Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas III Barbara Mrowiec

Transkrypt

1 Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik. Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im. Stnisłw Stszic w Rybniku, współfinnsowny przez Unię Europejską z Europejskiego Funduszu Społecznego w rmch Progrmu Opercyjnego Kpitł Ludzki, Priorytet IX, Dziłnie. Skrypt edukcyjny do zjęć wyrównwczych z mtemtyki dl kls III Brbr Mrowiec

2 Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik. Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im. Stnisłw Stszic w Rybniku, współfinnsowny przez Unię Europejską z Europejskiego Funduszu Społecznego w rmch Progrmu Opercyjnego Kpitł Ludzki, Priorytet IX, Dziłnie., relizuje: Ktolickie Centrum Edukcji Młodzieży KANA ul. Górn - Gliwice kn@kn.gliwice.pl Technikum nr im. Stnisłw Stszic w Zespole Szkół Technicznych w Rybniku ul. Tdeusz Kościuszki - Rybnik sekretrit@zstrybnik.pl Autork: Brbr Mrowiec Redkcj: Robert Młynrz Zdjęci n okłdce ze zbiorów Zespołu Szkół Technicznych w Rybniku. Gliwice, grudzień

3 Spis treści Rozdził. Zostń mistrzem w dziłnich n potęgch..... Potęg o wykłdniku nturlnym..... Potęg o wykłdniku cłkowitym..... Potęg o wykłdniku wymiernym..... Potęg o wykłdniku niewymiernym..... Potęg o wykłdniku rzeczywistym..... Funkcj wykłdnicz i jej włsności..... Zstosownie dziłń n potęgch w rozwiązywniu równń wykłdniczych.... Rozdził. Zostń mistrzem w dziłnich n rytmch..... Pojęcie rytmu z liczby dodtniej i ćwiczeni w ich obliczniu..... Twierdzeni o dziłnich n rytmch i ich zstosownie..... Elementrne równni rytmiczne i metody ich rozwiązywni.... Rozdził. Zostń mistrzem plnimetrii.... Pojęci podstwowe geometrii.... Wzjemne położenie okręgów.... Wzjemne położenie okręgu i prostej..... Kąty w okręgu Pole koł.... Rozdził. Zostń mistrzem geometrii nlitycznej...

4

5 Rozdził. Zostń mistrzem w dziłnich n potęgch. W tym rozdzile powtórzymy widomości potęgch o wykłdniku cłkowitym i zdefiniujemy potęgę o wykłdniku wymiernym i niewymiernym orz podmy ćwiczeni ułtwijące i utrwljące dziłni n potęgch o różnych wykłdnikch.. Potęg o wykłdniku nturlnym. Jeżeli to dowoln liczb rzeczywist i chcemy ją wielokrotnie pomnożyć przez siebie, to liczbę nzywmy podstwą potęgi, zś liczbę, któr informuje ns ile rzy przez siebie mnożymy, nzywmy wykłdnikiem potęgi i zpisujemy: n. Wynik tkiego dziłni nzywmy potęgą liczby. Ztem podjemy nstępującą definicję potęgi o wykłdniku nturlnym: Definicj: R, n N n+ n i inczej Przykłd n... n czynników Potęgę o wykłdniku nzywmy kwdrtem liczby zś o wykłdniku sześcinem liczby rzeczywistej co m związek z polem kwdrtu o boku > i objętością sześcinu o krwędzi >. Jeżeli podnosimy do potęgi ułmki, liczby ujemne, liczby te zpisujemy w nwisie. Jeżeli chcemy podnieść do potęgi liczby mieszne, to njpierw zmienimy je n ułmek zwykły niewłściwy, dopiero później podnosimy do potęgi. Uwg: n dl n N n dl n N

6 Wykonując dziłni n potęgch stosujemy poniższe twierdzenie: Twierdzenie: Dne są: R, b R orz m, n N. Wówczs: m n mn m n mn m n mn przy czym m n n n b b n n n b b Przykłd: n przy czym b. : 8,,,,, :, :. Ćwiczenie. Oblicz :,, :, : + : + 8, + :,, : - -

7 8. Przykłd. Obliczjąc wrtość wyrżeń lgebricznych zwierjących potęgi o dużych wykłdnikch, możn postąpić jk w podnym przykłdzie: Ćwiczenie. Postępując nicznie jk w przykłdzie, oblicz + wrtość wyrżeń: Potęg o wykłdniku cłkowitym. Ze względu n fkt, że przy dzieleniu potęg o tej smej podstwie wykłdniki n n n nn odejmujemy czyli : zś gdy wykonmy dzielenie: dl n, stąd przyjmujemy, że : dl R i Z tych smych powodów dl n n nn n n+ dltego przyjmujemy nstępującą definicję: R, gdy wykonmy dzielenie : n n nn n n+ itd. Definicj: Przykłd. R, n N n n n.. - -

8 - 8 - Wykonując dziłni n potęgch o wykłdniku cłkowitym, ujemnym, stosujemy te sme twierdzeni co o wykłdniku nturlnym. np : Ćwiczenie. Oblicz: -, , : -8 - : : -,. -,,

9 - - - : - :.,. Obliczjąc wrtości wyrżeń, w których mmy do wykonni więcej niż jedno dziłnie lub wykorzystnie więcej niż jednego twierdzeni o dziłnich n potęgch, to wykonujemy dziłni pmiętjąc o kolejności dziłń. I tk njpierw podnosimy do potęgi, nstępnie mnożymy i dzielimy zś n końcu dodjemy lub odejmujemy. W wyrżenich, w których występują nwisy, wykonujemy njpierw dziłni w wyrżenich, w których nie m żdnych innych nwisów. Oto przykłd: Przykłd. Oblicz:,8 Ćwiczenie. Oblicz wrtość wyrżeni: + +,, 8, +.

10 . Potęg o wykłdniku wymiernym. Chcąc zdefiniowć potęgę o wykłdniku wymiernym njpierw definiujemy potęgę o wykłdniku będącym odwrotnością liczby nturlnej różnej od zer. W tym celu prześledźmy nstępujące rozumownie: przez rozumiemy tką liczbę któr podniesion do kwdrtu powinn być równ to powinn być tk liczb, któr podniesion do potęgi trzeciej d wrtość równą (ze względu n twierdzenie o potędze potęgi, które mówi, że wykłdniki mnożymy). Stąd też przyjmujemy nstępującą definicję: Definicj: R i i 8 n n N i n n Przykłd Kżdą liczbę wymierną możn przedstwić w postci iloczynu liczby cłkowitej i odwrotności liczby nturlnej większej lub równej. np.,,.... Ztem przyjmuje się nstępującą definicję: Definicj: R i > i n N i C m n n n m m m. Wykonując dziłni n potęgch o wykłdniku wymiernym korzystmy z tego smego twierdzeni co n potęgch o wykłdniku nturlnym. Przykłd. 8 8,

11 Ćwiczenie. Oblicz: ,,.....,,... 8, 8..., -, Ćwiczenie. Oblicz:,..,.,,,,,, -,,,, 8,. Przykłd. Oblicz korzystjąc z twierdzeń o dziłnich n potęgch: 8 Ćwiczenie. Oblicz:

12 ,,, Ćwiczenie.8 Postępując nicznie jk w podnym przykłdch zpisz podne liczby w postci potęgi o podstwie np. 8 : 8, :. Ćwiczenie. Stosując poznne definicje potęg, oblicz wrtości wyrżeń:,,,,, 8,,, 8.

13 - - Ćwiczenie. Oblicz wrtości wyrżeń korzystjąc ze wzorów skróconego mnożeni orz poznnych widomości o potęgch jk w przedstwionym przykłdzie:,, 8.. Potęg o wykłdniku niewymiernym. Dl kżdej liczby rzeczywistej niewymiernej możn wskzć ciąg liczb wymiernych, które zbliżją się do dnej liczby niewymiernej. Tkim ciągiem liczb wymiernych zbliżjących się do dowolnej liczby rzeczywistej niewymiernej, może być ciąg jej przybliżeń wymiernych. np. ciąg przybliżeń wymiernych tej liczby:,,,,,,,.... Obliczjąc potęgę dowolnej liczby dodtniej o wykłdniku niewymiernym, obliczmy potęgi o dnej podstwie i wykłdnikch będących kolejnymi wyrzmi ciągu przybliżeń wymiernych. np. obliczymy jko grnicę ciągu potęg :...,,,, W zdnich obliczeniowych tk dobrne są wykłdniki, by występujące w nich liczby niewymierne zredukowły się.

14 Definicj: > i dowoln liczb rzeczywist niewymiern wymiernych dążących do liczby wrz ze wzrostem indeksu n n ciąg liczb to grnic ciągu potęg o podstwie i wykłdniku rosnącym. n przy n nieogrniczenie Twierdzenie dotyczące dziłń n potęgch są prwdziwe dl potęg o wykłdniku niewymiernym. + Przykłd : + +. Ćwiczenie. Oblicz wrtość wyrżeni: + : 8 :. +,, Ćwiczenie. Przedstw w postci, gdzie jest liczbą nturlną., : :.. Potęg o wykłdniku rzeczywistym. Kżd liczb rzeczywist jest liczbą wymierną lub niewymiern ztem potęg o wykłdniku rzeczywistym zostł zdefiniown. Wykonując dziłni n potęgch o dowolnym rzeczywistym wykłdniku korzystmy z twierdzeni: > i b > i R i y R : y +y y y : - - y y b b. b b Pondto możn zuwżyć, że gdy > y, to: y y >, dl > <, dl < < >.

15 Ćwiczenie. Zpisz w postci R : 8 : Ćwiczenie. Oblicz wrtość wyrżeni: gdzie jest liczbą nturlną zś +,, , , :, + +. Ćwiczenie. Zpisz podne wyrżenie w njprostszej postci:.(przedstw kżdy czynnik. w postci potęgi i wykonj dziłni n potęgch). Ćwiczenie. Wykż, że jeżeli + A i. Funkcj wykłdnicz i jej włsności. + B,to B A. Poznliśmy definicje potęg o różnych wykłdnikch orz twierdzeni, które pozwlją wykonywć dziłni n tych potęgch, ztem możn zdefiniowć - -

16 funkcję, któr dowolnej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje potęgę dowolnej liczby dodtniej o tym wykłdniku. Funkcję te nzywmy wykłdniczą. Funkcją wykłdniczą o podstwie, gdzie > nzywmy funkcję postci f ( ), R. Włsności funkcji wykłdniczych omwimy njczęściej budując wykresy funkcji o podstwch, jko przykłdy funkcji o podstwie większej od orz o podstwch, i jko przykłdy funkcji o podstwch z przedziłu od do. Szczególny przypdek to funkcj o podstwie, któr jest funkcją stłą. Wykresy tych funkcji możemy nrysowć posługując się tbelą wrtości funkcji. - - f ( ),, f ( ),,, f ( ) f ( ) / / f ( ) / / Włsności funkcji wykłdniczych: Zbiór wrtości funkcji wykłdniczych o podstwie różnej od to zbiór liczb rzeczywistych dodtnich. Funkcje są rosnące, gdy >, mlejące gdy < <, - -

17 różnowrtościowe tzn. kżdą wrtość dodtnią przyjmują dokłdnie dl jednego rgumentu. Tę włsność wykorzystujemy przy rozwiązywniu równń wykłdniczych. Ćwiczenie. Nszkicuj wykres funkcji utwórz wykresy funkcji : f g ( ) ( ) ( ), R, nstępnie h i k ( ).. Zstosownie dziłń n potęgch w rozwiązywniu równń wykłdniczych. Równnie wykłdnicze to równnie, którego niewidomą jest wykłdnik potęgi o dodtniej podstwie: np.. Chcąc rozwiązć równnie wykłdnicze lewą i prwą stronę równni przedstwimy w postci potęgi o tej smej podstwie nstępnie opuszczmy podstwy i porównujemy wykłdniki lewej i prwej strony równni. W ten sposób otrzymujemy równni z jedną niewidomą, których metodę rozwiązni poznliśmy wcześniej. Przykłd. + 8 by rozwiązć to równnie prwą stronę przedstwimy w postci potęgi liczby otrzymując równnie + postci:. Nstępnie porównujemy wykłdniki otrzymując równnie: +, którego rozwiązniem jest. Postępując nicznie rozwiąż równni: Przykłd. 8 chcąc rozwiązć to równnie lewą i prwą stronę + zpisujemy w postci potęgi o podstwie :, nstępnie wykonujemy dziłni n potęgch : + + dlej opuszczmy podstwy potęg otrzymując równnie: + +, które rozwiązujemy tk, jk równnie stopni pierwszego czyli przenosimy wyrzy z niewidomą n lewą stronę równni zś liczby n prwą stronę równni otrzymując:. Postępując nicznie rozwiąż równni:,

18 Przykłd.8 Rozwiązując tkie równnie zuwżmy, że lewą i prwą stronę równni możn zpisć w postci potęgi o podstwie orz, że przy mnożeniu potęg o tej smej podstwie wykłdniki dodjemy, więc równnie możn zpisć :. Ztem po porównniu wykłdników otrzymujemy równnie. Równnie to przeksztłcmy do postci i rozwiązujemy jk równnie kwdrtowe tzn. obliczmy deltę ( ) nstępnie i ( - ). Postępujące nicznie rozwiąż równni: :. 8 Ćwiczenie.8 Rozwiąż równni: ,, 8 +, - 8 -

19 Rozdził. Zostń mistrzem w dziłnich n rytmch.. Pojęcie rytmu z liczby dodtniej i ćwiczeni w ich obliczniu. Mjąc zdefiniowne potęgi o różnych wykłdnikch możn się zstnwić jk znleźć wykłdnik potęgi, gdy znmy wrtość tej potęgi orz jej podstwę. Szuknie wykłdnik potęgi o znnej podstwie nzywmy rytmowniem. Definicj : Logrytmem o dodtniej podstwie, różnej od, z dodtniej liczby b, nzywmy wykłdnik potęgi, do której nleży podnieść podstwę by otrzymć liczbę b. Definicję te zpisujemy symbolicznie nstępująco: > i i b > b b Przykłd. bo 8 bo 8,, bo,, bo bo,, bo, bo, bo 8 bo, bo, 8 bo bo bo, bo, bo, bo, bo 8 8 bo - -

20 bo bo bo bo,, bo,, bo bo. Uwg: Dl dowolnej liczby > i prwdziwe są równości: bo i bo. W przypdku, gdy obliczenie rytmu jest dość trudne możn postąpić nstępująco: bo otrzymne równnie wykłdnicze nstępnie rozwiązujemy więc ztem. Wobec tego. Ćwiczenie. Oblicz wrtości rytmów:,... 8, co ozncz, że.,...,...., 8....,.,. 8...,.. - -

21 . 8., , 8., , 8,,. Wykorzystując definicję rytmu możn obliczć potęgi, których b wykłdniki są rytmmi: b b b. Ten fkt wykorzystujemy w nstępujących przykłdch: 8 ( ) ( ) Ćwiczenie. Postępując nicznie oblicz podne potęgi:. Jeżeli podstwą rytmu jest liczb, to rytm nzywmy dziesiętnym i nie piszemy podstwy ( 8). Ztem,, -. Ćwiczenie. Oblicz:,,,. Ćwiczenie. Korzystjąc z informcji w przykłdzie, oblicz nicznie pozostłe przykłdy : ( liczymy njpierw wewnętrzny rytm) Oblicz: 8, Ćwiczenie. Oblicz : + 8,,+,. Ćwiczenie. Korzystjąc z definicji rytmu, oblicz. np.,,. - -

22 , + + +,. Ćwiczenie. Korzystjąc z definicji oblicz dodtnią różną od liczbę postępując jk w podnym przykłdzie ze względu n to, że >, więc.,. Ćwiczenie.8 Oblicz nicznie jk w przykłdzie: ,.. Twierdzeni o dziłnich n rytmch i ich zstosownie. Wykonując dziłni n rytmch stosujemy nstępujące twierdzenie. Twierdzenie: >,, >, y >, m R Logrytm iloczynu dwóch dowolnych liczb dodtnich jest równy sumie rytmów przy tej smej podstwie z obu czynników: y + y. Logrytm ilorzu liczb dodtnich jest równy różnicy rytmów dzielnej i dzielnik przy tej smej podstwie: y. y Logrytm potęgi liczby dodtniej o dowolnym wykłdniku jest równy iloczynowi wykłdnik tej potęgi przez rytm z podstwy potęgi przy tej smej podstwie m rytmu: m. Dość często trzeb również znć orz umieć zstosowć twierdzenie, które nzywne jest twierdzeniem o zminie podstw rytmu. Możn je zpisć w postci nstępującej formuły: b c c b - -

23 dl dowolnych liczb dodtnich,b, c i tkich, że i c. Zstosownie poniższych twierdzeń w obliczenich: + :,,8,, Ćwiczenie. Korzystjąc z podnych przykłdów, oblicz wrtości podnych niżej rytmów: , +, 8+, +,,+,+,, ,, 8,,,,, + +,,, 8,8,8,, ,, - -

24 . Ćwiczenie. Oblicz, korzystjąc z włsności rytmów: 8 8. Ćwiczenie. Postępując nicznie jk w podnym przykłdzie, oblicz : np. prwą stroną równości zstępujemy sumą rytmów korzystjąc z definicji i twierdzeni o rytmie potęgi i iloczynu:,,, Ćwiczenie. Oblicz b, gdy 8 i b. Ćwiczenie. Oblicz c,. bc, gdzie, b, i Ćwiczenie. Oblicz bc,jeżeli, b,, c,. Ćwiczenie. c. Oblicz b c, jeżeli i b i Ćwiczenie. Oblicz c. bc, jeżeli, b i - -

25 . Elementrne równni rytmiczne i metody ich rozwiązywni. Równnie rytmiczne, to równnie, w którym niewidom występuje pod znkiem rytmu tzn. jest wyrżeniem rytmownym lub podstwą rytmu. Równni tej postci rozwiązywne są z wykorzystniem definicji rytmu orz definicji i twierdzeń o rytmch. Przykłd. Rozwiąż równnie: ( ) przy złożeniu, że + >.Otrzymne rozwiąznie spełni wrunek ztem rozwiąznie to :. złożenie: > i równnie to jest równowżne równniu (ze względu n złożenie). Ćwiczenie. Rozwiąż równni:, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )., Rozdził. Zostń mistrzem plnimetrii. W tym rozdzile przypomnimy krótko czym zjmuje się geometri orz poznmy i zstosujemy podstwowe włsności figur płskich. W strożytnym Egipcie, gdzie wznoszono potężne budowle, sypno tmy i nwdnino grunty, istnił wiedz prktyczn, stosown przy wykonywniu różnych pomirów. Tę wiedzę przejęli od Egipcjn Grecy i nzwli ją geometrią. W kolejnych wiekch wiedzę te wzbogcili w III wieku p.n.e. Euklides zebrł dotychczsowe odkryci, uporządkowł i zpisł w dziele Elementy, w którym to dziele dł wykłd geometrii jko nuki bstrkcyjnej i dedukcyjnej. Fkt, że geometri jest nuką bstrkcyjną ozncz, że bdne figury geometryczne są wytworem ludzkiego umysłu, zś dedukcyjną to, że z pomocą podstwowych pojęć definiuje nstępne nowe pojęci geometrii i dowodzi ich włsności.. Pojęci podstwowe geometrii. Do podstwowych pojęć geometrii zwnych pojęcimi pierwotnymi czyli tkimi których nie definiujemy, nleżą pojęci punktu (oznczenie: A, B, C, ), prostej (oznczenie: l, p, k, ), płszczyzny. Innym podstwowym pojęciem jest pojęcie odległości punktów n płszczyźnie (oznczenie AB ). Włsności tych pojęć omwiją twierdzeni zwne ksjomtmi, czyli pewnikmi, których to twierdzeń nie dowodzi się jko oczywiste. I tk ksjomtmi są nstępujące twierdzeni: Do kżdej prostej nleży nieskończenie wiele punktów. - -

26 Przez dowolne dw różne punkty płszczyzny przechodzi dokłdnie jedn prost. Nstępnie omwimy wzjemne położenie prostych n płszczyźnie: proste mjące jeden punkt wspólny proste przecinjące się proste mjące nieskończenie wiele punktów wspólnych proste pokrywjące się proste nie mjące żdnego punktu wspólnego proste rozłączne. Dw osttnie położeni definiuje się jko proste równoległe i wprowdz oznczenie. Kolejnym zrzem fundmentlnym ksjomtem jest ksjomt zwny ksjomtem Euklides: Przez kżdy punkt płszczyzny przechodzi dokłdnie jedn prost równoległ do dnej prostej. Rodzinę wszystkich prostych równoległych do dnej nzywmy prostymi o tym smym kierunku. Jednym z njwżniejszych pojęć geometrii jest pojęcie odległości punktów: Kżdym dwom punktom A, B możn przyporządkowć liczbę zwną odległością punktów A i B oznczną AB spełnijącą nstępujące trzy wrunki: AB AB BA AC + CB AB ( wrunek ten nzywmy wrunkiem trójkąt). Pojęcie odległości punktów pozwl wprowdzić nowe definicje: okręgu i koł. Definicj: Okręgiem o środku S i promieniu r >, nzywmy zbiór wszystkich punktów płszczyzny, których odległość od punktu S jest równ promieniowi r. Kołem o środku S i promieniu r >, nzywmy zbiór wszystkich punktów płszczyzny, których odległość od środk S jest mniejsz lub równ promieniowi r. Koło umożliwi wprowdzenie pojęci figur ogrniczonych, czyli tych, które zwierją się w jkimś kole. Mjąc definicje okręgu możn również bdć ich wzjemne położenie orz wzjemne położenie okręgu i prostej. Nstępnymi pojęcimi, które wprowdzmy, to definicj półprostej, odcink i łmnej. Definicj: Zbiór wszystkich punktów prostej l leżących po jednej stronie punktu A wrz z punktem A, nzywmy półprostą o początku A. Odcinkiem o końcch A, B (oznczenie AB ) nzywmy zbiór wszystkich punktów prostej AB, które leżą między punktmi A i B. Odległość końców odcink nzywmy długością odcink i oznczmy AB AB. - -

27 Łmną nzywmy figurę geometryczną, któr jest sumą skończonej liczby odcinków tkich, że kżde dw kolejne mją wspólny koniec orz: - kżde dw kolejne odcinki i tylko dw kolejne odcinki mją wspólny koniec, - żdne dw nstępujące po sobie odcinki nie są zwrte w jednej prostej. Odcinki łmnej nzywmy jej bokmi sum długości jej boków to długość łmnej. Szczególnym przypdkiem jest łmn zwyczjn zmknięt. Definicje półprostej, łmnej pozwlją n zdefiniownie nowych brdzo wżnych pojęć kąt i wielokąt. Definicj: Kżdą z dwóch części płszczyzny otrzymnych przez jej rozcięcie wzdłuż dwóch półprostych o wspólnym początku, nzywmy kątem. Wspólny wierzchołek obu półprostych to wierzchołek kąt, zś te półproste to rmion kąt. Kąty przyległe Kąty wierzchołkowe Kąty nprzeminległe - -

28 Kąt wpisny Kąt środkowy Definicj: Wielokątem nzywmy figurę będącą sumą łmnej zwyczjnej zmkniętej i części płszczyzny ogrniczonej tą łmną. Boki łmnej to brzeg wielokąt zś długość łmnej jest obwodem tkiego wielokąt. Wielokąt jest wypukły wtedy, gdy odcinek łączący dowolne dw punkty tego wielokąt zwier się w tym wielokącie. α, γ kąty wewnętrzne γ, δ kąty zewnętrzne Przeksztłcenie geometryczne to kolejne pojęcie, które dobrze byłoby przypomnieć. Przeksztłcenie geometryczne n płszczyźnie to inczej funkcj, której rgumentmi i wrtościmi są punkty płszczyzny. Wrtości tkich funkcji nzywmy obrzmi punktów i tk, jeżeli przeksztłcenie geometryczne oznczymy przez F, to F(A) to obrz punktu A w przeksztłceniu F. Wżnymi przeksztłcenimi są przeksztłceni, w których odległość punktów i ich obrzów jest tk sm. Przeksztłceni te nzywmy izometrycznymi. Elementrnymi przeksztłcenimi izometrycznymi są: symetri osiow względem prostej k symetri środkow względem punktu przesunięcie o wektor orz obrót o kąt wokół punktu. Symetri osiow - 8 -

29 Symetrią osiową względem prostej k nzywmy tkiej przeksztłcenie płszczyzny, w którym obrzmi punktów prostej k są te sme punkty zś obrzmi pozostłych punktów płszczyzny są punkty, zwne symetrycznymi do dnych względem prostej k. (wyznczmy je z pomocą cyrkl) Figurę, której obrz względem pewnej prostej jest tą smą figurą nzywmy osiowosymetryczną tę prostą nzywmy osią symetrii figury. Oś symetrii prostej to prost do niej prostopdł. Odległość punktu od prostej, to odległość tego punktu od jego rzutu prostokątnego n dną prostą. Odległość A od prostej k Oś symetrii odcink nie przechodząc przez jego końce to symetrln odcink. Włsność punktów nleżących do symetrlnej: AK BK dl dowolnego punktu K nleżącego do symetrlnej odcink AB. - -

30 Dwusieczn kąt to półprost zwrt w osi symetrii kąt i jego wnętrzu. Punkty nleżące do dwusiecznej kąt są równoodległe od jego rmion. Symetrią środkową względem punktu S nzywmy tkie przeksztłcenie płszczyzny, w którym obrzem punktu S jest ten sm punkt zś obrzem dowolnego innego punktu płszczyzny A S jest tki punkt A, że S jest środkiem odcink AA. Figurę F nzywmy środkowo symetryczną wtedy, gdy w symetrii środkowej wzglądem punktu S obrzem figury F jest t sm figur. Przykłdmi figur środkowo symetrycznymi są: prost, odcinek, okrąg, koło. Trnslcj o wektor u lub przesunięcie równoległe o wektor u, to przeksztłcenie, które kżdemu punktowi płszczyzny A przyporządkowuje tki punkt A, że AA' u. Obrotem dookoł punktu O o kąt skierowny α nzywmy przeksztłcenie płszczyzny n płszczyznę, w którym punkt O jest stły, dowolnemu punktowi A przyporządkowuje punkt A', tki że OA OA' i kąt skierowny AOA' α. Punkt O nzywmy środkiem obrotu, kąt α kątem obrotu. - -

31 Figurę G nzywmy przystjącą do figury F wtedy, gdy możn je n siebie nłożyć tzn że istnieje przeksztłcenie izometryczne, w którym obrzem figury F jest figur G lub odwrotnie. Dl njprostszego wielokąt jkim jest trójkąt podjemy cechy przystwni czyli jkie wrunki powinny być spełnione, by dw trójkąty nzwć przystjącymi. I cech Jeżeli trzy boki jednego trójkąt są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąt, to trójkąty są przystjące. II cech Jeżeli dw boki i kąt między nimi zwrty jednego trójkąt są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi między nimi zwrtemu drugiego trójkąt, to trójkąty są przystjące. III cech Jeżeli długość boku i dw kąty do niego przyległe jednego trójkąt są odpowiednio równe długości boku i dwóm kątom do niego przyległym drugiego trójkąt, to trójkąty są przystjące. Chcąc przejść do wżnego twierdzeni Tles przypomnijmy pojęcie odcinków proporcjonlnych. Odcinki o długościch i b są proporcjonlne do odcinków o długościch c i d wtedy gdy :b c: d tzn. gdy ilorzy długości tych odcinków są równe. Twierdzenie Tles : prost AB l prost AC k prost BC prost DE b Jeśli proste l i k przecinjące się w punkcie A zostną przecięte prostymi i b równoległymi nie przechodzącymi przez punkt A, to odcinki wyznczone przez punkt A i proste, b n prostej l są proporcjonlne do odpowiednich odcinków wyznczonych przez punkt A i proste i b n prostej k. AB : AD AC : AE - -

32 Twierdzenie Tles możn rozszerzyć do postci: AD : AB AE : AC. Pondto prwdziwe są równości: AD : BD AE : EC. Dodtkowo jeśli zchodzi którś z podnych równości to prost DE i prost BC są równoległe. (twierdzenie odwrotne do tw. Tles) Mjąc do dyspozycji twierdzenie Tles możn określić przeksztłceni tkie jk jednokłdność i podobieństwo. Jednokłdnością o środku O i skli k nzywmy tkie przeksztłcenie płszczyzny, w którym obrzem punktu A jest tki punkt A, że OA' k OA Podobieństwem w skli k > nzywmy przeksztłcenie płszczyzny, w którym obrzem punktów A i B są tkie punkty A i B, że A B : AB k. Podobnie jk przy figurch przystjących mmy również cechy podobieństw trójkątów: I cech oznczn (BBB) Jeżeli boki jednego trójkąt są proporcjonlne do odpowiednich boków drugiego trójkąt, to trójkąty są podobne. II cech oznczn (KBK) Jeżeli miry dwóch kątów jednego trójkąt są równe mirom odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąt, to trójkąty są podobne. III cech oznczn (BKB) Jeżeli dw boki jednego trójkąt są proporcjonlne do dwóch boków drugiego trójkąt, kąty między nimi zwrte są przystjące, to trójkąty są podobne. - -

33 . Wzjemne położenie okręgów. Okręgi rozłączne zewnętrznie AB r r Okręgi styczne zewnętrznie AB r r Okręgi przecinjące się r r r r AB Okręgi styczne wewnętrznie AB r r Okręgi rozłączne wewnętrznie AB r r Okręgi współśrodkowe - -

34 Przykłd. Określ wzjemne położenie okręgu o środku A i promieniu r orz okręgu o środku B i promieniu R, gdy AB i ) r, R b) r, R c) r, R d) r, R. Chcąc określić wzjemne położenie tkich okręgów porównujemy odległość środków z sumą promieni i ich różnicą ( wrtość bezwzględn we wzorze pojwi się by nie pisć, że od większego promieni odejmujemy mniejszy).)r + r R r AB - okręgi są styczne wewnętrznie ( mją jeden punkt wspólny) b) R + r 8 R r więc AB < R + r orz AB > lub inczej < AB < 8 okręgi przecinją się (mją dw punkty wspólne) c) R + r AB okręgi styczne zewnętrznie d) R + r 8 r R AB > R + r okręgi rozłączne zewnętrznie. Ćwiczenie. Określ wzjemne położenie okręgów: o środku A i promieniu r i okręgu o środku B i promieniu R, mjąc dne : ) AB r, R b) AB, r,, R, c) AB 8 r -, R - d) AB r R. Przykłd. Dny jest okrąg o środku A i promieniu R orz okrąg o środku B i promieniu r. Podj liczbę punktów wspólnych tych okręgów w zleżności od r : AB R. Chcąc rozstrzygnąć ile jest punktów wspólnych obu okręgów rozwiązujemy wrunki: AB R + r czyli + r więc gdy r okręgi są styczne zewnętrznie AB R r więc r czyli r lub r - co ozncz, że r - (sprzeczność bo r > ) lub r. Ztem dl r okręgi są styczne wewnętrznie. Terz nlizujemy: gdy < r < okręgi się przecinją gdy < r < okręgi są rozłączne zewnętrznie gdy r > okręgi są rozłączne wewnętrznie. Nstępnie formułujemy odpowiedź: Okręgi mją jeden punkt wspólny gdy r lub r dl r ( ) okręgi mją dw punkty wspólne, zś dl r () lub r ( + ) okręgi nie mją punktów wspólnych. (Rozwiązując zdnie możn posłużyć się rysunkiem ). Ćwiczenie. Postępując nicznie jk w przykłdzie rozstrzygnij ile punktów wspólnych mją okręgi : o środku A i promieniu R i o środku B i promieniu r w zleżności od promieni r, mjąc dne: ) AB, i R b) AB i R 8 c) AB i R. Przykłd. Znjdź obwód trójkąt, którego wierzchołkmi są środki prmi zewnętrznie stycznych okręgów o promienich,,. - -

35 Chcąc znleźć obwód tkiego trójkąt po pierwsze wykonujemy rysunek, zpisujemy długości promieni i odliczmy długości boków trójkąt. AB + AC + BC + więc obwód to AB + AC + BC ++ Odp. Obwód trójkąt wynosi.. Ćwiczenie. ) Postępując nicznie oblicz obwód trójkąt, którego wierzchołkmi są środki prmi zewnętrznie styczne okręgi o promienich:,,. b) Trzy okręgi o środkch O, P, S są prmi styczne zewnętrznie, przy czym OP 8, PS i OS. Znjdź promienie tych okręgów.. Wzjemne położenie okręgu i prostej. Prost i okrąg mją dw punkty wspólne - prost przecin okrąg - prostą nzywmy sieczną. Odległość środk S okręgu od prostej PS jest mniejsz niż promień r okręgu < PS < r Prost i okrąg mją jeden punkt wspólny prost jest styczn do okręgu i nzywmy ją styczną zś punkt wspólny punktem styczności. Odległość środk okręgu S od prostej PS jest równ promieniowi r tego okręgu. PS r - -

36 Prost i okrąg nie mją punktów wspólnych prost jest rozłączn z okręgiem. Odległość środk S okręgu od prostej jest większ od promieni r tego okręgu. PS > r Ćwiczenie. Określ wzjemne położenie okręgu o środku S i promieniu r i prostej k, gdy : ) r odległość środk okręgu od prostej k b) r, odległość środk okręgu od prostej k, c) r odległość środk od prostej k. Przykłd. Prost przecin okrąg o środku S i promieniu dwóch punktch A i B. Oblicz odległość tej prostej od środk S, gdy AB. Chcąc rozwiązć tkie zdnie wykonujemy rysunek i zznczmy n nim poszczególne punktu czyli S, A, B orz rzut prostokątny S n prostą k P. Trójkąt ABS jest trójkątem równormiennym o rmionch i podstwie. Szukny odcinek PS dzieli trójkąt n dw trójkąty prostokątne o przyprostokątnej AP BP 8. Z twierdzeni Pitgors wynik równość: r AP PS. 8 PS więc PS Odpowiedź: Odległość środk S od prostej k, to PS. czyli PS Ćwiczenie. Prost przecin okrąg o środku S i promieniu dwóch punktch A i B. Oblicz odległość tej prostej od środk S, gdy AB. Przykłd. Przez punkt M poprowdzono prostą styczną do okręgu o promieniu cm. Odległość punktu M od środk S okręgu wynosi cm. Oblicz odległość punktu M od punktu styczności. Rozwiąznie zdni rozpoczynmy od wykonni rysunku i wprowdzeni n nim odpowiednich oznczeń wynikjących z treści zdni. - -

37 Promień poprowdzony do punktu styczności jest prostopdły do prostej stycznej wobec tego otrzymujemy trójkąt prostokątny MPS, w którym możn stosowć twierdzenie Pitgors. Ztem MS MP PS czyli MP więc MP MP cm. Odpowiedź. Odległość punktu M od punktu styczności jest równ cm. Postępując nicznie rozwiąż nstępne ćwiczenie. Ćwiczenie. Przez punkt R poprowdzono prostą styczną do okręgu o promieniu cm. Odległość punktu R od środk okręgu wynosi cm. Oblicz odległość punktu R od punktu styczności. Przykłd. Okrąg o promieniu cm jest styczny zewnętrznie do okręgu o promieniu cm. Poprowdzono prostą styczną do obu okręgów nie przechodzącą przez punkt wspólny obu okręgów. Oblicz odległość między punktmi styczności. Rozwiązując zdnie rozpoczynmy od rysunku, n którym zznczmy informcje z treści zdni. Z twierdzeni Pitgors wynik nstępując równość: AB AC BC 8 BC Zuwżmy, że czworokąt AA B B jest trpezem, bo AA i BB są prostopdłe do prostej stycznej więc są do siebie równoległe. AB + 8. Trójkąt ABC gdzie C jest rzutem prostokątnym B n AA jest trójkątem prostokątnym, w którym AC. podstwijąc do tego wzoru otrzymujemy: ztem BC czyli BC BC B A. Odpowiedź: Odległość punktów styczności wynosi. Postępując nicznie rozwiąż zdnie: Dne są dw okręgi styczne zewnętrznie. Poprowdzono prostą styczną do tych okręgów nie przechodzącą przez ich punkt wspólny. Oblicz odległość punktów styczności wiedząc, że promienie tych okręgów są równe: r cm, R 8cm. Okrąg styczny do wszystkich boków wielokąt wypukłego nzywmy okręgiem wpisnym w wielokąt wypukły. Wyznczjąc środek okręgu wpisnego - -

38 w wielokąt wypukły wyznczmy dwusieczne kątów wewnętrznych i szukmy ich punktu przecięci. Wielokąt nzywmy wówczs opisnym n okręgu. Ćwiczenie. Wyzncz okrąg wpisny w dowolny trójkąt (grficznie). (nszkicuj dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąt). Kąty w okręgu. Rozróżnimy dw rodzje kątów: kąty środkowe i wpisne. Kąty środkowe to kąty, których wierzchołkiem jest środek okręgu. Kąty wpisne to których wierzchołkiem jest dowolny punkt okręgu rmion kąt to półproste zwierjące cięciwy tego okręgu. Kąty wpisne oprte n tym smym łuku są równe. Kąt wpisny oprty n tym smym łuku co kąt środkowy, jest dw rzy mniejszy od kąt środkowego. Kąt wpisny oprty n półokręgu to kąt prosty. Ćwiczenie. Wyzncz mirę kąt α. Ćwiczenie.8 Podj miry kątów α, β. Ćwiczenie. N rysunkch poniżej okręgi zostły podzielone zznczonymi punktmi n równe części. Podj mirę zznczonego kąt

39 Przykłd. Trzy punkty A, B, C dzielą okrąg n trzy łuki o stosunku długości : :. Wyzncz miry kątów wewnętrznych trójkąt ABC. Rozwiąznie rozpoczynmy od dodni liczb + + i zuwżenie, że możn okrąg podzielić n równych części i odpowiednio dobrć punkty A, B, C by spełniły podny wrunek. Jednej dwunstej części okręgu odpowid kąt środkowy równy :. Trzem częściom odpowid więc kąt środkowy kąt wpisny oprty n tym łuku m mirę. Czterem częściom odpowid kąt środkowy ztem kąt wpisny oprty n tym łuku m mirę. Pięciu częściom odpowid kąt środkowy ztem kąt wpisny m mirę. Oczywiście trzeci kt możn obliczyć wykorzystując fkt że sum kątów w trójkącie wynosi8. Odpowiedź: Kąty wewnętrzne trójkąt ABC wynoszą, i. Ćwiczenie. N okręgu obrno punkty A, B, C, D, które podzieliły okrąg n części w stosunku : : :. Oblicz mirę kątów wewnętrznych czworokąt ABCD. Kąt między styczną cięciwą okręgu poprowdzoną z punktu styczności jest równy kątowi wpisnemu oprtemu n łuku wyznczonym przez końce tej cięciwy. Ćwiczenie. Kąt między cięciwą AB styczną do okręgu w punkcie A (zobcz rysunek) m mirę. Wyzncz mirę kąt środkowego ASB gdzie S jest środkiem okręgu. Ćwiczenie. Kąt między cięciwą AB i prostą styczną do okręgu poprowdzoną w punkcie A wynosi 8. Znjdź miry kątów wpisnego i środkowego oprtych n łuku wyznczonym przez cięciwę AB. Ćwiczenie. Kąt wpisny i środkowy są oprte n tym smym łuku. Wyzncz miry tych kątów wiedząc, że sum ich mir wynosi. - -

40 Ćwiczenie. Ostrokątny trójkąt równormienny ABC o podstwie AB, jest wpisny w okrąg o środku S. Wyzncz miry kątów trójkąt ABC, wiedząc, że kąt ASB m mirę. Ćwiczenie. Ostrokątny trójkąt równormienny ABC jest wpisny w okrąg o środku S. Mir kąt SAB. Oblicz miry któw trójkąt ABC. Ćwiczenie. W okręgu o środku S poprowdzono cięciwę AB. Jeden z kątów trójkąt SAB m mirę.wyzncz mirę kąt zwrtego między cięciwą AB styczną do okręgu poprowdzoną w punkcie A. Ćwiczenie. W okręgu o promieniu cm poprowdzono cięciwę AB. Długość łuku wyznczonego przez tą cięciwę wynosi.wyzncz mirę kąt zwrtego między cięciwą AB styczną do okręgu poprowdzoną w punkcie B. Wielokąt nzywmy wpisnym w okrąg, jeśli wszystkie wierzchołki tego wielokąt nleżą do okręgu. O okręgu mówimy wówczs, że jest opisnym n wielokącie. Kżdy bok wielokąt wpisnego w okrąg jest cięciwą okręgu zś kżdy kąt wielokąt jest kątem wpisnym w ten okrąg. Ćwiczenie.8 Nszkicuj trójkąt i wyzncz okrąg opisny n tym trójkącie.(nszkicuj symetrlne boków trójkąt) Ćwiczenie. Oblicz, ile stopni m kąt wewnętrzny: ) ośmiokąt foremnego b) pięciokąt foremnego c) dwunstokąt foremnego. Sprwdź, czy n mirę kąt wewnętrznego n- kąt foremnego możn wyrzić wzorem: 8. n. Pole koł. Pole koł o promieniu r > wyrż się wzorem: - - P r. Pole części koł odpowidjącej kątowi środkowemu α (wycinek kołowy) P r. Ćwiczenie. Oblicz pole koł o promieniu ) r cm b) r 8. Ćwiczenie. Oblicz pole koł opisnego n trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych cm i 8cm. Ćwiczenie. Cięciwy AB i BC okręgu mją długości AB i BC 8.Cięciw AC jest średnicą okręgu. Oblicz pole koł ogrniczonego tym okręgiem. Ćwiczenie. Jk zmieni się pole koł o promieniu cm, gdy promień : ) zwiększymy o cm b) zwiększymy trzykrotnie. Ćwiczenie. Oblicz pole części koł odpowidjącej kątowi środkowemu o mierze: ) b) c) d) i promieniu cm.

41 . Włsności trójkątów i ich zstosownie w obliczniu pól trójkątów. Sum kątów wewnętrznych trójkąt wynosi 8 : α + β + γ 8 Obwód trójkąt + b + c Długość dowolnego boku trójkąt jest mniejsz od sumy dwóch pozostłych długości boków. Z odcinków o długościch, b, c możn zbudowć trójkąt wtedy, gdy b < c < + b. Dwusieczne kątów trójkąt przecinją się w jednym punkcie,. który jest równooddlony od boków trójkąt ztem jest środkiem okręgu wpisnego. Promień okręgu wpisnego w trójkąt oznczmy - r. Symetrlne boków trójkąt przecinją się w jednym punkcie, który jest równooddlony od wierzchołków trójkąt ztem jest środkiem okręgu opisnego n tym trójkącie. Promień okręgu opisnego n trójkącie oznczmy R. Wysokości w trójkącie czyli odcinki łączące wierzchołek trójkąt z jego rzutem prostokątnym n przeciwległy bok, przecinją się w jednym punkcie. Punkt ten nzyw się ortocentrum. - -

42 Środkowe w trójkącie czyli odcinki łączące wierzchołek trójkąt ze środkiem przeciwległego boku, przecinją się w jednym punkcie który jest środkiem ciężkości trójkąt. Punkt ten dzieli środkową w stosunku : licząc od wierzchołk trójkąt. W trójkącie prostokątnym długości boków spełniją twierdzenie Pitgors: Sum kwdrtów przyprostokątnych jest równ kwdrtowi przeciwprostokątnej b c. Sum kątów ostrych jest równ. Dwie wysokości trójkąt to przyprostokątne zś trzeci wysokość opuszczon jest n przeciwprostokątną i wówczs zchodzi nstępując zleżność: h y, gdzie + y c. Przeciwprostokątn jest średnicą okręgu opisnego n trójkącie. W trójkącie równobocznym symetrlne boków, dwusieczne kątów, wysokości i środkowe pokrywją się więc środek okręgu wpisnego jest jednocześnie środkiem okręgu opisnego n trójkącie orz promień okręgu opisnego jest dw rzy większy od promieni okręgu wpisnego: R r. Wykorzystując twierdzenie Pitgors możn wyprowdzić wzór n wysokość trójkąt równobocznego, R i r. Pole trójkąt wyrż się wzorem: W trójkącie prostokątnym definiujemy funkcje trygonometryczne kąt ostrego: sin c h H R + r b cos tg c R b r - -

43 P h bhb chc P bcsin csin bsin b c P r gdzie r to promień okręgu wpisnego w trójkąt b c P gdzie R to promień okręgu opisnego n trójkącie R P p ( p ) ( p b) ( p c) wzór Heron gdzie b c p. Przykłd.8 Sprwdź, czy istnieje trójkąt o bokch długości:,,. Jeżeli tk to oblicz jego pole, długości wysokości, sinus kąt leżącego nprzeciw njwiększego boku, długość promieni okręgu wpisnego w ten trójkąt i długość okręgu opisnego n tym trójkącie. Znjdź pole pierścieni ogrniczonego przez okręgiem wpisnym i opisnym n trójkącie. Sprwdzjąc czy istnieje trójkąt o tkich bokch bdmy wrunek trójkąt: ( > i < + ) i ( > i < + ) i ( > i < + ). Ztem tki trójkąt istnieje. Obliczjąc pole trójkąt korzystmy ze wzory Heron bo znmy długości jego boków więc njpierw obliczmy jego obwód: Dlej p, 8 ztem podstwijąc do wzoru Heron otrzymujemy: P ( ) ( ) ( ). Mjąc wyliczone pole przystępujemy do dlszych obliczeń. I tk przeksztłcjąc wzór n pole P h wyznczmy wysokość opuszczoną n kżdy bok: P P P h hb hc. h, h b b c h c. Chcąc obliczyć sinus kąt leżącego nprzeciw boku o długości, P korzystmy ze wzoru P bcsin sin wobec tego bc sin. Pozostło wyznczyć promienie okręgu wpisnego i opisnego. Oczywiście do tego wykorzystmy pozostłe wzory n pole trójkąt : b c P bc bc P r r P R. Ztem b c R P r, R. Pole pierścieni 8 - -

44 ogrniczonego tymi okręgmi obliczymy: P R r ( R r ). P ( ). 88 Ćwiczenie. Kąt przy wierzchołku trójkąt równormiennego wynosi Oblicz miry kątów przy podstwie tego trójkąt.. Ćwiczenie. Oblicz miry kątów w trójkącie, jeżeli ich wzjemny stosunek wynosi : :. Ćwiczenie. Wykż, że w trójkącie prostokątnym sum kwdrtów sinusów mir wszystkich jego kątów wewnętrznych równ się. Ćwiczenie.8 W trójkącie równormiennym ABC gdzie AC BC poprowdzono dwusieczną AD. Wiedząc, że ADB oblicz miry kątów wewnętrznych trójkąt ABC. Ćwiczenie. Sprwdź, czy możn zbudowć trójkąt z odcinków o długościch: ),, b),,. Ćwiczenie. Oblicz pole trójkąt mjąc dne: ) długość boku b cm i wysokość opuszczoną n ten bok h cm b) dw boki cm i cm orz kąt leżący między nimi równy c) długości boków tego trójkąt cm, bcm i c cm. Ćwiczenie. Oblicz pole trójkąt równormiennego o kącie przy wierzchołku i rmieniu 8cm. Ćwiczenie. Oblicz pole trójkąt równormiennego ABC wiedząc, że AC BC cm zś podstw AB cm.wyzncz sinus kąt przy wierzchołku C tego trójkąt orz sinus kąt przy podstwie AB. Ćwiczenie. Oblicz pole i wyzncz wysokości trójkąt o bokch,,. Oblicz promień okręgu wpisnego w ten trójkąt. Oblicz promień okręgu opisnego n tym trójkącie. Ćwiczenie. Wyzncz wzór n pole trójkąt równobocznego o boku > i oblicz pole gdy cm. Ćwiczenie. Wyzncz pole trójkąt równobocznego o wysokości cm. Oblicz pole koł wpisnego w ten trójkąt i pole koł opisnego n tym trójkącie. Oblicz pole trójkąt równobocznego, którego promień okręgu wpisnego jest równy cm. Oblicz pole trójkąt równobocznego, którego promień okręgu opisnego wynosi cm. Ćwiczenie. N okręgu o promieniu cm opisno trójkąt równormienny o kącie przy wierzchołku równym. Oblicz długości boków trójkąt orz jego pole. - -

45 Ćwiczenie. N okręgu o promieniu cm opisno trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości cm. Oblicz długości przyprostokątnych orz pole tego trójkąt. Ćwiczenie.8 W trójkąt prostokąty ABC ( ACB ) wpisno okrąg. Punkt styczności okręgu z przeciwprostokątną D dzieli ją n odcinki o długościch: AD cm, BD cm. Oblicz długość promieni tego okręgu. Ćwiczenie. ) Boki trójkąt równobocznego wydłużono o %. O ile procent wzrosło pole trójkąt? b) O ile procent nleży wydłużyć boki trójkąt równobocznego, by jego pole wzrosło o %? Ćwiczenie. Dziłkę budowlną w ksztłci trójkąt równormiennego o bokch m, m i m, podzielono n dwie części o równych polch płotem równoległym do podstwy trójkąt. Oblicz z dokłdnością do m obwód kżdej z otrzymnych dziłek. Ćwiczenie. W trójkącie równormiennym kąt przy podstwie m mirę zś jego obwód wynosi cm. Oblicz pole tego trójkąt. Ćwiczenie. Njdłuższy bok trójkąt m długość cm, miry jego kątów są w stosunku : :. Oblicz pole tego trójkąt. Znjdź pole koł opisnego n tym trójkącie. Ćwiczenie. Przyprostokątn trójkąt prostokątnego jest równ,cm jego obwód wynosi cm. Oblicz długości pozostłych boków tego trójkąt orz jego pole. Znjdź promień i pole okręgu wpisnego w ten trójkąt.. Włsności czworokątów i ich zstosownie w obliczniu pól czworokątów. Czworokątmi nzywmy wielokąty o czterech bokch i czterech kątch wewnętrznych. Wśród czworokątów wyróżnimy te, które są wypukłe i te, które nie są wielokątmi wypukłymi. Wielokąt nzywmy wypukłym, gdy odcinek łączący dowolne dw punkty tej figury jest w niej zwrty. Czworokąt nie będący figurą wypukłą czworokąt wklęsły. Czworokąt wypukły i jego przekątne. Wszystkie czworokąty wypukłe dzielimy nstępująco :trpezoidy, trpezy, równoległoboki, romby, prostokąty i kwdrty. - -

46 Deltoidy to czworokąty wypukłe posidjące jedną oś symetrii zwrtą w jednej z przekątnych. BF DF P AC AC BD BD Trpezy to czworokąty wypukłe posidjące przynjmniej jedną prę boków równoległych. Boki równoległe nzywmy podstwmi trpezu zś ich odległość (długość odcink prostopdłego do nich) nzywmy wysokością trpezu. Nierównoległe boki trpezu nzywmy jego bokmi. Odcinek łączący środki rmion trpezu nzywmy jego środkową zś jej długość jest równ średniej rytmetycznej podstw trpezu. Trpez nzywmy prostokątnym, gdy rmię jest prostopdłe do podstw b b równormiennym gdy są rmion są l P h równe. Równoległoboki to czworokąty posidjące dwie pry boków równoległych. Przeciwległe boki są równe i równoległe. Przeciwległe kąty są równe. Sum kątów przyległych do boku jest równ 8. Przekątne przecinją się w punkcie, który jest ich środkiem. Obwód równoległoboku + b Rombem nzywmy równoległobok, którego wszystkie boki są równe. Przekątne rombu są prostopdłe do siebie i przecinją się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisnego w romb. Obwód rombu P h sin d d P h b h b bsin - -

47 Prostokąty to równoległoboki, których wszystkie kąty są równe i wynoszą.przekątne przecinją się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisnego n prostokącie. Obwód prostokąt + b. P b. Równoległobok, którego wszystkie boki i kąty są równe, to kwdrt. W kżdy kwdrt możn wpisć okrąg i możn n nim opisć okrąg. d R d r Jeżeli n dowolnym okręgu obierzemy cztery różne punkty i połączymy je kolejno odcinkmi, to otrzymmy czworokąt wpisny w okrąg. Fkt ten zpisujemy w postci wrunku: Czworokąt możn wpisć w okrąg wtedy, gdy sum przeciwległych kątów wynosi 8.(Symetrlne boków muszą przecinć się w jednym punkcie). Jeżeli n okręgu obierzemy dowolne cztery punkty i poprowdzimy w nich proste styczne, to wyznczą one czworokąt opisny n okręgu. Fkt ten zpisujemy w postci wrunku: Czworokąt możn opisć n okręgu wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe. (Dwusieczne kątów wewnętrznych przecinją się w jednym punkcie). 8 + c b + d Ćwiczenie. ) Oblicz pole kwdrtu o przekątnej długości dm. b) Oblicz pole kwdrtu wiedząc, że promień koł wpisnego jest równy cm. c) Oblicz pole koł opisnego n kwdrcie o polu. d) Oblicz pole koł wpisnego w kwdrt o polu 8. Ćwiczenie. Wykż, że pole koł opisnego n kwdrcie jest dw rzy większe od pol koł wpisnego w ten kwdrt. Ćwiczenie. Pole koł opisnego n kwdrcie jest równe 8π. Oblicz pole kwdrtu i pole koł wpisnego w ten kwdrt. Przykłd. Wysokość rombu o obwodzie cm, jest dw rzy mniejsz od długości jego boku. Oblicz pole tego rombu. Rozwiąznie: Szkicujemy romb - -

48 oznczjąc długość boku przez orz wysokość h. Dobrze jest zpisć iż > orz h >. Z treści zdni wynik, że ztem orz h czyli h. Stąd P h P P Odpowiedź: Pole rombu wynosi cm.korzystjąc z przykłdu rozwiąż zdnie: Ćwiczenie. Wysokość rombu o obwodzie cm, jest dw rzy mniejsz od długości jego boku. Oblicz pole tego rombu. Ćwiczenie.8 Pole rombu wynosi, jedn przekątnych m długość 8. Oblicz długość boku i wysokość rombu. Ćwiczenie. Oblicz pole rombu o boku 8cm i kącie ostrym równym Oblicz promień okręgu wpisnego w ten romb. Ćwiczenie. Dny jest romb o kącie ostrym i krótszej przekątnej długości cm. Znjdź : ) pole rombu, b) długość wysokości rombu, c) długość drugiej przekątnej rombu, d) pole koł wpisnego w ten romb. Ćwiczenie. Pole rombu, którego przekątne różnią się od siebie o, jest równe. Oblicz długość boku rombu. Ćwiczenie. Ilorz długości boków prostokąt jest równy :. Oblicz jego pole wiedząc, że obwód jest równy cm. Ćwiczenie. Pole koł opisnego n prostokącie wynosi π. Jeden z boków prostokąt jest trzy rzy dłuższy od drugiego. Oblicz obwód tego prostokąt. Ćwiczenie. Oblicz obwód i pole prostokąt, którego przekątn m długość cm krótszy bok wynosi cm. Ćwiczenie. Przekątn prostokąt m długość 8cm i tworzy z dłuższym bokiem kąt. Oblicz jego obwód i pole. Ćwiczenie. Przekątne prostokąt mją długość cm i przecinją się pod kątem. Oblicz obwód i pole prostokąt. Ćwiczenie. N prostokącie, w którym długości boków są w stosunku :, opisno okrąg o promieniu.oblicz obwód i pole tego prostokąt. Ćwiczenie.8 Powierzchni prostokątnej dziłki budowlnej równ się. Oblicz wymiry tej dziłki wiedząc, że różnią się one o m. m Ćwiczenie. W prostokącie połączono środki sąsiednich boków i otrzymno romb, którego obwód jest równy, pole. Oblicz długości boków prostokąt. Ćwiczenie. W prostokącie różnic odległości punktu przecięci się przekątnych od boków równ się, obwód prostokąt jest równy 8. Oblicz pole tego prostokąt. Ćwiczenie. Pństwo Kmińscy kupili prostokątną dziłkę pod budowę domu i ogrodzili ją. Zmówili metlową brmę o szerokości m i furtkę o szerokości m

49 N pozostłą część zużyli m sitki. Oblicz ) wymiry dziłki, wiedząc, że stosunek sąsiednich boków dziłki jest równy :. b) obwód dziłki. Ćwiczenie. Oblicz pole równoległoboku o bokch długości cm i dm orz kącie ostrym o mierze. Ćwiczenie. Boki równoległoboku mją długości cm i cm, kąt ostry m mirę α. Oblicz pole tego równoległoboku, jeżeli: ) sin b) cos. Ćwiczenie. Oblicz pole równoległoboku o boku cm i wysokości opuszczonej n ten bok równej cm. Ćwiczenie. Oblicz obie wysokości równoległoboku, wiedząc, że boki tego równoległoboku mją długości 8 orz jego pole jest równe. Ćwiczenie. Odległość punktu przecięci przekątnych równoległoboku od boku o długości cm wynosi cm. Oblicz pole i obwód tego równoległoboku. Ćwiczenie. Kąt rozwrty równoległoboku m mirę.odległości punktów przecięci przekątnych od jego boków są równe i. Oblicz pole i obwód tego równoległoboku. Ćwiczenie.8 Oblicz obwód równoległoboku o pole długości cm i 8cm. 8cm i wysokościch Ćwiczenie. Oblicz obwód i pole trpezu równormiennego, w którym podstwy mją długość 8cm i cm zś rmię cm. Ćwiczenie. W trpezie równormiennym podstwy mją długości cm i cm zś kąt ostry m mirę. Oblicz pole i obwód tego trpezu. Ćwiczenie. Oblicz pole trpezu równormiennego, gdy: ) kąt między przekątną długości 8cm dłuższą podstwą długości cm wynosi b) przekątne przecinją się pod kątem podstwy mją długości i c) punkt przecięci prostopdłych do siebie przekątnych, dzieli przekątną n odcinki długości cm i cm. Ćwiczenie. W trpezie równormiennym krótsz podstw i wysokość mją długość równą 8cm zś rmię cm. Oblicz obwód i pole trpezu. Ćwiczenie. W trpezie prostokątny o wysokości cm kąt ostry m mirę. Oblicz pole i obwód tego trpezu. cm i dłuższej podstwie Ćwiczenie. W trpezie prostokątnym krótsz przekątn dzieli go n trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższ podstw trpezu jest równ. Oblicz obwód i pole tego trpezu. - -

50 Ćwiczenie. Trpez równormienny ABCD jest wpisny w okrąg o promieniu cm. Podstwy AB i CD tego trpezu mją odpowiednio długości cm i cm. Oblicz obwód i pole trpezu. Ćwiczenie. Dłuższe rmię trpezu m długość, ntomist krótsz przekątn dzieli go n dw trójkąty prostokątne równormienne. Oblicz obwód i pole tego trpezu. Ćwiczenie. W trpezie ABCD: podstw AB cm zś AD BC CD cm. Oblicz obwód i pole trpezu. Ćwiczenie.8 W trpezie równormiennym przekątn długości cm tworzy z dłuższą podstwą kąt i jest prostopdł do rmieni tego trpezu. Oblicz obwód i pole tego trpezu. Ćwiczenie. Dny jest trpez równormienny, w którym długość krótszej podstwy jest równ długości rmion dłuższ podstw trpezu jest od nich dw rzy większ. Oblicz: ) kąt ostry tego trpezu b) kąt pod jkim przecinją się przekątne tego trpezu. Ćwiczenie.8 Długości podstw trpezu są równe cm i cm. Kąty ostre tego trpezu mją miry i. Oblicz długość wysokości trpezu orz jego pole. Ćwiczenie.8 Podstwy trpezu mją długości cm i cm zś rmion tworzą z dłuższą podstwą kąty o mierze i. Oblicz obwód i pole tego trpezu. Ćwiczenie.8 W deltoidzie przeciwległe kąty wynoszą i pole deltoidu, jeśli krótsz przekątn m długość cm. i.oblicz obwód Ćwiczenie.8 Oblicz obwód i pole deltoidu, w którym punkt przecięci przekątnych dzieli je n odcinki o długościch cm, cm orz cm i cm. Ćwiczenie.8 Obwód czworokąt wypukłego ABCD jest równy cm. Obwód trójkąt ABD jest równy cm, obwód trójkąt BCD jest równy cm. Oblicz długość przekątnej BD. Ćwiczenie.8 Liczb przekątnych wielokąt wypukłego, w którym jest n boków n( n ) ( n ) wyrż się wzorem:. ) Ile przekątnych m dwudziestokąt. b) Ile boków m wielokąt, w którym liczb przekątnych jest pięć rzy większ od liczby boków? Ćwiczenie.8 ) Oblicz pole sześciokąt foremnego o boku długości 8cm. b) Pole koł opisnego n sześciokącie foremnym wynosi. Oblicz pole sześciokąt. c) Pole koł wpisnego w sześciokąt foremny wynosi. Oblicz długość boku sześciokąt. d) N sześciokącie foremnym opisno okrąg i w ten sześciokąt wpisno okrąg. Pole otrzymnego pierścieni wynosi. Oblicz pole tego sześciokąt. - -

51 Ćwiczenie.8 W sześciokącie foremnym połączono środki sąsiednich boków otrzymując sześciokąt foremny. Oblicz stosunek pol otrzymnego w ten sposób sześciokąt do pol wyjściowego sześciokąt. Ćwiczenie.88 W sześciokącie foremnym o boku cm połączono co drugi wierzchołek. Oblicz pole i obwód otrzymnego trójkąt. Wyzncz pole koł wpisnego w ten trójkąt...8 Zdni krótkiej i rozszerzonej odpowiedzi. Ćwiczenie.8 Dny jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i 8. Oblicz długość środkowej poprowdzonej z wierzchołk kąt prostego. Ćwiczenie. Jeden z kątów trójkąt prostokątnego m mirę przeciwprostokątn m długość. oblicz długości przyprostokątnych., Ćwiczenie. Jedn z przyprostokątnych trójkąt prostokątnego m długość cm. Oblicz obwód tego trójkąt, jeśli promień okręgu wpisnego w ten trójkąt jest równy. Ćwiczenie. Pole trójkąt prostokątnego jest równe, promień okręgu opisnego n tym trójkącie wynosi. Oblicz wysokość trójkąt opuszczoną n przeciwprostokątną. Ćwiczenie. W okrąg o promieniu wpisno trójkąt równormienny rozwrtokątny o podstwie. Oblicz wysokość tego trójkąt opuszczoną n jego podstwę. Ćwiczenie. W trójkącie równormiennym rmię o długości cm jest nchylone do podstwy pod kątem. Oblicz pole tego trójkąt. Ćwiczenie. N kwdrcie o boku opisno okrąg. Oblicz pole kwdrtu opisnego n tym okręgu. Ćwiczenie. Punkt E leży n rmieniu BC trpezu ABCD, w którym AB CD. Udowodnij, że AED BAE CDE. Ćwiczenie. Rmion trpezu mją długości i, jego wysokość jest równ. Oblicz pole tego trpezu wiedząc, że jego obwód jest równy. Ćwiczenie.8 Wysokość trpezu jest równ cm, dłuższ podstw jest równ cm. Punkt przecięci przekątnych dzieli kżdą z nich w stosunku :. Oblicz pole trpezu. Ćwiczenie. Obwód rombu jest równy cm. Oblicz pole rombu wiedząc, że jedn z jego przekątnych jest równ bokowi. Ćwiczenie. Pole równoległoboku jest równe, jeden z jego boków m długość. Oblicz długość drugiego boku, jeśli kąt ostry równoległoboku m mirę. - -