APROKSYMACJA CZASU TRWANIA ŻYCIA W POPULACJACH NIEJEDNORODNYCH

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE WSOWL Nr ISSN Stansława OSTASIEWICZ APROKSYMACJA CZASU TRWANIA ŻYCIA W POPULACJACH NIEJEDNORODNYCH W demograf jak też naukach aktuaralnych od dawna trwa dyskusja na temat tego, czy stneje unwersalne prawo opsujące proces wymerana populacj. Od welu lat czynone są próby znalezena takego prawa. Mmo że proponowano wele funkcj żadna z nch ne opsuje wystarczająco dokładne rozkładu emprycznego. Trudność tkw w tym, że populacja ludzka jest nejednorodna do opsu umeralnośc trzeba stosować meszankę różnych rozkładów. W pracy przedstawona jest próba opsana długośc życa populacj mężczyzn polskch w roku 9 za pomocą meszank rozkładów Gompertza, Webula, gamma lognormalnego. Parametry rozkładów oraz wag meszank wyznaczone będą metodą mnmum ch-kwadrat. Słowa klucze: model trwane życa, śmertelność, mężczyźn, meszanka rozkładów, nejednorodność WSTĘP Podstawową welkoścą w analze przeżyca jest czas, jak upływa do momentu śmerc jednostk. Welkość ta jest neujemną zmenną losową, którą zwykle oznacza sę symbolem T, gdze jest wekem osoby charakteryzuje sę ją za pomocą dystrybuanty: F t t = P T + t T > F t = P T 1 Wartość dystrybuanty F t w punkce t oznacza prawdopodobeństwo, że osoba w weku przeżyje ne węcej nż t lat. Inną charakterystyką zmennej losowej T jest funkcja gęstośc, która z dystrybuantą zwązana jest następująco: f t = F ' t dr hab. Stansława OSTASIEWICZ, prof. nadzw. WSOWL Wydzał Zarządzana Wyższej Szkoły Ofcerskej Wojsk Lądowych

2 APROKSYMACJA CZASU TRWANIA ŻYCIA W POPULACJACH NIEJEDNORODNYCH F t oznacza pochodną funkcj F t. Do charakteryzowana czasu życa wykorzystuje sę równeż funkcję przeżyca S t, określoną w następujący sposób: S t t = P T > + t T > = 1 F 3 Podstawowym narzędzem analzy czasu przeżyca jest funkcja ntensywnośc, która wyraża sę następującym wzorem: f t d µ t = ln S t 4 S t dt Funkcja ntensywnośc w sposób jednoznaczny wyznacza funkcję gęstośc dystrybuantę zmennej losowej T. Wzór 4 można też zapsać następująco: t S t = ep µ s ds 5 Funkcja ntensywnośc może być nterpretowana jako łatwość zgonu w chwl t na jednostkę czasu pod warunkem dożyca do chwl t, przyjmuje ona wartośc z przedzału,. W prezentowanej pracy funkcja ntensywnośc ne będze wykorzystywana. 1. TEORETYCZNE MODELE CZASU PRZEŻYCIA Od dawna czynone są próby opsana długośc czasu życa za pomocą znanego rozkładu teoretycznego. Prezentowany artykuł należy do tego typu prac. Jego celem jest opsane trwana życa populacj mężczyzn polskch w roku 9. W rodzale tym przedstawone są rozkłady teoretyczne wykorzystywane przy realzacj zadana. Perwszym parametrycznym modelem życa wykorzystywanym do opsu populacj ludzkch był model zaproponowany w roku 175 przez de Movre a [1]. Czas przeżyca T w tym modelu opsywany był za pomocą rozkładu jednostajnego [1]. W chwl obecnej model ten ne jest stosowany, ma on znaczene wyłączne hstoryczne. Znaczne częścej do modelowana czasu przeżyca wykorzystywany jest model zaproponowany w 185 roku przez B. Gompertza [, 4, 7, 8]. Funkcja gęstośc dystrybuanta rozkładu Gompertza są następujące: b >, γ > b f t = ep{ ep γt 1ep γt 6 γ β F t = 1 ep{ ep γt 1 γ 7 343

3 Stansława OSTASIEWICZ Model ten najczęścej zapsywany jest za pomocą funkcj ntensywnośc, która ma postać: t µ t = βγ, t, γ >, β > Taka postać modelu uzasadnana była przez Gompertza w następujący sposób [1]: Śmertelność ntensywność zgonów jest wynkem dzałana dwóch rodzajów przyczyn. Perwszą przyczynę stanową choroby, które dzałają tak samo na ludz młodych, jak starszych. Tak węc lczba zgonów z tych przyczyn ne zależy od weku jest proporcjonalna do lczebnośc populacj. Druga przyczyna zgonów to spadek zdolnośc człoweka do przecwstawana sę śmerc. Spadek odpornośc organzmu na śmerć wtalność jest proporcjonalny do weku. Model Gompertza dość dobrze opsuje rzeczywstą ntensywność zgonów w grupe wekowej powyżej 8 lat, jednak dla ludnośc młodszej zgodność ta jest znaczne gorsza. Powstało węc przypuszczene, że oprócz dwóch wymenonych stneją jeszcze nne przyczyny, które ne zostały uwzględnone przy konstrukcj modelu które powodują, że funkcja Gompertza ne opsuje dobrze ntensywnośc emprycznej. Model ten w 1867 r. został zmodyfkowany przez Makehama, który uważał, że ntensywność zgonów w każdym weku jest częścowo nezależna od weku. Zależy natomast od pewnych czynnków, które oddzaływają na ntensywność w sposób addytywny nezależne od weku. Czynnk te są zagregowane występują w modelu w postac stałej, która dodawana jest do funkcj Gompertza [1]. Otrzymany model nazywany jest prawem Gompertza - Makehama ma postać: dystrybuanta: F a, b >, γ > 1- ep b - a - e γ = γ 1, > Rozkład Gompertza jest szczególnym przypadkem rozkładu Gompertza Makehama. Jeżel przyjmemy a =, otrzymamy rozkład Gompertza. Gęstość zmennej losowej ma postać: f = a + be ep b - a - e γ γ γ 1, > Zarówno model Gompertza, jak Gompertza Makehama wykorzystywane są do dzś. Oprócz tych omówonych model stosowanych do opsu przeżyca populacj ludzkej wykorzystywane też są nne rozkłady teoretyczne, które nawet nazywane są prawam życa, ale żaden z nch ne opsuje dobrze rzeczywstych procesów umeralnośc

4 APROKSYMACJA CZASU TRWANIA ŻYCIA W POPULACJACH NIEJEDNORODNYCH 345 W dalszej częśc pracy wykorzystywane będą jeszcze następujące rozkłady: rozkład Webula, rozkład gamma rozkład lognormalny. Dystrybuanty funkcje gęstośc tych rozkładów mają następującą postać: > =, ep 1 F α β 1 Funkcja gęstośc rozkładu Webula: > =, ep, 1 f α α β β β α 11 Dystrybuanta rozkładu gamma: > Γ Γ = /, F α β α 1, oraz ep, 1 α > β > = α Γ α dt t t Funkcja gęstośc rozkładu gamma określona jest wzorem: > Γ =, ep 1 a c c f a a 13 Dystrybuanta rozkładu lognormalnego: > Φ =, ln m F σ 14 d t t ep 1 = Φ π Funkcja gęstośc rozkładu lognormalnego ma postać:

5 Stansława OSTASIEWICZ 1 1 ln m ep, > f = σ π σ 15,. MODEL EMPIRYCZNY TRWANIA ŻYCIA Mmo że od dawna czynone są próby skonstruowana funkcj, która mogłaby być traktowana jako prawo opsujące czas życa, to jak do tej pory kończyły sę one nepowodzenem. Opracowano węc empryczny model trwana życa, który nazwany został tablcam wymeralnośc. Późnej nazwa ta została zmenona na Tablce Trwana Życa TTŻ [1]. W Polsce model ten konstruowany jest ostatno co roku, osobno dla mężczyzn, osobno dla kobet. Tablce trwana życa mężczyzn w Polsce w roku 9 zameszczone są w pracy jako załącznk 1. Model ten bazuje na następujących funkcjach bometrycznych [1, 5]: lczba dożywających weku ; lczba zmarłych w weku ; prawdopodobeństwo zgonu w weku. Wek podawany jest w sposób dyskretny w punktach =,1,,..., ω. ω jest to najstarsza grupa weku w polskch TTŻ jest ona równa 1 lat. l jest to lczba dożywających weku lat, czyl początkowa lczebność populacj, w polskch TTŻ wynos ona 1 osób. W marę upływu czasu następuje wymerane populacj, w weku 1 lat lczebność ta jest bardzo mała tablce ne są kontynuowane. Najważnejszą funkcją bometryczną są współczynnk zgonów, które wyznaczane są na podstawe współczynnków zgonów obserwowanych w okrese dla którego budowane są tablce trwana życa. Na podstawe współczynnków zgonów można odtworzyć wszystke funkcje bometryczne. Istneje zwązek mędzy emprycznym modelem trwana życa modelem teoretycznym. Wartość gęstośc emprycznej czasu życa w weku oznaczona f ˆ jest równa następującemu lorazow: d fˆ = dla =,1,,..., 1 16 l d jest to lczba zgonów w weku czyl w przedzale, + 1, natomast l początkowa lczebność badanej populacj. Jeżel w weku zmarło d osób, to znaczy, że spośród 1 osób d przeżyło lat. Częstość przeżyca lat można węc polczyć ze wzoru 16. W pozostałych punktach przedzału, + 1 wartość funkcj gęstośc emprycznej ne jest znana. 346

6 APROKSYMACJA CZASU TRWANIA ŻYCIA W POPULACJACH NIEJEDNORODNYCH Na rysunku 1 przedstawony został hstogram długośc życa mężczyzn polskch w 9 roku wyznaczony na podstawe badanej próby 1 mężczyzn. Rys. 1. Hstogram częstośc długośc życa na podstawe TTŻ mężczyzn w 9 r. Na rysunku przedstawony został natomast dagram długośc życa Rys.. Dagram częstośc długośc życa wygładzony numeryczne na podstawe TTŻ mężczyzn w 9 r. Po wygładzenu dagramu otrzymuje sę funkcję cągłą. 3. BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO I TEORETYCZNEGO Sprawdzmy teraz, czy badana próba pochodz z populacj, w której czas życa opsany jest za pomocą prawa życa Webulla, czyl czy stneje zgodność mędzy rozkładem przedstawonym na rysunku rozkładem teoretycznym opsanym za pomocą funkcj gęstośc określonej wzorem 11. Zadane rozwążemy, wykorzystując test λ -Kołmogorowa. Parametry rozkładu Webula estymowane będą metodą najwększej warogodnośc [3, 1]. 347

7 Stansława OSTASIEWICZ Estymatory αˆ, β ˆ parametrów rozkładu Webula otrzymane metodą najwększej warogodnośc MNW spełnają równana [6]: αˆ ln ln αˆ αˆ 1/ αˆ βˆ = = 1 αˆ 17 g oznacza średną funkcj g. Równana te można rozwązać tylko numeryczne [6, 7]. W przypadku badanej populacj otrzymano następujące wartośc estymatorów rozkładu teoretycznego oblczena wykonano za pomocą programu z paketu Matematca: αˆ = 5,75974 βˆ = 77,148 Teoretyczna funkcja gęstośc ma węc postać: 5,76 f =,75 ep > 18 77,15 77,15 Na rysunku 3 przedstawono wykresy teoretycznej emprycznej funkcj gęstośc, natomast na rysunku 4 wykresy dystrybuant. Rys. 3. Teoretyczna empryczna funkcja gęstośc Rys. 4. Dystrybuanta rozkładu emprycznego teoretycznego Funkcja gęstośc empryczna teoretyczna różną sę we wszystkch przedzałach weku. Jeszcze bardzej wdoczne są różnce mędzy dystrybuantą empryczną teoretyczną przedstawoną na rysunku 4. Aby ocenć statystyczne stotność tych różnc dla wszystkch przedzałów weku, polczono różncę mędzy wartoścam dystrybuanty emprycznej teoretycznej. Wykres różnc przedstawony jest na rysunku

8 APROKSYMACJA CZASU TRWANIA ŻYCIA W POPULACJACH NIEJEDNORODNYCH Rys. 5. Różnce mędzy wartoścam dystrybuanty emprycznej teoretycznej Jak wdać różnce te są dość znaczne. Maksymalna różnca występuje w weku = 78 wynos około,48. ma ˆ F =,48 F n Fˆ n oznacza wartość dystrybuanty emprycznej w punkce, natomast F wartość dystrybuanty teoretycznej w punkce. Sprawdzmy teraz czy różnce te są na tyle duże, że hpoteza mówąca o tym, ż próba statystyczna pochodz z populacj o rozkładze Webulla pownna być odrzucona. Do weryfkacj hpotezy o zgodnośc rozkładu teoretycznego emprycznego wykorzystany zostane test λ Kołmogorowa. Statystyka testowa λ dla tego testu ma postać: λ = n ma Fˆ F 19 Przy założenu prawdzwośc sprawdzanej hpotezy statystyka ta ma znany rozkład który jest stablcowany zarówno dla małej, jak dużej próby [1]. Test Kołmogorowa jest testem prawostronnym, czyl hpotezę o jednakowośc rozkładu emprycznego teoretycznego odrzucamy, gdy wartość statystyk testowej przekracza wartość krytyczną. W rozpatrywanym przypadku wartość empryczna statystyk λ Kołmogorowa jest równa 15,17 natomast wartość krytyczna λ α odczytana z tablc, odpowadająca pozomow stotnośc α =, 5, jest równa 1,36. Stąd wynka, że hpotezę o zgodnośc rozkładu emprycznego teoretycznego należy odrzucć. Oznacza to, że czas życa w populacj mężczyzn polskch w 9 roku ne ma rozkładu Webulla. Innym rozkładem wykorzystywanym do opsu czasu życa jest rozkład Gompertza, którego funkcja gęstośc określona jest wzorem 6. n 349

9 Stansława OSTASIEWICZ Na rysunku 6 przedstawono wykres gęstośc emprycznej gęstośc rozkładu Gompertza, którego parametry wyznaczono metodą najwększej warogodnośc. Estymatory ˆb, γˆ parametrów funkcj gęstośc rozkładu Gompertza spełnają następujące równana [7]: ˆ ˆ γ b = ep ˆ γ 1 ˆ γ ep ˆ γ 1 = ep ˆ γ ˆ γ Równana te rozwązano numeryczne za pomocą programu z paketu Matematca, uzyskując następujące wartośc estymatorów: bˆ =,136 γˆ =,817 Funkcja gęstośc prawa Gompertza ma węc postać: f t = ep{,166 ep,8t 1 ep,8t Na rysunku 6 przedstawono gęstość empryczną gęstość rozkładu Gompertza, natomast na rysunku 7 przedstawono dystrybuanty tych rozkładów. Rys. 6. Funkcja gęstośc rozkładu emprycznego rozkładu Gompertza Rys. 7. Dystrybuanta empryczna teoretyczna Wdać, że zgodność gęstośc emprycznej teoretycznej jest bardzo duża dla populacj w weku powyżej 8 lat. Fakt ten został dawno zauważony przez demografów aktuaruszy [1].W pozostałych grupach weku zgodność jest znaczne mnejsza. Rozbeżnośc mędzy rozkładem emprycznym teoretycznym są znaczne mnej wdoczne na wykresach dystrybuant. Sprawdzmy teraz za pomocą testu statystycznego λ Kołmogorowa stotność różnc mędzy tym funkcjam. W tym celu polczymy wartośc Fˆ n F dla wszystkch wartośc przedstawmy je na rysunku 8. 35

10 APROKSYMACJA CZASU TRWANIA ŻYCIA W POPULACJACH NIEJEDNORODNYCH Rys. 8. Różnce mędzy dystrybuntą empryczną dystrybuantą rozkładu Gompertza Jak można odczytać z wykresu, maksymalna wartość różncy wynos około,15. Stąd wartość statystyk testowej λ e jest równa: λ e = 1, 15 = 4, 73. Wartość ta jest wększa od wartośc krytycznej, która przy pozome stotnośc α =, 5 wynos 1,96. Hpotezę o tym, że czas życa populacj można opsać rozkładem Gompertza należy odrzucć. Dalszych prób aproksymacj gęstośc emprycznej gęstoścą teoretyczną ne przeprowadzono. Uznano, że badana populacja ne jest jednorodna, a w takm przypadku na pewno ne znajdze sę rozkładu, który opsywałby rozkład empryczny. Nejednorodność populacj oznacza, że populacja składa sę z pewnych grup jednostek [19]. Wszystke jednostk w grupe charakteryzują sę takm samym rozkładem trwana życa. Jednostk te zostały wymeszane ne można odróżnć, która jednostka należała do której grupy. Powstał nowy rozkład meszanka, którego dystrybuanta oznaczona jest G. Dystrybuanta G jest meszanką rozkładów o dystrybuantach G z poszczególnych grup, przy czym udzał rozkładów poszczególnych grup w meszance, jest proporcjonalny do lczebnośc tych grup. Lczebnośc te ne są znane. Dystrybuanta G ma postać: m G = w G 3 = 1 m - lczba grup a w udzał poszczególnych grup w meszance. Neznane parametry rozkładu G estymowane będą metodą mnmum ch- kwadrat [7]. Statystyka ch-kwadrat, która będze mnmalzowana, ma następującą postać: k n nπ χ = 4 = 1 nπ k oznacza lczbę przedzałów, na które zostały pogrupowane wartośc zmennej losowej, π oznacza prawdopodobeństwo, że wartość zmennej o dystrybuance G należy do przedzału -tego, n zaobserwowana lczba obserwacj należących do przedzału -tego. 351

11 Stansława OSTASIEWICZ Rozpatrzymy najprostszy przypadek, gdy populacja składa sę z dwóch grup, rozkład długośc życa w perwszej grupe opsany jest za pomocą rozkładu Webulla dystrybuanta określona wzorem 1, natomast w grupe drugej za pomocą rozkładu Gompertza dystrybuanta określona wzorem 7. Rozkład meszank określony jest za pomocą następującej dystrybuanty: b γ α G = w1 1 ep e 1 + w 1 ep dla > 5 γ β Rozkład G zależy od pęcu parametrów w1, b, γ, β, α. Udzał w = 1 w 1. Statystyka ch-kwadrat, która będze mnmalzowana w rozpatrywanym przypadku ma następującą postać: 99 d lπ χ = 6 = nπ d jest to obserwowana lczba zgonów w -tym przedzale weku odczytana z TTŻ, l początkowa lczebność populacj, czyl 1, natomast l π = l G + 1 G 7 Zadane mnmalzacj statystyk χ polega na znalezenu takch wartośc parametrów rozkładu G, aby funkcja określona wzorem 6 mała wartość jak najmnejszą. W rozpatrywanym przypadku funkcja ta zależy od pęcu parametrów zmennych, a węc należy znaleźć ekstremum funkcj pęcu zmennych. Zdane to zostało rozwązane numeryczne za pomocą programu z paketu Matematca. Wartośc parametrów mnmalzujące wartość statystyk αˆ = 6,14 βˆ = 59,38 bˆ =,18 γˆ =,84 w w 1 =,963 =,397 Mnmalna wartość statystyk χ jest równa: χ =419,4 χ są następujące: Wykresy gęstośc emprycznej teoretycznej meszank rozkładu Gompertza rozkładu Webulla przedstawone są na rysunku 9. 35

12 APROKSYMACJA CZASU TRWANIA ŻYCIA W POPULACJACH NIEJEDNORODNYCH Rys. 9. Wykres gęstośc emprycznej gestośc meszank Statystyka χ wykorzystana zostane do weryfkacj hpotezy o zgodnośc rozkładu teoretycznego określonego następująco: G =,9631 ep,155 e,84 1 +,3971 ep 59,38 6,14 8 Jeżel próba pochodz z populacj o rozkładze G, to statystyka χ ma rozkład ch-kwadrat z 94 stopnam swobody [3, 1]. Zbór krytyczny jest prawostronny, czyl hpotezę zerową odrzucmy, gdy wartość statystyk testowej przekroczy pewną wartość krytyczną zależną od pozomu stotnośc. Przy pozome stotnośc α =,5 wartość krytyczna odczytana z tablc rozkładu ch-kwadrat jest równa 117,63 [13]. Otrzymana empryczna wartość statystyk χ jest równa 419,4, a węc znajduje sę w zborze krytycznym. Oznacza to, że na pozome stotnośc α =, 5 hpotezę o tym, że czas trwana życa populacj mężczyzn jest meszanką 96% jednostek, których czas życa ma rozkład Gompertza 4% jednostek, których czas życa ma rozkład Webulla należy odrzucć. Powstaje podejrzene, że w populacj są jednostk, których czas życa opsany jest nnym nż poprzedno zmeszane rozkłady. Rozpatrzmy teraz meszankę trzech rozkładów Webulla, Gompertza rozkładu gamma. Estymatory parametrów meszank otrzymane metodą mnmum ch- kwadrat są następujące: parametry rozkładu Webulla ˆ α = 8,19, ˆ β = 59, 5 parametry rozkładu Gompertza b ˆ =,1, ˆ γ =, 8544 parametry rozkładu gamma a ˆ = 18,86, cˆ = 1, 164 waga, z jaką wchodz do meszank rozkład Webulla w =, 638 waga z jaką wchodz do meszank rozkład gamma w =, 6148 waga, z jaką wchodz do meszank rozklad Gompertza w =, 93 w γ G 353

13 Stansława OSTASIEWICZ Wartość statystyk ch-kwadrat jest równa χ = 133, 731 Z przeprowadzonej estymacj wynka, że w analzowanej populacj 93% populacj charakteryzuje sę długoścą życa podlegającą rozkładow Gompertza,,6 % populacj ma rozkład trwana życa opsany rozkładem gamma 6% populacj charakteryzuje sę trwanem życa opsanym za pomocą rozkładu Webulla. Poneważ estymowanych było 8 parametrów rozkładu meszank, to statystyka χ ma rozkład ch-kwadrat z 91 stopnam swobody. Wartość krytyczna przy pozome stotnośc α =, 5 jest równa 117,63, a przy pozome stotnośc α =, jest równa 1,81 Wykres funkcj częstośc rozkładu emprycznego gęstośc rozkładu meszank przedstawono na rysunku 1. Rys. 1. Rozkład empryczny rozkład meszank trzech rozkładów Wydaje sę, że rozkład teoretyczny meszanka zaznaczony na rysunku lną przerywaną rozkład empryczny zaznaczony lną cągłą przebegają nemal dentyczne. Jeśl jednak przeprowadzmy weryfkację statystyczną hpotezy o zgodnośc tych rozkładów to, okaże sę, że zarówno na pozome stotnośc α =, 5, jak też na pozome stotnośc α =, hpotezę tę trzeba odrzucć, gdyż wartość statystyk testowej, która równa jest 133,71, w obu przypadkach znajduje sę w zborze krytycznym. Oznacza to, że w skład meszank rozkładu teoretycznego wchodzą jeszcze nne rozkłady. Spróbujmy zwększyć składnk meszank o rozkład lognormalny. Jest to rozkład neujemny zależny od dwóch parametrów. Funkcja gęstośc tego rozkładu określona jest wzorem 15 [3]. W tym przypadku rozkład teoretyczny będze zależał od 11 parametrów. Estymatory tych parametrów wyznaczone według kryterum mnmalnego następujące: Estymatory parametrów rozkładu Webulla αˆ = 9,55 βˆ = 56, 99 Estymatory parametrów rozkładu Gompertza bˆ =,11 γˆ =,84 Estymatory parametrów rozkładu gamma â = 46,77 ĉ =, 439 Estymatory parametrów rozkładu lognormalnego mˆ = 4,156 σˆ =, 46 Waga, z jaką wchodz rozkład Webulla w W =, 44 χ są 354

14 APROKSYMACJA CZASU TRWANIA ŻYCIA W POPULACJACH NIEJEDNORODNYCH Waga, z jaką wchodz rozkład gamma w γ =, 44 Waga, z jaką wchodz rozkład lognormalny w LN =, 747 Waga, z jaką wchodz rozkład Gompertza w G =, 944 Wartość statystyk χ = 18, 846 Rys. 11. Gęstość empryczna gęstość meszank czterech rozkładów W ostatnm rozpatrywanym przypadku statystyka χ ma rozkład ch-kwadrat z 88 stopnam swobody. Wartość krytyczna odczytana z tablc przy pozome stotnośc α =,5 równa jest χ α = 11, 898, natomast przy pozome stotnośc α =, wartość ta równa jest χ α = 117, 34. Przy obu pozomach stotnośc wartość empryczna znajduje sę w zborze przyjęca sprawdzanej hpotezy. Tak węc możemy stwerdzć, że rozkład czasu życa mężczyzn w Polsce w roku 9 jest meszanką czterech neujemnych rozkładów zmennych losowych. Śwadczy to o tym, że populacja jest bardzo slne zróżncowana. Ale też z udzałów poszczególnych rozkładów w meszance wynka, że najwększą podgrupą w tej populacj bo stanowącą aż 94,4%, są mężczyźn, których czas życa opsany jest rozkładem Gompertza. Mmo ż jest to grupa bardzo lczna to jednak jej rozkład ne reprezentuje całej populacj. LITERATURA [1] Balck A., Analza przeżyca tablce wymeralnośc, Polske Wydawnctwo Ekonomczne, Warszawa 6. [] Bowers N, Gerber H., Hckman J., Jones D., Nesbt D. Actuaral Mathematcs, Itasca: The Socaty of Actuares [3] Fsz M., Rachunek prawdopodobeństwa statystyka matematyczna, PWN, Warszawa [4] Gerber H. U., Lfe Insurance Mathematcs, Sprnger-Verlag, 199. [5] Holzer J., Demografa, PWE. Warszawa [6] Law A. M., Kelton W., Smulaton Modellng and Analyss, McGraw-Hll,

15 Stansława OSTASIEWICZ [7] Metody oceny porządkowana ryzyka w ubezpeczenach życowych, pod red. Ostasewcz S., Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej, Wrocław. [8] Ostasewcz S., Ocena umeralnośc w populacjach o zróżncowanej wtalnośc, [w:] Rocznk Kolegum Analz Ekonomcznych, Zeszyt 1/1. [9] Ostasewcz S., Składk w wybranych typach ubezpeczeń życowych, Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej, Wrocław. [1] Ostasewcz W., Propedeutyka probablstyk, Wydawnctwo Akadem Ekonomcznej, Wrocław. [11] Rao C., Modele lnowe statystyk matematycznej, PWN, Warszawa, 198. [1] [onlne]. [dostęp: 11]. Dostępny w Internece: bcr/gus/publ_lud_trwane_zyca_9.pdf. [13] Trwane życa w 9 r. Lfe epectancy tables of Poland. Informacje opracowana statystyczne. GUS. Warszawa 11. [14] [onlne]. [dostęp: 11]. Dostępny w Internece: Tablca _rozk%c5%8adu_ch-kwadrat APPROXIMATION OF SURVIVAL FUNCTION FOR HETEROGENEOUS POPULATIONS Summary For a long tme demographers and actuares have been delberatng the ssue of the laws of lfe. A number of proposed survval functons turned out to be unsatsfactory when they were appled emprcally. One of the ways to overcome the dffcultes s to modfy the general survval functons by ntroducng an addtonal formula characterzng the fralty of ndvduals. Another way s to use a mture of approprate dstrbutons. In ths contrbuton the latter approach to determne the survval tme of men n the Polsh populaton n 9 s appled. Key words: lfetme model, death rate, men, mture of dstrbutons, heterogenety 356

16 APROKSYMACJA CZASU TRWANIA ŻYCIA W POPULACJACH NIEJEDNORODNYCH Załącznk 1 Tabela 1. Tabela trwana życa 9 357

17 358 Stansława OSTASIEWICZ