Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1

Transkrypt

1 Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie jest równa 90. Znamy długości podstaw a i b. Bierzemy środki podstaw i łączymy je. Obliczyć długość odcinka łączącego środki tych podstaw. Zadanie 3. Dany jest ABC. Wewnątrz tego trójkąta wybrano dowolnie pkt. P i poprowadzono przez niego proste równoległe do jego boków. Oblicz pole ABC jeżeli dane są pola trójkątów wyznaczonych przez te proste i boki ABC. Zadanie 4. Oblicz pole elipsy o półosiach a i b. Zadanie 5. Oblicz pole elipsy o półosiach a i b. (II sposób dla gimnazjum) Rozwiąż równanie: Zadanie 6. x Zadanie 7. x Każdy bok kwadratu obrócono o 30 (jak na rysunku). Wyznaczyć stosunek boków i pól danego kwadratu i kwadratu wewnętrznego wyznaczonego z obróconych boków.

2 Zadanie 8. Mając dany równoległobok, w którym jedna z przekątnych wynosi 0, kąt ostry równoległoboku oraz kąt między przekątnymi mają 60. Obliczyć długość drugiej przekątnej. Zadanie 9. W równoległoboku ABCD wybrano punkt P taki, że ABP =ADP. Dowieść, że PAB = PCB. Zadanie 0. W trapezie ABCD przekątne AC i BD podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie. Przekątna kwadratu o boku cm jest osią symetrii trójkąta równobocznego, którego wszystkie wierzchołki leżą na bokach kwadratu. Jakie jest pole tego trójkąta?

3 Zadanie 2. Środki boków równoległoboku ABCD połączono z wierzchołkami, jak na rys. Oblicz pole czworokąta KLMN wiedząc, że pole równoległoboku wynosi m. Zadanie 3. Dane są liczby a, a 2, a 3, a 4. Udowodnić, że średnia geometryczna tych liczb jest mniejsza lub równa ich średniej arytmetycznej: S a a a a S a a a G A 2 3a4 Zadanie 4. Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Skonstruuj trójkąt o polu równym polu czworokąta ABCD. Zadanie 5. Dany jest odcinek b, który jest różnicą przekątnej kwadratu i jego boku. Skonstruuj ten kwadrat. Udowodnić, że: sin 3 8 sin 2 8 Zadanie 6. 8

4 Zadanie 7. Dany jest dowolny sześciokąt. Przekątne główne A A 4, A 2 A 5, A 3 A 6 przecinają się w jednym punkcie. Znając pola wyznaczonych trójkątów S, S 2, S 3, S 4, S 5 obliczyć pole szóstego trójkąta S 6. Zadanie 8. Pole ABC wynosi S. Oblicz pole KLS jeżeli BL AB. 4 CK 2 CA 3 ; 2 CS 5 CB ; Zadanie 9. Dany jest kwadrat ABCD. Punkty P,Q R S są środkami odpowiednio boków AD, AB, BC, CD. Dany jest również punkt M leżący wewnątrz kwadratu PQRS. Udowodnij, że suma pól czworokątów PMSD i MQBR jest równa połowie pola kwadratu ABCD. Zadanie 20. Statek z Warszawy do Gdańska płynie 3 dni, zaś z Gdańska do Warszawy 5 dni. Jak długo płynie tratwa z Warszawy do Gdańska? Zadanie 2. Liczby a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny. Wykazać, że liczby: b c, c a, a b też tworzą postęp arytmetyczny.

5 Zadanie 22. Dane są dwa współśrodkowe koła o nieznanych promieniach. Cięciwa AB dużego koła jest styczna do koła małego i długość jej wynosi 30 cm. Oblicz pole pierścienia wyznaczonego przez te koła. Zadanie 23. Zadanie Napoleona Na bokach dowolnego trójkąta budujemy trójkąty równoboczne, w których zaznaczamy środki ciężkości. Wykazać, że środki te tworzą trójkąt równoboczny. Zadanie 24. Znając wzór na pole trójkąta udowodnij twierdzenie Talesa.

6 Zadanie 25. DOWÓD TEMPELHOFFA /769 r / Udowodnij, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej równa się sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. Zadanie 26. Dany jest trójkąt ABC o polu S. Na jego bokach obrano punkty K, L, M w taki sposób, że: AK KB 2 CM MA 2 Punkty K, L, M połączono z wierzchołkami trójkąta. Oblicz pole powstałego wewnątrz trójkąta. BL LC 2 Zadanie 27. W trapezie ABCD o podstawach a i b łączymy środki przekątnych AC i BD. Jaka jest długość powstałego odcinka PQ? Zadanie 28. Udowodnij, że jeżeli w pewnym trójkącie środek koła opisanego i wpisanego pokrywają się, to trójkąt ten jest równoboczny. Zadania 29. W naczyniach A i B znajduje się 80 l wody. Z naczynia A przelewamy do B tyle wody, by w B ilość wody podwoiła się. Następnie odlewamy do A tyle wody, by w tym razem w A woda podwoiła swą objętość. W efekcie w obu naczyniach otrzymujemy równe ilości wody. Ile wody było w każdym naczyniu na początku?

7 Zadanie 30. Pole trójkąta wynosi Obliczyć pole trójkąta CKL wiedząc, że: AK 3 AC oraz CL 5 CB. Zadanie 3. Okrąg o promieniu jest styczny do ramion kąta prostego. Oblicz promień okręgu, który jest styczny do danego okręgu i do ramion kąta jak na rysunku. Zadanie 32. Dany jest kwadrat o boku. Na boku AB obrano w odległości 3 od punktu A punkt E. Punkt F to rzut prostokątny punktu C na odcinek DE. Obliczyć CF. Dane są liczby a>0 i b>0. Udowodnić, że: a b a b Zadanie 33. 4

8 Zadanie 34. Dwa pociągi mijały się jadąc z przeciwnych kierunków po równoległych do siebie torach. Pierwszy pociąg o długości 50 m jechał z prędkością 36 km/h, a drugi o długości 00 m jechał z prędkością 54 km/h. Jak długo trwało mijanie pociągów. Zadanie 35. Wykazać, że pole trójkąta prostokątnego jest równe iloczynowi odcinków na jakie okrąg wpisany w ten trójkąt dzieli przeciwprostokątną. Zadanie 36. Oblicz: x x x Zadanie 37. Zadanie japońskie Na elipsie o półosiach a i b wybrano 3 punkty tak, że pola soczewek są równe. Wyliczyć pole P trójkąta ABC, gdy dane są półosie a i b.

9 Zadanie 38. Oblicz resztę z dzielenia liczby przez 9. Zadanie 39. Cztery miejscowości są położone w ten sposób, że tworzą kwadrat o boku równym. Zbudować sieć dróg, która łączyłaby te miejscowości i zarazem była najkrótsza. Zadanie 40. Udowodnić twierdzenie B. Cevy Dany jest trójkąt ABC oraz KAB, LBC, MAC Wówczas proste CK, BM i AL przecinają się w jednym punkcie O wtedy i tylko wtedy gdy: AK BL CM KB LC MA Zadanie 4. W sklepiku szkolnym jest sto zeszytów o wartości 00 zł. Wśród zeszytów są zeszyty po 0,50 zł, po 2,50 zł i po 5 zł. Ile zeszytów każdego gatunku jest w sklepiku szkolnym? Oblicz: = Zadanie 42.