Wybrane wzory i tablice statystyczne

Transkrypt

1 Wykłady ze Statystyk Ekoometr Jausz Górczyńsk Wybrae wzory tablce statystycze Wydae III orawoe uzuełoe Wyższa Szkoła Zarządzaa Marketgu Sochaczew 6

2 W ser materałów dydaktyczych Wykłady ze Statystyk Ekoometr dotychczas oublkowao:. Górczyńsk J. Wybrae wzory tablce statystycze, 999. Górczyńsk J. Podstawy statystyk, Górczyńsk J. Podstawy statystyk, Wydae II orawoe uzuełoe, 4. Górczyńsk J. Wybrae wzory tablce statystycze, Wydae II orawoe uzuełoe, 5. Górczyńsk J. Podstawy ekoometr Górczyńsk J. Procedury VBA MS Excel w badaach statystyczych, 6 Materały do druku zostały w całośc rzygotowae rzez Autora. ISBN Wydawca: Wyższa Szkoła Zarządzaa Marketgu w Sochaczewe Druk cyfrowy: SOWA, S. z o.o, ul. Hrubeszowska 6a, -9 Warszawa htt:// Arkuszy wydawczych 3,5 Arkuszy drukarskch 3,5

3 . Wstę Wybrae wzory tablce statystycze" rzezaczoe są dla osób studuących rzedmoty Statystyka Ekoometra studów dzeych zaoczych różych keruków. Poza tablcam statystyczym zgromadzoo tu wybrae wzory statystycze dotyczące estymac uktowe rzedzałowe arametrów oulac a odstawe róby losowe, weryfkac hotez statystyczych, aalzy warac edo dwuczykowe, aalzy regres korelac lowe dwóch zmeych, regres welokrote lowe regres elowe, korelac cząstkowych, szeregów czasowych.. Wybrae wzory.. Estymaca arametrów oulac a odstawe róby małe x mˆ x ( x x) x x x ˆ σ S średa arytmetycza śred kwadrat odchyleń var x ( ) S ( x x) x x x suma kwadratów odchyleń ˆ σ S S odchylee stadardowe ˆ σ x S x S S błąd średe arytmetycze S V x wsółczyk zmeośc 3 M e x [ ] +,5 ( x + x ) [ ] [ ] + dla earzystych dla arzystych wartość środkowa (medaa)

4 4.. Estymaca arametrów oulac a odstawe róby duże W tym rzyadku dae emrycze są zestawoe w szereg rozdzelczy. Nech x, x,, x ozaczaą odowedo doly góry kraec -tego rzedzału klasowego, lczebość obserwowaą w -tym rzedzale, środek -tego rzedzału klasowego. Średą arytmetyczą sumę kwadratów odchyleń zadzemy z wzorów: k x k mˆ x gdze,,..., k; k k średa z szeregu rozdzelczego var x ( x x) x x x suma kwadratów odchyleń k var x var x ˆ σ S gdze śred kwadrat odchyleń k Odchylee stadardowe, błąd średe arytmetycze wsółczyk zmeośc zaduemy tak ak w róbe małe. Dla oblczea domaty kwatyl rzędu (w tym kwartyl) musmy wcześe wyzaczyć częstośc emrycze emryczą dystrybuatę (sumy arastaące częstośc emryczych). Domatę oblczamy z wzoru: Do x d + d d ( d d ) + ( d d + h ) gdze x d, d, d, d +, hd to odowedo doly rzedzał klasowy domaty (te, w którym częstość emrycza osąga maksmum), lczebość tego rzedzału, lczebość rzedzału orzedego astęego, rozętość rzedzału domaty. gdze Kwatyl rzędu wyzaczamy z wzoru: K [ F x ] h x + ( ) w x,, F( x ), h w to odowedo doly kraec rzedzału klasowego zaweraący -ty kwatyl (te rzedzał, w którym dystrybuata emrycza o raz erwszy rzekracza wartość ), wartość dystrybuaty emrycze w orzedm rzedzale, rozętość rzedzału -tego kwatylu częstość emrycza tego rzedzału. d

5 5.3. Estymaca rzedzałowa arametrów oulac Przedzał ufośc dla średe m (rzy założeu, że X ~ N( m; σ ) ): m < x t α; Sx ; x + tα ; Sx > z P α gdze t α ; est wartoścą rozkładu t Studeta odczytaą z tablcy 3. Przedzał ufośc dla średe m (rzy założeu, że X N( m; σ ) ): σ σ m < x zα ; x + zα > z P α ~ gdze z α est taką wartoścą stadardowego rozkładu ormalego, dla które P { z > z α } α (moża korzystać z rozkładu t α; ), σ est zaym z założea odchyleem stadardowym. Przedzał ufośc dla warac σ ( rzy założeu, że X ~ N( m; σ ) ): σ ( ) S χ α ; ( ) S ; χ α ; z P α gdze α ;, χ α ; χ są wartoścam krytyczym rozkładu ch-kwadrat odczytaym z tablcy dla ustaloego ozomu stotośc α lczby sto swobody. Przedzał ufośc dla odchylea stadardowego σ (rzy założeu, że X ~ N( m; σ ) ): σ ( ) S χ α ; ; ( ) S χ α ; z P α gdze α ;, χ α ; χ są wartoścam krytyczym rozkładu ch-kwadrat odczytaym z tablcy dla ustaloego ozomu stotośc α lczby sto swobody.

6 6 Przedzał ufośc dla rawdoodobeństwa sukcesu w rozkładze dwumao- ˆ( ˆ) ˆ( ˆ) ˆ zα ; ˆ + zα z P α wym: gdze k ˆ est częstoścą emryczą wystąea dae cechy (sukcesu) w -elemetowe róbe (k lczba elemetów róby charakteryzuących sę daą cechą). Przedzał ufośc dla różcy średch m m (rzy założeu, że zmee X N( m ; ) oraz X N( m ; ) ): ~ σ m ~ σ m ( x x) tα ; + S ; ( x x) + tα ; + S P r r z gdze x, x są średm arytmetyczym z obu rób o lczoścach odowedo, a S est błędem różcy średch wyzaczoym z wzoru: r r S e ( ) S +. S e est wsólym średm kwadratem odchyleń dla obu rób wyzaczaym z wzoru: ( ) S + ( ) S var x + var x S e Weryfkaca hotez statystyczych Hoteza zerowa o wartośc średe H : m m weryfkowaa rzy alteratywach a) H : m m, b) H : m < m, c) H : m > m. α Zakładamy, że cecha X ~ N( m; σ ). Przy rawdzwośc H : m (fukca wyków róby): x m tem. S x ma rozkład t-studeta z lczbą sto swobody v. Obszary krytycze dla H : m m rzy alteratywach (odowedo): H : m m H : m < m H : m > m ( ; tα ; ) ( tα ; ; + ) ( ; t α ; ) ( t ; ; α + )

7 7 Hoteza zerowa o wartośc średe H : m m weryfkowaa rzy alteratywach a) H : m m, b) H : m < m, c) H : m > m. Zakładamy, że cecha X ~ N( m; σ ) [ σ ozacza zae odchylee]. Przy rawdzwośc H : m m statystyka (fukca wyków róby): x m σ z em. ma stadardowy rozkład ormaly N (;). Obszary krytycze dla H : m m rzy alteratywach (odowedo): H : m m H : m < m H : m > m ( ; z ) ( z ; + ) ; z ) ( z ; + ) α α ( α Hoteza zerowa o rówośc dwóch średch H : m m rzy alteratywach a) H : m m, b) H : m < m, c) H : m > m. α Zakładamy, że X N( m ; ) oraz X N( m ; ). Przy rawdzwośc hotezy : m m ~ σ H statystyka (fukca wyków róby): x x tem. Sr ~ σ ma rozkład t-studeta z lczbą sto swobody v +. Obszary krytycze dla H : m m rzy alteratywach (odowedo): H : m m : m m ( ; H < H : m > m ; tα ; v ) ( tα v; + ) ( ; t α ; v) ( t α ; v; + ) Hoteza zerowa o rówośc dwóch średch H : m m rzy alteratywe H : m m. Zakładamy, że X ~ N ( m ; σ ) oraz X ~ N( m; σ ). Oblczamy: x x różcę średch arytmetyczych z obu rób co do modułu NIR t ; ameszą stotą różcę α v S r Jeżel x x > NIR, to hotezę H : m m odrzucamy a korzyść alteratywy H : m m ako zbyt mało rawdoodobą.

8 8 Hoteza zerowa o zgodośc rozkładu emryczego z rozkładem ormalym H : X ~ N( m; ) wobec H : X ~ N( m; ). σ σ a) róba duża, dae zestawoe w szereg rozdzelczy. Statystyką testową est: χ em. k ( ) t t t gdze est lczoścą obserwowaą w -tym rzedzale klasowym, a est teoretyczą lczoścą w tym rzedzale wyzaczoą rzy założeu, że hoteza zerowa est rawdzwa. Lczość teoretyczą zaduemy z wzoru: t k x mˆ x mˆ, gdze P( X < x ; x > F F ˆ σ ˆ σ Wartośc mˆ σˆ są odowedo oceam średe odchylea stadardowego wyzaczoym z szeregu rozdzelczego, a wartośc dystrybuaty stadardowego rozkładu ormalego odczytywae są z tablcy. Hoteza zerowa może meć także taką ostać, że co ame ede z arametrów rozkładu est określoy rzez hotezę - m lub σ, wtedy z róby szacoway est brakuący arametr (lub żade, eżel oba są określoe rzez hotezę). Przy rawdzwośc hotezy zerowe statystyka testowa ma rozkład ch-kwadrat z lczbą sto swobody v k u, gdze k est lczbą rzedzałów klasowych, a u est lczbą arametrów szacowaych z róby (może być rówa, lub ). em. α; v Jeżel χ > χ, to hotezę zerową odrzucamy a korzyść alteratywy. Wartość krytyczą rozkładu ch-kwadrat odczytuemy z tablcy. b) róba o lczośc rzędu 5- elemetów, zmodyfkoway test Kołmogorowa- Smrowa. Użyce tego testu wymaga uorządkowaa elemetów róby rosąco, ch stadaryzac wyzaczea odowedch dystrybuat. Statystyką testową est fukca wyków róby: D *,85,+ D * * D α + gdze D su( D, D ) D su F( z ) x * Wartość krytyczą statystyk D rzy rzyętym ozome stotośc α odczytuemy z tablcy 9. Hotezę zerową zakładaącą, że daa cecha ma rozkład ormaly odrzucamy, eżel D >. + oraz D su( F( z ))

9 9 c) róba o lczośc do 5 elemetów, test W Sharo-Wlka Elemety róby orządkuemy rosąco wyzaczamy statystykę testową z wzoru: W em. a ; ( x + ( x x) x ) a :; w którym arametr określoy est ako: dla arzystych - dla earzystych a wartośc są stablcowaym wsółczykam (tablca ). Wartośc krytycze statystyk W dla ustaloego ozomu stotośc α lczośc róby odczytuemy z tablcy. eżel Hotezę zerową mówącą o tym, że daa cecha ma rozkład ormaly odrzucamy, W (uwaga: ze względu a kostrukcę testu obszar krytyczy est lewostroy). W em. α; Test ch-kwadrat Pearsoa może być wykorzystay do weryfkac hotezy o zgodośc rozkładu emryczego z dowolym rozkładem hotetyczym, a zmodyfkoway test Kołmogorowa-Smrowa oraz test Sharo-Wlka edye z rozkładem ormalym. Hoteza zerowa o zgodośc rozkładu emryczego w klku oulacach (bez rozstrzygaa, o ak ty rozkładu chodz). Obserwuemy tę samą cechę w klku oulacach. Iteresue as odowedź a ytae, czy rozkłady te są take same. Jeżel dystrybuatę dae cechy w -te oulac ozaczymy ako F, to hoteza zerowa ma ostać: H F F... : Zastosowae testu Klasy cechy X F k χ wymaga zestawea róby w szereg okazay że. Numer oulac k k k : r r r rk r k

10 Statystykę testową wyzaczamy z wzoru: χ em. r k t ( ) t t, gdze. Przy rawdzwośc hotezy zerowe statystyka ta ma rozkład ch-kwadrat z lczbą sto swobody v ( r )( k ). Wartość krytyczą rozkładu ch-kwadrat dla ustaloego ozomu stotośc α lczby sto swobody v odczytuemy z tablcy. Jeżel em. χα; v χ >, to hotezę zerową zakładaącą zgodość rozkładów odrzucamy ako zbyt mało rawdoodobą.

11 .5. Jedoczykowa aalza warac Model lowy edoczykowe aalzy warac w układze całkowce losowym ma ostać: gdze y m + a + e y est wartoścą badae cechy dla -tego ozomu czyka A w -tym owtórzeu, m - średa oulacya (geerala), a - efekt -tego ozomu czyka A, e - błąd losowy zwązay z -tym ozomem czyka A w -tym owtórzeu. Zakładamy, że y N ( m m + a ; σ ) oraz e N(; σ ). ~ e ~ e Model lowy edoczykowe aalzy warac ozwala a weryfkacę hotezy zerowe o braku wływu czyka A a wartośc aalzowae cechy: H : wobec alteratywy H :. a a Oblczea rowadzące do zweryfkowaa hotezy zerowe zwyczaowo rowadzoe są w tabel aalzy warac rzedstawoe oże. Zmeość Stoe swobody Sumy kwadratów odchyleń Śred kw. odchyleń F em. F α Czyka A v A var A S A F A F α ; v A ; v E Błędu losowego v E var E S E Całkowta v T var T Stoe swobody, sumy kwadratów odchyleń oraz średe kwadraty odchyleń oblczamy z wzorów: a dla... a a vt dla różych v A a (a est lczbą ozomów czyka badaego A) v E v T v a A a T var ( y y) y y y y a a Porawka

12 Iloczy średe sumy obserwac azywamy orawką, korzystamy z e rzy wyzaczau sum kwadratów odchyleń: Porawka y a a y, gdze y a y a a var A y y Porawka y y Porawka, gdze y y var E vart var A S A A a var A var E, SE, v v E y a S F A S y Przy rawdzwośc hotezy zerowe statystyka z lczbam sto swobody v A v E. Jeżel F A Fα ; v A ; v E A E y. FA ma rozkład F Fshera-Sedecora >, to hotezę zerową H : odrzucamy a korzyść alter- a atywy H :, tym samym uzaemy, że wływ czyka badaego est stoty a statystycze. Ozacza to koeczość rzerowadzea szczegółowego orówaa średch dla oszczególych ozomów tego czyka (wydzelee gru edorodych). Jeżel F A Fα; v A ; v E, to e mamy odstaw do odrzucea hotezy zerowe. Ozacza to, że czyk baday e modyfkue wartośc aalzowae cechy, a badae statystycze est zakończoe. Poże okazae est zestawee daych wyścowych (wyków ekserymetu) ułatwaące wykoae edoczykowe aalzy warac. Powt. A A A A a y y y a y y y y a a y y y y a y y y y y a y

13 3 Gruy edorode Przed rzystąeem do wydzelea gru edorodych musmy uorządkować wektor średch dla ozomów czyka badaego rosąco (eżel małe wartośc cechy są korzyste) lub maleąco, eżel duże wartośc cechy są korzyste). Przez gruę edorodą będzemy rozumeć tak zestaw ozomów czyka badaego, dla których sełoa est erówość: y y l NIR dla wszystkch / w daym zestawe średch. Namesza stota różca może być wyzaczoa z wykorzystaem różych statystyk, aczęśce będze to wartość t Studeta (tablca 3) lub t studetyzowaego rozstęu (tablce 6, 7): NIR Kα S Kα r S E, gdze: K α t t t α ; ve α ; a; ve α ; k; ve dla NIR Studeta (LSD) dla NIR Tukeya (HSD) dla NIR Newmaa Keulsa ( k lczba orówywaych średch) Dzelk est lczbą omarów, z których owstały średe dla ozomów czyka badaego: wtedy, gdy... a a a. a dla różych a

14 4.6. Dwuczykowa aalza warac gdze Model lowy dwuczykowe aalzy warac w układze całkowce losowym: y m + a + b + ( ab) + e k k y k - wartość aalzowae cechy dla -tego ozomu czyka A, -tego ozomu czyka B w k-tym owtórzeu; m - średa ogóla (geerala); a - efekt -tego ozomu czyka A; b - efekt -tego ozomu czyka B; ek ( ab) - efekt wsółdzałaa (terakc) -tego ozomu czyka A z -tym ozomem czyka B; - błąd losowy zwązay z -tym ozomem czyka A, -tym ozomem czyka B w k-tym owtórzeu. Zakładamy, że y N( ; σ ) oraz e N(; σ ). k ~ m e k ~ e Model lowy dwuczykowe aalzy warac ozwala a weryfkacę trzech hotez zerowych: H : o braku wływu czyka A; a H : b o braku wływu czyka B; H : ( ab) o braku wsółdzałaa obu czyków. Dae ekserymetale, a których będze wykoaa dwuczykowa aalzy warac zestawamy w dwóch omocczych tabelach: a) daych wyścowych z sumam średm dla kombac obu czyków Powt. A B A B B A A a B b y y y ab y k y y y ab y y y y ab y y y y y ab y

15 5 b) sum średch dla czyków A B B A A A a B y y y y a y y y B y y y b y ab y b y b y a y y a y y Oblczea rowadzące do zweryfkowaa trzech hotez zerowych zwyczaowo rowadzoe są w tabel aalzy warac okazae że. Zmeość Czyka A Czyka B Wsółdz. AB Błędu losowego Całkowta Stoe swobody v A v B Sumy kwadratów odchyleń Śred kw. odchyleń var A S A var B S B F em. F α F A F B v AB var AB S AB F AB v E v T var E S E var T Poszczególe składk tabel aalzy warac zaduemy z wzorów: a b v T v A v B v v AB E a b ( a )( b ) v T v A v B Porawka y y var T a var A b k v AB a b y k a b k yk a b k a y y y k Porawka Porawka F α ; v A ; v E F α ; v B ; v E F α ; v AB ; v E

16 6 b var B var AB a y y b y Porawka y Porawka var A var B var E vart var A var B var AB S A var A var B var AB var E, SB, S AB, SE v v v v A A E B E S S S F A, FB, FAB S S S Woskowae: Jeżel F A Fα, v A, v E B AB E AB > to odrzucamy hotezę zerową H : woskuemy, że E a wływ czyka A a wartośc badae cechy, średo orzez ozomy czyka B, est stoty statystycze. Jeżel F B Fα, v B, v E > to odrzucamy hotezę zerową H : b woskuemy, że wływ czyka B a wartośc badae cechy, średo orzez ozomy czyka A, est stoty statystycze. Jeżel F AB Fα, v AB, v E > to odrzucamy hotezę zerową H : ( ab) woskuemy, że wsółdzałae obu czyków est stoty statystycze. Porówaa szczegółowe W rzyadku odrzucea hotez zerowych owśmy rzerowadzć szczegółowe orówaa średch (wydzelee gru edorodych) wg zasad rzedstawoych w edoczykowe aalze warac.

17 7.7. Regresa korelaca lowa dwóch zmeych Nech zmea losowa Y N( m( x) a + bx; σ ), a zmea X ech będze ~ y / x zmeą rzeczywstą lub losową. Wartość oczekwaa (średa) zmee losowe Y est lową fukcą zmee X. Parametry te fukc szacuemy metodą ameszych kwadratów a odstawe odowede róby losowe: ( x x)( y y) xy bˆ cov, var x ( x x) x x x aˆ y bx ˆ. x y x Oceę warac odchyleń od modelu wyzaczamy z wzoru: var y bˆcov xy ˆ σ y / x S y / x. Weryfkaca hotezy o stotośc regres H : b wobec H : b Przy rawdzwośc hotezy zerowe statystyka: t bˆ S em. bˆ bˆ S y / x var x y ma rozkład t-studeta z lczbą sto swobody v. Jeżel t em. > tα, v, to hotezę zerową H : b odrzucamy a korzyść alteratywy woskuemy, że stee stoty, lowy zwązek mędzy wartoścą średą zmee Y a zmeą X osay rówaem regres z róby ostac mˆ ( x) aˆ + bˆ x. Wsółczyk regres b formue as o tym, o le średo zmea sę zmea zależa Y rzy wzrośce zmee ezależe X o edostkę. Wykorzystae wyestymowae fukc regres do rogozowaa, błędy rogozy Teoretyczą, średą wartość zmee losowe Y w wybraym ukce x zaduemy z wzoru:

18 8 m ˆ ( x ) aˆ + bˆ x, a błąd rogozy z wzoru: S m ˆ ( x ) S y / x ( x x) + var x. Moża także zbudować rzedzał ufośc dla wartośc regresye w ukce x : m ˆ ( S ˆ ; mˆ ( x) + tα, S ˆ z P α. ( x ) m x) tα, m( x ) m( x ) Wsółczyk korelac lowe z róby Oceą wsółczyka korelac ρ w oulac est: ˆ r em. ρ cov xy var x var y Weryfkaca hotezy o stotośc korelac H : ρ wobec H : ρ. Przy rawdzwośc hotezy zerowe statystyka: t rem. r em. em. ma rozkład t-studeta z lczbą sto swobody v. Jeżel t em. tα, v >, to hotezę zerową H : ρ odrzucamy woskuemy, że korelaca lowa mędzy badaym zmeym est stota statystycze. Hotezę H : ρ możemy także zweryfkować orzez orówae wartośc bezwzględe wsółczyka korelac z róby z wartoścą krytyczą tego wsółczyka odczytaą z tablcy 8. Jeżel rem. > rα,, to hotezę zerową H : ρ odrzucamy woskuemy o stotośc korelac lowe. Hotezy zerowe H : b H : ρ są rówoważe w sese woskowaa: eżel odrzucmy edą z ch, to druga będze także odrzucoa. Wsółczyk determac Ią marą sły zwązku mędzy zmeym (oza wsółczykem korelac) est wsółczyk determac:

19 9 D rem. Wsółczyk determac formue as o tym, w lu rocetach zmeość zmee zależe est wyaśoa rzez zmeą ezależą..8. Regresa welokrota lowa Nech zmea losowa Y N( m( x, x,..., ); σ ), a zmee ezależe (obaśaące) ~ x k y / x,. x,.., xk, X, X k ech będą rzeczywste lub losowe. X..., Zakładamy, że wartość oczekwaa (średa) zmee losowe Y est fukcą lową zmeych X (,,..., k) : m( x, x,..., xk ) b + b x + b x bk x Na odstawe -elemetowe róby losowe ( y, x, x,..., xk ) estymuemy metodą ameszych kwadratów ezae arametry fukc regres rozwązuąc układ rówań ormalych ostac: gdze V B ˆ C var x cov xx V... cov xx k var x... cov x x k var xk k b + bˆ b ˆ ˆ B... bˆ k k b x C cov x cov x... cov x Rozwązaem układu rówań ormalych V B ˆ C est wektor B ˆ V C, gdze V est macerzą odwrotą do macerzy kowarac V : V v v... k v v v... k v kk Mędzy elemetam macerzy v ( ) + v V V V macerzy V zachodz zwązek:, k y y y

20 gdze,,,..., k ; V est wyzaczkem macerzy V, a V est wyzaczkem macerzy otrzymae z macerzy V o wykreśleu -tego wersza -te kolumy. Oceę wyrazu wolego zaduemy z zależośc: b ˆ y ( b ˆ x + b ˆ x b ˆ k x ). k Weryfkaca hotezy o stotośc regres welokrote Weryfkuemy metodą aalzy warac hotezę zerową ostac: H : b (,,..., ) wobec alteratywy H : b. k Zmeość Stoe swobody Sumy kwadratów odchyleń Śred kw. odchyleń F em. F α Regres v R var R S R F R F α ; v R ; v E Błędu losowego v E var E S E gdze Całkowta v T var T v T, v R k, k v E k var T var y, var R b ˆ cov x y, var E vart var R a ozostałe elemety lczoą są tak, ak w edoczykowe aalze warac. Weryfkaca hotezy o stotośc cząstkowych wsółczyków regres Odrzucee hotezy zerowe H : b (,,..., ) ozacza, że co ame k ede cząstkowy wsółczyk regres est stote róży od zera. Tym samy owśmy rzerowadzć weryfkacę ser hotez szczegółowych ostac: H : dla,,..., k wobec alteratywy H :. b Przy rawdzwośc hotezy zerowe statystyka: b t em.( ) bˆ S bˆ S bˆ E v

21 gdze E S est średm kwadratem odchyleń od modelu, a macerzy V, ma rozkład t-studeta z lczbą sto swobody v k. Jeżel tem.( ) > tα, k, to H : b odrzucamy, co ozacza, że zmea ezależa v est elemetem dagoalym X est stota statystycze owa ozostać w modelu fukc regres. Mara dobroc doasowaa modelu Wsółczyk korelac regres welokrote R oraz ego kwadrat (wsółczyk determac D) są maram dobroc doasowaa modelu do daych emryczych: R em. k bˆ cov x y D var y Rem. Im oba wsółczyk są blższe (%), tym doasowae modelu est lesze. Regresa krokowa b Problem doboru modelu fukc regres e est łatwy w sytuac, gdy zmee obaśaące są skorelowae. W takch sytuacach elmaca estotych zmeych obaśaących metodą weryfkac ser hotez o stotośc cząstkowych wsółczyków regres H : est eskutecza, a wręcz może dorowadzć do absurdalych wosków końcowych (źle skostruowaego modelu). W zastosowaach raktyczych stosue sę metodę tzw. regres krokowe (stoowego doberaa modelu fukc regres). Istota te metody srowadza sę do dwóch zasadczych etaów (wstęego elmac estotych zmeych):. zaczyamy racę ad doborem modelu fukc regres od umeszczea w m otecale wszystkch zmeych ezależych (owedzmy k zmeych). Wyzaczamy wsółczyk determac D śred kwadrat odchyleń od modelu S E. dla wszystkch zmeych ezależych uwzględoych w modelu wyzaczamy wartość emryczą statystyk t-studeta dla hotez o stotośc cząstkowych wsółczyków regres. Przechodzmy do etau elmac z modelu estote zmee ezależe usuwaąc tę z ch, dla które wartość statystyk t-studeta (co do wartośc bezwzględe) est amesza. Usuęce estote zmee losowe owo ezacze zmeszyć wsółczyk determac D, a dość zacze śred kwadrat odchyleń od modelu S E.

22 Taką elmacę rowadzmy tak długo, aż wszystke hotezy o stotośc cząstkowych wsółczyków regres (dla zmeych ozostawoych w modelu) zostaą odrzucoe. Iterretaca cząstkowego wsółczyka regres Cząstkowy wsółczyk regres sę wartość zmee zależe Y rzy wzrośce X o edostkę rzy ustaloych wartoścach ozostałych zmeych ezależych. b mów am o tym, o le średo zme.9. Regresa krzywolowa, learyzaca modelu W zastosowaach raktyczych często musmy wychodzć oza formale założee, że wartość oczekwaa zmee losowe Y est fukcą lową zmee czy zmeych ezależych. Przykładowo teresue as estymaca astęuące fukc regres dwóch zmeych:, x) x 3 4x m ( x b + b x + b + b x + b + b x x. Wrowadzaąc formale owe zmee: x z x z3 x z4 x z5 xx z srowadzamy model elowy do stadardowego modelu lowego: m ( z b + b z + b z + b z + b z + b z., z,..., z5) Wrowadzee owych zmeych ozwalaące a formale srowadzee modelu elowego do modelu lowego azywamy learyzacą modelu (e zawsze est możlwe). Dalszy roces estymac rzebega tak ak w zwykłym modelu lowym z edym ograczeem dotyczącym terretac cząstkowych wsółczyków regres (z reguły e est możlwa)... Problem orawośc doboru modelu fukc regres Jedym z stotych etaów estymac modelu fukc regres est ustalee, że zaroooway (wyestymoway) model est orawe określoy. Srawdzee tego waruku wymaga zweryfkowaa hotezy H : E( e ), gdze e y yˆ są resztam losowym, czyl różcam mędzy orygalym wartoścam zmee losowe Y a wartoścą teoretyczym wyzaczoym z wyestymowaego modelu. Nesełee waruku ( ) E est sygałem, że model est źle określoy mus e być zmeoy w zakrese ostac modelu czy doboru zmeych ezależych. { XE "Model:źle określoy" \ } 5

23 3 Badae losowośc reszt est wykoywae zawsze a osteror, czyl o wyestymowau modelu fukc regres. Dla każde obserwac emrycze y wyzaczamy wartość teoretyczą ŷ oraz resztę losową e y yˆ. W uorządkowaym rosąco według wartośc zmee ezależe X cągu reszt określamy lczbę ser S reszt tych samych zaków. W orawe dobraym modelu lczba tych ser owa ależeć do ewego rzedzału lczbowego. Krańce tego rzedzału możemy odczytać z tablc rozkładu ser dla ustaloego ozomu stotośc α (Tablca ). Rozkład ser e est symetryczy, stąd z tablc tego rozkładu będzemy odczytywać dwe wartośc krytycze * S * S uzależoe od ozomu stotośc α oraz lczby reszt edo- :{ XE "Pozom:stotośc" \ } meych (dodatch uemych) * S dla α oraz * S dla α. * * Przedzał lczbowy < S ; S > wyzacza obszar douszczaly dla hotezy zerowe zakładaące losowość reszt. Tym samym w sytuac, gdy wyzaczoa lczba ser S ależy * * do rzedzału < S ; S >, to model fukc regres został orawe dobray. { XE "Test:ser" \ } * * Jeżel wyzaczoa lczba ser S < S lub S > S, to reszty e są losowe, a to ocąga koeczość zmay modelu fukc regres. Tablce lczby ser są oracowae edye dla lczby reszt dodatch (uemych) e rzekraczaących, co może być roblemem rzy wększych róbach losowych. W takch sytuacach moża rzyblżyć rozkład lczby ser S rozkładem ormalym rzymuąc, że: ˆ ms + ˆ σ S + ( ( + ) ( + Pozwala to a stadaryzacę rozkładu lczby ser S: S mˆ S zem. σˆ S e ) ) weryfkacę rówoważe do H : E( ) hotezy zerowe H : z orzez srawdzee, czy statystyka z em. trafa do obszaru krytyczego dla H czy też e. Jeżel z em > z. α, to hotezę zerową o losowośc reszt odrzucamy (co ocąga za sobą koeczość zmay modelu fukc regres).

24 4.. Korelaca cząstkowa Maąc do dysozyc welocechową róbę losową ( x, x,..., xk ) możemy wyzaczyć macerz kowarac V mędzy zmeym: var x cov xx V... cov xx k var x... cov x x k var xk a te odstawe macerz R wsółczyków korelac lowe mędzy zmeym: gdze r r R... rk r l r r... k r kk cov x xl, l,,..., k; var x var x l l. Wsółczyk korelac lowe rl wystęuące w macerzy R są marą sły zwązku mędzy -tą l-tą zmeą oblczoym rzy założeu, że e ma zwązków mędzy tym dwoma zmeym a ozostałym zmeym, co ekoecze mus być rawdą. Przykładowo, obe rozatrywae zmee mogą być skorelowae. ze zmeą o wskaźku, a marą tego zwązku są wsółczyk r oraz r l. Cząstkowy wsółczyk korelac ozwala a wyzaczee mary sły zwązku mędzy -tą l-tą zmeą rzy uwzględeu ch zwązku ze zmeą -tą (o wyelmowau wływu te zmee): r l. rl r rl. ( r )( r ) l Dla wększe lczby zmeych elmowaych możemy korzystać z wzorów rekurecyych: r l. r rl. rr. rlr.. ( r. )( r ) r lr.

25 .. Szereg czasowe, wyrówywae szeregu Średe ruchome Narostszą metodą wyelmowaa wahań okresowych est zastąee orygalego zestawu daych średm ruchomym oblczoym z składków: 5 y t r y t + r + ( t +, +,..., ). Dla mamy średe trzyokresowe, dla Średe ruchome scetrowae średe ęcookresowe td. Jeżel w całym cyklu wahań okresowych wystęue arzysta lczba odokresów d rzymuąc, że d, to średą scetrowaą wyzaczymy z wzoru: y t,5y t + y t + r r + +,5y t + ( t +, +,..., ). Wyrówae wykładcze Jeżel wyrazy szeregu wyrówaego ozaczymy rzez S t, to: yt St ayt + ( a) S t dla t dla t, 3,..., Stała a os azwę stałe wyrówaa est ustalaa arbtrale, rzymue wartośc z rzedzału (; ). Wyrówae aaltycze Przedstawoe wcześe metody wyrówywaa e daą osu fukcyego tredu. Os tak moża uzyskać doberaąc metodą ameszych kwadratów fukcę tredu. Do osu tedec rozwoowe aczęśce są używae fukce: lowa, otęgowa, wykładcza, welomaowa, logstycza. Metody doboru tego tyu fukc zostały rzedstawoe wcześe (zagadea regres). Wskaźk wahań okresowych dla szeregu czasowego bez tredu Ozaczmy elemety szeregu czasowego z wahaam okresowym rzez: ( yt t d ) ;,,..., ;,,..., a rzez y oraz y odowedo średe w -tym odokrese średą ogólą.

26 6 Wskaźk wahań okresowych są defowae ako: y Q (dla,,..., d ). y Wskaźk wahań okresowych dla szeregu czasowego z tredem Z uwag a wystęowae tredu welkość wahań okresowych est oceaa rzez orówae orygalego szeregu z szeregem wyrówaym. Oblczea są zróżcowae w zależośc od charakteru wahań. a) dla wahań multlkatywych (o zmee amltudze) - dla tych wszystkch wyrazów szeregu orygalego yt dla których steą wartośc wyrówae ~ y yt oblczamy dywduale wskaźk sezoowośc ostac t ~ y. t - surowe wskaźk wahań okresowych otrzymamy oblczaąc średe dywdualych wskaźków sezoowośc w oszczególych odokresach: yt Q ~ y ' ( t t N,,..., d) gdze N ozacza zbór umerów obserwac ależących do -tego odokresu, a lczebość tego zboru. - oczyszczoe wskaźk wahań okresowych otrzymamy o skorygowau wskaźków surowych wg wzoru: ' d Q Q (,,..., d). d Q ' Suma wartośc oczyszczoych wskaźków wahań okresowych est rówa lczbe odokresów: d Q d. b) dla wahań addytywych (o stałe amltudze) - dla tych wszystkch wyrazów szeregu orygalego y t dla których steą wartośc wyrówae ~ yt oblczamy dywduale różce ostac y t ~ yt. - surowe wskaźk wahań okresowych otrzymamy oblczaąc średe dywdualych różc w oszczególych odokresach: S ( y ~ t y ) ' t ( N,,..., d)

27 7 gdze N ozacza zbór umerów obserwac ależących do -tego odokresu, a lczebość tego zboru. - oczyszczoe wskaźk wahań okresowych otrzymamy o skorygowau wskaźków surowych wg wzoru: S S ' d d S '. Suma wartośc oczyszczoych wskaźków wahań okresowych est rówa zero: d S Wyzaczoe w te sosób wskaźk wahań okresowych (oczyszczoe) moża wykorzystać do wyelmowaa wahań z szeregu czasowego. W zależośc od tyu wahań okresowych mamy: ' yt yt ( t N ) dla szeregu multlkatywego, Q ' t t y y S ( t N ) dla szeregu addytywego. Progozowae w szeregu czasowym Jeżel zamy ostać aaltyczą tredu mamy wyzaczoe wskaźk wahań okresowych, to moża uzyskać rogozę dla rzyszłych okresów: y y T T yˆ Q ( T N ) dla szeregu multlkatywego, T yˆ + S ( T N ) dla szeregu addytywego. T ŷ T w owyższych wzorach ozacza wyzaczoą z fukc tredu rzew- Symbol dywaą, średą wartość zmee Y w chwl czasu t T.

28 8.3. Ideksy statystycze Nech y t ozacza wartość badaego zawska w koleych mometach czasu t. Podstawowym merkam zma ozomu zmee y t są absolute rzyrosty wartośc y t w okrese ( t, t) : y y ( t, 3,..., ), t t t absolute rzyrosty wartośc y w okrese ( t, t) w odeseu do ozomu tego zawska w wybraym ukce t * t : t yt yt δ t ( t, 3,..., ). y * y * t t Jeżel dla każdego t uktem odesea est wartość zawska w orzedm okrese y * t y t, to take rzyrosty względe azywamy łańcuchowym, a eśl ukt odesea est stały, to mówmy o rzyrostach względych edoodstawowych. Wskaźkem (deksem) dyamk wartośc zawska w wybraym ukce y * est lczba: t t / t * yt ( t,,..., ). y * t y t w odeseu do ozomu tego W zależośc od sosobu ustalea y *, możemy mówć o deksach łańcuchowych lub edoodstawowych. Jeżel dla każdego t uktem odesea est wartość zaw- t ska w orzedm okrese y * y t t, to take deksy azywamy łańcuchowym, a eśl ukt odesea est stały, to mówmy o deksach edoodstawowych. Agregatowe deksy wartośc, lośc ce Ideksy tego tyu są wykorzystywae do ocey dyamk zawska w eedorode zborowośc (. dyamka ce różych roduktów). Ozaczmy odowedo rzez: w w - wartość -tego roduktu w momece odstawowym badaym,, - lość -tego roduktu w momece odstawowym badaym,, - cea -tego roduktu w momece odstawowym badaym.,

29 9 Dla każdego z rozatrywaych roduktów moża wyzaczyć dywduale wskaźk (deksy): w w w )...,,, ( m wartośc, )...,,, ( m lośc, )...,,, ( m ce. Dla określea łącze dyamk wartośc m roduktów w badaych okresach wyzaczamy agregatowy deks wartośc: m m m m w w w I. Jeżel chcemy określć wływ ce a łączą dyamkę wartośc m roduktów, to wyzaczamy agregatowy deks ce wg formuły odowedo: Laseyresa Paaschego m m L I m m P I Agregatowy deks ce ma ustaloy ozom lośc; w rzyadku formuły Laseyresa a ozome mometu odstawowego, a w rzyadku formuły Paaschego a ozome mometu badaego. Agregatowy deks ce moża także zasać z wykorzystaem dywdualego deksu ce wg formuły: Laseyresa Paaschego m m L I m m P I

30 3 Jeżel chcemy określć wływ lośc a łączą dyamkę wartośc m roduktów, to wyzaczamy agregatowy deks lośc wg formuły odowedo: Laseyresa Paaschego m m L I m m P I Agregatowy deks lośc ma ustaloy ozom ce; w rzyadku formuły Laseyresa a ozome mometu odstawowego, a w rzyadku formuły Paaschego a ozome mometu badaego. Agregatowy deks lośc moża także zasać z wykorzystaem dywdualego deksu lośc wg formuły: Laseyresa Paaschego m m L I m m P I Agregatowe deksy Fshera Agregatowe deksy ce lośc maą edą wadę wykaącą z faktu, że e sełaą wymogów odwracalośc w czase ak odwracalośc czyków. Wady te ozbawoe są deksy Fshera, będące średm geometryczym z deksów wg formuł Laseyresa Paaschego. P L F I I I agregatowy deks ce wg Fshera, P L F I I I agregatowy deks lośc wg Fshera. Mędzy agregatowym deksem wartośc, a agregatowym deksam ce lośc zachodz astęuąca rówość: F F P L L w I I I I I I I. Rówość owyższa os azwę rówośc deksowe, aczęśce est wykorzystywaa rzy rzelczau deksów agregatowych.

31 3 3. Tablce statystycze Tablca. Dystrybuata stadardowego rozkładu ormalego z F ( z) f ( z) dz,,,,3,4,5,6,7,8,9,,5,54,58,5,56,599,539,579,539,5359,,5398,5438,5478,557,5557,5596,5636,5675,574,5753,,5793,583,587,59,5948,5987,66,664,63,64,3,679,67,655,693,633,6368,646,6443,648,657,4,6554,659,668,6664,67,6736,677,688,6844,6879,5,695,695,6985,79,754,788,73,757,79,74,6,757,79,734,7357,7389,74,7454,7486,757,7549,7,758,76,764,7673,774,7734,7764,7794,783,785,8,788,79,7939,7967,7995,83,85,878,86,833,9,859,886,8,838,864,889,835,834,8365,8389,,843,8438,846,8485,858,853,8554,8577,8599,86,,8643,8665,8686,878,879,8749,877,879,88,883,,8849,8869,8888,897,895,8944,896,898,8997,95,3,93,949,966,98,999,95,93,947,96,977,4,99,97,9,936,95,965,979,99,936,939,5,933,9345,9357,937,938,9394,946,948,949,944,6,945,9463,9474,9484,9495,955,955,955,9535,9545,7,9554,9564,9573,958,959,9599,968,966,965,9633,8,964,9649,9656,9664,967,9678,9686,9693,9699,976,9,973,979,976,973,9738,9744,975,9756,976,9767,,977,9778,9783,9788,9793,9798,983,988,98,987,,98,986,983,9834,9838,984,9846,985,9854,9857,,986,9864,9868,987,9875,9878,988,9884,9887,989,3,9893,9896,9898,99,994,996,999,99,993,996,4,998,99,99,995,997,999,993,993,9934,9936,5,9938,994,994,9943,9945,9946,9948,9949,995,995,6,9953,9955,9956,9957,9959,996,996,996,9963,9964,7,9965,9966,9967,9968,9969,997,997,997,9973,9974,8,9974,9975,9976,9977,9977,9978,9979,9979,998,998,9,998,998,998,9983,9984,9984,9985,9985,9986,9986 3,,9987,9987,9987,9988,9988,9989,9989,9989,999,999 Jeżel z <, to F( z) F( z)

32 3 Tablca. Wartośc krytycze ;v α ; v χ take, że P ( χ χα ) α v Pozom stotośc α,975,95,9,,5,5,,,4,6,76 3,84 5,4 6,635,5,3, 4,65 5,99 7,378 9, 3,6,35,584 6,5 7,85 9,348,345 4,484,7,64 7,779 9,488,43 3,77 5,83,45,6 9,36,7,83 5,86 6,37,635,4,645,59 4,449 6,8 7,69,67,833,7 4,67 6,3 8,475 8,8,733 3,49 3,36 5,57 7,535,9 9,7 3,35 4,68 4,684 6,99 9,3,666 3,47 3,94 4,865 5,987 8,37,483 3,9 3,86 4,575 5,578 7,75 9,675,9 4,75 4,44 5,6 6,34 8,549,6 3,337 6,7 3 5,9 5,89 7,4 9,8,36 4,736 7, ,69 6,57 7,79,64 3,685 6,9 9,4 5 6,6 7,6 8,547,37 4,996 7,488 3, ,98 7,96 9,3 3,54 6,96 8,845 3, 7 7,564 8,67,85 4,769 7,587 3,9 33,49 8 8,3 9,39,865 5,989 8,869 3,56 34,85 9 8,97,7,65 7,4 3,44 3,85 36,9 9,59,85,443 8,4 3,4 34,7 37,566,83,59 3,4 9,65 3,67 35,479 38,93,98,338 4,4 3,83 33,94 36,78 4,89 3,689 3,9 4,848 3,7 35,7 38,76 4,638 4,4 3,848 5,659 33,96 36,45 39,364 4,98 5 3, 4,6 6,473 34,38 37,65 4,646 44,34 6 3,844 5,379 7,9 35,563 38,885 4,93 45,64 7 4,573 6,5 8,4 36,74 4,3 43,95 46, ,38 6,98 8,939 37,96 4,337 44,46 48,78 9 6,47 7,78 9,768 39,87 4,557 45,7 49, ,79 8,493,599 4,56 43,773 46,979 5,89 4 4,433 6,59 9,5 5,85 55,758 59,34 63,69 5 3,357 34,764 37,689 63,67 67,55 7,4 76,54 6 4,48 43,88 46,459 74,397 79,8 83,98 88, ,758 5,739 55,39 85,57 9,53 95,3, ,53 6,39 64,78 96,578,879 6,69, ,647 69,6 73,9 7,565 3,45 8,36 4,6 74, 77,99 8,358 8,498 4,34 9,56 35,87

33 33 Tablca 3. Wartośc krytycze t ; v α take, że P ( t t ; ) α > α v Pozom stotośc α v,5,,5,,5,, 6,34,76 63,656 7,3 636,578,86,9 4,33 9,95 4,89 3,6 3,765,353 3,8 5,84 7,453,94 4,74,3,776 4,64 5,598 8,6 5,77,5,57 4,3 4,773 6,869 6,78,943,447 3,77 4,37 5,959 7,7,895,365 3,499 4,9 5,48 8,76,86,36 3,355 3,833 5,4 9,73,833,6 3,5 3,69 4,78,7,8,8 3,69 3,58 4,587,697,796, 3,6 3,497 4,437,695,78,79 3,55 3,48 4,38 3,694,77,6 3, 3,37 4, 4,69,76,45,977 3,36 4,4 5,69,753,3,947 3,86 4,73 6,69,746,,9 3,5 4,5 7,689,74,,898 3, 3,965 8,688,734,,878 3,97 3,9 9,688,79,93,86 3,74 3,883,687,75,86,845 3,53 3,85,686,77,74,89 3,9 3,79 4,685,7,64,797 3,9 3,745 6,684,76,56,779 3,67 3,77 8,683,7,48,763 3,47 3,674 3,683,697,4,75 3,3 3,646 35,68,69,3,74,996 3,59 4,68,684,,74,97 3,55 45,68,679,4,69,95 3,5 5,679,676,9,678,937 3,496 6,679,67,,66,95 3,46 7,678,667,994,648,899 3,435 8,678,664,99,639,887 3,46 9,677,66,987,63,878 3,4,677,66,984,66,87 3,39,676,653,97,6,838 3,34 5,675,648,965,586,8 3,3 +,675,646,96,58,83 3,3

34 34 F ; u ; v Tablca 4a. Wartośc krytycze F Fshera-Sedecora α dla α, 5 Stoe swobody u dla średego kwadratu odchyleń w lczku v ,45 99,5 5,7 4,58 3,6 33,99 36,77 38,88 8,5 9, 9,6 9,5 33,99 9,3 9,33 9,35 9,37 3,3 9,55 9,8 9, 9, 8,94 8,89 8,85 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,9 6,4 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,5 4,95 4,88 4,8 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 8 5,3 4,46 4,7 3,84 3,69 3,58 3,5 3,44 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 4,96 4, 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,7 4,84 3,98 3,59 3,36 3, 3,9 3,,95 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,,9,85 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,3,9,83,77 4 4,6 3,74 3,34 3,,96,85,76,7 5 4,54 3,68 3,9 3,6,9,79,7,64 6 4,49 3,63 3,4 3,,85,74,66,59 7 4,45 3,59 3,,96,8,7,6,55 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5 9 4,38 3,5 3,3,9,74,63,54,48 4,35 3,49 3,,87,7,6,5,45 4,3 3,47 3,7,84,68,57,49,4 4,3 3,44 3,5,8,66,55,46,4 3 4,8 3,4 3,3,8,64,53,44,37 4 4,6 3,4 3,,78,6,5,4,36 5 4,4 3,39,99,76,6,49,4,34

35 35 Tablca 4b. Wartośc krytycze F Fshera-Sedecora F ; u ; v α dla α, 5 Stoe swobody u dla średego kwadratu odchyleń w lczku v ,3 3,37,98,74,59,47,39,3 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3 8 4, 3,34,95,7,56,45,36,9 9 4,8 3,33,93,7,55,43,35,8 3 4,7 3,3,9,69,53,4,33,7 3 4,5 3,9,9,67,5,4,3,4 34 4,3 3,8,88,65,49,38,9,3 36 4, 3,6,87,63,48,36,8, 38 4, 3,4,85,6,46,35,6,9 4 4,8 3,3,84,6,45,34,5,8 4 4,7 3,,83,59,44,3,4,7 44 4,6 3,,8,58,43,3,3,6 46 4,5 3,,8,57,4,3,,5 48 4,4 3,9,8,57,4,9,,4 5 4,3 3,8,79,56,4,9,,3 6 4, 3,5,76,53,37,5,7, 8 3,96 3,,7,49,33,,3,6 3,94 3,9,7,46,3,9,,3 5 3,9 3,7,68,44,9,7,8, 5 3,9 3,6,66,43,7,6,7, 3,89 3,4,65,4,6,4,6,98 3 3,87 3,3,63,4,4,3,4,97 5 3,86 3,,6,39,3,,3,96 3,85 3,,6,38,,,,95 + 3,84 3,,6,37,,,,94

36 36 Tablca 4c. Wartośc krytycze F Fshera-Sedecora F ; u ; v α dla α, 5 Stoe swobody u dla średego kwadratu odchyleń w lczku v ,54 4,88 43,9 45,36 46,47 47,3 48, 49,6 9,38 9,4 9,4 9,4 9,43 9,44 9,45 9,46 3 8,8 8,79 8,74 8,7 8,69 8,67 8,66 8,63 4 6, 5,96 5,9 5,87 5,84 5,8 5,8 5,77 5 4,77 4,74 4,68 4,64 4,6 4,58 4,56 4,5 6 4, 4,6 4, 3,96 3,9 3,9 3,87 3,83 7 3,68 3,64 3,57 3,53 3,49 3,47 3,44 3,4 8 3,39 3,35 3,8 3,4 3, 3,7 3,5 3, 9 3,8 3,4 3,7 3,3,99,96,94,89 3,,98,9,86,83,8,77,73,9,85,79,74,7,67,65,6,8,75,69,64,6,57,54,5 3,7,67,6,55,5,48,46,4 4,65,6,53,48,44,4,39,34 5,59,54,48,4,38,35,33,8 6,54,49,4,37,33,3,8,3 7,49,45,38,33,9,6,3,8 8,46,4,34,9,5,,9,4 9,4,38,3,6,,8,6,,39,35,8,,8,5,,7,37,3,5,,6,,,5,34,3,3,7,3,,7, 3,3,7,,5,,8,5, 4,3,5,8,3,9,5,3,97 5,8,4,6,,7,4,,96

37 37 Tablca 4d. Wartośc krytycze F Fshera-Sedecora F ; u ; v α dla α, 5 Stoe swobody u dla średego kwadratu odchyleń w lczku v ,7,,5,9,5,,99,94 7,5,,3,8,4,,97,9 8,4,9,,6,,99,96,9 9,,8,,5,,97,94,89 3,,6,9,4,99,96,93,88 3,9,4,7,,97,94,9,85 34,7,,5,99,95,9,89,83 36,5,,3,98,93,9,87,8 38,4,9,,96,9,88,85,8 4,,8,,95,9,87,84,78 4,,6,99,94,89,86,83,77 44,,5,98,9,88,84,8,76 46,9,4,97,9,87,83,8,75 48,8,3,96,9,86,8,79,74 5,7,3,95,89,85,8,78,73 6,4,99,9,86,8,78,75,69 8,,95,88,8,77,73,7,64,97,93,85,79,75,7,68,6 5,96,9,83,77,73,69,66,59 5,94,89,8,76,7,67,64,58,93,88,8,74,69,66,6,56 3,9,86,78,7,68,64,6,54 5,9,85,77,7,66,6,59,53,89,84,76,7,65,6,58,5 +,88,83,75,69,65,6,57,5

38 38 Tablca 4e. Wartośc krytycze F Fshera-Sedecora F ; u ; v α dla α, 5 Stoe swobody u dla średego kwadratu odchyleń w lczku v , 5,4 5,77 5,6 53,4 53,68 54,6 54,9 9,46 9,47 9,48 9,48 9,49 9,49 9,49 9,49 3 8,6 8,59 8,58 8,56 8,55 8,54 8,53 8,53 4 5,75 5,7 5,7 5,68 5,66 5,65 5,64 5,63 5 4,5 4,46 4,44 4,4 4,4 4,39 4,37 4,37 6 3,8 3,77 3,75 3,73 3,7 3,69 3,68 3,67 7 3,38 3,34 3,3 3,9 3,7 3,5 3,4 3,3 8 3,8 3,4 3,,99,97,95,94,93 9,86,83,8,77,76,73,7,7,7,66,64,6,59,56,55,54,57,53,5,47,46,43,4,4,47,43,4,37,35,3,3,3 3,38,34,3,8,6,3,, 4,3,7,4,,9,6,4,4 5,5,,8,4,,,8,7 6,9,5,,9,7,4,, 7,5,,8,4,,99,97,97 8,,6,4,,98,95,93,9 9,7,3,,96,94,9,89,88,4,99,97,93,9,88,86,85,,96,94,9,88,84,83,8,98,94,9,87,85,8,8,79 3,96,9,88,84,8,79,77,76 4,94,89,86,8,8,77,75,74 5,9,87,84,8,78,75,73,7

39 39 Tablca 4f. Wartośc krytycze F Fshera-Sedecora F ; u ; v α dla α, 5 Stoe swobody u dla średego kwadratu odchyleń w lczku v ,9,85,8,78,76,73,7,7 7,88,84,8,76,74,7,69,68 8,87,8,79,75,73,69,67,66 9,85,8,77,73,7,67,65,65 3,84,79,76,7,7,66,64,63 3,8,77,74,69,67,63,6,6 34,8,75,7,67,65,6,59,58 36,78,73,69,65,6,59,56,56 38,76.7,68,63,6,57,54,54 4,74,69,66,6,59,55,53,5 4,73,68,65,6,57,53,5,5 44,7,67,63,59,56,5,49,49 46,7,65,6,57,55,5,48,47 48,7,64,6,56,54,49,47,46 5,69,63,6,55,5,48,46,45 6,65,59,56,5,48,44,4,4 8,6,54,5,45,43,38,35,34,57,5,48,4,39,34,3,3 5,55,49,45,4,36,3,7,6 5,54,48,44,38,34,9,5,4,5,46,4,35,3,6,, 3,5,43,39,33,3,3,9,7 5,48,4,38,3,8,,6,4,47,4,36,3,6,9,3, +,46,4,35,9,5,8,,8

40 4 Tablca 5a. Wartośc krytycze F Fshera-Sedecora F ; u ; v α dla α, Stoe swobody u dla średego kwadratu odchyleń w lczku v ,8 4999,34 543,53 564,6 5763, ,95 598,33 598,95 98,5 99, 99,6 99,5 99,3 99,33 598,95 99,36 99, , 3,8 9,46 8,7 8,4 7,9 7,67 7,49 4, 8, 6,69 5,98 5,5 5, 4,98 4,8 5 6,6 3,7,6,39,97,67,46,9 6 3,75,9 9,78 9,5 8,75 8,47 8,6 8, 7,5 9,55 8,45 7,85 7,46 7,9 6,99 6,84 8,6 8,65 7,59 7, 6,63 6,37 6,8 6,3 9,56 8, 6,99 6,4 6,6 5,8 5,6 5,47,4 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5, 5,6 9,65 7, 6, 5,67 5,3 5,7 4,89 4,74 9,33 6,93 5,95 5,4 5,6 4,8 4,64 4,5 3 9,7 6,7 5,74 5, 4,86 4,6 4,44 4,3 4 8,86 6,5 5,56 5,4 4,69 4,46 4,8 4,4 5 8,68 6,36 5,4 4,89 4,56 4,3 4,4 4, 6 8,53 6,3 5,9 4,77 4,44 4, 4,3 3,89 7 8,4 6, 5,9 4,67 4,34 4, 3,93 3,79 8 8,9 6, 5,9 4,58 4,5 4, 3,84 3,7 9 8,8 5,93 5, 4,5 4,7 3,94 3,77 3,63 8, 5,85 4,94 4,43 4, 3,87 3,7 3,56 8, 5,78 4,87 4,37 4,4 3,8 3,64 3,5 7,95 5,7 4,8 4,3 3,99 3,76 3,59 3,45 3 7,88 5,66 4,76 4,6 3,94 3,7 3,54 3,4 4 7,8 5,6 4,7 4, 3,9 3,67 3,5 3,36 5 7,77 5,57 4,68 4,8 3,85 3,63 3,46 3,3

41 4 Tablca 5b. Wartośc krytycze F Fshera-Sedecora F ; u ; v α dla α, Stoe swobody u dla średego kwadratu odchyleń w lczku v ,7 5,53 4,64 4,4 3,8 3,59 3,4 3,9 7 7,68 5,49 4,6 4, 3,78 3,56 3,39 3,6 8 7,64 5,45 4,57 4,7 3,75 3,53 3,36 3,3 9 7,6 5,4 4,54 4,4 3,73 3,5 3,33 3, 3 7,56 5,39 4,5 4, 3,7 3,47 3,3 3,7 3 7,5 5,34 4,46 3,97 3,65 3,43 3,6 3,3 34 7,44 5,9 4,4 3,93 3,6 3,39 3, 3,9 36 7,4 5,5 4,38 3,89 3,57 3,35 3,8 3,5 38 7,35 5, 4,34 3,86 3,54 3,3 3,5 3, 4 7,3 5,8 4,3 3,83 3,5 3,9 3,,99 4 7,8 5,5 4,9 3,8 3,49 3,7 3,, ,5 5, 4,6 3,78 3,47 3,4 3,8, , 5, 4,4 3,76 3,44 3, 3,6, ,9 5,8 4, 3,74 3,43 3, 3,4,9 5 7,7 5,6 4, 3,7 3,4 3,9 3,,89 6 7,8 4,98 4,3 3,65 3,34 3,,95,8 8 6,96 4,88 4,4 3,56 3,6 3,4,87,74 6,9 4,8 3,98 3,5 3,,99,8,69 5 6,84 4,78 3,94 3,47 3,7,95,79,66 5 6,8 4,75 3,9 3,45 3,4,9,76,63 6,76 4,7 3,88 3,4 3,,89,73,6 3 6,7 4,68 3,85 3,38 3,8,86,7,57 5 6,69 4,65 3,8 3,36 3,5,84,68,55 6,66 4,63 3,8 3,34 3,4,8,66,53 + 6,64 4,6 3,79 3,3 3,,8,64,5

42 4 Tablca 5c. Wartośc krytycze F Fshera-Sedecora F ; u ; v α dla α, Stoe swobody u dla średego kwadratu odchyleń w lczku v ,4 655,93 66,68 643, 67, 69,43 68,66 639,86 99,39 99,4 99,4 99,43 99,44 99,44 99,45 99,46 3 7,34 7,3 7,5 6,9 6,83 6,75 6,69 6,58 4 4,66 4,55 4,37 4,5 4,5 4,8 4, 3,9 5,6,5 9,89 9,77 9,68 9,6 9,55 9,45 6 7,98 7,87 7,7 7,6 7,5 7,45 7,4 7,3 7 6,7 6,6 6,47 6,36 6,8 6, 6,6 6,6 8 5,9 5,8 5,67 5,56 5,48 5,4 5,36 5,6 9 5,35 5,6 5, 5, 4,9 4,86 4,8 4,7 4,94 4,85 4,7 4,6 4,5 4,46 4,4 4,3 4,63 4,54 4,4 4,9 4, 4,5 4, 4, 4,39 4,3 4,6 4,5 3,97 3,9 3,86 3,76 3 4,9 4, 3,96 3,86 3,78 3,7 3,66 3,57 4 4,3 3,94 3,8 3,7 3,6 3,56 3,5 3,4 5 3,89 3,8 3,67 3,56 3,49 3,4 3,37 3,8 6 3,78 3,69 3,55 3,45 3,37 3,3 3,6 3,6 7 3,68 3,59 3,46 3,35 3,7 3, 3,6 3,7 8 3,6 3,5 3,37 3,7 3,9 3,3 3,8,98 9 3,5 3,43 3,3 3,9 3, 3,5 3,,9 3,46 3,37 3,3 3,3 3,5,99,94,84 3,4 3,3 3,7 3,7,99,93,88,79 3,35 3,6 3, 3,,94,88,83,73 3 3,3 3, 3,7,97,89,83,78,69 4 3,6 3,7 3,3,93,85,79,74,64 5 3, 3,3,99,89,8,75,7,6

43 43 Tablca 5d. Wartośc krytycze F Fshera-Sedecora F ; u ; v α dla α, Stoe swobody u dla średego kwadratu odchyleń w lczku v ,8 3,9,96,86,78,7,66,57 7 3,5 3,6,93,8,75,68,63,54 8 3, 3,3,9,79,7,65,6,5 9 3,9 3,,87,77,69,63,57,48 3 3,7,98,84,74,66,6,55,45 3 3,,93,8,7,6,55,5,4 34,98,89,76,66,58,5,46,37 36,95,86,7,6,54,48,43,33 38,9,83,69,59,5,45,4,3 4,89,8,66,56,48,4,37,7 4,86,78,64,54,46,4,34,5 44,84,75,6,5,44,37,3, 46,8,73,6,5,4,35,3, 48,8,7,58,48,4,33,8,8 5,78,7,56,46,38,3,7,7 6,7,63,5,39,3,5,, 8,64,55,4,3,3,7,,,59,5,37,7,9,,7,97 5,55,47,33,3,5,8,3,93 5,53,44,3,,,6,,9,5,4,7,7,9,3,97,87 3,47,38,4,4,6,99,94,84 5,44,36,,,4,97,9,8,43,34,,,,95,9,79 +,4,33,9,9,,94,88,78

44 44 Tablca 5e. Wartośc krytycze F Fshera-Sedecora F ; u ; v α dla α, Stoe swobody u dla średego kwadratu odchyleń w lczku v ,35 686,43 63,6 633, ,9 6349, ,54 636,8 99,47 99,48 99,48 99,48 99,49 99,49 99,5 99,5 3 6,5 6,4 6,35 6,8 6,4 6,8 6,5 6,4 4 3,84 3,75 3,69 3,6 3,58 3,5 3,49 3,47 5 9,38 9,9 9,4 9,7 9,3 9,8 9,4 9,3 6 7,3 7,4 7,9 7, 6,99 6,93 6,9 6,89 7 5,99 5,9 5,86 5,79 5,75 5,7 5,67 5,66 8 5, 5, 5,7 5, 4,96 4,9 4,88 4,87 9 4,65 4,57 4,5 4,45 4,4 4,36 4,33 4,3 4,5 4,7 4, 4,5 4, 3,96 3,93 3,9 3,94 3,86 3,8 3,74 3,7 3,66 3,6 3,6 3,7 3,6 3,57 3,5 3,47 3,4 3,38 3,37 3 3,5 3,43 3,38 3,3 3,7 3, 3,9 3,8 4 3,35 3,7 3, 3,5 3, 3,6 3,3 3, 5 3, 3,3 3,8 3,,98,9,89,88 6 3, 3,,97,9,86,8,78,76 7 3,,9,87,8,76,7,68,66 8,9,84,78,7,68,6,59,58 9,84,76,7,64,6,55,5,5,78,69,64,57,54,48,44,43,7,64,58,5,48,4,38,37,67,58,53,46,4,36,33,3 3,6,54,48,4,37,3,8,7 4,58,49,44,37,33,7,4, 5,54,45,4,33,9,3,9,8

45 45 Tablca 5f. Wartośc krytycze F Fshera-Sedecora F ; u ; v α dla α, Stoe swobody u dla średego kwadratu odchyleń w lczku v ,5,4,36,9,5,9,6,4 7,47,38,33,6,,6,, 8,44,35,3,3,9,3,9,8 9,4,33,7,,6,,6,5 3,39,3,5,7,3,7,3, 3,34,5,,,8,,98,97 34,3,,6,8,4,98,94,9 36,6,8,,4,,94,9,89 38,3,4,9,,97,9,86,85 4,,,6,98,94,87,83,8 4,8,9,3,95,9,85,8,79 44,5,7,,93,89,8,78,76 46,3,4,99,9,86,8,76,74 48,,,97,89,84,78,73,7 5,,,95,87,8,76,7,7 6,3,94,88,79,75,68,63,6 8,94,85,79,7,65,58,53,5,89,8,74,65,6,5,47,45 5,85,76,69,6,55,47,4,39 5,83,73,66,57,5,43,38,35,79,69,63,53,48,39,33,3 3,76,66,59,5,44,35,8,5 5,74,63,57,47,4,3,3,,7,6,54,44,38,8,9,6 +,7,6,53,4,36,6,6,

46 46 Tablca 6a. Wartośc krytycze studetyzowaego rozstęu t ; k; v α dla α, 5 Lczba k orówywaych średch v ,7 9, 3, 6, 8,6 3,5 3, 33,5 34,7 4,3 5,89 6,9 7,7 8,7 8,77 9,9 9,58 9,9 3 3,8 4,8 4,8 5,3 5,69 6, 6,6 6,49 6,69 4,78 3,57 4,7 4,45 4,74 4,99 5, 5,37 5,54 5,57 3,5 3,69 4, 4,6 4,48 4,65 4,8 4,94 6,45 3,7 3,46 3,75 3,98 4,7 4,33 4,47 4,59 7,37,94 3,3 3,58 3,79 3,97 4, 4,4 4,36 8,3,86 3, 3,46 3,66 3,8 3,96 4,8 4,9 9,6,79 3, 3,37 3,55 3,7 3,84 3,95 4,6,3,74 3,6 3,9 3,47 3,6 3,75 3,86 3,96,,7 3, 3,3 3,4 3,56 3,68 3,78 3,88,8,67,97 3,9 3,36 3,5 3,6 3,73 3,8 3,6,64,93 3,5 3,3 3,45 3,57 3,67 3,76 4,5,6,9 3, 3,8 3,4 3,53 3,63 3,7 5,3,6,88 3,9 3,5 3,38 3,49 3,59 3,68 6,,58,86 3,6 3, 3,35 3,46 3,56 3,64 7,,57,85 3,5 3, 3,33 3,44 3,54 3,6 8,,55,83 3,3 3,8 3,3 3,4 3,5 3,59 9,9,54,8 3, 3,7 3,9 3,39 3,49 3,57,8,53,8,99 3,5 3,7 3,37 3,46 3,54 4,,43,68,86,99 3, 3, 3,7 3,34 6,,4,64,8,94 3,5 3,4 3, 3,9,98,38,6,77,9 3, 3,8 3,6 3, +,96,34,57,73,85,95 3,3 3, 3,6

47 47 Tablca 6b. Wartośc krytycze studetyzowaego rozstęu t ; k; v α dla α, 5 Lczba k orówywaych średch v ,8 36,8 37,6 38,4 39, 39,8 4,4 4, 4,55 4,,,4,7,9,,3,45,6,75,9 3 6,87 7,4 7, 7,3 7,4 7,53 7,64 7,74 7,83 7,9 4 5,68 5,8 5,9 6, 6, 6, 6,3 6,39 6,46 6,53 5 5,7 5,8 5,8 5,37 5,46 5,54 5,6 5,68 5,75 5,8 6 4,7 4,8 4,89 4,97 5,5 5, 5,9 5,5 5,3 5,37 7 4,45 4,55 4,63 4,7 4,78 4,84 4,9 4,96 5, 5,7 8 4,8 4,37 4,45 4,5 4,58 4,64 4,7 4,76 4,8 4,86 9 4,5 4,3 4,3 4,38 4,44 4,5 4,55 4,6 4,65 4,7 4,4 4, 4,9 4,6 4,3 4,38 4,43 4,48 4,53 4,57 3,97 4,4 4, 4,7 4,3 4,8 4,33 4,38 4,43 4,48 3,9 3,97 4,4 4, 4,6 4, 4,6 4,3 4,35 4,39 3 3,84 3,9 3,98 4,4 4,9 4,4 4,9 4,4 4,8 4,3 4 3,79 3,86 3,9 3,99 4,4 4,9 4,4 4,8 4, 4,6 5 3,75 3,8 3,88 3,94 4, 4,4 4,9 4,4 4,8 4, 6 3,7 3,78 3,85 3,9 3,95 4, 4,5 4,9 4,3 4,7 7 3,69 3,76 3,8 3,87 3,9 3,97 4, 4,6 4,9 4,3 8 3,66 3,73 3,78 3,84 3,89 3,94 3,98 4, 4,6 4,9 9 3,64 3,7 3,76 3,8 3,87 3,9 3,95 4, 4,3 4,7 3,6 3,68 3,73 3,79 3,84 3,88 3,93 3,97 4, 4,4 4 3,4 3,46 3,5 3,56 3,6 3,65 3,69 3,73 3,76 3,79 6 3,34 3,4 3,45 3,49 3,54 3,58 3,6 3,64 3,68 3,7 3,8 3,33 3,38 3,4 3,46 3,5 3,53 3,56 3,6 3,63 + 3, 3,7 3,3 3,35 3,39 3,4 3,46 3,49 3,5 3,54

48 48 Tablca 7a. Wartośc krytycze studetyzowaego rozstęu t ; k; v α dla α, Lczba k orówywaych średch v ,7 95,5 6, 3, 43, 53, 6, 68, 74, 9,93 3,4 5,8 7,5 8,8 9,9,9,7,4 3 5,84 7,5 8,63 9,4,,6,,5,8 4 4,6 5,74 6,48 7,4 7,5 7,85 8,3 8,4 8,7 5 4,3 4,93 5,5 5,95 6,3 6,59 6,84 7,5 7, 6 3,7 4,48 4,97 5,35 5,64 5,88 6,9 6,7 6,43 7 3,5 4,9 4,6 4,96 5, 5,43 5,6 5,78 5,9 8 3,36 3,98 4,38 4,69 4,9 5, 5,8 5,43 5,56 9 3,5 3,84 4, 4,49 4,7 4,89 5,4 5,8 5,3 3,7 3,73 4,8 4,34 4,55 4,7 4,86 4,99 5, 3, 3,63 3,97 4, 4,4 4,58 4,7 4,84 4,94 3,6 3,56 3,89 4,3 4,3 4,47 4,6 4,7 4,8 3 3, 3,5 3,8 4,5 4,3 4,38 4,5 4,6 4,7 4,98 3,46 3,76 3,98 4,6 4,3 4,43 4,53 4,6 5,95 3,4 3,7 3,93 4, 4,4 4,36 4,46 4,55 6,9 3,38 3,67 3,88 4,4 4,8 4,3 4,4 4,49 7,9 3,35 3,64 3,84 4, 4,4 4,5 4,35 4,44 8,88 3,3 3,6 3,8 3,96 4,9 4, 4,3 4,38 9,86 3,3 3,58 3,77 3,93 4,6 4,7 4,6 4,35,84 3,8 3,55 3,74 3,9 4, 4,3 4, 4,3 4,7 3,9 3,3 3,49 3,6 3,73 3,8 3,89 3,96 6,66 3,3 3,5 3,4 3,53 3,63 3,7 3,79 3,85,6,97 3,8 3,33 3,44 3,54 3,6 3,68 3,75 +,58,9 3, 3,5 3,37 3,45 3,53 3,59 3,65

49 49 Tablca 7b. Wartośc krytycze studetyzowaego rozstęu t ; k; v α dla α, Lczba k orówywaych średch v , 84, 88, 9, 96, 99,, 5, 8,, 3, 3,6 4, 4,6 5, 5,5 5,85 6, 6,5 6,8 3,,4,7,9 3, 3,3 3,45 3,6 3,8 4, 4 8,9 9,5 9,6 9,4 9,55 9,69 9,83 9,97,9, 5 7,4 7,57 7,7 7,83 7,94 8,6 8,7 8,7 8,34 8,4 6 6,58 6,7 6,8 6,94 7,4 7,4 7, 7,8 7,35 7,4 7 6,5 6,6 6,6 6,36 6,45 6,53 6,6 6,69 6,76 6,8 8 5,68 5,78 5,88 5,97 6,5 6, 6,9 6,6 6,33 6,39 9 5,4 5,5 5,59 5,68 5,75 5,8 5,89 5,95 6, 6,6 5, 5,9 5,37 5,45 5,5 5,59 5,65 5,7 5,76 5,8 5,4 5,3 5, 5,8 5,35 5,4 5,47 5,5 5,57 5,6 4,9 4,99 5,7 5,3 5, 5,6 5,3 5,37 5,4 5,47 3 4,8 4,88 4,96 5, 5,8 5,4 5, 5,5 5,3 5,34 4 4,7 4,79 4,86 4,93 4,99 5,4 5,9 5,4 5,9 5,3 5 4,63 4,7 4,78 4,84 4,9 4,95 5, 5,5 5,9 5,3 6 4,57 4,64 4,7 4,77 4,83 4,88 4,93 4,97 5, 5,6 7 4,5 4,59 4,65 4,7 4,77 4,8 4,88 4,94 4,98 5,3 8 4,46 4,53 4,59 4,65 4,7 4,75 4,83 4,9 4,95 4,99 9 4,4 4,49 4,55 4,6 4,66 4,7 4,79 4,88 4,9 4,96 4,38 4,45 4,5 4,56 4,6 4,66 4,75 4,84 4,88 4,9 4 4, 4,8 4,3 4,7 4, 4,6 4,3 4,33 4,36 4,39 6 3,9 3,96 4, 4,5 4,9 4,3 4,6 4,9 4,3 4,6 3,8 3,85 3,9 3,93 3,97 4, 4,4 4,7 4, 4, + 3,7 3,74 3,78 3,8 3,85 3,88 3,9 3,94 3,97 4,

50 5 Tablca 8. Wartośc krytycze wsółczyka r α ; v korelac lowe dwóch zmeych v α, 5 α, v α, 5 α,,997, 4,388,496,95,99 5,38,487 3,878,959 6,374,478 4,8,97 7,367,47 5,754,874 8,36,463 6,77,834 9,355,456 7,666,798 3,349,449 8,63,765 35,35,48 9,6,735 4,34,393,576,78 45,88,37,553,684 5,73,354,53,66 6,5,35 3,54,64 7,3,3 4,497,63 8,7,83 5,48,66 9,5,67 6,468,59,95,54 7,456,575 5,74,8 8,444,56 5,59,8 9,433,549,38,8,43,537 3,3,48,43,56 4,98,8,44,55 5,88,5 3,396,55,6,8 * Tablca 9. Wartośc krytycze D zmodyfkowae statystyk Kołmogorowa- Smrowa dla wybraych ozomów stotośc α,5,,5,5 * D α,775,89,895,35

51 5 Tablca. Wsółczyk a : testu W Sharo-Wlka ,77,77,687,6646,643,633,65,5888,5739,,677,43,86,33,364,344,39 3,,875,4,743,976,4 4,,56,947,34 5,, ,56,5475,5359,55,55,556,4968,4486,488,4734,335,335,335,338,336,39,373,353,33,3 3,6,347,4,46,495,5,54,533,56,565 4,49,586,77,8,878,939,988,7,59,85 5,695,9,99,4,353,447,54,587,64,686 6,,33,539,77,88,5,9,97,7,334 7,,4,433,593,359,496,6,7 8,,96,359,496,6,7 9,,3,33,4,, ,4643,439,454,4493,445,447,4366,438,49,454,385,356,36,398,369,343,38,99, ,578,57,563,554,543,533,5,5,499,487 4,99,3,39,45,48,5,5,5,5,48 5,736,764,787,87,8,836,848,857,864,87 6,399,443,48,5,539,563,584,6,66,63 7,9,5,,45,83,36,346,37,395,45 8,84,878,94,997,46,89,8,6,9,9 9,53,68,696,764,83,876,93,965,,36,36,368,459,539,6,67,78,778,8,86,,,8,3,43,476,54,598,65,697,,7,,84,358,44,483,537 3,,94,78,53,3,38 4,,84,59,7 5,,76

52 ,44,488,456,47,496,468,44,45,3989,3964,9,898,876,854,834,83,794,774,755,737 3,475,463,45,439,47,45,43,39,38,368 4,45,4,37,3,7,,6,,4,98 5,874,878,88,88,883,883,883,88,88,878 6,64,65,66,667,673,678,683,686,689,69 7,433,449,463,475,487,496,55,53,5,56 8,43,65,84,3,37,33,344,356,366,376 9,66,93,8,4,6,7,96,,5,37,899,93,96,988,3,36,56,75,9,8,739,777,8,844,873,9,94,947,967,986,585,69,669,76,739,77,798,84,484,87 3,435,485,53,57,6,645,677,76,733,759 4,8,344,395,44,484,53,559,59,6,65 5,44,6,6,34,36,44,444,48,55,546 6,,68,3,87,39,87,33,37,49,444 7,,6,9,7,,64,35,343 8,,57,,58,3,44 9,,53,,46,, ,394,397,3894,387,385,383,388,3789,377,375,79,7,684,667,65,635,6,64,589,574 3,357,345,684,667,65,635,6,64,589,574 4,9,85,78,7,65,58,5,45,38,3 5,876,874,87,88,865,86,859,855,85,847 6,693,694,695,695,695,695,695,693,69,69 7,53,535,539,54,545,548,55,55,553,554 8,384,39,398,45,4,45,4,43,47,43 9,49,59,69,78,86,93,3,36,3,37,3,36,49,6,7,8,89,97,5,,4,,35,49,6,73,85,93,5,3,89,99,97,943,959,97,986,998,, 3,78,84,84,84,86,876,89,96,99,93 4,677,7,74,745,765,783,8,87,83,846 5,575,6,68,65,673,694,73,73,748,764