1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów

Transkrypt

1 1 Testy statystycze Podczas sprawdzaia hipotez statystyczych moga¾ wystapić ¾ dwa rodzaje b ¾edów. Prawdopodobieństwo b ¾edu polegajacego ¾ a odrzuceiu hipotezy zerowej (H 0 ), gdy jest oa prawdziwa, czyli tzw. b ¾edu I rodzaju określa si ¾e zazwyczaj przez ; atomiast p-stwo pope ieia b ¾edu II rodzaju polegajacego ¾ a przyj ¾eciu hipotezy zerowej, gdy jest oa fa szywa określa si ¾e symbolem : Przedstawimy teraz ogóly schemat przebiegu procedury wery kacyjej: Sformu owaie hipotezy zerowej i alteratywej Wybór statystyki testowej Określeie poziomu istotości Wyzaczeie obszaru krytyczego testu Obliczeie statystyki a podstawie próby Nie odrzucać H 0 (= Podj¾ecie decyzji =) Odrzucić H 0 Wioskujemy, ze H 0 mo ze być prawdziwa Wioskujemy, ze H 1 jest prawdziwa Rodzaje testów Testy parametrycze ajcz ¾eściej wery kuja¾ sady ¾ o takich parametrach populacji, jak średia arytmetycza, wskaźik struktury i wariacja. Testy te sa¾ kostruowae przy za o zeiu zajomości dystrybuaty w populacji geeralej. Wi ¾ekszość z ich zak ada, ze rozk ad badaej cechy w populacji jest rozk adem ormalym. Testy ieparametrycze ie wymuszaja ¾ zadych za o zeń dotyczacych ¾ postaci badaych zmieych w populacji, w zwiazku ¾ z tym cz¾esto sa¾ określae miaem testów iezwiazaych ¾ z rozk adem. S u z a¾ oe do wery kacji ró zorodych hipotez dotyczacych, ¾ m. i. zgodości rozk adu cechy w populacji z określoym rozk adem teoretyczym, zgodości rozk adów w dwóch populacjach, a tak ze chocia zby losowości wyboru próby. W szczególych przypadkach dla ma ych prób i rozk adów ieormalych zast ¾epuja¾ testy parametrycze. Schemat rozwa zaych w dalszej w cz ¾eści testów przedstawia si ¾e ast ¾epujaco: ¾ 1

2 1) testy s u z ace ¾ do wery kacji w asości populacji jedowymiarowych Testy porówujace ¾ ocey parametrów ze wzorcem =) Testy parametrycze - test dla średiej - test dla poporcji - test dla wariacji Testy oceiajace ¾ zgodość rozk adu empiryczego z teoretyczym =) Testy ieparametrycze test zgodości test zgodości Ko mogorowa test serii (= Testy oceiaj ace ¾ losowość próby ) test s u z ace ¾ do porówywaia w asości dwóch populacji Testy porówujace ¾ ocey parametrów z dwóch prób Testy parametrycze: - testy dla dwóch średich - testy dla dwóch proporcji - testy dla dwóch wariacji Testy oceiajace ¾ zgodość dwóch rozk adów empiryczych Testy ieparametrycze - test Ko mogorowa-smirowa - test jedorodości - test mediay - test serii - test zaków.1 Testy dla populacji jedowymiarowej Poi zej przedstawimy przeglad ¾ ajwa ziejszych testów stosowaych do wery- kacji hipotez o w asościach populacji jedowymiarowej.

3 .1.1 Testy dla średiej W testach dla średiej wery kacji poddaje si ¾e hipotez ¾e zerowa¾ postaci H 0 : = 0 wobec hipotezy alteratywej, która przyjmuje jeda¾ z trzech postaci H 1 : 6= 0 lub > 0 lub < 0 Statystyka testowa zale zy od trzech czyików: - rozk adu cechy w populacji - zajomości odchyleia stadardowego w populacji - liczebości próby Test I. W teście tym zak adamy, ze badaa cecha ma rozk ad ormaly o iezaej średiej, jedak ze zaym odchyleiu, tz. X N (; ), iezae, zae, poadto liczebość próby jest bez zaczeia. Jako statystyk¾e testowa¾ stosujemy wówczas statystyk¾e Z = X 0 p = X 0 p : Decyzj¾e o odrzuceiu H 0 podejmujemy w zale zości od tego czy obliczoa wartość statystyki testowej Z ale zy do przedzia u krytyczego. Przedzia krytyczy jest zale zy od postaci hipotezy alteratywej. Ogólie przy określaiu przedzia u dla średiej mo zemy posi kować si ¾e ast ¾epujacymi ¾ wskazówkami. Hipoteza alteratywa Obszar krytyczy H 0 : 6= 0 W = 1; z H 0 : > 0 W = [z ; 1) H 0 : < 0 W = ( 1; z ] [ z ; 1 (1) gdzie z jest kwatylem rz¾edu 1 stadardowego rozk adu ormalego. Test II. W teście tym zak ada si¾e rozk ad populacji jest dowoly o iezaej średiej oraz iezaym odchyleiu, jedak ze liczebość próby przekracza 30. W tym przypadku jako statystyk¾e testowa¾ Z = X 0 p ; S gdzie S jest odchyleiem obliczaym z próby. W tym teście obszary krytycze pokrywaja¾ si¾e z tymi wyst¾epujacymi ¾ w teście I. Test III. W tym przypadku zak adamy, ze badaa cecha ma rozk ad ormaly o iezaych parametrach oraz ; atomiast liczebość próby ie przekracza 30. Stosujemy wówczas statystyk¾e testowa¾ T = X p 0 1: S 3

4 Obszar krytyczy rówie z jest uzale zioy od postaci hipotezy alteratywej i jest zbli zoy do daych zawartych we wzorach (1), ale zy jedak zastapić ¾ z przez t ; 1 ; gdzie t ; 1 jest kwatylem rz¾edu 1 rozk adu t Studeta o 1 stopiach swobody..1. Test dla proporcji Test dla proporcji s u zy do wery kacji hipotezy o udziale w ca ej populacji jedostek posiadajacych ¾ wyró zioy wariat daej cechy, co jest określae miaem frakcji, proporcji lub wskaźika struktury. Zak ada si ¾e, ze populacja ma rozk ad dwumiaowy z parametrem p oraz próba jest licza > 50: Wery kacji poddaje si¾e ast¾epujace ¾ hipotezy H 0 : p = p 0 H 1 : p 6= p 0 ; lub p > p 0 ; lub p < p 0 : Jako statystyk¾e testowa¾ Z = k p 0 p p0q 0 gdzie k- liczba elemetów wyró zioych w próbie, p 0 q 0 = 1: Jako obszarów krytyczych u zywa si ¾e obszarów ze wzorów (1)..1.3 Test dla wariacji W teście tym zak ada si ¾e, ze rozwa zaa cecha ma rozk ad ormaly. Wyró zia si ¾e poadto dwa przypadki w zale zości od liczebości próby. W przypadku próby ie przekraczajacej ¾ 30 elemetów do wery kacji hipotez ; H 0 : = 0 () H 1 : 6= 0; lub > 0; lub < 0 (3) = S 0 = ( 1) S b ; 0 gdzie S b jest wariacja¾ ieobcia zo ¾ a¾ z próby. Dla powy zszej statystyki obszary krytycze rówie z uzale zioe sa¾ od postaci hipotezy (3) i przyjmuja¾ ast¾epujac ¾ a¾ postać Hipoteza alteratywa H 0 : 6= 0 H 0 : > 0 H 0 : < 0 Obszar krytyczy W = 0; 1 [ ; 1 W = ; 1 W = 0; 4

5 Dobór poszczególych przypadków precyzuja¾ poi zsze rysuki 5