1 Estymacja przedziałowa

Transkrypt

1 1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α ) ] σn gdzie u(1 α ) jest kwantylem rzędu 1 α - to średnia i liczebność próby. rozkładu normalnego N(0, 1); x, n (b) MODEL II Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanych parametrach µ i σ. Przedział ufności: [ µ x t (1 α ), n 1 s ; x + t (1 α ) ] n 1, n 1 s n 1 gdzie t(1 α, n 1) jest kwantylem rzędu 1 α rozkładu Studenta o n 1 stopniach swobody; x, s, n - to średnia, odchylenie standardowe i liczebność próby. (c) MODEL III Badana cecha ma dowolny rozkład (niekoniecznie normalny), o nieznanej wartości oczekiwanej µ i nieznanym odchyleniu standardowym σ, zaś liczebność próby jest duża (n 100). Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( s ; x + u 1 α ) ] s n n gdzie u(1 α) jest kwantylem rzędu 1 α rozkładu normalnego N(0, 1); x, s, n - to średnia, odchylenie standardowe i liczebność próby. Jeśli σ jest parametrem znanym, to zamiast s wstawiamy σ. 1

2 . PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA WARIANCJI (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanych parametrach µ i σ, zaś próba jest mała (n 50). Przedział ufności: σ ns ( χ 1 α, n ; 1) ns ( χ α, n 1) gdzie χ ( 1 α, n 1) i χ ( α, n 1) są kwantylami rzędu 1 α i α (odpowiednio) rozkładu chi-kwadrat o n 1 stopniach swobody; s, n - to wariancja i liczebność próby. (b) MODEL II Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanych parametrach µ i σ, zaś próba jest duża (n > 50). Przedział ufności: σ ns ( n 3 + u(1 α )) ; ns ( n 3 u(1 α )) gdzie u(1 α ) jest kwantylem rzędu 1 α rozkładu normalnego N(0, 1); s, n - to wariancja i liczebność próby. 3. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA WSKAŹNIKA STRUKTURY Jeśli próba jest duża (n 100), to przedział ufności dla wskaźnika struktury p jest postaci: ( p q u 1 α ) q(1 q) n ( ; q + u 1 α ) q(1 q) n gdzie q = m ; m jest liczbą elementów w próbie, które posiadają badaną cechę; n u(1 α ) jest kwantylem rzędu 1 α rozkładu normalnego N(0, 1).

3 Weryfikacja hipotez statystycznych (testy statystyczne).1 Testy zgodności rozkładów 1. TEST χ PEARSONA dane na skali co najmniej nominalnej (dowolna skala) liczebności i liczebności empiryczne dla każdej wartości 5 Stawiamy hipotezę zerową: H 0 : P [X = x i ] = p i lub H 0 : F n (x) = F (x) Hipoteza alternatywna H 1 P [X = x i ] p i lub F n (x) F (x) W = [χ (1 α, k r 1); ) gdzie χ (p, n) jest kwantylem rzędu p rozkładu chi-kwadrat. k χ (n i e i ) = i=1 gdzie n i jest liczbą obserwacji dla wartości x i, e i jest teoretycznie wyznaczoną liczbą obserwacji dla wartości x i (e i = n p i ), k jest liczbą różnych wartości x i, r liczbą parametrów rozkładu estymowanych z próby.. TEST KOŁMOGOROWA badana cecha ma rozkład ciągły znane powinny być parametry µ i σ e i Stawiamy hipotezę zerową H 0 : F n (x) = F (x) Hipoteza alternatywna H 1 F n (x) F (x) W = [λ(1 α); ) 3

4 gdzie λ(p) jest kwantylem rzędu p rozkładu λ Kołmogorowa-Smirnova. D = max F n (x) F (x) n x 3. TEST KOŁMOGOROWA-SMIRNOVA DLA DWÓCH ROZKŁADÓW badana cecha ma rozkład ciągły znane powinny być parametry µ 1, σ 1, µ i σ Stawiamy hipotezę zerową H 0 : F n1 (x) = F n (x) Hipoteza alternatywna H 1 F n1 (x) F n (x) W = [λ(1 α); ) gdzie λ(p) jest kwantylem rzędu p rozkładu λ Kołmogorowa-Smirnova. 4. TEST LILLEFORSA 5. TEST SHAPIRO-WILKA D = max F n1 (x) F n (x) x n1 n n 1 + n 4

5 5

6 . Testy jednorodności wariancji 1. TEST F FISHERA-SNEDECORA badana cecha ma w obu populacjach rozkłady normalne N(µ 1, σ 1 ) i N(µ, σ ) Stawiamy hipotezę zerową H 0 : σ 1 = σ Statystyka testowa Hip. alt. H 1 gdzie F = s /s 1 σ 1 < σ W = [F (1 α, n 1, n 1 1); ) F = s 1/s σ1 > σ W = [F (1 α, n 1 1, n 1); ) F = s 1/s σ1 σ W = ( 0, min{f, 1 } ] [ max{f, 1 }; ) F F F = F ( 1 α ), n 1 1, n 1 ; F (p, n 1, n ) jest kwantylem rzędu p rozkładu F Fishera.. TEST LEVENE A 3. TEST BROWNA-FORSYTHE A 6

7 .3 Testy parametryczne 1. WERYFIKACJA HIPOTEZ O ŚREDNIEJ (a) TEST z badana cecha populacji ma rozkład normalny N(µ, σ) parametr σ jest znany Stawiamy hipotezę zerową: H 0 : µ = µ 0 Hip. alternatywna H 1 H 1 : µ µ 0 W = ( ; u(1 α )] [ u(1 α ); ) H 1 : µ > µ 0 W = [u(1 α); ) H 1 : µ < µ 0 W = ( ; u(1 α)] z = x µ 0 n σ gdzie u(p) - kwantyl rzędu p rozkładu N(0, 1); x, n - średnia i liczebność próby. (b) TEST z badana cecha populacji ma dowolny rozkład liczebność próby duża n 100 Stawiamy hipotezę zerową: H 0 : µ = µ 0 Weryfikację hipotezy H 0 przeprowadzamy testem analogicznym jak w (a). Jako nieznaną wartość σ przyjmuje się odchylenie standardowe s wyznaczone z próby. (c) TEST t badana cecha populacji ma rozkład normalny N(µ, σ) 7

8 parametr σ nie jest znany Stawiamy hipotezę zerową: H 0 : µ = µ 0 Hip. alternat. H 1 H 1 : µ µ 0 W = ( ; t(1 α, n 1)] [ t(1 α, n 1); ) H 1 : µ > µ 0 W = [t(1 α, n 1); ) H 1 : µ < µ 0 W = ( ; t(1 α, n 1)] t = x µ 0 n 1, s gdzie t(p, n 1) - kwantyl rzędu p rozkładu Studenta; x, s, n - średnia, odchylenie standardowe i liczebność próby.. WERYFIKACJA HIPOTEZ O WARIANCJI (a) liczebność próby mała n < 50 badana cecha populacji ma rozkład normalny N(µ, σ) Stawiamy hipotezę zerową: H 0 : σ = σ 0 Hip. alternatywna H 1 H 1 : σ σ0 W = ( 0; χ ( α, n 1)] [ χ (1 α, n 1); ) H 1 : σ > σ 0 W = [χ (1 α, n 1); ) H 1 : σ < σ 0 W = (0; χ (α, n 1)] χ = ns σ 0 gdzie χ (p, n 1) - kwantyl rzędu p rozkładu chi-kwadrat; s, n - wariancja i liczebność próby. (b) liczebność próby duża n 50 8

9 badana cecha populacji ma rozkład normalny N(µ, σ) Stawiamy hipotezę zerową: H 0 : σ = σ 0 Hip. alternatywna H 1 H 1 : σ σ0 W = ( ; u(1 α )] [ u(1 α ); ) H 1 : σ > σ 0 W = [u(1 α); ) H 1 : σ < σ 0 W = ( ; u(1 α)] ns z = σ 0 n 3 gdzie u(p) - kwantyl rzędu p rozkładu N(0, 1); s, n - wariancja i liczebność próby. 3. WERYFIKACJA HIPOTEZ O WSKAŹNIKU STRUKTURY liczebność próby duża n 100 Stawiamy hipotezę zerową: H 0 : p = p 0 Hip. alternatywna H 1 H 1 : p p 0 W = ( ; u(1 α )] [ u(1 α ); ) H 1 : p > p 0 W = [u(1 α); ) H 1 : p < p 0 W = ( ; u(1 α)] U = m np 0 np 0 (1 p 0 ) gdzie m - liczba elementów w próbie, które posiadają wyróżnioną cechę; n - liczebność próby; u(p) - kwantyl rzędu p rozkładu N(0, 1). 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ O RÓWNOŚCI ŚREDNICH DWÓCH POPULACJI (a) TEST z 9

10 badana cecha ma w obu populacjach rozkłady normalne N(µ 1, σ 1 ) i N(µ, σ ) σ 1 i σ są znane skala interwałowa lub ilorazowa Stawiamy hipotezę zerową: H 0 : µ 1 = µ Hip. alternatywna H 1 H 1 : µ 1 µ W = ( ; u(1 α )] [ u(1 α ); ) H 1 : µ 1 > µ W = [u(1 α); ) H 1 : µ 1 < µ W = ( ; u(1 α)] U = x 1 x σ 1 n 1 + σ n gdzie u(p) - kwantyl rzędu p rozkładu N(0, 1); x 1, x, n 1, n - to średnie i liczebności pobranych prób. (b) TEST z liczebności prób są duże n 1, n 100 skala interwałowa lub ilorazowa Stawiamy hipotezę zerową: H 0 : µ 1 = µ Weryfikację hipotezy H 0 przeprowadzamy testem analogicznym jak w (a). Jako nieznane wartości σ 1 i σ przyjmuje się wariancje s 1 i s wyznaczone z prób. (c) TEST t badana cecha ma w obu populacjach rozkłady normalne N(µ 1, σ 1 ) i N(µ, σ ) σ 1 i σ są nieznane, ale σ 1 = σ skala interwałowa lub ilorazowa Stawiamy hipotezę zerową: H 0 : µ 1 = µ 10

11 Hip. alternatywna H 1 H 1 : µ 1 µ W = ( ; t(1 α, n 1 + n ) ] [ t(1 α, n 1 + n ); ) H 1 : µ 1 > µ W = [t(1 α, n 1 + n ); ) H 1 : µ 1 < µ W = ( ; t(1 α, n 1 + n )] t = x 1 x n 1 s 1 +n s ( ) 1 n 1 +n n n gdzie t(p, n 1 + n ) - kwantyl rzędu p rozkładu Studenta; x 1, x, s 1, s, n 1, n - to średnie, wariancje i liczebności pobranych prób. (d) TEST c COCHRANA I COXA badana cecha ma w obu populacjach rozkłady normalne N(µ 1, σ 1 ) i N(µ, σ ) σ 1 i σ są nieznane, ale σ 1 σ skala interwałowa lub ilorazowa Stawiamy hipotezę zerową: H 0 : µ 1 = µ Hip. alternat. H 1 H 1 : µ 1 µ W = ( ; c(1 α, n 1, n ) ] [ c(1 α, n 1, n ); ) H 1 : µ 1 < µ W = ( ; c(1 α, n 1, n )] H 1 : µ 1 > µ W = [c(1 α, n 1, n ); ) Kwantyle rozkładu c Cochrana i Coxa dane są przybliżonym wzorem: c(p, n 1, n ) s 1 t(p, n n ) + s t(p, n n 1 1) s 1 n s n 1 gdzie t(p, n 1 1) - kwantyl rzędu p rozkładu Studenta. c = x 1 x s 1 + s n 1 1 n 1 gdzie x 1, x, s 1, s, n 1, n - to średnie, wariancje i liczebności pobranych prób., 11

12 5. WERYFIKACJA HIPOTEZ O RÓWNOŚCI WSKAŹNIKÓW STRUKTURY DWÓCH POPULACJI liczebności prób duże n 1 100, n 100 Stawiamy hipotezę zerową: H 0 : p 1 = p Hip. alternat. H 1 H 1 : p 1 p W = ( ; u(1 α )] [ u(1 α ); ) H 1 : p 1 > p W = [u(1 α); ) H 1 : p 1 < p W = ( ; u(1 α)] U = (p 1 p n ) p (1 p ) gdzie m 1, m - liczby elementów w próbach, które posiadają wyróżnioną cechę; p 1 = m 1, p = m, n = n 1n, p = m 1 + m ; n 1 n n 1 + n n 1 + n rozkładu N(0, 1) u(p) - kwantyl rzędu p 1