Algorytmy I Struktury Danych Prowadząca: dr Hab. inż. Małgorzata Sterna. Sprawozdanie do Ćwiczenia 3 Algorytmy grafowe ( )
|
|
- Kajetan Szymański
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Poiedziałki Grupa I3 Iformatyka a wydziale Iformatyki Politechika Pozańska Algorytmy I Struktury Daych Prowadząca: dr Hab. iż. Małgorzata Stera Sprawozdaie do Ćwiczeia 3 Algorytmy grafowe ( ) 1. Implemetacja. Autorzy: Oliwer Kostera r ideksu Adam Matuszewski r ideksu
2 Tworzeie grafu dla trzech różych reprezetacji (macierz sąsiedztwa, lista astępików, lista łuków) oraz sortowaie topologicze w 2 etapach, czyli obliczaia etykiet czasowych rozpoczęcia i zakończeia aalizy wierzchołków i zliczaia łuków powrotych zaimplemetowaliśmy w języku C. Do implemetacji procedury obliczaia etykiet czasowych wierzchołka posłużyliśmy się listą astępików. Przy wyborze metody kierowaliśmy się szybkością wykoywaia tej procedury, a z uwagi a to, że ajczęściej wykoywaą w iej operacją jest wyzaczaie zbioru astępików to aturalym aszym wyborem była lista astępików gdzie odbywa się to ajszybciej (złożoość obliczeiowa O()). Testy przeprowadziliśmy dla ilości wierzchołków, gdzie = {1000, 2000,, 10000}, oraz dwóch gęstości d = {0,2; 0,4}, zbiór łuków m wyzaczaliśmy ze wzoru m = * * d. Łączie przeprowadziliśmy 20 testów. 2. Zależość czasu trwaia etapu obliczaia etykiet od liczby wierzchołków. Liczba wierzchołków Gęstość d Czas trwaia etapu obliczaia etykiet 0,2 0 0,4 0 0,2 0,01 0,4 0,01 0,2 0,02 0,4 0,04 0,2 0,03 0,4 0,07 0,2 0,06 0,4 0,1 0,2 0,08 0,4 0,14 0,2 0,1 0,4 0,2 0,2 0,13 0,4 0,26 0,2 0,16 0,4 0,33 0,2 0,2 0,4 0,4
3 Z a le ż o ś ć c z a s u trw a ia e ta p u o b lic z e ia e ty k ie to d lic z b y w ie rz c h o łk ó w [s ] d = 0,2 d = 0,4 Metoda sortowaia topologiczego opiera się a algorytmie przeszukiwaia grafu w głąb (DFS) algorytm Tarjaa. Polega a tym że po wykoaiu algorytmu DFS (Depth First Search) wystarczy odwrócić kolejość umerowaia wierzchołków i otrzymamy kolejość aszego szukaego sortowaia (oczywiście jest oo tylko sesowe gdy graf ie posiada cykli). Dzieje się tak dlatego, że przy wykoywaiu DFS wierzchołki ajgłębsze otrzymują umer ajwcześiej. Złożoość obliczeiowa metody sortowaia jest główie zależa od złożoości obliczeiowej algorytmu DFS i ewetualie dodatkowych czyości zależych liiowo od liczby wierzchołków. DFS odwiedza wszystkie wierzchołki grafu i dla każdego z ich sprawdza wszystkie wychodzące łuki, więc wyika z tego, że jego złożoość wyiesie O( + m). Jak możemy zauważyć z przeprowadzoych testów, im większa gęstość grafu, tym więcej łuków, co za tym idzie tym większy czas potrzeby do wykoaia algorytmu. Dla grafu pełego (d = 1) złożoość wyiesie aż O( 2 ), atomiast dla m = zaledwie O(). Dla grafu reprezetowaego przez listę astępików, listę poprzedików lub listę łuków jest to ajlepiej widocze z uwagi a to, że im większa gęstość grafu tym większa struktura tych reprezetacji, atomiast ajsłabiej widocze by to było dla macierzy sąsiedztwa. Efektywość algorytmu DFS jest wysoce zależa od reprezetacji grafu, jak już było powiedziae w pukcie 1 ajczęściej wykoywaą w im operacją jest wyzaczaie zbioru astępików co za tym idzie ajkorzystiejszymi reprezetacjami będą te, których złożoość wyzaczaia astępików jest ajmiejsza. Spośród pozaych są to macierz sąsiedztwa i lista astępików, dla których złożoość rówa się O(), z tym że dla m < ajlepsza by była lista astępików. Średio dobrym wyborem jest lista łuków i lista poprzedików dla których złożoość sprawdzaia astępików jest rówa kolejo O(m) i O(m+). Natomiast ajgorszym wyborem byłaby macierz icydeta, dla której złożoość sprawdzaia astępików w skrajym przypadku wyiosłaby aż O(*m).
4 3. Liczba łuków powrotych. Liczba wierzchołków Gęstość d Liczba łuków powrotych , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Każdy z testowaych grafów był cykliczy, graf bez łuków powrotych byłby grafem acykliczym. Wraz ze wzrostem gęstości rosła liczba łuków powrotych. Dla gęstości 2 razy większej była oa odpowiedio około 2 razy większa. Grafów skierowaych cykliczych ie możemy sortować poieważ ie możemy stwierdzić, którą czyość z cyklu ależy wykoać jako pierwszą, a za tym sortujemy jedyie grafy skierowae acykliczie. 4. Zależość czasu trwaia etapu zliczaia liczby łuków powrotych od liczby wierzchołków. Operacja zliczaia łuków powrotych aalizuje zbiór wszystkich łuków i sprawdza czy day łuk (u, v) spełia waruek begi[v] < begi [u] < ed[u] < ed[v], gdzie begi i ed są to etykiety czasowe rozpoczęcia i zakończeia aalizy
5 daego wierzchołka wyikające z algorytmu DFS. Liczba wierzchołków Czas zliczaia łuków powrotych dla listy astępików Gęstość d = 0,2 Czas zliczaia łuków powrotych dla listy łuków ,01 0, ,01 0,02 0, ,02 0,04 0, ,05 0,06 0, ,08 0,09 0, ,11 0,14 0, ,15 0,19 0, ,19 0,25 0, ,24 0,32 0, ,29 0,39 1,23 Czas zliczaia łuków powrotych dla macierzy sąsiedztwa Liczba wierzchołków Czas zliczaia łuków powrotych dla listy astępików Gęstość d = 0,4 Czas zliczaia łuków powrotych dla listy łuków ,01 0, ,02 0,03 0, ,05 0,07 0, ,09 0,12 0, ,15 0,19 0, ,2 0,27 0, ,28 0,37 0, ,37 0,47 1,11 Czas zliczaia łuków powrotych dla macierzy sąsiedztwa
6 [s ] [s ] Z a le ż o ś ć c z a s u trw a ia e ta p u z lic z a ia lic z b y łu k ó w p o w ro t y c h o d lic z b y w ie rz c h o łk ó w. Z a le ż o ś ć c z a s u trw a ia e ta p u z lic z a ia lic z b y łu k ó w p o w ro t y c h o d lic z b y w ie rz c h o łk ó w L is ta łu k ó w L is ta a s tę p ik ó w M a c ie rz s ą s ie d z tw a L is ta a s tę p ik ó w L is ta łu k ó w M a c ie rz s ą s ie d z tw a ,47 0,6 1, ,58 0,74 1,73 Z testowaych struktur teoretyczie ajszybsza powia okazać się lista łuków poieważ złożoość operacji przeglądaia zbioru łuków wyosi ajmiej, zaledwie O(m), atomiast z testów wyika, że ajszybsza okazała się lista astępików, dla której złożoość przeglądaia zbioru łuków wyosi O( + m). Stało się tak ajprawdopodobiej dlatego, że przy operacji porówywaia dla listy łuków odwoływaliśmy się do poszczególych wierzchołków aż 6 krotie poprzez tablicę 2 wymiarową, atomiast dla listy astępików tylko 2 krotie poprzez wskaźik a liście i 4 krotie jedyie poprzez ideks kroku który wykoujemy. Z uwagi a zaoszczędzoy czas przy odwoływaiach dla listy astępików i małą wartość w stosuku do m ta reprezetacja właśie okazała się ajszybsza. Jak możemy zauważyć im miejsza gęstość tym miejsza różica w czasie między listą łuków, a listą astępików z uwagi a miejszą ilość operacji porówywaia i miejszą różicę między wartościami a m. Najgorszą strukturą okazała się macierz sąsiedztwa z uwagi a złożoość przeglądaia zbioru łuków rówą aż O( 2 ), ależało w iej sprawdzić ie tylko istiejące łuki, a wszystkie możliwe. Gęstość grafu ma wpływ a czas zliczaia łuków powrotych z uwagi a to, że im większa gęstość tym więcej łuków do sprawdzeia. Jak już wyżej stwierdziliśmy, że wpływ gęstości grafu a czas działaia zależy od reprezetacji
7 grafu. Prócz wiosków z poprzediego akapit w stosuku do listy łuków i listy astępików, możemy też zauważyć, że dla grafu pełego, czyli gęstości rówej d = 1, każda z tych reprezetacji działała by w podobym czasie z uwagi a złożoość O( 2 ). Różice wyikały by jedyie z czasu odwoływaia się do poszczególych wierzchołków. 5. Reprezetacje grafu. Złożoość pamięciowa: Listy astępików, poprzedików i łuków umożliwiają przedstawieie w zwarty sposób grafów rzadkich ( m jest dużo miejsze iż 2 ). Lista astępików i poprzedików składa się z tablicy z wierzchołków oraz wskaźików astępików lub poprzedików. Lista łuków to tablica z łukami w której zawarte są wierzchołki początkowe i końcowe. Złożoość pamięci a listach astępików i poprzedików jest O(+m) a łuków O(m). Kiedy graf jest gęsty (m jest bliskie 2 ) lub gdy istieje potrzeba szybkiego stwierdzeia, czy istieje łuk łączący dwa dae wierzchołki wtedy może być korzystiejsza reprezetacja macierzy sąsiedztwa. Macierz sąsiedztwa ma złożoość pamięciową O( 2 ). Dla hipergrafów przezaczoa jest macierz icydecji. Oa ma złożoość pamięciową O(*m). Test łuków : Czas sprawdzeia połączeia miedzy dwoma wierzchołkami w macierzy sąsiedztwa jest stały O(1). Poieważ wystarczy odwołać się bezpośredio do odpowiediej komórki. Jest to jej ajwiększą zaletą. Listy astępików i poprzedików sprawdzają połączeie w czasie O() (gdy musimy przeszukać całą listę długości ), ale średio wychodzi zacze lepiej, około O(m/). W liście łuków i macierzy icydecji do przeszukaia mamy zbiór łuków i czas jest O(m). Sprawdzaie astępików: Najlepszą reprezetacją do tego testu jest lista astępików. Liczba kroków wyosi tyle ile jest astępików i jest O(), ale w praktyce często będzie szybsze. W macierzy sąsiedztwa do przejrzeia mamy komórek (p. odpowiedi wiersz) szukając sąsiadów co daje am czas O(). W liście łuków ajpierw musimy przeszukać wiersz długości m (wiersz w którym zajduje się początek łuku) jeśli jest o ie posortoway, a astępie odczytać wierzchołek z drugiego wiersza. Czas takiego odczytywaia jest O(m). Aby wyszukać astępiki w macierzy icydecji ależy w odpowiedim wierszu zaleźć ozaczeie początku(p. wartości -1) i w zalezioych komórkach wyszukać koiec i odczytać umer wiersza. Skrajy czas O(m*). Fatalie wypada tu lista poprzedików w której musimy przeszukać wszystkie listy. Czas jest O(+m). Sprawdzaie poprzedików: Optymalą reprezetacją jest lista poprzedików. Liczba kroków wyosi dokładie tyle ile jest poprzedików, O(). W macierzy sąsiedztwa czas jest O() i jest podobie jak w poszukiwaiu astępików z tą różicą że musimy przejrzeć odpowiedią kolumę(jeśli w poszukiwaiu astępików ależało przeszukiwać wiersz). W liście łuków podobie jak podczas poszukiwaia astępików ajpierw
8 musimy przeszukać wiersz długości m (wiersz w którym zajduje się koiec łuku), a astępie odczytać wierzchołek z drugiego wiersza. Czas takiego odczytywaia jest O(m). Aby wyszukać poprzediki w macierzy icydecji ależy w odpowiedim wierszu zaleźć ozaczeie końca (p. wartości 1) i w zalezioych komórkach wyszukać początek i odczytać r wiersza. Skrajy czas O(m*). Słabo radzi sobie lista astępików, tutaj ależy przejrzeć wszystkie listy. Jest to czas O(+m). Zbiór łuków: Do odczytaia wszystkich łuków wręcz stworzoa jest lista łuków. Posiada oa wiersz z początkiem i wiersz z końcem łuku. Czas w tej reprezetacji jest O(m). W liście astępików i poprzedików trzeba odczytać wszystkie listy więc czas jest O(+m). W macierzy sąsiedztwa i icydecji trzeba przeszukać cała tablice. Czas O( 2 ) w macierzy sąsiedztwa i O(*m) w macierzy icydecji. Zalety: Macierz sąsiedztwa test łuku O(1). Lista astępików przeglądaie astępików O(). Liczba kroków = liczba astępików. Lista poprzedików przeglądaie poprzedików O(). Liczba kroków = liczba poprzedików. Lista łuków zbiór łuków O(m). Wady : Macierz sąsiedztwa pamięć O( 2 ). Lista astępików przeglądaie poprzedików O(+m). Lista poprzedików przeglądaie astępików O(+m).
Algorytmy I Struktury Danych Prowadząca: dr Hab. inż. Małgorzata Sterna. Sprawozdanie do Ćwiczenia 1 Algorytmy sortowania (27.02.
Poiedziałki 11.45 Grupa I3 Iformatyka a wydziale Iformatyki Politechika Pozańska Algorytmy I Struktury Daych Prowadząca: dr Hab. iż. Małgorzata Stera Sprawozdaie do Ćwiczeia 1 Algorytmy sortowaia (27.2.12)
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych
Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. L. Baachowski, K. Diks, W. Rytter Algorytmy i struktury daych.
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA ZADANIA
KOMBINATORYKA ZADANIA Magdalea Rudź 25 marca 2017 1 Zadaie 1. a Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? b Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 1.1
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoWYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH
WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH. WSTĘP Coraz doskoalsze, szybsze i pojemiejsze pamięci komputerowe pozwalają gromadzić i przetwarzać coraz większe ilości iformacji. Systemy baz daych staowią więc jedo
Bardziej szczegółowoZADANIA - ZESTAW 2. Zadanie 2.1. Wyznaczyć m (n)
ZADANIA - ZESTAW Zadaie.. Wyzaczyć m (), D ( ) dla procesu symetryczego (p = q =,) błądzeia przypadkowego. Zadaie.. Narysuj graf łańcucha Markowa symetrycze (p = q =,) błądzeie przypadkowe z odbiciem.
Bardziej szczegółowo1.3. Największa liczba naturalna (bez znaku) zapisana w dwóch bajtach to a) b) 210 c) d) 32767
Egzami maturaly z iformatyki Zadaie. (0 pkt) Każdy z puktów tego zadaia zawiera stwierdzeie lub pytaie. Zazacz (otaczając odpowiedią literę kółkiem) właściwą kotyuację zdaia lub poprawą odpowiedź. W każdym
Bardziej szczegółowoPorównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki
Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoHarmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki
52 Sławomir Herma Sławomir HERMA atedra Iżyierii Produkcji, ATH w Bielsku-Białej E mail: slawomir.herma@gmail.com Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia cyfrowej fabryki Streszczeie: W
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa - dodatek
Statystyka opisowa - dodatek. *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? Liczeie statystyk opisowych w dużych daych może sprawiać problemy. Dla przykładu zauważmy, że aiwa implemetacja średiej arytmetyczej
Bardziej szczegółowoRozsądny i nierozsądny czas działania
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA Wyzaczaie złożoości obliczeiowej dokładej i asymptotyczej Złożoość obliczeiowa algorytmów Chcemy podać miarodają oceę efektywości algorytmu, abstrahując od komputera, techiki (języka)
Bardziej szczegółowoFundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -
TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych.
Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. A. V. Aho, J.E. Hopcroft, J. D. Ullma - Projektowaie i aaliza
Bardziej szczegółowoÓ ż ż Ść ż ż ć ż ż Ś Ść Ó
Ć ż Ą Ą Ó Ł Ś Ł Ó Ś Ó ż ż Ść ż ż ć ż ż Ś Ść Ó Ó Ł ź ć ż Ść ż ż ż ż Ś ż ć ż ż Ś ć Ś Ś ż ć ż ż Ż Ż Ż Ś Ż Ś Ą Ó ź ź Ł Ż ź ź ź ż ż Ż ż ż ć ż Ś ż Ą ź ć ż Ł ć ż ż Ą Ł ż ż ż ź ż ć Ą ż Ś ź ż ż ż ż ć Ź ć ż ć ż
Bardziej szczegółowoŚ
ź Ś ź Ż Ż Ż Ż ć Ś Ó Ń ć ć Ż Ż Ż Ż ń ć Ż Ż Ż Ż Ą Ś ć Ź Ż ć ć Ż ć ć Ż Ż Ż Ż Ż ć Ó Ó ź Ż Ż ź ź Ś Ż ć Ż ć ć Ą Ż ź Ż ź Ż ć Ż Ż Ż Ź Ż Ż ź ć ć ć ć Ż ć ć ć ć Ż Ż ź ź Ż Ż Ś ć Ź ć ć ć ć ć Ż ć ć ć ć ć Ż ć ć ć Ż Ń
Bardziej szczegółowoÓ Ż Ń Ń ć ż ć Ż Ż ć ż Ż ć
ż ż Ą ż Ż Ć Ó Ż Ń Ń ć ż ć Ż Ż ć ż Ż ć Ż ć Ż ć Ż Ó Ż ć Ó Ą ż ć Ż Ż ć ż ć Ż ć Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ó Ż Ż Ó Ż Ż Ś Ś Ś ż Ż Ś Ó ż Ż Ż Ń Ż ż ć ż ż ż ż Ń Ś Ó Ż Ś Ż ć Ś Ś ć ż Ś Ą Ż Ś Ń Ń Ś Ż ż Ś ż Ż Ą Ż Ś Ż ż Ś ć Ś Ś Ż
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoŻ ż Ź ś ż ż ś Ą Ą Ź ż Ż ś ż ż Ż Ż ż ć ś ś ć ć Ń ź ś Ż ć ż ż ś ś ś
ś ż ź ż ś Ż ż Ź ś ż ż ś Ą Ą Ź ż Ż ś ż ż Ż Ż ż ć ś ś ć ć Ń ź ś Ż ć ż ż ś ś ś ż ż ś ź Ą ż Ń ż ż ż Ż ź ż ść Ż ś ź ź ś Ś ź ś ś Ą Ż ś Ż ś Ż ś ż ż ś ż ść ś ż ż ś ż ś ż ć ś ś ź ś ż ś ż ź ż ż ź ź Ó ż ć ż ż ż ź
Bardziej szczegółowoAiSD zadanie trzecie
AiSD zadanie trzecie Gliwiński Jarosław Marek Kruczyński Konrad Marek Grupa dziekańska I5 5 czerwca 2008 1 Wstęp Celem postawionym przez zadanie trzecie było tzw. sortowanie topologiczne. Jest to typ sortowania
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY
Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI
Bardziej szczegółowoĄ Ą Ś Ń Ć Ó Ą Ą
Ń Ś Ą Ż Ż Ś Ż Ź Ń Ą Ą Ś Ń Ć Ó Ą Ą Ś Ą Ź Ń Ó Ś Ć Ż Ą Ą Ć Ż Ó Ą Ó Ą Ć Ś Ą Ą Ń Ń Ń Ń Ń Ą Ń Ą Ń Ń Ń Ń Ą Ń Ń Ń Ń Ń Ń Ń Ń Ś Ą Ń Ś Ś Ó Ś Ó Ą Ń Ś Ą Ś Ą Ś Ś Ż Ą Ą Ą Ą Ą Ś Ą Ś Ó Ą Ś Ś Ś Ń Ń Ż Ą Ś Ś Ą Ń Ż
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ
PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach
Bardziej szczegółowoStruktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera
Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki
Bardziej szczegółowoOpracowanie danych pomiarowych. dla studentów realizujących program Pracowni Fizycznej
Opracowaie daych pomiarowych dla studetów realizujących program Pracowi Fizyczej Pomiar Działaie mające a celu wyzaczeie wielkości mierzoej.. Do pomiarów stosuje się przyrządy pomiarowe proste lub złożoe.
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z informatyki Poziom rozszerzony część I
Zadaie 1. Długość apisów biarych (7 pkt) Opisaa poiżej fukcja rekurecyja wyzacza, dla liczby aturalej 0, długość apisu uzyskaego przez sklejeie biarych reprezetacji liczb aturalych od 1 do 1. ukcja krok
Bardziej szczegółowoMetoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.
Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak
Bardziej szczegółowoJak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?
Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań
Bardziej szczegółowoŚ Ż Ó Ś ż Ó ć ź ż ż Ą
Ś ż Ż Ż Ś Ż Ó ż ż ż Ą Ś Ż Ó Ś ż Ó ć ź ż ż Ą Ą Ó ż ż Ó Ś Ż Ó ż ż ż Ż Ź ź Ć Ó ż Ż ć Ż ż Ś ć Ś Ś Ż Ą Ż Ż Ó Ż Ż Ś Ż Ż Ź Ż Ż Ż Ę Ś Ż Ż Ś Ó Ż Ż ż Ą Ż Ą Ż Ś Ś ć Ź ć ć Ó ć Ś Ą Ó Ó ć Ż ż Ż Ó ż Ś Ś Ó Ś Ż Ż Ż Ż Ż
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoć ć ź ć ć ć Ść ć ź ź ź ć ź Ą ź
ć ć ć ź ć ć ć ć ź ć Ż ź ź ć ć ź ć ć ć Ść ć ź ź ź ć ź Ą ź ć ć ć ć ć ć ź ź Ż ć ć ć ć ć Ś ć ć Ź ć Ś ź ć ź ć ź ć ź ć ź Ź ć ć Ś ź ć ć ź Ć ć ź Ó Ż ć ć ź Ś ź ź ć ć ć ź ć ć ć ć ć ć ć ź ź ć ć ć Ś Ć Ó ź ć ź ć ć
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy
Bardziej szczegółowoĄ Ź ć ć Ó Ó Ć Ć Ś
Ł Ł ź Ę Ą Ą Ź ć ć Ó Ó Ć Ć Ś Ł Ą Ą Ó ć ć ć Ś Ś Ó Ś Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó ć Ść Ó Ć ć Ź Ó ć Ó Ó Ó Ś Ź Ó ć ć ć Ł Ć Ź Ó Ó Ś ć Ź ć ć Ć ć ć ć Ź Ó ć Ó Ó Ś Ź Ó Ó Ś Ó ć ć ć Ś Ś Ó Ó Ó ć Ź Ł Ó ć Ś Ś Ó Ó ć Ź ć Ź Ł Ó Ó ć Ź
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoOSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) Algorytmy i Struktury Danych PIŁA
OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) 20.11.2002 Algorytmy i Struktury Danych PIŁA ZŁOŻONE STRUKTURY DANYCH C za s tw or ze nia s tr uk tur y (m s ) TWORZENIE ZŁOŻONYCH STRUKTUR DANYCH: 00 0
Bardziej szczegółowoŚ ż Ś ć Ś ż Ą ż Ś Ż ż Ż ć ż ż Ż Ż Ś Ś Ś Ś
Ą ź Ż ż Ś Ś Ź Ź ć Ś Ż Ś ź Ż Ż Ł Ż Ż Ż Ł Ś Ś Ź ć Ś Ś ż Ś ć Ś ż Ą ż Ś Ż ż Ż ć ż ż Ż Ż Ś Ś Ś Ś ć ć Ś Ść Ż Ó ż Ż Ń Ó ć ż ć ć Ść Ś Ś Ś Ż ć ć ż Ż ż Ż ć Ą Ż Ś Ś ż Ż Ó Ś ż ż Ż ż Ó Ż ć ż ż Ż ż ż Ż ć Ź Ź Ś ż Ść
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoć ć Ą ć Ęć Ó Ą ź ć ć ć ć ź ź Ą ć Ę ć ź ć ć ć ź ć ź ć ć ć Ś Ź ź
ź Ó ć Ę ć Ó ć ć ć ć Ź ć ź ć ć Ź ć ć ć Ą ć Ęć Ó Ą ź ć ć ć ć ź ź Ą ć Ę ć ź ć ć ć ź ć ź ć ć ć Ś Ź ź ć Ą ć Ą ć ź ć ź ć Ę ć ć Ź ź Ę ć ć ć ć Ę Ę ź ć Ó ć ć ć ć ć ć ć ć ć Ź Ź ć ć ć ź Ę ć ć ć ć Ę Ąć ź Ź ć Ą ć ć
Bardziej szczegółowoć
Ł Ę Ę Ą ć Ś ć ć ź ź ć ć ź ź ź ć ć ź Ś ć ć ć ć ć Ś ć Ż ć ŚĆ Ć Ż Ś Ż Ś Ż ć Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś ć Ć ć Ć ć Ć ć Ś Ś Ś ć Ć Ż Ć ć ć Ś Ż Ż Ś Ć Ż ć ć ć ć ć Ś Ś Ś ć Ż Ż ć ć Ś Ś ć Ś Ż ć Ś ć ć ć Ż Ć ć ć Ż Ś Ż Ć
Bardziej szczegółowoApplication of SPME/GC-MS for determination of chlorophenoxy herbicide residues within weed tissues. W: Chemistry for Agriculture 7. (H. Górecki, Z. Dobrzański, P. Kafarski, red.). wyd. CZECH-POL-TRADE, Prague-Brussels, pp. 967-971 (ISBN: 80-239-7759-8).
Bardziej szczegółowo
Ć ć ć Ś ć
ź Ę Ę Ę ź ć ć ć Ć ć ć Ś ć ź ć ć ć Ć Ś ź Ś Ć ć Ż ź ć Ż Ś Ł ŚĆ ć ć ć Ć ć Ść ć Ż ć ć ć ć ć ć ć ć Ą ć ć Ś ć Ś ć Ż Ś ć Ó ć Ś ć Ś ć ć ć ć Ś ć ć Ś ć Ć Ż ć Ć ć ć ć ć Ę ć ź ć ć ć ć ć ź ć ć ć Ć ź ć Ż ć ć ć Ś ć Ć
Bardziej szczegółowoć Ś Ś Ść
ć Ś Ś Ść Ś Ł Ź Ść ć ć ć Ść ć Ść Ś Ść ć ć Ś Ó Ś Ś ć ć Ś Ś Ó Ś Ś ć Ą ć Ś Ś Ł ć Ś Ś Ł ć Ą Ść ć Ś Ó Ź ć ć Ś Ś ć ć ć Ś Ść Ść Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś Ś ć Ą Ś Ą Ś Ś Ź Ź ć ć Ś Ę Ź Ł ź Ę Ę Ś Ś Ś Ę Ą Ź ć Ł Ś Ś Ś Ś ć Ś
Bardziej szczegółowoC e l e m c z ę ś c i d y s k u s y j n e j j e s t u ś w i a d o m i e n i e s o b i e, w o p a r c i u o r o z w a ż a n i a P i s m a Ś w.
1. C e l s p o t k a n i a. C e l e m c z ę ś c i d y s k u s y j n e j j e s t u ś w i a d o m i e n i e s o b i e, w o p a r c i u o r o z w a ż a n i a P i s m a Ś w., ż e : B y d z b a w i o n y m
Bardziej szczegółowoĄ Ą Ż ć Ż ć Ń Ą
Ą Ż Ż Ż Ż Ż Ą Ą Ż ć Ż ć Ń Ą Ż ć Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż ć Ż Ą Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ś ć Ą Ż Ż Ł Ł Ą Ą Ł Ż ć Ż Ż Ż Ż Ż ź ć Ż Ź Ą Ż Ż Ż ź Ą Ł Ż Ż ć Ź Ł Ń ź Ż Ż ź Ł Ż Ą Ń Ż Ż ć Ą Ż ć Ż Ą Ż Ż Ń Ą Ą ć Ą Ą ź Ż Ó Ó
Bardziej szczegółowoKrzyżanowski R. 2017 – Zastosowanie metody mikroekstrakcji SPME w analizie pozostałości pestycydów. [W:] Badania naukowe w świetle uwarunkowań turbulentnego otoczenia – Gospodarka-Świat-Człowiek (red. Joanna Nowakowska-Grunt, Judyta Kabus). Wydawnictwo Naukowe Sophia, Katowice, pp. 79-86 (ISBN: 978-83-65929-09-9).
Bardziej szczegółowo
Ł Ą ź ź Ż ź Ź Ó Ó ź Ł
Ł Ń Ó Ł Ą ź ź Ż ź Ź Ó Ó ź Ł ź Ń Ł Ź Ś Ł ź Ś Ó Ć Ą Ń Ą ź ź ź Ż ź ź Ź Ć ź ź Ł ź Ó Ą Ą Ł Ą Ą Ś ŚĆ Ł ź ź ź ź Ł ź Ń ź ź ź ź ź ź ź ź Ż Ą Ą Ó Ą Ł Ś Ś ź Ł ź Ł ź ź ź Ź Ź Ś Ź Ź Ó ź ź Ś Ó Ł Ś ź Ł ź ź Ź ź ź ź ź Ś
Bardziej szczegółowoż ć
Ł Ł Ż ć Ż Ś ć ć Ż ż ć ć Ś Ż ż ć ó ż ż ć Ą Ż ć ć Ż ć ć Ż ć ć ć ć Ż Ż ż Ż Ż ć Ś Ż Ż Ś Ś ż Ś Ż ż ŁĄ ć Ż Ą Ż Ł Ść ć Ść Ż ŁĄ Ś Ż Ą Ś ż Ż Ż ŁĄ Ą Ą Ż Ł ć ć ć ć Ż ć Ż Ż ż ż ż Ż Ż ż Ż ż Ź Ś Ż Ź Ź Ż ć Ż Ż ć ć ć
Bardziej szczegółowoŁ Ł Ł Ś
Ń Ó Ł ź Ł ŚĆ Ł Ą Ł Ł Ł Ś ŚĆ Ż Ź Ż Ż ń ń Ł Ł ź Ł ń Ó Ż Ł Ż ń Ą Ż Ś ń Ą Ź Ą Ś Ś ń Ż ź ń ń Ż ń Ś Ą ń Ż ź Ź Ż ź Ś Ż Ś Ź Ś ź Ż Ż ń Ś ź Ż Ą ź ń ń ź Ż Ą Ż Ś Ź ń Ż ń Ż Ż ń ń Ż ń Ż Ą Ó Ą Ż ń Ó ń ń Ź ź Ą ń Ż Ł
Bardziej szczegółowo