2 PLANIMETRIA 1 Α O. Rys.2.9

Transkrypt

1 PLNIMETRI 1 Planimetria.1 Wzajemne położenie prostych i okręgów 1. Przez punkt P należący do okręgu o środku w poprowadzono styczną do tego okręgu i cięciwę P (Rys..9). Ile stopni ma kąt między styczną i cięciwą, jeżeli kąt P ma: a) 0 o ; b) 0 o ; c) 80 o ; d) x o?. any jest okrąg o promieniu 7cm. Jak są położone względem siebie prosta k i dany okrąg, gdy odległość środka okręgu od prostej k jest równa: a) cm; b) 10cm; c) 7cm; d) 0cm? P Α Rys..9. W okręgu poprowadzono dwa promienie, a przez końce tych promieni poprowadzono styczne do okręgu. Jak są położone względem siebie te styczne, gdy: a) promienie są prostopadłe; b) promienie tworzą kąt środkowy 10 ; c) promienie tworzą kąt środkowy 0 ; d) promienie tworzą średnicę okręgu?. Katy w kole (okręgu) 1. Kąt środkowy jest większy o 8 o od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Jakie są miary tych kątów?. Na okręgu o środku obrano trzy różne punkty,, w ten sposób, że punkty i są końcami średnicy okręgu. Mając dany kąt o mierze 0 o, oblicz miary kątów trójkąta.. blicz miary kątów trójkąta na podstawie danych zamieszczonych na rysunku.1, wiedząc, że trójkąty i są wpisane w okrąg o środku.. Wykaż, że czworokąt, którego wierzchołki należą do okręgu o środku przedstawiony na rysunku.1 ma dwa kąty proste.. W trójkącie wpisanym w okrąg kąt ma 0 o kąt 70 o. Punkt należy do łuku. Ile stopni ma kąt, a ile kąt? 0 Rys..1 Rys..1 r 6. blicz miary kątów w trójkątach, i przedstawionych na rysunkach.16, gdzie jest środkiem okręgu opisanego na trójkątach Rys..16a Rys..16b Rys..16c 7. Wierzchołki trójkąta należą do okręgu o środku w punkcie (Rys..17). blicz miary kątów trójkąta mając dane: a) = 100 i = 70 ; b) = 100 i = 10 ; c) = 0 i =. 8. W okręgu o środku poprowadzono dwie średnice i (Rys..18). Uzasadnij, że: a) trójkąty i są przystające; b) proste i są równoległe; c) proste i są prostopadłe. Jak są położone względem siebie proste: i oraz i? Rys.17 Rys Ile wierzchołków ma wielokąt foremny, w którym każdy kąt wewnętrzny ma: a) 108 ; b) 1 ; c) 16 ; d) 10? 10. blicz miary kątów wewnętrznych: a) pięciokąta foremnego; b) sześciokąta foremnego; c) ośmiokąta foremnego; d) dziesięciokąta foremnego; e) n-kąta foremnego, gdzie n jest liczbą naturalną. 11. Ile różnych, co do długości przekątnych ma: a) ośmiokąt foremny; b) dwunastokąt foremny? 10

2 PLNIMETRI. zworokaty 1. ane są odcinki p i q. Skonstruuj: a) równoległobok, w którym przekątne są równe danym odcinkom; b) równoległobok, w którym przekątne tworzą kąt 60 i są równe danym odcinkom; c) romb, w którym przekątne są równe danym odcinkom. Ile rozwiązań ma każde z tych zadań?. Prosta k przechodzi przez wierzchołek równoległoboku i tworzy z jego bokami kąty 0 i 0. blicz kąty tego równoległoboku.. Skonstruuj kwadrat, w którym przekątna jest równa odcinkowi d.. Wykaż, że przekątne w prostokącie są równe. Wyprowadź wniosek o przekątnych prostokąta. Wskazówka: Uzasadnij najpierw, że w prostokącie trójkąty i są przystające.. blicz miary pozostałych kątów trapezu, wiedząc, że dwa przeciwległe jego kąty są równe i ziałka ma kształt czworokąta. Można ją podzielić na dwie działki, każdą w kształcie trójkąta prostokątnego. Narysuj plan tej działki. Rozważ różne przypadki. 7. Skonstruuj prostokąt, gdy jego bok i przekątna są równe odpowiednio danym odcinkom a i p. 8. blicz miary kątów równoległoboku, w którym przekątna tworzy z bokiem kąt 0, a z drugą przekątną kąt Przekątne w deltoidzie mają długości: = 1cm, = 8cm, a kąt przy wierzchołku jest prosty. Wyznacz pozostałe kąty deltoidu. 10. W równoległoboku dane są długości boków: = m, = 1m, a wysokość opuszczona na bok ma długość 0, m. blicz długość wysokości opuszczonej na bok.. Funkcje trygonometryczne 1. blicz sin α, cos α, tgα i ctgα w trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają 1, dm i 1, 6 dm, gdy α jest kątem leżącym naprzeciw dłuższej przyprostokątnej.. Skonstruuj kąty α i β, jeśli sin α = 1, cos β =.. blicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkącie prostokątnym, w którym długości przyprostokątnych a i b spełniają warunek a = b.. Uzasadnij, że w trójkącie o bokach długości, i jeden z kątów ma miarę dwa razy mniejszą od miary innego kąta tego trójkąta.. Zwiazki miarowe w trójkacie prostokatnym 1. Przekątna prostokąta o długości 0 cm tworzy z bokiem kąt 8. blicz obwód tego prostokąta.. ługości boków prostokąta są równe m i m. Ile stopni mają kąty, które przekątna prostokąta tworzy z jego bokami?. rabina dwuramienna o długości, m jest tak ustawiona, że jej ramiona tworzą kąt. Jak wysoko sięga ta drabina?. Jaki kąt z poziomą podłogą w pokoju o wysokości, m może tworzyć drabina o długości m?. Trójkątny szczyt budowli antycznych zwany frontonem najdokładniej opisuje trójkąt równoramienny, w którym ze względów estetycznych stosunek wysokości do podstawy jest równy: 1, 1 lub. a) We frontonie elwederu stosunek ten wynosi 1 Jakie kąty ma ten fronton? b) Kąty frontonu Teatru Wielkiego w Warszawie mają i 16. Jaki jest stosunek wysokości do podstawy tego frontonu? Rys Wieża o wysokości 9 m rzuca na płaską powierzchnię cień o długości 10 m. Pod jakim kątem padają w tym czasie promienie słońca na powierzchnię płaską? 7. Wysokość trójkąta równoramiennego ma długość 8 cm, kąt między równymi bokami wynosi 6. blicz obwód tego trójkąta. 8. blicz wysokość drzewa, które rzuca na płaską powierzchnię cień o długości 8, m, gdy promienie słoneczne padają pod kątem na tę powierzchnię. 9. blicz pozostałe boki trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątna ma długość 1 cm, a kąt leżący naprzeciw niej jest równy Turysta widzi czubek piramidy odległej o 100 m pod kątem 0. Jak wysoka jest piramida, jeżeli oko turysty znajduje się 1, 7 m nad ziemią? (Rys..9) (Rys..9) 11. blicz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny i promień okręgu opisanego na tym trójkącie, wiedząc, że jego podstawa ma długość 1.6dm, a kąt przy podstawie 80.

3 PLNIMETRI.6 Zwiazki między funkcjami tryg. tego samego kata 1. any jest trójkąt prostokątny o wymiarach podanych na rysunku obok. blicz wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych kąta.. Wiedząc, że α jest kątem ostrym i sin α =, oblicz cos α, tg α i ctg α.. Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeżeli: a) sin α = 1 b) cos α = c) tg α = d) ctg α =.. Wiedząc, że sin α =, oblicz cos α i tg α.. Wiedząc, że cos α =, oblicz sin α i tg α. 6. blicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, jeśli: a) sin α = b) cos α = c) tg α = d) ctg α =. 7. Wiedząc, że cos t =, oblicz sin t i tg t. 8. blicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta γ, wiedząc, że: a) ctg γ = 1 b) sin γ =. 9. Jakie wartości może mieć wyrażenie sin α + cos α, gdy sin α =? 10. Jakie wartości może mieć cos α, gdy sin α = 0? Jakie sin α, gdy cos α = 0? 11. Jeżeli cos 0 + sin 0 = 1, to cos 60 + sin 60 =. Prawda czy fałsz? Uzasadnij odpowiedź. 1. Sprawdź, która para liczb ze zbioru {(, ) ( 1,, ) ( ) ( )},, 1 1,, jest sinusem i cosinusem tego samego kąta ostrego β..7 Tożsamości trygonometryczne 1. Przekształć dane wyrażenia na prostsze: tg α+tg β ctg α+ctg β a) (1 + tg α) cos α b) c) cos α sin α ctg α tg α d) (1 + ctg α) sin α e) (tg α + ctg α) sin α f) ctg α + sin α 1+cos α. Sprawdź tożsamość: a) cos α 1 = 1 sin α; b) sin α(1 + cos α) = 1 cos α; c) sin a + cos α = cos α + sin α; d) ( sin α + cos α) + (sin α cos α) = ; e) ctg α(tg α sin α cos α) = sin α.. Sprawdź tożsamość (cos α sin α)(1 + tg α) = ctg α 1 ctg α. Zbadaj, czy dana równość jest tożsamością: sin φ a) 1+cos φ sin φ = sin φ b) (1 + cos α) ( 1 sin α ctg α) = sin α c) sin α cos α = 1 cos α; d) (ctg α cos α) tg α = cos α.. Sprawdź, czy równość jest tożsamością: a) sin α cos α = tg α 1+tg α b) 1 sin α = 1 tg α 1+tg α 6. Wykaż, że wartość wyrażenia cos α + sin α + cos α sin α nie zależy od wartości kąta α. 7. Uprość wyrażenie (sin α + cos α + ctg α)(1 sin α). 8. Korzystając ze wzoru sin(90 α) = cos α, oblicz wartość wyrażenia sin 0 + sin Wiadomo, że tg(90 α) = ctg α. blicz: tg 0 tg tg Wiedząc, że sin α cos α = 1 oblicz sin α + cos α..8 Figury podobne 1. Zbadaj, czy podobne są trójkąty o bokach mających długości: a) 10cm, 6cm, cm oraz cm, 1cm, 0.8cm; b) dm, 0cm, 0.7m oraz 1dm, 0dm, 8dm.. ok jednego trójkąta równobocznego jest o 10% dłuższy od drugiego trójkąta. Jaka jest skala podobieństwa tych trójkątów? Ile wynosi stosunek ich pól?. any jest trójkąt. Skonstruuj trójkąt KLM podobny do trójkąta w skali. bwód trójkąta wynosi 6cm, a jego pole jest równe 1cm. Znajdź pole trójkąta do niego podobnego, którego obwód wynosi cm.. Terytorium Polski wynosi około 77 km. Pole obszaru Polski na mapie ma w przybliżeniu 7.dm. Jaką skalę ma ta mapa? 6. Wysokość trójkąta prostokątnego, poprowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli go na dwa trójkąty o polach cm i 96cm. blicz długości boków tego trójkąta.

4 PLNIMETRI 7. blicz pole mniejszego z dwóch podobnych prostokątów, wiedząc, że pole większego jest równe 60cm, a stosunek ich przekątnych wynosi. 8. Trapez równoramienny o podstawach 6cm i 10cm i kącie ostrym 0 jest podobny do trapezu, którego ramię ma długość 1cm. blicz obwody obu trapezów. 9. Wymiary prostokąta są równe dm i dm. blicz wymiary prostokąta do niego podobnego o obwodzie 6dm. 10. ztery prostokątne arkusze papieru mają ten sam stosunek wymiarów; trzy z nich są jednakowe i można je otrzymać w wyniku rozcięcia arkusza czwartego. Jaki stosunek wymiarów mają te arkusze? 11. Podstawy trapezu równoramiennego mają długości dm i 10dm, a jego kąt ostry jest równy 60. blicz długości boków trapezu do niego podobnego, którego obwód wynosi 9dm. 1. any jest trójkąt oraz taki punkt M należący do boku, że kąty i M są przystające. blicz długości odcinków M i M, jeśli = 10dm, i = dm. 1. Wiedząc, że trójkąty i (rys..) są podobne, wyznacz długości pozostałych boków. 1 8 Rys.. 1. any jest trójkąt KLM o bokach, 6, 10. Trójkąt K L M ma najdłuższy bok równy 1 i jest podobny do trójkąta KLM. a) Wyznacz skalę podobieństwa tych trójkątów. b) blicz obwód K L M. 1. Sprawdź, czy są do siebie podobne, trójkąty o następujących bokach: a),, oraz,, ; b) 6, 1, 1 oraz, 6, 8; 16. Uwzględniając dane przedstawione na rysunku.6 oraz wiedząc, że trójkąt jest podobny do trójkąta E, wyznacz długości boków i E. 17. Wykreśl dwa kwadraty podobne w skali. 6 Rys ceń, które zdanie jest prawdziwe. a) Każde dwa romby są podobne. b) wa równoległoboki są podobne, jeśli odpowiednie ich kąty są równe. c) wa równoległoboki są podobne, jeśli odpowiednie ich boki są proporcjonalne. d) wa romby, które mają odpowiednio równe kąty ostre, są podobne. e) Każde dwa wielokąty foremne są podobne. f) wa deltoidy są podobne, jeśli każdy z nich ma dwa kąty proste E.9 Twierdzenie Talesa 1. blicz długości odcinków oznaczonych literami a) b) c) k l b k l k 8 c. blicz długości odcinków oznaczonych literami a) b) c) 9. c d l 7 k l k 6 a) blicz długości odcinków x, y, z b) blicz obwód prostokąta.10 Pola wielokatów w c y x 1 d e 1. h f k l e a a 1. W trójkącie równoramiennym długość podstawy jest równa 1cm, a długość ramienia - 1cm. blicz pole tego trójkąta.. Przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma 0cm, a wysokość poprowadzona do przeciwprostokątnej - 1cm. blicz pole tego trójkąta.. Krótsza przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 8, a pole tego trójkąta jest równe 6. blicz obwód tego trójkąta.. blicz pole trójkąta równobocznego o boku długości cm. 7 l b

5 PLNIMETRI. Wyznacz długość boku kwadratu, którego pole jest równe polu prostokąta o bokach 6cm i 7cm. 6. pole prostokąta jest równe 96dm, a stosunek jego boków -. blicz obwód tego prostokąta. 7. W równoległoboku długości boków wynoszą 6cm i 1cm, a kąt ostry ma miarę. blicz pole tego równoległoboku. 8. ługości przekątnych rombu są równe 10cm i 1cm. blicz wysokość tego rombu. 9. ok rombu ma długość dm, a przekątna - 6dm. blicz pole tego rombu. 10. W rombie dłuższa przekątna ma długość 0cm, a kąt ostry ma miarę 0. blicz pole tego rombu. 11. W trapezie równoramiennym długości podstaw są równe 8cm i 10cm, a przekątna ma długość 1cm. blicz pole tego trapezu. 1. Krótsza podstawa trapezu równoramiennego ma cm, ramię - 6cm, a kąt ostry jest równy 60. blicz pole trapezu. 1. blicz pole trójkąta, w którym: a) 8 = 8cm, = 1cm, = 0 ; b) = 1, 8cm, =, cm, = bwód trójkąta prostokątnego wynosi cm, a jego pole cm. blicz długości boków tego trójkąta. 1. Pole równoległoboku wynosi 0.96dm, a jego wysokości mają 0.8dm i 1.dm. blicz obwód tego równoległoboku. 16. Pole równoległoboku wynosi 60cm, obwód 6cm, a jedna z wysokości cm. Jaką długość ma druga wysokość tego równoległoboku? 17. blicz pole trapezu równoramiennego, w którym podstawy mają 1cm i 8cm, a jeden z kątów jest równy blicz długości boków prostokąta, którego pole wynosi 60cm, a przekątna ma długość 1cm. 19. Pole prostokąta wynosi cm, a jego przekątna ma długość cm. blicz długości boków tego prostokąta. 0. Przekątne równoległoboku o długościach 1cm i 18cm przecinają się pod kątem 7. blicz pole tego równoległoboku. 1. blicz pole czworokąta niewypukłego, w którym boki są parami równe, krótszy z nich ma długość c, jeden z kątów tego czworokąta jest równy 0, a drugi ługość okręgu i pole koła 1. Punkty i wyznaczają na okręgu o długości promienia równej cm łuk o długości 1πcm. blicz miarę kąta wyznaczonego przez punkty, i środek okręgu.. Jaką długość ma średnica okręgu o długości.cm?. Pole koła wynosi 0cm. blicz obwód tego koła.. Z arkusza blachy o wymiarach dm 8dm wycięto krążki o średnicy cm. W tym celu na arkuszu blachy zaznaczono kwadraty o boku cm i w każdym z nich wycinano krążek. Jaki procent stanowiły odpadki po wycięciu krążków?. Pień drzewa ma średnicę długości 0cm, a ołówek ma średnicę długości 6mm. Ile razy pole przekroju poprzecznego drzewa jest większe od pola przekroju ołówka? 6. rut okrągły ma przekrój o polu równym 0mm. blicz średnicę tego drutu. 7. Rura ma średnicę wewnętrzną równą 0cm, a grubość ścianki jest równa mm. blicz pole przekroju poprzecznego tej rury. 8. Pole wycinka koła wynosi cm, a jego obwód 0cm. blicz promień wycinka koła. 9. Sprawdź, co jest większe: pole koła o promieniu dm czy suma pól kół o promieniach 1dm i dm. 10. blicz pole koła, jeśli kwadrat wpisany w to koło ma pole Q. 11. blicz długości łuków, na które cięciwa o długości 8cm dzieli okrąg o promieniu cm. 1. blicz pole wspólnej części trójkąta równobocznego o boku a i koła, którego średnicą jest bok tego trójkąta. 1. blicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych mających długość cm i cm. 1. blicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość i Na okręgu o promieniu cm opisano trójkąt prostokątny, którego długość jednej z przyprostokątnych jest równa 8cm. blicz długości pozostałych boków trójkąta. 16. blicz obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego, który został opisany na okręgu o promieniu cm. 17. Znajdź promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, a w którym długości przyprostokątnych są równe 6 i 10. r Wskazówka! Skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta opisanego na okręgu: r = P a+b+c p, gdzie p =. (Rys..6.) b Rys..6 c

6 PLNIMETRI blicz pole trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg o promieniu 6cm, wiedząc, że długość jednej z przyprostokątnych trójkąta jest równa 8cm. 19. Egipcjanie przyjmowali, że długość okręgu równa się obwodowi sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg. Jaką liczbę powinni przyjąć jako pole koła, gdyby jego obwód wynosił?.1 Zastosowanie funkcji trygonometrycznych 1. Ze szczytu latarni morskiej o wysokości 6m, stojącej nad brzegiem morza, widać statek pod kątem depresji 18 (kątem depresji nazywamy kąt zawarty pomiędzy poziomem a promieniem widzenia). blicz odległość statku od brzegu.. W równoległoboku długość podstawy jest równa 0cm, a wysokość 8cm. blicz obwód tego równoległoboku, mając dany kąt ostry α = 60.. W prostokącie o długości przekątnej 1cm kąt między przekątnymi jest równy 60. blicz pole i obwód tego prostokąta.. blicz pole trójkąta równobocznego, jeżeli długość boku jest równa.. blicz pole trójkąta, w którym dwa boki mają długości: 8cm i 1cm, a kąt zawarty między tymi bokami ma miarę. 6. W rombie długość boku jest równa 1, dm, a miara kąta ostrego - 0. blicz pole rombu. 7. blicz pole równoległoboku, którego dwa sąsiednie boki mają długość cm i 6cm oraz tworzą kąt. 8. blicz pole równoległoboku, w którym kąt rozwarty ma miarę 10, a boki mają długość cm i 1cm. 9. bwód trapezu równoramiennego jest równy (8 + 1)cm. blicz pole tego trapezu, jeżeli jego wysokość jest równa cm, a miara kąta ostrego jest równa blicz 0% pola trapezu równoramiennego, w którym ramię ma długość cm, wysokość cm, a mniejsza podstawa cm. 11. blicz obwód trapezu, który jest wpisany w okrąg o promieniu długości, jedna z podstaw trapezu jest średnicą okręgu, a jeden z kątów jest równy. 1. blicz pole działki w kształcie trapezu przedstawionej na rysunku.9. 0 o 8m 1m Rys Zosia, leżąc na ziemi, widzi wieżę pod kątem 18. Jakiej wysokości jest wieża, jeżeli Zosia obserwuje tę wieżę z odległości 6m? 1. Turysta jest na wysokości 7 m n.p.m. i dalej będzie szedł górską ścieżką, która wznosi się pod kątem 0 stopni. Jaką wysokość osiągnie turysta po przebyciu 00m tej ścieżki? Jak długą drogę musi przebyć, aby wznieść się na wysokość 900 m n.p.m.? 1. Pod jakim kątem padają promienie słoneczne, jeżeli cień drzewa mającego, 0m wysokości ma długość 10cm? 16. blicz pole trójkątnej serwetki wiedząc, że długości sąsiednich boków tej serwetki są równe 0cm i dm, a miara kąta ostrego zawartego między nimi jest równa 0 stopni. 17. Na górze o wysokości 60m zamontowano maszt wysokości m. W odległości 00m od podnóża góry znajduje się Tomek. Wyznacz miary kątów widzenia góry i masztu przez Tomka. 18. ziałka ma kształt trapezu równoramiennego, w którym miara kąta ostrego jest równa stopni. Wiedząc, że długość dłuższej podstawy jest równa m, a długość ramienia 1.m, oblicz pole i obwód tej działki. 19. oki równoległoboku mają długości 10cm i 18cm. blicz pole tego równoległoboku, jeżeli cosinus kąta zawartego między danymi bokami jest równy Podstawa trapezu wpisanego w okrąg o promieniu długości jest średnicą tego okręgu. blicz pole i długość obwodu tego trapezu, jeżeli miara kąta ostrego trapezu jest równa ługość boku równoległoboku jest równa 1. Wysokość opuszczona z wierzchołka dzieli dany bok na połowy. blicz pole równoległoboku, jeżeli kąt ostry ma miarę równą Korzystając z danych przedstawionych na rysunku.0, oblicz wartość wyrażenia tg β sin β ctg α + 1 cos α. Α Rys..0. Β