Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie"

Transkrypt

1 Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu opisanego ma długość 19 cm. Oblicz pole tego trójkąta Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o obwodzie 40 ma długość 17. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta Dany jest trójkąt, w którym suma długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok jest równa 8. Funkcja przyporządkowuje długości tego boku pole trójkąta. Wyznacz wzór tej funkcji, jej dziedzinę, największą wartość, oraz zbiór wartości funkcji Na bokach i równoległoboku zbudowano kwadraty i (zobacz rysunek). Udowodnij, że = Obwód czworokąta wypukłego jest równy 50 cm. Obwód trójkąta jest równy 46 cm, a obwód trójkąta jest równy 36 cm. Oblicz długość przekątnej Miary kątów trójkąta są w stosunku 1:2:3. Obwód koła opisanego na tym trójkącie jest równy 12. Oblicz pole tego trójkąta Romb o kącie ostrym 30 jest opisany na okręgu o promieniu 2. Oblicz pole tego rombu Znajdź długości przekątnych rombu o boku 29 jeżeli wiadomo, że ich różnica długości jest równa W trapezie kąty przy dłuższej podstawie to 60 i 30, a długość wysokości trapezu wynosi 6. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw wiedząc, że suma długości ramion jest równa sumie długości podstaw Stosunek długości przekątnych rombu o boku 17 cm jest równy 5:3. Oblicz pole rombu Wierzchołki kwadratu połączono ze środkami jego boków (zobacz rysunek) i otrzymano w ten sposób mniejszy kwadrat. Oblicz, jaki jest stosunek obwodów kwadratów i Przez wierzchołek prostokąta poprowadzono prostą, która przecięła proste i w punktach i odpowiednio. Wykaż, że + = Uzasadnij, że jeżeli prostokąt nie jest kwadratem, to punkty przecięcia dwusiecznych jego kątów wewnętrznych są wierzchołkami kwadratu Udowodnij, że w trójkącie równoramiennym środkowe poprowadzone do równych boków są równej długości Boki prostokąta mają długości 5 i 12. Oblicz odległość wierzchołka od przekątnej W trapezie równoramiennym jedna z podstaw jest dwa razy dłuższa od drugiej, a przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowy. Oblicz długości boków trapezu wiedząc, że jego pole jest równe W trapezie równoramiennym stosunek długości podstaw jest równy 3: 4, a przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na połowy. Oblicz długości boków trapezu wiedząc, że jego pole jest równe W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 8 cm. Promień okręgu, stycznego w punktach i do prostych zawierających ramiona i trójkąta, ma długość 5 cm. Oblicz pole trójkąta Punkty,, dzielą okrąg na trzy łuki, których stosunek długości wynosi 2: 3: 4. Oblicz miary kątów trójkąta Punkty,, leżą na okręgu o środku " i dzielą ten okrąg na trzy łuki, których stosunek długości jest równy 3: 4: 5. Oblicz miary kątów trójkąta Punkty,, dzielą okrąg na trzy łuki, których stosunek długości wynosi 5: 6: 7. Oblicz miary kątów trójkąta.

2 22. Punkty #, $, % dzielą okrąg na trzy łuki #$, $% i #%. Długości łuków #$, $% i #% pozostają w stosunku 1: 2: 3. Oblicz miary kątów trójkąta #$% Punkt % jest środkiem okręgu wpisanego w trapez ( ). Wykaż, że trójkąt % jest prostokątny Przyprostokątne trójkąta mają długości 10 i 24. Przeciwprostokątna trójkąta ' podobnego do niego ma długość 39. Oblicz pole trójkąta ' Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 9 i 40. Najdłuższy bok tego trójkąta jest równy najkrótszemu bokowi trójkąta ' podobnego do trójkąta. Oblicz pole trójkąta ' Trójkąty prostokątne i są podobne. Przyprostokątne trójkąta mają długości 5 i 12, a przeciwprostokątna trójkąta ma długość 26. Wyznacz pole trójkąta Z punktu leżącego na okręgu poprowadź cięciwę o długości równej promieniowi okręgu oraz średnicę. Wyznacz miary kątów wewnętrznych trójkąta Pole rombu jest równe 60 cm 2. Dłuższa przekątna rombu podzieliła kąt ostry rombu na takie dwa kąty o mierze (, że tg ( = +. Oblicz długość boku rombu., Uzasadnij, że dwusieczne dwóch sąsiednich kątów równoległoboku przecinają się pod kątem prostym Odcinek jest wysokością przedstawionego na rysunku trójkąta równoramiennego, w którym =. Udowodnij, że = Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 30 i 45. Oblicz wysokość tego trapezu Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość 6 cm i 20 cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 30 i 45. Oblicz wysokość tego trapezu Dany jest trójkąt prostokątny o kącie ostrym 30. Oblicz obwód trójkąta, jeżeli przeciwprostokątna ma długość 12 dm Punkt % jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym. Kąt % jest trzy razy większy od kąta %, a kąt % jest dwa razy większy od kąta %. Oblicz kąty trójkąta Punkt % jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym. Kąt jest dwa razy większy od kąta %, a kąt jest o 10 większy od kąta %. Oblicz kąty trójkąta W trójkącie równobocznym bok jest o 6 cm dłuższy od wysokości trójkąta. Oblicz pole i obwód tego trójkąta W trójkącie równobocznym wysokość jest o 3 cm krótsza od boku trójkąta. Oblicz pole i obwód tego trójkąta Bok czworokąta wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że / + / = / + / W trójkącie, w którym = połączono wierzchołek punktem na boku w ten sposób, że =. Wyznacz miary kątów trójkąta jeżeli = W rombie jedna z przekątnych jest dłuższa od drugiej o 3 cm. Dla jakich długości przekątnych pole rombu jest większe od 5 cm 2? Na przekątnej równoległoboku obrano dowolny punkt #. Wykaż, że pola trójkątów # i # są równe Na przekątnej równoległoboku obrano dowolny punkt P. Wykaż, że pola trójkątów # i # są równe Czy istnieje taki wielokąt, który ma 2 razy więcej przekątnych niż boków? Zad. 34. Zad. 35. Zad. 38.

3 44. Do dwóch okręgów o promieniach długości 3 cm i 10 cm poprowadzono wspólną styczną tak, że okręgi znajdują się po różnych stronach tej stycznej. Odległość między środkami okręgów wynosi 39 cm. Oblicz długość odcinka między punktami styczności W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, ramię ma długość 7 cm, a przekątna 8 cm. Oblicz długości podstaw trapezu wiedząc, że odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 4 cm Punkt E leży na ramieniu trapezu, w którym. Udowodnij, że = Dany jest trójkąt gdzie = 90. Wiadomo, że tg ( = -. Podaj wartości pozostałych funk- 2 cji trygonometrycznych kąta ( Dany jest trójkąt gdzie = 90. Wiadomo, że tg ( = -. Podaj wartości pozostałych funk- 3 cji trygonometrycznych kąta ( Dane jest koło o promieniu długości 16 cm. W kole tym poprowadzono cięciwę opartą na łuku odpowiadającym kątowi środkowemu o mierze 120. Znajdź odległość tej cięciwy od środka koła Dany jest trójkąt prostokątny, w którym 4, 5 oznaczają długości przyprostokątnych, ( jest miarą kąta ostrego leżącego naprzeciw przyprostokątnej 4. Wiadomo, że sin ( =,9. Oblicz:,9 a) Tangens kąta (; ; b) Wartość wyrażenia = > ;<= ; >?= > Podaj wymiary prostokąta, którego boki różnią się o 6 cm, a przekątna ma długość 30 cm są długościami boków trójkąta równoramiennego Z punktu leżącego na okręgu o promieniu C = 6 cm i środku " poprowadzono dwie równej długości cięciwy i tworzące kąt 30. Oblicz pole czworokąta " Jaki warunek musi spełniać aby istniał trójkąt o 4? Dany jest trójkąt równoboczny. Okrąg o średnicy przecina bok w punkcie. Wykaż, że = Punkt M jest punktem wspólnym przekątnych trapezu prostokątnego. Punkt D jest punktem wspólnym przekątnej i wysokości opuszczonej na dłuższą podstawę. Wykaż, że ' / = 'D ' Na zewnątrz kwadratu na bokach i zbudowano trójkąty równoboczne i. Uzasadnij, że proste i są prostopadłe Dany jest trójkąt prostokątny o polu 2 3 i kącie ostrym 30. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest E boków i E 3 wyraża się wzorem # G = GHG<2I. / a) Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym. b) Oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków. c) Sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij. d) Uzasadnij, że jeżeli liczba boków wielokąta wypukłego jest nieparzysta, to liczba jego przekątnych jest wielokrotnością liczby jego boków Kąt ostry między przekątnymi równoległoboku ma miarę 60. Przekątna ma długość 6, a przekątna jest prostopadła do boku. Oblicz długości boków równoległoboku.

4 61. Przez środek % okręgu wpisanego w trójkąt poprowadzono prostą równoległą do boku, która przecina boki i odpowiednio w punktach i. Wykaż, że: = Krótsza przekątna rombu o długości 8 3 cm dzieli go na dwa trójkąty równoboczne. Oblicz pole rombu W okręgu o promieniu 5 poprowadzono dwie równoległe cięciwy o długościach 6 i 8. Oblicz odległość między tymi cięciwami Dany jest trójkąt o wymiarach 4 = 8 cm, 5 = 12 cm, J = 16 cm. Oblicz obwód trójkąta podobnego w skali Dany jest trójkąt o wymiarach 4 = 8 cm, 5 = 12 cm, J = 16 cm. Oblicz obwód trójkąta podobnego w skali, W trójkącie równobocznym połączono środki wysokości otrzymując trójkąt '. Oblicz stosunek pól trójkątów i ' Liczby 4, 10, J są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz J Liczby 6, 12, J są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz długość boku J Liczby 3, 7, J są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz długość boku J Przekątne czworokąta są prostopadłe. Wykaż, że / + / = / + / Dany jest prostokąt. Okręgi o średnicach i przecinają się w punktach i #. Wykaż, że punkty, #, leżą na jednej prostej Dany jest równoległobok. Okręgi o średnicach i przecinają się w punktach i. Wykaż, że punkty,, leżą na jednej prostej Punkty i są punktami wspólnymi dwóch okręgów, a odcinki i ich średnicami. Wykaż, że punkt leży na prostej przechodzącej przez punkty i Wykaż, że wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki i, których stosunek długości jest równy stosunkowi kwadratów długości przyprostokątnych odpowiednio i tego trójkąta Na zewnątrz kwadratu na bokach i zbudowano trójkąty równoboczne i. Uzasadnij, że trójkąt jest równoboczny Różnica kwadratów długości przekątnych trapezu prostokątnego wynosi 21, jego wysokość ma długość 4, a dłuższe ramię ma długość 5. Oblicz pole trapezu Na zewnątrz trójkąta prostokątnego, w którym = 90 oraz = 5, = 12 zbudowano kwadrat. Punkt leży na prostej i kąt = 90. Oblicz pole trójkąta Na rysunku przedstawiono kwadrat. Punkty i są środkami boków i. Uzasadnij, że odcinki i są prostopadłe Punkt jest środkiem boku prostokąta, w którym >. Punkt leży na boku tego prostokąta oraz = 90. Udowodnij, że = Punkt #, będący punktem wewnętrznym trójkąta, przekształcamy przez symetrię względem prostych zawierających boki, i otrzymując odpowiednio punkty #,, # /, # 2. Udowodnij, że pole sześciokąta #, # / # 2 jest dwa razy większe od pola trójkąta Krótsza podstawa trapezu ma długość 2, a ramiona długości 2 2 i 4 tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach 45 i 30. Oblicz pole trapezu W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona do podstawy ma długość 6 6. Ramię jest o 30% krótsze od podstawy. Oblicz obwód tego trójkąta.

5 83. O ile procent zmniejszy się pole rombu, jeśli jedną przekątną rombu zwiększymy o 20%, a drugą przekątną skrócimy o 40%? Wyznacz wymiary prostokąta o obwodzie 36 cm, którego pole jest największe Z drutu o długości 200 cm zbudowano ramkę w kształcie prostokąta. Jakie powinna mieć wymiary aby pole prostokąta było największe? Z drutu o długości 320 cm zbudowano ramkę w kształcie prostokąta. Jakie powinna mieć wymiary aby pole prostokąta było największe? Z wierzchołków kwadratu o boku 4, jako ze środków zakreślono 4 okręgi o promieniu ;. Znajdź promienie okręgów / stycznych do tych czterech okręgów jednocześnie W trójkącie, w którym = 70 połączono środek okręgu wpisanego " z wierzchołkami i. Oblicz miarę kąta " Dany jest trapez prostokątny (zobacz rysunek). Wyznacz obwód tego trapezu, jeżeli miara kąta przy wierzchołku wynosi Punkt ' leży wewnątrz prostokąta (zob. rysunek). Udowodnij, że: ' / + ' / = ' / + ' / Dany jest kwadrat. Przekątne i przecinają się w punkcie. Punkty i ' są środkami odcinków odpowiednio i. Punkty i D leżą na przekątnej tak, że =, 2 i D =, (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta 'D do pola kwadratu jest równy 1: Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych 4 zbudowano kwadraty tak, że bok każdego kwadratu jest jednocześnie bokiem trójkąta. Środki symetrii tych kwadratów połączono odcinkami i otrzymano trójkąt 'D#. Wykaż, że pole trójkąta 'D# jest równe 4 / Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pierwsza z tych figur ma większe pole W trójkącie równoramiennym dane są długości podstawy 4 = 12 cm i wysokości h = 18 cm. W trójkąt ten wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa wierzchołki prostokąta leżą na podstawie, a po jednym na każdym ramieniu trójkąta, przy czym przekątne prostokąta są równoległe do ramion trójkąta. Oblicz długości boków prostokąta Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 24, a kąty ostre α i β są takie, że cos ( = 2 3 i tg O = Suma pól dwóch kół stycznych zewnętrznie jest równa 234 cm 2. Oblicz promienie tych kół, jeżeli wiadomo, że obwód większego koła jest o 400% większy od obwodu mniejszego koła Oblicz pole trójkąta równoramiennego, w którym odległość wierzchołka kąta prostego od przeciwprostokątnej jest równa 5 cm Wysokość trapezu równoramiennego ma długość 6, a jedna z podstaw jest trzy razy dłuższa od drugiej. Oblicz pole trapezu wiedząc, że sinus jego kąta ostrego jest równy 0, Wykaż, że jeśli przekątna trapezu równoramiennego zawiera się w dwusiecznej jego kąta ostrego, to ramię jest równe krótszej podstawie Obwód trapezu równoramiennego wynosi 32 cm. Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli podstawę na dwa odcinki o długościach 3 cm i 11 cm. Oblicz pole trapezu Obwód trapezu równoramiennego wynosi 50 cm. Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli podstawę na dwa odcinki o długościach 5 cm i 12 cm. Oblicz pole trapezu Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wykaż, że pola tych trójkątów, w których jeden z boków jest ramieniem trapezu, są równe.

6 103. Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wykaż, że stosunek pól tych trójkątów, w których jeden z boków jest podstawą trapezu, jest równy stosunkowi kwadratów długości podstaw trapezu Przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty. Wykaż, że stosunek pól trójkątów takich, że bokiem jednego jest ramię trapezu, a bokiem drugiego jest podstawa trapezu, jest równy stosunkowi długości podstaw trapezu Na sześciokącie foremnym opisano okrąg i w ten sześciokąt wpisano okrąg. Pole powstałego pierścienia jest równe 2 dm 2. Oblicz pole powierzchni wielokąta Punkty P, P, są środkami boków trójkąta. Pole trójkąta jest równe 4. Oblicz pole trójkąta Suma kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku wynosi 240. Oblicz miarę kąta środkowego Suma kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku wynosi 330. Oblicz miarę kąta wpisanego Oblicz pole rombu, którego jeden z kątów wewnętrznych wynosi 120, a przekątna poprowadzona z wierzchołka tego kąta ma długość 10 cm Dany jest trójkąt, w którym >. Na bokach i tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty i, że zachodzi równość =. Proste i przecinają się w punkcie (zobacz rysunek). Wykaż, że: = Wykaż, że jeżeli pole koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest razy większe od pola trójkąta, to trójkąt ten jest równoramienny W trójkącie równoramiennym, w którym = = 10 cm, wysokość poprowadzona z wierzchołka jest równa 5 cm. Oblicz miary kątów tego trójkąta. Odpowiedź podaj w stopniach Prosta przechodząca przez wierzchołek równoległoboku przecina jego przekątną w punkcie i bok w punkcie, a prostą w punkcie. Udowodnij, że: / = W trójkącie połączono środki boków i otrzymano trójkąt. Uzasadnij, że trójkąty i są podobne Punkty P, P, są środkami odpowiednio boków,, trójkąta. Uzasadnij, że trójkąt jest przystający do trójkąta Trójkąty i są równoboczne (zobacz rysunek). Punkty, i leżą na jednej prostej. Punkty, i ' są środkami odcinków, i. Wykaż, że ' = Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki długości 1 cm i 49 cm. Oblicz pole tego trójkąta Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o obwodzie 90 jest liczbą całkowitą i jest o 1 większa od długości jednej z przyprostokątnych. Oblicz pole tego trójkąta Dwa przeciwległe boki kwadratu wydłużono dwukrotnie, a każdy z dwóch pozostałych skrócono o 3 cm. Pole otrzymanego prostokąta jest o 16 cm 2 większe od pola kwadratu. Oblicz długości boków prostokąta Dwa przeciwległe boki kwadratu wydłużono trzykrotnie, a każdy z dwóch pozostałych wydłużono o 2 cm. Pole otrzymanego prostokąta jest o 108 cm 2 większe od pola kwadratu. Oblicz długości boków prostokąta Dwa okręgi o środkach %, i % / przecinają się w punktach i, przy czym punkty %, i % / leżą po przeciwnych stronach prostej. Miary kątów %, i % / wynoszą odpowiednio 90 i 60. Wyznacz stosunek R długości promieni tych okręgów. S Trójkąty prostokątne równoramienne i są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku jest prosty). Wykaż, że =.

7 123. Oblicz pole rombu, w którym długość boku jest równa 13 cm, a długości przekątnych różnią się o 14 cm Obwód rombu jest równy 8 10 cm, a jedna z jego przekątnych jest o 8 cm dłuższa od drugiej. Oblicz pole rombu Dany jest romb o boku długości 35. Długości przekątnych tego rombu różnią się o 14. Oblicz pole tego rombu Jeden z kątów trójkąta prostokątnego ma miarę 60, promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 1. Oblicz długości boków trójkąta W trapezie długość podstawy jest równa 18, a długości ramion trapezu i są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty i, zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu Oblicz pole trójkąta równoramiennego (patrz rysunek, = ), w którym wysokość = 8, a długość odcinka = Oblicz pole trójkąta równoramiennego (patrz rysunek, = ), w którym wysokość = 4, a długość odcinka = Podział odcinka, w wyniku którego otrzymujemy dwa odcinki takie, że stosunek długości krótszego z nich do długości dłuższego jest równy stosunkowi długości dłuższego odcinka do długości wyjściowego odcinka, nazywamy złotym podziałem odcinka. a) Odcinek podzielono na dwa odcinki o długościach 2 5 i 5 5. Rozstrzygnij, czy dokonano złotego podziału odcinka. b) Dokonano złotego podziału odcinka o długości 2. Oblicz długości odcinków, na jakie podzielono dany odcinek Prosta T równoległa do boku trójkąta przecina boki oraz odpowiednio w punktach i (rysunek). Wiadomo, że pole trójkąta wynosi 4 cm 2, zaś pole trapezu jest równe 8 cm 2. Wykaż, że = 3 1. U Prosta T równoległa do boku trójkąta przecina boki oraz odpowiednio w punktach i (rysunek). Wiadomo, że pole trójkąta wynosi 2 cm 2, zaś pole trapezu jest równe 8 cm 2. Wykaż, że = Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego ma miarę 30. Uzasadnij, że pole trójkąta jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta równobocznego o boku równym podstawie trójkąta Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola powierzchni rombu wynosi V 2. Wyznacz miarę kąta ostrego rombu Oblicz pole wycinka koła o środku w punkcie (zacieniowany obszar) jeśli pole rombu wynosi 2 2, a kąt ostry rombu ma miarę W kole o środku % poprowadzono cięciwę, która nie jest średnicą. Punkt dzieli tę cięciwę na dwa odcinki o długościach 11 i 29. Odcinek % ma długość 15. Oblicz promień tego koła Trójkąt prostokątny ma boki długości 3, 4, 5. Oblicz promień okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i prostych będących przedłużeniami przyprostokątnych Punkty #,, # /, # 2,, # /2, # /3 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt jest punktem przecięcia cięciw #,, # // i #, #,X. Udowodnij, że #,X #,, = Długości boków równoległoboku są równe 6 i 10, a jego pole wynosi 36. Oblicz długości przekątnych tego równoległoboku Dany jest równoległobok, którego obwód jest równy 50 cm. Stosunek długości jego wysokości wynosi 2:3, a stosunek miar jego kątów wewnętrznych jest równy 1:2. Oblicz długości boków i wysokości tego równoległoboku Wykaż, że jeżeli każda przekątna czworokąta dzieli go na trójkąty o równych polach to czworokąt ten jest równoległobokiem. + U

8 142. W trapezie H I przekątne i przecinają się w punkcie " takim, że " : " = 5: 1. Pole " jest równe 10. Uzasadnij, że pole trapezu jest równe W trapezie H I przekątne i przecinają się w punkcie " takim, że " : " = 4: 1. Pole " jest równe 2. Uzasadnij, że pole trapezu jest równe Na trójkącie równobocznym opisano drugi trójkąt równoboczny tak, że wierzchołki pierwszego trójkąta leżą na bokach drugiego. Boki obydwu trójkątów tworzą kąty 30. Jakim procentem pola małego trójkąta jest pole dużego trójkąta? W trapezie równoramiennym przekątna jest prostopadła do ramienia i tworzy z dłuższą podstawą trapezu kąt o mierze 30. Oblicz pole powierzchni tego trapezu wiedząc, że długość przekątnej wynosi W trapezie równoramiennym przekątna jest prostopadła do ramienia. Kąt ostry trapezu ma miarę 60. Oblicz pole powierzchni tego trapezu wiedząc, że długość przekątnej wynosi W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość Pole trójkąta jest równe Oblicz obwód tego trójkąta i miarę kąta przy podstawie Oblicz sumę długości boków i pole trójkąta prostokątnego, w którym jedna z przyprostokątnych jest równa 10 cm, a druga jest o 2 cm krótsza od przeciwprostokątnej Środek % okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym, o ramionach i, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że miara kąta wypukłego % jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego % Na środkowej trójkąta wybrano punkt. Wykaż, że trójkąty i mają równe pola Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym ma długość 3 dm, a długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wynosi 1 dm. Oblicz obwód tego trójkąta Oblicz sumę tangensów kątów ostrych trójkąta prostokątnego wiedząc że stosunek pola tego trójkąta do pola kwadratu, którego bokiem jest przeciwprostokątna danego trójkąta wynosi, X Stosunek pola trójkąta prostokątnego do pola kwadratu, zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta jest równy, +. Oblicz sumę tangensów kątów ostrych tego trójkąta W okrąg o środku % wpisany jest trójkąt równoramienny o kącie między ramionami i równym 40. Przez wierzchołek i środek okręgu % poprowadzono prostą, która przecięła bok trójkąta w punkcie. Wyznacz miarę kąta Przekątne podzieliły czworokąt na 4 trójkąty. Korzystając z podanych pól trzech z tych trójkątów, wyznacz pole trójkąta % W trójkąt równoboczny wpisano trójkąt (patrz rysunek), tak że = =. Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny W kwadracie połączono odcinkiem środki przeciwległych boków. Wiedząc, że przekątne tak utworzonych prostokątów dzielą się na odcinki długości 1, oblicz pole wyjściowego kwadratu Różnica promieni dwóch okręgów współśrodkowych jest równa 3. W okręgu o większym promieniu poprowadzono cięciwę styczną do drugiego okręgu. Cięciwa ta ma długość 10. Oblicz długość promieni tych okręgów Proste zawierające ramiona i trapezu przecinają się w punkcie %. Dane są: = 6, = 2 oraz obwód trójkąta % równy 18. Oblicz obwód trójkąta % Oblicz wysokość i przekątną trapezu równoramiennego o podstawach 21 cm i 11 cm oraz ramieniu równym 13 cm Dany jest trójkąt ostrokątny równoramienny, w którym bok jest równy. Odcinek jest wysokością tego trójkąta, oraz odcinek jest wysokością tego trójkąta. Udowodnij, że kąt jest równy kątowi.

9 162. W kwadrat o boku długości 24 wpisano okrąg. Oblicz długość cięciwy wyciętej przez ten okrąg z odcinka łączącego wierzchołek ze środkiem boku W trapezie równoramiennym ramię ma długość 10. Obwód tego trapezu jest równy 40. Wiedząc, że tangens kąta ostrego w trapezie jest równy 2, oblicz długości jego podstaw W trapezie równoramiennym ramię ma długość 13. Obwód tego trapezu jest równy 52. Wiedząc, że tangens kąta ostrego w trapezie jest równy,/, oblicz długości jego podstaw W trójkąt, w którym = ( oraz = O, wpisano okrąg. Punkty,, ' są punktami styczności okręgu odpowiednio z bokami, i. Wykaż, że ' = Z?[ / Wykazać, że odcinki łączące kolejne środki kwadratów zbudowanych na bokach równoległoboku tworzą także kwadrat Długość boku rombu jest równa 4, a długości jego przekątnych są równe \, i \ /. Oblicz miarę kąta ostrego rombu jeżeli wiadomo, że 4 = ]\, \ / Długość boku rombu jest średnią geometryczną długości jego przekątnych. Oblicz miarę kąta ostrego tego rombu Z dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu o boku 2 zakreślono okręgi o promieniu 2. Oblicz pole soczewki wyznaczonej przez te okręgi W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8 wpisujemy prostokąt w taki sposób, że dwa jego boki zawarte są w przyprostokątnych, a jeden z jego wierzchołków leży na przeciwprostokątnej. Zbadaj, jakie powinny być wymiary prostokąta, aby jego pole było możliwie największe Korzystając z danych przedstawionych na rysunku oblicz wartość wyrażenia ;^?=^?; > _<H;?_I^ ;^<=^?2; > =<_^ W równoległoboku, który nie jest prostokątem, krótsza przekątna dzieli go na dwa równoramienne trójkąty prostokątne. Krótszy bok równoległoboku ma długość 8. Oblicz pole tego równoległoboku Okręgi `, i `/ są styczne zewnętrznie oraz oba są styczne wewnętrznie do okręgu `2. Środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej, a cięciwa okręgu `2 jest wspólną styczną okręgów `, i `/. Oblicz długość odcinka jeżeli promienie okręgów `, i `/ są odpowiednio równe C, i C / Trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny mają ten sam obwód długości 10cm. Oblicz pole każdej z tych figur. Która z nich ma największe pole, a która najmniejsze? W trapezie mamy oraz >. Punkt " jest środkiem ramienia, a punkt % jest punktem wspólnym prostych i ". Udowodnij, że pole trójkąta "% jest równe polu trójkąta " W trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa / 2. Wykaż, że iloczyn sinusów tych kątów jest równy, X W trójkącie prostokątnym suma sinusów kątów ostrych jest równa 2. Wykaż, że iloczyn cosinusów tych kątów jest / równy Liczby 6, 10, J są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz J W okręgu narysowano dwie średnice i. Udowodnij, że czworokąt jest prostokątem Obwód prostokąta wynosi 60 cm. Jeśli krótszy bok prostokąta zwiększymy o 3 cm, a dłuższy skrócimy o 3 cm, otrzymamy kwadrat. Wyznacz kąt pomiędzy przekątną, a dłuższym bokiem prostokąta. Wynik podaj z dokładnością do 1.

10 181. Obwód prostokąta wynosi 32 cm. Jeśli krótszy bok prostokąta zwiększymy o 3 cm, a dłuższy skrócimy o 3 cm, otrzymamy kwadrat. Wyznacz kąt pomiędzy przekątną, a dłuższym bokiem prostokąta. Wynik podaj z dokładnością do W trójkącie poprowadzono odcinki, i w ten sposób, że punkty, i są środkami odpowiednio odcinków, i. Oblicz pole trójkąta jeżeli pole trójkąta jest równe Podstawa trójkąta równoramiennego i środkowe poprowadzone z jej końców mają długość 4. Oblicz długość wysokości poprowadzonej do podstawy W trójkącie miara kąta jest dwa razy większa od miary kąta. Dwusieczna kąta dzieli trójkąt na dwa trójkąty. Uzasadnij, że jeden z otrzymanych trójkątów jest podobny do trójkąta Dany jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej, taki że sinh I = 0,3 i = 7. Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie Na rysunku okręgi o środkach i są styczne zewnętrznie i jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o środku w punkcie. Wykaż, że jeśli =, to długość odcinka jest równa długości średnicy okręgu o środku w punkcie W pewnym trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa / 2. Oblicz iloczyn sinusów tych kątów Suma sinusów kątów ostrych w pewnym trójkącie prostokątnym wynosi 2 -. Oblicz iloczyn sinusów tych kątów Wykaż, że w trapezie prostokątnym różnica kwadratów długości przekątnych równa jest różnicy kwadratów długości podstaw Na kwadracie opisano okrąg o promieniu C = 3 cm. Oblicz pole zacieniowanej figury Na kwadracie opisano okrąg o promieniu C = 5 cm. Oblicz pole zacieniowanej figury Niech a, będzie trójkątem równobocznym o boku długości 4. Konstruujemy kolejno trójkąty równoboczne a /, a 2, a 3, takie, że bok kolejnego trójkąta jest równy wysokości poprzedniego trójkąta. Oblicz sumę pól trójkątów a,, a /,, a X Wierzchołek trójkąta ostrokątnego połączono odcinkiem ze środkiem " okręgu opisanego. Z wierzchołka poprowadzono wysokość. Wykaż, że = " Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta powstałego wskutek połączenia odcinkiem wierzchołka kwadratu ze środkiem przeciwległego boku Trójkąt o bokach 6, 8 i 10 jest podobny do trójkąta o obwodzie 216. Oblicz długości boków drugiego trójkąta Trójkąt o bokach 12, 9 i 15 jest podobny do trójkąta o obwodzie 108. Oblicz długości boków drugiego trójkąta W trapezie ramię i podstawa mają długość 4, a ramię i przekątna mają długość 6. Oblicz długość podstawy W kole poprowadzono cięciwę i średnicę. Cięciwa dzieli średnicę na odcinki o długościach 2 oraz 10 i tworzy z nią kąt o mierze 30. Oblicz odległość środka okręgu od cięciwy Z przeciwległych wierzchołków prostokąta poprowadzono odcinki prostopadłe do przekątnej. Odcinki te dzielą przekątną na trzy części. Każda z nich jest odcinkiem o długości 4 cm. Oblicz pole tego prostokąta Kąt wpisany w koło ma miarę 45 i jest oparty na łuku długości 3. Oblicz pole wycinka koła wyznaczonego przez ten sam łuk Punkty, należą do jednego ramienia kąta o wierzchołku ", a punkty, należą do jego drugiego ramienia i wiadomo, że. Wyznacz, jeśli wiadomo, że " = 4, = 5, = 12.

11 202. Na trójkącie o bokach długości 7, 8, 15 opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu Z punktu # poprowadzono styczną do okręgu o środku " w punkcie oraz sieczną, która ma z tym okręgiem dwa punkty wspólne oraz. Wiadomo, że # = 55 oraz = 85. Oblicz miary kątów trójkąta # Dany jest trapez o podstawach i. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie %. Wykaż, że: % % = % % Na dwusiecznej trójkąta, w którym > wybrano punkt. Wykaż, że pole trójkąta jest większe od pola trójkąta Na bokach, i kwadratu wybrano punkty,, ' w ten sposób, że i '. Uzasadnij, że + ' = Wiedząc, że punkt jest środkiem odcinka, a punkt jest środkiem odcinka oraz =, wykaż, że = Na rysunku przedstawiono trapez i trójkąt. Punkt leży w połowie odcinka. Uzasadnij, że pole trapezu i pole trójkąta są równe Na rysunku przedstawiono dwa koła o promieniu C = 2 takie, że środek każdego z kół leży na brzegu drugiego koła. Oblicz pole powierzchni zacieniowanej części tej figury Dwa styczne zewnętrznie okręgi o środkach i są styczne wewnętrznie do okręgu `H, 4I, przy czym punkty,, nie są współliniowe. Oblicz obwód trójkąta Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny o bokach długości = 8, = 6, = 10 jest styczny do boków i w punktach i. Proste i przecinają się punkcie. Oblicz pole trójkąta Przekątne czworokąta są prostopadłe. a) Wykaż, że sumy kwadratów przeciwległych boków tego czworokąta są równe. b) Wykaż, że jeżeli długości jego boków,,, są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to czworokąt ten jest rombem Trójkąty równoboczne i są położone tak, jak na rysunku obok. Wykaż, że = Kwadrat, ma bok długości 4. Obok niego rysujemy kolejno kwadraty /, 2, 3, takie, że kolejny kwadrat ma bok o połowę mniejszy od boku poprzedniego kwadratu (zobacz rysunek). Wyznacz pole kwadratu,/ W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę (. Oblicz sin ( cos ( W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości = 6, = 2. Wyznacz wartość wyrażenia W = sin ( + cos (, gdzie ( jest najmniejszym kątem ostrym tego trójkąta W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości 3 i 5, a jeden z kątów ostrych ma miarę (. Oblicz sin ( cos ( Na okręgu o promieniu 5 opisano deltoid o obwodzie 60. Oblicz pole deltoidu W trójkącie prostokątnym H = 90, < I poprowadzono prostą przechodzącą przez wierzchołek trójkąta która przecina przeciwprostokątną w punkcie, takim, że : = 2: 1. Oblicz długość przeciwprostokątnej jeśli = 3 i = W trójkącie mamy dane = 20 oraz = 60. Punkt % jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Oblicz miary kątów: %, % i % Wyznacz długości boków oraz miary kątów trójkąta prostokątnego jeżeli 5 = 12, ( = 60.

12 222. Wyznacz długości boków oraz miary kątów trójkąta prostokątnego jeżeli 4 = 40, ( = W trapezie równoramiennym punkty i są odpowiednio środkami ramion i. Przekątna przecina odcinek w punkcie #. Wiedząc, że # = 1 cm, # = 5 cm oraz wysokość trapezu jest równa 3 cm, oblicz długość boków trapezu W trójkącie poprowadzono dwusieczne kątów i. Dwusieczne te przecinają się w punkcie #. Uzasadnij, że kąt # jest rozwarty W trójkącie ostrokątnym proste i zawierają wysokości poprowadzone z wierzchołków i. Uzasadnij, że kąt jest rozwarty Dany jest trójkąt. Odcinek jest wysokością tego trójkąta, punkt jest środkiem boku (tak jak na rysunku) i =. Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny W trapezie połączono środek ' ramienia trapezu z końcami drugiego ramienia. Wykaż, że pole powstałego trójkąta ' jest równe połowie pola trapezu Różnica między polem koła opisanego na kwadracie a polem koła wpisanego w kwadrat jest równa 4. Oblicz pole kwadratu Oblicz pole kwadratu wiedząc, że różnica pól kół opisanego i wpisanego w ten kwadrat jest równa Stosunek długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego wynosi 3:8, a środkowa poprowadzona do dłuższej przyprostokątnej ma długość 15. a) Oblicz długość przyprostokątnych trójkąta. b) Oblicz odległość środka ciężkości trójkąta od dłuższej przyprostokątnej W trapezie równoramiennym, wysokość ma długość 6 cm. Punkt dzieli dłuższą podstawę na dwa odcinki. Wiedząc, że = 8 cm, oblicz pole trapezu Dwusieczne kątów wewnętrznych trapezu przecinają się w punktach,, ', D (patrz rysunek). Wykaż, że 'D / / = ' / D / Jeden kąt ostry trójkąta prostokątnego ma miarę (. Wyznacz długości boków tego trójkąta wiedząc, że wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość h Trójkąty i są prostokątne oraz =. Punkty, i leżą na jednej prostej. Punkty, i ' są środkami odcinków, i (zobacz rysunek). Wykaż, że kąt ' jest prosty Trójkąty i są równoramienne i prostokątne. Punkty,, leżą na jednej prostej, a punkty,, ' są środkami odcinków,, (zobacz rysunek). Wykaż, że ' = ' Pole koła wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 9 cm 2. Oblicz pole koła opisanego na tym sześciokącie Pole koła wpisanego w sześciokąt foremny wynosi 6 cm 2. Oblicz pole koła opisanego na tym sześciokącie W trapezie równoramiennym przekątna jest prostopadła do ramienia (zobacz rysunek). Podstawy trapezu mają długość: = 8 cm i = 4 cm. Oblicz pole oraz miary kątów trapezu W trapezie równoramiennym przekątna jest prostopadła do ramienia (zobacz rysunek). Podstawy trapezu mają długość: = 12 cm i = 6 cm. Oblicz pole oraz miary kątów trapezu Dany jest prostokąt. Z wierzchołków i poprowadzono proste prostopadłe do przekątnej dzielące ją na trzy odcinki,,, każdy długości 4. Oblicz długość boków prostokąta Dany jest trójkąt prostokątny. Wykaż, że suma pól kół o średnicach będących przyprostokątnymi trójkąta jest równa polu koła o średnicy równej przeciwprostokątnej.

13 242. Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty równoboczne. Wykaż, że pole figury zbudowanej na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól figur zbudowanych na przyprostokątnych Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku " i średnicach odpowiednio i (punkty,,,, " są współliniowe). Punkt # leży na wewnętrznym półokręgu, punkt e leży na zewnętrznym półokręgu, punkty ", #, e są współliniowe. Udowodnij, że # + e = W trójkącie ostrokątnym bok ma długość 18 cm, a wysokość jest równa 15 cm. Punkt dzieli bok tak, że : = 1: 2. Przez punkt # leżący na odcinku poprowadzono prostą równoległą do prostej, odcinając od trójkąta trójkąt, którego pole jest cztery razy mniejsze niż pole trójkąta. Oblicz długość odcinka # Promień okręgu wpisanego w wycinek koła o kącie środkowym 60 ma długość 2. Oblicz pole tego wycinka Na przyprostokątnych i trójkąta prostokątnego zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty i. Odcinek przecina przyprostokątną w punkcie, a odcinek przecina przyprostokątną w punkcie (zobacz rysunek). Udowodnij, że = W trójkącie równobocznym o boku długości 4 i wysokości h obrano punkt #, z którego poprowadzono odcinki prostopadłe do boków tego trójkąta. Wykaż, że suma długości tych odcinków jest równa długości h Udowodnij, że jeżeli " jest środkiem okręgu, na którym leżą punkty,,, to O = 90 + ( Odległości środków dwóch okręgów od wierzchołka kąta są równe 8 i 12. Okręgi te są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion kąta. Oblicz długości ich promieni Oblicz długość boku trójkąta równobocznego, wiedząc, że bok ten jest o 2 cm dłuższy od wysokości tego trójkąta Kwadratowe szklane płytki o boku długości 1 cm, połączone w jednym wierzchołku, rozsunęły się tak, że boki wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ze sobą kąt 60. Oblicz pole części wspólnej płytek. Wynik podaj z dokładnością do 0,1 cm Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 10 cm i 6 cm oraz przekątnej o długości 9 cm Wyznacz miary kątów trójkąta : Wyznacz miary kątów trójkąta : Dany jest okrąg o środku w punkcie ". Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie, a środek " tego okręgu leży na odcinku ' (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt ' ma miarę Wyznacz pole trójkąta równobocznego, którego wysokość jest o 1 cm krótsza od boku tego trójkąta Wyznacz pole trójkąta równobocznego, którego wysokość jest o 2 cm krótsza od boku tego trójkąta W trójkącie prostokątnym iloczyn sinusa jednego z kątów ostrych i tangensa drugiego kąta ostrego jest równy, /. Oblicz miary kątów ostrych tego trójkąta Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa 1. Oblicz długość przekątnej kwadratu Przekątna kwadratu jest o 1 dłuższa od jego boku. Oblicz pole i obwód tego kwadratu Proste i oraz i są równoległe. Oblicz długość odcinka, jeżeli = 2, /, = 3 oraz = Oblicz długości przekątnych sześciokąta foremnego o boku Punkt jest środkiem boku równoległoboku, a odcinek przecina przekątną w punkcie. Wykaż, że = 2. Zad Zad Zad. 255.

14 264. Zadanie dotyczy trójkąta. a) Uzasadnij, że jeśli długości boków trójkąta są równe: f / g /, 2fg i f / + g /, gdzie f i g są liczbami dodatnimi takimi, że f > g, to trójkąt ten jest prostokątny. b) Wyznacz wszystkie naturalne wartości f i g, dla których najkrótszy bok otrzymanego trójkąta ma długość Udowodnij, że jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie leży na jednym z jego boków, to trójkąt ten jest prostokątny Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego dzieli przeciwprostokątna na odcinki o długościach 1 i 2. Oblicz długości boków tego trójkąta Wysokości równoległoboku mają długości 2 i 4. Oblicz pole równoległoboku wiedząc, że jego obwód wynosi Na okręgu o promieniu 9 opisano trójkąt równoramienny o kącie równym 120. Oblicz długości boków trójkąta W trapezie, w którym oraz >, przekątna zawiera się w dwusiecznej kąta. Wykaż, że = Dany jest trójkąt o przyprostokątnych 12 i 5. Wyznacz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt Dany jest trójkąt o przyprostokątnych 24 i 7. Wyznacz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt Trójkąt jest prostokątny. Punkt jest spodkiem wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną oraz =, (patrz rysunek). Wykaż, że = Punkt # leży wewnątrz prostokąta. Wykaż, że suma pól trójkątów # i # jest równa sumie pól trójkątów # i # Oblicz kąt ostry rombu, wiedząc, że jego pole jest równe 24 2, a promień okręgu w niego wpisanego równy Na bokach, i rombu wybrano punkty, i ' w ten sposób, że i '. Uzasadnij, że pole czworokąta ' stanowi połowę pola rombu Odcinki i h są równoległe do boku trójkąta, a odcinki i są równoległe do boku. Uzasadnij, że jeżeli Ui = Uk, to ij k / = Dane są dwa okręgi zewnętrznie styczne oraz styczne wewnętrznie do trzeciego. Środki okręgów tworzą trójkąt równoramienny o bokach długości 1 i 2. Znajdź długości promieni tych okręgów (rozważ dwa przypadki) W okrąg o promieniu 6 cm wpisano w sposób symetryczny cztery przystające okręgi. Oblicz ich promień Oblicz miarę kąta: a) pięciokąta foremnego; b) sześciokąta foremnego; c) dziewięciokąta foremnego. Zad Zad Zad Zad Punkt leży na boku trójkąta równoramiennego, w którym =. Odcinek dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że = =. Oblicz miary kątów trójkąta Punkty i są środkami boków i deltoidu. Pole trójkąta jest równe 3. Oblicz pole deltoidu W trójkącie dwusieczna kąta przecina bok w punkcie '. Przez punkt ' prowadzimy prostą równoległą do, przecinającą bok w punkcie D (rys.). Udowodnij, że 'D = D W trójkącie dwusieczna kąta przecina bok w punkcie #. Przez punkt # prowadzimy prostą równoległą do, przecinającą bok w punkcie $ (rys.). Udowodnij, że #$ = $ W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego)

PLANIMETRIA pp 2015/16. WŁASNOŚCI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) PLNIMETRI pp 2015/16 WŁSNOŚI TRÓJKĄTÓW (nierówność trójkąta, odcinek łączący środki boków, środkowe, wysokość z kąta prostego) Zad.1 Wyznacz kąty trójkąta jeżeli stosunek ich miar wynosi 5:3:1. Zad.2 Znajdź

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma

Bardziej szczegółowo

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10 Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym

Bardziej szczegółowo

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA 7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek

Bardziej szczegółowo

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku

Bardziej szczegółowo

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne: Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania SPIS TREŚCI Do Nauczyciela... 6 Regulamin konkursu... 7 Zadania Liczby i działania... 9 Procenty... 14 Figury geometryczne... 19 Kąty w kole... 24 Wyrażenia algebraiczne... 29 Równania i nierówności...

Bardziej szczegółowo

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n = /9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad.1. ( 1pkt) Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa. Jaka jest miara kąta środkowego?

Bardziej szczegółowo

2 PLANIMETRIA 1 Α O. Rys.2.9

2 PLANIMETRIA 1 Α O. Rys.2.9 PLNIMETRI 1 Planimetria.1 Wzajemne położenie prostych i okręgów 1. Przez punkt P należący do okręgu o środku w poprowadzono styczną do tego okręgu i cięciwę P (Rys..9). Ile stopni ma kąt między styczną

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1. Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących

Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt dla ucznia Planimetria: 5.

Bardziej szczegółowo

9. PLANIMETRIA zadania

9. PLANIMETRIA zadania Zad.9.1. Czy boki trójkąta mogą mieć długości: a),6, 10 b) 5,8, 10 9. PLANIMETRIA zadania Zad.9.. Dwa kąty trójkąta mają miary: 5, 40. Jaki to trójkąt: ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny? Zad.9..

Bardziej szczegółowo

MATURA PRÓBNA PODSTAWOWA GEOMETRIA Z TRYGONOMETRIA

MATURA PRÓBNA PODSTAWOWA GEOMETRIA Z TRYGONOMETRIA www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI MTUR PRÓN POSTWOW GEOMETRI Z TRYGONOMETRI ZNIE 1 (1 PKT) W trójkacie prostokatnym naprzeciw kata ostrego α leży przyprostokatna długości 3 cm.

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

2 Figury geometryczne

2 Figury geometryczne Płaszczyzna, proste... 21 2 igury geometryczne 1 Płaszczyzna, proste i półproste P 1. Wypisz proste, do których: a) prosta k jest równoległa, o n k l b) prosta p jest prostopadła, m c) prosta k nie jest

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1 Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie

Bardziej szczegółowo

Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy

Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy Artykuł pobrano ze strony eioba.pl Trójkąty jako figury geometryczne płaskie i ich najważniejsze elementy Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180. +

Bardziej szczegółowo

Stereometria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Stereometria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie Stereometria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym 10 jest nachylona do płaszczyzny podstawy

Bardziej szczegółowo

2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6

2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6 Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 6 i przyprostokątnej sinus większego z kątów ostrych ma wartość: C) Zadanie Krótsza przekątna rombu o długości tworzy z bokiem rombu kąt 60 0. Bok

Bardziej szczegółowo

Geometria. Planimetria. Podstawowe figury geometryczne

Geometria. Planimetria. Podstawowe figury geometryczne Geometria Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między nimi. Aksjomaty

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:

PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,

Bardziej szczegółowo

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA

ZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA ZIÓR ZŃ - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ 0--30 Strona ZIÓR ZO O WYMGNI EGZMINYJNEGO - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ. Zapisz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza jest liczba n. zy suma ta jest

Bardziej szczegółowo

POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII

POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII Zad.1 Rozwiąż trójkąt prostokątny: a) a 4, 0 b) b 8, c 1 POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII Zad. Oblicz wartość wyrażenia cos 0 cos 45 cos0 cos 45. Zad.4 Wyznacz długości przyprostokątnych trójkąta

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Geometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Geometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Geometria Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 W tym przypadku możemy wykonać szkic pięciokąta i policzyć przekątne: Zadanie. Promień okręgu opisanego na kwadracie

Bardziej szczegółowo

Skrypt 33. Powtórzenie do matury:

Skrypt 33. Powtórzenie do matury: Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 33 Powtórzenie do matury:

Bardziej szczegółowo

Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6)

Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6) Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6) MARIUSZ WRÓBLEWSKI IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Dany jest równoległobok ABCD. Narysuj za pomocą linijki i ekierki odcinek BF prostopadły do odcinka

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16) Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY

WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY Kod ucznia Suma punktów Numer zadania 1-20 21 22 23 Liczba punktów WOJEWÓDZKI KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJÓW W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 13 STYCZNIA 2015R. 1. Test konkursowy zawiera 23 zadania.

Bardziej szczegółowo

1 Odległość od punktu, odległość od prostej

1 Odległość od punktu, odległość od prostej 24 Figury geometryczne 2 Figury geometryczne 1 Odległość od punktu, odległość od prostej P 1. Odległość punktu K od prostej p jest równa 4 cm. Który z odcinków ma długość równą 4 cm? K p A B C D A. AK

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

Klasa 5. Figury na płaszczyźnie. Astr. 1/6. 1. Na którym rysunku nie przedstawiono trapezu?

Klasa 5. Figury na płaszczyźnie. Astr. 1/6. 1. Na którym rysunku nie przedstawiono trapezu? Klasa 5. Figury na płaszczyźnie Astr. 1/6... imię i nazwisko...... klasa data 1. Na którym rysunku nie przedstawiono trapezu? 2. Oblicz obwód trapezu równoramiennego o podstawach długości 18 cm i 12 cm

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12

Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12 Geometria płaska - matura 010 1. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają ługości 7cm i 4 7cm. Wysokość poprowazona z wierzchołka kąta prostego ma ługość: 1 5 A. 7cm B. cm C. 8 7cm D. 7 7cm 5 7. Miara

Bardziej szczegółowo

Wielokąty i Okręgi- zagadnienia

Wielokąty i Okręgi- zagadnienia Wielokąty i Okręgi- zagadnienia 1. Okrąg opisany na trójkącie. na każdym trójkącie można opisać okrąg, środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta, jeżeli

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

Ostrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V =

Ostrosłupy ( ) Zad. 4: Jedna z krawędzi ostrosłupa trójkątnego ma długość 2, a pozostałe 4. Znajdź objętość tego ostrosłupa. Odp.: V = Ostrosłupy Zad 1: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kwadrat długości krawędzi podstawy, kwadrat długości wysokości ostrosłupa i kwadrat długości krawędzi bocznej są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

Bardziej szczegółowo

ETAP 3 GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE

ETAP 3 GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE LAMBDA Zespół Szkół w Chełmży ul. Hallera 23, 87 140 Chełmża tel./fax. 675 24 19 Konkurs matematyczny dla uczniów klas III gimnazjum www.lamdba.neth.pl ETAP 3 GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE

Bardziej szczegółowo

Zestaw powtórzeniowy z matematyki dla uczniów kl II PG nr 3. Część 2 (własności i pola figur płaskich, wyrażenia algebraiczne)

Zestaw powtórzeniowy z matematyki dla uczniów kl II PG nr 3. Część 2 (własności i pola figur płaskich, wyrażenia algebraiczne) Zestaw powtórzeniowy z matematyki dla uczniów kl II PG nr 3 Część 2 (własności i pola figur płaskich, wyrażenia algebraiczne) 1. W którym przypadku z podanych odcinków można zbudować trójkąt? a) 8cm; 1,2dm

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona

Bardziej szczegółowo

Odcinki, proste, kąty, okręgi i skala

Odcinki, proste, kąty, okręgi i skala Odcinki, proste, kąty, okręgi i skala str. 1/5...... imię i nazwisko lp. w dzienniku...... klasa data 1. Na którym rysunku przedstawiono odcinek? 2. Połącz figurę z jej nazwą. odcinek łamana prosta półprosta

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2)

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2) ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt)

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o

SPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o SPRAWDZIAN NR 1 ANNA KLAUZA IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Średnica koła jest o 4 cm dłuższa od promienia. Pole tego koła jest równe 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Mówimy, że odcinki i CD są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli CD = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Klasówka gr. A str. 1/3

Klasówka gr. A str. 1/3 Klasówka gr. A str. 1/3 1. Boki trójkąta ABC mają długości 9 cm, 7cm, 8 cm. Boki trójkąta podobnego A B C w skali 1 2 mają długości: A. 18 cm, 14 cm, 16 cm B. 4 1 2 cm, 3 1 2 cm, 4 cm C. 4 1 2 cm, 7 cm,

Bardziej szczegółowo

5. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

5. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa. 11. STEREOMETRIA Zad.11.1. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu, wiedząc Ŝe jego objętość wynosi 16 cm. Zad.11.. Oblicz długość przekątnej sześcianu, jeśli jego pole powierzchni całkowitej wynosi

Bardziej szczegółowo

Przykłady zadań do standardów.

Przykłady zadań do standardów. Przykłady zadań do standardów 1 Wykorzystanie i tworzenie informacji 1 Oblicz wartośd wyrażenia: log 5 log8 log Odp: 1 1 3 5 8 Wyrażenie 5 1 0,5 : 3 zapisz w postaci p, gdzie p jest liczbą całkowitą Odp:

Bardziej szczegółowo

Skrypt 30. Przygotowanie do egzaminu Okrąg wpisany i opisany na wielokącie

Skrypt 30. Przygotowanie do egzaminu Okrąg wpisany i opisany na wielokącie Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Przygotowanie do egzaminu Okrąg wpisany

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Dane będę rysował na czarno. Różne etapy konstrukcji kolorami: (w kolejności) niebieskim, zielonym, czerwonym i ewentualnie pomarańczowym i jasnozielonym. 1. Prosta

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN Z 1. SEMESTRU KLASY 2 ROZSZ

SPRAWDZIAN Z 1. SEMESTRU KLASY 2 ROZSZ www.zadania.info NJWIEKSZY INTERNETOWY ZIÓR ZŃ Z MTEMTYKI SPRWZIN Z 1. SEMESTRU KLSY 2 ROZSZ ZNIE 1 (5 PKT) Funkcja f określona jest wzorem f (x) = (3m 5)x 2 (2m 1)x + 0, 25(3m 5). Wyznacz te wartości

Bardziej szczegółowo

Tomasz Zamek-Gliszczyński. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy. Matematyka. atematyka

Tomasz Zamek-Gliszczyński. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy. Matematyka. atematyka atematyka Tomasz Zamek-Gliszczyński Matematyka Zadania powtórkowe przed maturą Zakres podstawowy Spis treści Wstęp 4 1 Liczby 5 2 Algebra 24 3 Funkcje 31 4 Ciągi 61 5 Geometria na płaszczyźnie 69 6 Trygonometria

Bardziej szczegółowo

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9

Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Karta pracy: podzielność przez 9 Niektóre są dobre, z drobnymi usterkami. Największy błąd: nie ma sformułowanej

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Matematyka

Spis treści. Matematyka ACE aktywna, kreatywna i przedsiębiorcza młodzież innowacyjne programy kształcenia w obrębie przedsiębiorczości i ekonomii Priorytet III Działanie 3.3 Poprawa jakości kształcenia, Poddziałanie 3.3.4 Modernizacja

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne rozpoznaje figury podobne zna własności figur podobnych rozpoznaje trójkąty prostokątne podobne Rozdział 6. Figury podobne zna cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych podobnych podaje skalę podobieństwa

Bardziej szczegółowo

Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A x

Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A x . Oblicz: a) (,5) 8 c) ( ) : ( ). Oblicz: Sprawdzian całoroczny kl. II Gr. A [ ] d) 6 a) ( : ) 5 6 6 8 50. Usuń niewymierność z mianownika: a). Oblicz obwód koła o polu,π dm. 5. Podane wyrażenia przedstaw

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka I. Potęgi i pierwiastki. Klasa II 1. Zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych czynników i odwrotnie. 2. Oblicza

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut

Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut MATEMATYKA klasa pierwsza (pp) CZERWIEC 015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron (zadania 1-). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego

Bardziej szczegółowo

Grudziądzki Konkurs Matematyczny 2009 Klasy drugie poziom rozszerzony

Grudziądzki Konkurs Matematyczny 2009 Klasy drugie poziom rozszerzony Grudziądzki Konkurs Matematyczny 009 Klasy drugie poziom rozszerzony _R Funkcja liniowa i funkcja kwadratowa str _R Ciągi str _R Wielomiany i funkcje wymierne str 5 _R4 Geometria analityczna str 6 _R5

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f (x) = ax Przesunięcie wykresu funkcji f(x) = ax o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu.

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Klasyfikacja czworokątów (wypukłych): Trapez jest czworokątem, w którym co

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR pola do tego przeznaczone. Błędne

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR pola do tego przeznaczone. Błędne 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 2 CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdaj cego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to

Bardziej szczegółowo

MATURA probna listopad 2010

MATURA probna listopad 2010 MATURA probna listopad 00 ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od. do 5. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) - 4 $ 4 Liczba 0 jest równa 4-0, 5 A. B. C. D. 4 Zadanie. ( pkt) Liczba log 6 - log

Bardziej szczegółowo

Tydzień I Liczby naturalne w dziesiątkowym systemie pozycyjnym... Tydzień II Działania na liczbach naturalnych... Tydzień III Powtórzenie...

Tydzień I Liczby naturalne w dziesiątkowym systemie pozycyjnym... Tydzień II Działania na liczbach naturalnych... Tydzień III Powtórzenie... Spis treści Liczby naturalne i działania Tydzień I Liczby naturalne w dziesiątkowym systemie pozycyjnym... Tydzień II Działania na liczbach naturalnych... Tydzień III Powtórzenie... Geometria Tydzień IV

Bardziej szczegółowo

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Semestr I Rozdział: Potęgi i pierwiastki zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych

Bardziej szczegółowo

MATURA PODSTAWOWA nr 1 NOWA FORMUŁA, czas pracy 170 minut

MATURA PODSTAWOWA nr 1 NOWA FORMUŁA, czas pracy 170 minut MATURA PODSTAWOWA nr 1 NOWA FORMUŁA, czas pracy 170 minut Każde zadanie od początku do końca jest mojego autorstwa. Odkąd istnieje nowa matura, każde z zadań rozwiązałem na wiele sposobów. Zaznajomiłem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA III KLASA GIMNAZJUM

MATEMATYKA III KLASA GIMNAZJUM MTEMTYK III KLS GIMNZJUM SZZEIN 2016 ogdańska eata Maczan leksandra Staniewska Iwona Szuman Michał Spis treści 1 TWIERZENIE TLES 2 2 TRÓJKĄTY POONE 18 3 STYZN O OKRĘGU 29 4 ZWOROKĄT OPISNY N OKRĘGU 45

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu.

Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Klasyfikacja czworokątów (wypukłych): Trapez jest czworokątem, w którym

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE STEREOMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad.1. ( 5 pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, o długości krawędzi podstawy 6 cm, jest równa cm 3. Oblicz

Bardziej szczegółowo

Nawi zanie do gimnazjum Planimetria Trójk Rysujemy Rysujemy Rysujemy Zapisujemy t zewn trzny trójk ta, Trójk ty ze wzgl du na miary k tów Trójk

Nawi zanie do gimnazjum Planimetria Trójk Rysujemy Rysujemy Rysujemy Zapisujemy t zewn trzny trójk ta, Trójk ty ze wzgl du na miary k tów Trójk PLANIMETRIA Lekcja 102-103. Miary kątów w trójkącie str. 222-224 Nawiązanie do gimnazjum Planimetria to., czy planimetria zajmuje się. (Dział geometrii, który zajmuje się badaniem płaskich figur geometrycznych)

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo