System Liczbowe. Szesnastkowy ( heksadecymalny)

Transkrypt

1 SYSTEMY LICZBOWE 1

2 System Liczbowe Dwójkowy ( binarny) Szesnastkowy ( heksadecymalny) Ósemkowy ( oktalny) Dziesiętny ( decymalny) 2

3 System dziesiętny Symbol Wartość w systemie Liczba 6 6 *10 0 sześć 65 6 * * 10 0 sześćdziesiąt pięć * * * 10 0 dwieście czterdzieści trzy 3

4 System piątkowy (4013) 5 = 4 * * * * 5 0 = = (508) 10 4

5 Liczba B 73 (dec) (bin) (hex) (oct) 5

6 System dwudziestkowy 6

7 Ilość znaków w systemach dwójkowy ósemkowy dziesiętny szesnastkowy 2 symbole 8 symboli 10 symboli 16 symboli A(=10) B(=11) C(=12) D(=13) E(=14) F(=15) 7

8 System dwójkowy Dwójkowy ( binarny) 8

9 System dwójkowy 5 2 U[V] 1 0,8 0 Cyframi tego systemu są: 0 i 1. 0 Symbolizują one dwa stany tzw. 0 - stan niski (brak działania/brak sygnału) 1- stan wysoki (działanie układu/sygnał) t 9

10 Binarny kod znakowy Znak Kod Znak Kod Znak Kod Znak Kod a h o v b i p w c j q x d k r y e l s z f m t g n u

11 Konwersja (z DEC na BIN) DEC BIN : dzielenie przez =

12 Konwersja (z BIN na DEC) BIN DEC : mnożenie przez 2 do odpowiedniej potęgi = 1x x x x x x2 0 = 1 x x x x x x 1 = = 44 12

13 29 DEC BIN = 29 13

14 81 DEC BIN =

15 137 BIN DEC =

16 Ósemkowy ( oktalny) 16

17 System ósemkowy zwany oktalnym. Ósemkowy system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. Do zapisu liczb używa się w nim ośmiu cyfr, od 0 do 7. Używa się systemu ósemkowego, dlatego, że skraca on zapis liczb dwójkowych. 17

18 Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym przybiera postać 144, gdyż: = =

19 Zamiana liczby z systemu dziesiętnego na system ósemkowy polega na dzieleniu liczby zapisanej w systemie dziesiątkowym z resztą przez 8, np. 100:8 = 12 reszty = 4 12:8 =1 reszty = 4 1:8= 0 reszty = 1 Reszty czytane od dołu. 144 w systemie ósemkowym, to 100 w systemie dziesiętnym. 19

20 Jeżeli mamy liczbę zapisaną w formacie ósemkowym jako 123, to zamieniając na zapis dziesiętny, dokonujemy następującej konwersji: 1* * *8 0 = = 83 Tak jak w systemie dziesiętnym kolejne pozycje (licząc od prawej) mówią, jaka jest w liczbie wielokrotność 1, 10, 100, 1000 itd., tak w systemie ósemkowym kolejne "podstawy" będą mieć wartości 8 0 =1, 8 1 =8, 8 2 =64, 8 3 =512, 8 4 =4096 itd. 20

21 Zamiana liczby ósemkową na dziesiętną Przykład: = = = =

22 Zamiana liczby dziesiętnej na ósemkową Mamy znaleźć reprezentację liczby w systemie ósemkowym = : 8 = 1250, reszta : 8 = 156, reszta : 8 = 19, reszta 4 19 : 8 = 2 reszta 3 2 : 8 = 0 reszta 2 22

23 cyfra ósemkowa Zamiana liczb ósemkowych cyfry dwójkowe na binarne Liczby ósemkowe bardzo prosto przeliczamy na system binarny. Jedna cyfra ósemkowa zawsze przechodzi w trzy cyfry binarne:

24 cyfra ósemkowa Zamiana liczb binarną na ósemkową Liczbę dwójkową dzielimy na trójki bitów. Jeśli ostatnia trójka jest niepełna, uzupełniamy ją bitami o wartości 0. Następnie każdą z trójek zastępujemy odpowiadającą im cyfrą ósemkową. cyfry dwójkowe

25 System ósemkowy 25

26 System ósemkowy 26

27 System ósemkowy 27

28 System szesnastkowy Szesnastkowy ( heksadecymalny) 28

29 System szesnastkowy 29

30 SYSTEM SZESNASTKOWY System szesnastkowy posiada 16 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Pierwsze 10 cyfr jest takie same jak w systemie dziesiętnym. Za kolejne 6 cyfr przyjęto pierwsze litery alfabetu. Litery te w zapisie liczby mogą być małe lub duże. Wartości tych cyfr to kolejno A=10, B=11, C= 12, D=13, E=14, F=15. 30

31 Zamiana liczby szesnastkowej na dziesiętną A(=10) Przykład: AFD3 16 = AFD3 16 = AFD3 16 = AFD3 16 = B(=11) C(=12) D(=13) E(=14) F(=15) 31

32 Zamiana liczby dziesiętnej na szesnastkową Mamy znaleźć reprezentację liczby w systemie szesnastkowym = 1869F : 16 = 6249, reszta 15 - cyfra F 6249 : 16 = 390, reszta : 16 = 24, reszta 6 24 : 16 = 1. reszta 8 1 : 16 = 0, reszta = 1869F 16 32

33 Cyfra szesnastkowa Cyfry dwójkowe A 1010 B 1011 C 1100 D 1101 E 1110 F

34 40

35 45

36 46

37 47

38 48

39 Operacje arytmetyczne - dodawanie Tabliczka dodawania binarnego = = = = 0 i 1 dalej ,011 3, , , ,001 11, Przekroczenie górnej granicy liczby - nadmiar (ang. overflow)

40 Operacje arytmetyczne - odejmowanie Tabliczka odejmowania binarnego 0-0 = = = = 1 i pożyczka Przekroczenie dolnej granicy liczby - niedomiar (ang. underflow)

41 Operacje arytmetyczne - mnożenie Tabliczka mnożenia binarnego 0 x 0 = 0 1 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 1 = x 0101 x x 1101 x nadmiar (ang. overflow) 51

42 Operacje arytmetyczne - mnożenie 10,1 2,5 x 11,01 x 3, , ,125 52

43 Operacje arytmetyczne - dzielenie polega na cyklicznym odejmowaniu odpowiednio przesuniętego dzielnika od dzielnej dzielna Podzielimy 1110 (2) przez 11 (2) (14 : 3) przesunięty dzielnik różnica dzielnej i przesuniętego dzielnika 53

44 Operacje arytmetyczne - dzielenie wynik dzielenia dzielna dzielnik dzielna po odejmowaniu przesuniętego dzielnika dzielnika nie można odjąć dzielna dzielnika nie można odjąć, koniec reszta z dzielenia 54

45 Literatura: 1. OPTYKA Eugene Hecht Opracowanie własne mgr inż. Ryszard Marszalek 55