Naprężenia styczne i kąty obrotu

Transkrypt

1 Naprężenia tyczne i kąty obrotu Rozpatrzmy pręt pryzmatyczny o przekroju kołowym obciążony momentem kręcającym 0 Σ ix 0 0 A A 0 0 Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie 1

2 Naprężenia tyczne i kąty obrotu Ekperyment Kolejne przekroje poprzeczne obracają ię, ale nie odkztałcają Przekrój krajny obraca ię o kąt φ Tworzące pochylają ię o kąt γ, ale pozotają protoliniowe Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie

3 Naprężenia tyczne i kąty obrotu c d x tg γ ρ tg dφ tg γ γ tg dφ dφ c γ d x ρ dφ γ dφ ρ dx (4.1) Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie 3

4 Naprężenia tyczne i kąty obrotu Prawo Hooke a dla odkztałceń wzdłużnych (.17) σ E ε Prawo Hooke a dla odkztałceń potaciowych τ G γ (4.) gdzie G moduł prężytości potaciowej (moduł Kirchhoffa) G E (1 + ν) (4.3) Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie 4

5 Naprężenia tyczne i kąty obrotu Warunek równoważności τ ρ d A (4.4) A Podtawiamy (4.1) i (4.) i otrzymujemy G γ ρ da G ρ ρ da A A dφ dx 3 π r I ρ da ρ π ρ dρ π ρ dρ dφ G dx A ρ da dφ G I (4.5) dx r r 4 4 π d (4.6) 3 A 0 0 G I ztywność pręta na kręcanie moment bezwładności na kręcanie I Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie 5

6 Naprężenia tyczne i kąty obrotu Przekztałcając (4.5) otrzymujemy G I dφ dx d φ przyrot kąta obrotu pręta d φ dx (4.7) G I Całkując po długości pręta l otrzymujemy całkowity kąt kręcenia φ l l l d φ dx G I G I l φ dx G I l φ (4.8) G I Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie 6

7 Naprężenia tyczne i kąty obrotu Naprężenia tyczne Na podtawie (4.) możemy zapiać τ ( ρ) G γ( ρ) (4.9) Podtawiamy (4.1) i (4.5) i otrzymujemy dφ τ( ρ) G ρ G dx G I τ ρ) I ρ I ( ρ (4.10) ρ W τ wkaźnik wytrzymałości na kręcanie max τ( r ) r (4.11) I W W 3 3 I (4.1) r π r π d 16 Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie 7

8 Naprężenia tyczne i kąty obrotu Przekrój pierścieniowy I W 4 4 w ) (4.13) π ( dz d 3 π ( dz 4 4 dw ) (4.14) 16dz Przekrój pierścieniowy cienkościenny δ << d d z + d d w d z d + δ / d z d δ / d r 3 3 π d I π r δ δ (4.15) 4 (4.16) π d W π r δ δ Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie 8

9 Naprężenia tyczne i kąty obrotu Przekrój cienkościenny o profilu otwartym I W 1 3 n i 1 δ max makymalna grubość ścianki b i długość i-tego odcinka δ i grubość i-tego odcinka I wkaźnik ztywności przekroju na kręcanie b I i δ 3 i (4.17) (4.18) δ max Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie 9

10 Naprężenia tyczne i kąty obrotu Przekrój cienkościenny o profilu zamkniętym wzory Bredta I 4A0 bi δ n i 1 0 i min (4.19) W A δ (4.0) A 0 pole powierzchni przekroju poprzecznego ograniczone linią średnią δ min minimalna grubość ścianki b i długość i-tego odcinka δ grubość i-tego odcinka i Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie 10

11 Skręcanie wobodne W ogólnym przypadku kręcania wobodne pręta jego obciążenie tanowi zbiór momentów czynnych kręcających pręt Pręt traktujemy jako zbiór prętów o długościach l 1, l,..., ln Kąty kręcenia prętów umują ię, a całkowity kąt kręcenia jet określony wzorem i l i φ φ 1 + φ + n... i li + φn i 1( G I ) (4.1) i moment kręcający w i-tym odcinku pręta [N m] długość i-tego odcinka pręta [m] ( G ) ztywność oiowa pręta w i-tym odcinku [N m ] I i Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie 11

12 Skręcanie wobodne Do wyznaczenia reakcji wykorzytujemy równanie równowagi tatycznej uma momentów zewnętrznych względem oi x jet równa zeru W dowolnym przekroju poprzecznym pręta moment kręcający jet równy umie momentów zewnętrznych działających po jednej tronie przekroju względem oi pręta rozwiązując od prawej trony Σ ( p) ix (4.a) rozwiązując od lewej trony ( l ) Σix (4.b) Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie 1

13 Projektowanie kręcanie Zadania projektowe prowadzają ię do określenia wymiarów przekroju poprzecznego pręta na podtawie warunku nośności i/lub użytkowania Warunek nośności prawdzenie, czy naprężenia w projektowanym elemencie nie przekraczają naprężeń dopuzczalnych W przypadku prętów kręcanych warunek nośności możemy zapiać w potaci: τ max k t (4.3) τ max najwiękze co do modułu naprężenie tyczne naprężenia dopuzczalne przy kręcaniu k t k 0, 58 t k r Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie 13

14 Projektowanie kręcanie Warunek użytkowania prawdzenie, czy przemiezczenia projektowanego elementu nie przekraczają przemiezczeń dopuzczalnych. W przypadku prętów kręcanych warunek użytkowania możemy zapiać w potaci: φ φ (4.4) max φ max makymalne przemiezczenie rozpatrywanego elementu φ dop przemiezczenie dopuzczalne dop Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie 14

15 BIBLIOGRAFIA Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z., Wytrzymałość materiałów, tom I, WNT, Warzawa Klaztorny., Skrypt do wytrzymałości materiałów [w przygotowaniu]. Skręcanie prętów o przekroju kołowym, pierścieniowym, cienkościennym. Naprężenia tyczne, kąty obrotu. Projektowanie