, GEOMETRIA NA PŁASZCZYZNIE (PLANIMETRIA)

Transkrypt

1 Treść:, GEOMETRI N PŁSZCZYZNIE (PLNIMETRI) 1. Podstwowe pojęi geometrii (punkt, prost, płszzyzn, przestrzeń, półprost, odinek, łmn, figur geometryzn (płsk i przestrzenn) PołoŜenie prosty i odinków n płszzyźnie (proste równoległe, przeinjąe się, prostopdłe, odinki równoległe, prostopdłe) Kąt. Rodzje kątów. Miry kątów Definij kąt płskiego Miry kątów (stopnie, rdiny, grdusy) Klsyfikj kątów ze względu n mirę (ostry, prosty, rozwrty, półpełny, wklęsły, pełny, wypukły) Kąty przy przeinjąy się prosty (wierzołkowe, przyległe, odpowidjąe, nprzeminległe) Jednostki długośi, pol i ojętośi Wielokąty Definij Rodzje wielokątów. Pojęi związne z wielokątem (owód, przekątn) Sum mir kątów wewnętrzny wielokąt Trójkąty Definij trójkąt Podstwowe pojęi związne z trójkątem Klsyfikj trójkątów i i włsnośi Twierdzeni związne z trójkątem Czworokąty Definij zworokąt Podstwowe pojęi związne z zworokątem Klsyfikj zworokątów i i włsnośi ZleŜnośi między zworokątmi Twierdzeni związne z zworokątem Koło i okrąg Definij koł. Pojęi związne z kołem Liz π Wzory związne z pojęiem koł Twierdzeni o kąt w kole Wzjemne połoŝenie prostej i okręgu n płszzyźnie Wzjemne połoŝenie dwó okręgów n płszzyźnie Wielokąty foremne, okrąg wpisny i opisny Wielokąty foremne Okrąg opisny n wielokąie Okrąg wpisny w wielokąt Twierdzeni o okręgu opisnym n zworokąie i okręgu wpisnym w zworokąt Okrąg wpisny i opisny n wielokąie foremnym Trójkąt prostokątny. Twierdzenie Pitgors. Elementy trygonometrii Twierdzenie Pitgors Interpretj geometryzn twierdzeni Pitgors Elementy trygonometrii Figury przystjąe. Cey przystwni trójkątów Figury przystjąe Cey przystwni trójkątów Figury podone Figury podone Pol figur podony Podoieństwo prostokątów Podoieństwo trójkątów Twierdzenie Tles Symetrie Symetri osiow Oś symetrii figury Symetri środkow Środek symetrii figury Symetrln odink Dwusiezn kąt Geometri w ukłdzie współrzędny Krtezjński ukłd współrzędny n płszzyźnie Długość odink w ukłdzie współrzędny Oliznie pol wielokąt w ukłdzie współrzędny Symetrie w ukłdzie współrzędny zgdnienie elementrne - zgdnienie wykrzjąe poz progrm 1

2 , GEOMETRI N PŁSZCZYZNIE (PLNIMETRI) 1. PODSTWOWE POJĘCI GEOMETRII: Punkt pojęie, którego się nie definiuje. Punkt nie m wymirów, zyli nie m długośi, szerokośi ni wysokośi. Oznzmy duŝymi litermi lfetu:,, C, D Prost pojęie, którego się nie definiuje. Prost nie m końów, m niekońzoną długość, nie m szerokośi ni wysokośi. Oznzmy młymi litermi lfetu: k, l, m k Płszzyzn pojęie, którego się nie definiuje. Płszzyzn nie m krwędzi, m nieskońzoną długość i szerokość. Oznzmy młymi litermi grekiego lfetu np. π π Przestrzeń pojęie, którego się nie definiuje. Przestrzeń nie m krwędzi, m nieskońzoną długość, szerokość i wysokość. Oznzmy z pomoą liter greki. Półprost zęść prostej, wyznzon przez punkt, zwny pozątkiem półprostej. Do półprostej nleŝą wszystkie punkty prostej leŝąe po jednej stronie punktu. N rysunku zznzono półprostą, zyli półprostą o pozątku w punkie, przeodząą przez punkt. Półprost m nieskońzoną długość. Odinek zęść prostej wyznzon przez dw punkty. Do odink nleŝą wszystkie punkty prostej leŝąe między punktmi i. Punkty i nzywmy końmi odink. Końe odink nleŝą do odink. KŜdy odinek m długość. Długość odink oznzmy lu z pomoą mły liter lfetu:,,, d Łmn figur geometryzn złoŝon z odinków, z który kŝde dw kolejne połązone są końmi i nie leŝą n jednej linii prostej. N rysunku przedstwiono łmną CDEF, łmną zwyzjną otwrtą CDEF i łmną zwyzjną zmkniętą CDEFGHI. D I F H D D C E E E F F C C Łmn Łmn zwyzjn otwrt Łmn zwyzjn zmknięt Figur geometryzn to dowolny ziór punktów. Figurą geometryzną jest np.: G Ziór kilku punktów Odinek z dwom punktmi Ukłd złoŝony z prostej odink i punktu Wielokąt rył itd

3 WyróŜnimy kilk rodzjów figur: Figury płskie: dowolny ziór punktów n płszzyźnie. Do figur płski zlizmy między innymi: kwdrt koło trójkąt rom elips pięiokąt siedmiokąt kąt Figury przestrzenne, zyli ryły geometryzne: dowolny ziór punktów w przestrzeni trójwymirowej, który nie nleŝy do jednej płszzyzny. Do rył zlizmy między innymi: sześin prostopdłośin wle grnistosłup ostrosłup kul stoŝek. POŁOśENIE PROSTYCH I ODCINKÓW N PŁSZCZYŹNIE: Proste równoległe: Dwie proste n płszzyźnie są równolegle, jeŝeli nie mją punktów wspólny ( nie przeinją się). UWG! Dwie proste, które pokrywją się uznje się równieŝ z równoległe. k n k II n Proste przeinjąe się: Dwie proste przeinją się, jeŝeli mją jeden punkt wspólny. k n S Punkt przeięi się prosty Proste prostopdłe: Dwie proste przeinjąe się są prostopdłe, jeŝeli tworzą kąty proste (kąt prosty oznzmy kropką ). k k n n Odinki równoległe: dw odinki są równoległe, jeŝeli proste, które wyznzją te odinki, są wzjemnie równoległe lu gdy leŝą n jednej prostej. Np.: 3 II CD

4 Odinki prostopdłe: dw odinki są prostopdłe, jeŝeli proste, które wyznzją te odinki, są ą wzjemnie prostopdłe. Np.: CD 3. KĄT. RODZJE KĄTÓW. MIRY KĄTÓW. O wierzołek kąt rmię kąt Definij kąt płskiego: Kąt płski to zęść płszzyzny ogrnizon przez dwie półproste o wspólnym pozątku. Półproste tworząe kąt nleŝą do kąt i nzywją się rmionmi. Wspólny pozątek półprosty to wierzołek kąt. Kąty oznzmy litermi lfetu grekiego: α lf, β et, γ gm, δ delt, lu z pomoą nzw wierzołk i punktów nleŝąy do rmion: O (środkowy punkt w nzwie kąt, to wierzołek). Miry kątów: Stopnie. Kąty płskie mierzymy z pomoą miry stopniowej. Jeden stopień (1 ) to kąt równy Jeden stopień to 60 minut. (1 = 60 ) Jedn minut to 60 sekund (1 = 60 ) Jedn sekund to 60 terji (1 60 ) 1 kąt pełnego. 360 Kąt 1 Rdiny. Kąty płskie mierzymy równieŝ z pomoą rdinów. Jeden rdin to kąt środkowy, owy, jki w kole o promieniu r tworzy łuk o długośi r. 1 rdin m około 57,96. Rdin to mir stosown w geometrii nlityznej (w ukłdzie współrzędny). 1rd 57, 96 o π 90 = rd 180 = π rd 360 o o = π rd r r r Grdusy. Kąty płskie mierzymy zsmi z pomoą grdusów. Jeden grdus to kąt równy Mir wprowdzon w Europie przez Npoleon. Stosown w geodezji kąt prostego. Do mierzeni kątów słuŝy przyrząd zwny kątomierzem. 4

5 Klsyfikj kątów ze względu n mirę. Rodzje kątów: kąt ostry kąt, którego mir jest mniejsz niŝ 90. kąt prosty kąt, którego mir jest równ 90. kąt rozwrty kąt, którego mir jest większ niŝ 90 i mniejsz niŝ 180. kąt półpełny kąt, którego mir jest równ 180. Rmion kąt tworzą prostą. kąt wklęsły kąt, którego mir jest większ niŝ 180 i mniejsz niŝ 360. kąt pełny kąt, którego mir jest równ 360. Rmion kąt pełnego pokrywją się. Kąt jest łą płszzyzną. Kąty ostre, proste, rozwrte, półpełne i pełne nzywmy kątmi wypukłymi. 5

6 Kąty przy przeinjąy się prosty: Kąty wierzołkowe pr kątów, którą tworzą dwie przeinjąe się proste. Kąty te mją wspólny wierzołek i nie mją wspólny rmion. Kąty wierzołkowe mją równe miry. Rysunek przedstwi dwie pry kątów wierzołkowy: Kąty przyległe pr kątów, którą tworzą dwie przeinjąe się proste. Kąty te mją wspólny wierzołek i mją wspólne rmię. Kąty przyległe tworzą rzem kąt półpełny (180 ). Rysunek przedstwi prę kątów wierzołkowy: α + β = 180 Kąty odpowidjąe pr kątów, które tworzy prost przeinją dwie proste równoległe. Kąty odpowidjąe mją równe miry. Rysunek przedstwi ztery pry kątów odpowidjąy (zznzone tymi smymi kolormi i tą smą literą greką): Kąty nprzeminległe pr kątów, które tworzy prost przeinją dwie proste równoległe. Kąty nprzeminległe mją równe miry. Rysunek przedstwi ztery pry kątów nprzeminległy (zznzone tymi smymi kolormi i tą smą literą greką): 4. JEDNOSTKI DŁUGOŚCI, POL I OJĘTOŚCI. Jednostki długośi. Podstwową jednostką długośi jest 1 metr (1 m). Inne jednostki (poodne): 1 m 1 dm 6

7 Zmin jednostek długośi: Nzw Symol Zmin: Czynnośi milimetr 1 mm --- entymetr 1 m 1 m = 10 mm deymetr 1 dm 1 dm = 10 m metr 1 m 1 m = 10 dm kilometr 1 km 1 km = 1000 m (mnoŝymy przez przeliznik) : (dzielimy przez przeliznik) Przykłdy: 1) Zmień 4,5 metr n deymetry zmienimy większe jednostki n mniejsze, wię (zgodnie ze strzłką) powinniśmy 4,5 pomnoŝyć przez przeliznik. PoniewŜ metry i deymetry to sąsidująe ze soą jednostki mnoŝymy lizę przez 10 (przesuwją przeinek o jedno miejse w prwo): 4,5 m 10 = 45 dm ) Zmień 74,5 metr n kilometry zmienimy mniejsze jednostki n większe, wię (zgodnie ze strzłką) powinniśmy 730 podzielić przez przeliznik. Metry i kilometry to jednostki sąsidująe ze soą, przeliznikiem pomiędzy nimi jest liz 1000, dzielimy lizę 74,5 przez 1000 (przesuwmy przeinek o trzy miejs w lewo): 74,5 mm : 1000 = 0,0745 km 3) Zmień 730 milimetry n metry zmienimy mniejsze jednostki n większe, wię (zgodnie ze strzłką) powinniśmy 730 podzielić przez przeliznik. PoniewŜ milimetry i metry to jednostki nie sąsidująe ze soą dzielimy lizę przez 10 trzykrotnie (musimy przeskozyć entymetry, deymetry i metry). Dzielenie przez 10 trzy rzy moŝn zstąpić dzieleniem przez 1000 (przesuwmy przeinek o trzy miejs w lewo): 730 mm : 1000 = 0,730 m = 0,73 m Jednostki pol. Podstwową jednostką pol jest 1 metr kwdrtowy (1 m ). 1 metr kwdrtowy to powierzni równ polu kwdrtu o oku 1 metr. Inne jednostki (poodne): 1 m 1 dm 7

8 Zmin jednostek pol: Nzw Symol Zmin: Czynnośi milimetr kwdrtowy 1 mm --- entymetr kwdrtowy 1 m 1 m = 100 mm deymetr kwdrtowy 1 dm 1 dm = 100 m metr kwdrtowy 1 m 1 m = 100 dm r 1 1 = 100 m ektr 1 1 = 100 kilometr kwdrtowy 1 km 1 km = 100 (mnoŝymy przez przeliznik) : (dzielimy przez przeliznik) Przykłdy: 4) Zmień 6, r n metry kwdrtowe zmienimy większe jednostki n mniejsze, wię (zgodnie ze strzłką) powinniśmy 6, pomnoŝyć przez przeliznik. PoniewŜ ry i metry kwdrtowe to jednostki sąsidująe ze soą, mnoŝymy lizę 6, przez 100 (przesuwją przeinek o dw miejs w prwo): 6, 100 = 60 m 5) Zmień 30 deymetrów kwdrtowy n metry kwdrtowe zmienimy mniejsze jednostki n większe, wię (zgodnie ze strzłką) powinniśmy lizę 30 podzielić przez przeliznik. Deymetry kwdrtowe i metry to jednostki sąsidująe ze soą, przeliznikiem pomiędzy nimi jest liz 100, dzielimy lizę 30 przez 100 (przesuwmy przeinek o dw miejs w lewo): 30 dm : 100 = 0,30 m = 0,3 m 6) Zmień 5000 metrów kwdrtowy n ektry zmienimy mniejsze jednostki n większe, wię (zgodnie ze strzłką) powinniśmy lizę 5000 podzielić przez przeliznik. PoniewŜ metry kwdrtowe i ektry to jednostki nie sąsidująe ze soą dzielimy lizę 5000 przez 100 dwukrotnie (musimy przeskozyć ry i ektry). Dzielenie przez 100 dw rzy moŝn zstąpić dzieleniem przez (przesuwmy przeinek o ztery miejs w lewo): 5000 m : =,5000 =,5 Jednostki ojętośi. Podstwową jednostką ojętośi jest 1 metr sześienny (1 m 3 ). 1 metr sześienny to mir przestrzeni równ ojętośi sześinu o krwędzi 1 metr. Inne jednostki (poodne): 1 m 3 1 dm 3 = 1 l 8

9 Zmin jednostek ojętośi: Nzw Inn nzw Symol Zmin: Czynnośi milimetr sześienny mm entymetr sześienny mililitr 1 m 3 = 1 ml 1 m 3 = 1000 mm 3 deymetr sześienny litr 1 dm 3 = 1 l 1 dm 3 = 1000 m ektolitr 1 l 1 l = 100 dm 3 metr sześienny kilolitr 1 m 3 = 1 kl 1 m 3 = 1000 dm 3 1 m 3 = 10 l kilometr sześienny 1 km 3 1 km 3 = 10 9 m 3 (mnoŝymy przez przeliznik) : (dzielimy przez przeliznik) Przykłdy: 7) Zmień 1,4 deymetr sześiennego n mililitry mililitry to entymetry sześienne. Zmienimy większe jednostki n mniejsze, wię (zgodnie ze strzłką) powinniśmy 1,4 pomnoŝyć przez przeliznik. PoniewŜ deymetry sześienne i entymetry sześienne to jednostki sąsidująe ze soą, mnoŝymy lizę 1,4 przez 1000 (przesuwją przeinek o trzy miejs w prwo): 1,4 dm = 1400 m 3 = 1400 ml 8) Zmień 480 deymetrów sześienny n metry sześienne zmienimy mniejsze jednostki n większe, wię (zgodnie ze strzłką) powinniśmy lizę 480 podzielić przez przeliznik. Deymetry sześienne i metry sześienne to jednostki sąsidująe ze soą, przeliznikiem pomiędzy nimi jest liz Dzielimy lizę 480 przez 1000 (przesuwmy przeinek o trzy miejs w lewo): 480 dm 3 : 1000 = 0,480 m 3 = 0,48 m 3 9) Zmień 5700 mililitrów n ektolitry zmienimy mniejsze jednostki n większe, wię (zgodnie ze strzłką) powinniśmy lizę 5700 podzielić przez przeliznik. PoniewŜ mililitry i ektolitry to jednostki nie sąsidująe ze soą dzielimy lizę 5000 njpierw przez 1000 (przeliznik między mililitrem litrem), nstępnie przez 100 (przeliznik między litrem ektolitrem). Dzielenie przez 1000 i przez 100 moŝn zstąpić dzieleniem przez (przesuwmy przeinek o pięć miejs w lewo): 5700 ml : = 0,05700 l = 0,057 l Inne jednostki długośi, pol i ojętośi Inne jednostki uŝywne n świeie Jednostki długośi Jednostki pol Jednostki ojętośi Nzw Symol Przeliznik Nzw Symol Przeliznik Nzw Symol Przeliznik Cl 1 in,54 m kr 1 kr 4047 m Glon (US) 1 gl 3,785 l Stop 1 ft = 1 in 30,48 m Glon (UK) 1 gl 4,546 l Jrd 1 yd = 3 ft 91,44 m ryłk (US) 1 l = 4 gl 158,968 l SąŜeń 1 fm = yd 18,88 m Kwrt 1 qurt ¼ gl Mil 1 M = 58ft 1609,344 m Pint 1 pint ½ qurt Mil morsk 1 Mm 185 m Grnie ---,75 l Kel 1 le 185, m Rok świetlny --- 9, km 9

10 Przedrostki uŝywne do określni mir. Tworzą nzwy jednostek mir, do nzwy podstwowej dodjemy przedrostek. N przykłd: do jednostki podstwowej metr dodjemy przedrostek kilo i powstje jednostk kilometr ; do jednostki podstwowej litr dodjemy przedrostek mili i powstje jednostk mililitr. Znzenie przedrostków omwi tel: Przedrostek Symol Przeliznik Wrtość jott Y 10 4 kwdrylion zett Z 10 1 trylird eks E trylion pet P ilrd Znzenie przedrostków przed nzwą jednostek mir ter T 10 1 ilion terjt gig G 10 9 milird gigjt Przykłdy Długość Pmięć* Ms Pojemność elektr. meg M 10 6 milion megjt megmetr = ton kilo k 10 3 tysią kilometr kilojt kilogrm ekto 10 sto dek d 10 1 dziesięć dekgrm JEDNOSTK METR JT GRM FRD dey d 10-1 dziesiąt deymetr enty 10 - setn entymetr mili m 10-3 tysięzn milimetr miligrm milifrdy mikro µ 10-6 milionow mikrometr mikrofrdy nno n 10-9 milirdow nnometr nnofrdy piko p 10-1 ilionow pikometr pikofrdy femto f ilirdow tto trylionow zepto z 10-1 trylirdow jokto y 10-4 kwdrylionow * jednostki pmięi komputerowej przelizne są w systemie dwójkowym (przeliznikiem jest 10, zyli 104. UWG! W przypdku jednostek pol wrtość przedrostków nleŝy podnieść do kwdrtu, np. kilometr kwdrtowy, to 1000 metrów kwdrtowy, zyli milion metrów kwdrtowy. W przypdku jednostek ojętośi wrtość przedrostków nleŝy podnieść do trzeiej potęgi, np. kilometr sześienny, to metrów sześienny, zyli milird metrów sześienny. 5. WIELOKĄTY Definij wielokąt: wielokąt to figur geometryzn płsk, któr jest zęśią płszzyzny ogrnizoną przez łmną zwyzjną zmkniętą. E F D ok C wierzołek kąt wewnętrzny 10

11 Rodzje wielokątów pojęi związne z wielokątem: Wielokąty dzielimy ze względu n ilość oków n: trójkąty zworokąty pięiokąty sześiokąty siedmiokąty ośmiokąty szesnstokąty itd. Wielokąty dzielimy ze względu n rodzj kątów n: wypukłe gdy wszystkie kąty wewnętrzne wielokąt są wypukłe, zyli mniejsze niŝ 180 wklęsłe gdy przynjmniej jeden kąt wewnętrzne wielokąt jest wklęsły, zyli większy niŝ 180 Owód wielokąt: Owodem wielokąt nzywmy długość łmnej zmkniętej, któr tworzy ten wielokąt. y olizyć owód wielokąt nleŝy dodć do sieie długośi wszystki oków wielokąt. Przekątn wielokąt: Przekątn wielokąt to odinek, którego końmi są wierzołki wielokąt, które nie nleŝą do jednego oku. Sum mir kątów wewnętrzny wielokąt: y olizyć, ile wynosi sum mir wewnętrzny wielokąt wypukłego nleŝy wykonć nstępująe zynnośi: ) wyiermy jeden z wierzołków wielokąt, ) z wyrnego wierzołk prowdzimy wszystkie przekątne do przeiwległy wierzołków, ) lizymy ilość trójkątów, które powstły po poprowdzeniu przekątny, d) poniewŝ w kŝdym trójkąie sum mir kątów wynosi 180, mnoŝymy 180 przez ilość trójkątów. Otrzymn liz to sum mir kątów wielokąt. Przykłd: Oliz sumę mir kątów wewnętrzny sześiokąt Wyierm wierzołek Rysuję przekątne Lizę trójkąty Wykonuję dziłnie = 70. Sum k ątów wewnętrzny w dowolnym sześiokąie wynosi 70 MoŜn zuwŝyć, Ŝe trójkątów jest zwsze o dw mniej niŝ oków wielokąt (w sześiokąie utworzyły się ztery trójkąty). Stąd moŝn wyprowdzić wzór n sumę mir kątów wewnętrzny wielokąt: Jeśli wielokąt m n oków, to moŝn go podzielić n ( n ) trójkąty. Sum mir kątów wewnętrzny w kŝdym z ty trójkątów wynosi 180, wię sum mir kątów wewnętrzny w wielokąie o n ok wyrŝ się wzorem: o ( n )

12 6. TRÓJKĄTY Definij trójkąt: Trójkąt to wielokąt o trze ok. Podstwowe pojęi związne z trójkątem: C γ wierzołek rmię wysokość rmię α β podstw wysokość kąt wewnętrzny Trójkąt ierze swoją nzwę od wierzołków. N rysunku jest zprezentowny C. Trójkąt m trzy wierzołki. I nzwy to zzwyzj,, C. Trójkąt m trzy oki. I nzwy, to, C, C, i długośi oznzmy zzwyzj symolmi:,,. Trójkąt m trzy kąty wewnętrzne. I nzwy to: C, C, C. I miry oznzmy zzwyzj litermi grekimi: α, β, γ. Podstw dowolny, wyróŝniony ok trójkąt (podstwą moŝe yć zrówno ok, jk i ok, jk i ). Zwykle wykonujemy rysunek trójkąt w ten sposó, y podstwą ył ok leŝąy u dołu. Wysokość trójkąt odinek prostopdły do podstwy, którego jeden konie nleŝy do podstwy (lu jej przedłuŝeni), drugi konie to wierzołek przeiwległy do podstwy. UWG! W trójkąie moŝn wyznzyć trzy wysokośi, w zleŝnośi od tego, który ok zostnie wyrny jko podstw. środkow C Środkow oku odinek, którego końmi są: środek oku trójkąt orz przeiwległy wierzołek (n rysunku ook: odinek CD). Środkowe oków trójkąt wyznzją środek ięŝkośi trójkąt. Środkowe oków trójkąt dzielą się wzjemnie w stosunku : 1. D Klsyfikj trójkątów i i włsnośi: KLSYFIKCJ TRÓJKĄTÓW ZE WZGLĘDU N DŁUGOŚCI OKÓW. Nzw trójkąt Rysunek Włsnośi oków i kątów i wysokośi. Wzory. RÓWNOOCZNY Wszystkie oki mją równe długośi. Wszystkie kąty mją równe miry, kŝdy kąt m mirę 60. Wszystkie wysokośi są równej długośi. Wysokośi dzielą się wzjemnie w stosunku : 1. Oznz to, Ŝe krótsz zęść wysokośi to 1, ntomist dłuŝsz to. 3 3 KŜd wysokość dzieli trójkąt n dw przystjąe (identyzne) trójkąty prostokątne. Wysokość: 3 = Pole: P = 3 P = 4 Owód: Ow = 3 1

13 RÓWNORMIENNY Dw oki (rmion) są równej długośi*. Kąty przy podstwie mją równe miry. Jedn z wysokośi (opuszzon n ok ) dzieli trójkąt n dw przystjąe (identyzne) trójkąty prostokątne. Dwie pozostłe wysokośi mją tą smą długość. Pole: P = Owód: Ow = + RÓśNOOCZNY Wszystkie oki mją róŝną długość*. Wszystkie kąty wewnętrzne mją róŝne miry. Wszystkie wysokośi mją róŝną długość. Pole: P = Owód: Ow = + + KLSYFIKCJ TRÓJKĄTÓW ZE WZGLĘDU N RODZJ KĄTÓW. Nzw trójkąt Rysunek Włsnośi oków i kątów i wysokośi. Wzory. OSTROKĄTNY Wszystkie kąty wewnętrzne są kątmi ostrymi* (mniejszymi niŝ 90 ) Wysokośi trójkąt przeinją się we wnętrzu trójkąt. Pole: P = Owód: Ow = + + przeiwprostokątn Jeden kąt wewnętrzny trójkąt jest kątem prostym* (jego mir wynosi 90 ), pozostłe dw są kątmi ostrymi. Nzwy poszzególny oków:, oki przyprostokątne, przeiwprostokątn. Pole: P = Owód: PROSTOKĄTNY przyprostokątn przyprostokątn ok jest wysokośią opuszzoną n ok. ok jest wysokośią opuszzoną n ok. Wysokość opuszzon n ok (wysokość oznzon jko ) dzieli trójkąt n dw trójkąty podone. O te trójkąty są podone do trójkąt o ok,,. oki trójkąt spełniją twierdzenie Pitgors: W trójkąie prostokątnym sum kwdrtów długośi oków przyprostokątny jest równ kwdrtowi długośi przeiwprostokątnej : + = Ow =

14 ROZWRTOKĄTNY Jeden kąt wewnętrzny trójkąt jest kątem rozwrtym* (większy niŝ 90 ), pozostłe dw są kątmi ostrymi. Dwie wysokośi znjdują się n zewnątrz trójkąt (wysokośi opuszzone z wierzołków kątów ostry). Pole: P = Owód: Ow = + + *UWG! Tłustym drukiem wyróŝniono wrunek definiyjny. Twierdzeni związne z trójkątem: Twierdzenie o kąt trójkąt: Sum mir kątów wewnętrzny trójkąt wynosi 180 (wśród wielokątów, tylko trójkąty mją tą włsność). γ α + β + γ = 180 α β Przykłd: Czy istnieje trójkąt o kąt 57, 71 i 5? Odpowiedź TK. Uzsdnienie: Sum kątów wewnętrzny trójkąt musi wynosić 180, wię nleŝy sprwdzić, zy podne kąty w sumie tworzą kąt 180 : = 180. Odpowied ź: Mogą to yć kąty trójkąt. Przykłd: Oliz miry rkująy kątów trójkątów: 114 α 6 5 x x 43 β γ α = ( ) = = = 3 β = ( ) = = = 8 γ = (180-5 ) : = = 18 : = 64 Twierdzenie o ok trójkąt Nierównośi trójkąt: W kŝdym trójkąie, sum długośi dwó oków jest większ od długośi trzeiego oku. + > + > + > Z twierdzeniem o ok trójkąt związny jest wrunek mówiąy o moŝliwośi skonstruowni trójkąt: Trzy odinki mogą yć okmi trójkąt, wtedy i tylko wtedy, gdy sum długośi dwó krótszy oków jest większ niŝ długość oku njdłuŝszego. Przykłd: Czy z odinków o długośi 6 m, 16 m i 1 m moŝn skonstruowć trójkąt? Odpowiedź: TK. Uzsdnienie: Sum długośi dwó krótszy oków wynosi 6 m + 1 m = 18 m i jest większ niŝ długość oku njdłuŝszego: 18 m > 16 m. 14

15 7. CZWOROKĄTY. Definij zworokąt: Czworokąt to wielokąt o ztere ok. Podstwowe pojęi związne z zworokątem: przekątn wysokość d D δ przekątn γ C rmię wierzołek α podstw β kąt wewnętrzny Czworokąt ierze swoją nzwę od wierzołków. N rysunku jest zprezentowny zworokąt CD. Czworokąt m ztery wierzołki. I nzwy to zzwyzj:,, C, D. Czworokąt m ztery oki. I nzwy, to, C, CD, D, i długośi oznzmy zzwyzj symolmi:,,, d. Czworokąt m ztery kąty wewnętrzne. I nzwy to: C, CD, CD, D. I miry oznzmy zzwyzj litermi grekimi: α, β, γ, δ. Czworokąt m dwie przekątne. Klsyfikj zworokątów i i włsnośi: KLSYFIKCJ CZWOROKĄTÓW ZE WZGLĘDU N RODZJ KĄTÓW. Nzw zworokąt Rysunek Włsnośi oków i kątów i wysokośi. Wzory. WYPUKŁY d Czworokąt, którego wszystkie kąty są kątmi wypukłymi* (mniejszymi niŝ 180 ). Do tej grupy zworokątów nleŝy większość njzęśiej spotykny zworokątów, tki jk: kwdrt, prostokąt, rom, równoległook, trpez. I włsnośi omówione są w innej teli. Oie przekątne znjdują się wewnątrz figury. Pole: W zleŝnośi od włsnośi oków. Owód: Ow = d Czworokąt, którego jeden kąt jest kątem wklęsłym* (większym niŝ 180 ), pozostłe trzy kąty są kątmi wypukłymi (mniejsze niŝ 180 ). Pole: W zleŝnośi od włsnośi oków. WKLĘSŁY d Jedn z przekątny figury znjduje się n zewnątrz figury. Owód: Ow = d 15

16 KLSYFIKCJ CZWOROKĄTÓW ZE WZGLĘDU N WŁSNOŚCI OKÓW I KĄTÓW. Nzw zworokąt Rysunek Włsnośi oków i kątów i wysokośi. Wzory. KWDRT d Wszystkie oki kwdrtu są równej długośi*. Kwdrt m dwie pry oków (przeiwległy) równoległy. Wszystkie kąty kwdrtu są proste* (90 ) Przekątne są równej długośi. Przekątne przeinją się pod kątem prostym. Przekątne dzielą się wzjemnie n połowy. Przekątn tworzy z kŝdym okiem kąt 45. Przekątn: d = Pole: P = P = d Owód: Ow = 4 PROSTOKĄT d Prostokąt m dwie pry oków (przeiwległy) równej długośi. Prostokąt m dwie pry oków (przeiwległy) równoległy. Wszystkie kąty prostokąt są proste (90 ) Przekątne są równej długośi. Przekątne dzielą się wzjemnie n połowy. Pole: P = Owód: Ow = + Przekątn: Olizmy z tw. Pitgors. ROM f e Rom m wszystkie oki są równej długośi*. Rom m dwie pry oków (przeiwległy) równoległy. Rom m dwie pry kątów (przeiwległy) równy. Sum mir dwó sąsiedni kątów wynosi 180. Przekątne przeinją się pod kątem prostym. Przekątne dzielą się wzjemnie n połowy. Pole: e f P = P = Owód: Ow = 4 RÓWNOLEGŁOOK Równoległook m dwie pry równoległy oków (oki przeiwległe)*. Równoległook m dwie pry oków (przeiwległy) równej długośi. Równoległook m dwie pry kątów przeiwległy równy. Sum mir dwó sąsiedni kątów wynosi 180. Przekątne dzielą się wzjemnie n połowy. Pole: P = Owód: Ow = + TRPEZ d podstw rmię Trpez to zworokąt, który m jedną prę oków równoległy*. Sum mir kątów przy jednym rmieniu wynosi 180. Przekątne dzielą się wzjemnie w tym smym stosunku. Pole: + P = 1 P = + Owód: ( ) podstw Ow = d 16

17 TRPEZ RÓWNORMIENNY Trpez równormienny m jedną prę oków równoległy*. Rmion są równej długośi*. Kąty przy podstwie są równe. Sum mir kątów przy jednym rmieniu wynosi 180. Przekątne są równej długośi. Przekątne dzielą się wzjemnie w tym smym stosunku. Pole: + P = 1 P = + ( ) Owód: Ow = + + TRPEZ PROSTOKĄTNY d Trpez prostokątny m jedną prę oków równoległy*. Dw kąty przy rmieniu są proste*. Sum mir kątów przy jednym rmieniu wynosi 180. Przekątne dzielą się wzjemnie w tym smym stosunku. Pole: + P = 1 P = + ( ) Owód: Ow = d DELTOID f e Deltoid m dwie pry sąsiedni oków równy*. Deltoid m jedną prę kątów równy. Przekątne przeinją się pod kątem prostym. Jedn z przekątny dzieli drugą n połowę. Pole: e f P = Owód: Ow = + TRPEZOID d Trpezoid to zworokąt, który nie m oków równoległy. Pole: y olizyć pole nleŝy podzielić figurę n trójkąty. Owód: Ow = d *UWG! Tłustym drukiem wyróŝniono wrunek definiyjny. ZleŜnośi między zworokątmi: KŜdy kwdrt jest prostokątem. KŜdy kwdrt jest romem. KŜdy kwdrt jest równoległookiem. KŜdy kwdrt jest trpezem równormiennym. KŜdy kwdrt jest trpezem prostokątnym. KŜdy prostokąt jest równoległookiem. KŜdy prostokąt jest trpezem prostokątnym. KŜdy rom jest równoległookiem. KŜdy rom jest deltoidem. KŜdy rom jest trpezem równormiennym. KŜdy równoległook jest trpezem równormiennym. KŜdy kwdrt jest zworokątem wypukłym. KŜdy prostokąt jest zworokątem wypukłym. KŜdy rom jest zworokątem wypukłym. KŜdy równoległook jest zworokątem wypukłym. KŜdy trpez jest zworokątem wypukłym. KŜdy kwdrt, prostokąt, rom, równoległook i trpez nie są trpezoidmi. 17

18 Twierdzeni związne z zworokątem: Twierdzenie o kąt zworokąt: Sum mir kątów wewnętrzny zworokąt wynosi 360 (wśród wielokątów, tylko zworokąty mją tą włsność). γ α β δ α + β + γ + δ = KOŁO I OKRĄG. Definij koł: Koło o środku w punkie S i promieniu r, to figur geometryzn płsk, ędą ziorem wszystki punktów, który odległość od środk koł S jest równ lu mniejsz niŝ promień. S r Pojęi związne z kołem: Promień koł: Okrąg: Cięiw: W definiji koł promień oznz pewną określoną dl koł długość odink. Promień jest określny równieŝ jko odinek, którego końmi są: środek koł S orz dowolny punkt leŝąy n okręgu. Promień oznzmy njzęśiej literą r. Okrąg to krzyw, ędą rzegiem koł. Jej długość to owód koł. Okrąg o środku w punkie S i promieniu r, to ziór wszystki punktów, który odległość od środk S jest równ promieniowi. Odinek, którego końmi są punkty leŝąe n okręgu. Średni koł: Odinek przeodząy przez środek koł, którego końmi są punkty leŝąe n okręgu. Średni jest njdłuŝszą ięiwą. Średnię oznzmy njzęśiej literą d. Łuk okręgu: Odinek koł: Część okręgu leŝą między dwom punktmi. Część koł wyznzon przez ięiwę i odpowidjąy jej łuk. Kąt środkowy: Kąt, którego wierzołkiem jest środek koł. Kąt środkowy oprty jest zwsze n pewnym łuku. Wyinek koł: Kąt wpisny: Część koł ogrnizon kątem środkowym i łukiem, n którym jest on oprty. Kąt, którego wierzołek nleŝy do okręgu koł, rmion zwierją ięiwy tego koł. Kąt wpisny oprty jest zwsze n pewnym łuku. 18

19 Liz π Liz π (pi) jest to liz niewymiern, któr jest stosunkiem owodu koł i jego średniy. Inzej mówią, liz π określ, ile rzy długość okręgu jest większ od długośi średniy. π = Długość okręgu długość średniy W przyliŝeniu liz π jest równ: π 3,14 Wzory związne z pojęiem koł: Średni: d = r Długość okręgu: Pole koł: Ow o = π r d S r P o = π r Długość łuku : Pole wyink S: Ł α π r = P r w = π 0 S α α 360 PRZYKŁD: Oliz pole i owód koł, którego promień m długość 4 m. Korzystmy z odpowiedni wzorów: Ow o = π r = π 4 = 8π m 8 3,14 = 5,1 m (przy zym wynik 8π m jest wynikiem dokłdnym, ntomist 5,1 m to wynik przyliŝony). P o = π r = π 4 =16π m 16 3,14 = 50,4 m (przy zym wynik 16π m jest wynikiem dokłdnym, ntomist 50,4 m to wynik przyliŝony). PRZYKŁD: Koło m promień długośi 6 m. Kąt środkowy tego koł m mirę 80 i jest opry n łuku. Oliz długość tego łuku orz pole wyink utworzonego przez ten kąt. Korzystmy z odpowiedni wzorów: α 80 Ł = π r = π Po skróeniu otrzymujemy: 8 Ł = 1 πr = 4 π = π m (wynik dokłdny, zpisny w posti dziłni z lizą π) W przyliŝeniu: 8 Ł 3, 14 8, 37 m 3 Podonie olizmy pole wyink: α 80 P w = π r = π 6 = π 36 = 8π m (wynik dokłdny) W przyliŝeniu: P 8 3, 14 5, 1 m w 19

20 Twierdzeni o kąt w kole: α α α β Twierdzenie 1 Twierdzenie Twierdzenie 3 Twierdzenie 1: Kąty wpisne oprte n tym smym łuku mją równe miry. Twierdzenie : Kąt środkowy jest dw rzy większy od kąt wpisnego oprtego n tym smym łuku (β = α). Twierdzenie 3: Kąt wpisny oprty n półokręgu (średniy) jest kątem prostym. Wzjemne połoŝenie prostej i okręgu n płszzyźnie: N płszzyźnie okrąg i prost mogą yć połoŝone względem sieie n trzy sposoy: k 1) Prost i okrąg są rozłązne. Prost k i okrąg o środku w punkie S i promieniu r nie mją punktów wspólny. Odległość pomiędzy prostą środkiem okręgu jest większ niŝ długość promieni r. S r ) Prost jest styzn do okręgu. k Prost k i okrąg o środku w punkie S i promieniu r mją jeden punkt wspólny zwny punktem styznośi (P). Odległość pomiędzy prostą środkiem okręgu jest równ długośi promieni r. S r P Twierdzenie: Promień okręgu poprowdzony do punktu styznośi z prostą, tworzy z nią kąt prosty. 3) Prost siezn względem okręgu (przeinją okrąg). Prost k i okrąg o środku w punkie S i promieniu r mją dw punkty wspólne. Odległość pomiędzy prostą środkiem okręgu jest mniejsz niŝ długość promieni r. Prost k tworzy w kole o środku w punkie S i promieniu r ięiwę. S r k Wzjemne połoŝenie dwó okręgów n płszzyźnie: N płszzyźnie dw okręgi mogą yć połoŝone względem sieie n sześć sposoów: ) Dw okręgi są rozłązne zewnętrznie. Dw okręgi nie mją punktów wspólny (punktów przeięi). Odległość pomiędzy środkmi okręgów, zyli długość odink S 1S jest większ niŝ sum długośi promieni ty okręgów r 1 + r. S 1 S > r 1 + r. S 1 r 1 S r ) Dw okręgi są styzne zewnętrznie. Dw okręgi mją jeden punkt wspólny, zwny punktem styznośi (P). Odległość pomiędzy środkmi okręgów, zyli długość odink S 1S jest równ sumie długośi promieni ty okręgów r 1 + r. S 1 S = r 1 + r. S 1 P r r 1 S 0

21 ) Dw okręgi przeinją się (okręgi przeinjąe się). Dw okręgi mją dw punkty wspólne (punkty przeięi i ). Odległość pomiędzy środkmi okręgów, zyli długość odink S 1S jest mniejsz niŝ sum długośi promieni ty okręgów r 1 + r i większ od róŝniy długośi ty promieni r r 1 S 1 S r r 1 < S 1 S < r r + r. r 1 r d) Dw okręgi są wewnętrznie zewnętrznie. Dw okręgi mją jeden punkt wspólny, zwny punktem styznośi (P). Odległość pomiędzy środkmi okręgów, zyli długość odink S 1S jest równ róŝniy długośi promieni ty okręgów r r 1 P S 1 S S 1 S = r r 1 r 1 r e) Dw okręgi są wewnętrznie rozłązne. Dw okręgi nie mją punktów wspólny (punktów przeięi). Odległość pomiędzy środkmi okręgów, zyli długość odink S 1S jest mniejsz niŝ róŝni długośi promieni ty okręgów r r 1 i nie jest równ zero. 0 < S 1 S < r r 1 S 1 S r 1 r f) Dw okręgi są współśrodkowe. Dw okręgi nie mją punktów wspólny i i środki pokrywją się. Odległość pomiędzy środkmi ty okręgów, zyli długość odink S 1S jest wię równ zero. S 1 S = 0 S S 1 r 1 r 9. WIELOKĄTY FOREMNE, OKRĘGI WPISNY I OPISNY. Wielokąty foremne. Definij wielokąt foremnego: Wielokątem foremnym nzywmy wielokąt, którego wszystkie oki są równej długośi i wszystkie kąty mją tą smą mirę. PRZYKŁDY: TRÓJKĄT FOREMNY (RÓWNOOCZNY) CZWOROKĄT FOREMNY (KWDRT) PIĘCIOKĄT FOREMNY SZEŚCIOKĄT FOREMNY OŚMIOKĄT FOREMNY Mir kąt wielokąt foremnego: y olizyć, ile wynosi mir kąt wewnętrznego wielokąt foremnego nleŝy: ) olizyć sumę mir kątów wewnętrzny w wielokąie (ptrz punkt 5. Wielokąty). ) podzielić sumę mir kątów przez lizę kątów w wielokąie. Jeśli wielokąt m n oków i n kątów, moŝn skorzystć ze wzoru: ( n ) n o

22 Miry kątów w szzególny wielokąt foremny wynoszą: w trójkąie równooznym 60, w kwdrie 90, w pięiokąie foremnym 108, w sześiokąie foremnym 10, w siedmiokąie foremnym około 18,6, w ośmiokąie foremnym 135, itd Okrąg opisny n wielokąie. Definij okręgu opisnego n wielokąie: Okrąg jest opisny n wielokąie, jeŝeli wszystkie wierzołki wielokąt nleŝą do tego okręgu. PRZYKŁDY: Okrąg opisny n prostokąie Okrąg opisny n trpezie Okrąg opisny n sześiokąie Okrąg opisny n ośmiokąie Istnieją wielokąty, n który nie d się opisć okręgu. Przykłdmi tki figur są np.: rom, równoległook, trpez prostokątny. To nie jest okrąg opisny n romie, o dw wierzołki romu nie nleŝą do tego okręgu! Okrąg opisny n trójkąie: N kŝdym trójkąie moŝn opisć okrąg. Środek tego okręgu to punkt przeięi się wszystki symetrlny oków trójkąt (przypomnienie: symetrln to prost, któr dzieli odinek n połowy pod kątem prostym). Promień tego okręgu moŝn wyznzyć łązą środek okręgu z jednym z wierzołków. PRZYKŁD: symetrln r okrąg opisny S Uwg! Jeśli okrąg jest opisny n wielokąie, moŝn równieŝ powiedzieć, Ŝe wielokąt jest wpisny w okrąg.

23 Okrąg wpisny w wielokąt. Definij okręgu wpisnego w wielokąt: Okrąg jest wpisny w wielokąt, jeŝeli jest styzny do wszystki oków wielokąt. PRZYKŁDY: Okrąg wpisny w kwdrt Okrąg wpisny w rom Okrąg wpisny w sześiokąt Okrąg wpisny w ośmiokąt UWG! Istnieją wielokąty, w które nie d się wpisć okręgu. Przykłdmi tki figur są np.: prostokąt, równoległook, większość trpezów. To nie jest okrąg wpisny w prostokąt, o jeden ok nie jest styzny do tego okręgu! Okrąg wpisny w trójkąt: W kŝdy trójkąt moŝn wpisć okrąg. Środek tego okręgu to punkt przeięi się wszystki dwusiezny kątów trójkąt (przypomnienie: dwusiezn to półprost, któr dzieli kąt n połowy). Promień tego okręgu moŝn wyznzyć łązą środek okręgu prostopdle z jednym z oków. PRZYKŁD: dwusiezn S okrąg wpisny r Uwg! Jeśli okrąg jest wpisny w wielokąt, moŝn równieŝ powiedzieć, Ŝe wielokąt jest opisny n okręgu. Twierdzeni o okręgu opisnym n zworokąie i okręgu wpisnym w zworokąt. Twierdzenie o okręgu opisnym n zworokąie: Okrąg moŝn opisć n zworokąie, jeŝeli sum mir dwó przeiwległy kątów zworokąt wynosi 180. δ γ α + γ = 180 β + δ = 180 α β Twierdzenie o okręgu wpisnym w zworokąt: Okrąg moŝn wpisć w zworokąt, jeŝeli sum długośi przeiwległy oków jest zwsze tk sm. + = + d d 3

24 Okrąg wpisny i opisny n wielokąie foremnym. Trójkąt równoozny: R S Wysokośi trójkąt równooznego, dwusiezne kątów trójkąt równooznego, symetrlne oków trójkąt równooznego i środkowe oków trójkąt równooznego pokrywją się ze soą. Przeinją się one w jednym punkie zznzonym n rysunku literą S. Punkt ten jest środkiem okręgu opisnego n trójkąie równooznym orz środkiem okręgu wpisnego w trójkąt równoozny. Promień okręgu opisnego, to 3 wysokośi trójkąt. R = 3 r Promień okręgu wpisnego, to 3 1 wysokośi trójkąt. r = 1 3 Kwdrt: Środkiem okręgu opisnego n kwdrie i wpisnego w kwdrt jest punkt przeięi się przekątny kwdrtu, zznzony n rysunku literą S. d S R r Promień okręgu opisnego, to połow przekątnej kwdrtu. 1 R = d = Promień okręgu wpisnego, to połow długośi oku kwdrtu. 1 r = 1 Sześiokąt foremny: D d S r R Sześiokąt foremny m dw rodzje przekątny: dłuŝszą (n rysunku oznzon literą D) i krótszą (n rysunku oznzon literą d). DłuŜsz przekątn m długość równą dwóm okom D = Wszystkie trzy dłuŝsze przekątne dzielą sześiokąt foremny n sześć trójkątów równoozny. Wynik stąd wzór n pole sześiokąt foremnego: P = Krótsz przekątn m długość równą dwóm wysokośiom trójkąt równooznego: 3 d = = 3 Wszystkie trzy dłuŝsze przekątne D przeinją się w jednym punkie (n rysunku oznzony literą S), który jest środkiem okręgu opisnego i wpisnego w sześiokąt foremny. Promienie ty okręgów to: R = r = 3 4

25 10. TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY. TWIERDZENIE PITGORS. ELEMENTY TRYGONOMETRII. przeiwprostokątn Twierdzenie Pitgors: W trójkąie prostokątnym sum kwdrtów długośi przyprostokątny jest równ kwdrtowi długośi przeiwprostokątnej + = przyprostokątn przyprostokątn Komentrz: Twierdzenie Pitgors opisuje związek, który zodzi pomiędzy okmi trójkąt prostokątnego. Dzięki twierdzeniu Pitgors moŝn olizyć długość rkująego oku trójkąt prostokątnego, gdy znne są długośi dwó pozostły oków. PRZYKŁD: Oliz długość rkująego oku trójkąt. 6 m x 8 m Znne są długośi przyprostokątny (we wzorze oznzone litermi i ), wylizyć nleŝy długość przeiwprostokątnej (we wzorze oznzoną literą ). Podstwimy odpowiednie wrtośi do wzoru + = i rozwiązujemy powstłe w ten sposó równnie: = x x = 100 = = x x = 100 = 10 m PRZYKŁD: Oliz długość rkująego oku trójkąt. 8 m y Znne są: długość przyprostokątnej i przeiwprostokątnej. Podstwimy odpowiednie wrtośi do wzoru + = i rozwiązujemy powstłe w ten sposó równnie: y = = 1 1 m 64 + y y = 80 = y = 80 = 4 5 m PRZYKŁD: Oliz długość przekątnej prostokąt o ok długośi 1 m i 5 m. 5 m d 1 m PoniewŜ przekątn dzieli prostokąt n dw trójkąty prostokątne, moŝn zstosowć twierdzenie Pitgors dl jednego z ni: = d d = 169 = d = 13 m = d 5

26 PRZYKŁD: Oliz pole trójkąt równormiennego o ok długośi 10 m, 10 m i 1 m. 10 m 10 m PoniewŜ przekątn dzieli trójkąt równormienny n dw trójkąty prostokątne, moŝn zstosowć twierdzenie Pitgors dl jednego z ni. Jedną z przyprostokątny jest połow podstwy trójkąt równormiennego, przeiwprostokątn to rmię = = = m = 64 = 8 m 1 8 Wzór n pole trójkąt to: P =. Olizmy pole trójkąt: P = = 48 m. PRZYKŁD: Oliz owód romu, którego przekątne mją długośi 4 m i 18 m. Jką długość m wysokość tego romu? 18 m 4 m PoniewŜ przekątne dzielą rom n ztery trójkąty prostokątne, moŝn zstosowć twierdzenie Pitgors dl jednego z ni. Przyprostokątne tego trójkąt to połowy przekątny romu = = 5 = = 15 m Owód romu to sum długośi ztere oków. Czyli Ow = 4 = 4 15 = 60 m. e f y olizyć długość wysokośi romu moŝn uŝyć dwó wzorów n pole. Z pierwszego z ni, P =, moŝn olizyć 18 4 pole romu: P = = 16 m. Olizoną wrtość pol figury moŝn uŝyć do wyznzeni długośi wysokośi wstwiją ją do wzoru P = : 16 = 15 : 15 = 16 : 15 = 14,4 m = 36 PRZYKŁD: Oliz pole trpezu równormiennego, którego oki mją długośi 8 m, 4 m, 4 m i 4 m. 4 m x 4 m 4 m 8 m x Dwie wysokośi opuszzone z wierzołków kątów rozwrty dzielą trpez n prostokąt i dw identyzne trójkąty prostokątne. Jedn z przyprostokątny trójkąt prostokątnego (oznzon n rysunku literą x) moŝe zostć olizon jko połow róŝniy długośi podstw: 8 4 x = = m. Terz moŝn wykorzystć twierdzenie Pitgors, y wylizyć długość wysokośi trpezu: + + = = = 16 4 = 1 = 1 = 3 m MoŜn olizyć pole figury: P = = 3 = 1 3 m 6

27 Interpretj geometryzn twierdzeni Pitgors. P 3 P 1 P N ok trójkąt prostokątnego zudowno kwdrty. Pole kwdrtu zudownego n oku wynosi P 1 =, Pole kwdrtu zudownego n oku wynosi P =, Pole kwdrtu zudownego n oku wynosi P 3 =. W tej sytuji twierdzenie Pitgors opisne wzorem + = moŝn sformułowć w sposó geometryzny: Sum pól kwdrtów zudowny n przyprostokątny trójkąt prostokątnego jest równ polu kwdrtu zudownego n przeiwprostokątnej. Komentrz: Interpretj geometryzn twierdzeni Pitgors wykorzystywn jest w dowod tego twierdzeni. Twierdzenie odwrotne do twierdzeni Pitgors: JeŜeli w trójkąie sum kwdrtów długośi dwó krótszy oków jest równ kwdrtowi długośi njdłuŝszego oku, to jest to trójkąt prostokątny. Komentrz: Twierdzenie odwrotne do twierdzeni Pitgors słuŝy do sprwdzni, zy trójkąt jest prostokątny. PRZYKŁD. Sprwdź, zy trójkąt o ok długośi 10 m, 6 m i 4 m jest prostokątny? Sprwdzm (zgodnie z twierdzeniem odwrotnym do tw. Pitgors), zy oki tego trójkąt spełniją równnie + =. Pmiętć nleŝy o tym, Ŝe w miejse litery nleŝy podstwić długość oku njdłuŝszego (zyli w zdniu 6 m) 10 + = = = 676 = 6 Czyli trójkąt o ok długośi 10 m, 6 m i 4 m jest prostokątny, o jego oki spełniją równnie + =. Elementy trygonometrii. Trójkąt prostokątny równormienny (trójkąt o kąt 45, 45, 90 ). 45 ZleŜnośi pomiędzy okmi w trójkąie prostokątnym równormiennym zpisne są n rysunku. Wynikją one z fktu, Ŝe trójkąt prostokątny równormienny jest połową kwdrtu (przeiwprostokątn to przekątn kwdrtu).. 45 Trójkąt o kąt 30, 60, ZleŜnośi pomiędzy okmi w trójkąie o kąt 30, 60, 90 zpisne s ą n rysunku. Wynikją one z fktu, Ŝe trójkąt prostokątny o kąt 30, 60, 90 jest połową trójkąt równooznego (dłuŝsz przyprostokątn to wysokość trójkąt równooznego) Komentrz: ZleŜnośi trygonometryzne słuŝą do olizni rkująy oków trójkąt prostokątnego, gdy znne są miry jego kątów orz długość jednego oku (rzdziej uŝyw się i teŝ do olizni mir kątów trójkąt). 1 7

28 PRZYKŁD: Oliz długośi rkująy oków trójkąt. x 45. y 45 4 m Trójkąt jest trójkątem prostokątnym równormiennym, wię, zgodnie ze wzormi: x = 4 m y = = 4 m. PRZYKŁD: Oliz długośi rkująy oków trójkąt. 6 m x y Trójkąt jest trójkątem prostokątnym równormiennym, wię, zgodnie ze wzormi moŝn zpisć: 6 = Wyznzny terz z tego równni niewidomą : 6 = = 6 = 6 : = 3 Wyznzon liz to długość oków x orz y: x = 3 m i y = 3 m. m. PRZYKŁD: Oliz długośi rkująy oków trójkąt x. y 10 m 60 1 Trójkąt jest trójkątem o kąt 30, 60, 90, wi ę, zgodnie ze wzormi moŝn zpisć: = 10 m 1 1 y = = 10 = 5 m x = = = 5 3 m PRZYKŁD: Oliz długośi rkująy oków trójkąt. Trójkąt jest trójkątem o kąt 30, 60, 90, wi ę, zgodnie ze wzormi moŝn zpisć: 1 = 3 m. Wynik z tego, Ŝe: y = = 6 m x = = = 3 3 m 3 y x 1 3 m PRZYKŁD: Oliz długośi rkująy oków trójkąt. y x 1 m Trójkąt jest trójkątem o kąt 30, 60, 90, wi ę, zgodnie ze wzormi moŝn zpisć: 3 = 1 m. Przeksztłją to równnie moŝn wylizyć. 3 = 1 3 = 4 : 3 Czyli x = = = = m, ntomist y = = 8 3 = 4 3 m 8 m

29 Funkje trygonometryzne: Funkją trygonometryzną kąt ostrego α w trójkąie prostokątnym nzywmy stosunek długośi dwó oków trójkąt. Stosunek ten zleŝy jedynie od miry kąt α, nie zleŝy od długośi oków, zy wielkośi trójkąt. W zleŝnośi od wyoru pry oków, moŝn ułoŝyć sześć stosunków ędąy wrtośimi funkji trygonometryzny. KŜdy z ni m swoją osoną nzwę: Sinusem kąt ostrego α w trójkąie prostokątnym nzywmy stosunek długośi przyprostokątnej () leŝąej n przeiw tego kąt do długośi przeiwprostokątnej (). Cosinusem kąt ostrego α w trójkąie prostokątnym nzywmy stosunek długośi przyprostokątnej () leŝąej przy tym kąie do długośi przeiwprostokątnej (). Tngensem kąt ostrego α w trójkąie prostokątnym nzywmy stosunek długośi przyprostokątnej () leŝąej n przeiw tego kąt do długośi drugiej przyprostokątnej (). Cotngensem kąt ostrego α w trójkąie prostokątnym nzywmy stosunek długośi przyprostokątnej () przyległej do tego kąt do długośi drugiej przyprostokątnej (). Sensem kąt ostrego α w trójkąie prostokątnym nzywmy stosunek długośi przeiwprostokątnej () do przyprostokątnej leŝąej n przeiw tego kąt (). UWG! Sens jest funkją, której oenie się nie uŝyw! Cosensem kąt ostrego α w trójkąie prostokątnym nzywmy stosunek długośi przeiwprostokątnej () do przyprostokątnej przyległej do tego kąt (). UWG! Cosens jest funkją, której oenie się nie uŝyw! α sin α = os α = tg α = tg α = 11. FIGURY PRZYSTJĄCE. CECHY PRZYSTWNI TRÓJKĄTÓW. Figury przystjąe. Dwie figury geometryzne są przystjąe, jeŝeli są identyzne. Figury przystjąe nie róŝnią się od sieie długośimi odpowiedni oków, mirmi odpowiedni kątów, owodmi, polmi itd RóŜnią się jedynie połoŝeniem n płszzyźnie (lu w przestrzeni). Przykłdy figur przystjąy: dw kwdrty o tki smy ok dw koł o równy promieni dw trójkąty równoozne o tki smy ok dw kąty o ty smy mir Cey przystwni trójkątów. Pierwsz e przystwni trójkątów (): Dw trójkąty są przystjąe, jeŝeli wszystkie oki jednego trójkąt są równe odpowiednim okom w drugim trójkąie. C PRZYKŁD: C ' ' C' 10 m 1 m 6 m 6 m C 1 m 10 m 9

30 Drug e przystwni trójkątów (K): Dw trójkąty są przystjąe, jeŝeli dw oki jednego trójkąt są równe odpowiednim okom w drugim trójkąie, kąt leŝąy pomiędzy tymi okmi w pierwszym trójkąie m tką smą mirę jk odpowiedni kąt w drugim trójkąie. C PRZYKŁD: C α 6 m 8 m C ' ' C' Komentrz: WŜnym elementem ey K jest uwg, Ŝe dny kąt musi leŝeć między dnymi okmi. Nie moŝn porównć ze soą inny kątów! Wówzs trójkąty nie muszą yć przystjąe, o prezentuje poniŝszy rysunek. Trójkąty mją dwie pry równy oków i prę odpowiedni kątów równy, jednk nie są przystjąe!!! 8 m α 6 m 4 m 4 m C α 8 m C α 8 m Widć rdzo wyrźnie, Ŝe dw nrysowne wyŝej trójkąty nie są przystjąe, oiŝ mją dwie pry odpowiedni oków równy orz prę równy kątów odpowidjąy soie. Jednk kąty te nie leŝą pomiędzy dnymi okmi, wię nie jest spełnion e K. Trójkąty nie są przystjąe, o nie zodzą wrunki opisne w esze K. Trzei e przystwni trójkątów (K): Dw trójkąty są przystjąe, jeŝeli dw kąty jednego trójkąt są równe odpowiednim kątom w drugim trójkąie, orz jeden ok pierwszego trójkąt jest równy odpowiedniemu okowi trójkąt drugiego. PRZYKŁD: β C ' ' C' 8 m C α 8 m β α C 1. FIGURY PODONE. Figury podone. Dwie figury nzywmy podonymi, jeśli nie róŝnią się ksztłtem i istnieje pewn liz k, zwn sklą podoieństw, któr określ nm w sposó jednoznzny, ile rzy jedn figur jest większ od drugiej. N rysunku zznzono figury podone tym smym kolorem: N rysunku zprezentowno dw prostokąty. Skl podoieństw wynosi k =, o drugi prostokąt jest dw rzy większy od pierwszego: 30

31 N rysunku zprezentowno dw trójkąty. Skl podoieństw wynosi k = 3, o drugi trójkąt jest trzy rzy większy od pierwszego: N rysunku zprezentowno dw pięiokąty. Skl podoieństw wynosi k = 1, o drugi pięiokąt jest dw rzy mniejszy od pierwszego (jego wymiry stnowią połowę wymirów pierwszego pięiokąt: Figury zwsze podone. Istnieją figury geometryzne, które zwsze są podone, niezleŝnie od włsnośi, np.: dw kwdrty są zwsze podone, dw koł są zwsze podone, dw odinki są zwsze podone, dw trójkąty równoozne są zwsze podone, dw sześiokąty foremne są zwsze podone, dw n kąty foremne są zwsze podone. Oliznie skli podoieństw: y olizyć sklę podoieństw nleŝy podzielić długość dowolnego odink związnego z drugą figurą (np. długość oku, długość przekątnej, długość promieni itd ), przez długość odpowiedniego odink pierwszej figury. PRZYKŁD. N rysunku zprezentowno dw prostokąty podone. Oliz sklę podoieństw. D C D 8 m 6 m 4 m 1 m C y olizyć sklę, nleŝy znleźć stosunek odpowidjąy soie oków ty figur, np.: ' ' 6 m 3 k = = = 4 m lu: ' C' k = C 1 m = = 8 m PRZYKŁD. N rysunku zprezentowno dw koł. Oliz sklę podoieństw. 3 d 1 = 0 m d = 8 m y olizyć sklę, nleŝy znleźć stosunek średni ty kół: d 8 m k = = d 0 m =

32 Pol figur podony. Stosunek pól figur podony jest równy kwdrtowi skli. Jeśli dwie figury są podone do sieie w skli k, to stosunek i pól wynosi k. P 1 P Jeśli figury n rysunku są podone w skli k, to stosunek i pól wynosi: P 1 = k P Zstosownie pojęi podoieństw: Pojęie podoieństw m zstosownie w krtogrfii, zyli w dzile geogrfii zjmująym się tworzeniem mp. Dzięki podoieństwu tworzy się sklę mpy. KŜd skl mpy określ z pomoą ułmk, ile rzy odległośi zznzone n mpie są mniejsze od odległośi prwdziwy mierzony w terenie w skli rzezywistej. PoniewŜ odległośi n mpie są znznie mniejsze od odległośi rzezywisty skl mpy jest przewŝnie rdzo niewielkim ułmkiem, np.: lu N mpie zpisuje się ten ułmek z pomoą symolu dziłni dzieleni: 1: lu 1 : Podoieństwo prostokątów: Ce podoieństw prostokątów: Dw prostokąty są podone, jeŝeli stosunek i oków jest tki sm. PRZYKŁD. Sprwdź, zy prostokąty o ok długośi 4 m i 10 m orz 3 m i 7,5 m są podone? 4 m 3 m 10 m 7,5 m Nie trze sprwdzć istnieni skli podoieństw. Zgodnie z eą podoieństw wystrzy zdć stosunki oków kŝdego z prostokątów. Prostokąt pierwszy: 10 m : 4 m =,5, prostokąt drugi: 7,5 m : 3 m =,5 PoniewŜ stosunki długośi oków w ou prostokąt są równe, to prostokąty są podone. Podoieństwo trójkątów: Ce podoieństw trójkątów (KKK): Dw trójkąty są podone, jeŝeli jeden z ni m tkie sme kąty wewnętrzne jk drugi Trójkąty n rysunku są podone, o zgodnie z eą KKK mją tkie sme kąty. 3

33 13. TWIERDZENIE TLES. O l d k l II k Twierdzenie Tles (wersj 1): Jeśli rmion kąt przetniemy dwom prostymi równoległymi, to stosunki odpowidjąy soie odinków n ou rmion kąt są równe. Np.: O O O O = lu = lu = O' ' ' O' O' ' ' O' Przy inny oznzeni (gdy mmy podne długośi odinków pod postią liter): + + = lu = lu = d + d d + d Twierdzenie Tles (wersj ): Jeśli rmion kąt przetniemy dwom prostymi równoległymi, to stosunek dowolny odinków powstły n jednym z rmion kąt jest równy stosunkowi odpowidjąy im odinków drugiego rmieni. Np.: O O' O O' ' = lu = lu = ' ' O O' O O'' Przy inny oznzeni (gdy mmy podne długośi odinków pod postią liter): d = lu = lu = d + + d + + d Twierdzenie Tles (wersj rozszerzon): MoŜn poszerzyć twierdzenie Tles do rdziej ogólnej sytuji: Jeśli dwie proste przeinjąe się przetniemy prostymi równoległymi, to stosunek dowolny dwó odpowidjąy soie odinków powstły n prosty przeinjąy się jest stły. Komentrz: w wersji rozszerzonej zmist rmion kąt przeinmy prę prosty nierównoległy (zyli rmion dwó kątów wierzołkowy). Prosty równoległy moŝe yć wiele. m n l f k g d l II k II m II n e e = f = g = d Twierdzenie Tles wniosek dl odinków n prosty równoległy: Jeśli rmion kąt przetniemy dwom prostymi równoległymi, to stosunek odinków powstły n prosty równoległy jest równy stosunkowi odinków jednego rmieni, który końmi są: wierzołek kąt i punkt przeięi się rmieni z jedną z prosty równoległy. O f l d e k l II k ' = ' O O lu ' O' e + =. Przy inny oznzeni moŝn zpisć: = lu ' O' f e + d = f 33

34 PRZYKŁD. Oliz długość rkująego odink. 4 m,5 m l m x 6 m y k l II k Sytuj w zdniu spełni złoŝeni twierdzeni Tles. MoŜn zpisć odpowiednią proporję, y wylizyć długość odink x (zgodnie z wersją 1) 4 6 =,5 x Zgodnie z zsdą rozwiązywni proporji moŝn zpisć: 4x =,5 6 4x = 15 x = 3,5 m : 4 y wylizyć długość odink y, trze skorzystć z wniosku z twierdzeni Tles, z którego wynik proporj: y = 4 zyli y 10 = 4 Zgodnie z zsdą rozwiązywni proporji moŝn zpisć: 4y = 10 4y = 0 y = 5 m : 4 Twierdzenie odwrotne do twierdzeni Tles: JeŜeli w wyniku przeięi rmion kąt dwom prostymi powstją n rmion kąt odinki proporjonlne, to znzy, Ŝe proste są równoległe. Komentrz: twierdzenie odwrotne do twierdzeni Tles słuŝy do sprwdzni, zy dwie proste (odinki) są równoległe. 14. SYMETRIE. Symetri osiow. Symetri osiow to przeksztłenie geometryzne n płszzyźnie (lu w przestrzeni), w którym orzem punktu w symetrii względem prostej k jest tki punkt, Ŝe odinek jest prostopdły do prostej k, prost k, dzieli ten odinek n połowy. k Dodtkowe informje: Punkt jest nzywny orzem punktu. Symetri osiow jest nzywn równieŝ symetrią względem prostej lu (rzdziej) odiiem lustrznym. Prost k jest nzywn osią symetrii. Orzem punktu leŝąego n osi symetrii jest ten sm punkt (ptrz punkty i ). Symetri osiow jest izometrią, to znzy, Ŝe orzem odink jest odinek o tej smej długośi. Odległość punktu od osi k jest tk sm jk odległość punktu od tej osi. Rysunki prezentują przykłdy orzów figur w symetrii osiowej: k k C C Oś symetrii figury. Osią symetrii figury nzywmy tką prostą, Ŝe orzem figury w symetrii względem tej prostej jest dokłdnie t sm figur. Komentrz: osią symetrii figury moŝe yć tylko tk prost, któr dzieli figurę n połowy i połowy te są symetryzne względem sieie. MoŜn wyjśnić soie ten fkt wyorŝją soie skłdnie figury nizym krtkę ppieru. Osią symetrii ędzie tk lini zgięi krtki, któr spowoduje Ŝe skłdne zęśi figury nłoŝą się n sieie, wzjemnie się pokrywją. 34

35 N rysunk poniŝej znjdują się podstwowe figury geometryzne orz wszystkie osie symetrii ty figur: 3 osie RK OSI 1 oś 4 osie osie osie RK OSI Trójkąt równoozny 1 oś Trójkąt róŝnoozny RK OSI Trójkąt równormienny Kwdrt Prostokąt Równoległook Rom 5 osi 6 osi 8 osi nieskońzenie wiele osi Trpez równormienny Trpez Pięiokąt foremny Sześiokąt foremny Ośmiokąt foremny Koło Symetri środkow. Symetri środkow to przeksztłenie geometryzne n płszzyźnie (lu w przestrzeni), w którym orzem punktu w symetrii względem punktu O jest tki punkt, Ŝe punkt O jest środkiem odink. O Dodtkowe informje: Punkt jest nzywny orzem punktu. Symetri środkow jest nzywn równieŝ symetrią względem punktu. Punkt O jest nzywny środkiem symetrii. Symetri środkow jest izometrią, to znzy, Ŝe orzem odink jest odinek o tej smej długośi. Odległość punktu od punktu O jest tk sm jk odległość punktu od punktu O. Rysunki prezentują przykłdy orzów figur w symetrii środkowej: O C C O Środek symetrii figury. Środkiem symetrii figury nzywmy tki punkt, Ŝe orzem figury w symetrii względem tego punktu jest dokłdnie t sm figur. Komentrz: środkiem symetrii figury moŝe yć środek tej figury. Jeśli figur ogrnizon nie posid wyrźnego środk, to nie m teŝ środk symetrii. Trze uwŝć, o niejednokrotnie środek figury nie jest równoześnie środkiem symetrii. UWG! śden wielokąt o nieprzystej lizie oków nie posid środk symetrii (np. trójkąt)! Wielokąt moŝe mieć tylko jeden środek symetrii. Tylko figury nieogrnizone mogą mieć więej niŝ jeden środek symetrii (np. prost zy płszzyzn m i nieskońzenie wiele) N rysunk poniŝej znjdują się podstwowe figury geometryzne orz wszystkie osie symetrii ty figur (punkt O): C D O D C RK ŚRODK RK ŚRODK RK ŚRODK O O O O Trójkąt równoozny Trójkąt róŝnoozny Trójkąt równormienny Kwdrt Prostokąt Równoległook Rom RK ŚRODK RK ŚRODK RK ŚRODK O O O Trpez równormienny Trpez Pięiokąt foremny Sześiokąt foremny Ośmiokąt foremny Koło 35