Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Transkrypt

1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1

2 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego. Jaki jest rozkład liczby owoców uszkodzonych w opakowaniu zawierającym cztery sztuki? Anna Rajfura 2

3 Przykład wprowadzający cd. Cecha X liczba owoców uszkodzonych w opakowaniu X ~ B (n = 4, p = 0,4) wartości zmiennej losowej: k = 0, 1, 2,..., n prawdopodobieństwo: P n n ( ) k ( ) n k X = k = p 1 p k wartość k p-stwo p k = P 4 ( X = k) 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256 Σ p k = 1,0000 Anna Rajfura 3

4 Przykład wprowadzający cd. wartość k p-stwo p k = P 4 (X = k) 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256 Σ p k = 1,0000 Wykres funkcji rozkładu p-stwa cechy X p-stwo 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, liczba owoców uszkodzonych Anna Rajfura 4

5 Przykład 1. Przypuśćmy, że nie wiadomo, jaka część owoców ulega uszkodzeniu podczas automatycznego pakowania. Będzie to przedmiotem badania. Sprawdzono 200 opakowań. Wyniki przedstawia tabela: liczba owoców uszkodzonych liczba opakowań Σ = 200 Czy na podstawie otrzymanej próby można przyjąć, że liczba owoców uszkodzonych w jednym opakowaniu ma rozkład dwumianowy z parametrem p = 0,4? Anna Rajfura 5

6 Przykład 1. cd. Wyniki doświadczenia (dają rozkład empiryczny) liczba owoców uszkodzonych liczba opakowań Σ = 200 % opakowań 0,1 0,375 0,335 0,15 0,04 Rozkład teoretyczny wartość k p-stwo p k = P 4 ( X = k ) 0,130 0,346 0,346 0,154 0,026 Σ p k = 1,000 Anna Rajfura 6

7 Przykład 1. cd. Wykres frp rozkładu dwumianowego Wykres częstości rozkładu empirycznego 0,40 0,35 pstwo częstość 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, liczba owoców uszkodzonych Anna Rajfura 7

8 Przykład 1. cd. (inny sposób porównania rozkładów) Wyniki doświadczenia (rozkład empiryczny) liczba owoców uszkodzonych liczba opakowań Σ = 200 Rozkład teoretyczny wartość k p-stwo p k = P 4 ( X = k ) liczebności teoretyczne n (t) = p k N 0,130 0,346 0,346 0,154 0,026 Σ p k = 1, ,2 69,2 30,8 5,2 200,4 Anna Rajfura 8

9 Badanie zgodności rozkładu empirycznego z rozkładem teoretycznym Cecha X liczba owoców uszkodzonych w opakowaniu; H 0 : X~ B (n = 4, p = 0,4), poziom istotności α = 0,05; test χ 2 (czyt.: chi - kwadrat), wzór funkcji testowej: r ( ) t χ 2 = ni ni emp n ( t ) i i= 1 gdzie: n i liczebność empiryczna ( t n ) i liczebność teoretyczna r liczba klas ( ) 2 Anna Rajfura 9

10 Badanie zgodności rozkładu empirycznego Wnioskowanie jeżeli χ z rozkładem teoretycznym cd. 2 emp 2 α, v > χ, to H 0 odrzucamy, = r 1 u w przeciwnym przypadku H 0 nie można odrzucić gdzie: u liczba parametrów, które należy oszacować na podstawie próby Obliczenia i wnioski na tablicy. Anna Rajfura 10

11 Wartości krytyczne rozkładu chi-kwadrat X ~ χ 2 ν - X zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrat z liczbą stopni swobody ν, α - poziom istotności, χ 2 α, ν - wartość krytyczna - liczba taka, że P(X > χ 2 α, ν ) = α ν \ a 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,100 0,050 0,025 0,010 0, , ,0002 0,0010 0,0039 0,0158 2,7055 3,8415 5,0239 6,6349 7, ,0100 0,0201 0,0506 0,1026 0,2107 4,6052 5,9915 7,3778 9, , ,0717 0,1148 0,2158 0,3518 0,5844 6,2514 7,8147 9, , , ,2070 0,2971 0,4844 0,7107 1,0636 7,7794 9, , , , ,4118 0,5543 0,8312 1,1455 1,6103 9, , , , , ,6757 0,8721 1,2373 1,6354 2, , , , , , ,9893 1,2390 1,6899 2,1673 2, , , , , , ,3444 1,6465 2,1797 2,7326 3, , , , , , ,7349 2,0879 2,7004 3,3251 4, , , , , ,5893 : 80 51, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1697 Anna Rajfura 11

12 Przykład 2. Badano wagę tuczników pewnej rasy po 8- miesięcznym tuczu. Czy na podstawie uzyskanych wyników (rozkład empiryczny) można stwierdzić, że ma ona rozkład normalny? Numer klasy Granice przedziału Środek przedz. x i 1. < 85 82, <85;90) 87, <90;95) 92, <95;100) 97, <100;105) 102, <105;110) 107, <110;115) 112, > ,5 5 Razem 100 Liczebność n i Anna Rajfura 12

13 Był przykład: Wykres fgp rozkładu normalnego Wykres częstości rozkładu empirycznego 185,3 187,8 190,3 192,8 195,3 197,8 200,3 202,8 205,3 masa owocu Czy rozkład empiryczny wartości cechy X jest dobrze opisany za pomocą teoretycznego rozkładu normalnego? Anna Rajfura 13

14 Badanie zgodności rozkładu empirycznego z rozkładem teoretycznym Cecha X masa owocu pewnej odmiany; Uwagi... H 0 : X~ N, poziom istotności α = 0,05, Anna Rajfura 14

15 Uwagi 1. Można korzystać z faktu, że funkcja testowa ma asymptotycznie rozkład chi-kwadrat, o ile liczebność w każdej klasie wynosi co najmniej 5. Jeśli nie trzeba łączyć klasy, aby ten warunek był spełniony. 2. W hipotezie zerowej jest nazwa rozkładu, ale nie ma parametrów. Średnią i wariancję oszacujemy na podstawie próby, stąd weźmiemy liczbę parametrów szacowanych na podstawie próby. 3. Zastosujemy taką samą procedurę testowania hipotezy, jak w poprzednim przykładzie. Wymaga ona wyznaczenia liczebności teoretycznej w przedziałach, np. <85;90). Anna Rajfura 15

16 Wyznaczanie liczebności teoretycznej dla przedziału obliczanie p-stwa wartości z przedziału < a;b ) z wykorzystaniem dystrybuanty rozkładu normalnego przedstawienie p-stwa przy użyciu dystrybuanty zmiennej losowej X~N(µ,σ 2 ) standaryzacja - przedstawienie dystrybuanty zmiennej losowej X, przy użyciu dystrybuanty zmiennej losowej standardowej Z~N(0,1) odczyt z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego; obliczenia. Anna Rajfura 16

17 x Numer klasy Wyznaczanie wartości średniej i wariancji dla próby w postaci szeregu rozdzielczego Granice przedziału Środek przedz. x i Liczebność n i x i n i (x i -x) 2 n i 1. < 85 82, ,0 1693,4 2. <85;90) 87, ,0 1392,4 3. <90;95) 92, ,5 786,1 4. <95;100) 97, ,5 68,0 5. <100;105) 102, ,5 194,6 6. <105;110) 107, ,0 941,4 7. <110;115) 112, ,0 1393,9 8. > , ,5 1656,2 Razem ,0 8126, ,0 = = 99,3, s = = 82,08, s ,06 Anna Rajfura 17

18 Numer klasy Wyznaczanie wartości funkcji testowej Granice przedziału Liczebność n i p i n i (t) ( ( t n ) ) i ni ( t n ) 1. < ,057 5,7 0, <85;90) 10 0,094 9,4 0, <90;95) 17 0,168 16,8 0, <95;100) 21 0,213 21,3 0, <100;105) 19 0,204 20,4 0, <105;110) 14 0,145 14,5 0, <110;115) 8 0,077 7,7 0, > ,042 4,2 0,152 Razem 100 1, ,00 0,338 Obliczenia na tablicy. i 2 Anna Rajfura 18

19 Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego X zmienna losowa, f(x) funkcja gęstości, F(x) dystrybuanta X~N (0, 1), x F(x)= f (t) dt x f (x) = e, 2π x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , Anna Rajfura 19

20 Wartości krytyczne rozkładu chi-kwadrat X ~ χ 2 ν - X zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrat z liczbą stopni swobody ν, α - poziom istotności, χ 2 α, ν - wartość krytyczna - liczba taka, że P(X > χ 2 α, ν ) = α ν \ a 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,100 0,050 0,025 0,010 0, , ,0002 0,0010 0,0039 0,0158 2,7055 3,8415 5,0239 6,6349 7, ,0100 0,0201 0,0506 0,1026 0,2107 4,6052 5,9915 7,3778 9, , ,0717 0,1148 0,2158 0,3518 0,5844 6,2514 7,8147 9, , , ,2070 0,2971 0,4844 0,7107 1,0636 7,7794 9, , , , ,4118 0,5543 0,8312 1,1455 1,6103 9, , , , , ,6757 0,8721 1,2373 1,6354 2, , , , , , ,9893 1,2390 1,6899 2,1673 2, , , , , , ,3444 1,6465 2,1797 2,7326 3, , , , , , ,7349 2,0879 2,7004 3,3251 4, , , , , ,5893 : 80 51, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1697 Anna Rajfura 20

21 W pakiecie Statistica Do kolumn można wprowadzić dane dotyczące liczebności empirycznych i teoretycznych Anna Rajfura 21

22 W pakiecie Statistica Z menu wybrać Statystyka, Statystyki nieparametryczne, Z listy wybrać Chi-kwadrat dla liczności obserwowanych wz. oczekiwanych Anna Rajfura 22

23 Wybrać nazwy zmiennych W pakiecie Statistica Anna Rajfura 23

24 W pakiecie Statistica Zaakceptować przyciskiem OK Anna Rajfura 24