużni czsu rwni pomiru. Fx Fw Fx Fx Fw Rys.. Błąd wnoszony przez ukłdy wejściowe przy pomirch młych częsoliwości Fig.. Trigger poin error by deecing zero crossings in low frequency mesuremens Podsumowując, klsyczny częsościomierz cyfrowy przy pomirch młych częsoliwości sygnłów sinusoidlnych, zszumionych i zwierjących wyższe hrmoniczne nie gwrnuje dobrych rezulów. Typowym przykłdem może u być pomir częsoliwości npięci w sieci energeycznej 50 Hz, szczególnie gdy wynik pomiru musi być uzyskny w sosunkowo krókim czsie, np. poniżej s wymgnym przez ukłdy zbezpieczeń. W kim przypdku zsosownie ukłdu klsycznego częsościomierz cyfrowego nie jes możliwe. Z ych włśnie powodów w lierurze pojwi się corz więcej opisów nowych meod cyfrowego pomiru częsoliwości, nie wykorzysujących srukury klsycznego częsościomierz oprej n zliczniu impulsów, lecz bzujących n lgorymch cyfrowego przewrzni sygnłów poddnych opercji próbkowni i kwnowni.. ALGORYTMY DSP W POMIARACH CZĘSTOTLIWOŚCI Z memycznego punku widzeni zsosownie lgorymów DSP do pomirów częsoliwości poleg n proksymcji spróbkownego i skwnownego sygnłu odpowiednio dobrną funkcją w dziedzinie czsu lub proksymcji w dziedzinie

3 Pomiry młych częsoliwości w obecności zkłóceń 97 częsoliwości widm ego sygnłu, co przedswiono n rys.. Algorymy e w ogólności relizują filry cyfrowe, kórych prmery są dosrjne do mierzonego sygnłu lub eż bdn jes odpowiedź filru o prmerch uslonych, pobudzonego mierzonym sygnłem. Algorymy e w swej idei nwiązują do znnych nlogowych meod pomiru częsoliwości kich jk: dobór prmerów filru srojonego (moski), bdnie odpowiedzi filru pobudzonego mierzonym sygnłem (częsościomierze logomeryczne), nliz hrmoniczn z pomocą zeswu filrów wąskopsmowych (częsościomierz wibrcyjny), porównnie z sygnłem wzorcowym poprzez mnożenie (meody heerodynowe) lub sumownie (porównnie fzy - krzywe Lissjous ). Fx Fw proksymcj w dziedzinie czsu 3 3 proksymcj w dziedzinie częsoliwości ω ωx Rys.. Wyzncznie częsoliwości sygnłu poprzez proksymcję próbek w dziedzinie czsu i w dziedzinie częsoliwości Fig.. Esymion frequency of signl by pproximion smples in ime domin nd in frequency domin W njprosszy sposób częsoliwość sygnłu możn wyznczyć n podswie wrości jego próbek poprzez określenie liczby próbek odpowidjących jednemu okresowi [], co prkycznie odpowid klsycznej meodzie częsościomierz cyfrowego z wirulnym licznikiem relizownym w pmięci kompuer wykonującego obliczeni, ze wszyskimi

4 98 zlemi i wdmi klsycznego częsościomierz cyfrowego. Znczną poprwę dokłdności możn w ej meodzie osiągnąć poprzez precyzyjniejsze wyznczenie chwil przejści sygnłu przez poziom zerowy, sosując proksymcję liniową lub wyższego rzędu []. Zsosownie splou sygnłu z funkcją Wlsh umożliwi precyzyjne wyznczenie odchyleni częsoliwości od wrości znmionowej [], []. Meod jes sosunkowo szybk i dokłdn już przy młych częsoliwościch próbkowni, le przedził pomiru jes wąski, lgorym jes wrżliwy n zniekszłceni sygnłu i jego mpliudę. Wyznczenie odchyleni od częsoliwości znmionowej jes również możliwe poprzez korelcję sygnłu z funkcjmi sinus/cosinus [3] i określenie okresu zmienności wyliczonych współczynników korelcji. Podobn w swej idei jes również meod dekompozycji sygnłu n dwie skłdowe orogonlne [4], wykorzysując dw cyfrowe filry orogonlne o odpowiednio dobrnych współczynnikch. Sygnły orogonlne wykorzysuje również meod demodulcji [5], [6], w kórej chwilowe odchylenie od częsoliwości znmionowej oblicz się n podswie szybkości przyrosu fzy sygnłu. Sosunkowo prosą meodą jes wykorzysnie drugiej pochodnej funkcji sinus [7], kórej zleą jes niewrżliwość n wrość mpliudy sygnłu. Jednk cyfrowe różniczkownie sygnłu jes opercją sosunkowo kłopoliwą, gdyż przy sygnle zszumionym lub zniekszłconym pojwiją się duże niepewności spowodowne górnoprzepusową chrkerysyką częsoliwościową członu różniczkującego. Podobn w swej idei jes meod polegjąc n opymlizcji (minimlizcji wrości średniokwdrowej błędu) rozwiązni równni różniczkowego drugiego rzędu [7]. Kilk kolejnych meod wykorzysuje pewne wybrne włściwości rnsformy Fourier. Meod wykorzysując efek przecieku (FFT lekge effecs) [8] bzuje n znnej włściwości lgorymu FFT, polegjącej n ym, że jeśli okno pomirowe nie jes cłkowią wielokronością okresu sygnłu przewrznego, o w jego widmie pojwią się hrmoniczne nie wysępujące w rzeczywisości. Jko mirę odchyleni mierzonej częsoliwości od wrości znmionowej przyjmuje się odpowiednio zdefiniowny współczynnik przecieku. Meod wymg niesey synchronizcji położeni okn pomirowego względem przejść sygnłu przez poziom zerowy. W kolejnej meodzie [8], [9] rnsformę FFT oblicz się również w oknie pomirowym o słej długości, le przemieszczjącym się wzdłuż osi czsu. Częsoliwość sygnłu wyzncz się poprzez porównnie zwrości wyższych hrmonicznych w widmch wyznczonych dl różnych położeń okn pomirowego. Trnsform FFT może być również zsosown do pomiru częsoliwości sygnłu poprzez wyznczenie prędkości obroowej wirującego wskzu npięci [0]. Częsoliwość sygnłu oblicz się w ej meodzie jko pochodną (ilorz różnicowy) fzy wirującego wekor npięci sygnłu, przy czym chwilową wrość ej fzy orzymuje się jko rcg ze sosunku części urojonej do rzeczywisej wekor npięci obliczonych z pomocą rnsformy FFT. Pewnym rozszerzeniem ej meody jes zsosownie dodkowo średniokwdrowej proksymcji chwilowego przebiegu fzy [6], co skuecznie łumi wpływ zkłóceń n wynik pomiru. Szczególną uwgę wro zwrócić n meodę wykorzysującą rozwinięcie funkcji

5 Pomiry młych częsoliwości w obecności zkłóceń 99 sinusoidlnej w szereg Tylor [], []. Zsosownie w lgorymie obliczeń meody njmniejszych kwdrów skukuje korzysnymi włściwościmi ej meody. 3. ZASTOSOWANIE ROZWINIĘCIA FUNKCJI SINUS W SZEREG TAYLORA Zsosownie rozwinięcie funkcji sinusoidlnej w szereg Tylor [], [3] umożliwi pomir częsoliwości sygnłu wokół wrości znmionowej ω n, przy czym współczynniki rozwinięci wyznczne są meodą njmniejszych kwdrów. Przyjmując, że przebieg npięci wyrżony jes równniem (): gdzie: A - mpliud npięci, ω - pulscj, - czs, ψ - fz począkow npięci, ( ) = ( + ) u A sin ω ψ, () orz sosując znną ożsmość rygonomeryczną: ( ω + ψ ) = ψ ( ω ) + ψ ( ω ) sin cos sin sin cos równnie () możn przedswić w posci: ( ) = cos sin( ) + sin cos( ), () u A ψ ω A ψ ω. (3) Funkcje sin(ω ) i cos(ω ) możn rozwinąć w szereg Tylor wokół wrości częsoliwości znmionowej ω n : sin n= 0 cos n= 0 m m ( ω ) ( ) ( ω ω n) sin( ω n) ( ) n m = + m! m= 0 n+ n +! ( ) ( ) n+ ω ω cos ( ω ) n n m m ( ω ) ( ) ( ω ω n) cos( ω n) ( ) n m = + m= 0 m! ( ) ( ω ω ) sin ( ω ). (5) n+ + n+ n n n +! Po podswieniu (4) i (5) do (3), uwzględnijąc dl przykłdu sześć pierwszych skłdników szeregu M=6 i przyjmując N wrości próbek npięci u, u,...,u N zmierzonych w równych odsępch czsu T P możn zpisć rozwinięcie w szereg Tylor w posci (6), (4)

6 300 pmięjąc, że zmienną w równniu jes częsoliwość ω, czs prmer: gdzie: k =,... N = k T p rkowny jes jko uk = kx + k x + k 3x3 + k 4x4 + k 5x5 + k 6x, 6 (6) x = A cosψ, x = ( ω ω n) A cos ψ, x3 = A sinψ, x4 = ( ω ω n) A sin ψ, x5 = ω + ωω n ω n A cos ψ, x6 = ω + ωω n + ω n A sin ψ, = sin( ω kt ), k = ktp cos( ω nktp ), = cos( ω kt ), k 4 = ktp sin( ω nktp ), = ( ) sin( ω ), k 6 ( ktp ) ( nktp ) k n p k 3 n p kt kt k 5 p n p = cos ω. Pmięjąc, że poszukujemy kiej wrości ω, by dl dnych wrości i u() spełniony był ukłd równń (6), możemy przedswić go w zpisie mcierzowym: U = A X, (7) gdzie: U = u u. u N A =. N. N 3 3. N N N N 6 x x x 3 X =. x4 x 5 x6 W przypdku, gdy A jes mcierzą kwdrową (N=6) zdnie poleg n klsycznym rozwiązniu ukłdu sześciu równń liniowych z sześciom niewidomymi x, x,..., x 6. W kim przypdku wszyskie współczynniki są jednozncznie określone poprzez wybrną częsoliwość wzorcową ω n, przyjęy w pomirch okres próbkowni T p orz numer kolejny próbki k. Wrości npięć u, u,..., u k orzymujemy nomis z pomirów. Dl większej liczby próbek (N>6) możn uzyskć wyższą dokłdność pomiru, poniewż ukłd równń (7) sje się ndokreślony, mcierz współczynników może być wyznczon meodą njmniejszych kwdrów i pomir sje się mniej wrżliwy n przypdkowe zkłóceni. Rozwiąznie ndokreślonego ukłdu równń (7) jes równowżne zgdnieniu proksymcji w sensie njmniejszych kwdrów i sprowdz się do minimlizcji normy jednokolumnowej mcierzy residuów R:

7 Pomiry młych częsoliwości w obecności zkłóceń 30 R =, gdzie: R=AX-U. (8) Rozwiązując ukłd równń (7) sosuje się rchunek mcierzowy: i r i T T [ A A] A U X =. (9) Z obliczonych wrości x.. x 6 możn wyznczyć odchylenie częsoliwości Ω: lub ( ω ω ) Ω = = n ( ) ω ω A cosψ n A cosψ 3 x x = = x x 4 3, (0) x + x4 Ω = ( ω ω n ) =. () x + x Osecznie częsoliwość mierzon wyznczn jes n podswie zleżności: ω = ω n + Ω. () 4. TESTOWANIE ALGORYTMU PRZETWARZANIA DANYCH Przy użyciu pkieu MATLAB przeprowdzono bdni symulcyjne mjące n celu określenie wrości błędu bezwzględnego pomiru częsoliwości zsosownego lgorymu w zleżności od wrości mierzonej częsoliwości orz rodzju i sopni zniekszłceni przebiegu, orz określenie niepewności związnej z zkłócenimi przebiegu npięci. Bdni przeprowdzono w zkresie częsoliwości sygnłu od 0 do 80 Hz dl różnych wrości kryycznych prmerów meody: częsoliwości próbkowni sygnłu fs=400, 600, 800 Hz, szerokości okn pomirowego ws=,, 3 (wyrżonej w okresch częsoliwości znmionowej ω n =50 Hz) orz liczby wyrzów rozwinięci funkcji sinus w szereg Tylor s=4, 6, 8. Zsosowno sześć sygnłów esujących: od czysego przebiegu sinusoidlnego poprzez przebieg sinusoidlny z wprowdzonym szumem n poziomie % mpliudy sygnłu, ż do przebiegu sinusoidlnego zwierjącego 3, 5 i 7 hrmoniczną n poziomch odpowiednio 3%, % i % mpliudy sygnłu orz szum flukucyjny n poziomie % mpliudy sygnłu. Tesy wykzły, że bdny lgorym pomiru częsoliwości jes njmniej wrżliwy n zminy wrości częsoliwości próbkowni fs. Jko opymlną wrość przyjęo fs=600 Hz. Zncznie większy wpływ n dziłnie lgorymu m dokłdność rozwinięci funkcji sinus, wyrżon liczbą wyrzów szeregu Tylor s. Zwiększenie z s=6 do s=8 wyrzów nie poprwi isonie dokłdności pomiru, lecz zdecydownie zwiększ czs przewrzni

8 30 dnych pomirowych. Nomis zmniejszenie liczby wyrzów szeregu do s=4 prowdzi do ego, że zleżność błędu pomiru od częsoliwości rci n liniowości. Zyskuje się jednk nieco n szybkości pomiru orz dokłdności pomiru w ooczeniu częsoliwości 50 Hz w przypdku sygnłów zkłóconych. Przyjęo opymlną wrość prmeru s=6. Njwżniejszym spośród rzech kryycznych prmerów opisywnej meody jes jednk szerokość zsosownego okn pomirowego ws. Przy szerokości okn ws=, zn. równej jednemu okresowi częsoliwości znmionowej, meod może być sosown jedynie w wypdku pomiru przebiegów idelnie sinusoidlnych, wysępownie nwe niewielkich zkłóceń w sygnle mierzonym prowdzi do niesbilnej prcy lgorymu. Okno pomirowe o szerokości ws= jes rozwiązniem opymlnym dl przebiegów niezniekszłconych. W ym przypdku pomir jes w mirę szybki i obrczony młymi błędmi. Zwiększenie szerokości okn pomirowego do wrości ws= prowdzi do pogorszeni się liniowości zleżności błędu pomiru od częsoliwości. Zwiększ się nomis dokłdność pomiru częsoliwości w przypdku przebiegów zkłóconych wyższymi hrmonicznymi orz szumem flukucyjnym, co m związek z zsosowniem w meodzie proksymcji średniokwdrowej. Dl przykłdu n rys.3 przedswiono zleżność błędu pomiru częsoliwości sygnłu sinusoidlnego w zleżności od szerokości okn pomirowego, przy częsoliwości próbkowni fs=600 Hz orz liczbie wyrzów rozwinięci w szereg Tylor s=6. Rys.3. Błąd pomiru częsoliwości w rybie symulcji: fs=600hz, s=6, ws=,,3 Fig.3. Frequency mesuremens error in simulion mode: fs=600hz, s=6, ws=,,3

9 Pomiry młych częsoliwości w obecności zkłóceń EKSPERYMENTY Z RZECZYWISTYMI SYGNAŁAMI Bdni eksperymenlne przedswionej meody zrelizowno w ukłdzie pomirowym przedswionym n rys.4. Wykorzysno kompuer klsy IBM PC wyposżony w krę pomirową AT-MIO-6E-0 firmy Nionl Insrumens i oprogrmownie npisne w języku Turbo C++, relizujące lgorym pomirowy. Jko źródło sygnłu mierzonego zsosowno cyfrowy generor funkcyjny HP330A firmy Hewle Pckrd. Generor en dosrczł sygnł sinusoidlny o mpliudzie 0 V pp i żądnej częsoliwości z niepewnością ±0-6 Hz. generor funkcyjny HP 330A kr pomirow AT-MIO-6E-0 ISA kompuer klsy IBM PC Rys. 4. Schem blokowy ukłdu pomirowego Fig. 4. Block digrm of mesuremen circui Podczs bdń wyznczno bezwzględne błędy pomiru dl częsoliwości z zkresu od 40 do 60 Hz, z krokiem równym Hz. Dl kżdej z częsoliwości wykonywno 0 pomirów, co 00 ms. Pomiry zrelizowno dl opymlnych wrości prmerów lgorymu uslonych podczs bdń symulcyjnych: częsoliwości próbkowni sygnłu mierzonego fs=600 Hz, szerokości okn pomirowego ws= orz liczby wyrzów rozwinięci funkcji sinus w szereg Tylor s=6. Uzyskne rezuly eksperymenów przedswiono n Rys. 5. Dl kżdego punku pomirowego obliczono z serii wyników wrość średnią zmierzonej częsoliwości f śr orz odchylenie sndrdowe σ p, n wykresie przedswiono błąd bezwzględny pomiru z zznczoną dl kżdego punku pomirowego niepewnością rozszerzoną 3σ p. Wyniki pomirów w ukłdzie rzeczywisym powierdziły rezuly uzyskne w bdnich symulcyjnych, o czym świdczy podobieńswo wykresów przedswionych n rys.3. orz n rys.5. Uzyskne wyniki pomirów pozwlją swierdzić, że w przedzile częsoliwości od 40 do 60 Hz niepewność pojedynczego pomiru nie przekrcz ±0, % (0,05 Hz), niepewność wrości średniej z 0 pomirów jes mniejsz od ±0,04 % (0,0 Hz).

10 304 Błąd bezwzględny Fx [Hz] 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0, , ,04-0,06-0,08-0,0 Częsoliwość mierzon Fx [Hz] Rys. 5. Błąd bezwzględny orz niepewność rozszerzon pomiru częsoliwości w ukłdzie rzeczywisym: fs=600hz, s=6, ws= Fig. 5. Frequency mesuremens error in rel circuis: fs=600hz, s=6, ws=, wih indiced 3σ p unceriny spn 6. PODSUMOWANIE Klsyczn cyfrow meod pomiru częsoliwości nie zpewni odpowiedniej jkości pomirów w wielu prkycznie spoyknych syucjch: dl młych częsoliwości, dl sygnłów o niezby sromych zboczch, w ym również sinusoidlnych (np. częsoliwości sieciowej 50 Hz), szczególnie w obecności zkłóceń i dl sygnłów silnie zniekszłconych. Kryycznym punkem klsycznych lgorymów jes określnie chwil przejści sygnłu przez zero, n podswie kórych wyznczn jes wrość częsoliwości sygnłu. Pozosłe wrości sygnłu również niosące informcję pomirową nie są już uwzględnine w lgorymie. Zsosownie lgorymów DSP do pomirów częsoliwości nwiązuje w swej idei do znnych meod nlogowych: dobór prmerów filru srojonego, bdnie odpowiedzi filru pobudzonego mierzonym sygnłem, nliz hrmoniczn z pomocą zeswu filrów wąskopsmowych, porównnie z sygnłem wzorcowym. Z memycznego punku widzeni zsosownie lgorymów DSP do pomirów częsoliwości poleg n proksymcji spróbkownego i skwnownego sygnłu odpowiednio dobrną funkcją w dziedzinie czsu lub proksymcji w dziedzinie częsoliwości widm ego sygnłu. Wyznczone n podswie pobrnych próbek sygnłu współczynniki funkcji proksymujących umożliwiją esymcję poszukiwnej wrości częsoliwości.

11 Pomiry młych częsoliwości w obecności zkłóceń 305 Przedswion meod wykorzysując rozwinięcie funkcji sinus w szereg Tylor pozwl wyznczyć częsoliwość w czsie równym kilku okresom sygnłu mierzonego. Opymlne wrości prmerów lgorymu uslono meodą symulcji progrmowej orz zweryfikowno eksperymenlnie w rzeczywisym ukłdzie. Z przeprowdzonych bdń wynik, że włściwości meody głównie zleżą od szerokości okn pomirowego, liczby wyrzów rozwinięci w szereg Tylor orz od częsoliwości próbkowni. 7. LITERATURA. Wiszniewski A.: Algorymy pomirów cyfrowych w uomyce elekroenergeycznej; Wydwnicw Nukowo-Techniczne, Wrszw Łobos T.: Nonrecursive mehods for rel-ime deerminion of bsic wveforms of volges nd currens; IEEE Proceedings, Generion, Trnsmission nd Disribuion, Vol. 36, November 989, pp Phdke A.G., Thorp J.S., Admik M.G.: A new mesuring echnique for rcking volge phsors, locl sysem frequency nd re of chnge of frequency; IEEE Trnscion on Power Apprus nd Sysems, Vol. PAS-0, No. 5, Moore P.J., Crrnz R.D., Johns A.T.: A New Numeric Technique for High-Speed Evluion of Power Sysem Frequency; IEEE Proceedings, Generion, Trnsmission nd Disribuion, Vol. 4, No. 5, Sepember 994, pp Akke Mgnus: Frequency Esimion by Demodulion of Two Complex Signls; IEEE Trnscion on Power Delivery, Vol., No., Jnury Begović M.M., Phdke A.G.: Frequency Trcking in Power Neworks in he Presence of Hrmonics; IEEE Trnscion on Power Delivery, Vol. 8, No., April 993, pp Rezmer J.: Cyfrowe wyzncznie częsoliwości skłdowej podswowej sygnłu w czsie rzeczywisym; prc dokorsk, Poliechnik Wrocłwsk Girgis A.A., Hm F.M.: A New FFT - Bsed Digil Frequency Rely for Lod Shedding; IEEE Trnscion on Power Apprus nd Sysems, Vol. PAS-0 Feb. 98, ss Schdev M. S., Giry M. M.: Ampliude nd Frequency Mesuremen by Discree Fourier Trnsform nd Les Squres Technique; Trnscion of The Cndin Elecric Associion, Engineering nd Operion Division, Vol. 4, P3, 985, Pper No. 84-SP Eckhr V., Hippe P., Hosemnn G.: Dynmic Mesuring of Frequency nd Frequency Oscillions in Muliphse Power Sysem; IEEE Trnscion on Power Delivery, Vol.4, Jnury 989, ss Schdev M.S., Giry M.M.: A Les Error Squres Technique for Deermining Power Sysem Frequency; IEEE Trnscion on Power Apprus nd Sysems, Vol. PAS-04, No., Februry 985.

12 306. Giry M.M., Schdev M.S.: OFF - Nominl Frequency Mesuremens in Elecric Power Sysems; IEEE Trnscion on Power Delivery, Vol. 4, July 989, ss ABSTRACT This pper presens some specs of low frequency mesuremens in he presence of noise. The ex begins wih discussion on he fundmenls of he convenionl elecronic couner nd is pplicion for low frequency mesuremens. The min problem h couners hve in low frequency mesuremens sems he fc h heir inpu circuis re opimized for high frequency couning, i.e. for deecing zero crossing, bu precisely define he rigger poin on slowly rising signls is very difficul. Nex, he heoreicl bsis nd severl mesuremens lgorihms for frequency mesuremens bsed on smpled d of volge signl re presened. One proposed mehod bsed on he les error squres curve fiing echnique wih Tylor series is discussed. Some es resuls re presened in he pper oo. Smpled d window size, smpling re, ime reference nd runcion of he Tylor series re criicl prmeers of he presened lgorihm. For ech d window size, errors in he mesured frequency increse wih he deviion of he signl frequency from he nominl vlue increse. For consn window size, he frequency mesuremen ccurcy depends significnly on he smpling re. If more erms of he Tylor series expnsion re used o pproxime he sine nd cosine erms, mesuremens off-nominl frequencies would be more ccure. In conclusion, mehod for ccure nd fs deerminion of he low frequency in he presence of noise hs been presened in his pper. This mehod is useful in designing digil meers nd relys needed for fs mesuremen of power sysem prmeers over lrge frequency rnge.