Rozwiązania (lub wskazówki do rozwiązań) większości zadań ze skryptu STATYSTYKA: MATERIAŁY POMOCNICZE DO ZAJĘĆ oraz EGZAMINÓW Z LAT

Transkrypt

1 Rozwązana (lub wskazówk do rozwązań) wększośc zadań ze skryptu STATYSTYKA: MATERIAŁY POMOCNICZE DO ZAJĘĆ oraz EGZAMINÓW Z LAT ZMIENNA LOSOWA I JEJ ROZKŁAD Zadane 1/ str. 4 a/ zmenna może przyjmować wartośc 1,, 3 lub 4. Aby przyjęła wartość 1 Józef K. mus wygrać za perwszym razem, a węc prawdopodobeństwo tego zdarzena wynos 0,1. Aby przyjęła wartość, JK mus wygrać za drugm razem przegrać za perwszym, czego prawdopodobeństwo wynos 0,90,1=0,09. Analogczne, wartość 3 jest przyjmowana z prawdopodobeństwem 0,90,90,1=0,081. Aby przyjęła wartość 4 JK mus przegrać perwsze 3 zakłady (wynk ostatnego ne ma znaczena, bo tak skończą mu sę penądze), czego prawdopodobeństwo wynos 0,90,90,9=0,79. b/ Zmenna odpowadająca wartośc zakładów przyjmuje wartośc 50, 100, z prawdopodobeństwam takm samym jak powyżej. Odchylene standardowe można oblczyć posługując sę rozkładem wartośc lub rozkładem lczby zakładów korzystając z twerdzena: D(a X) a D(X), gdze a jest stałą. Odchylene standardowe lczby zakładów wynos 1,01305, a wartośc zakładów 501,01305=50,653. Współczynnk zmennośc wynos węc 0,95 (tak mało, poneważ najczęścej wartość zakładów, będze wynosć 00) Interpretacja wynku: jeżel Józef K. będze przystępować do zakładów na dentycznych warunkach welokrotne, to zróżncowane ch wartośc wynese średno 9,5% przecętnej wartośc. /4 Zakładamy, że zmenne oznaczające wartość zakładów końskch (Y) zakładów płkarskch (Z) są nezależne. Wtedy D ( Y Z) D ( Y Z) D ( Y) D ( Z) (to ogólna cecha warancj). D ( Y) 565,7 oraz D ( Z) 58, 6. Zatem: a/ D ( Y Z) 565,7 58,6 84, 3 b/ D ( Y Z) 565,7 58,6 84, 3 3/5. Aby f była funkcją gęstośc prawdopodobeństwa muszą być spełnone warunk: / dla każdego x: f(x)0, / f (X)dX 1. Są one spełnone wtedy tylko wtedy gdy a=1/3. E(X) X f (X) dx 1 X f (X) dx 1 1 X X 3 dx 5/5. Poneważ medana ne jest znana, trzeba sprawdzć kolejno wartośc -, 0 1 (jedna z nch mus być medaną, bo ch lczba jest neparzysta). Z warunków zadana wynka, że: ( Me) 3n (0 Me) n (1 Me) n 0,

2 gdze n n 3 to, odpowedno, częstość występowana wartośc 0 1 (częstość dla - to Wadomo ponadto, że suma częstośc wynos 1. Jeżel do powyższego równana podstawmy -, to dojdzemy do sprzecznośc:,3 n 3 (częstość ne może być ujemna). - ne może być węc medaną. 5 0,3 Analogczne, podstawając Me=0 uzyskamy n 3 5, a zatem n 0,9 oraz n 0, n 3 ). 6/5 a/ X p 0,1 0,15 0, 0,45 0,1 b/ P ( 0 X 5) P( X 1) 0, 15 lub P ( 0 X 5) P( X 5) F(5) F(0) P( X 5) 0,45 0,1 0, 0,15 c/ E(X) = 6,85 D(X) = 5,16 7 * /5 Zmenna X opsująca czas czekana ma rozkład jednostajny (prostokątny). Dla przedzału [0; 8] funkcja prawdopodobeństwa przyjmuje wartość 1/8 (dla pozostałych wartośc zmennej zero). E(X) = 4 D (X) = 5, STATYSTYKA OPISOWA 1/5. a/ Brakującą wartoścą jest (w przecwnym raze ta wartość ne mogłaby być domnantą). Dystrybuanta w punkce 3 wynos 11/15: tak odsetek osób otrzymał najwyżej 3 przepustk. b/ ne, poneważ ne wadomo czy próba jest losowa dostateczne duża; ponadto zakład ne jest typowy (o zaostrzonym rygorze). /6 X 3,3 defncje medany spełnają wartośc 3 3,5, zatem me=(3 + 3,5)/ = 3,5 do = 3 S(X) = 0,87 (wersja obcążona) 3/6. a/ 4 dukaty; I kwartyl (przedzały pownny być domknęte prawostronne - moje nedopatrzene). b/ tak, bo zawera nformacje o I kwartylu (o III też, choć to w zadanu ne ma znaczena).

3 4/6 Prawdzwe jest zdane c/; cytowane stwerdzene jest prawdzwe jedyne wtedy gdy wszyscy (w ramach swojej płc) mają tak sam pozom hemoglobny. 5/6 Korzystnejszy jest rozkład z prawostronną asymetrą poneważ wększy jest odsetek chłopców o wzrośce znaczne przekraczającym średną. 6/6 a/ X 3, 17 S (X) = 10,359 b/ 1-10/1 7*/7. Średna wartość dla każdego przedzału wyznacza jego środek (zgodne z upraszczającym założenem, że wartośc dochodów są równo rozrzucone w przedzale). Kolejne środk to: 750 (=1150/15) Wdać, że wszystke odległośc mędzy sąsadującym środkam są równe 500 zł, węc taka jest też (jednakowa) długość przedzału. a/ Klasyczny współczynnk asymetr można oblczyć posługując sę środkam podstawając je do wzoru. Wynos on ,18 3 (604,15) (asymetra prawostronna, nezbyt slna). n 0,3 F(1750)=0,575 0,15 0,5 0, 0, Dochód b/ Dystrybuanta dla1750 zł to suma częstośc występujących w tym punkce ponżej. Obejmuje węc perwsze dwa przedzały połowę trzecego (0,15+0,3+0,15=0,575). c/ Prawdopodobeństwo wylosowana ze100 elementowej próby gospodarstwa o dochodze z przedzału [500, 1000]. Jeżel ne losujemy z próby, to nazwane tej częstośc (0,15) prawdopodobeństwem ne jest poprawne. 10/7

4 a/ Tak. Medana znaczne nższa od średnej śwadczy o slnej prawostronnej asymetr (stneją wyjątk od tej reguły ale rozkład płace na pewno do nch sę ne zalcza). Poza tym skoro płac ponżej medany ma 50% pracownków, to dochody ponżej średnej ma znaczne wększy procent. b/ Ne. Wartość oczekwana ne jest w ogólnym przypadku równa domnance. c/ Ne. Wychodzący z koścoła ne tworzą próby losowej (przecętne są bardzej relgjn) gdy badana cechą jest stosunek do relg. ROZKŁAD DWUMIANOWY. TWIERDZENIA GRANICZNE. /7 Dochód gajowego (Y) jest sumą stałej pensj (1000 zł) zł oraz loczynu lczby złapanych kłusownków (X) prem za każdego zatrzymanego (40 zł). Neznane jest prawdopodobeństwo zatrzymana pojedynczego kłusownka (p), co ne pozwala oblczyć wartośc oczekwanej zmennej X, a tym samym równeż Y. Prawdopodobeństwo to można oblczyć, korzystając ze znajomośc warancj lczby zatrzymanych kłusownków: D (X) = n p (1-p) = 4,5 (n jest lczbą kłusownków w rewrze). To równane ma dwa rozwązana: p1 = 0,1 p = 0,9. Dla obydwu trzeba polczyć wartość oczekwaną zmennej Y sprawdzć czy spełna ona warunek E(Y) < 500 zł. Jest on spełnony tylko dla p1: E(Y) = E(1800 zł + 40 X) = E(X) = ,1 = 000 3/7 Należy skorzystać z twerdzena De Movre a Lapalace a ,85 a/ ( 830) X n n p P X n P P( U 1,77) 0, (1 ) ,85 0,15 n p p Aby uzyskać dokładnejszy wynk, należałoby uwzględnć równeż fakt, że rozkład zmennej skokowej jest przyblżany za pomocą rozkładu cągłego oblczyć prawdopodobeństwo: P n ( X 830,5) P( U 1,73) 0,95818 b/ P(Xn < 860) jest mnejsze nż P(Xn > 830) poneważ 860 jest blższe wartośc oczekwanej (równej 850). 4/8 X lczba klentów zdobytych przez - tego agenta Y = 5 X wartość prem otrzymanej przez - tego agenta P ( Y 55000) P( X ) 5

5 Korzystając z twerdzena Lndeberga-Levy ego można dokonać standaryzacj zmennej w postac sumy zmennych nezależnych (wartość oczekwana warancja lczby klentów jest dla każdego agenta taka sama): P( X 1000) P X n E( X n 10 ) P( U ) 0 ESTYMACJA PARAMETRÓW. TESTY STATYSTYCZNE 1/9 100 studentów powtarza dentyczne dośwadczene, w którym prawdopodobeństwo pewnego zdarzena (objęca parametru czyl średnej przez przedzał ufnośc) jest jednakowe (ustalone z góry). Można zatem skorzystać z rozkładu dwumanowego, wyznaczając najperw to prawdopodobeństwo. Poneważ długość przedzału jest dana, podobne jak wartość odchylena standardowego lczebność próby, to jedyna newadomą jest wartość tα, która z kole pozwol wyznaczyć pozom ufnośc (1 α). t s( X ) t n ,994 t 6 1,485 Wartośc,485 w rozkładze Studenta przy 5 stopnach swobody odpowada α = 0,0, zatem przedzał został wyznaczony przy ufnośc 0,98. Wartość oczekwana lczby przedzałów, w których znajdze sę średna wynos (zgodne z własnoścam rozkładu dwumanowego) 100 0,98 = 98. /9 Błąd absolutny (tzw. maksymalny czyl połowa długośc przedzału) wynos 0,031, co przy danym odsetku 0,3 pozwala zapsać równane: 0,3 0,7 0,031 U 1000 oblczyć Uα =,139, z czego wynka, że 1 α = 1 0,03 = 0,968 Wynk zmen sę, poneważ błąd relatywny (d/w) zwększa sę (zaś błąd absolutny maleje) wraz z oddalanem sę odsetka poparca od 0,5 (ufność wynese wtedy 0,8). 5/9 a/ O spełnanu normy śwadczy odrzucene hpotezy zerowej H0 : m = 4 na rzecz hpotezy alternatywnej H1 : m < 4. Statystyka testowa pownna przyjąć wartość mnejszą nż ok. (dokładnej wartośc krytycznej ne da sę odczytać ze standardowych tablc). Poneważ nt = -1,841, to H0 ne można odrzucć. Ne ma zatem podstaw do stwerdzena przy pozome stotnośc 0,03, że normy są spełnane. b/ Mnmalny pozom stotnośc, przy którym można odrzucć H0 to ok. 0,04.

6 7/30 Należy zastosować test zgodnośc, porównujący różnce mędzy lczebnoścam emprycznym (n) teoretycznym, wynkającym z rozkładu Szwejka (n p). Wygodne jest posłużyć sę w tym celu ponższą tabelą r Lczba klometrów ( n n p n (n- n p) np ) np , ,5 6,5 0, ,5,5 0, ,5 5. ponad ,5 Suma ,695 Jeżel oba rozkłady różną sę od sebe jedyne w wynku błędów losowych, to wartość statystyk ch-kwadrat (suma elementów w ostatnej kolumne:,695) ne pownna być zbyt duża, tzn. ne pownna przekroczyć wartośc krytycznej. a/ Poneważ rozkład ma dwa parametry, które zostały oszacowane, to lczba stopn swobody (w statystyce o rozkładze χ ) wynos 5--1=. Wartość krytyczna na pozome 0,05 wynos 5,991. Poneważ,695<5,991, to hpotezy zerowej ne odrzucamy (można to zrobć dopero przy ryzyku błędu I rodzaju ok. 0,7, a węc zbyt wysokm). b/ Jeżel tylko jeden parametr został oszacowany (bo znana jest dokładna wartość drugego), to lczba stopn swobody zwększa sę o 1. Wartość krytyczna wynos wtedy 7,815, węc hpotezy tym bardzej ne odrzucamy na pozome 0,05. 9/30 Hpoteza zerowa mów, ż odsetek poperających ślub w perwszym drugm badanu jest jednakowy (H0: p1 = p), hpoteza alternatywna jej zaprzecza (H0: p1 p). Statystyka testowa ma w przypadku takego testu postać: w w n U 1 1 ŵ(1 ŵ) n1 n gdze ŵ jest średną obu odsetków emprycznych. Zatem statystyka testowa przyjmuje wartość: 1 U 0,3 0,8 0,3(1 0,3) ,746 Poneważ próba jest duża, nu ma rozkład zblżony do normalnego. H1 jest obustronna, węc przy pozome stotnośc 0,05 wartość krytyczna wynos 1,96. Zatem przy tym (a tym bardzej nższym) ryzyku błędu I rodzaju H0 ne można odrzucć. Można to zrobć dopero przy pozome ok następuje wtedy zmana decyzj H0 odrzucamy czyl stwerdzamy, ż odsetk z obu badań różną sę stotne.

7 Zadane 10/31 a/ Zadane rozwązuje sę dentyczne jak zad. 9. Statystyka testowa wynos wtedy 1,13998, a węc ne pozwala odrzucć hpotezy przy żadnym akceptowalnym pozome stotnośc. Ne ma zatem podstaw do stwerdzena, że wypowedź mnstra mała wpływ na słuchane Mozarta. b*/ Jeżel badano w obu okresach tę samą próbę, to należy skorzystać ze wzoru stosowanego w przypadku prób zależnych. Wprawdze można go wykorzystywać tylko w teśce dla średnej (różncy) lecz przypsując badanej zmennej jakoścowej dwe wartośc (X=1 - słuchane Mozarta., X=0 - nesłuchane) można oblczyć odsetek słuchających jako średną wartość tej zmennej. Podane w zadanu nformacje ne pozwalają jednak na oblczene stosownej statystyk. Można podać natomast jej najmnejszą najwększą możlwą wartość. Wartość najwększa zostane przyjęta w przypadku, gdy te same 180 osób będze słuchać Mozarta w I II badanu. Średna wartość różncy (r) wynese 0/1000. Aby oblczyć warancję można skorzystać ze wzoru: S (X) X (X), a węc w tym przypadku S ( R) 0,0 0,0 0, 0196 Statystyka testowa wynos wtedy: R 0 t S( R) / n 1 0,0 0,0196 / 999 4,51 Hpotezę zerową można zatem odrzucć na praktyczne dowolnym pozome stotnośc (ok. 0,000016). Innym słowy, odsetk przed po odpowedz różnły sę stotne. Najmnejsza wartość statystyk testowej zostane przyjęta, gdy 180 osób, które słuchały Mozarta w I badanu przestały go słuchać w II badanu, zaś 00 osób przyznających sę do słuchana w II badanu to now słuchacze. W tym przypadku średna wartość różncy wynese tyle samo (-0,0), zaś warancja 0,38-0,0 = 0,0196. Statystyka testowa wynos wtedy: 0,0 t 1,06 0,3796 / 999 W przypadku takego rozkładu odpowedz n można odrzucć hpotezy o braku wpływu wypowedz mnstra (pozom stotnośc wynos ok. 0,3). Innym słowy, ne można uznać że mała ona wpływ z uwag na brak stotnych różnc mędzy odsetkam. ANALIZA WARIANCJI. BADANIE ZALEŻNOŚCI ZMIENNYCH 1/31 Należy zastosować analzę warancj. W tym celu ocena sę zróżncowane średnch dla każdego baru ( X j ), oblczając SSB czyl sumę kwadratów odchyleń od średnej dla wszystkch barów (oznaczonej przez X ). Jeżel SSB jest duża w porównanu z łącznym zróżncowanem czasów obsług w ramach tego samego baru (SSE), to wybór baru ma stotny wpływ na średn czas obsług. Należy wtedy odrzucć hpotezę o równośc średnch przyjąć hpotezę alternatywną, mówącą o stnenu co najmnej dwóch różnych średnch. X X 4,1 X3 4,6 X 3,6 X 4,075

8 SSB 5(4 4,075) SSE (3 4) SST (3 4,075) (4 4) 5(4,1 4,075)... (3 4,1) (4 4,075) 5(4,6 4,075)... ( 4,6)... (,5 4,075) 5(3,6 4,075)... (,5 3,6) (3 4,075),5375 (3 3,6) 6,6,5375 6,6 9,1375 SSB / r 1 F SSE /(n r) MSB MSE,5375/(4 1) 6,6/(0 4) 0,509 (oblczene SST ne było koneczne) Poneważ F0,05, 3, 16 = 3,4, to hpotezy o równośc średnch czasów ne można odrzucć. Uwaga: Aby test był wykonany poprawne, należałoby na początku sprawdzć (za pomocą testów) czy czasy obsług mają rozkład normalny czy ch warancja jest jednakowa we wszystkch barach (tzw. test jednorodnośc warancj). Ten ostatn test ne są jednak koneczny jeżel lczebnośc wszystkch podprób (barów) są jednakowe, co jest w tym zadanu spełnone. /31 Analyss of Varance Source of varaton Sum of Squares d.f. Mean Square F-rato Between groups (SSB) 34, ,95 8,1 Wthn groups (SSE) 8553, , Total 11976,47 SSB = SST-SSE = 11976, ,88 = 34,59 df (degrees of freedom -stopne swobody): r = 3-1 = oraz n-r = = 141 Mean Square (średn kwadrat): MSB = 34,59/=1711,95 MSE = 8553,88/141 = 60,6596 F-rato (statystyka testowa F) = MSB/MSE = 1711,95/60,6596 = 8,1 Poneważ F0,01,, 150 = 4,75 (wartośc krytycznej dla,141 stopn swobody ne ma w tablcach), to hpotezę o równośc wszystkch średnch można odrzucć przy dowolne nskm pozome stotnośc) 3/3 Należy skorzystać z ponższego wzoru na kowarancję (obcążoną, w zwązku z czym należy równeż zastosować obcążona warancję, oblczając współczynnk korelacj lnowej): 1 cov( X, Y) n x y n j j X Y Zatem cov( X, Y) , (zł) 000 zaś r ( X, Y) 0, 66 0,

9 Wartość współczynnka korelacj lnowej oznacza, że zależność jest negatywna (udzał wydatków na żywność maleje wraz ze wzrostem dochodów) dość slna. Ne można natomast powedzeć jedyne na podstawe wartośc współczynnka czy np. jest zblżona do funkcyjnej (determnstycznej) nelnowa czy też lnowa ale dość odległa od funkcyjnej (ne są to jedyne możlwośc). Poza konkursem: o kształce zależnośc mówą teore ekonomczne, w szczególnośc prawo Engla. W wększośc badań zależność jest nelnowa (z drugą pochodną dodatną) nedetermnstyczna. 5/3-33 Sformułowane pytana wskazuje, że należy wykonać test nezależnośc. Tablca lczebnośc hpotetycznych (jake wystąpłyby w przypadku prawdzwośc hpotezy zerowej czyl nezależnośc zmennych) wygląda następująco: Wydatk na kosmetyk (X) Wek kobety (Y) ,75 6,75 1,5 15,75 15,75 3,5 13,5 13, (15 6,75) (10 ) Z Statystyka Z ma rozkład χ z 6 stopnam swobody. 6,75 Przy pozome stotnośc 0,05 wartość krytyczna wynos 1,59 zatem hpotezę zerową (o nezależnośc) odrzucamy. Oznacza to zależność zmennych. Przyczyną wstępnej selekcj próby było ogranczene wpływu wykonywanego zawodu wysokośc zarobków na wydatk. 6/33 Z = 1,515, wartość krytyczna przy najwyższym akceptowalnym pozome stotnośc czyl 0,1 wynos,706 (1 stopeń swobody). Ne można zatem odrzucć hpotezy o nezależnośc stwerdzć zależnośc mędzy palenem korzystanem ze zwolneń. Ne oznacza to, że takej zależnośc ne ma jedyne ne udało sę jej wykazać na podstawe tej próby. 1/ 33 MODELE REGRESJI LINIOWEJ I SZEREGI CZASOWE Ze względu na defncję współczynnka gamma można stwerdzć, że jest on uzyskanym za pomocą MNK oszacowanem parametru regresj w lnowym równanu:

10 P IG 0 gdze P oznacza zmanę ceny danej akcj podczas -tej sesj zaś IG zmanę ndeksu gełdowego. Zakładając wzrost ndeksu gełdowego lepej meć akcje o współczynnku gamma 0,97 (Polmęsu) poneważ wartość oczekwana wzrostu ceny akcj jest wyższa nż w przypadku drugej spółk. O welkośc tego wzrostu decyduje równeż wyraz wolny, poneważ jednak ne jest on znany, to kerując sę jedyne wartoścą współczynnka gamma lepej wybrać spółkę o jego wyższej wartośc. /33 rozwązane na końcu tego tekstu 3/33 k 1 ( ) S ( Y ) S( e) 0,8 ==> S(e) = 4,55 ==> S(a) = 0,83 n 3 ( x X ) 1 a n t,04 ==> a 0,578 S( a) 4/33 a/ tak; współczynnk determnacj (0,7) jest wysok zaś statystyka t (1,/0,13 = 9,3) przekracza wartość krytyczną przy praktyczne dowolnym pozome stotnośc b/ ne; wartość teoretyczna wynos 650 c/ ne; wartość teoretyczna wynos 70 d/ tak; współczynnk korelacj lnowej wynos 0,7 0, 837 (znak jest dodatn, poneważ oszacowane współczynnka regresj jest dodatne) e/ ne; sama wartość oszacowana nc ne mów o jego stotnośc, decyduje wartość statystyk t f/ ne; zmana X o jednostkę powoduje wzrost oszacowana wartośc oczekwanej Y o 1,. INDEKSY 1/34. Rozwązane polega na oblczenu ndeksu cen podzelenu przezeń ndeksu wartośc. Indeks cen oblcza sę wg. formuły Laspeyresa w postac średnej arytmetycznej: L I P 1,3 0,4 1,3 0, 1,5 (1 0,4 0,) 1,8 Interpretacja: w okrese ceny konsumpcyjne wzrosły średno o 8% (przy zastosowanu w ndekse wag z 1994 r.). Indeks wartośc: 310 IV 1,3 400

11 Interpretacja: w okrese nomnalna wartość konsumpcj wzrosła o 30%. Indeks realnego wzrostu konsumpcj: Iv I L P 1,3 1,8 1,0156 Jest to ndeks lośc wg. formuły Paaschego (wag z 1995 r.). Realna konsumpcja )jej fzyczne rozmary) wzrosła o 1,56%. /34. a/ Średne tempo wzrostu jest równe średnej geometrycznej ndeksów z poszczególnych lat: 4 IQ, g 1, 1,11,1 0,7 1,011 Interpretacja: w okrese produkcja rosła średno o 1,1% roczne. b/ Należy rozwązać następujące równane: 60 mld PIP LIQ X Aby loczyn ndeksu lośc Paaschego ndeksu cen był równy ndeksow wartośc (loraz po prawej strone równana), ndeks cen mus być oblczony wg formuły Laspeyresa. X = 34,09 mld. 3/34. Indeks wartośc sprzedaży (0,8) należy rozłożyć na ndeks cen lośc. LIP 1,1 0,3 1,05 0,5 1,00 0, 1,055 Poneważ ndeks lośc (tu: Paaschego) jest lorazem ndeksu wartośc ndeksu cen (tu: Laspeyresa), to PIQ = 0,8:1,055 = 0,758. Pytane (ne moje) ne jest zadane precyzyjne - chodzło o stwerdzene, że spadek wartośc był spowodowany spadkem lośc (fzycznych rozmarów) sprzedaży o 100%-75,8%=4,% przy wzrośce cen o 5,5%. 4/3. Średne tempo wzrostu wynos 37% (metoda dentyczna jak w zadanu a) a/ Przy tym założenu wynagrodzene rosłoby roczne o 16,6%. W 001 r. (czyl po dwóch latach) wynosłoby: 1447 zł 1,166 1,166 = 1967,3 zł b/ Przy tym założenu wynosłoby 1447 zł 1,14 1,14 = 188,1 zł. Założene nższego tempa wzrostu (1,4% zamast 16,6%) jest bardzej realstyczne, gdyż tempo wzrostu malało nemal przez wszystke lata, węc można oczekwać utrzymana tej tendencj w latach następnych.

12 EGZAMIN, paźdzernk 01, Temat A Zad1. a) 0,398 b) Brak podstaw do odrzucena H0, węc ne można stwerdzć, ż samochody obu marek równe często okazują sę wadlwe c), dopuszczalne przyblżena, np. ok. 0,03 lub ok. 0,04 Zad. a) b) c) ; 0,56 Zad. 3. Zad. 4. a) Tak b) dopuszczalne jedno z dwóch rozwązań 434,38 0,83 r 0,83 t 166,013, ,83 4 7, 11 lub H0: α = 0; H1: α > 0 S ( a) 1883/ 4 6, (3,178) 434,38 43, 009 3,178

13 43,009 t 7,11 6,051 t > t0,1 = 1,711 ==> odrzucamy H0 ==> wynk statystyczne stotny c) ocena na podstawe wykresu oraz 0, R 0,678 lub R 1 0, ,01 d) dopuszczalne są oba rozwązana z p. b) 5. KGHM charakteryzował sę najwększym współczynnkem zmennośc. KGHM % PZU % AZOTY TARNÓW % 6. a) Przedzał Częstość obserwowana Częstość hpotetyczna Składnk do statystyk Chkwadrat < >900 5,1 8,5 15, 0,4 0,6 15,7 9,0 5,5 0,84 0,03 3,04 0,8 0,0 0,11,77 1,14 Ch=8,3, p-value=0,144 (lczba stopn swobody=8--1=5) wart krytyczna=11,07, Brak podstaw do odrzucena H0 b) Ile wynos perwszy kwartyl badanej zmennej? Wzór nterpolacyjny: Q1=400+(0,5-0,11)*(100/0,)=463,6 CZĘŚĆ TESTOWA 1. N T T. T T N 3. N N N

14 EGZAMIN, wrzeseń 013, Temat A Zadane 1 a/ drug (patrz: średna współczynnk asymetr), b/ - Zadane a/ K-P: V=455/600=0,758 > V=413/560=0,738 (Lub) b/ S p , 7 t, , t 1,98 < t zatem odrzucamy H0 Różnce stotne 0,05,10 c/ tym bardzej, bo t 1, 658 0,1,10 Zadane 3 a/ SSB= = SST= = zatem SSE = F 4,745 F 15/10,0,01, 19 zatem różnce stotne /( ) b/ tak, jest zależność (ale neodrzucene H0 ne śwadczyłoby to o braku zależnośc) Zadane 4 Posada Ne posada n Masto (386,1) (63,9) Weś (07,9) (14,1) nj Z = 1,5 a/ V 1,5 0, b/ 3, 841 zatem zależność nestotna 1,0,05 Zadane 5 a/ Średn dochód gospodarstwa w wynku wzrostu weku głowy o rok wzrasta o 4,47 zł 0,143 b/ t 998 4, 56 t 10,0,05 1, 98 zatem oszacowane stotne (1 0,143 ) c/ b = 767,4 4,47 49, = 547,5 bez nterpretacj dla tego modelu d/ R 0,143 0, 0 dopasowane słabe Zadane 6 a/ L I P 1,05 0,35 1,03 0,5 1,0 0,4 1, 033 b/ ne wpłyne, c/ I W 0, 956 P I P 0,37 0,4 0,39 1, 033 4, 1,05 1,03 1,0 0,956 L I Q 0,896 spadek o 10,4% 1,033 TEST 1. T N T. N N T 3. N N T 1

15 EGZAMIN, wrzeseń 014, Temat A Zadane = > = Zadane.1. Ne, hpotezę zerową o zgodnośc rozkładu z r. normalnym należy odrzucć; =15,09> =11,07. Przy neco mnejszym od 0,01 decyzja ulegne zmane (ne będze można odrzucć hpotezy zerowej). t Zadane 3 Ze względu na dużą welkość próby można zastosować statystykę U o rozkładze N(0,1) Uobl= obszar krytyczny: Należy odrzucć mówącą o równośc średnch. Zadane 4 [0,1-1,96* ;0,1+1,96* ] [0,081406; 0,118594] Zadane Tak, poneważ rozkłady warunkowe w dwóch podpróbach (Warszawa Mazowecke) są różne. 5.. Lczebnośc teoretyczne: 8,857 07,143 17,143 4,857 χ =0,616+0,46+,976+1,19=5,09>3,841= Należy odrzucć hpotezę mówącą o nezależnośc rozkładu, zatem zmenne są zależne. Zadane Interpretacja: wraz ze wzrostem edukacj o rok następuje wzrost średnch wydatków gospodarstwa o 8,935 zł. Test:

16 = > Zależność lnowa jest st. stotna - można odrzucć hpotezę o współczynnku regresj równym zero. 6.. =0,147 lub Zadane Wolumen konsumpcj zmenł sę przecętne o 31,5% 7. Średne roczne tempo wzrostu konsumpcj w cenach beżących wynosło 4,56%. TEST 1. N T T. N N T 3. N N T

17 Zadane /33 Wszystke możlwe wskaźnk sezonowośc y t 9, , , , ,5 14 t (czas) y t ,563 10,688 10,813 10,875 11,15 11,688 1,50 1,688 13,000 13,375 13,813 14, y t / yt - - 1,089 1,09 0,95 0,966 1,079 0,941 0,980 1,05 1,077 0,935 0,941 1, kwartał I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV O 0,949 1,016 1,081 0,968 O 1,004 O 0,945 1,01 1,078 0,965 O 1,000 y - - 0,94 0,31-0,81-0,38 0,88-0,69-0,5 0,31 1,00-0,88-0,81 0, t yt S -0,65 0,50 0,938-0,417 S 0,036 S -0,661 0,14 0,901-0,453 S 0,000 yt szereg empryczny (t=1,..., 16) y t = [yt + yt+1 + yt-1+ 0,5(yt+ + yt-)]/4 (szereg wygładzony za pomocą średnch ruchomych scentrowanych o długośc 4; metoda mechanczna ) y t / yt - loraz wyrazu szeregu emprycznego wygładzonego metodą średnch ruchomych O - średna wartość wahań okresowych) y t / yt dla -tego (=I,II,III,IV) kwartału (relatywny, surowy wskaźnk O / 4 - średna wartość surowego wskaźnka wahań okresowych (najczęścej różna O od 1, jeżel stosuje sę metodę średnch ruchomych O = O / O - relatywny, oczyszczony wskaźnk wahań okresowych O / 4 - średna wartość oczyszczonego wskaźnka wahań okresowych, zawsze równa O 1 (średne odchylene od trendu wynos 0) S - średna wartość wahań okresowych) yt yt dla -tego (=I,II,III,IV) kwartału (absolutny, surowy wskaźnk S / 4 - średna wartość surowego wskaźnka wahań okresowych (najczęścej różna od S 0, jeżel stosuje sę metodę średnch ruchomych) S S S - absolutny, oczyszczony wskaźnk wahań okresowych

18 S / 4 - średna wartość oczyszczonego wskaźnka wahań okresowych, zawsze równa S 0 (średne odchylene od trendu wynos 0)