Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10

Transkrypt

1 Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E

2 Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym programem matematyki? Czy zamierzasz zdawać maturę z matematyki?

3 Zadanie PP-GP-2. Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). C B A D E Udowodnij, że CAD + DBE + ACE + ADB + BEC = 180.

5 Zadanie PP-GP-3. Punkty A, B, C, D i E są wierzchołkami gwiazdy pięcioramiennej (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E

7 Zadanie PP-GP-4. Punkty A, B, C, D i E są wierzchołkami gwiazdy pięcioramiennej (zob. rysunek). C B A D E Udowodnij, że CAD + DBE + ACE + ADB + BEC = 180.

9 Zadanie PP-GP-5. Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC = BC. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że AB = AD = CD (zob. rysunek). Oblicz miary kątów trójkąta ABC. C D A B

11 Zadanie PP-GP-6. Punkt D leży na podstawie AB trójkąta równoramiennego ABC. Odcinek CD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że AD = CD oraz BC = BD (zob. rysunek). Oblicz miary kątów trójkąta ABC. C A D B

13 Zadanie PP-GP-7. Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że AD AB = BD (zob. rysunek). Udowodnij, że ADC = 5 ACD. C = BC. Odcinek = CD oraz D A B

15 Zadanie PP-GP-8. Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym C = 90 oraz AC = 5, BC = 12 zbudowano kwadrat ACDE (zob. rysunek). Punkt H jest rzutem punktu E na prostą AB. Oblicz pole trójkąta HAE. D C E H A B

17 Zadanie PP-GP-9. Na bokach BC i CD kwadratu ABCD zbudowano trójkąty równoboczne BCK i CDL (zob. rysunek).udowodnij, że trójkąt AKL jest równoboczny. L D C K A B

19 Zadanie PP-GP-10. Na bokach AB, BC i CA trójkąta równobocznego ABC wybrano odpowiednio punkty K, L i M w taki sposób, ze AB KM, BC KL i CA ML (zob. rysunek). Udowodnij, ze trójkąt KLM jest równoboczny. C M L A K B

21 Zadanie PP-GP-11. Punkt K jest środkiem boku AB kwadratu ABCD. Punkt L leży na przekątnej AC i dzieli ją w stosunku AL : LC = 3:1 (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt KLD jest prosty. D C L A K B

23 Zadanie PP-GP-12. Punkt K jest środkiem boku AB kwadratu ABCD. Punkt L leży na przekątnej AC i dzieli ją w stosunku AL : LC = 3:1 (zob. rysunek). Oblicz miary kątów trójkąta KLD. D C L A K B

25 Zadanie PP-GP-13. Punkty A, B, C,, L dzielą okrąg na 12 równych łuków (zobacz rysunek). Udowodnij, że trójkąt PQK jest równoramienny. K L A J B I C H P Q D G F E

27 Zadanie PP-GP-14. Dany jest romb ABCD, w którym A = 60. Na bokach AB i BC wzięto punkty M i N takie, że AM = BN (zob. rysunek). Udowodnij, że MND jest równoboczny. D C N A M B

29 Zadanie PP-GP-15. W trapezie równoramiennym przekątne dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy i przecinają się pod kątem 120. Dłuższa podstawa ma długość 24 cm. Oblicz obwód tego trapezu.

31 Zadanie PP-GP-16. Kąt między ramionami AC i BC trójkąta równoramiennego ABC ma miarę 40. Punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, a punkt S środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Oblicz miarę kąta SAO.

33 Zadanie PP-GP-17. Stosunek pola trójkąta prostokątnego do pola kwadratu, którego jednym z boków jest przeciwprostokątna tego trójkąta, jest równy 1. Oblicz sumę tangensów kątów ostrych tego 4 trójkąta.

35 Zadanie PP-GP W trójkącie równoramiennym ABC, AC = BC,tg ABC =. Obwód tego trójkąta jest 3 równy 16. Oblicz długości boków trójkąta ABC.

37 Zadanie PP-GP-19. Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r = 5. Z punktu B, którego odległość od punktu S jest równa 13, prowadzimy prostą przecinającą ten okrąg w punktach C i D takich, że DC = CB. Oblicz DB.

39 Zadanie PP-GP-20. Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 10. Na boku BC obrano punkt P dzielący ten bok w stosunku 2:3, licząc od punktu B. Oblicz sinus kąta BAP.

41 Zadanie PP-GP-21. W kwadracie ABCD o boku a połączono wierzchołki A, B ze środkiem E boku CD oraz wierzchołki C, D połączono ze środkiem F boku AB. Oblicz pole części wspólnej trójkątów ABE i CDF.

43 Zadanie PP-GP-22. W okręgu rysujemy średnicę AB i równoległą do niej cięciwę CD (patrz rysunek). Udowodnij, że w trójkącie ACD, różnica kątów przy wierzchołkach C i D jest kątem prostym. A B D C

45 Zadanie PP-GP-23. W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest dwa razy dłuższa od drugiej. Wyznacz długość promienia okręgu stycznego do obu przyprostokątnych, którego środek leży na przeciwprostokątnej.

47 Zadanie PP-GP-24. Punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki. Udowodnij, że iloczyn długości tych odcinków jest równy polu tego trójkąta.

49 Zadanie PP-GP-25. Udowodnij, że środki boków trapezu równoramiennego są wierzchołkami rombu.

51 Zadanie PP-GP-26. W trójkącie ABC, o polu równym 20, na boku AB wybrano punkt D tak, że 1 1 AD = AB, a na boku BC - punkt E tak, że BE = BC. Oblicz pole trójkąta BDE. 4 5

53 Zadanie PP-GP-27. W trójkącie równoramiennym ABC ( AC AD = DC = AB. Oblicz miarę kąta ACB. = BC ), na boku BC wybrano punkt D tak, że

55 Zadanie PP-GP-28. Wierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r. Środek tego okręgu leży na boku AB trójkąta. Oblicz miary kątów tego trójkąta wiedząc, że AC = r 3 i AB = 3r.

57 Zadanie PP-GP-29. W trójkącie ABC dane są: BAC = 60 trójkąta., ABC = 45 i AC = 4. Oblicz pole tego

59 Zadanie PP-GP-30. Krótsza przekątna trapezu prostokątnego ma długość 6 i dzieli ten trapez na trójkąt prostokątny i równoboczny. Oblicz pole tego trapezu.

61 Zadanie PP-GP-31. Jeden bok trójkąta równobocznego podzielono na cztery równe części. Punkty podziału połączono z przeciwległym wierzchołkiem, dzieląc kąt przy tym wierzchołku trójkąta na cztery kąty. Oblicz miary tych kątów. Wyniki podaj w zaokrągleniu do 1.

63 Zadanie PP-GP-32. W trójkącie ABC dane są miary kątów: CAB = 30 i ABC = 45. Suma długości boków AC i BC równa się 10. Oblicz długości boków AC i BC.

65 Zadanie PP-GP-33. Podstawy trapezu mają długości 10 cm i 15 cm. Obwód tego trapezu równa się 35 cm. Ramiona tego trapezu przedłużamy do punktu przecięcia. Oblicz obwód trójkąta dobudowanego w taki sposób do tego trapezu.

67 Zadanie PP-GP-34. Przekątne czworokąta ABCD są prostopadłe i przecinają się w punkcie S. Trójkąty ABS i CDS mają równe pola. Wykaż, że trójkąty ADS i BCS są podobne.

69 Zadanie PP-GP-35. Stosunek wysokości rombu do boku rombu jest równy 8. Oblicz stosunek krótszej 17 przekątnej tego rombu do długości jego boku.

71 Zadanie PP-GP-36. Długości boków równoległoboku są równe 12 i 10. Symetralna dłuższego boku przechodzi przez wierzchołek równoległoboku. Oblicz długości przekątnych tego równoległoboku.

73 Zadanie PP-GP-37. W trójkącie prostokątnym ABC odcinek CD jest wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną AB, której długość jest równa 18, a punkt D dzieli ją na dwa odcinki, których stosunek długości wynosi 1:5. Oblicz pole trójkąta ABC.

75 Zadanie PP-GP-38. W trójkącie prostokątnym ABC odcinek CD jest wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną AB. Udowodnij, że CD = AD BD.

77 Zadanie PP-GP-39. W trójkącie prostokątnym ABC odcinek CD jest wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną AB. Udowodnij, że AC 2 = AD AB.

79 Zadanie PP-GP-40. Oblicz kąty równoległoboku znając długości dwóch wysokości: h1 = 2cm, h2 = 3cm oraz obwód l = 20 cm.

81 Zadanie PP-GP-41. W równoległoboku o obwodzie 25 cm krótsza wysokość równy 3 2. Oblicz pole tego równoległoboku. h = 5cm, a sinus kąta ostrego jest

83 Zadanie PP-GP-42. W trójkącie równoramiennym ABC ( AC BC ) = wysokość CD = 6, a kąt przy wierzchołku C ma miarę 45. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

85 Zadanie PP-GP-43. Dany jest romb, którego bok ma długość 13 cm, a dłuższa przekątna 24 cm. Oblicz sinus kąta ostrego rombu.

87 Zadanie PP-GP-44. Dwie cięciwy przecinają się wewnątrz koła tak, że odcinki jednej z nich mają długości 36 i 21, a odcinki drugiej pozostają ze sobą w stosunku 3:7. Oblicz długość drugiej cięciwy.

89 Zadanie PP-GP-45. Z punktu leżącego na zewnątrz okręgu poprowadzono dwie sieczne. Odcinek wewnętrzny pierwszej siecznej jest równy 47, a zewnętrzny 9. Odcinek wewnętrzny drugiej siecznej jest o 72 większy od jej odcinka zewnętrznego. Obliczyć długości obu odcinków drugiej siecznej.

91 Zadanie PP-GP-46. Wewnątrz okręgu o promieniu 13 jest dany punkt M odległy od środka okręgu o 5. Przez punkt M przeprowadzono cięciwę AB, której długość równa się 25. Obliczyć długość odcinków, na które cięciwa AB została podzielona przez punkt M.

93 Zadanie PP-GP-47. Z jednego punktu leżącego na zewnątrz okręgu wyprowadzono sieczną i styczną do tego okręgu. Odcinek wewnętrzny siecznej jest o 20 dłuższy od odcinka stycznej, a odcinek zewnętrzny siecznej jest trzy razy krótszy od odcinka stycznej. Oblicz długość odcinka stycznej.

95 Zadanie PP-GP-48. Z punktu leżącego na zewnątrz okręgu wykreślono sieczną i styczną do tego okręgu. Długość odcinka stycznej równa się 18, a sieczna jest oddalona od środka okręgu o 4 i łączna długość obu jej odcinków (wewnętrznego i zewnętrznego) równa się 27. Oblicz długość promienia okręgu.

97 Zadanie PP-GP-49. Dwie cięciwy przecinają się wewnątrz okręgu o promieniu 13. Odcinki jednej cięciwy są równe 12 i 9, a druga cięciwa jest oddalona od środka okręgu o 5. Oblicz długości odcinków drugiej cięciwy.

99 Zadanie PP-GP-50. Z punktu A leżącego na zewnątrz koła poprowadzono styczną i sieczną do tego koła. ch B będzie punktem styczności, a C i D punktami przecięcia siecznej i okręgu. Wykaż, że 2 AB = AC AD.

101 Zadanie PP-GP-51. Udowodnij, że pole czworokąta, powstałego z połączenia środków kolejnych boków trapezu, jest równe połowie pola tego trapezu.

103 Zadanie PP-GP-52. Trapez ABCD jest równoramienny. Punkt O jest środkiem boku BC, zaś S jest punktem wspólnym prostej AB i prostej OD. Udowodnij, że pole trójkąta ADS równa się polu trapezu ABCD.

105 Zadanie PP-GP-53. Stosunek pola trójkąta prostokątnego do pola kwadratu, którego jednym z boków jest przeciwprostokątna tego trójkąta, jest równy 1. Oblicz sumę tangensów kątów ostrych tego 4 trójkąta.

107 Zadanie PP-GP-54. W trapezie równoramiennym połączono odcinkami środki sąsiednich boków. Oblicz pole powstałego czworokąta mając dane długości podstaw trapezu a = 30 i b = 10 oraz kąt ostry α = 60.

109 Zadanie PP-GP-55. Oblicz odległość środka okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych, których długości są równe 3a i 4a od środka okręgu wpisanego w ten trójkąt.