EKONOMETRIA ECONOMETRICS 2(48) 2015

Transkrypt

1 EKONOMETRIA ECONOMETRICS 2(48) 2015 Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu Wrocław 2015

2 Redakcja wydawncza: Anna Grzybowska Redakcja technczna: Barbara Łopusewcz Korekta: Barbara Cbs Łamane: Małgorzata Czupryńska Projekt okładk: Beata Dębska Informacje o naborze artykułów zasadach recenzowana znajdują sę na strone nternetowej Wydawnctwa Publkacja udostępnona na lcencj Creatve Commons Uznane autorstwa-użyce nekomercyjne-bez utworów zależnych 3.0 Polska (CC BY-NC-ND 3.0 PL) Copyrght by Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu Wrocław 2015 ISSN e-issn Wersja perwotna: publkacja drukowana Zamówena na opublkowane prace należy składać na adres: Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu ul. Komandorska 118/ Wrocław tel./fax ; e-mal:econbook@ue.wroc.pl Druk oprawa: TOTEM

3 Sps treśc Wstęp... 7 Macej Beręsewcz, Marcn Szymkowak: Bg data w statystyce publcznej nadzeje, osągnęca, wyzwana zagrożena... 9 Łukasz Skowron: Wpływ szerokośc skal na mary dopasowana modelu śceżkowego Tomasz Bartłomowcz: Wpływ układu czynnkowego na pomar preferencj konsumentów metodą Maxmum Dfference Scalng Marcn Pełka: Regresja logstyczna dla danych symbolcznych nterwałowych Alcja Grześkowak: Badane opn polskch pracodawców o umejętnoścach absolwentów szkół wyższych z wykorzystanem technk wzualzacyjnych Artur Wołkowcz: Modele ekonometryczne jako narzędze sterowana procesam technologcznym Macej Oesterrech: Symulacyjna analza wpływu lczby rozmeszczena luk nesystematycznych na dokładność prognoz Marusz Kubus: Identyfkacja potencjalnych nabywców pols ubezpeczenowych w warunkach mocno nezblansowanej próby uczącej Anna Czapkewcz, Paweł Jamer: Dynamka współzależnośc warszawskej Gełdy Paperów Wartoścowych z nnym rynkam fnansowym Paweł Kowalk: Ocena pozomu rozwoju gospodarczego powązań z zagrancą krajów na przykładze członków NAFTA Józef Dzechcarz: Recenzja ksążek Statystyka opsowa. Przykłady zadana oraz Wzory tablce. Metody statystyczne ekonometryczne Agneszka Stanmr: XIX Warsztaty Metodologczne m. Profesora Stefana Mynarskego pt. Welowymarowość złożoność danych marketngowych. Wyzwana analtyczne, 11 maja 2015, Wrocław Summares Macej Beręsewcz, Marcn Szymkowak: Bg data n offcal statstcs hopes, achevements, challenges and rsks... 9 Łukasz Skowron: Impact of the choce of scale on the goodness of ft of the Structural Equaton Model... 23

4 6 Sps treśc Tomasz Bartłomowcz: Impact of factoral desgn on the measurement of consumers preferences usng Maxmum Dfference Scalng Marcn Pełka: Logstc regresson for nterval-valued symbolc data Alcja Grześkowak: Evaluaton of Polsh employers opnons about the competences of hgher educaton graduates wth the use of vsualzaton technques Artur Wołkowcz: Econometrc models as a tool for technologcal process control Macej Oesterrech: Smulaton analyss of nfluence of number and dstrbuton of unsystematc gaps on the accuracy of forecasts Marusz Kubus: Identfcaton of potental purchasers of the nsurance polces under hard unbalanced tranng set Anna Czapkewcz, Paweł Jamer: Dynamcs of nterdependence between Warsaw Stock Exchange and other fnancal markets Paweł Kowalk: Assessment of economc development and foregn relatons as llustrated by the case of NAFTA member states

5 EKONOMETRIA ECONOMETRICS 2(48) 2015 ISSN e-issn Marcn Pełka Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu e-mal: REGRESJA LOGISTYCZNA DLA DANYCH SYMBOLICZNYCH INTERWAŁOWYCH LOGISTIC REGRESSION FOR INTERVAL-VALUED SYMBOLIC DATA DOI: /ekt Streszczene: W praktyce badawczej często mamy do czynena z sytuacją, gdy zmenna zależna ma postać zmennej dwumanowej (bnarnej, dychotomcznej). Poneważ model regresj lnowej ne znajduje tutaj zastosowana, koneczne jest zastosowane model nelnowych. Modelem regresj stosowanym dla zmennych dwumanowych jest model regresj logstycznej. Artykuł prezentuje adaptację modelu regresj logstycznej dla zmennych symbolcznych nterwałowych. W tym celu wskazano cztery różne rozwązana, które zaproponowano w lteraturze przedmotu. W częśc emprycznej zaprezentowano wynk badań z zastosowanem sztucznych rzeczywstych zborów danych. Otrzymane wynk wskazują, że model regresj logstycznej, po odpowednej modyfkacj, może znaleźć zastosowane dla zmennych symbolcznych nterwałowych. Najlepsze dopasowane uzyskują modele budowane na podstawe środków bądź metody krańców o estymacj łącznej. Słowa kluczowe: regresja logstyczna, zmenne symbolczne nterwałowe, analza danych symbolcznych. Summary: When dealng wth real data stuaton we often have a bnary (bomal, dchotomous) dependent varable. As the lnear probablty model s not such a good soluton n such a stuaton there s a need to use nonlnear models. A qute good soluton for such a stuaton s the logstc regresson model. The paper presents an adaptaton of lnear regresson model when dealng wth symbolc nterval-valued varables. Four approaches poposed by de Souza et. al [2011] how to apply such varables are presented. In the emprcal part results obtaned wth the applcaton of artfcal and real data sets are shown. The best results are obtaned for mdpont and bounds (jont estmaton) methods. Keywords: logstc regresson, nterval-valued symbolc varables, symbolc data analyss. 1. Wstęp W regresj logstycznej przedmotem modelowana jest zmenna dwumanowa (bnarna, dychotomczna). Przykładam takch zmennych mogą być na przykład (por. [Gruszczyńsk 2010, s. 17, 53-55; Gatnar, Walesak 2011, s. 99]):

6 Regresja logstyczna dla danych symbolcznych nterwałowych 45 y stan aktywnośc zawodowej: 1 pracuje, 0 w pozostałych przypadkach, y zmana dotychczasowego operatora sec komórkowej: 1 zmana nastąpła, 0 zmana ne nastąpła, y polecene produktu lub usług nnej osobe: 1 produkt (usługa) został polecony, 0 w pozostałych przypadkach. Do typowych celów modelowana zmennej dwumanowej zalcza sę przede wszystkm prognozowane wartośc zmennej y (w tym prognoza tego, że zmenna y = 1), czyl prognoza zmany prawdopodobeństwa wywołanej zmaną wartośc jednej ze zmennych. Drugm celem jest ustalane zmennych, które są stotne dla określena prawdopodobeństwa dla zmennej y. Innym celam są także weryfkacja hpotezy na temat mechanzmu generującego wartośc y oraz konstrukcja funkcj zmennych objaśnających, która pozwol rozróżnć dwe grupy zborowośc jednej odpowadającej y = 1 oraz drugej, która odpowada y 0 (zob. [Gruszczyńsk 2010, s. 54]). Celem artykułu jest prezentacja adaptacj klasycznego modelu regresj logstycznej dla zmennych symbolcznych nterwałowych. Dodatkowo w artykule porównano dokładność oszacowań otrzymanych z zastosowanem każdej z metod na przykładze sztucznych rzeczywstych zborów danych. W artykule przedstawono zagadnene danych symbolcznych oraz cztery różne rozwązana, które zaproponowano w lteraturze przedmotu dla regresj logstycznej danych nterwałowych (zob. [de Souza, Queroz, Cysneros 2011]): metodę środków, metodę krańców w dwóch różnych warantach tej metody. W częśc emprycznej zaprezentowano wynk badań z zastosowanem sztucznych rzeczywstych zborów danych. Artykuł stanow perwsze polske opracowane opsujące regresję logstyczną danych symbolcznych nterwałowych, a dodatkowo porównuje różne podejśca estymacyjne dokonuje ch ewaluacj. 2. Regresja logstyczna danych nterwałowych Obekty symbolczne, w przecweństwe do obektów w ujęcu klasycznym, mogą być opsywane przez następujące rodzaje zmennych ([Bock, Dday (red.) 2000, s. 2-3; Bllard, Dday 2006, s. 7-30; Dudek 2013, s ]): zmenne nomnalne, porządkowe, przedzałowe, lorazowe, zmenne nterwałowe czyl przedzały lczbowe, zmenne welowarantowe czyl lsty kategor lub wartośc, zmenne welowarantowe z wagam czyl lsty kategor z wagam, zmenne hstogramowe czyl lsty wartośc z wagam. Szerzej o obektach zmennych symbolcznych, sposobach otrzymywana zmennych symbolcznych z baz danych, różncach podobeństwach mędzy obektam symbolcznym a klasycznym znaleźć można m.n. w pracach: [Bock, Dday

7 46 Marcn Pełka (red.) (2000), s. 2-8; Dudek 2013, s ; 2004; Bllard, Dday 2006, s. 7-66; Norhomme-Frature, Brto 2011; Dday, Norhomme-Frature 2008, s. 3-30]. W ogólnej postac lnowy model regresj welu zmennych przedstawa sę za pomocą następującego równana: m 0 0t 1 1t m mt t j= 0 Y = b X + b X + + b X + e = b X + e, (1) t gdze: Y zmenna objaśnana (regresant), X, X, 0 1, X m zmenne objaśnające (regresyjne), b 0, b1,, bm parametry strukturalne modelu, e składnk losowy, t = 1, T numer obserwacj, j = 0, 1,, m numer zmennej objaśnającej. W przypadku, gdy model przedstawony równanem 1 stosowany jest dla zmennych dwumanowych, przedmotem modelowana jest prawdopodobeństwo P, że zmenna objaśnana przyjme wartość zero lub 1. Nemnej jednak zastosowane lnowego modelu regresj nese za sobą ryzyko, że oblczone na jego podstawe prawdopodobeństwa będą wększe od 1 lub mnejsze od zera (prezentuje to np. [Gatnar, Walesak 2011, s. 100]). W zwązku z tym znaczne lepszym rozwązanem jest zastosowane modelu logtowego. * W modelu logtowym zakłada sę, że mamy do czynena ze zmenną ukrytą y, która ne jest obserwowana bezpośredno. Obserwujemy natomast: j jt t > y = 0, dla y 0 1, dla * y 0. * (2) * Zmenna ukryta y reprezentuje skłonność -tego obektu do przyjmowana wartośc y = 1. Model logtowy ma zatem postać: m * t = 0 0t + 1 1t + + m mt + t = j jt + t j= 0 Y bx bx b X e bx e. (3) Prawdopodobeństwo, że zmenna nezależna y przyjme wartość zero lub 1, jest zatem funkcją zmennych objaśnających parametrów: exp T 1 P = F( xb ) = = 1+ exp 1+ exp T ( xb ) gdze: F dystrybuanta rozkładu logstycznego. T ( xb ) T ( xb ) Powstaje pytane, w jak sposób oblczyć prawdopodobeństwa z wykorzystanem wzoru 4, jeżel mamy do czynena ze zmennym symbolcznym nterwało-, (4)

8 Regresja logstyczna dla danych symbolcznych nterwałowych 47 wym. Zmenne te mają postać przedzału lczbowego: x, x, gdze x to dolny kranec przedzału -tej zmennej, a x to górny kranec przedzału -tej zmennej. W artykule de Souzy n. (por. [de Souza, Queroz, Cysneros 2011]) zaproponowano cztery modyfkacje pozwalające na szacowane prawdopodobeństwa z wykorzystanem wzoru 4, jeżel mamy do czynena ze zmennym symbolcznym nterwałowym [de Souza, Queroz, Cysneros 2011, s ]): 1. Metoda środków (centers), która jest stosowana m.n. w odnesenu do regresj lnowej czy w analze głównych składowych dla danych symbolcznych nterwałowych (por. np. [Bllard, Dday 2006; Dudek 2013]). W tym rozwązanu zamast całego przedzału zmennej symbolcznej we wzox x rze 4 wykorzystuje sę jedyne środek jej przedzału. Prawdopodobeństwo, 2 że zmenna y przyjme wartość zero lub 1, oblczane jest dla środków przedzałów wszystkch zmennych. 2. Metoda krańców (bounds). W tym przypadku zamast całego przedzału zmennej symbolcznej wykorzystywane są jedyne krańce tej zmennej x oraz x. Prawdopodobeństwo wyrażone wzorem 4 może być szacowane łączne z wykorzystanem obydwu krańców jednocześne estymacja łączna (jont estmaton). W odnesenu do estymacj łącznej (jont estmaton) prawdopodobeństwo wyznacza sę ze wzoru 4, wykorzystując zarówno krańce dolne, jak krańce górne przedzałów wszystkch zmennych jednocześne (mamy tu do czynena z 2m zmennym, gdze: m lczba zmennych symbolcznych nterwałowych). Prawdopodobeństwo to może być równeż średną oblczoną z dwóch model (por. [Alexandre, Camplho, Kamel 2001]) jednego dla krańców dolnych drugego dla krańców górnych estymacja rozdzelona (separated estmaton). Dokonuje sę węc oszacowana dwóch prawdopodobeństw jednego dla krańców górnych oraz drugego dla krańców dolnych zmennych symbolcznych nterwałowych. 3. Metoda werzchołków (vertces), która jest stosowana m.n. w analze dyskrymnacyjnej czy analze głównych składowych dla danych symbolcznych nterwałowych (por. np. [Slva, Brto 2006]). W metodze tej zamast m zmennych symbolcznych nterwałowych x 1, x 1,, x t, xt stosowana jest macerz M, która jest kombnacją wszystkch werzchołków we wszystkch zmennych: x1 xt x1 xt M. (5) x1 xt x 1 xt

9 48 Marcn Pełka Na przykład jeżel mamy jeden obekt dwe zmenne symbolczne nterwałowe, x, x x, to macerz M ma postać: x , 21 x11 x 21 x11 x21 M. (6) x 11 x 21 x11 x21 W metodze werzchołków ostateczne prawdopodobeństwo to (por. [de Souza, Queroz, Cysneros 2011, s. 277]): a) średna z prawdopodobeństw oblczonych dla wszystkch kombnacj werzchołków danego obektu, b) wartość maksymalna wśród prawdopodobeństw oblczonych dla wszystkch kombnacj werzchołków danego obektu, c) wartość mnmalna wśród prawdopodobeństw oblczonych dla wszystkch kombnacj werzchołków danego obektu. Wśród mar dopasowana dla model dwumanowych w lteraturze przedmotu zaproponowano (zob. np. [Gatnar, Walesak 2011, s ; Gruszczyńsk n. 2010, s ; Smth, McKenna 2013, s ; Hosmer, Lemeshow, Sturdvant 2013; Menard 2002]): 1. R 2 współczynnka korelacj mędzy wartoścam teoretycznym emprycznym zmennej objaśnanej. 2. Mara R 2 Efrona: 2 n 2 2 n 1 R 1 y ˆ / 1 y n, (7) 1 n gdze: gdze: y wartośc empryczne zmennej objaśnanej, ŷ wartośc teoretyczne zmennej objaśnanej, n 1 lczba jedynek dla zmennej y, n lczba obserwacj. 1. Mara R 2 Nagelkerke: R 2 / n n 1 exp D Dnull, (8) 1 exp D / D ln LUR maksmum funkcj warygodnośc, przy maksymalzacj względem wszystkch parametrów (dla pełnego modelu), Dnull ln LR, L R maksmum funkcj warygodnośc przy maksymalzacj pod warunkem m j 1b j 0 (dla modelu tylko z wyrazem wolnym). null

10 Regresja logstyczna dla danych symbolcznych nterwałowych Mara R 2 McFaddena: R 2 D 1. (9) Mary dopasowana R 2 dla model dwumanowych należą do przedzału 0;1 m są wększe, tym lepsze dopasowane modelu. Prognozę dla prawdopodobeństwa P można wyznaczyć na podstawe wektora zmennych objaśnających. Dla próby zblansowanej yˆ 0, jeżel Pˆ 0,5 oraz yˆ 1dla P ˆ >0,5. W próbe nezblansowanej y ˆ 0, jeżel Pˆ oraz yˆ 1dla P > ( odsetek jedynek w próbe). ˆ 3. Wynk badań emprycznych Celem badana jest porównane czterech proponowanych w lteraturze rozwązań pod względem jakośc dopasowana model do danych (w sense współczynnka R 2 ). Dotychczasowe badana z zastosowanem sztucznych zborów danych (zob. [de Souza, Queroz, Cysneros 2011, s ]) wskazują, że zwykle to metoda krańców o estymacj rozdzelonej otrzymuje wynk najlepsze dla różnych model, a najgorsze metoda środków. Na potrzeby badań emprycznych przygotowano w programe R z wykorzystanem paketu clustersm dwa sztuczne zbory danych (rys. 1): 1. Zbór 100 obektów symbolcznych, podzelony na trzy klasy o wydłużonym kształce, które są opsywane przez dwe zmenne symbolczne nterwałowe. Obserwacje są losowane nezależne z rozkładu normalnego o średnch (0, 0), (1,5, 7), 1, 0,9. D null (3, 14) oraz macerzy kowarancj jj jl 2. Zbór 100 obektów symbolcznych, podzelony na dwe klasy o wydłużonym kształce, które są opsywane przez dwe zmenne symbolczne nterwałowe. Obserwacje są losowane z rozkładu normalnego o średnch (0, 0), (1, 5) macerzach kowarancj 1 0,9 1 0,5, 1 2 0,9 1 0,5 1. W badanach emprycznych wykorzystano także zbór danych opsujący oleje (zbór danych przygotowal M. Ichno H. Yaguch). Zbór opsuje 8 różnych tłuszczów roślnnych zwerzęcych, które są opsywane przez cztery zmenne symbolczne nterwałowe (zob. [Ichno, Yaguch 1994]) oraz zbór cars (pochodzący z programu SODAS ). Zbór cars zawera 33 model samochodów różnych marek, które są opsywane przez 11 zmennych (w tym 8 nterwałowych). Do analz wykorzystano jedyne zmenne nterwałowe, a zbór danych podzelono na dwe grupy samochodów: użytkowe (10 obektów) oraz pozostałe (23 obekty). 1 Program jest dostępny pod adresem

11 50 Marcn Pełka Rys. 1. Zbory danych wygenerowane na potrzeby badań emprycznych Źródło: opracowane własne z wykorzystanem programu R. Tabela 1. Wynk badań emprycznych Zbór danych I Zbór danych II Zbór Ichnno Yaguchego Zbór cars Środków Krańców (estymacja łączna) Krańców (estymacja rozdzelona) a Werzchołków (wynk uśrednone) b dokładność prognozy R 2 Efrona R 2 Nagelkerke R 2 McFaddena dokładność prognozy R 2 Efrona R 2 Nagelkerke R 2 McFaddena dokładność prognozy R 2 Efrona R 2 Nagelkerke R 2 McFaddena dokładność prognozy 1 1 0,94 0,95 R 2 Efrona 1 1 0,87 0,89 R 2 Nagelkerke 1 0,99 0,91 0,95 R 2 McFaddena 1 0,99 0,86 0,89 Metoda szacowana a Wynk uśrednono na podstawe wynków otrzymanych dla krańca górnego dolnego; b w tabel zaprezentowano wynk dla rozwązana, które polega na uśrednanu wynków; pozostałe rozwązana (wartość mnmalna maksymalna) uzyskały neco gorsze wynk. Źródło: opracowane własne z zastosowanem autorskch procedur programu R.

12 Regresja logstyczna dla danych symbolcznych nterwałowych 51 Wynk otrzymane z zastosowanem każdej z proponowanych metod dla poszczególnych zborów danych zawarto w tab. 1. Z danych zawartych w tab. 1 wynka, że w odnesenu do zborów danych o typowych (wydłużonych) kształtach wszystke metody zaproponowane w pracy de Souzy, Queroza Cysnerosa [2011] uzyskują stuprocentową dokładność prognozy oraz wszystke mernk R 2 są równe jednośc. Jeśl mamy do czynena z neco bardzej skomplkowanym zborem danych które tworzą skupena o klasach trudno separowalnych czy nerozłącznych które dodatkowo mają netypowe kształty skupeń (jak np. zbór cars), to najlepsze wynk uzyskuje metoda środków, następne metoda krańców o estymacj łącznej. Najsłabej wypadają tu metoda werzchołków oraz metoda krańców o estymacj rozdzelonej. 4. Zakończene Regresja logstyczna może znaleźć zastosowane do analzowana zjawsk opsywanych przez zmenne symbolczne nterwałowe oraz zmenne metryczne, które opsują obekty symbolczne. Przeprowadzone badana empryczne wskazują, że w odnesenu do zborów danych o klasycznym wydłużonym kształce wszystke rozwązana zaproponowane w lteraturze przedmotu osągają take same wynk, jeżel chodz o dokładność prognozy oraz dopasowane modelu do danych (w sense mary R 2 ). Gdy mamy do czynena ze zboram danych o neco bardzej skomplkowanej strukturze danych (tj. zborów danych tworzących skupena trudno separowalne lub nerozłączne o kształtach nesferycznych), wtedy najlepsze wynk uzyskała metoda środków oraz metoda krańców o estymacj łącznej. Najgorsze wynk uzyskały metoda werzchołków, która uśredna wynk, oraz metoda krańców o estymacj rozdzelonej. Celem dalszych badań będze analza porównawcza proponowanych w lteraturze przedmotu rozwązań w zakrese regresj nterwałowych z zastosowanem sztucznych rzeczywstych zborów danych różnego typu (w tym zborów danych zawerających obserwacje odstające zmenne zakłócające). Lteratura Alexandre L.A., Camplho A.C., Kamel M., 2001, On combnng classfers usng product and sum rules, Pattern Recognton Letters, vol. 22, ssue 12, s Bock H.-H., Dday E. (red.), 2000, Analyss of Symbolc Data. Explanatory Methods for Extractng Statstcal Informaton from Complex Data, Sprnger Verlag, Berln-Hedelberg. Bllard L., Dday E., 2006, Symbolc Data Analyss. Conceptual Statstcs and Data Mnng, John Wley & Sons, Chchester. de Souza R.M.C.R., Queroz D.C.F, Cysneros F.J.A., 2011, Logstc regresson-based pattern classfers for symbolc nterval data. Pattern Analyss and Applcatons, vol. 14, ssue 3, s

13 52 Marcn Pełka Dday E., Norhomme-Frature M., 2008, Symbolc Data Analyss. Conceptual Statstcs and Data Mnng, Wley, Chchester. Dudek A., 2004, Tworzene obektów symbolcznych z baz danych, Prace Naukowe Akadem Ekonomcznej we Wrocławu nr 1021, s Dudek A., 2013, Metody analzy danych symbolcznych w badanach ekonomcznych, Wyd. Unwersytetu Ekonomcznego we Wrocławu, Wrocław. Gatnar E., Walesak M. (red.), 2011, Analza danych jakoścowych symbolcznych z wykorzystanem programu R, C.H. Beck, Warszawa. Gruszczyńsk M. (red.), 2010, Mkroekonometra. Modele metody analzy danych ndywdualnych, Wolters Kulwer Polska, Warszawa. Hosmer D.W., Lemeshow S., Sturdvant R.X., 2013, Appled logstc regresson, John Wley & Sons, Chchester. Ichno M., Yaguch H., 1994, Generalzed Mnkowsk metrcs for mxed feature-type data analyss, IEEE Transactons on Systems, Man and Cybernetcs, vol. 24, no. 4, s Menard S., 2002, Appled logstc regresson, second edton, Sage Publshng, Thousand Oaks, Calforna. Norhomme-Frature M., Brto P., 2011, Far beyond the classcal data models: Symbolc data analyss, Statstcal Analyss and Data Mnng, vol. 4, ssue 2, s Slva A.P.D., Brto P., 2006, Lnear dscrmnant analyss for nterval data, Computatonal Statstcs, vol. 21, ssue 2, s Smth T.J., McKenna C.M, 2013, A comparson of logstc regresson pseudo R 2 ndces, Multple Lnear Regresson Vewponts, vol. 39(2), s Walesak M., Dudek A., 2014, The clustersm package,