Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy

Transkrypt

1 Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa = 180. Każdy bok trójkąta jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych boków tego trójkąta. AB < AC + BC, AC < AB + BC i BC < AB + AC Wysokości trójkąta Wysokością trójkąta nazywamu odcinek poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku lub do przedłużenia tego boku. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają sie w jednym punkcie zwanym ortocentrum (p.o). Środkowe boków trójkąta DS = CD, ES = AE Środkową boku trójkąta nazywamy odcinkiem łączącym środek tego boku z przeciwległym bokiem tego trójkąta. Każdy trójkąt ma trzy srodkowe przecinające się w jednym punkcie (p.s), który nazywamy środkiem ciężkości tego trójkąta. oraz FS = BF Punkt S (środek ciężkości) dzieli każdą środkową w stosunku 1:2, czyli:

2 DS = CS, ES = AS oraz FS = BS. Odcinki łączące środki boków trójkąta Odcinki łączące środki boków trójkąta są równoległe do przeciwległych boków i równe ich połowie. DF AB i DF = AB, EF AC i EF = AC oraz DE BC i DE = BC Dwusieczne kątów trójkąta Dwusieczna kąta jest to półprosta dzieląca kąt na połowy. Każdy trójkąt ma trzy dwusieczne przecinające się w jednym punkcie (p.o), który jest środkiem koła wpisanego w trójkąt. Symetralne boków trójkąta Symetralną boku trójkąta nazywamy prostą prostopadłą do tego boku, przechodzącą przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w jednym punkcie (p.o), który jest środkiem koła opisanego na tym trójkącie Środek O koła opisanego na trójkącie może leżeć wewnątrz lub na zewnątrz trójkąta, a w przypadku trójkąta prostokątngo na jego goku (w połowie przeciwprostokątnej). Trójkąty nie mają środka symetrii.

3 Trójkąt równoramienny ma jedną oś symetrii i jest ona jednocześnie dwusieczną kąta ( ) zawartego między ramionami oraz pokrywa się z wysokością figury, symetralną i środkową podstawy. Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii, które są jednocześnie dwusiecznymi kątów, wysokościami, symetralnymi i środkowymi boków figury. Punkt przecięcia (C) osi symetrii jest środkiem koła wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym. RODZAJE TRÓJKĄTÓW Podział trójkątów ze względu na boki równoboczny równoramienny (dowolny) równoboczny Każdy bok ma inną długość i każdy kąt ma inną miarę. Ma dwa boki równe i nazywamy je ramionami. Trzeci bok to podstawa. Kąty przy podstawie mają tę samą miarę. Ma wszystkie boki równej długości. Wszystkie kąty wewnętrzne są równe i mają po 60. Podział trójkątów ze względu na kąty

4 ostroktny (dowolny) prostokątny rozwarty Każdy kąt wewnętrzny jest kątem ostrym. C = 90, i Ma jeden kąt prosty, a dwa pozostałe są ostre i takie, że + = 90 > 90 Ma jeden kąt rozwarty, a dwa pozostałe są ostre. PODZIAŁ TRÓJKĄTÓW ZE WZGLĘDU NA BOKI I KĄTY ostrokątny prostokątny rozwartokątny równoboczny (dowolny) C = 90 + = < < 180 i równoramienny =,, = = 45 C = 90 =, 90 < < 180 równoboczny Nie ma takiego trójkąta Nie ma takiego trójkąta = 60 CECHY PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW

5 I cecha Jeżeli boki jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające. AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1 oraz AC = A 1 C 1, to ABC A 1 B 1 C 1 II cecha Jeżeli dwa boki i kąt między nimi zawarty jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiednich boków i kąta zawartego między nimi w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające. AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 i = 1, to ABC A 1 B 1 C 1 III cecha Jeżeli bok i dwa kąty do niego przyległe jednego trójkąta są przystające (równe) do odpowiedniego boku i kątów do niego przyległych w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające. AB = A 1 B 1, = 1 oraz = 1, to ABC A 1 B 1 C 1 CECHY PRZYSTAWANIA TRÓJKĄTÓW PROSTOKĄTNYCH

6 I cecha II cecha III cecha VI cecha V cecha Przyprostokątne jednego trójkąta są odpowiednio równe (przystające) przyprostokątnym drugiego trójkąta. Przyprostokątna i kąt ostry do niej przeciwległy jednego trójkąta są odpowiednio równe przyprostokątnej i kątowi do niej przyległemu w drugim trójkącie. Przyprostokątna i kąt do niej przeciwległy jednego trójkąta są odpowiednio równe przyprostokątnej i kątowi do niej przyległemu w drugim trójkącie. Przeciwprostokątna i jeden z kątów ostrych jednego trójkąta są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i jednemu z kątów ostrych w drugim trójkącie. Przeciwprostokątna i jedna z przyprostokątnych jednego trójkąta są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i jednej z przyprostokątnych w drugim trójkącie. CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW Własność, która pozwala na określenie podobieństwa pewnej rodziny figur, nazywa się cechą podobieństwa figur tej rodziny. Wyróżniamy trzy cechy podobieństwa trójkątów: I cecha Jeżeli dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich kątów drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne. 1 = 2 oraz 1 = 2 II cecha Jeżeli stosunki wszystkich boków jednego trójkąta do odpowiednich boków drugiego trójkąta są równe, to trójkąty są podobne.

7 III cecha Jeżeli stosunki dwóch boków jednego trójkąta do odpowiednich boków drugiego trójkąta są równe oraz kąty zawarte między tymi bokami są przystające (równe), to trójkąty te są podobne. oraz 1 = CECHY PODOBIEŃSTWA TRÓJKĄTÓW PROSTOKĄTNYCH I cecha Jeżeli dwa trójkąty prostokątne mają po jednym kącie ostrym przystającym, to te trójkąty są przystające. 1 = lub 1 = II cecha Jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości przyprostokątnych drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.

8 III cecha Jeżeli stosunek długości przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej jednego trójkąta jest równy stosunkowi odpowiedniej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne. Można też rozpatrywać stosunki przeciwprostokątnych do odpowiednich przyprostokątnych. OBWÓD TRÓJKĄTA różnoboczny równoranienny równoboczny L = a + b + c L = a + 2b L = 3a POLE TRÓJKĄTA

9 a h 1 b h 2 ab sin ac sin lub a h lub a b lub a H c h 3 bc sin c h b h TWIERDZENIE PITAGORASA Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. a 2 + b 2 = c 2 TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENIA PITAGORASA Jeżeli w trójkącie o bokach długości a, b i c zachodzi równość a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt jest prostokątny. OKRĄG OPISANY NA TRÓJKACIE Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środkiem okręgu opisanego jest punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciwprostokątnej.

10 Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym i środek okręgu wpisanegow trójkąt równoboczny pokrywają się. Promień okręgu opisanego jest: R = h. Promień okręgu wpisanego jest: r = h. Zależność między obydwoma promieniami: R = 2r. Opracował: Krzysztof Leszczyński & Marta Sulowska Autor: matematyka.net Przedruk ze strony: Artykuł pobrano ze strony eioba.pl