1 Definicja dyskretnej transformacji Fouriera (DFT) 2 Odmiany DFT. 3 Motylek dwupunktowej DFT. 5 Złożoność obliczeniowa bezpośrednio obliczanej DFT

Transkrypt

1 Zakres zagadień Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji DFT, FFT oraz DTTs DCTs i DSTs) Adam Dąbrowski Politechika Pozańska ydział Iformatyki i Zarządzaia KatedraSterowaiaiIżyieriiSystemów Pracowia Układów Elektroiczych i Przetwarzaia Sygałów marca Defiicja dyskretej trasformacji Fouriera DFT) Odmiay DFT Motylek dwupuktowej DFT Twierdzeie Parsevala-Rayleigha dla DFT Złożoość obliczeiowa bezpośredio obliczaej DFT Szybka trasformacja Fouriera FFT) 7 Rozmieszczeie próbek DFT a płaszczyźie zespoloej 8 Rozkład sygału a harmoicze 9 Optycza trasformacja Fouriera Obliczaie DFT w środowisku Matlab Dwu- i wielowymiarowa DFT Stadardowa i optycza trasformata D DFT Dyskreta trasformacja cosiusowa DCT) Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Defiicja dyskretej trasformacji Fouriera DFT - discrete Fourier trasformatio DFT sygału x),,,...,, polega a obliczeiu próbek X k) w tzw. dziedziie częstotliwości X k) x) k, k,,..., oraz e j π. ależy zauważyć, że założoo okres próbkowaia T s i próbki sygału zapisao jako x) zamiast xt s ). Moża także pisać zamieie x i X k. IDFT - iverse discrete Fourier trasformatio Przekształceie odwrote do DFT jest określoe wzorem,,...,. x) X k) k Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Dwupuktowa dyskreta trasformacja Fouriera x), x), e j π DFT wariat X ) x) ) +, X ) x) ) DFT wariat DFT wariat X ) + ), X ) ) X ) + ), X ) ) Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Odmiay dyskretej trasformacji Fouriera DFT / IDFT wariat współczyik / występuje w IDFT) X k) x) k, x) X k) k DFT / IDFT wariat współczyik / występuje w DFT) X k) x) k, x) X k) k DFT / IDFT wariat sprawiedliwy ze współczyikami / ) X k) x) k, x) X k) k Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Graf motylek ) dwupuktowej DFT wariat x) X ) x) X ) Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Twierdzeie Parsevala-Rayleigha dla DFT DFT wariat brak elegackiej iterpretacji X k) ) E x) X k) DFT wariat X k) to widmowa gęstość mocy średiej a jedocześie X ) to składowa stała tj. składowa DC sygału) P E x) X k), P DC X ) Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Sprawdzeie słuszości twierdzeia Parsevala-Rayleigha x), x), E + +, P E/ / DFT wariat X ), X ), X ) + X ) E DFT wariat X ) ) ), X ), X ) + X ) + P DFT wariat X k) to widmowa gęstość eergii) E x) X k) DFT wariat X ), X ) ) ), X ) + X ) + E Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 7 / Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 8 /

2 Złożoość obliczeiowa DFT sygału zespoloego Dla zespoloego ciągu x) rówaie DFT przyjmuje postać X k) { ) Rx)R k Ix)I k + )} +j Rx)I k +Ix)R k Rówaie to pokazuje, że dla każdej wartości X k) koiecze jest wykoaie możeń rzeczywistych oraz sumowań liczb rzeczywistych. Poieważ koiecza jest zajomość wartości X k) dla różych wartości k, więc bezpośredie obliczeie dyskretej trasformaty Fouriera ciągu x) wymaga wykoaia możeń liczb rzeczywistych oraz ) sumowań takich liczb, co odpowiada możeiom liczb zespoloych i ) sumowaiom liczb zespoloych. iosek Złożoość obliczeiowa -puktowej DFT jest proporcjoala do. Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 9 / yjaśieie złożoości obliczeiowej FFT Załóżmy, że obliczamy K -puktową DFT. Dekompoujemy ją sukcesywie a przekształceia o miejszej liczbie puktów. ajpierw rozkładamy ją a dwa /-puktowe przekształceia. skutek tego pojawia się końcowy etap obliczeia próbek -puktowej DFT co wymaga operacji sumowań zespoloych). Liczbę operacji redukujemy )) ) z ) do + +. drugim kroku rozkładamy każde /-puktowe przekształceie DFT a dwa /-puktowe. wyiku wykoujemy więc ) + ) ) + + operacji. Postępujemy tak dalej K razy. Zauważmy, że pierwszy czło maleje do ), a drugi rośie do K ). Zatem ostateczie liczba operacji to K log ). Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / FFT z podpróbkowaiem czasu kotyuacja Idea szybkiej trasformacji Fouriera FFT fast Fourier trasformatio) systemach przetwarzaia sygałów obliczaie przekształceia Fouriera odbywa się wielokrotie. Duża złożoość obliczeiowa spowodowałaby więc zacze opóźieie działaia systemu. O wiele bardziej efektywą metodą obliczaia DFT są algorytmy szybkiej trasformacji Fouriera FFT fast Fourier trasformatio). Jest to ideale rozwiązaie dla zastosowań wykorzystywaych w przetwarzaiu sygałów. Złożoość obliczeiowa -puktowej FFT zmiejsza się z do wielkości log. Jeśli będziemy chcieli obliczyć trasformatę -puktową 8 ), liczba operacji zmaleje z około 8) w przypadku trasformaty wyzaczoej bezpośredio ze wzoru defiicyjego) do około dla FFT). Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / FFT z podpróbkowaiem czasu -puktową DFT rozkładamy a dwa przekształceia. Pierwsze z ich zawiera jedyie próbki parzyste sygału wejściowego, drugie atomiast próbki ieparzyste X k) parzyste x) k + ieparzyste x) k. Po podstawieiu r dla parzystych i r + dla ieparzystych otrzymujemy X k) r r xr) kr + xr) r xr + ) kr+) ) kr + k r kr xr + ) ). Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Graf -puktowej FFT z podpróbkowaiem czasu a podstawie rówości otrzymuje się X k) e j π r xr) kr e j π / + k r xr + ) kr Azatem X k) Gk)+Hk) k Gk) -puktowe przekształceie DFT parzystych próbek x), Hk) -puktowe przekształceie DFT ieparzystych próbek x).. x) X ) x) X ) x) X ) x) X ) Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Graf 8-puktowej FFT z podpróbkowaiem czasu x) X ) 8 x) X ) 8 x) X ) 8 x) X ) 8 x) X ) 8 x) X ) 8 x) X ) 8 x7) X 7) 8 7 Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / FFT z podpróbkowaiem częstotliwości Zapiszmy wyrażeie defiiujące DFT dzieląc blok próbek liczba parzysta) a połowy: X k) x) k + x) k + x) k x) k + k x + ) k+ ) x + ) k. Otrzymae wyrażeia ie są jeszcze -puktowymi trasformatami Fouriera, poieważ występują w ich czyiki k,aiek. Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca /

3 FFT z podpróbkowaiem częstotliwości kotyuacja iedząc, że k )k,możemyzapisać X k) x)+ ) k x + ) k. Dla parzystych wskaźików k r otrzymujemy X r) x)+x + ) r atomiast dla ieparzystych wskaźików k r + uzyskujemy X r + ) x) x + ) r. Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 7 / Graf 8-puktowej FFT z podpróbkowaiem częstotliwości x) X ) x) X ) X ) x) x) X ) 8 x) X ) 8 x) X ) x) 8 X ) 8 x7) X 7) Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 9 / Rozmieszczeie próbek DFT a płaszczyźie zespoloej FFT z podpróbkowaiem częstotliwości kotyuacja Pamiętając, że r postaci: X k) r, uzyskae zależości moża zmodyfikować do x)+x + ) k dla k parzystego X k) x) x + ) k dla k ieparzystego. Zatem pierwszy etap tworzeia algorytmu FFT z podpróbkowaiem ) częstotliwości polega a wyzaczeiu ciągu x)+x + oraz ciągu ) x) x + przemożoego przez współczyik k,aastępie obliczeiu /-puktowych trasformacji obu ciągów. astępych etapach dekompouje się kolejo trasformacje /-puktowe do /-puktowych, te zaś do /8-puktowych itd., kończąc a motylkach trasformacji -puktowych. Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 8 / Rozmieszczeie próbek DFT a płaszczyźie zespoloej prowadźmy ozaczeie ) z k k e j π k ówczas wzór a próbki DFT przyjmuje postać X k) x)zk iosek Próbki dyskretej trasformacji Fouriera są obliczae w puktach z k, k,,...,, rówomierie rozmieszczoych a okręgu jedostkowym a płaszczyźie zespoloej. Sąsiedie pukty z k są oddaloe od siebie o kąt π. Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Aaliza rozmieszczeia i zaczeia próbek DFT Iz π/ Rz k k X ) jest próbką DFT dla k ) reprezetującą składową stałą sygału. przypadku DFT w wariacie jest to wręcz po prostu składowa DC sygału. próbka X ) reprezetuje składową sygału o częstotliwości zormalizowaej π/, czyli o częstotliwości aturalej π/t s )ω s /, T s okres próbkowaia. ależy zauważyć, że jest to częstotliwość pierwszej harmoiczej sygału. Tę samą częstotliwość fizyczą tj. pozbawioą zaku) co próbka X ) reprezetuje rówież próbka X ). Istotie częstotliwość π )/ π π/ pełi tę samą rolę co częstotliwość π/, a fizyczie tę samą rolę co Ω π/ lub ω ω s /. Podobie składowe X ) i X ) reprezetują tę samą częstotliwość zormalizowaą Ω Ω częstotliwość drugiej harmoiczej sygału) i ogólie składowe X k) i X k) reprezetują tę samą częstotliwość zormalizowaą Ω k kω częstotliwość k-tej harmoiczej sygału). Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Rozkład sygału a harmoicze Pierwsza harmoicza x ) sygału x) jest wyrażoa wzorem x ) X )e j π + X )e j π Ogólie k-ta harmoicza x k ) sygału x) k < /) jest wyrażoa wzorem x k ) X k)e kj π ) + X k)e kj π ) Maksymala możliwa częstotliwość harmoiczej, występująca w przypadku, gdy liczba jest liczbą parzystą) przy k ) ),to częstotliwość zormalizowaa π π lub częstotliwość aturala ω s /. Ta harmoicza składa się z próbek X /) aprzemieie różiących się zakiem i wyraża się wzorem ) ) x / ) X e jπ X ). Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Kocepcja optyczej trasformacji Fouriera stadardowej trasformacie DFT próbka X ) reprezetująca składową o zerowej częstotliwości występuje skrajie po lewej stroie trasformaty. Posuwając się w prawo częstotliwości rosą do połowy trasformaty do częstotliwości π w przypadku trasformaty o parzystej liczbie próbek lub do wartości π π wprzypadku trasformaty o ieparzystej liczbie próbek), a astępie stopiowo maleją do wartości π, czyli do częstotliwości pierwszej harmoiczej dla ostatiej próbki X ) Celowe jest przesuięcie górej części trasformaty w dół poiżej składowej stałej X ), zastępując ozaczeie X ) ozaczeiem X ) i ogólie X k) ozaczeiem X k) dla k /. To postępowaie prowadzi do uzyskaia tzw. optyczej trasformaty Fouriera, w której środkowej części zajduje się składowa stała, a częstotliwości rosą, oddalając się od iej zarówo w prawo jak i w lewo. Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca /

4 Optycza DFT dla parzystej liczby próbek bloku Optycza DFT dla ieparzystej liczby próbek bloku Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Harmoicze sygału o próbkach rzeczywistych Jesli sygał x x) x)... x ) ma próbki rzeczywiste, to próbki X k) i X k) DFT sygału, k /, są sprzężoe X k) X R k)+jx I k) oraz X k) X R k) jx I k) Zatem -ta próbka x k ) k-tej harmoiczej sygału x) k < /) jest wyrażoa wzorem x k ) X k)e kj π ) + X k)e kj π ) X R k)+jx I k))e kj π ) +X R k) jx I k))e kj π ) X R k) cos k π ) X I k) si k π ) XR k)+x I k k) cos π ) ϕ tg ϕ X Ik) X R k) oraz XR k)+x I k) X k) Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 7 / Obliczaie DFT w środowisku Matlab Zadeklarujmy sygał x x) x) x) x) w postaci wektora >> x Obliczmy dyskretą trasformatę Fouriera X X ) X ) X ) X ) wektora x; dotegosłużypoleceiefft >> X fftx) X iosek systemie Matlab jest obliczaa stadardowa DFT w wariacie. Obliczmy z kolei optyczą wersję DFT; do tego służy poleceie fftshift >> Xoptic fftshiftx) Xoptic Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 9 / Rozkład sygału a harmoicze DFT wariat ) sygału x x) x) x) x), to wektor X X ) X ) X ) X ). Zatem x x DC X ) X ) X ) X ). Próbki pierwszej harmoiczej x wyzaczamy ze wzoru x ) X )e j π + X )e j π X )e j π + X )e j π j + j) cos π Stąd x x ) x ) x ) x ) Próbki drugiej harmoiczej x to x ) X )e j π e jπ cos π ) Stąd x x ) x ) x ) x ) Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Harmoicze sygału o próbkach rzeczywistych Jesli sygał x x) x)... x ) ma próbki rzeczywiste, to próbki X k) i X k) DFT sygału, k /, są sprzężoe X k) X R k)+jx I k) oraz X k) X R k) jx I k) Zatem -ta próbka x k ) k-tej harmoiczej sygału x) k < /) jest wyrażoa wzorem x k ) X k)e kj π ) + X k)e kj π ) X R k)+jx I k))e kj π ) +X R k) jx I k))e kj π ) X R k) cos k π ) X I k) si k π ) X k) cos k π ) ϕ tg ϕ X Ik) X R k) oraz XR k)+x I k) X k) Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 8 / Obliczaie DFT w środowisku Matlab Zadeklarujmy sygał x x) x) x) x) w postaci wektora >> x Obliczmy dyskretą trasformatę Fouriera X X ) X ) X ) X ) wektora x; dotegosłużypoleceiefft >> X fftx) X iosek systemie Matlab jest obliczaa stadardowa DFT w wariacie. Obliczmy z kolei optyczą wersję DFT; do tego służy poleceie fftshift >> Xoptic fftshiftx) Xoptic Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Sprawdzeie poprawości rozkładu sygału a harmoicze Dla przypomieia rozważamy sygał x x) x) x) x). Otrzymaliśmy rozkład x x DC + x + x x DC x x Dodając prawe stroy trzech powyższych wyrażeń w istocie otrzymujemy x Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca /

5 x x x Ilustracja rozkładu sygału a harmoicze Dwuwymiarowa DFT D DFT) x x x DC x x DC D DFT - two dimesioal discrete Fourier trasformatio DFT dwuwymiarowego sygału xm, ), m,,..., M,,,...,, jest bezpośredim uogólieiem jedowymiarowej DFT X k, l) M m k,,..., M, l,,...,. xm, ) km M l, x x D IDFT - two dimesioal iverse discrete Fourier trasformatio Przekształceie odwrote do D DFT jest określoe wzorem xm, ) M M l m,,..., M,,,...,. X k, l)m km, Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Odmiay dwuwymiarowej dyskretej trasformacji Fouriera D DFT / D IDFT wariat M X k, l) xm, ) km m M l D DFT / D IDFT wariat M X k, l) xm, ) km M m M, xm, ) X k, l)m km M M l D DFT / D IDFT wariat sprawiedliwy l M, xm, ) X k, l) km l X k,l) M xm,) M km l, xm,) M X k,l) km M M m l M M Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / D DFT obrazu kwadratowego pikseli D DFT / D IDFT wariat X k, l) xm, ) km m, xm, ) X k, l) km l D DFT / D IDFT wariat X k, l) xm, ) km m l l D DFT / D IDFT wariat sprawiedliwy X k, l) m xm, ) km l, xm, ) X k, l) km, xm, ) l l X k, l) km Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Obliczaie i złożoość obliczeiowa D DFT Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Stadardowa i optycza trasformata D DFT Dwuwymiarowa dyskreta trasformacja Fouriera ie wymaga specjalych algorytmów. Oblicza się ją w dwóch zagieżdżoych pętlach trasformacji jedowymiarowych. a przykład ajpierw oblicza się DFT każdej kolumy tablicy x, a astępie oblicza się DFT każdego wiersza. X k, l) m xm, ) l ) km, iosek Złożoość obliczeiowa D DFT wyzaczaej bezpośredio jest rówa ). atomiast złożoość obliczeiowa D DFT wyzaczaej za pomocą algorytmów FFT to log ) log. Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 7 / Obraz orygialy przykład Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 8 / Stadardowa i optycza trasformata D DFT przykład Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 9 / Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca /

6 Uwagi do przykładu Dwuwymiarowy przebieg harmoiczy Obrazy ilustrują wartości bezwzględe stadardowej D DFT po lewej stroie) i optyczej D DFT po prawej stroie) artości bezwzględe trasformat zormalizowao dzieląc je przez ich wartości maksymale w obrębie całego obrazu, czyli ich wartości sprowadzoo do przedziału <, > celu uzyskaia różych poziomów szarości a ie tylko praktyczie czeri dla większości pikseli obliczoo pierwiastek 8-go stopia ze zormalizowaych wartości bezwzględych trasformat a koiec tak wartości przeiesioo do przedziału <, > przez pomożeie ich przez Stosowe istrukcje w środowisku Matlab to: adamdftabsdoej8mej uit8*absadamdft)/maxadamfft)..); adamdftopticabsdoej8mej uit8*absfftshiftadamdft))/maxadamfft)..); Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Usuwaie zakłóceń harmoiczych za pomocą filtracji w dziedziie D-DFT Okres sygału D przy obliczaiu DFT Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Główa idea i główa zaleta zastosowaia DFT Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Główe wady DFT Główą ideą zastosowaia DFT jest domiemaie, że w dziedziie częstotliwości waże z puktu widzeia dokładości reprezetacji sygału) są jedyie małe częstotliwości i reprezetujące je współczyiki DFT, duże częstotliwości są zaś miej waże i odpowiadające im współczyiki w dziedziie częstotliwości moża reprezetować oszczędiej za pomocą miejszej liczby bitów tj. miej dokładie), co potecjalie prowadzi do kompresji daych. Główą zaletą DFT jest możliwość jej obliczaia za pomocą algorytmów FFT o radykalie zredukowaej złożoości obliczeiowej. Trudo ie poddać się iluzji, że zaleźliśmy doskoałą metodę stratej kompresji daych audio i wideo, a prawdopodobie i większości iych daych! Główą wadą DFT jest to, że przetwarzay blok próbek obraz) jest bezpośredio okresem rozważaego sygału. Zatem lewa stroa obrazu sąsiaduje z prawą, prawa z lewą, góra z dołem, a dół z górą. Poieważ te stroy ie muszą mieć ze sobą ic wspólego, możemy spodziewać się wyraźych krawędzi a graicach okresu sygału. Zatem do prawidłowej jego reprezetacji koiecze są ie tylko dokładie odwzorowae małe lecz także i duże częstotliwości poczyioe domiemaie o możliwości kompresji daych bierze w łeb. Dalszą ważą wadą DFT jest to, że choć blok próbek jest trasformoway do współczyików w dziedziie częstotliwości, co stwarza iluzję zachowaia tej samej liczby daych, to w rzeczywistości próbki sygału są zazwyczaj liczbami rzeczywistymi, a współczyiki trasformaty są liczbami zespoloymi. astępuje zatem dwukroty przyrost liczby daych. Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Pomysł elimiacji wad DFT Okres sygału D przy obliczaiu DFT i DCT Główą wadą DFT jest to, że przetwarzay blok próbek obraz) jest bezpośredio okresem rozważaego sygału. Zatem lewa stroa obrazu sąsiaduje z prawą, prawa z lewą, góra z dołem, a dół z górą. Poieważ te stroy ie muszą mieć ze sobą ic wspólego, możemy spodziewać się wyraźych krawędzi a graicach okresu sygału. Zatem do prawidłowej jego reprezetacji koiecze są ie tylko dokładie odwzorowae małe lecz także i duże częstotliwości poczyioe domiemaie o możliwości kompresji daych bierze w łeb. Dalszą ważą wadą DFT jest to, że choć blok próbek jest trasformoway do współczyików w dziedziie częstotliwości, co stwarza iluzję zachowaia tej samej liczby daych, to w rzeczywistości próbki sygału są zazwyczaj liczbami rzeczywistymi, a współczyiki trasformaty są liczbami zespoloymi. astępuje zatem dwukroty przyrost liczby daych. Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 7 / Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 8 /

7 ariaty dyskretej trasformacji cosiusowej DCT) ariat -szy dyskretej trasformacji cosiusowej DCT-I) DCT-I w przód) X k x + ) k x ) + ) π x cos k k,..., DCT-I wstecz DCT-I ze współczyikiem / )) x X + ) X )+ k,..., )) π X k cos k Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca 9 / ariat -gi dyskretej trasformacji cosiusowej DCT-II) DCT-II w przód) π X k x cos + ) ) k k,..., DCT-II wstecz DCT-III ze współczyikiem /) x X π + X k cos k + )) ) k,..., Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / ariat -ci dyskretej trasformacji cosiusowej DCT-III) DCT-III w przód) X k x π + x cos k + )) k,..., DCT-III wstecz DCT-II ze współczyikiem /) x π X k cos k + ) ) ),..., Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / ariat -ty dyskretej trasformacji cosiusowej DCT-IV) Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Obraz orygialy i trasformata D DCT przykład DCT-IV w przód) π X k x cos + ) k + )) k,..., DCT-IV wstecz DCT-IV ze współczyikiem /) x π X k cos k + ) + )),..., Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca / Adam Dąbrowski Politechika Pozańska)Podstawy Teorii Systemów, Sygałów i Iformacji marca /