POMIARY MAŁYCH CZĘSTOTLIWOŚCI W OBECNOŚCI ZAKŁÓCEŃ

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "POMIARY MAŁYCH CZĘSTOTLIWOŚCI W OBECNOŚCI ZAKŁÓCEŃ"

Transkrypt

1 Meriły konferencji nukowo-echnicznej PPM 0 Poliechnik Lubelsk Kedr Auomyki i Merologii POMIARY MAŁYCH CZĘSTOTLIWOŚCI W OBECNOŚCI ZAKŁÓCEŃ W prcy porusz się problemykę pomiru młych częsoliwości w obecności zkłóceń. Prezenuje się podswy eoreyczne i lgorymy meod bzujących n przewrzniu wrości chwilowych sygnłu. Rozwż się lgorym wykorzysujący meodę njmniejszych kwdrów i rozwinięcie funkcji sinusoidlnej w szereg Tylor. Przedswi się rezuly esów. LOW FREQUENCY MEASUREMENTS IN THE PRESENCE OF NOISE The pper presens some specs of low frequency mesuremens in he presence of noise. The heoreicl bckground nd severl mesuremens lgorihms bsed on smpled d of volge signl re presened. A new mehod bsed on he les error squres curve fiing echnique wih Tylor series is discussed in deils. Some es resuls re presened in he pper oo.. WPROWADZENIE Pomiry częsoliwości są dziś relizowne zzwyczj z pomocą uniwerslnych liczników-częsościomierzy cyfrowych. Przyrządy e są uznwne z sosunkowo dokłdne, pomiry relizowne z ich pomocą są w większości zsosowń obrczone niewielkimi, kcepowlnymi przez użykownik błędmi. Nie zwsze jednk jes o prwdą. Niepewność pomiru częsościomierzem cyfrowym mją ż rzy skłdowe: niepewność wzorc, niepewność kwnowni orz niepewność wnoszon przez ukłdy wejściowe. Generor wzorcowy częsościomierz cyfrowego jes sosunkowo dokłdny, jego błąd jes nie większy od ±0-5, w przyrządch wyższej klsy jes mniejszy od ±0-8. Wysok dokłdność wzorc częsoliwości może sugerowć wysoką dokłdność wszyskich pomirów relizownych częsościomierzem cyfrowym, le kolejny skłdnik - niepewność kwnowni zleży od czsu owrci brmki orz od wrości mierzonej częsoliwości i może on osiągć sosunkowo duże wrości. Dl przykłdu, przy pomirze częsoliwości npięci w sieci energeycznej 50 Hz w czsie 0 s (njdłuższy prkycznie sosowny czs owrci brmki) niepewność kwnowni osiąg wrość ±0, %, czyli o kilk rzędów więcej od błędu wzorc. niepewność ę możn ogrniczyć zsępując bezpośredni pomir częsoliwości pomirem okresu, le pojwi się wedy niepewność wnoszon przez ukłdy wejściowe, kór może osiągć również sosunkowo duże wrości, szczególnie jeśli sygnł jes zniekszłcony,

2 96 zszumiony i posid niezby srome zbocz w okolicy przejści przez poziom zerowy. Objwi się o drżeniem zboczy określjących począek i koniec okresu sygnłu F x, w kórym zliczne są impulsy sygnłu wzorcowego F w, co ilusruje rys.. Typowo przyjmuje się, że dl sosunku sygnłu sinusoidlnego do zkłóceń równego 40 db niepewność przy pomirze jednego okresu jes rzędu 0,3 %. Przy pomirze wielokroności okresu niepewność proporcjonlnie zmniejsz się, le koszem wydłużni czsu rwni pomiru. Fx Fw Fx Fx Fw Rys.. Błąd wnoszony przez ukłdy wejściowe przy pomirch młych częsoliwości Fig.. Trigger poin error by deecing zero crossings in low frequency mesuremens Podsumowując, klsyczny częsościomierz cyfrowy przy pomirch młych częsoliwości sygnłów sinusoidlnych, zszumionych i zwierjących wyższe hrmoniczne nie gwrnuje dobrych rezulów. Typowym przykłdem może u być pomir częsoliwości npięci w sieci energeycznej 50 Hz, szczególnie gdy wynik pomiru musi być uzyskny w sosunkowo krókim czsie, np. poniżej s wymgnym przez ukłdy zbezpieczeń. W kim przypdku zsosownie ukłdu klsycznego częsościomierz cyfrowego nie jes możliwe. Z ych włśnie powodów w lierurze pojwi się corz więcej opisów nowych meod cyfrowego pomiru częsoliwości, nie wykorzysujących srukury klsycznego częsościomierz oprej n zliczniu impulsów, lecz bzujących n lgorymch cyfrowego przewrzni sygnłów poddnych opercji próbkowni i kwnowni.. ALGORYTMY DSP W POMIARACH CZĘSTOTLIWOŚCI Z memycznego punku widzeni zsosownie lgorymów DSP do pomirów częsoliwości poleg n proksymcji spróbkownego i skwnownego sygnłu odpowiednio dobrną funkcją w dziedzinie czsu lub proksymcji w dziedzinie

3 Pomiry młych częsoliwości w obecności zkłóceń 97 częsoliwości widm ego sygnłu, co przedswiono n rys.. Algorymy e w ogólności relizują filry cyfrowe, kórych prmery są dosrjne do mierzonego sygnłu lub eż bdn jes odpowiedź filru o prmerch uslonych, pobudzonego mierzonym sygnłem. Algorymy e w swej idei nwiązują do znnych nlogowych meod pomiru częsoliwości kich jk: dobór prmerów filru srojonego (moski), bdnie odpowiedzi filru pobudzonego mierzonym sygnłem (częsościomierze logomeryczne), nliz hrmoniczn z pomocą zeswu filrów wąskopsmowych (częsościomierz wibrcyjny), porównnie z sygnłem wzorcowym poprzez mnożenie (meody heerodynowe) lub sumownie (porównnie fzy - krzywe Lissjous ). Fx Fw proksymcj w dziedzinie czsu 3 3 proksymcj w dziedzinie częsoliwości ω ωx Rys.. Wyzncznie częsoliwości sygnłu poprzez proksymcję próbek w dziedzinie czsu i w dziedzinie częsoliwości Fig.. Esymion frequency of signl by pproximion smples in ime domin nd in frequency domin W njprosszy sposób częsoliwość sygnłu możn wyznczyć n podswie wrości jego próbek poprzez określenie liczby próbek odpowidjących jednemu okresowi [], co prkycznie odpowid klsycznej meodzie częsościomierz cyfrowego z wirulnym licznikiem relizownym w pmięci kompuer wykonującego obliczeni, ze wszyskimi

4 98 zlemi i wdmi klsycznego częsościomierz cyfrowego. Znczną poprwę dokłdności możn w ej meodzie osiągnąć poprzez precyzyjniejsze wyznczenie chwil przejści sygnłu przez poziom zerowy, sosując proksymcję liniową lub wyższego rzędu []. Zsosownie splou sygnłu z funkcją Wlsh umożliwi precyzyjne wyznczenie odchyleni częsoliwości od wrości znmionowej [], []. Meod jes sosunkowo szybk i dokłdn już przy młych częsoliwościch próbkowni, le przedził pomiru jes wąski, lgorym jes wrżliwy n zniekszłceni sygnłu i jego mpliudę. Wyznczenie odchyleni od częsoliwości znmionowej jes również możliwe poprzez korelcję sygnłu z funkcjmi sinus/cosinus [3] i określenie okresu zmienności wyliczonych współczynników korelcji. Podobn w swej idei jes również meod dekompozycji sygnłu n dwie skłdowe orogonlne [4], wykorzysując dw cyfrowe filry orogonlne o odpowiednio dobrnych współczynnikch. Sygnły orogonlne wykorzysuje również meod demodulcji [5], [6], w kórej chwilowe odchylenie od częsoliwości znmionowej oblicz się n podswie szybkości przyrosu fzy sygnłu. Sosunkowo prosą meodą jes wykorzysnie drugiej pochodnej funkcji sinus [7], kórej zleą jes niewrżliwość n wrość mpliudy sygnłu. Jednk cyfrowe różniczkownie sygnłu jes opercją sosunkowo kłopoliwą, gdyż przy sygnle zszumionym lub zniekszłconym pojwiją się duże niepewności spowodowne górnoprzepusową chrkerysyką częsoliwościową członu różniczkującego. Podobn w swej idei jes meod polegjąc n opymlizcji (minimlizcji wrości średniokwdrowej błędu) rozwiązni równni różniczkowego drugiego rzędu [7]. Kilk kolejnych meod wykorzysuje pewne wybrne włściwości rnsformy Fourier. Meod wykorzysując efek przecieku (FFT lekge effecs) [8] bzuje n znnej włściwości lgorymu FFT, polegjącej n ym, że jeśli okno pomirowe nie jes cłkowią wielokronością okresu sygnłu przewrznego, o w jego widmie pojwią się hrmoniczne nie wysępujące w rzeczywisości. Jko mirę odchyleni mierzonej częsoliwości od wrości znmionowej przyjmuje się odpowiednio zdefiniowny współczynnik przecieku. Meod wymg niesey synchronizcji położeni okn pomirowego względem przejść sygnłu przez poziom zerowy. W kolejnej meodzie [8], [9] rnsformę FFT oblicz się również w oknie pomirowym o słej długości, le przemieszczjącym się wzdłuż osi czsu. Częsoliwość sygnłu wyzncz się poprzez porównnie zwrości wyższych hrmonicznych w widmch wyznczonych dl różnych położeń okn pomirowego. Trnsform FFT może być również zsosown do pomiru częsoliwości sygnłu poprzez wyznczenie prędkości obroowej wirującego wskzu npięci [0]. Częsoliwość sygnłu oblicz się w ej meodzie jko pochodną (ilorz różnicowy) fzy wirującego wekor npięci sygnłu, przy czym chwilową wrość ej fzy orzymuje się jko rcg ze sosunku części urojonej do rzeczywisej wekor npięci obliczonych z pomocą rnsformy FFT. Pewnym rozszerzeniem ej meody jes zsosownie dodkowo średniokwdrowej proksymcji chwilowego przebiegu fzy [6], co skuecznie łumi wpływ zkłóceń n wynik pomiru. Szczególną uwgę wro zwrócić n meodę wykorzysującą rozwinięcie funkcji

5 Pomiry młych częsoliwości w obecności zkłóceń 99 sinusoidlnej w szereg Tylor [], []. Zsosownie w lgorymie obliczeń meody njmniejszych kwdrów skukuje korzysnymi włściwościmi ej meody. 3. ZASTOSOWANIE ROZWINIĘCIA FUNKCJI SINUS W SZEREG TAYLORA Zsosownie rozwinięcie funkcji sinusoidlnej w szereg Tylor [], [3] umożliwi pomir częsoliwości sygnłu wokół wrości znmionowej ω n, przy czym współczynniki rozwinięci wyznczne są meodą njmniejszych kwdrów. Przyjmując, że przebieg npięci wyrżony jes równniem (): gdzie: A - mpliud npięci, ω - pulscj, - czs, ψ - fz począkow npięci, ( ) = ( + ) u A sin ω ψ, () orz sosując znną ożsmość rygonomeryczną: ( ω + ψ ) = ψ ( ω ) + ψ ( ω ) sin cos sin sin cos równnie () możn przedswić w posci: ( ) = cos sin( ) + sin cos( ), () u A ψ ω A ψ ω. (3) Funkcje sin(ω ) i cos(ω ) możn rozwinąć w szereg Tylor wokół wrości częsoliwości znmionowej ω n : sin n= 0 cos n= 0 m m ( ω ) ( ) ( ω ω n) sin( ω n) ( ) n m = + m! m= 0 n+ n +! ( ) ( ) n+ ω ω cos ( ω ) n n m m ( ω ) ( ) ( ω ω n) cos( ω n) ( ) n m = + m= 0 m! ( ) ( ω ω ) sin ( ω ). (5) n+ + n+ n n n +! Po podswieniu (4) i (5) do (3), uwzględnijąc dl przykłdu sześć pierwszych skłdników szeregu M=6 i przyjmując N wrości próbek npięci u, u,...,u N zmierzonych w równych odsępch czsu T P możn zpisć rozwinięcie w szereg Tylor w posci (6), (4)

6 300 pmięjąc, że zmienną w równniu jes częsoliwość ω, czs prmer: gdzie: k =,... N = k T p rkowny jes jko uk = kx + k x + k 3x3 + k 4x4 + k 5x5 + k 6x, 6 (6) x = A cosψ, x = ( ω ω n) A cos ψ, x3 = A sinψ, x4 = ( ω ω n) A sin ψ, x5 = ω + ωω n ω n A cos ψ, x6 = ω + ωω n + ω n A sin ψ, = sin( ω kt ), k = ktp cos( ω nktp ), = cos( ω kt ), k 4 = ktp sin( ω nktp ), = ( ) sin( ω ), k 6 ( ktp ) ( nktp ) k n p k 3 n p kt kt k 5 p n p = cos ω. Pmięjąc, że poszukujemy kiej wrości ω, by dl dnych wrości i u() spełniony był ukłd równń (6), możemy przedswić go w zpisie mcierzowym: U = A X, (7) gdzie: U = u u. u N A =. N. N 3 3. N N N N 6 x x x 3 X =. x4 x 5 x6 W przypdku, gdy A jes mcierzą kwdrową (N=6) zdnie poleg n klsycznym rozwiązniu ukłdu sześciu równń liniowych z sześciom niewidomymi x, x,..., x 6. W kim przypdku wszyskie współczynniki są jednozncznie określone poprzez wybrną częsoliwość wzorcową ω n, przyjęy w pomirch okres próbkowni T p orz numer kolejny próbki k. Wrości npięć u, u,..., u k orzymujemy nomis z pomirów. Dl większej liczby próbek (N>6) możn uzyskć wyższą dokłdność pomiru, poniewż ukłd równń (7) sje się ndokreślony, mcierz współczynników może być wyznczon meodą njmniejszych kwdrów i pomir sje się mniej wrżliwy n przypdkowe zkłóceni. Rozwiąznie ndokreślonego ukłdu równń (7) jes równowżne zgdnieniu proksymcji w sensie njmniejszych kwdrów i sprowdz się do minimlizcji normy jednokolumnowej mcierzy residuów R:

7 Pomiry młych częsoliwości w obecności zkłóceń 30 R =, gdzie: R=AX-U. (8) Rozwiązując ukłd równń (7) sosuje się rchunek mcierzowy: i r i T T [ A A] A U X =. (9) Z obliczonych wrości x.. x 6 możn wyznczyć odchylenie częsoliwości Ω: lub ( ω ω ) Ω = = n ( ) ω ω A cosψ n A cosψ 3 x x = = x x 4 3, (0) x + x4 Ω = ( ω ω n ) =. () x + x Osecznie częsoliwość mierzon wyznczn jes n podswie zleżności: ω = ω n + Ω. () 4. TESTOWANIE ALGORYTMU PRZETWARZANIA DANYCH Przy użyciu pkieu MATLAB przeprowdzono bdni symulcyjne mjące n celu określenie wrości błędu bezwzględnego pomiru częsoliwości zsosownego lgorymu w zleżności od wrości mierzonej częsoliwości orz rodzju i sopni zniekszłceni przebiegu, orz określenie niepewności związnej z zkłócenimi przebiegu npięci. Bdni przeprowdzono w zkresie częsoliwości sygnłu od 0 do 80 Hz dl różnych wrości kryycznych prmerów meody: częsoliwości próbkowni sygnłu fs=400, 600, 800 Hz, szerokości okn pomirowego ws=,, 3 (wyrżonej w okresch częsoliwości znmionowej ω n =50 Hz) orz liczby wyrzów rozwinięci funkcji sinus w szereg Tylor s=4, 6, 8. Zsosowno sześć sygnłów esujących: od czysego przebiegu sinusoidlnego poprzez przebieg sinusoidlny z wprowdzonym szumem n poziomie % mpliudy sygnłu, ż do przebiegu sinusoidlnego zwierjącego 3, 5 i 7 hrmoniczną n poziomch odpowiednio 3%, % i % mpliudy sygnłu orz szum flukucyjny n poziomie % mpliudy sygnłu. Tesy wykzły, że bdny lgorym pomiru częsoliwości jes njmniej wrżliwy n zminy wrości częsoliwości próbkowni fs. Jko opymlną wrość przyjęo fs=600 Hz. Zncznie większy wpływ n dziłnie lgorymu m dokłdność rozwinięci funkcji sinus, wyrżon liczbą wyrzów szeregu Tylor s. Zwiększenie z s=6 do s=8 wyrzów nie poprwi isonie dokłdności pomiru, lecz zdecydownie zwiększ czs przewrzni

8 30 dnych pomirowych. Nomis zmniejszenie liczby wyrzów szeregu do s=4 prowdzi do ego, że zleżność błędu pomiru od częsoliwości rci n liniowości. Zyskuje się jednk nieco n szybkości pomiru orz dokłdności pomiru w ooczeniu częsoliwości 50 Hz w przypdku sygnłów zkłóconych. Przyjęo opymlną wrość prmeru s=6. Njwżniejszym spośród rzech kryycznych prmerów opisywnej meody jes jednk szerokość zsosownego okn pomirowego ws. Przy szerokości okn ws=, zn. równej jednemu okresowi częsoliwości znmionowej, meod może być sosown jedynie w wypdku pomiru przebiegów idelnie sinusoidlnych, wysępownie nwe niewielkich zkłóceń w sygnle mierzonym prowdzi do niesbilnej prcy lgorymu. Okno pomirowe o szerokości ws= jes rozwiązniem opymlnym dl przebiegów niezniekszłconych. W ym przypdku pomir jes w mirę szybki i obrczony młymi błędmi. Zwiększenie szerokości okn pomirowego do wrości ws= prowdzi do pogorszeni się liniowości zleżności błędu pomiru od częsoliwości. Zwiększ się nomis dokłdność pomiru częsoliwości w przypdku przebiegów zkłóconych wyższymi hrmonicznymi orz szumem flukucyjnym, co m związek z zsosowniem w meodzie proksymcji średniokwdrowej. Dl przykłdu n rys.3 przedswiono zleżność błędu pomiru częsoliwości sygnłu sinusoidlnego w zleżności od szerokości okn pomirowego, przy częsoliwości próbkowni fs=600 Hz orz liczbie wyrzów rozwinięci w szereg Tylor s=6. Rys.3. Błąd pomiru częsoliwości w rybie symulcji: fs=600hz, s=6, ws=,,3 Fig.3. Frequency mesuremens error in simulion mode: fs=600hz, s=6, ws=,,3

9 Pomiry młych częsoliwości w obecności zkłóceń EKSPERYMENTY Z RZECZYWISTYMI SYGNAŁAMI Bdni eksperymenlne przedswionej meody zrelizowno w ukłdzie pomirowym przedswionym n rys.4. Wykorzysno kompuer klsy IBM PC wyposżony w krę pomirową AT-MIO-6E-0 firmy Nionl Insrumens i oprogrmownie npisne w języku Turbo C++, relizujące lgorym pomirowy. Jko źródło sygnłu mierzonego zsosowno cyfrowy generor funkcyjny HP330A firmy Hewle Pckrd. Generor en dosrczł sygnł sinusoidlny o mpliudzie 0 V pp i żądnej częsoliwości z niepewnością ±0-6 Hz. generor funkcyjny HP 330A kr pomirow AT-MIO-6E-0 ISA kompuer klsy IBM PC Rys. 4. Schem blokowy ukłdu pomirowego Fig. 4. Block digrm of mesuremen circui Podczs bdń wyznczno bezwzględne błędy pomiru dl częsoliwości z zkresu od 40 do 60 Hz, z krokiem równym Hz. Dl kżdej z częsoliwości wykonywno 0 pomirów, co 00 ms. Pomiry zrelizowno dl opymlnych wrości prmerów lgorymu uslonych podczs bdń symulcyjnych: częsoliwości próbkowni sygnłu mierzonego fs=600 Hz, szerokości okn pomirowego ws= orz liczby wyrzów rozwinięci funkcji sinus w szereg Tylor s=6. Uzyskne rezuly eksperymenów przedswiono n Rys. 5. Dl kżdego punku pomirowego obliczono z serii wyników wrość średnią zmierzonej częsoliwości f śr orz odchylenie sndrdowe σ p, n wykresie przedswiono błąd bezwzględny pomiru z zznczoną dl kżdego punku pomirowego niepewnością rozszerzoną 3σ p. Wyniki pomirów w ukłdzie rzeczywisym powierdziły rezuly uzyskne w bdnich symulcyjnych, o czym świdczy podobieńswo wykresów przedswionych n rys.3. orz n rys.5. Uzyskne wyniki pomirów pozwlją swierdzić, że w przedzile częsoliwości od 40 do 60 Hz niepewność pojedynczego pomiru nie przekrcz ±0, % (0,05 Hz), niepewność wrości średniej z 0 pomirów jes mniejsz od ±0,04 % (0,0 Hz).

10 304 Błąd bezwzględny Fx [Hz] 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0, , ,04-0,06-0,08-0,0 Częsoliwość mierzon Fx [Hz] Rys. 5. Błąd bezwzględny orz niepewność rozszerzon pomiru częsoliwości w ukłdzie rzeczywisym: fs=600hz, s=6, ws= Fig. 5. Frequency mesuremens error in rel circuis: fs=600hz, s=6, ws=, wih indiced 3σ p unceriny spn 6. PODSUMOWANIE Klsyczn cyfrow meod pomiru częsoliwości nie zpewni odpowiedniej jkości pomirów w wielu prkycznie spoyknych syucjch: dl młych częsoliwości, dl sygnłów o niezby sromych zboczch, w ym również sinusoidlnych (np. częsoliwości sieciowej 50 Hz), szczególnie w obecności zkłóceń i dl sygnłów silnie zniekszłconych. Kryycznym punkem klsycznych lgorymów jes określnie chwil przejści sygnłu przez zero, n podswie kórych wyznczn jes wrość częsoliwości sygnłu. Pozosłe wrości sygnłu również niosące informcję pomirową nie są już uwzględnine w lgorymie. Zsosownie lgorymów DSP do pomirów częsoliwości nwiązuje w swej idei do znnych meod nlogowych: dobór prmerów filru srojonego, bdnie odpowiedzi filru pobudzonego mierzonym sygnłem, nliz hrmoniczn z pomocą zeswu filrów wąskopsmowych, porównnie z sygnłem wzorcowym. Z memycznego punku widzeni zsosownie lgorymów DSP do pomirów częsoliwości poleg n proksymcji spróbkownego i skwnownego sygnłu odpowiednio dobrną funkcją w dziedzinie czsu lub proksymcji w dziedzinie częsoliwości widm ego sygnłu. Wyznczone n podswie pobrnych próbek sygnłu współczynniki funkcji proksymujących umożliwiją esymcję poszukiwnej wrości częsoliwości.

11 Pomiry młych częsoliwości w obecności zkłóceń 305 Przedswion meod wykorzysując rozwinięcie funkcji sinus w szereg Tylor pozwl wyznczyć częsoliwość w czsie równym kilku okresom sygnłu mierzonego. Opymlne wrości prmerów lgorymu uslono meodą symulcji progrmowej orz zweryfikowno eksperymenlnie w rzeczywisym ukłdzie. Z przeprowdzonych bdń wynik, że włściwości meody głównie zleżą od szerokości okn pomirowego, liczby wyrzów rozwinięci w szereg Tylor orz od częsoliwości próbkowni. 7. LITERATURA. Wiszniewski A.: Algorymy pomirów cyfrowych w uomyce elekroenergeycznej; Wydwnicw Nukowo-Techniczne, Wrszw Łobos T.: Nonrecursive mehods for rel-ime deerminion of bsic wveforms of volges nd currens; IEEE Proceedings, Generion, Trnsmission nd Disribuion, Vol. 36, November 989, pp Phdke A.G., Thorp J.S., Admik M.G.: A new mesuring echnique for rcking volge phsors, locl sysem frequency nd re of chnge of frequency; IEEE Trnscion on Power Apprus nd Sysems, Vol. PAS-0, No. 5, Moore P.J., Crrnz R.D., Johns A.T.: A New Numeric Technique for High-Speed Evluion of Power Sysem Frequency; IEEE Proceedings, Generion, Trnsmission nd Disribuion, Vol. 4, No. 5, Sepember 994, pp Akke Mgnus: Frequency Esimion by Demodulion of Two Complex Signls; IEEE Trnscion on Power Delivery, Vol., No., Jnury Begović M.M., Phdke A.G.: Frequency Trcking in Power Neworks in he Presence of Hrmonics; IEEE Trnscion on Power Delivery, Vol. 8, No., April 993, pp Rezmer J.: Cyfrowe wyzncznie częsoliwości skłdowej podswowej sygnłu w czsie rzeczywisym; prc dokorsk, Poliechnik Wrocłwsk Girgis A.A., Hm F.M.: A New FFT - Bsed Digil Frequency Rely for Lod Shedding; IEEE Trnscion on Power Apprus nd Sysems, Vol. PAS-0 Feb. 98, ss Schdev M. S., Giry M. M.: Ampliude nd Frequency Mesuremen by Discree Fourier Trnsform nd Les Squres Technique; Trnscion of The Cndin Elecric Associion, Engineering nd Operion Division, Vol. 4, P3, 985, Pper No. 84-SP Eckhr V., Hippe P., Hosemnn G.: Dynmic Mesuring of Frequency nd Frequency Oscillions in Muliphse Power Sysem; IEEE Trnscion on Power Delivery, Vol.4, Jnury 989, ss Schdev M.S., Giry M.M.: A Les Error Squres Technique for Deermining Power Sysem Frequency; IEEE Trnscion on Power Apprus nd Sysems, Vol. PAS-04, No., Februry 985.

12 306. Giry M.M., Schdev M.S.: OFF - Nominl Frequency Mesuremens in Elecric Power Sysems; IEEE Trnscion on Power Delivery, Vol. 4, July 989, ss ABSTRACT This pper presens some specs of low frequency mesuremens in he presence of noise. The ex begins wih discussion on he fundmenls of he convenionl elecronic couner nd is pplicion for low frequency mesuremens. The min problem h couners hve in low frequency mesuremens sems he fc h heir inpu circuis re opimized for high frequency couning, i.e. for deecing zero crossing, bu precisely define he rigger poin on slowly rising signls is very difficul. Nex, he heoreicl bsis nd severl mesuremens lgorihms for frequency mesuremens bsed on smpled d of volge signl re presened. One proposed mehod bsed on he les error squres curve fiing echnique wih Tylor series is discussed. Some es resuls re presened in he pper oo. Smpled d window size, smpling re, ime reference nd runcion of he Tylor series re criicl prmeers of he presened lgorihm. For ech d window size, errors in he mesured frequency increse wih he deviion of he signl frequency from he nominl vlue increse. For consn window size, he frequency mesuremen ccurcy depends significnly on he smpling re. If more erms of he Tylor series expnsion re used o pproxime he sine nd cosine erms, mesuremens off-nominl frequencies would be more ccure. In conclusion, mehod for ccure nd fs deerminion of he low frequency in he presence of noise hs been presened in his pper. This mehod is useful in designing digil meers nd relys needed for fs mesuremen of power sysem prmeers over lrge frequency rnge.

PROGNOZOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH

PROGNOZOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH SSof Polsk, el. (1) 4843, (61) 414151, info@ssof.pl, www.ssof.pl PROGNOZOWANIE FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Andrzej Sokołowski Akdemi Ekonomiczn w Krkowie, Zkłd Sysyki W oprcowniu ym przedswiono pewną

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

POMIARY ELEKTRYCZNE WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH 2

POMIARY ELEKTRYCZNE WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH 2 Poliechni Biłosoc Wydził Eleryczny Kedr Eleroechnii eoreycznej i Merologii Lbororium z przedmiou POMIRY ELEKRYCZNE WIELKOŚCI NIEELEKRYCZNYCH Kod przedmiou: EZB Ćwiczenie p. NLIZ WIDMOW PRMERÓW DRGŃ MECHNICZNYCH

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

Stanisław RADKOWSKI. Politechnika Warszawska, Instytut Podstaw Budowy Maszyn,

Stanisław RADKOWSKI. Politechnika Warszawska, Instytut Podstaw Budowy Maszyn, WYKORZYSTANIE STACJONARNYCH STACJI MONITORINGU W WYKRYWANIU USZKODZEŃ POJAZDÓW Snisłw RADKOWSKI Poliechnik Wszwsk, Insyu Podsw Budowy Mszyn, ul. Nbu 84, 0-54 Wszw 0 660 86, e-mil: s@sim.pw.edu.pl Scj monioingu

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

Autor: Zbigniew Tuzimek Opracowanie wersji elektronicznej: Tomasz Wdowiak

Autor: Zbigniew Tuzimek Opracowanie wersji elektronicznej: Tomasz Wdowiak DNIE UKŁDÓW LOKD UTOMTYCZNYCH uor: Zigniew Tuzimek Oprcownie wersji elekronicznej: Tomsz Wdowik 1. Cel i zkres ćwiczeni Celem ćwiczeni jes zpoznnie sudenów z udową orz dziłniem zezpieczeń i lokd sosownych

Bardziej szczegółowo

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych Edwrd Musił Oddził Gdński SEP Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje nieml wyłącznie obliczeni przybliżone i powinien mieć nieustnnie n względzie dokłdność, jką chce uzyskć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC

KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 8 nr Archiwum Technologii Mszyn i Automtyzcji 008 PIOTR FRĄCKOWIAK KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC W rtykule

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ANALIZY CZASOWO-CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ W DIAGNOZOWANIU LOKALNYCH USZKODZEŃ PRZEKŁADNI ZĘBATYCH

ZASTOSOWANIE ANALIZY CZASOWO-CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ W DIAGNOZOWANIU LOKALNYCH USZKODZEŃ PRZEKŁADNI ZĘBATYCH Szybkobieżne Pojzdy Gąsienicowe (14) nr 1, 2001 Andrzej WILK Henryk MADEJ Bogusłw ŁAZARZ ZASTOSOWANIE ANALIZY CZASOWO-CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ W DIAGNOZOWANIU LOKALNYCH USZKODZEŃ PRZEKŁADNI ZĘBATYCH Streszczenie:

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych TDUSZ KRT TOMSZ PRZKŁD Ukłd elektrohydruliczny do bdni siłowników teleskopowych i tłokowych Wprowdzenie Polsk Norm PN-72/M-73202 Npędy i sterowni hydruliczne. Cylindry hydruliczne. Ogólne wymgni i bdni

Bardziej szczegółowo

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa. 1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka składu strukturalno-grupowego olejów napędowych i średnich frakcji naftowych z zastosowaniem GC/MS

Charakterystyka składu strukturalno-grupowego olejów napędowych i średnich frakcji naftowych z zastosowaniem GC/MS NAFTA-GAZ lipiec 2012 ROK LXVIII Xymen Mzur-Bdur, Michł Krsodomski Instytut Nfty i Gzu, Krków Chrkterystyk skłdu strukturlno-grupowego olejów npędowych i średnich frkcji nftowych z zstosowniem GC/MS Wstęp

Bardziej szczegółowo

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3. Dobór mikrosilnika prądu stałego do układu pozycjonującego

Ćwiczenie 3. Dobór mikrosilnika prądu stałego do układu pozycjonującego - projektownie Ćwiczenie 3 Dobór ikrosilnik prądu stłego do ukłdu pozycjonującego Instrukcj Człowiek - njlepsz inwestycj Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rch Europejskiego Funduszu Społecznego

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA NR 04 POMIARY I OCENA ŚRODOWISK CIEPLNYCH

INSTRUKCJA NR 04 POMIARY I OCENA ŚRODOWISK CIEPLNYCH LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 04 POMIARY I OCENA ŚRODOWISK CIEPLNYCH 1. Cel insrukci Cele insrukci es określenie wygń doyczących sposobu oceny środowisk

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

Badanie regularności w słowach

Badanie regularności w słowach Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R E-14

Ć W I C Z E N I E N R E-14 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA ELEKTRYCZNOŚCI I MAGNETYZMU Ć W I C Z E N I E N R E-14 WYZNACZANIE SZYBKOŚCI WYJŚCIOWEJ ELEKTRONÓW

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe. x i 1

Równania nieliniowe. x i 1 MN 08 Równni nieliniowe Wprowdzenie Podstwowe pytni 1. Pytnie: Czy komputer umie rozwiązywć równni nieliniowe f(x) = 0? Odpowiedź (uczciw): nie. 2. P: To jk on to robi? O: Dokłdnie tk, jk przy cłkowniu

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.

Rozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe. Wyzczie prędkości i przyspieszeń cił w ruchu posępowym, obroowym i płskim orz chwilowych środków obrou w ruchu płskim. Ruch korbowodu część II Zdie.. Prę o długości L ślizg się jedym końcem (puk po podłodze,

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Opis i analiza metod pomiaru prędkości kątowej. Prądnice tachometryczne.

Opis i analiza metod pomiaru prędkości kątowej. Prądnice tachometryczne. Opis i nliz metod pomiru prędkości kątowej. Prądnice tcometryczne. Prądnice tcometryczne są to młe prądnice elektryczne, któryc npięcie wyjściowe zwier informcję o prędkości obrotowej, w niektóryc przypdkc

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

Materiały szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA. Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB

Materiały szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA. Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB Mteriły szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB 1. Wprowdzenie Drgnimi nzywne są procesy, w których chrkterystyczne dl nich wielkości fizyczne

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wirnikiem łożyskowanym magnetycznie w obróbce powierzchni n-falowych

Sterowanie wirnikiem łożyskowanym magnetycznie w obróbce powierzchni n-falowych Pomiry Automtyk Rootyk /5 Sterownie wirnikiem łożyskownym mgnetycznie w oróce powierzchni n-flowych Zdzisłw Gosiewski Arkdiusz Mystkowski * Przedstwiono wyniki dń n-flowego ruchu nieorcjącego się wirnik

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

POROZUMIENIE. zawarte w dniu 16 maja 2014 r. w Warszawie, zwane dalej Porozumieniem, pomiędzy:

POROZUMIENIE. zawarte w dniu 16 maja 2014 r. w Warszawie, zwane dalej Porozumieniem, pomiędzy: POROZUMIENIE w sprwie przeprowdzeni pilotżu systemu komunikcji dl osób niedosłyszących (pętle indukcyjne przenośne) w jednostkch obsługujących użytkowników publicznie dostępnych usług telefonicznych orz

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa

Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa Grzegorz Dzierżnowski Mrt Sitek Smouczek Metody Elementów Skończonych dl studentów Budownictw Część I Sttyk konstrukcji prętowych OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ WARSZAWA 2012 Preskrypt n

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie I. ZASADY OGÓLNE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnzjum nr 2 im. ks. Stnisłw Konrskiego nr 2 w Łukowie 1. W Gimnzjum nr 2 w Łukowie nuczne są: język ngielski - etp educyjny III.1 język

Bardziej szczegółowo

Modelowanie sił skrawania występujących przy obróbce gniazd zaworowych

Modelowanie sił skrawania występujących przy obróbce gniazd zaworowych Scentfc Journls Mrtme Unversty of Szczecn Zeszyty ukowe Akdem Morsk w Szczecne 29, 7(89) pp. 63 67 29, 7(89) s. 63 67 Modelowne sł skrwn występujących przy obróbce gnzd zworowych Cuttng forces modelng

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 25.01.2003 r.

Matematyka finansowa 25.01.2003 r. Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),

Bardziej szczegółowo

Powietrzno-wodna instalacja zraszająca do kombajnów górniczych rozwiązanie ciągle doskonalone

Powietrzno-wodna instalacja zraszająca do kombajnów górniczych rozwiązanie ciągle doskonalone Dr inŝ. Driusz PROSTAŃSKI Mgr inŝ. Dominik BAŁAGA Mgr inŝ. Pior ROJEK Insyu Tecniki Górniczej KOMAG Mgr inŝ. Jnusz SEDLACZEK Powierzno-wodn inslcj zrszjąc do kombjnów górniczyc rozwiąznie ciągle doskonlone

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

3. Kinematyka ruchu jednostajnego, zmiennego, jednostajnie zmiennego, rzuty.

3. Kinematyka ruchu jednostajnego, zmiennego, jednostajnie zmiennego, rzuty. 3 Kinemk uchu jednosjnego zmiennego jednosjnie zmiennego zu Wbó i opcownie zdń 3-3: Bb Kościelsk zdń 33-35: szd J Bczński 3 Zleżność dogi pzebej pzez punk meiln od czsu możn opisć ównniem: () A B C 3 gdzie

Bardziej szczegółowo

Specyfikacja techniczna przedmiotu zamówienia

Specyfikacja techniczna przedmiotu zamówienia Złącznik Nr 1 do SIWZ Nzw i dres Wykonwcy Specyfikcj techniczn przedmiotu zmówieni Część nr 1 - Aprt Ultrsonogrf do bdń noworodków; 1 sztuk L.p. Wymgne prmetry techniczne Wymóg grniczny Prmetry oferowne

Bardziej szczegółowo

Numer yczne wyznaczanie wytr zymałości opakowań z tektury falistej

Numer yczne wyznaczanie wytr zymałości opakowań z tektury falistej Numer yczne wyzncznie wytr zymłości opkowń z tektury flistej Cz. 2. Bdni eksper ymentlne i nlizy numer yczne opkowń ppierowych Numericl Strength Estimte of Corrugted Bord Pckges Prt 2. Experimentl Tests

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ

ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ Ćwiczenie 8 ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ. Cel ćwiczenia Analiza złożonego przebiegu drgań maszyny i wyznaczenie częsoliwości składowych harmonicznych ego przebiegu.. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Stanowisko laboratoryjne do badań przesuwników fazowych

Stanowisko laboratoryjne do badań przesuwników fazowych Polichnika Śląska Wydział Elkryczny Insyu Mrologii i Auomayki Elkrochniczn Tma pracy: Sanowisko laboraoryn do badań przsuwników fazowych Promoor: Dr inż. Adam Cichy Dyploman: Adam Duna Srukura rfrau. Wsęp.

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

OCENA BARWY ORAZ ZAWARTOŚCI BARWNIKÓW KAROTENOIDOWYCH W OWOCACH POMIDORA NOWYCH LINII HODOWLANYCH

OCENA BARWY ORAZ ZAWARTOŚCI BARWNIKÓW KAROTENOIDOWYCH W OWOCACH POMIDORA NOWYCH LINII HODOWLANYCH BROMAT. CHEM. TOKSYKOL. XLII, 2009, 3, str. 926 931 Ew Jbłońsk-Ryś, Mrt Zlewsk-Koron OCENA BARWY ORAZ ZAWARTOŚCI BARWNIKÓW KAROTENOIDOWYCH W OWOCACH POMIDORA NOWYCH LINII HODOWLANYCH Ktedr Technologii

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

smoleńska jako nierozwiązywalny konflikt?

smoleńska jako nierozwiązywalny konflikt? D y s k u s j smoleńsk jko nierozwiązywlny konflikt? Wiktor Sorl Michł Bilewicz Mikołj Winiewski Wrszw, 2014 1 Kto nprwdę stł z zmchmi n WTC lub z zbójstwem kżnej Diny? Dlczego epidemi AIDS rozpowszechnił

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN OGANICZANIE PZEPIĘĆ W YEMACH PZEYŁ YGNAŁÓW Ochron przed przepięcimi w siecich IDN Andrzej ow Wstęp Wzrost zpotrzeowni n usługi odiegjące od klsycznego przekzu telefonicznego spowodowł gwłtowny rozwój sieci

Bardziej szczegółowo

Utworzenie optymalnej bazy wzorców w dziedzinie pomiaru parametrów impedancji zespolonych

Utworzenie optymalnej bazy wzorców w dziedzinie pomiaru parametrów impedancji zespolonych Pomiry Automtyk Rootyk 1/27 Utworzenie optymlnej zy wzorców w dziedzinie pomiru prmetrów impedncji zespolonych Michł Surdu Aleksnder Lmeko Antoni Trłowski Roert Rzepkowski W prcy przedstwiono rozwiąznie

Bardziej szczegółowo

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD Pior Jankowski Akademia Morska w Gdyni IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD W arykule przedsawiono możliwości (oraz ograniczenia) środowiska Mahcad do analizy

Bardziej szczegółowo

Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule)

Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule) MATEMATYKA STOSOWANA TOM 11/52 2010 Tdeusz Rdzik (Wrocłw) Gry czsowe (rtykuł wspomnieniowy o prof. Stnisłwie Trybule) Streszczenie. Prc jest rtykułem wspomnieniowym o prof. Stnisłwie Trybule. Wprowdz on

Bardziej szczegółowo

MXZ INVERTER SERIA. Jedna jednostka zewnętrzna może obsługiwać do 8 pomieszczeń. Ograniczenie poboru prądu. Efektywność energetyczna: klasa A

MXZ INVERTER SERIA. Jedna jednostka zewnętrzna może obsługiwać do 8 pomieszczeń. Ograniczenie poboru prądu. Efektywność energetyczna: klasa A INVERTER SERIA MXZ Typoszereg MXZ gwrntuje cicy, wysokowydjny i elstyczny system, spełnijący wszystkie wymgni w zkresie klimtyzcji powietrz. 6 MXZ-2C30VA MXZ-2C40VA MXZ-2C52VA MXZ-3C54VA MXZ-3C68VA MXZ-4C71VA

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

METODA OKREŚLANIA WIELKOŚCI KONTRAKTÓW NA ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ

METODA OKREŚLANIA WIELKOŚCI KONTRAKTÓW NA ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 3 2009 Barbara GŁADYSZ* METODA OKREŚLANIA WIELKOŚCI KONTRAKTÓW NA ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ W arykule zaproponowano meodę określania wielkości konraków na

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

5. Zadania tekstowe.

5. Zadania tekstowe. 5. Zni tekstowe. Przykł. Kolrz połowę rogi pokonł ze śrenią prękością 0 km/, rugą połowę z prękością 50 km /. Wyzncz śrenią prękość kolrz n cłej trsie. nliz : pierwsz połow rogi rug połow rogi 0 km/ prękość

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKA TEKSTURY WYBRANYCH MIKSÓW TŁUSZCZOWYCH. Ewa Jakubczyk, Ewa Gondek, Karolina Samborska

CHARAKTERYSTYKA TEKSTURY WYBRANYCH MIKSÓW TŁUSZCZOWYCH. Ewa Jakubczyk, Ewa Gondek, Karolina Samborska Zeszyty Problemowe Postępów Nuk Rolniczych nr 579, 214, 17 26 CHRKTERYSTYK TEKSTURY WYBRNYCH MIKSÓW TŁUSZCZOWYCH Ew Jkubczyk, Ew Gondek, Krolin Smborsk Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ LASEROWĄ. 88 Powłoki elektroiskrowe WC-Co modyfikowane wiązką laserową. Wstęp

POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ LASEROWĄ. 88 Powłoki elektroiskrowe WC-Co modyfikowane wiązką laserową. Wstęp Rdek N.,* Szlpko J.** *Ktedr Inżynierii Eksplotcji Politechnik Świętokrzysk, Kielce, Polsk **Khmelnitckij Uniwersytet Nrodowy, Khmelnitckij, Ukrin Wstęp 88 POWŁOKI ELEKTROISKROWE WC-CO MODYFIKOWANE WIĄZKĄ

Bardziej szczegółowo

Raport na temat stężenia fluorków w wodzie przeznaczonej do spożycia przez ludzi będącej pod nadzorem PPIS w Gdyni za 2006 rok

Raport na temat stężenia fluorków w wodzie przeznaczonej do spożycia przez ludzi będącej pod nadzorem PPIS w Gdyni za 2006 rok POWIATOWA STACJA SANITARNO-EPIDEIOLOGICZNA W GDYNI LABORATORIU BADAŃ FIZYKO-CHEICZNYCH WODY Słomir Piliszek Rport n temt stężeni fluorkó odzie przeznczonej do spożyci przez ludzi będącej pod ndzorem PPIS

Bardziej szczegółowo

Próba określenia czynników determinujących wyniki ocen wprowadzenia euro przez mieszkańców Unii Europejskiej

Próba określenia czynników determinujących wyniki ocen wprowadzenia euro przez mieszkańców Unii Europejskiej Mieczysłw Kowerski Wyższ Szkoł Zrządzni I Administrcji w Zmościu Ewelin Włodrczyk Wyższ Szkoł Zrządzni I Administrcji w Zmościu Prób określeni czynników determinujących wyniki ocen wprowdzeni euro przez

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROMAGNETYCZNYCH

MODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROMAGNETYCZNYCH Krzysztof Górecki Akdemi orsk w Gdyni Klin Detk Pomorsk Wyższ Szkoł Nuk Stosownych w Gdyni ODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROAGNETYCZNYCH Artykuł dotyczy modelowni chrkterystyk rdzeni ferromgnetycznych.

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik nr 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: POKL.05.02.01 00../..

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA BUDOWLI 5 UWZGLĘDNIENIE WPŁYWU TEMPERATURY, OSIADANIA PODPÓR I BŁĘDÓW MONTAŻOWYCH W RÓWNANIU PRACY WIRTUALNEJ.

MECHANIKA BUDOWLI 5 UWZGLĘDNIENIE WPŁYWU TEMPERATURY, OSIADANIA PODPÓR I BŁĘDÓW MONTAŻOWYCH W RÓWNANIU PRACY WIRTUALNEJ. WYKŁ DY Z ECHNIKI BUDOWLI WPŁYW TEPERTURY I BŁĄDÓW, SPOSÓB WERESZCZEGIN- OHR OBLICZNI CŁEK O Kopcz, m Łoowski, Wojciec Pwłowski, icł Płokowik, Krzszof Tmper Konsucje nukowe: prof. r. JERZY RKOWSKI Poznń

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

Szkolnictwo zawodowe a rynek pracy sektora rolno-spożywczego w województwie łódzkim

Szkolnictwo zawodowe a rynek pracy sektora rolno-spożywczego w województwie łódzkim Szkolnictwo zwodowe dl sektor rolno-spożywczego w województwie łódzkim dignoz potrzeb edukcyjnych Szkolnictwo zwodowe rynek prcy sektor rolno-spożywczego w województwie łódzkim Prognozy oprcowne w rmch

Bardziej szczegółowo

Ocena poziomu hałasu wewnątrz tramwajów na podstawie badań

Ocena poziomu hałasu wewnątrz tramwajów na podstawie badań prof. dr hb. inż. Frnciszek Tomszewski mgr inż. Młgorzt Orczyk Politechnik Poznńsk Ocen poziomu hłsu wewnątrz trmwjów n podstwie bdń W rtykule przedstwiono wyniki pomirów hłsu wewnątrz wybrnych trmwjów

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie analizy widmowej sygnału ultradwikowego do okrelenia gruboci cienkich warstw

Zastosowanie analizy widmowej sygnału ultradwikowego do okrelenia gruboci cienkich warstw AMME 1 1th JUBILEE INTERNATIONAL SC IENTIFIC CONFERENCE Zstosownie nlizy widmowej sygnłu ultrdwikowego do okreleni gruboci cienkich wrstw A. Kruk Wydził Metlurgii i Inynierii Mteriłowej, Akdemi Górniczo-Hutnicz

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

Projektowanie żelbetowych kominów przemysłowych wieloprzewodowych

Projektowanie żelbetowych kominów przemysłowych wieloprzewodowych Budownitwo i Arhitektur 3 (2008) 71-80 Projektownie żelbetowyh kominów przemysłowyh wieloprzewodowyh Mrt Słowik 1, Młgorzt Dobrowolsk 2, Krzysztof Borzęki 2 1 Ktedr Konstrukji Budowlnyh, Wydził Inżynierii

Bardziej szczegółowo