Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r."

Transkrypt

1 Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny, przy czym <) = 45. Wysokości trójkąta przecinają się w punkcie H (rys. 2). Wykazać, że H =. rys Na bokach, i trójkąta zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne, i (rys. 3). Wykazać, że =. 4. unkty i leżą odpowiednio na bokach i kwadratu, przy czym <) = 45 (rys. 4). owieść, że + =. H rys any jest czworokąt wypukły, w którym <) = <). rys. 3 Symetralne odcinków i przecinają się w punkcie leżącym na odcinku (rys. 5). Udowodnić, że =. 6. any jest trójkąt, w którym <)=90 oraz = (rys. 6). unkt jest środkiem boku. rosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej przecina bok w punkcie. Wykazać, że <) = <). 45 rys. 4 rys. 5 rys. 6 1

2 Waldemar ompe 7. any jest trójkąt, w którym <)=90 oraz = (rys. 7). unkty i leżą na boku, przy czym =. rosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej przecina bok w punkcie. Wykazać, że <) = <). 8. Na bokach i trójkąta zbudowano po jego zewnętrznej stronie kwadraty oraz G (rys. 8). rosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej G przecina odcinek w punkcie. Udowodnić, że =. G rys Na bokach, i trójkąta zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne, i (rys. 9). Na boku zbudowano po wewnętrznej stronie trójkąta taki trójkąt, że <) = <) = 30. owieść, że =. rys. 8 rys unkty i leżą odpowiednio na bokach i trójkąta równobocznego, przy czym = (rys. 10). unkt jest środkiem odcinka. Wykazać, że = any jest trójkąt, w którym <)=90 oraz = (rys. 11). unkty i leżą odpowiednio na bokach i, przy czym =. rosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej przecina bok w punkcie. Wykazać, że =. rys any jest trójkąt, w którym <) = 60 oraz <. rys. 11 unkt leży na boku, przy czym = (rys. 12). unkt jest punktem symetrycznym do punktu względem punktu. Udowodnić, że = rostokąt, w którym = 3 podzielono na trzy kwadraty:, GH oraz GH (rys. 13). Wykazać, że <) +<)G +<) = 90. G H rys. 12 rys. 13 2

3 Waldemar ompe 14. W sześciokącie wypukłym wszystkie boki są równej długości oraz <)+<) +<) = <) +<) +<). owieść, że przekątne, i przecinają się w jednym punkcie. rys. 14 3

4 Waldemar ompe ąty w okręgu 15. Na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego zbudowano po zewnętrznej stronie kwadrat (rys. 15). Niech O będzie środkiem tego kwadratu. Wykazać, że <)O = <)O. O rys any jest trójkąt ostrokątny, przy czym <) = 60 (rys. 16). unkty i są rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów i na proste i. unkt jest środkiem boku. Wykazać, że trójkąt jest równoboczny. 17. unkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie (rys. 17). unkt jest rzutem prostokątnym punktu na prostą. Wykazać, że rys. 16 <) = <)O. O 18. unkt H jest punktem przecięcia wysokości trójkąta ostrokątnego (rys. 18). Wykazać, że punkty symetryczne do punktu H względem prostych,, leżą na okręgu opisanym na trójkącie. rys unkty i leżą odpowiednio na bokach i kwadratu, przy czym = (rys. 19). unkt S jest rzutem prostokątnym punktu na prostą. Wykazać, że <)S = 90. H rys unkt leży na boku kwadratu (rys. 20). unkty i są rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów i odpowiednio na proste i. owieść, że punkty,, leżą na jednej prostej. S rys. 19 rys. 20 4

5 Waldemar ompe 21. Na bokach, i trójkąta zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne, i (rys. 21). Wykazać, że: (a) = =. (b) roste, i przecinają się w jednym punkcie. (unkt wspólny prostych, i nazywa się punktem Toriciellego trójkąta.) 22. unkt leży na boku kwadratu. zworokąt G jest kwadratem zbudowanym na zewnątrz kwadratu (rys. 22). Wykazać, że proste, i G przecinają się w jednym punkcie. 23. Na bokach i trójkąta ostrokątnego zbudowano, po zewnętrznej stronie, kwadraty i GH (rys. 23). Udowodnić, że proste, G i H przecinają się w jednym punkcie. G rys. 21 G rys unkt leży wewnątrz równoległoboku, przy czym <) = <) (rys. 24). owieść, że <) = <). H rys Na czworokącie jest opisany okrąg o średnicy (rys. 25). unkt jest symetryczny do punktu względem środka odcinka. owieść, że proste i są prostopadłe. rys. 24 rys. 25 5

6 Waldemar ompe Styczna do okręgu 26. Ustalone punkty i leżą na prostej k. Okręgi o 1 i o 2 są styczne zewnętrznie w punkcie X (rys. 26). Okręgi te są X również styczne do prostej k odpowiednio w punktach i. Wyznaczyć zbiór punktów X. k rys any jest czworokąt wypukły. roste i przecinają się w punkcie, a proste i przecinają się w punkcie (rys. 27). Udowodnić, że w czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest jeden z warunków: (a) + = + (b) + = +. rys Okręgi dopisane do trójkąta są styczne do boków i odpowiednio w punktach i (rys. 28). Wykazać, że =. 29. zworokąt wypukły podzielno na dziewięć czworokątów, jak pokazano na rysunku 29. Udowodnić, że jeśli w zacieniowane czworokąty można wpisać okręgi, to również w czworokąt można wpisać okrąg. rys unkty,, leżą odpowiednio na bokach,, trójkąta. Odcinki, i przecinają się w punkcie (rys. 30). Wykazać, że jeśli w czworokąty i można wpisać okręgi, to również w czworokąt można wpisać okrąg. rys W czworokąt wypukły można wpisać okrąg. unkt leży na odcinku. Wykazać, że istnieje wspólna styczna do okręgów wpisanych w trójkąty, i (rys. 31). rys. 30 rys. 31 6

7 32. Udowodnić, że w czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi wpisane w trójkąty i są styczne (rys. 32). Waldemar ompe 33. any jest trójkąt, w którym (rys. 33). wusieczna kąta oraz symetralną odcinka przecinają się w punkcie. Wykazać, że punkty,,, leżą na jednym okręgu. rys any jest trójkąt. wusieczna kąta przecina okrąg opisany na tym trójkącie w punkcie (rys. 34). unkt I leży na odcinku. Wykazać, że punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy = = I. rys ztery okręgi są styczne zewnętrznie w punktach,,,, jak pokazano na rysunku 35. Wykazać, że punkty,,, leżą na jednym okręgu. I 36. zworokąt jest wpisany w okrąg. Udowodnić, że środki okręgów wpisanych w trójkąty,, oraz są wierzchołkami prostokąta (rys. 36). rys. 34 rys. 35 rys. 36 7

8 Waldemar ompe 37. Okręgi o 1 i o 2 odpowiednio o średnicach i są styczne zewnętrznie w punkcie. rosta przechodząca przez punkt przecina okręgi o 1 i o 2 odpowiednio w punktach i. rosta przecina okrąg o średnicy w punktach i (rys. 37). Wykazać, że =. 38. Okrąg o środku J, dopisany do trójkąta, jest styczny do boku w punkcie oraz jest styczny do prostej w punkcie (rys. 38). unkt jest rzutem prostokątnym punktu na prostą J. Wykazać, że punkty,, leżą na jednej prostej. J rys Okręgi o 1 i o 2 są rozłączne zewnętrznie. wie wspólne styczne do tych okręgów jedna wewnętrzna, druga zewnętrzna są styczne do okręgu o 1 w punktach i, a do okręgu o 2 w punktach i (rys. 39). Wykazać, że proste i przecinają się na prostej łączącej środki okręgów o 1 i o 2. rys Wykazać, że w dwunastokącie foremnym przekątne 2 6, 3 8 oraz 4 11 przecinają się w jednym punkcie (rys. 40) rys wa ustalone okręgi o 1 i o 2 przecinają się w punktach i. rosta k przechodzi przez punkt i przecina okręgi o 1 i o 2 odpowiednio w punktach X i Y (rys. 41), przy czym punkt X leży na zewnątrz okręgu o 2, a punkt Y na zewnątrz okręgu o 1. Styczne do okręgów o 1 i o 2 w punktach X i Y przecinają się w punkcie Z. owieść, że miara kąta XZY nie zależy od wyboru prostej k Z rys unkt leży wewnątrz czworokąta wypukłego, przy czym <) + <) = <). Wykazać, że okręgi opisane na trójkątach i są styczne (rys. 42). X Y rys. 41 rys. 42 8

9 Waldemar ompe 43. any jest trójkąt, w którym <) =90 (rys. 43). unkty i leżą odpowiednio na bokach i, przy czym <) = <) oraz = 2. Wykazać, że <) = 1 3 <). rys. 43 9

10 Waldemar ompe ole 44. any jest pięciokąt wypukły, w którym przekątna jest równoległa do boku, a przekątna jest równoległa do boku (rys. 44). Wykazać, że pola trójkątów i są równe. 45. unkty i leżą na bokach i równoległoboku, przy czym =. unkt leży na boku. rosta przecina odcinki i odpowiednio w punktach i (rys. 45). Wykazać, że suma pól trójkątów i jest równa polu trójkąta. rys. 44 rys unkty i leżą odpowiednio na bokach i trójkąta, przy czym =. Odcinki i przecinają się w punkcie (rys. 46). Wykazać, że pole czworokąta jest równe polu trójkąta. rys any jest równoległobok. unkt należy do boku, a punkt do boku (rys. 47). rosta przecina prostą w punkcie, a prostą w punkcie. Wykazać, że pole trójkąta jest równe polu trójkąta. rys

11 Waldemar ompe 48. unkty i N są odpowiednio środkami boków i czworokąta wypukłego. Odcinki N i przecinają N się w punkcie, odcinki N i przecinają się w punkcie (rys. 48). Wykazać, że suma pól trójkątów i jest równa polu czworokąta N. 49. unkty i leżą odpowiednio na bokach i czworokąta wypukłego, przy czym =. Udowodnić, że suma pól trójkątów i równa się polu czworokąta (rys. 49). N rys. 48 rys any jest czworokąt wypukły. unkty, leżą na boku, przy czym ==, a punkty, N leżą na boku, przy czym =N =N (rys. 50). Wykazać, że pole czworokąta N jest równe 1/3 pola czworokąta. 51. any jest czworokąt wypukły. unkty i leżą odpowiednio na odcinkach i, przy czym czworokąt jest równoległobokiem (rys. 51). Odcinki i przecinają się w punkcie. Wykazać, że pola czworokątów i są równe. rys. 50 rys any jest sześciokąt wypukły. ażdy z trzech odcinków łączących środki przeciwległych boków tego sześciokąta dzieli go na dwa pięciokąty o równych polach. owieść, że te trzy odcinki przecinają się w jednym punkcie. 53. any jest sześciokąt wypukły. Wykazać, że pole jednego z trójkątów,,,,, nie przekracza 1/6 pola sześciokąta. 54. any jest pięciokąt wypukły. Wykazać, że suma pól pewnych czterech spośród trójkątów,,,, jest większa od pola pięciokąta. 11

12 Waldemar ompe Twierdzenie Talesa 55. unkty i N są odpowiednio środkami boków i równoległoboku. Odcinki i N przecinają przekątną odpowiednio w punktach i (rys. 55). Wykazać, że = =. N 56. unkty,,, N są odpowiednio środkami boków,,, czworokąta wypukłego (rys. 56). owieść, że czworokąt N jest równoległobokiem, którego pole jest równe połowie pola czworokąta. N rys unkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. unkty i są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste I i I (rys. 57). Znając długości boków trójkąta obliczyć długość odcinka. I rys Na bokach i trójkąta zbudowano po jego zewnętrznej stronie kwadraty oraz G (rys. 58). unkty i N są odpowiednio środkami odcinków i G. Znając długości boków trójkąta obliczyć długość odcinka N. G N rys unkty,,, N są odpowiednio środkami boków,,, równoległoboku (rys. 59). Znając pole równoległoboku obliczyć pole czworokąta ograniczonego prostymi, N,,. rys unkty,,, N są odpowiednio środkami boków,,, równoległoboku (rys. 60). Znając pole równoległoboku obliczyć pole ośmiokąta ograniczonego prostymi,, N, N,,,,. N rys unkty i leżą odpowiednio na bokach i czworokąta wypukłego, przy czym =. rosta przecina odcinki i odpowiednio w punktach i (rys. 61). owieść, że = [] []. N rys. 60 rys

13 Waldemar ompe 62. unkty i leżą odpowiednio na bokach i rombu (rys. 62). roste i przecinają przekątną odpowiednio w punktach i. roste i przecinają boki i odpowiednio w punktach i. owieść, że =. 63. any jest sześciokąt wypukły (rys. 63). owieść, że przeciwległe boki sześciokąta wypukłego, którego wierzchołkami są środki ciężkości trójkątów,,,,, są równoległe i równej długości. rys any jest równoległobok (rys. 64). ewna prosta przecina odcinki,, odpowiednio w punktach,, G. owieść, że + G =. 65. any jest trójkąt ostrokątny. unkty i są rzutami prostokątnymi punktów i odpowiednio na proste i (rys. 65). unkty i są rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów i na prostą. owieść, że =. G rys. 63 rys. 64 rys

14 Waldemar ompe echy podobieństwa trójkątów ola figur podobnych 66. Okręgi o 1 i o 2 przecinają się w punktach i. unkt leży na prostej i na zewnątrz obu okręgów (rys. 66). rzez punkt poprowadzono proste styczne do okręgów o 1 i o 2 odpowiednio w punktach i. Wykazać, że =. 67. Okręgi o 1 i o 2 są rozłączne zewnętrznie. Wspólna styczna zewnętrzna do tych okręgów jest styczna do okręgów o 1 i o 2 odpowiednio w punktach i. ruga wspólna styczna zewnętrzna do tych okręgów jest styczna do okręgów o 1 i o 2 odpowiednio w punktach i (rys. 67). rosta przecina okręgi o 1 i o 2 odpowiednio w punktach i. owieść, że =. 68. rosta k jest styczna do okręgu o w punkcie. Odcinek jest cięciwą okręgu o równoległą do prostej k (rys. 68). Styczna do okręgu o w punkcie przecina prostą k w punkcie. Odcinek przecina okrąg o w punkcie. owieść, że prosta dzieli odcinek na dwie równe części. rys. 66 N 69. any jest trójkąt ostrokątny. rosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej przecina okrąg o średnicy w punktach i (rys. 69). rosta przechodząca przez punkt i prostopadła do prostej przecina okrąg o średnicy w punktach i N. Wykazać, że punkty,, i N leżą na jednym okręgu. 70. Z punktu leżącego na zewnątrz okręgu o środku O poprowadzono styczne i (rys. 70). rosta przechodząca przez środek odcinka przecina dany okrąg w punktach i. owieść, że (a) punkty,, O, leżą na jednym okręgu; (b) <) = <). O rys. 67 rys. 68 rys. 69 rys any jest równoległobok. ewien okrąg przechodzący przez punkt przecina odcinki,, odpowiednio w punktach,, G (rys. 71). owieść, że + G =. G rys

15 Waldemar ompe 72. W czworokącie wypukłym punkt jest środkiem przekątnej (rys. 72). Wykazać, że jeżeli <) = <) = <), to na czworokącie można opisać okrąg. 73. any jest pięciokąt wypukły, w którym rys. 72 =, = oraz <) = <) = 90. wusieczne kątów i przecinają się w punkcie (rys. 73). owieść, że 2 =. 74. unkty i leżą odpowiednio na bokach i równoległoboku, przy czym = (rys. 74). Odcinki i przecinają się w punkcie. Wykazać, że <) = <). rys unkty i leżą na bokach i rombu, przy czym prosta jest styczna do okręgu o wpisanego w dany romb (rys. 75). (a) Wykazać, że = (b) Niech będzie punktem styczności okręgu o z odcinkiem. owieść, że proste i są równoległe. rys any jest romb. unkty i leżą odpowiednio na bokach i, przy czym <) = <) (rys. 76). roste i przecinają odcinek odpowiednio w punktach i. owieść, że wartość ilorazu / nie zależy od wyboru punków i. rys ewien prostokąt można pokryć 25 kołami o promieniu 2. Udowodnić, że ten sam prostokąt można pokryć 100 kołami o promieniu 1. rys any jest trójkąt, w którym =. unkt jest środkiem boku, a punkt jest rzutem prostokątnym punktu na prostą. unkt jest środkiem odcinka (rys. 78). owieść, że proste i są prostopadłe. rys

16 Waldemar ompe 79. Trójkąt jest wpisany w okrąg o środku O i promieniu r (rys. 79). unkty O, X, Y leżą w tej właśnie kolejności na symetralnej odcinka oraz wewnątrz kąta, przy czym OX OY = r 2. Wykazać, że <)Y = <)X. O 80. unkt leży na boku trójkąta, przy czym <) = <). Symetralna odcinka przecina prostą w punkcie. Wykazać, że ( = ) 2. X Y rys Trójkąt jest wpisany w okrąg o 1 (rys. 81). Styczna do tego okręgu w punkcie przecina prostą w punkcie. Okrąg o 2 styczny do prostej w punkcie przechodzi przez punkt i przecina okrąg o 1 w różnych punktach i. Wykazać, że ( ) 3 =. rys. 80 rys

17 Twierdzenie tolemeusza Waldemar ompe 82. Na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego zbudowano, po jego wewnętrznej stronie, kwadrat o środku O (rys. 82). Znając długości odcinków i obliczyć długość odcinka O. 83. unkt leży wewnątrz prostokąta (rys. 83). Udowodnić, że pole tego prostokąta jest nie większe od O rys any jest romb o boku 1 (rys. 84). Wewnątrz rombu wyznaczyć zbiór takich punktów, że rys = any jest trójkąt, w którym spełniona jest równość + =2 (rys. 85). unkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt, a punkt O jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Wykazać, że jeżeli O I, to proste OI i I są prostopadłe. rys unkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym (rys. 86). unkty,, są odpowiednio środkami boków,,. Wykazać, że O +O+O = R+r, gdzie R, r są odpowiednio promieniami okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt. Sformułować i udowodnić analogiczne twierdzenie dla trójkąta rozwartokątnego. I O O rys any jest n-kąt wypukły n wpisany w okrąg (zob. rys. 87 dla n=6). W wielokącie tym poprowadzono n 3 przekątne dzieląc go na n 2 trójkąty. Wykazać, że suma promieni okręgów wpisanych w uzyskane trójkąty nie zależy od podziału danego wielokąta. 6 5 rys any jest trójkąt, w którym =a, =b, =c. Niech m a, m b, m c będą długościami środkowych poprowadzonych odpowiednio do boków,,. owieść, że m a (bc a 2 )+m b (ca b 2 )+m c (ab c 2 ) rys

18 Waldemar ompe 89. any jest n-kąt foremny n (na rys. 89 przyjęliśmy n = 7). la i = 1,2,...,n punkt i jest środkiem odcinka i i+1 (przyjmujemy, że n+1 = 1 ). unkt leży wewnątrz danego wielokąta. owieść, że n ( 180 ) n i cos i. n i=1 90. any jest czworokąt wypukły wpisany w okrąg (rys. 90), przy czym i=1 <) = 2<) oraz <) = 2<). owieść, że + = α β 2β α rys. 89 rys

19 Waldemar ompe Twierdzenie o dwusiecznej, okrąg polloniusza 91. unkt i leżą odpowiednio na bokach i równoległoboku, przy czym = (rys. 91). Odcinki i przecinają się w punkcie. owieść, że półprosta jest dwusieczną kąta. rys unkty i leżą odpowiednio na bokach i trójkąta, przy czym = (rys. 92). Odcinki i przecinają się w punkcie. wusieczna kąta przecina odcinki i odpowiednio w punktach i R. Wykazać, że jeżeli punkty,, R nie pokrywają się, to R = R =. R rys zworokąt wypukły jest wpisany w okrąg. roste i przecinają się w punkcie. roste i przecinają się w punkcie (rys. 93). owieść, że dwusieczne kątów i przecinają się na prostej przechodzącej przez środki przekątnych i. 94. zworokąt wypukły jest wpisany w okrąg. unkty i leżą odpowiednio na bokach i, przy czym : = : (rys. 94). unkt leży na odcinku i spełnia warunek : = :. Udowodnić, że stosunek pól trójkątów i nie zależy od wyboru punktów i. 95. ane są okręgi o 1 i o 2 rozłączne zewnętrznie. Wyznaczyć zbiór takich punktów X, z których okręgi o 1 i o 2 widać pod tym samym kątem (rys. 95). X rys. 93 rys W czworokącie miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku jest większa od 180 oraz zachodzi równość =. unkt jest symetryczny do punktu względem prostej (rys. 96). Udowodnić, że <) = <). rys. 95 rys

20 Waldemar ompe 97. ane są punkty i. Wykazać, że każdy okrąg polloniusza dla punktów i jest prostopadły do każdego okręgu przechodzącego przez punkty i (rys. 97). 98. unkty,,, leżą w tej właśnie kolejności na prostej k (rys. 98), przy czym = 1, = 2, = 6. Rozstrzygnąć, czy istnieje taki punkt, nie leżący na prostej k, że <) = <) = <). rys. 97 rys W przestrzeni dane są różne punkty, oraz 1, 2, 3, przy czym i = 2 i dla i = 1,2,3 oraz 1 3 = 4 3. Udowodnić, że <) = 90 oraz, że punkty,, 1, 3 leżą w jednej płaszczyźnie. 20

21 Waldemar ompe Twierdzenie evy i twierdzenie enelausa 100. Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do prostych,, odpowiednio w punktach,,. roste i przecinają się w punkcie X, proste i przecinają się w punkcie Y, proste i przecinają się w punkcie Z (rys. 100). owieść, że punkty X, Y, Z leżą na jednej prostej. X Z 101. any jest trójkąt. unkty, Z leżą na boku, punkty, X leżą na boku, punkty, Y leżą na boku, przy czym Z, X, Y (rys. 101). owieść, że proste X, Y i Z przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy Y Y Z Z X X = any jest trójkąt nierównoramienny. wusieczne kątów, i przecinają boki, i odpowiednio w punktach,, (rys. 102). Symetralne odcinków,, przecinają proste,, odpowiednio w punktach X, Y, Z. owieść, że punkty X, Y, Z leżą na jednej prostej. X Y Z Y rys. 100 rys any jest czworościan. Sfera s jest styczna do krawędzi,,, odpowiednio w punktach,,, N. owieść, że punkty,,, N leżą na jednym okręgu. Z rys

22 Waldemar ompe 104. W trójkącie ostrokątnym punkt jest rzutem prostokątnym punktu na prostą (rys. 104). unkt należy do odcinka. rosta przecina bok w punkcie, a prosta przecina bok w punkcie. Udowodnić, że <) = <) Na przyprostokątnych i trójkąta prostokątnego zbudowano, po zewnętrznej stronie, kwadraty oraz GH (rys. 105). unkt jest rzutem prostokątnym punktu na prostą. Wykazać, że proste, H oraz przecinają się w jednym punkcie. G rys. 104 H rys

23 Waldemar ompe 106. any jest czworokąt wypukły. rosta k przecina proste,, oraz odpowiednio w punktach X, Y, Z oraz T, jak pokazano na rys owieść, że X X Y Y Z Z T T = 1. X Y Z 107. unkty X i Y leżą odpowiednio na bokach i czworokąta, przy czym Y Y = X X. rosta XY przecina odcinki i odpowiednio w punktach i (rys. 107). Wykazać, że = any jest równoległobok (rys. 108). unkty i leżą odpowiednio na bokach i. Odcinki i przecinają się w punkcie. unkt jest takim punktem, że czworokąt jest równoległobokiem. Udowodnić, że punkty,, leżą na jednej prostej. Y R T rys. 106 X rys. 107 rys any jest czworokąt wypukły (rys. 109). wusieczne kątów i przecinają odcinki i odpowiednio w punktach i. wusieczna kąta zewnętrznego przecina prostą w punkcie R. owieść, że punkty,, R leżą na jednej prostej. rys unkt jest środkiem boku trójkąta (rys. 110). unkty i leżą odpowiednio na odcinkach i, przy czym proste i są równoległe. unkt leży na odcinku. roste i przecinają się w punkcie X, a proste i przecinają się w punkcie Y. Wykazać, że punkty X, Y, leżą na jednej prostej. X Y rys

24 Waldemar ompe 111. unkty,, leżą odpowiednio na bokach,, trójkąta. roste i przecinają się w punkcie X, proste i przecinają się w punkcie Y, proste i przecinają się w punkcie Z (rys. 111). owieść, że punkty X, Y, Z leżą na jednej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy proste,, przecinają się w jednym punkcie. (Jest to szczególny przypadek twierdzenia esargues a.) X Z 112. Na bokach,, trójkąta zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, trójkąty,,, przy czym <) = <), <) = <), <) = <). Y rys. 111 owieść, że proste, i przecinają się w jednym punkcie (rys. 112) Wykazać, że w 30-kącie foremnym przekątne 1 19, 3 24 oraz 8 28 przecinają się w jednym punkcie (rys. 113). rys Okrąg o wpisany w trójkąt jest styczny do boków,, odpowiednio w punktach,,. unkty X, Y, Z leżą odpowiednio na łukach, i okręgu o (rys. 114). owieść, że jeżeli proste X, Y i Z przecinają się w jednym punkcie, to również proste X, Y i Z przecinają się w jednym punkcie any jest sześciokąt wypukły, w którym spełnione są zależności, oraz (rys. 115). owieść, że proste łączące środki przeciwległych boków sześciokąta przecinają się w jednym punkcie. 19 Z rys. 113 X Y rys. 114 rys

25 Waldemar ompe unkty izogonalnie sprzężone 116. any jest trójkąt, w którym = (rys. 116). unkty i leżą wewnątrz tego trójkąta, przy czym <) = <) oraz <) = <). owieść, że punkty,, leżą na jednej prostej any jest trójkąt. unkty i należą do symetralnej odcinka i leżą wewnątrz kąta (rys. 117). owieść, że jeżeli <) =<), to <) +<) =180. rys unkty i leżą wewnątrz trójkąta, przy czym <) = <) = <) = α oraz <) = <) = <) = β. owieść, że α = β (rys. 118) W trójkącie punkt jest punktem emoine a. rzez punkt poprowadzono prostą przecinającą odcinki i odpowiednio w punktach i, przy czym <) = <) (rys. 119). rzez punkt poprowadzono również prostą przecinającą odcinki i odpowiednio w punktach R i S, przy czym <)RS = <). Wykazać, że czworokąt RS jest prostokątem. rys. 117 rys. 118 S R rys

26 Waldemar ompe Izometrie, składanie izometrii 120. ane są punkty, oraz proste k i l (rys. 120). Skonstruować takie punkty, leżące odpowiednio na prostych k, l, aby czworokąt był równoległobokiem. l k rys any jest punkt, prosta k oraz okrąg o (rys. 121). Skonstruować takie punkty i leżące odpowiednio na prostej k i okręgu o, że trójkąt jest równoboczny any jest okrąg ω o środku O i promieniu 1 (rys. 122). Rozpatrujemy wszystkie kwadraty, których wierzchołki i leżą na okręgu ω. Wyznaczyć największą wartość długości odcinka O. o k ω O rys ane są cztery różne punkty,,,. owieść, że jeżeli R(,90 ) R(,90 ) R(,90 ) R(,90 ) = Id, to odcinki i prostopadłe i równej długości. R rys. 122 S 124. any jest czworokąt wypukły. Na jego bokach zbudowano, po zewnętrznej stronie, trójkąty prostokątne równoramienne,, R i S (rys. 124). Wykazać, że odcinki R i S są prostopadłe i równej długości any jest trójkąt. Na jego bokach zbudowano, po zewnętrznej stronie, trójkąty prostokątne równoramienne,, R (rys. 125). Wykazać, że odcinki i R są prostopadłe i równej długości. R rys any jest ośmiokąt wypukły Na każdym boku i i+1 tego ośmiokąta zbudowano, po jego wewnętrznej stronie, trójkąty równoramienne i i i+1, przy czym <) i i i+1 = 135, dla i = 1,2,...,8, gdzie 9 = 1 (rys. 126). owieść, że jeżeli odcinki 1 5 i 3 7 są prostopadłe i równej długości, to również odcinki 2 6 i 4 8 są prostopadłe i równej długości rys. 125 rys

27 Waldemar ompe 127. unkt leży wewnątrz czworokąta wypukłego, przy czym trójkąty i są równoboczne (rys. 127). Na bokach i tego czworokąta zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, trójkąty równoboczne i. owieść, że punkt jest środkiem odcinka unkt leży wewnątrz czworokąta wypukłego, przy czym trójkąty i są równoboczne (rys. 128). Na bokach i tego czworokąta zbudowano, po jego wewnętrznej stronie, trójkąty równoboczne i. owieść, że środki ciężkości trójkątów i pokrywają się. rys Na bokach czworokąta wypukłego zbudowano, po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne,, R, S (rys. 129). Rozstrzygnąć, czy znając punkty,, R, S można jednoznacznie odtworzyć położenie punktów,,,. Jeśli tak, to podać konstrukcję tych punktów Na bokach czworokąta wypukłego zbudowano, po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne, R, S (rys. 130). Rozstrzygnąć, czy znając środki ciężkości trójkątów, R, S można jednoznacznie odtworzyć: (a) długość boku, (b) położenie punktów,,,. Jeśli tak, to podać odpowiednią konstrukcję unkt leży wewnątrz czworokąta wypukłego, przy czym <) +<) = 180 (rys. 131). Niech a, b, c, d będą prostymi symetrycznymi odpowiednio do prostych,,, względem dwusiecznych kątów,,,. owieść, że proste a, b, c, d przecinają się w jednym punkcie ane są punkty 1, 2,..., 2n. Udowodnić, że istnieje łamana zamknięta n taka, że dla j = 1,2,...,2n punkt j jest środkiem odcinka j j+1 (gdzie 2n+1 = 1 ) wtedy i tylko wtedy, gdy n 2i 1 2i = 0. i=1 R S R S rys. 128 rys. 129 rys. 130 rys

28 Waldemar ompe 133. W sześciokącie wypukłym zachodzą następujące równości: =, =, = (rys. 133). owieść, że symetralne boków,, przecinają się w jednym punkcie ane są takie różne punkty,,, że odwzorowanie R(,256 ) R(,244 ) R(,220 ) ma punkt stały. Wyznaczyć miary kątów trójkąta. 2 1 rys ane są różne punkty,, oraz kąty 0 < α,β,γ < 360, przy czym α+β +γ = 360. Wiedząc, że odwzorowanie R(,γ) R(,β) R(,α) ma punkt stały, wyznaczyć miary kątów trójkąta. 4 5 rys any jest sześciokąt wypukły Na każdym boku i i+1 tego sześciokąta zbudowano, po jego wewnętrznej stronie, trójkąty równoramienne i i i+1, przy czym <) i i i+1 = 120, dla i = 1,2,...,6, 3 6 gdzie 7 = 1 (rys. 136). owieść, że jeżeli trójkąt jest równoboczny, to trójkąt także jest równoboczny any jest sześciokąt wypukły Na każdym boku i i+1 tego sześciokąta zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, trójkąty równoboczne i i i+1 (rys. 137). Następnie na odcinkach 1 2, 3 4, 5 6 zbudowano, do wewnątrz sześciokąta trójkąty równoboczne. Wykazać, że środki tych trzech trójkątów równobocznych są wierzchołkami trójkąta równobocznego. R 4 Y X rys Na bokach,, czworokąta wypukłego zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty równoboczne,, R (rys. 138). unkt jest środkiem odcinka. Na odcinkach R i zbudowano trójkąty równoboczne RX i Y leżące po tej samej stronie prostej, co punkty i. Udowodnić, że trójkąt XY jest równoboczny. rys

29 Waldemar ompe 139. any jest taki sześciokąt, że trójkąty równoboczne zbudowane na bokach,, (skierowane do wewnątrz sześciokąta) mają wspólny wierzchołek O (rys. 139). Niech, oraz R będą trójkątami równobocznymi skierowanymi do wewnątrz sześciokąta. Wykazać, że trójkąt R jest równoboczny. O R 140. Na bokach i nierównoramiennego trójkąta zbudowano po jego zewnętrznej stronie trójkąty i (rys. 140), przy czym =, = oraz <) = <) = α. rys. 139 Rozstrzygnąć, czy znając punkty, oraz symetralną odcinka można odtworzyć jednoznacznie (a) miarę kąta α, (b) położenie punktów,,. Jeśli tak, to podać odpowiednią konstrukcję any jest czworokąt wypukły, który nie jest trapezem. Na bokach i zbudowano, po zewnętrznej stronie czworokąta, trójkąty równoboczne i (rys. 141). Rozstrzygnąć, czy znając punkty, oraz symetralne odcinków i można jednoznacznie odtworzyć położenie punktów,,,. Jeśli tak, to podać konstrukcję any jest sześciokąt wypukły, w którym =, = oraz =. owieść, że proste łączące środki przeciwległych boków tego sześciokąta przecinają się w jednym punkcie (rys. 142). rys. 140 rys. 141 rys Niech 0 < α < 360. Wykazać, że odwzorowanie R(,α) S(k) ma punkt stały wtedy i tylko wtedy, gdy punkt należy do prostej k Wykazać, że wszystkie osie symetrii zbioru ograniczonego przecinają się w jednym punkcie. 29

30 Waldemar ompe 145. unkt leży na boku kwadratu (rys. 145). rzekątna kwadratu N jest prostopadła do prostej oraz = 1 2. zworokąty N oraz RS są kwadratami, jak pokazano na rysunku 145. Wykazać, że punkt jest środkiem odcinka R. N R S rys

31 Waldemar ompe Jednokładność 146. Okręgi o 1 i o 2 są styczne zewnętrznie w punkcie. Wspólna styczna zewnętrzna okręgów o 1 i o 2 przecina prostą łączącą ich środki w punkcie. rosta przechodząca przez punkt przecina okręgi o 1 i o 2 odpowiednio w punktach i, jak pokazano na rysunku 146. owieść, że <) = 90. H G rys any jest kwadrat oraz punkty i leżące na prostej (rys. 147). Niech GH będzie kwadratem leżącym po tej samej stronie prostej, co punkty i. Wykazać, że proste G, H i przecinają się w jednym punkcie. rys Skonstruować trójkąt znając długości dwóch jego boków oraz wiedząc, że długość środkowej poprowadzonej do boku trzeciego jest równa długości tego boku (rys. 148). X rys any jest okrąg o oraz punkty i leżące na nim. unkt X leży na okręgu o (rys. 149). Wyznaczyć zbiór środków S ciężkości trójkątów X, odpowiadającym różnym po- łożeniom punktu X na okręgu o Okrąg o jest wpisany w trójkąt. Styczne do okręgu o, równoległe do prostych,, odcinają od trójkąta trzy trójkąty:, N i (rys. 150). Wykazać, że suma promieni okręgów wpisanych w trójkąty, N i jest równa promieniowi okręgu wpisanego w trójkąt Okrąg o środku I wpisany w trójkąt jest styczny do boku w punkcie (rys. 151). unkt leży na boku, przy czym =. unkt jest środkiem odcinka. owieść, że proste I i są równoległe. I N rys. 149 rys Wykazać, że w dowolnym trójkącie, środek okręgu wpisanego I, środek ciężkości S oraz punkt Nagela N leżą na jednej prostej oraz SN = 2 IS (rys. 152). rys W sześciokącie wypukłym każda z głównych przekątnych dzieli ten sześciokąt na dwa czworokąty o równych polach. owieść, że przekątne te przecinają się w jednym punkcie. I S N rys

32 Waldemar ompe 154. Okręgi o 1 i o 2 są styczne wewnętrznie w punkcie. rosta k przecina okrąg o 1 w punktach i, a okrąg o 2 w punktach i (rys. 154). Udowodnić, że <) = <) Okręgi o 1 i o 2 są styczne wewnętrznie do okręgu o odpowiednio w punktach i (rys. 155). Wspólna styczna zewnętrzna okręgów o 1 i o 2 jest styczna do tych okręgów odpowiednio w punktach i. owieść, że proste i przecinają się w punkcie leżącym na okręgu o. rys Okrąg o 1 jest styczny wewnętrznie do okręgu o w punkcie, a okrąg o 2 jest styczny zewnętrznie do okręgu o w punkcie (rys. 156). Wspólna styczna wewnętrzna okręgów o 1 i o 2 jest styczna do tych okręgów odpowiednio w punktach i. owieść, że proste i przecinają się w punkcie leżącym na okręgu o. rys any jest trójkąt. Trzy okręgi o jednakowym promieniu p mają punkt wpólny oraz każdy z nich jest styczny do dwóch boków trójkąta (rys. 157). Udowodnić, że środek I okręgu wpisanego w trójkąt, punkt oraz środek O okręgu opisanego na trójkącie leżą na jednej prostej. Wyrazić promień p w zależności od promieni r i R okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie. rys Okrąg o leży wewnątrz trójkąta i jest styczny do boków i tego trójkąta odpowiednio w punktach i (rys. 158). unkt leży na okręgu o, przy czym =. Wykazać, że okrąg opisany na trójkącie jest styczny do okręgu o. I O rys Trójkąt równoboczny jest wpisany w okrąg o. Okrąg ω jest styczny zewnętrznie do okręgu o w punkcie leżącym na łuku okręgu o (rys. 159). Z punktów,, poprowadzono styczne do okręgu ω odpowiednio w punktach,,. owieść, że + =. rys. 158 rys

33 Waldemar ompe 160. Trzy okręgi leżą wewnątrz trójkąta i każdy z nich jest styczny do dwóch boków tego trójkąta, jak na rys o każdej pary z tych okręgów poprowadzono styczną zewnętrzną, różną od prostych, i. unkty przecięcia tych stycznych oznaczono odpowiednio przez, i. Udowodnić, że proste, i przecinają się w jednym punkcie zworokąt wypukły podzielono na dziewięć czworokątów wypukłych, jak pokazano na rysunku 161. Wykazać, że jeśli w zacieniowane czworokąty można wpisać okręgi, to proste X, Y, Z, T przecinają się w jednym punkcie. T X Z Y rys. 160 rys

34 Waldemar ompe Twierdzenie ascala 162. Okrąg o jest styczny wewnętrznie do okręgu opisanego na trójkącie oraz do odcinków i odpowiednio w punktach i (rys. 162). Wykazać, że środek odcinka pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego w trójkąt Okrąg o jest opisany na trójkącie (rys. 163). unkty i leżą odpowiednio na tych łukach i okręgu o, które nie zawierają punktów i. unkty X i Y leżą odpowiednio na odcinkach i, przy czym <)X +<)Y = 180. X Y rys. 162 Wykazać, że wszystkie proste XY, odpowiadające różnym położeniom punktów X i Y (przy ustalonych punktach,,,, ) mają punkt wspólny any jest trójkąt (rys. 164). Niech X i Y będą takimi trójkątami zbudowanymi na zewnątrz trójkąta, że <)X +<)Y = 180 oraz <)X = <)Y = 15. Udowodnić, że wszystkie proste XY, odpowiadające różnym położeniom punktów X i Y, mają punkt wspólny. X Y rys. 163 rys unkt leży na boku pięciokąta wypukłego (rys. 165), przy czym <) = <) oraz <) = <). Wykazać, że <) +<) = 180. rys

35 Waldemar ompe Składanie podobieństw 166. unkty,,, N leżą odpowiednio na bokach,,, czworokąta wypukłego (rys. 166), przy czym = = = N N = 1 2. Rozstrzygnąć, czy znając punkty,,, N można jednoznacznie odtworzyć położenie punktów,,,. Jeśli tak, to podać konstrukcję. N rys Na bokach,, trójkąta zbudowano, po jego zewnętrznej stronie trójkąty,, (rys. 167), przy czym <) = <) = <) = 90 oraz = 3 2, = 2, = 4 3. Rozstrzygnąć, czy znając punkty,, można jednoznacznie odtworzyć położenie punktów,,. Jeśli tak, to podać konstrukcję. 60 rys Na bokach,, trójkąta zbudowano, po jego zewnętrznej stronie trójkąty, (rys. 168), przy czym <) = 90, <) = 60 oraz = 3 2, = 1 2. Rozstrzygnąć, czy znając punkty, oraz symetralną odcinka można jednoznacznie odtworzyć położenie punktów,,. Jeśli tak, to podać konstrukcję Na płaszczyźnie dane są kwadraty oraz, przeciwnie zorientowane o bokach odpowiednio długości a i b (rys. 169). unkty,,, N leżą odpowiednio na odcinkach,,,, przy czym = = = N N = a b. owieść, że punkty,,, N leżą na jednej prostej. N rys. 168 rys

36 Waldemar ompe 170. zworokąt wypukły podzielono na dziewięć czworokątów wypukłych, dzieląc każdy bok czworokąta na trzy równe części, jak pokazano na rysunku 170. owieść, że pole zacieniowanego czworokąta jest równe 1/9 pola czworokąta unkt leży wewnątrz czworokąta wypukłego (rys. 171), przy czym rys. 170 <) = <) = α oraz <) = <) = β. Na bokach i zbudowowano, po zewnętrznej stronie czworokąta, trójkąty i, przy czym <) = <) = α oraz <) = <) = β. Wykazać, że punkt jest środkiem odcinka any jest sześciokąt wypukły (rys. 172), w którym <) +<) +<) = 360 oraz = 1. Wykazać, że <) +<) = <). rys Na bokach i trójkąta, w którym zbudowano, po jego zewnętrznej stronie (rys. 173), takie trójkąty i, że <) = <) = 90 oraz =. Rozstrzygnąć, czy znając symetralną k odcinka oraz położenie punktów i można jednoznacznie odtworzyć: (a) środek odcinka ; (b) odległość punktu od prostej k. Jeśli tak, to podać odpowiednią kostrukcję. rys. 172 rys

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Wielokąty i Okręgi- zagadnienia

Wielokąty i Okręgi- zagadnienia Wielokąty i Okręgi- zagadnienia 1. Okrąg opisany na trójkącie. na każdym trójkącie można opisać okrąg, środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta, jeżeli

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy

Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180. +

Bardziej szczegółowo

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA 7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek

Bardziej szczegółowo

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne: Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego)

PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) PLNIMETRI pp 2015/16 WŁSNOŚI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) Zad.1 Wyznacz kąty trójkąta jeżeli stosunek ich miar wynosi 5:3:1. Zad.2 Znajdź

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku

Bardziej szczegółowo

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1. Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta

Bardziej szczegółowo

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10 Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n = /9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących

Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt dla ucznia Planimetria: 5.

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

Bardziej szczegółowo

Cztery punkty na okręgu

Cztery punkty na okręgu Tomasz Szymczyk V LO w ielsku-iałej ztery punkty na okręgu Przydatne fakty: (1) kąty wpisane w okrąg oparte na łukach przystających są równe, (2) czworokąt jest wpisany w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1 Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie

Bardziej szczegółowo

Geometria. Planimetria. Podstawowe figury geometryczne

Geometria. Planimetria. Podstawowe figury geometryczne Geometria Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Aksjomaty

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania SPIS TREŚCI Do Nauczyciela... 6 Regulamin konkursu... 7 Zadania Liczby i działania... 9 Procenty... 14 Figury geometryczne... 19 Kąty w kole... 24 Wyrażenia algebraiczne... 29 Równania i nierówności...

Bardziej szczegółowo

Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12

Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12 Geometria płaska - matura 010 1. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają ługości 7cm i 4 7cm. Wysokość poprowazona z wierzchołka kąta prostego ma ługość: 1 5 A. 7cm B. cm C. 8 7cm D. 7 7cm 5 7. Miara

Bardziej szczegółowo

METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45

METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45 METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 TWIERDZENIE PONCELETA-STEINERA W roku 1833, Szwajcarski matematyk Jakob Steiner udowodnił, że wszystkie klasyczne konstrukcje (za pomocą cyrkla i linijki)

Bardziej szczegółowo

Jednokładność i podobieństwo

Jednokładność i podobieństwo Jednokładność i podobieństwo Adrian Łydka Bernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Iloczynem niezerowego wektora u przez liczbę rzeczywistą s 0 nazywamy wektor v spełniający następujące dwa warunki: 1) v =

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:

PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Mówimy, że odcinki i CD są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli CD = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a

Bardziej szczegółowo

2 Figury geometryczne

2 Figury geometryczne Płaszczyzna, proste... 21 2 igury geometryczne 1 Płaszczyzna, proste i półproste P 1. Wypisz proste, do których: a) prosta k jest równoległa, o n k l b) prosta p jest prostopadła, m c) prosta k nie jest

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana

Bardziej szczegółowo

Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A x

Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A x . Oblicz: a) (,5) 8 c) ( ) : ( ). Oblicz: Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A [ ] d) 6 a) ( : ) 5 6 6 8 50. Usuń niewymierność z mianownika: a). Oblicz obwód koła o polu,π dm. 5. Podane wyrażenia przedstaw

Bardziej szczegółowo

Geometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Geometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Geometria Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 W tym przypadku możemy wykonać szkic pięciokąta i policzyć przekątne: Zadanie. Promień okręgu opisanego na kwadracie

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (29 września 2016 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. odatnia liczba a powiększona o 50% jest równa dodatniej liczbie b pomniejszonej

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Dane będę rysował na czarno. Różne etapy konstrukcji kolorami: (w kolejności) niebieskim, zielonym, czerwonym i ewentualnie pomarańczowym i jasnozielonym. 1. Prosta

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Skrypt 30. Przygotowanie do egzaminu Okrąg wpisany i opisany na wielokącie

Skrypt 30. Przygotowanie do egzaminu Okrąg wpisany i opisany na wielokącie Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Przygotowanie do egzaminu Okrąg wpisany

Bardziej szczegółowo

Nawi zanie do gimnazjum Planimetria Trójk Rysujemy Rysujemy Rysujemy Zapisujemy t zewn trzny trójk ta, Trójk ty ze wzgl du na miary k tów Trójk

Nawi zanie do gimnazjum Planimetria Trójk Rysujemy Rysujemy Rysujemy Zapisujemy t zewn trzny trójk ta, Trójk ty ze wzgl du na miary k tów Trójk PLANIMETRIA Lekcja 102-103. Miary kątów w trójkącie str. 222-224 Nawiązanie do gimnazjum Planimetria to., czy planimetria zajmuje się. (Dział geometrii, który zajmuje się badaniem płaskich figur geometrycznych)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z geometrii I

Ćwiczenia z geometrii I Ćwiczenia z geometrii I Dominik Burek 1 stycznia 2013 Zadanie 1. W trójkącie ABC punkt I jest środkiem okręgu wpisanego. Punkt P leży wewnątrz trójkąta oraz: Pokazać, że AP AI. P BA + P CA = P BC + P CB.

Bardziej szczegółowo

Tomasz Zamek-Gliszczyński. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy. Matematyka. atematyka

Tomasz Zamek-Gliszczyński. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy. Matematyka. atematyka atematyka Tomasz Zamek-Gliszczyński Matematyka Zadania powtórkowe przed maturą Zakres podstawowy Spis treści Wstęp 4 1 Liczby 5 2 Algebra 24 3 Funkcje 31 4 Ciągi 61 5 Geometria na płaszczyźnie 69 6 Trygonometria

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

2 PLANIMETRIA 1 Α O. Rys.2.9

2 PLANIMETRIA 1 Α O. Rys.2.9 PLNIMETRI 1 Planimetria.1 Wzajemne położenie prostych i okręgów 1. Przez punkt P należący do okręgu o środku w poprowadzono styczną do tego okręgu i cięciwę P (Rys..9). Ile stopni ma kąt między styczną

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA, cz. II Wojciech Guzicki ZNI N OWOZNI GOMTRI, cz. II Wojciech Guzicki W arkuszach maturalnych w ostatnich dwóch latach znalazły się zadania geometryczne na dowodzenie. Za poprawne rozwiązanie takiego zadania w arkuszu podstawowymzdającymógłotrzymać2pkt,warkuszurozszerzonym4pktlub3pkt.przy

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN 978-83-7521-522-9 c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o

SPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o SPRAWDZIAN NR 1 ANNA KLAUZA IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Średnica koła jest o 4 cm dłuższa od promienia. Pole tego koła jest równe 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Matematyka

Spis treści. Matematyka ACE aktywna, kreatywna i przedsiębiorcza młodzież innowacyjne programy kształcenia w obrębie przedsiębiorczości i ekonomii Priorytet III Działanie 3.3 Poprawa jakości kształcenia, Poddziałanie 3.3.4 Modernizacja

Bardziej szczegółowo

MATURA PRÓBNA PODSTAWOWA GEOMETRIA Z TRYGONOMETRIA

MATURA PRÓBNA PODSTAWOWA GEOMETRIA Z TRYGONOMETRIA www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI MTUR PRÓN POSTWOW GEOMETRI Z TRYGONOMETRI ZNIE 1 (1 PKT) W trójkacie prostokatnym naprzeciw kata ostrego α leży przyprostokatna długości 3 cm.

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA III KLASA GIMNAZJUM

MATEMATYKA III KLASA GIMNAZJUM MTEMTYK III KLS GIMNZJUM SZZEIN 2016 ogdańska eata Maczan leksandra Staniewska Iwona Szuman Michał Spis treści 1 TWIERZENIE TLES 2 2 TRÓJKĄTY POONE 18 3 STYZN O OKRĘGU 29 4 ZWOROKĄT OPISNY N OKRĘGU 45

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16) Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09

Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2008/09 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (dokończenie).

Bardziej szczegółowo

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 16 (27.02.2010) Twierdzenia evy i Menelaosa 1.

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne rozpoznaje figury podobne zna własności figur podobnych rozpoznaje trójkąty prostokątne podobne Rozdział 6. Figury podobne zna cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych podobnych podaje skalę podobieństwa

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który umie: 1.zapisywać potęgi w postaci iloczynów 2. zapisywać iloczyny jednakowych

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad.1. ( 1pkt) Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa. Jaka jest miara kąta środkowego?

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Karta pracy: podzielność przez 9 Niektóre są dobre, z drobnymi usterkami. Największy błąd: nie ma sformułowanej

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka I. Potęgi i pierwiastki. Klasa II 1. Zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych czynników i odwrotnie. 2. Oblicza

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 2 (14-19.10.2009) nalogie i różnice miedzy trójkątem

Bardziej szczegółowo

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne

Stereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni

Bardziej szczegółowo

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2016/2017

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2016/2017 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2016/2017 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2) P podstawowy - ocena dostateczna (3) R rozszerzający -

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem Wymagania programowe na poszczególne oceny dla klasy II. Szczegółowe kryteria oceniania po pierwszym półroczu klasy I:

Matematyka z plusem Wymagania programowe na poszczególne oceny dla klasy II. Szczegółowe kryteria oceniania po pierwszym półroczu klasy I: Matematyka z plusem Wymagania programowe na poszczególne oceny dla klasy II Szczegółowe kryteria oceniania po pierwszym półroczu klasy I: DZIAŁ 1. POTĘGI zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych z matematyki w kl.ii

Przedmiotowy system oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych z matematyki w kl.ii Matematyka klasa II kryteria oceniania dla uczniów z obowiązkiem dostosowania wymagań edukacyjnych opracowano na podstawie programu MATEMATYKA Z PLUSEM DZIAŁ 1. POTĘGI zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Semestr I Rozdział: Potęgi i pierwiastki zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 0, grupa zaawansowana (7.03.010) krąg dziewięciu

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski Treści zapisane kursywą (i oznaczone gwiazdką) wykraczają poza podstawę programową. Nauczyciel może je realizować,

Bardziej szczegółowo

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA. Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. Zad. 1 Wyznacz odległość między punktami A i B (długość odcinka AB) jeżeli: d = Zad. 2 a) A=(5,-3) B=(-2,3) b) A=(-2,2)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY PO KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY PO KLASIE II GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY PO KLASIE II GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu.

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Klasyfikacja czworokątów (wypukłych): Trapez jest czworokątem, w którym

Bardziej szczegółowo

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach: Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu

Bardziej szczegółowo

Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6)

Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6) Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6) MARIUSZ WRÓBLEWSKI IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Dany jest równoległobok ABCD. Narysuj za pomocą linijki i ekierki odcinek BF prostopadły do odcinka

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

Tydzień I Liczby naturalne w dziesiątkowym systemie pozycyjnym... Tydzień II Działania na liczbach naturalnych... Tydzień III Powtórzenie...

Tydzień I Liczby naturalne w dziesiątkowym systemie pozycyjnym... Tydzień II Działania na liczbach naturalnych... Tydzień III Powtórzenie... Spis treści Liczby naturalne i działania Tydzień I Liczby naturalne w dziesiątkowym systemie pozycyjnym... Tydzień II Działania na liczbach naturalnych... Tydzień III Powtórzenie... Geometria Tydzień IV

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny Klasa 2 gimnazjum

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny Klasa 2 gimnazjum Wymagania z matematyki na poszczególne oceny Klasa 2 gimnazjum Stopień celujący może otrzymać uczeń, który spełnia kryteria na stopień bardzo dobry oraz: posiada wiadomości i umiejętności znacznie wykraczające

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu.

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Klasyfikacja czworokątów (wypukłych): Trapez jest czworokątem, w którym co

Bardziej szczegółowo

Czworościany ortocentryczne zadania

Czworościany ortocentryczne zadania Czworościany ortocentryczne zadania 1. Wykazać, że nastepujące warunki są równoważne: a) istnieje przecięcie wysokości czworościanu, b) przeciwległe krawędzie są prostopadłe, c) sumy kwadratów długości

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki Klasa II. na ocenę dopuszczającą

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki Klasa II. na ocenę dopuszczającą Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki Klasa II na ocenę dopuszczającą UCZEŃ zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu roku szkolnego na lekcjach matematyki; W zakresie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY Potęgi i pierwiastki Uczeń: Zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym Umie

Bardziej szczegółowo