METODY NUMERYCZNE W INZYNIERII WODNEJ

Transkrypt

1 Romuld Szmewcz METODY UMERYZE W IZYIERII WODEJ Wdwcwo Polec Gdse

2 Romuld Szmewcz METODY UMERYZE W IZYIERII WODEJ Gds

3 PRZEWODIZĄY KOMITETU REDAKYJEGO WYDAWITWA POLITEHIKI GDAŃSKIEJ Jusz T eślńs REEZET Wd Kowls PROJEKT OKŁADKI Krz Olszoowcz Wde II 7 Wdo z zgodą Reor Polec Gdńse oprg b Wdwcwo Polec Gdńse Gdńs Publc dosęp lo w wers elerocze Uwór e może bć powel rozpowszec w eolwe forme w olwe sposób bez pseme zgod wdwc ISB WYDAWITWO POLITEHIKI GDAŃSKIEJ Wde II Ar wd r druu 7 9/747

4 Sps reśc Przedmow 5 Rozwązwe ułdów lgebrczc rówń lowc 7 Wprowdzee 7 Dołde meod rozwązw ułdów rówń lowc 9 Ułd z mcerzm róąm 9 Meod elmc Guss Meod rozłdu mcerz ułdu mcerze róąe 4 Meod odwrc mcerz 6 5 Meod grdeów sprzężoc 6 Meod erce rozwązw ułdów rówń lowc 7 4 Uwg o ułdc rówń lowc Rozwązwe przblżoe rówń elowc Wprowdzee Meod połowe bsec 4 Meod erpolc lowe seczc 5 4 Meod erc prose 5 Meod ewo sczc 8 6 Meod brdowe 4 6 Meod Rdders 4 6 Meod Wegse 4 6 Meod Seffese 44 7 Rozwązwe ułdów rówń elowc 46 7 Meod erc prose Pcrd 47 7 Meod ewo 47 Ierpolc prosmc fuc 54 Uwg wsępe 54 Welom erpolce 55 Welom erpolc Lgrge 55 4 Ierpolc fucm slem 58 5 Aprosmc fuc z pomocą welomów 6 6 Porówe erpolc prosmc 67 4 Meod poszuw esremum fuc ede zmee 68 4 Przedswee problemu 68 4 Wzczee esremum fuc przez rozwąze rów elowego 7 4 Meod podzłu przedzłu rz rówe częśc 7 44 Meod złoego podzłu Meod worzsuąc cąg lczb Fboccego 8 5 łowe umercze 85 5 ł ozczoe w żer wode 85 5 umercze oblcze wrośc poedczc cłe ozczoc 88 5 umercze oblcze wrośc cłe podwóc 96 Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

5 4 Sps reśc 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc 6 Wprowdzee 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc zwczc 6 Meod we edoroowe 6 Meod we weloroowe 8 6 Meod ewe edoroowe 64 Meod ewe weloroowe 8 65 Rozwązwe ułdów rówń różczowc zwczc 66 Rozwązwe rówń różczowc zwczc rzędu wższego ż ede 6 umercze rozwązwe zgdeń brzegowc ułdów rówń różczowc zwczc 6 7 Rów różczowe o pocodc cząsowc 7 Przłd rówń w żer wode 7 Klsfc rówń różczowc cząsowc poprwe formułowe problemu c rozwąz 9 7 Meod różc sończoc Meod elemeów sończoc Eleme eor umerczego rozwązw rówń różczowc cząsowc 6 8 Algorm rozwąz rówń różczowc o pocodc cząsowc meodą różc sończoc 8 8 Rozwąze edowmrowego rów flrc eusloe 8 8 Rozwąze ułdu rówń de S-Ve 87 8 Rozwąze edowmrowego rów dwec-dfuz Rozwąze dwuwmrowego rów flrc eusloe 5 85 Rozwąze dwuwmrowego rów flrc usloe pod cśeem 5 86 Rozwąze ułdu rówń uderze drulczego meodą crers z zsosowem meod różc sończoc 7 9 Algorm rozwąz rówń różczowc o pocodc cząsowc meodą elemeów sończoc 7 9 Rozwąze edowmrowego rów dwec-dfuz 7 9 Rozwąze dwuwmrowego rów flrc usloe pod cśeem 46 9 Rozwąze dwuwmrowego rów flrc eusloe ze swobodm zwercdłem 55 Bblogrf 64 Złącz 66 Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

6 Przedmow Iżer wod leż do c dscpl w órc meod umercze są szczególe szeroo sosowe o wże rzędze lz rozwązw zgdeń żersc Prcze wszse soe przpd przepłwu wód powerzcowc wód podzemc że przepłw w rurocągc c secc orz przepłw przez budowle droeccze przelew zsuw upus dee d mogą bć suecze rozwązwe meodm umerczm Są o zgde óre spom w c dscplc szczegółowc dromec drul drolog cz drogeolog Proces przepłwu wod leżą do brdze złożoc zws fzczc e zwsze w peł rozpozc we wprowdząc dleo posuęe uproszcze zwle orzmuem somplowe modele memcze Zleże od złożeń co do zmeośc prmerów crerzuącc ruc wod w przesrze czse mą oe posć rówń lgebrczc lub c ułdów rówń różczowc zwczc bądź rówń różczowc cząsowc we prossze rów lgebrcze opsuące ruc uslo edos w le owrm lub w rurocągu przepłw przez przelew d są rówm elowm óre moż rozwązć lo w sposób przblżo Idecz suc wsępue w przpdu model w posc rówń różczowc lub c ułdów Zmee w czse przesrze prmer modelowc obeów c eregulr szł zmee w czse oddzłwe zewęrze elowość rówń uemożlwą zlezee rozwązń lczc we dl prosszc wruów Możlwe es ed zlezee rozwązń przblżoc z pomocą meod umerczc Zrówo wmeoe wże powod powszec dosępość ompuerów orz gwłowe rosące c możlwośc oblczeowe że porzeb prcze spowodowł w osc 5 lc duże zeresowe żerów-droeców meodm umerczego rozwązw zgdeń żer wode Mąc uwdze rodze zgdeń wsępuącc w żer wode p rówń opsuącc e w sążce omówoo meod rozwązw lgebrczc rówń elowc c ułdów rówń różczowc zwczc c ułdów orz wszsc pów rówń różczowc o pocodc cząsowc perbolczc prbolczc orz elpczc Podo omówoo e zgde rozwązwe ułdów lgebrczc rówń lowc powszece wsępuącc w rce rozwązw wmeoc wcześe rówń że erpolcę prosmcę óre częso sosowe są prz rozwązwu welu problemów w żer wode esz sąż przezczo es o pomoc ddcz przede wszsm dl sudeów eruu budowcwo speclość budowcwo wode orz żer środows mącc z sobą włd z podsw form Poszczególe zgde omówoo w sposób przsęp umożlwąc smodzele rozwązwe powc zdń żer wode Z ego powodu podsw eorecze meod umerczc ogrczoo do ezbędego mmum podąc edocześe źródł bblogrfcze w órc moż zleźć szczegółowe wczerpuące formce d em Jed Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

7 6 Przedmow od czel wmg es zomość podswowc dzłów mem w zrese ursu mem dl wmeoc wcześe eruów sudów W celu ułwe orzs z sąż w dodu zmeszczom e ońcu przpomo secze formce o błędc w oblczec reprezec mszowe lczb d Złd sę róweż że czel posd zomość fzczc podsw doczącc przepłwu wod w przewodc pod cśeem w łc owrc w ośrodc porowc że rsporu domesze rozpuszczoc w wodze Dl pełesze lusrc omówoc meod przedswoc lgormów węszość zgdeń zlusrowo przłdm rozwązń Żczlwe zeresowe PT zelów dwom wcześeszm wdm sąż w wers pperowe sło sę zcęą do e poowego wd W sosuu do poprzedc esz wers Meod zosł w welu mescc poprwo orz uzupeło o dw dodowe rozdzł l przłdów Jed w przecweńswe do wspomc wdń m rzem sąż es udosęp zelom w wers elerocze w rmc Pomorse Bbloe frowe Brdzo dzęuę P Krze Olszoowcz z pomoc w przgoowu esu rsuów Auor Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

8 Rozwązwe ułdów lgebrczc rówń lowc Wprowdzee Tpowm problemem powącm sę w rce rozwązw welu zgdeń es edo z podswowc zdń lgebr lowe mowce oeczość rozwązw ułdów lgebrczc rówń lowc Oce sę że rozwązwe ułdów rówń lowc wsępue w o 75% wszsc zgdeń uowc zęsm źródłem c ułdów es erpolc prosmc z pomocą fuc lowc Podo do ego pu ułdów prowdzą umercze meod rozwązw rówń różczowc przłd problem e wsępue w rce rozwązw rówń różczowc o pocodc cząsowc Zsosowe do c rozwąz meod różc sończoc lub meod elemeów sończoc omówoc w dlszc rozdzłc wmg osecze rozwązw ułdów rówń lgebrczc o zwle o duże lczbe ewdomc we rozwązwe ułdów rówń elowc osecze sprowdz sę do clczego rozwązw ułdów lowc zęs oeczość rozwązw ułdów rówń lowc zowocowł oprcowem lczc meod że wprowdzeem welu c relzc do bbloe msz cfrowc Rozprzm ułd rówń lowc z ewdomm b K Ułd e wgode es zpsć w posc mcerzowe A X B gdze: A ; es mcerzą wdrową -ego sop złożoą ze współczów ułdu X es weorem olumowm reprezeuącm ewdome B b es weorem prwc sro rówń lub olumą wrzów wolc K K A M M M K b b X B M M b Złdm u że mcerz A weor B są rzeczwse ułd rówń m rozwąze Rlso 97 Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

9 8 Rozwązwe ułdów lgebrczc rówń lowc Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode Mcerz ułdu w pewc succ przme szczególą posć Je sruur decdue zwle o zwe I : mcerz przeąow lub cze dgol o ór m ezerowe eleme ede główe przeąe dg d d d d d d d L K O M M M K K K D ; mcerz edosow I sop es szczególm przpdem mcerz dgole dg L K O M M M K K K I z I δ gdze δ es delą Kroecer zdefową sępuąco: ; dl dl K K δ ; mcerzą róąą zwm mcerz mącą eleme ezerowe lo po ede sroe główe przeąe Wróżm zem: mcerz róąą dolą l l l l l l l l l l K O M M M K K K L mcerz róąą górą u u u u u u u u u u M O K K K U ; mcerzą rzdą zw sę mcerz mącą dużą lczbę elemeów zerowc; mcerz psmow lub wsęgow o mcerz mąc eleme ezerowe zgrupowe w pśme woół główe przeąe rs

10 Dołde meod rozwązw ułdów rówń lowc 9 Uwzględee cec mcerz współczów ułdów rówń prowdz do poprw efewośc lgormu rozwąz poewż umożlw reducę czsu prc ompuer wmge pmęc Zlezee lcze posc rozwąz ułdu e sprw łopou orzmue sę e ze wzorów rmer Isom problemem es oms woe oblczeń we dl ułdów sego sop wzor rmer są eprzde gdż wmgą wo wele lczb dzłń Z ego powodu oprcowo brdze suecze lgorm rozwąz ułdu Meod rozwąz ułdów rówń lgebrczc dzel sę dwe grup: meod dołde lub bezpośrede meod erce O Rs Mcerz psmow Meod dołde są o meod óre prz bru błędów zorągleń dą dołde rozwąze po wou sończoe lczb operc Meod erce dą zbeż cąg rozwązń przblżoc órego grcą es rozwąze dołde Umożlwą oe zlezee ede rozwąz przblżoego Do oce sueczośc lgormów służą dw podswowe rer: lczb operc ą rzeb woć dołdość oblczoego rozwąz Wbór meod zleż od włsośc ułdu rówń Jeśl mcerz A es peł ezb wel zwle meod dołde są sueczesze ogół meod dołde sosue sę gd rozmr ułdu e przercz luse Ze wzrosem lczb rówń lczb operc rmeczc gwłowe rośe błęd zorągleń są sę soe Jeśl mcerz A es rzd brdzo duż sueczesze są meod erce Dołde meod rozwązw ułdów rówń lowc Ułd z mcerzm róąm Ułd rówń o mcerz róąe rozwązue sę szczególe łwo Ułd U X B z mcerzą róąą górą U m posć u L u u u u u b K b b 4 Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

11 Rozwązwe ułdów lgebrczc rówń lowc Prz złożeu że u ewdome moż oblczć w oleośc: ze wzorów: b u b u 5 u b u u L u u u óre moż zpsć róce b 6 u b u K 6b u Poewż ewdome wzcz sę w oleośc od ose do perwsze e lgorm zw sę podswem wsecz lub posępowem odwrom Ułd rówń lowc L X B 7 z mcerzą róąą dolą L moż rozwązć podobe Przmuąc że l moż wzczć ewdome meodą podsw w przód Proces e zpsue sę sępuąco: b 8 l b l K 8b l Z powższc wzorów w że rozwąze ułdu z mcerzą róąą wmg dzeleń orz dodwń możeń Jes o lczb dzłń porówwl z lczbą operc rmeczc woc prz możeu weor przez mcerz róąą Dlqus Borc 98 Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

12 Dołde meod rozwązw ułdów rówń lowc Meod elmc Guss Jes o wżesz meod dołd rozwązw dowolc ułdów lowc Je de poleg zsosowu ego sposobu elmc ewdomc ór doprowdz do ułdu z mcerzą róąą górą Rozwąze zś ego ułdu w z poprzedego puu es szczególe prose Zpszm ułd w posc: K K K K K b b b b 9 Poewż proces przeszłce ułdu będze poległ olec elmcc ewdomc wprowdźm des elmc dm ułdow wścowemu des ede Przmuąc orz b b ułd 9 zpszem: K K K K K b b b b Złóżm że mcerz ułdu es eosoblw zś Pomóżm oleo perwsze rówe przez odemm od -ego rów Orzmm wówczs perwsz ułd zreduow K K K K b b b K b w órm współcz są rówe b b b gdze: ; Wmr ułdu zreduowego wos ego współczm są Złóżm erz że Możem zem druge rówe ułdu pomożć przez Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

13 Rozwązwe ułdów lgebrczc rówń lowc odąć od -ego rów ego ułdu Orzmm wówczs drug ułd zreduow K b w órm współcz orz K b są rówe K K b b K b b b b gdze: 4 ; 4 Przedłużąc e sposób posępow po roc orzmm osecz ułd K K K b b b K b Jes o ułd z mcerzą róąą górą ór rozwązue sę meodą podsw wsecz 6 Współcz prz ewdomc wzcz sę prz użcu wzorów: gdze: 4 Eleme decduące o procese elmc zw sę elemem główm Ułd orzm zosł prz złożeu że c wrośc są róże od zer W wpdu gd w -m rou elmc eleme głów es rów zeru leż przeswć wersze w sposób b mescu zlzł sę eleme ezerow Zem w mesce wersz wswm wersz l w órm lepe es wbrć wersz dl órego l l m 5 gdze es desem wersz zmeć go z werszem przeswąc e wzeme l zś l rs Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

14 Dołde meod rozwązw ułdów rówń lowc Przeswe wersz leż wdomo do przeszłceń elemerc órc sosowe de mcerz rówowżą mcerz wścowe Jeśl mcerz ułdu 9 es eosoblw o przeswe wersz lub olum doprowdzą do mcerz w óre eleme będze róż od zer W dwóc wpdc w meodze elmc Guss eleme główe zwsze będą róże od zer e es oecze przeswe wersz Są o e ułd w órc mcerz A es: mcerzą z domuącą główą przeąą dgolą z gd l Rs Mcerz współczów ułdu po elmcc K 6 mcerz es smercz dodo oreślo z gd: A A T smercz 7 X T A X > dl żdego X dodo oreślo 8 Dl de mcerz A wrue 6 sprwdz sę brdzo łwo oms sprwdzee wruu 8 es brdze złożoe Jedm z możlwc sposobów sprwdze cz mcerz smercz es dodo oreślo es worzse rerum Slwesr Dlqus Borc 98 Brzm oo sępuąco: mcerz A sop es dodo oreślo wed lo wed gd de A > gdze A es mcerzą o wmrze uworzoą z perwszc wersz olum mcerz A Krerum o es rówowże wruow > Zem gd wouem proces elmc Guss e przeswąc wersz olum eśl wszse eleme główe są dode o mcerz A es dodo oreślo Meod rozłdu mcerz ułdu mcerze róąe Złóżm że możem rozłożć mcerz A ułdu przedswć w posc loczu mcerz róąc dole góre A L U 9 Jes o zw rozłd róą lub rozłd LU W e suc ułd wścow es rówowż ułdow L U X B ór możem z ole rozłożć dw ułd z mcerzm róąm: Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

15 4 Rozwązwe ułdów lgebrczc rówń lowc L Y B U X Y W e sposób uzsuem lgorm oblczeń brdze eoomcz ż meod elmc Guss Lczb operc ą meodą wese wdomo / podczs gd meod elmc Guss wmg / operc Dlqus Borc 98 Isee werdzee o rozłdze róąm óre mów że eśl de A gdze A mcerz uworzo z perwszc wersz olum o see ed rozłd A L U cz e że mcerz L es mcerzą róąą dolą m eleme l mcerz U es mcerzą róąą górą W rzeczwsośc w żde mcerz eosoblwe A moż przeswć wersze b sł rozłd róą W o z rówowżośc elmc Guss rozłdu róąego Mowce w elmc moż worzsć do przedswe mcerz ułdu 9 w posc loczu A L U Mcerz góroróą U m posć mcerz ułdu będącego wem elmc Z ole mcerz doloróąą L worzą eleme l wsępuące we wzorze 4 dl ; orz l dl Moż węc zpsć: l M l M l M K l M K K K M M K K M Jeśl mcerz A es smercz dodo oreślo o see ed mcerz góroróą R o dodc elemec główe przeąe że A R T R 4 Te wr werdze o rozłdze róąm moż powązć róweż z meodą elmc Guss w sępuąc sposób: A R T R L U U T D U 5 gdze: U wow mcerz elmc Guss D dg u u u mcerz przeąow uworzo z elemeów główc Rozwąze ułdu A X B sprowdz sę w m wpdu do rozwąz dwóc ułdów z mcerzm róąm: U T Y B 6 U X D Y 7 e rzeb u pmęć mcerz doloróąe L uworzoe przez moż l Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

16 Dołde meod rozwązw ułdów rówń lowc 5 Wdzł Iżer Lądowe Środows PG Rozwązuąc wele różc zgdeń przłd rów różczowe cząsowe w przpdu edowmrowm orzmue sę ułd rówń w órc mcerz A es ródgol: β α γ β α γ β α γ β α γ β O A 8 T ułd rówń moż rozwązć dzwcz szbo wouąc młą lczbę dzłń rmeczc W lgorme rozwąz ułdu worzsue sę ops wcześe rozłd mcerz A o posc 9 w órm: u u u u u l l l l γ γ γ γ O O O U L 9b Eleme l l l orz u u u u oblcz sę reurece ze wzorów: u β l u u l γ β α dl Dl zoszczędze pmęc ompuer eleme l orz u moż zpmęć w mescc zęc poprzedo przez eleme α β mcerz A Ab zleźć rozwąze X ułdu leż oleo rozwązć dw ułd rówń Proces c rozwązw przebeg sępuąco: b b l dl orz /u γ /u dl Powższ lgorm wro sosowć gd ułd rozwązue sę co me dl dwóc różc weorów prwc sro B Jeśl ułd rozwązue sę lo rz o e m porzeb pmęć eleme l To oblczeń będze węc eszcze prossz: u β ; b

17 6 Rozwązwe ułdów lgebrczc rówń lowc orz l α u u β l γ b l dl L /u γ /u dl 4 Powższ lgorm rozwąz ułdu rówń z mcerzą ródgolą zw es lgormem Toms lub double sweep Flecer 99 Łącz lczb dzłń rmeczc wos u lo dodwń możeń orz dzeleń o do lczb dzłń obcąże pmęc es o lgorm opml Dr Jowsc 98 Ułd rówń z mcerzm psmowm są szczególe efewe rozwązwe meodą elmc Guss gdż e zme o sruur mcerz Orzme mcerze L orz U są dle mcerzm psmowm Jeśl w rce elmc e rzeb doowć częścowego wboru elemeów główc o szeroość psm mcerz L rów es powęszoe o lczbe ezerowc przeąc mcerz A leżącc pod dgolą zś szeroość psm mcerz U rów es powęszoe o lczbe ezerowc przeąc leżącc d dgolą mcerz A Jeśl zś dooue sę częścowego wboru elemeów główc o szeroość psm mcerz L es poprzedo zś psm mcerz U es rów szeroośc psm mcerz A Dlqus Borc 98 Jeśl wewąrz psm mcerz A wsępuą eleme zerowe o w rce elmc psmo zpeł sę gdż są sę oe ezerowe Jes o so edogodość 4 Meod odwrc mcerz Jeśl mcerz ułdu A X B moż odwrócć o rozwąze ułdu moż orzmć wpros o: X A B 5 poewż A A X A B 6 zś A A I 7 T meod es oszow pod żdm względem rcze e sosue sę e w prce Szczególe leż uć e w wpdu ułdów z mcerzm psmowm Wdomo bowem że mcerz odwro do mcerz psmowe es zwle mcerzą pełą Zem w wpdu ułdu z mcerzą ródgolą o wmrze zms pmęć elemeów ezerowc leżłb pmęć elemeów mcerz A 5 Meod grdeów sprzężoc Meodę ę moż sosowć do rozwąz ułdu rówń A X B gd mcerz A es dodo oreślo To oblczeń es sępuąc Dlqus Borc 98: przmue sę począową wrość weor ewdomc X ; oblcz sę resduum dl przęego X ; r B A X 8 Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

18 Meod erce rozwązw ułdów rówń lowc 7 podswąc dl oblcz sę oleo P r 9 r α 4 P AP T X X α P 4 r r α A P 4 r β 4 r P r β P 44 W powższc zleżoścc r ozcz zw ormę euldesową weor r zdefową sępuąco: r r r r r K 45 J w z przedswoego lgormu w rce ego relzc e sępue przeszłce mcerz współczów A rozwązwego ułdu Jes o brdzo rc włsość meod szczególe gd rozwązue sę wel ułd z mcerzą rzdą Wsrcz bowem pmęć włącze ezerowe eleme mcerz A zw mcerz dresów zwerącą formce o c położeu w A Umożlw o wowe operc lo ezerowc elemec Jeśl e m błędów zorągleń o osecz weor X es rozwązem ułdu W welu wpdc oblczeń e rzeb prowdzć do ońc gdż zdowlącm przblżeem rozwąz es weor X dl pewego < Meod erce rozwązw ułdów rówń lowc Dołde meod rozwązw ułdu rówń lowc są efewe wed gd ułd e es zb wel mcerz współczów zwer dużą lczbę elemeów ezerowc Tmczsem rozwązuąc róże zgde szczególe rów różczowe cząsowe rfm ułd rówń lgebrczc o mcerzc rzdc mącc wele wmr Rozwąze ułdu rówń z mcerzą współczów w óre wsępue duż lczb elemeów zerowc meodą elmc Guss es ecelowe Brdze efewe są meod erce óre operuąc mcerzą rzdą e zmeą e sruur Ierc w ęzu łcńsm: powrze ozcz powrze pewe czośc lub procesu w m wpdu umerczego czl olee przblżee Meod erce sruą z począowego przblże rozwąz óre sępe poprw sę ż do orzm rozwąz dosecze dołdego Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

19 8 Rozwązwe ułdów lgebrczc rówń lowc Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode Rozprzm ułd rówń lowc A X B ór po rozpsu m posć: b b b b K M M M M M M K K K 46 Złóżm że ułd zosł uporządow że Przeszłćm ułd 46 wzcząc z olec ego rówń olee ewdome: / / / / b b b b K M M M M M M K K K 47 Króce moż psć go w posc b dl K 48 prossz meod erc poleg uworzeu cągu przblżeń według wzoru b dl K 49 gdze es desem erc Meod zw sę meodą Jcobego lub meodą erc prose Jeśl X X lm 5 o X es rozwązem ułdu wścowego A X B W meodze Jcobego owe wrośc elemeów weor X w erc oblcz sę podswe c wrośc w erc Łwo moż zuwżć że oblcząc owe przblżee elemeu -ego czl zm uż owe przblżee elemeów od do włącze F e moż uwzględć w formule erce 49 orzmuąc: b dl K 5 Powższ meod os zwę meod Guss-Sedel J wzuą dośwdcze w węszośc wpdów meod es ooło dwuroe szbce zbeż ż meod Jcobego

20 Meod erce rozwązw ułdów rówń lowc 9 Isee możlwość zczego przspesze zbeżośc meod Guss-Sedel W m celu leż dooć e modfc Wzór erc 5 moż psć w e posc X X r 5 gdze: r B A X 5 es weorem resdulm w -e erc Resduum -ego rów oreśl wzór Meodę ercą o posc b r dl K ω r 54 dl 55 zw sę meodą drelsc lub w sróce meodą SOR sró od gelsc słów: Successve Overrelo Prmer ω es zw współczem relsc Jego wrość leż dobrć b zbeżość procesu ercego bł szbsz Prmer e przmue wrośc z przedzłu Dl ω meod drelsc se sę meodą Guss-Sedel oms dl ω proces erc se sę ezbeż Podswowm problemem zwązm ze sosowem ercc meod rozwązw lowc ułdów rówń es zbeżość procesu ercego Isee udowodoe werdzee Soer Burlsc 98 óre mów że proces erc es zbeż eśl mcerz ułdu rówń A es mcerzą z domuącą dgolą z gd dl K 56 Twerdzee o docz wszsc rzec meod ercc prz czm w meodze drelsc o zbeżośc dodowo decdue prmer ω W wpdu dowolego ułdu rówń lgebrczc es rudo oszcowć ą wrość ω prz óre zpewo es szbsz zbeżość procesu ercego W szczególc wpdc gd ułd rówń es wem rozwąz rów różczowego cząsowego p Lplce Posso seą propozce oszcow opmle wrośc ω Do problemu ego powrócm w podrozdzle 85 prz oz umerczego rozwązw ego pu rówń Z rozwązwem ułdów rówń meodm ercm wążą sę dodowe sępuące problem: oreślee począowego przblże poszuwego rozwąz czl X przerwe procesu ercego Jeśl es speło wrue 56 o wszse omówoe meod są zbeże dl dowolego przblże począowego X ocż począowe przblżee może bć dowole o częśce wber sę weor zerow czl X 57 W eórc wpdc przłd rozwązuąc rówe Lplce mm ogólą formcę o rozwązu Je worzse pozwl dołde oszcowć począowe przblżee w osewec srócć czs oblczeń Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

21 Rozwązwe ułdów lgebrczc rówń lowc W celu przerw oblczeń worzsue sę zw es ońc procesu ercego Tes e poleg oszcowu błędu rozwąz w erc W szczególc wpdc o błędze moż wosowć porówuąc dw olee przblże rozwąz Oblcze ończ sę gd gdze: des erc ε dod lczb oreśląc dołdość ε dl 58 Powższ es de dobre w gd proces erc es względe szbozbeż Jeśl es o wolozbeż o pommo ewele różc rozwązń w dwóc olec ercc błąd rozwąz δ powsł wsue przerw procesu ercego może bć duż Sucę ą lusrue rs dołd wrość ewdome b * * * * * * * * * * * * * * * * począowe przblżee wrośc ewdome ε δ δ ε lczb erc Rs Wpłw esu 58 błąd rozwąz prz: szbozbeżm procese ercm b wolozbeżm procese ercm I es zończe procesu ercego poleg bdu orm euldesowe weor resdulego w erc -e: r ε 59 gdze ε > oreśl dołdość rozwąz Weor r defue zleżość 5 zś ego ormę zleżość 45 4 Uwg o ułdc rówń lowc Opse w poprzedc podrozdzłc meod rozwązw ułdów rówń lgebrczc w węszośc suc są suecze Jed zdrz sę że uzse rozwąze budz wąplwośc gdż zdecdowe odbeg od oczewego Jes o wem zw złego uwruow óre eed moż rfć prz rozwązwu ułdów rówń lowc Rozwżm ułd Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

22 Meod erce rozwązw ułdów rówń lowc órego rozwązem es pr lczb Weźm erz pod uwgę ułd mąc rozwąze: 9 Wdć że zm współcz o zm b o spowodowł drsczą zmę rozwąz Złóżm że mcerz współczów ułdu 6 es eosoblw Rozwąze ego ułdu moż zem zpsć w posc: X A B 6 gdze A ozcz mcerz odwroą Złóżm podo że eleme mcerz A zosł w e sposób uormowe że węsz co do modułu es rzędu Złóżm róweż że eóre eleme mcerz A są brdzo duże że edm z c es A D 6 gdze A es dopełeem lgebrczm elemeu węc e zme sę prz zme elemeu zś D ozcz wzcz mcerz A Złożee że eleme es duż ozcz że A mus bć duże w sosuu do D Poewż ede ze słdów rozwęc wzcz A względem elemeów -ego wersz lub -e olum m posć A węc mł błąd elemeu w sosuu do z do ormlzc mcerz A może spowodowć duż błąd względ wzcz D m smm duż błąd względ elemeu osecze duż błąd względ rozwąz X Podobe mł zm słdowe weor B może zcze zmeć X Moż węc swerdzć że mcerz A óre elemem są lczb rzędu ułd rówń są źle uwruowe eżel A zwer brdzo duże eleme W wpdu gd węsz wrość bezwzględ elemeu mcerz A es rzędu o mcerz A moż zwć dobrze uwruową Wrcąc do ułdu 6 leż zuwżć że elemem mcerz współczów dl ego ułdu są lczb rzędu oms mcerz odwro m posć sępuącą: A Wdć węc że eleme mcerz odwroe są rzędu 4 co wszue złe uwruowe mcerz A Współcz ułdu 6 mogą bć p wem pomrów Jeżel e moż orzmć c wrośc z odpowedą dołdoścą o rozwąze może bć obrczoe dużm błędem bez względu o dołde będą przeprowdzoe oblcze Problem rozwąz ułdu źle uwruowego z dołdoścą usprwedlwoą przez dołdość dc es edm z rudeszc problemów zwązc z ułdm rówń lowc Te sm efe mogą eż wwołć błęd zorągleń powsące w czse oblczeń W rce rozwązw ułdów rówń lowc wsępue róweż problem błędu rozwąz Iseą rz źródł błędu Perwsze es zwąze z błędm współcz- Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

23 Rozwązwe ułdów lgebrczc rówń lowc ów mcerz A elemeów weor B Gd są o welośc emprcze błędu ego e moż welmowć Moż ede podswe oszcow błędu pomru oceć dołdość rozwąz Drugm źródłem błędu są zorągle wowe w czse oblczeń Trzecm źródłem es błąd meod W meodc dołdc wzor rmer elmc Guss óre prz złożeu że wszse dzł wouem dołde prowdzą do dołdego rozwąz błędu meod e m oms eśl sosowć meod erce rozwąze ułdu m posć zbeżego esończoego procesu ercego Proces e przerw sę w momece gd zose osągę wmg dołdość Zem z złoże orzmuem rozwąze obrczoe błędem Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

24 Rozwązwe przblżoe rówń elowc Wprowdzee Rozwązuąc wele prczc zgdeń drul brdzo częso spo sę lgebrcze rów elowe przłd rozwąze ego pu rów es oecze prz wzczeu głęboośc ormle w le owrm Głęboość orml prz óre pue ężee przepłwu Q es o głęboość w wruc przepłwu usloego edosego w le o dm spdu d współczu szorsośc we dl prosszego bo prosoąego przerou poprzeczego łu orzmuem lgebrcze rówe elowe względem głęboośc elową posć m róweż formuł olebroo-we opsuąc współcz oporów lowc λ w przewodze w órm płe wod pod cśeem Do elowego rów lgebrczego docodz sę róweż oblcząc wde lub obcążee przelewu z uwzględeem prędośc dopłwące wod Tpowm zgdeem drul łów owrc es oblczee ułdu zwercdł wod wwołego podpęrzeem Głęboośc w olec przeroc łu oblcz sę rozwązuąc w żdm z c rówe elowe órm es dsree rówe eerg meccze płącego srume Dodm że problem rozwąz lgebrczc rówń elowc wsępue powszece w rce rozwązw elowc rówń różczowc zwczc Z ole ułd lgebrczc rówń elowc w żer wode mogą wsępowć lbo o oddzele problem żerse lbo o frgme rozwąz ego zgde Perwsz suc wsępue przłd w rce rozwązw zgde usloego przepłwu w sec wodocągowe oms suc drug m mesce w rce rozwązw rówń różczowc cząsowc opsuącc euslo przepłw w łc owrc Rozwązwe rówń meodą różc lub elemeów sończoc osecze prowdz do ułdów lgebrczc rówń elowc óre rozwązue sę dl olec wrośc rosącego czsu eóre z wmeoc problemów zosą omówoe szczegółowo w dlszc rozdzłc J wdomo lo w wąowc wpdc moż rozwązć rówe elowe w sończoe lczbe operc Zwle sosue sę meod przblże Są o zw meod erce Isee szereg meod przblżoego rozwązw lgebrczc rówń elowc W rozdzle m przedswoe zosą lo wbre meod zdow perwsów rzeczwsc rów f gdze es zmeą rzeczwsą f es dowolą wsrcząco regulrą fucą Oreślee fuc wsrcząco regulr ozcz że f es cągł orz m cągłe pocode porzebc rzędów Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

25 4 Rozwązwe przblżoe rówń elowc Kżdą wrość ξ ór speł rówe z ą że fξ zwm perwsem rów Złdm u że rówe m lo perws odosoboe dl żdego perws rów see ooczee óre e zwer c perwsów ego rów eóre meod wmgą począowego przblże dosecze blsego szuego perws W c wpdc wsrcz zomość przedzłu w órm es perwse bez wmg cągłośc pocode Proces oblcz przblżoc wrośc perwsów rzeczwsc rów dzel sę dw ep: lolzc perwsów czl uslee możlwe wąsc przedzłów b óre zwerą ede lo ede perwse rów uścślee wrośc perwsów czl oreślee c wrośc z żądą dołdoścą f f f ξ ξ ξ b fb Rs Perws rów f f b fb Rs Poedcz perwse fuc f w przedzle b ξ Podswą lgormów procesu lolzc perwsów es werdzee Bolzo- uc ego Demdowcz Mro Szuwłow 965 Brzm oo sępuąco: eżel fuc cągł f m ońcc przedzłu domęego b róże z węc f fb < o wewąrz ego przedzłu see co me ede perwse rów f rs Twerdzee o e rozsrzg o lczbe perwsów wewąrz przedzłu b Jedże w prce brdzo częso mm wsrcząco dużo wdomośc o szum perwsu b zlezee przedzłu b e sowło problemu przłd w drulce rozwązem rów częso es głęboość wod lub średc rurocągu Z złoże muszą oe meć wrość dodą co elmue z rozwązń perws ueme W wpdu gd o przebegu fuc f mm sąpe formce moż po zlezeu przedzłu b zbdć z pocode f w m przedzle Jeśl w przedzle owrm b see pocod fuc f e zme w m zu czl eśl f > lub f < dl < < b o ξ es edm perwsem rs Omwąc w sępc podrozdzłc meod rozwąz rówń elowc złożoo że z es przedzł w órm zdue sę ede perwse Meod połowe bsec Przmuem że rówe elowe de es w posc f prz czm fuc f es cągł w przedzle domęm b orz że zcodz erówość f fb < Ide meod połowe poleg podzle przedzłu b połow Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

26 Meod erpolc lowe seczc 5 sprwdzeu w óre z c zdue sę perwse W e sposób oreśl sę ow węższ przedzł zwerąc perwse ξ Proces e powrz es długo ż długość oleego przedzłu będze wsrcząco mł Algorm prowdząc do zleze perws rów elowego f w przedzle b meodą połowe es sępuąc: oblczć pu c b oblczć wrość fuc w m puce fc sprwdzć cz fc eżel o c es szum perwsem; w przecwm rze 4 wbrć z przedzłów c c b e w órm zdue sę perwse; prcze ozcz o sprwdzee zu loczu f fc lub fc fb oreślee owego przedzłu b ; eśl f fc < o b c w przecwm wpdu c; 5 sprwdzć cz długość owego przedzłu b es dosecze mł; eżel b < ε o moż prząć o przblżoą wrość perws ξ p b ; w przecwm rze proces oblczeń leż powórzć od puu dl przedzłu b W wu zsosow opsego lgormu lbo w pewm rou orzmuem perwse dołd lbo cąg zsępuąc przedzłów b b b c że f fb < ; Po wou roów długość przedzłu w órm es perwse ξ wos b b ; Poewż ońce przedzłów worzą cąg mooocze emleąc ogrczo z gór ońce b b b cąg erosąc ogrczo z dołu o podswe rówośc see c wspól grc ξ lm lm b 4 ór es perwsem rów Meod połowe es wolo zbeż dlego sosow es częso do wsępego oreśl perwsów rów M o ed brdzo soe zle: es zwsze zbeż co ozcz że see pewość że w żde erc szu perwse leż pomędz dwem wroścm w órc f m róże z zem ssemcze powrze oblczeń mus doprowdzć do uzs wu z żądą dołdoścą; e lgorm moż łwo zprogrmowć W meodze połowe e złd sę żdc ogrczeń fucę f pocode e fuc Wmg es ede cągłość fuc w przedzle b Meod erpolc lowe seczc Meod leż do srszc meod rozwązw rów f będąc prz m zcze sueczesz od meod połowe Złóżm że z es przedzł b w órm zdue sę perwse rs Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

27 6 Rozwązwe przblżoe rówń elowc Przez pu A f Bb fb moż poprowdzć seczą ór przee oś odcęc w puce c Wrość odcęe c oreślo es zleżoścą: f b bf c 5 f b f Sosowe wzoru 5 w poblżu perws es ed ewsze gdż zrówo Rs Scem meod erpolc lowe w lczu w mowu pową sę różce lczb ego smego rzędu co powodue zcze błęd zorągleń Wzór e moż ed przeszłcć dodąc odemuąc W osewec moż go zpsć w posc sum b c f 6 f b f w óre drug słd moż uwżć z poprwę wrośc W rówu 6 ede lub ob ońce mogą bć rucome Zleż o od włścwośc fuc wewąrz przedzłu b rs 4 b f f fb f ξ c b f c b fb Rs 4 Róże przebeg fuc w przedzle b Jeżel złożm że w przedzle b see lo ede perwse pocod f e zme zu w m przedzle o ede z ońców przedzłu będze erucom W wpdu gd f > f > dl b oec es erucom rs 5 wzór 6 moż zpsć sępuąco: b f 7 f f gdze: Te szczegól przpde meod seczc zw es meodą regul fls Foru Mcuow Wąsows 98 Alogczą zleżość moż psć w suc gd oec b es erucom m o mesce rs 6 Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

28 Meod erpolc lowe seczc 7 Rs 5 Meod erpolc lowe z erucomm ońcem A f f ξ b fb B Rs 6 Meod erpolc lowe z erucomm ońcem b W celu oszcow błędu przblżoego perws moż worzsć sępuące werdzee Demdowcz Mro Szuwłow 965 ec ξ będze dołdą przblżoą wroścą perws rów prz czm obe e lczb zduą sę w przedzle domęm b Jeśl dl b zcodz erówość f m > o prwdzwe es sępuące oszcowe: f ξ 8 m Błąd bezwzględ przblże gd ze są wrośc orz przblże poprzedego moż oreślć według wzoru Demdowcz Mro Szuwłow 965 M m ξ 9 m gdze z M m moż wząć odpowedo: węszą meszą wrość f w przedzle domęm b Jeśl oms przedzł b es le wąs że zcodz erówość M m o moc 9 orzmuem ξ Zem gd zcodz erówość - < ε gdze ε es zdm resem górm błędu bezwzględego o es pewe że erówość ξ < ε es róweż prwdzw Oszcowe błędu bezwzględego przblże podswe wzorów 8 lub 9 może bć ed łopolwe ze względu oeczość bd pocode f Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

29 8 Rozwązwe przblżoe rówń elowc w przedzle b Dlego częso w prce wruem zończee oblczeń es sprwdzee cz f < ε Oreślee ε b moż bło uzć dobre przblżee perws rów f es problemem ór leż rozwązć dwdule w żdm zdu Pod wrue opr es dość rozpowszecom poglądze że es dobrm przblżeem perws ξ eżel f es młą lczbą odwró eżel f m dużą wrość o lczb zose uz z złe przblżee J w z rsuu 7 e podeśce e mus bć prwdłowe b f f fc ε ξ fc c ε ξ c Rs 7 Róże przebeg f w poblżu perws Algorm prowdząc do zleze perws rów f meodą erpolc lowe es brdzo zblżo do lgormu dl meod połowe Różc wsępue lo w sposobe oreśl olec przblżeń c rozwąz dołdego Przłd Oblcze głęboośc ormle w le o przerou rpezowm meodą seczc J wdomo ężee przepłwu wod w le w wruc rucu usloego edosego oreśl rówe Mg zewerńs Urso 969: Q R s A gdze: Q ężee przepłwu [m /s] R promeń drulcz [m] s spde l eerg w m wpdu rów spdow d [/] współcz szorsośc wg Mg [s/m / ] A powerzc przerou czego [m ] Głęboość H ór speł rówe os zwę głęboośc ormle Rówe o moż zpsć w posc rówowże s f H Q R A Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

30 Meod erpolc lowe seczc 9 Jes oo wże dl dowolego szłu przerou poprzeczego Dl dodc głęboośc fh es fucą mleącą rs W prezeowm przłdze przęo że przeró łu es rpezem o cleu srp : M szeroośc d B rs Powerzc przerou czego w m wpdu będze rów A B H MH promeń drulcz BH MH R B H M 4 Jeżel zem zm: Q s B orz M o głęboość ormlą H moż oblczć o mesce zerowe fuc: Rs Przebeg fuc fh opse wzorem b 5 s BH MH f H Q 5 B H M Rówe fh es elowe Do ego rozwąz órego zsosuem meodę seczc W lgorme oblczeń perws wróżm dw ep: lolzcę perws przez blcowe fh z erwłem H oblczee perws z żądą dołdoścą W celu lolzc perws doouem blcow fuc 5 z erwłem H bdąc z loczu fh ońcc przedzłu sępe poszuuem olec przblżeń perws według procedur opse w podrozdzle Oblczee ończm gd speło es wrue dołdośc rozwąz o posc: fh ε 6 Z rów 5 w że fh m wmr ęże przepłwu co brdzo ułw dobór wrośc prmeru ε To oblczeń es sępuąc: podsw H podsw H H H sprwdź wrue: fh fh > eśl es speło H H powróć do eśl e przedź do 4 H H 4 oblcz H H fh f H f H 5 sprwdź wrue: fh ε; eśl es speło zończ oblcze gdż H es poszuwm przblżeem perws; H α :M A B :M α M cg α Rs Przeró poprzecz łu rpezowego Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

31 Rozwązwe przblżoe rówń elowc eśl e doo przesuęc edego z ońców przedzłu podswąc H H gd fh fh < lub H H gd fh fh > przedź do 4 W celu oce efewośc meod leż oblczć lczbę erc oeczc do zleze rozwąz z żądą dołdoścą z lczbę wwołń fuc fh W oblczeń głęboośc ormle w le rpezowm meodą seczc Q [m /s] H [m] A [m ] Lczb erc fh [m /s] Tbel Oblczo głęboość orml deermue e prmer łu będące soą formcą z puu wdze droec proeuącego ł Są o: szeroość zwercdł wod b powerzc przerou czego A śred prędość przepłwu v Ops lgorm zsosowo do oblczeń głęboośc ormlc w le o sępuącc prmerc: B 4 m M 5 s 5 m / s Oblcze woo dl różc wrośc ęże przepłwu Q uzse w prz H 5 m zeswoo w bel Zuwżm że rozwąze z dołdoścą ε uzso w żdm wpdu po 4 ercc 4 Meod erc prose Jes o ed z wżeszc meod umerczego rozwązw rówń elowc Ide e meod es sępuąc Rówe f gdze f es fucą cągłą dl órego leż wzczć perwse rzeczws przeszłcm do rów rówowżego ϕ Złóżm że ze es dosecze blse przblżee perws Wrość moż podswć do prwe sro rów Orzmm wówczs lczbę ϕ Wrość podswm poowe do rów oblczm ϕ Powrząc e proces orzmuem cąg lczb: Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

32 4 Meod erc prose Z powższm procesem wążą sę sępuące problem: zleźć fucę ϕ? prz c wruc cąg es zbeż? ϕ ϕ M ϕ ąg es zbeż eżel see grc ξ lm Przecodząc w rówu do grc prz złożeu cągłośc fuc ϕ mm lub lm ϕ lm ξ ϕξ Zem grc ξ es perwsem rów Moż ą oblczć ze wzoru z dowolą dołdoścą Jed możlwość sosow meod erc prose uwruow es zbeżoścą cągu Problem zbeżośc procesu ercego rozsrzg sępuące werdzee Demdowcz Mro Szuwłow 965 ec fuc ϕ będze oreślo różczowl w przedzle domęm b e wrośc leżą do ego przedzłu ϕ b Wed eśl see ułme włścw q że ϕ q < 4 dl < < b o: proces erc es zbeż ezleże od przblże począowego b wrość ξ lm es edm perwsem rów ϕ w przedzle domęm b Powższe werdzee pozose w moc gd fuc ϕ es oreślo różczowl w przedzle esończom < < speło es erówość 4 Podo prz złożec werdze meod erc es zbeż dl dowole wbrego w przedzle b przblże począowego Zem w wpdu gd błąd w oblczec e wprowdz oleego przblże poz grce przedzłu b meod sm sę orgue błęd wrość es row o owe przblżee T błąd e wpłw w ońcow Włsość uoorec sw meodę erc prose wśród peweszc meod umerczc Meodę erc prose moż zerpreowć geomercze płszczźe reślm wres fuc ϕ Perwse rzeczws rów es odcęą puu M czl puu przecęc rzwe ϕ z prosą rs 8 Proces erc zps wzorem lusrue l łm prowdzo przez pu A B A B J wdć z rsuu 8 odcęe puów A A są olem przblżem perws ξ leż dodć że proces erc zps wzorem zleże od wrośc pocode ϕ może przebegć w sposób że olee przblże perws ξ będą zdowć sę przem po ego lewe prwe sroe rs 9 że może bć rozbeż rs rs Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

33 Rozwązwe przblżoe rówń elowc Rs 8 Scem dzł meod erc prose dl > ϕ > Rs 9 Scem dzł meod erc prose dl > ϕ > Zprogrmowe e meod es wąowo prose Wścowe rówe f leż przeszłcć do posc ϕ orz oreślć wrość przblże począowego Kolee przblże oblcze są według wzorów Proces erc leż ouowć długo ż dw olee przblże orz spełą erówość q ε 5 q gdze ε es resem górm błędu bezwzględego perws zś q powo spełć wrue ϕ q < ogół e zm dołde wrośc q Moż ed oszcowć wrość przblżoą w sępuąc sposób Demdowcz Mro Szuwłow 965 Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

34 4 Meod erc prose q ϕ ϕ 6 Rs Rozbeż proces erc Rs Rozbeż proces erc Powodzee worzs e meod zleż od zbeżośc cągu W eórc wpdc możlwe es oreślee doseczc wruów zbeżośc Jed w prce częso rzeb sę zdowolć espermelm sprwdzem zbeżośc Jeśl de oo w egw leż dooć ego przeszłce rów w Przeszłcee o może bć woe dowole wele sposobów Trfość wboru ego przeszłce oprócz zpewe uzs smego rozwąz decdue róweż o szbośc zbeżośc procesu ercego Iformcą o szbośc zbeżośc meod es zw włd zbeżośc Mów sę że meod es rzędu p eśl see sł K że dl dwóc olec przblżeń orz perws ξ zcodz relc Foru Mcuow Wąsows 98: p ξ K ξ 7 Dl p meodę oreśl sę o lową dl p o wdrową dl p o sześceą Przłd Wpłw sposobu przeszłce f ϕ włsośc procesu ercego Dlqus Borc 98 Rozwżm rówe posc l órego perwse wos ξ 5 dołde 567 Przeszłćm e do posc ϕ rz sposob: Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

35 4 Rozwązwe przblżoe rówń elowc l z ogólm wzorem reurecm l ; e 4 ze wzorem reurecm e 5 orz e 6 dl órego wzór reurec es sępuąc: e 7 W sposób oczws suwą sę u sępuące p: órego z c wzorów moż użć? órego wzoru leż użć? Odpowedź pe perwsze w bezpośredo z wruu 4 ϕ ξ < Dl przpdu będze ϕ ξ ξ 5 ąg olec przblżeń oreślo przez es węc rozbeż dl we brdzo blsego perwsow ξ przblże począowego zbeżość es możlw włącze dl ξ Dl przpdu 4 orzmm 5 e ξ ϕ ξ e 6 Tu cąg olec przblżeń 5 es zbeż dl dowolego przblże począowego Dl przpdu 6 będzem mel 5 ϕ ξ e ξ e Zem cąg olec przblżeń 7 es róweż zbeż Odpowedź pe druge w pośredo z oblczeń olec przblżeń dl omwego zd Przmm że złożo dołdość rozwąz wos ε przblżee począowe Dl przeszłce 4 rozwąze orzmue sę po ercc uzsuąc wrość perws rówą 567 W bel pozo le erc rzeb woć dl przeszłceń 4 orz 6 gd zme sę przblżee począowe Lepsze w ze względu lczbę erc uzso dl wzoru 6 dl órego pocod ϕ es mesz Zem moż wosowć że empo zbeżośc procesu ercego oreśl wrość pocode ϕ m wrość e pocode es mesz m wę- Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

36 4 Meod erc prose 5 sze es empo zbeżośc procesu ercego Isoe es węc pe: cz moż polepszć empo zbeżośc? Zpszm wzór 6 do eco zmeoe posc óremu odpowd pocod α e 8 α α e ϕ 9 α Tbel Zleżość lczb erc od przblże począowego dl rówń 4 6 Rówe Przbl począ Po uwzględeu 4 zpszem ą sępuąco: α ξ ϕ ξ α Dl wrośc α blse wrośc ξ wrość pocode będze mł zem zbeżość pow bć szbsz żel dl wzoru 6 przblżee perws des erc Rs Przblżee rozwąz w olec ercc dl rów 8 prz α 6 Oblcze woe dl wścowc dc w poprzedc przłdc orz dl α 6 powerdzą o przpuszczee Rozwąze z dołdoścą ε orzmue sę dl: po 5 ercc po 7 ercc po ercc Porówuąc powższe w z wm zwrm w bel zuwżm zdecdową poprwę emp zbeżośc Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

37 6 Rozwązwe przblżoe rówń elowc Przłd Oblczee współcz oporu λ wg olebroo-we' meodą erc prose Jedą z częśce sosowc formuł emprczc dl oreśle współcz oporu λ es wzór olebroo-we zewerńs Urso 969 gdze: λ współcz oporu R e lczb Reolds [/] e cropowość przewodu [m] d średc przewodu [m] 5 e log λ R e λ 7d Rówe o ze względu λ es rówem elowm óre moż rozwązć meodą erc prose Burzńs Growcz Pwec Szmewcz 99 Sosuąc podswee Z λ zpsuem e w posc z 5Z e Z log Re 7d Z ϕ Z J wdomo meod erc prose es zbeż gd es speło wrue ϕ Z < Uwzględąc że lg l l orz wprowdząc ozcze: orzmuem: orz 5 e A B R 7d e l bc ϕz l A Z B 5 dϕ A 6 dz AZ B W celu oszcow msmle wrośc pocode dϕ/dz rówe 6 sprowdzm do posc dϕ dz Z B A Z R e d Z bdń espermelc wdomo zewerńs Urso 969 że λ 5 8 ; zem Z m 5 8 λ Mml wrość lczb Reolds dl przepłwu burzlwego w rurocągu wos mml wrość cropowośc dl rur slowc e mm Jo msmlą m e Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

38 4 Meod erc prose 7 średcę rurocągu przęo d mm Uwzględąc powższe de orzmuem oszcowe dϕ < 9 dz 5 m J wdć wrue ϕ Z < es speło dl wszsc wrośc R e e d e es węc oecze poszuwe przedzłu w órm zdue sę perwse Z perwsze przblże poszuwe wrośc współcz λ moż prząć przłd wrość 4 W sąd że Z 5 4 Omwąc meodę erc prose podo że oblcze olec przblżeń powo bć wowe długo ż speło będze erówość q Z Z ε q W m wpdu z q moż prząć dϕ q 5 dz m Dl porzeb proeow wsrcz oreślee λ z dołdoścą do Jeśl wząć pod uwgę że Z λ dz dλ λ Zem: 5 5 Z zś ε W oblczeń λ dl dc R e d orz e zeswoo w bel W ose olume podo lczbę woc erc Tbel W oblczeń współcz oporu R e e [mm] d [mm] λ Lczb erc Powerdzą oe z f zu wpłwu lczb Reolds prz e dużc wroścc wrość współcz λ Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

39 8 Rozwązwe przblżoe rówń elowc 5 Meod ewo sczc Rozwązuem rówe elowe o posc f Złóżm że zm przblżoą wrość perws ego rów ec olee przblżee perws leż w odległośc od przblże poprzedego czl 8 gdze es weloścą młą Złdąc że fuc f es cągł różczowl e wrość w puce moż oreślć z rozwęc w szereg Tlor f f f f K 9 Meod ewo poleg pomęcu w rówu 9 wrzów z pocodm drugego rzędu wższm Poewż moż prząć że f o sąd f f f f Podswąc orzmą poprwę do wzoru 8 oreślm sępe przblżee perws f f Wzór moż że orzmć wcodząc z rów scze do rzwe f w puce A f f f b Rs Grfcz erprec meod ewo B fb Isom problemem w meodze ewo es przęce przblże począowego Moż udowodć Demdowcz Mro Szuwłow 965 że w przedzle b dobrm przblżeem począowm będze pu dl órego speło es erówość f f > Jeżel zcodzą sępuące wru: f fb < f es cągł w przedzle b e zme w m zu scze do rzwe f poprowdzoe w puc o odcęc b przecą oś wewąrz przedzłu b o o przblżee począowe moż prząć dowolą wrość z przedzłu b Foru Mcuow Wąsows 98 Su espełe osego wruu lusrue rs Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

40 5 Meod ewo sczc 9 b b Rs Meod ewo przłd drscze złe zbeżośc w wpdu złego przęc przblże począowego Przęce przblże począowego zrówo w puce pocod fuc brdzo bls zeru w puce leżącm w środu przedzłu b rgume sępego przblże es brdzo dużą lczbą prowdz do złm lub wdłuże oblczeń w rce relzc ompuerowe lgormu oms przmuąc pu srow prwm rńcu przedzłu uzsuem gwrcę uzs rozwąz suw sę u sępuąc wose: w relzc ompuerowe przed użcem meod ewo leż sprwdzć órm rńcu przedzłu poszuw perws pocod fuc m węszą wrość Przblżeem począowm zpewącm lepsze rozwąze będze e rec przedzłu gdze pocod m wrość węszą Tes umercze powerdzą sueczość sosow meod ewo we dl wrośc począowc dlec od perws cocż formuł bł wprowdzo uce lo dl wrośc blsc perws ξ Wśee ego problemu pode Legrs 974 Ze wzoru w że m węsz es wrość pocode f w ooczeu perws ξ m wrość poprw es mesz Ozcz o że meod ewo es brdzo efew gd rzw f es srom w ooczeu perws W wpdu gd fuc f m lole esrem f oblczee perws z pomocą e meod może bć emożlwe Sucę ą pozo rs 4 ocż dl meod ewo see eorecze oszcowe błędu przblże o ze względu Rs 4 Meod ewo fuc z lolm esremm prcze łopo z ego sosowem w wpdu gd fuc f es dosecze głd dołdość oblczego przblże oreśl sę podswe erówośc f < ε 4 Oreślee wrośc ε b moż bło uwżć z dobre przblżee perws ξ es problemem ór leż rozwązć dwdule w żdm zdu Iercą formułę meod ewo moż zmodfowć Jeśl pocod f zme sę w przedzle domęm b ezcze o we wzorze moż Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

41 4 Rozwązwe przblżoe rówń elowc prząć f f Kolee przblże perws ξ rów f moż węc oblczć według wzoru f K 5 f W erprec geomercze wzór 5 ozcz zmę sczc w puc f prose rówoległe do scze poprowdzoe przez pu f leżąc rzwe f rs 5 T modfc meod ewo es szczególe użecz w wpdu gd pocod f es złożo Moż udowodć że eśl pocode f f e zmeą zów o proces erc ops wzorem 5 es zbeż W welu problemc wsępuącc w droecce oreślee lcze posc f może bć łopolwe W c wpdc moż zsąpć dołdą wrość pocode e przblżeem przez prosmcę lorzem różcowm wącm z rozwęc w szereg Tlor Rs 5 Grfcz erprec meod ewo ze słą sczą f f f 6 Wówczs wzór przme posć f 7 f f Posć ego wzoru es podob do 6 Różc poleg m że we wzorze 6 ede z ońców przedzłu es sł Przłd 4 Oblcze głęboośc rcze w le meodą ewo Uslo przepłw w le owrm zleże od seącc wruów może meć crer przepłwu drczego rczego lub podrczego Krerum lsfc sow głęboość z ą odbw sę przepłw Głęboość rcz speł rówe zewerńs Urso 969: αq g A b 4 gdze: Q ężee przepłwu α współcz de S-Ve g przspeszee zemse A powerzc przerou czego b szeroość zwercdł wod Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

42 6 Meod brdowe 4 Rówe o es wże dl dowolego szłu przerou poprzeczego Przęo u że przeró es rpezem o cleu srp : M szeroośc d B Powerzcę przerou czego moż w m wpdu wrzć wzorem zś szeroość zwercdł wod opsue wzór b B H M 4 Jeżel zem zm: α Q g B M o głęboość rczą moż wzczć o perwse rów BH H M f H B HM g 4 α Q Do rozwąz powższego rów zsosuem meodę ewo Różczuąc rówe 4 orzmuem wrżee defuące pocodą fuc fh g f H M BH H M B HM 44 α Q Podobe w przłdze w lgorme rozwąz moż wróżć dw ep: lolzcę perws w przedzle o zde szeroośc H oblczee perws w przedzle z żądą dołdoścą Po zlezeu przedzłu zwerącego perwse perwszm przblżeem es odcę puu leżącego w ego środu czl H H H Dl łu o szeroośc B 6 m cleu srp M 5 orz dl wrośc współcz α woo oblcze dl ężeń przepłwu Q zmeącc sę od do 5 m /s W oblczeń zeswoo w bel 4 Tbel 4 W oblczeń głęboośc rcze w le rpezowm meodą ewo Q [m /s] H [m] Lczb erc Uzso e dl H 5 m orz ε m 6 Meod brdowe Omówoe wcześe meod są podswowm sposobm umerczego rozwązw rówń elowc J o uż pozo wcześe we gd perwse wsępue w wzolowm podprzedzle fuc może przebegć róże częso że bezpośrede zsosowe meod es łopolwe lub wręcz emożlwe Z ego względu oprcowo szereg meod będącc ulepszem meod podswowc częśce poprzez połączee dwóc podswowc w edą worzsuącą c zle Dle róo zosą omówoe e óre e Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

43 4 Rozwązwe przblżoe rówń elowc wmgą zomośc lcze posc pocode fuc leżą do c: meod wąc z połącze meod regul fls orz bsec zw meodą Rdders meod Wegse ór w z połącze meod erc prose orz seczc że meod Seffese ór es modfcą meod seczc 6 Meod Rdders Jes o ede z wrów meod regul fls połączoe z meodą bsec Press Teuols Veerlg Fler; 99 Złóżm że perwse rów elowego posc f zosł zlolzow w przedzle Koleość posępow w meodze Rdders es sępuąc W żdm rou ercm: Oreśl sę wrość fuc f w puce środowm przedzłu /; Złd sę że dobrm przblżeem f dącm młą odcłę fuc w e mescu zerowm es fuc włdcz zbudow wroścc f w zc puc o posc α α f f e f e 7 Jes o rówe wdrowe względem zmee órą es cz e α Jego rozwąze m posć e α f sg f f f f f 8 sępm roem es zsosowe meod regul fls lecz e do wrośc f f f le do wrośc f f e α f e α ór umożlw wzczee owego przblże 4 perws rów Uwzględąc rozwąze 8 orzmuem osecze sg f f f 4 9 f f f 4 Kolem dzłem es sprwdzee zów fuc w puc do 4 co osecze umożlw oreślee sposobu zwęże przedzłu wsępow perws I : eżel f f 4 < o 4 ; eżel oms f f 4 > rzeb eszcze dodowo sprwdzć cz f f 4 > Gd os wrue es speło o 4 w przecwm rze 4 Rówe 9 m cewe włsośc Po perwsze gwrue oo że przblżee 4 zwsze zdue sę wewąrz przedzłu po druge empo zbeżośc meod es wższe ż meod bsec Przspeszee zbeżośc uzsue sę przez worzse współczów włdczc w 7 Podo w lgorme uwzględm lo wrośc fuc e es porzeb zomość e pocode Tesem zończe procesu ercego może bć sprwdzee wruu ε gdze ε es przęą dołdoścą rozwąz Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

44 6 Meod brdowe 4 6 Meod Wegse Meod dobrze de sę do rówń przeszłcoc do posc: ϕ Sm meod es połączeem opsc wcześe meod erc prose orz seczc Rozprzm grfczą erprecę meod Wegse zsosowe do rów dl przpdu gd < ϕ < rs 6 A A B B ξ ϕ Rs 6 Grfcz lusrc meod Wegse gd < ϕ < począowe przblżee ξ perwse rów Sruąc z przblże począowego óremu odpowd pu B rzwe ϕ o współrzędc ϕ wzczm pu A o współrzędc ϕ Kolem roem es poprowdzee secze przez pu A orz B wzczee współrzęde puu e przecęc z prosą Orzmuem ą z zleżośc: gdze: ϕ ϕ Współrzędą ę wlczm z przeszłce : rum o sępe przblżee poszuwego perws Dl przblże perws ogól wzór reurec m posć: gdze: prz czm ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

45 44 Rozwązwe przblżoe rówń elowc Wzór moż przeszłcć dodąc odemuąc od lcz wrżee ϕ ϕ ϕ ϕ Orzmuem wed orzseszą w oblczec ompuerowc posć: ϕ ϕ ϕ ϕ 4 ϕ ϕ Zle e wers meod o włsość smoorec crerzuąc meodę erc prose orz brdzo pros lgorm 6 Meod Seffese Jes o zmodfow meod seczc w óre użw sę dodowo lo ede owe wrośc fuc w żdm rou ercm Dlqus Borc 98 Efeem modfc es wzros emp zbeżośc meod Dl rówń posc meod oreślo es wzorem reurecm f 5 g gdze: f f f g f Meod ścśle zwąz z meodą seczc es szczególe użecz dl ułdów rówń elowc Przłd 5 Oblczee obcąże przelewu o osre rwędz Kłem prosoąm o szeroośc b wposżom cłe szeroośc w przelew o osre rwędz wsoośc p rs 5 płe wod z ężeem Q leż oblczć obcążee drulcze przelewu uwzględąc prędość wod dopłwące b Q? p p 4 Rs 5 Przelew o osre rwędz Jeśl ozczć przez v średą prędość dopłwu wzór oreśląc ężee przepłwu przez przelew prosoą m posć Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

46 6 Meod brdowe 45 Wdzł Iżer Lądowe Środows PG g v g v g b Q μ 5 gdze: obcążee przelewu b szeroość przelewu g przspeszee zemse μ współcz wdu Prędość wod dopłwące oreśl wzór p b Q v 5 Współcz wdu dl przelewu prosoąego o osre rwędz bez boczego zwęże d es wzorem p μ 5 wżm gd p m; 5 8 m orz /p Rówe 5 z zleżoścm 5 5 es rówem elowm względem o posc f prz czm: g v g v g b Q f μ 54 Oblcze woo meodm ewmgącm zomośc pocode fuc f bsec seczc Rdders Wegse erc prose orz Seffese dl sępuącc dc: ężee przepłwu Q 7 m /s szeroość łu b 5 m wsoość przelewu p m W przpdu meod erc prose orz Wegse rówe 54 przeszłcoo do posc ϕ poprzez dode odęce od prwe sro 54 ow fuc będze wed d relcą: g v g v g b Q μ ϕ 55 T w poprzedc przłdc perwszm epem rozwąz bł lolzc perws w przedzle o zde długośc m W oblczeń w olec ercc dl dołdośc ε przedswoo w bel 5 J leżło oczewć zbeżość meod bsec es wolesz efewesz ozł sę meod Rdders Zuwżm że pommo zsosow prosszego przeszłce wścowe fuc 54 do posc 55 meod Wegse zończł sę sucesem w odróżeu od meod erc prose ór pozo w bel 5 de rozbeż cąg olec przblżeń poszuwego perws

47 46 Rozwązwe przblżoe rówń elowc Tbel 5 Zeswee wów ercego rozwąz rów 54 różm meodm w olec ercc oblczoe meodą: bsec seczc Rdders Wegse erc prose Seffese Rozwązwe ułdów rówń elowc Ułd rówń elowc mogą e meć rozwązń mogą meć edo sończoą c lczbę lub esończee wele rozwązń Wru se edozczośc rozwąz ścśle zwąze z orem przpdm pow bć bde dwdule Wszów ogóle są przewże dość rude do worzs prczego Wszse meod umercze rozwązw ułdów rówń elowc są meodm ercm Zleże od przęego sposobu opsu procesu ercego de sę m róże zw Ułd rówń elowc przedsw sę w ogóle posc weorowe gdze: X T FX f X f X f X T T smbol rspozc wmr ułdu F X 6 Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

48 7 Rozwązwe ułdów rówń elowc 47 Po rozpsu m o posć: f f 7 M f Rozwąze ułdu rówń elowc poleg zlezeu weor X spełącego e ułd 7 Meod erc prose Pcrd Wzcząc olee ewdome z rówń ułdu 7 przeszłcm go do posc: g g 8 M g co moż zpsć róce w posc mcerzowe X GX 9 Mąc począową wrość weor X worzm cąg oreślo zleżoścą gdze: des erc X GX 4 Jeśl powższ cąg dąż do grc X gd o X es rozwązem ułdu 6 Ogóle wru zbeżośc ego cągu przblżeń są mło przde w orec succ Sueczość meod leż oreślć podswe espermeów umerczc Z dośwdcze w że meod erc prose es meodą wolozbeżą 7 Meod ewo Wprowdźm sępuące ozcze: X przblżee rozwąz ułdu 6 w erc -e weor odcłe-różc w erc -e pomędz rozwązem dołdm przblżom ułdu 6 Pomędz m weorm rozwązem dołdm ułdu 6 zcodz zwąze X X 4 Złdm że fuce f worzące ułd są oreśloe cągłe różczowle względem weor X Poewż z defc wdomo że FX moż psć { } F X F X F X 4 X Powższ formuł zpsu w z rozwęc fuc F w szereg Tlor woół puu X z zedbem człoów szeregu z pocodm rzędu wższego ż Weor odcłe oreślm sępuąco: Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

49 48 Rozwązwe przblżoe rówń elowc gdż przblżeem X będze X Zem moż psć że gdze: F X X J f f X X 4 F X X X X F X K f K M K f K 44 es obem ułdu 6 Meodę ewo moż osecze zpsć w posc X X J FX 45 J wdć meod es zrówo prcocło wmg zcze pmęc ompuer W żde erc leż oblczć ob ułdu o wmrc sępe dooć ego odwróce W oblczec prczc zwle meodę ewo zpsue sę w poprzede posc z 44 J F 46 Zms odwrc mcerz J rozwązuem ułd rówń lowc względem weor odcłe sąd sępe oblczm owe przblżee weor ewdomc: X X 47 Te sposób es brdze eoomcz szczególe wed gd J es mcerzą psmową Im zbegem sosowm w celu poprwe eoomczośc meod ewo es sosowe słego obu Zms oblczć ob w żde erc worzsue sę ego wrość z erc Będze węc J F 48 T oreślo proces es wole zbeż lecz e wmg cągłego oblcz J co es łopolwe szczególe wed gd pocode rzeb lczć umercze K K M Przłd 6 Oblczee przepłwów w sec wodocągowe Jedm z powc zgdeń żer sre es zgdee przepłwu usloego wod w sec wodocągowe Pod poęcem sec leż rozumeć ułd poedczc przewodów połączoc w węzłc W węźle zbegą sę co me rz przewod lub dw z lolm dopłwem/odpłwem wod Seć może bć zmę worząc szereg perśce Rozwąze sec poleg oblczeu ęże przepłwu w e przewodc orz cśeń w e węzłc Mose W m celu worzsue sę dw rodze rówń Mowce dl żde głęz sec moż psć uproszczoe rówe zcow eerg meccze Beroullego rs 6: Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

50 7 Rozwązwe ułdów rówń elowc 49 H H Q s 6 gdze: des węzł począowego des węzł ońcowego H rzęd l cśe pezomerczego w węźle H rzęd l cśe pezomerczego w węźle Q ężee przepłwu w głęz s opór drulcz przewodu rozum o sr eerg w przewodze prz przepłwe edosowm l eerg Q s H D Q H Opór drulcz oreśl zleżość L pozom porówwcz Rs 6 Scem odc sec wodocągowe L s 6 K gdze: L długość przewodu K crers przewodu defow o K R A 6 gdze: współcz szorsośc według Mg A powerzc przerou poprzeczego przewodu R promeń drulcz przewodu Dl dowole sec moż psć le rówń o posc 6 le głęz zwer seć Do drugego pu rówń óre sosue sę do oblczeń przepłwu w sec leż rówe cągłośc Dl żdego węzł w órm łączą sę przewod lub odprowdz es wod rs 6 moż psć rówe zcow ms óre prz słe gęsośc m posć blsu obęośc: Q q 64 gdze: Q dopłw/odpłw do/z węzł głęzą q dopłw/odpłw zewęrz pobór wod lczb głęz łączącc sę w węźle Rs 6 Scem węzł w órm łączą sę głęze Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

51 5 Rozwązwe przblżoe rówń elowc Zpsuąc powższe rówe leż brć pod uwgę erue przepłwu wod w przewodc Zwle przmue sę sępuącą owecę: dopłw do węzł rue sę o dode zś odpłw mą z uem Złóżm że oreślm przepłw w sec o sruurze przedswoe rsuu 6 Jes o seć weloperśceow zsl z edego zbor o ze wrośc cśe pezomerczego Seć ę worz 6 głęz o dc średcc długoścc crersc drulczc Głęze łączą sę w 7 węzłc w órc dodowo seą odpłw q Moż węc dl e psć 6 rówń pu 6 orz 6 rówń pu 64 co de łącze 4 rów W sec leż oreślć: 7 wrośc cśeń w węzłc 6 wrośc przepłwów w głęzc W węźle reprezeuącm źródło zsl ze es cśee zem do ułdu moż dodć rówe óre dome go Będzem mel zmę ułd o wmrze 4 4 Poewż rów 6 są elowe względem ężeń przepłwów ułd e es ułdem elowc rówń lgebrczc Moż zpsć go sępuąco: gdze: A mcerz współczów B weor wrzów wolc X weor ewdomc AX B 65 Weor ewdomc X uworzą wszse wrośc węzłowe cśeń orz przepłw w głęzc M o węc sępuącą sruurę: X H H H 7 Q Q Q 7 T Mcerz ułdu A es mcerzą psmową brdzo rzdą Tlo ewel część e elemeów m wrośc róże od zer eóre z c zleżą od ewdomc co powodue elowość ułdu Weor wrzów wolc B b b b 4 T m sępuące eleme: b H z H z zde cśee w węźle b b b 7 b 8 q b 9 q b 4 q 7 Ułd 65 w posc AX B rozwązuem meodą ewo Zgode z e opsem lgorm erc e meod m posć J X F 66 gdze: J ob ułdu 65 X X X weor poprwe F A X B weor resdul ułdu 65 des erc Eleme mcerz Jcobego w m wpdu oblcz sę brdzo łwo Kolee rów pu 6 64 różczuem względem olec ewdomc Z oczwsc powodów mcerz J podobe A es róweż mcerzą psmową brdzo rzdą Proces erc 66 prowdzm do cwl uzs rozwąz z posulową dołdoścą Rozwązuąc zde przepłwów usloc w sec rurocągów leż wprowdzć sosowe de wmge przez lgorm oblczeń Mowce leż oreślć: Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

52 7 Rozwązwe ułdów rówń elowc 5 lczbę głęz w sec crersę żde głęz w m: des począowego węzł głęz des ońcowego węzł głęz średcę wewęrzą rurocągu długość rurocągu współcz szorsośc wg Mg eśl formuł es sosow do oblcze oporów rucu; lczbę węzłów w sec crersę żdego węzł w m: des przewodów worzącc węzeł z uwzględeem eruu przepłwu w przewodze pobór wod z węzł; lczbę źródeł zsl orz wrośc cśeń puącc w źródłc dołdośc rozwąz ε H orz ε Q sosowe dl cśeń przepłwów q dm /s m D 4 q dm q 55 dm /s /s 45 m 65 m 4 65 m D D 5 4 q 5 dm D 5 /s 75 m 4 D 5 55 m q 5 dm 5 /s D m 45 m D 4 54 m D 5 q 45 dm D /s B 55 m 65 m 6 q 55 dm /s D 5 D 5 6 q 8 dm /s 5 m q 5 dm 4 m /s D m D 5 D 4 75 m q dm /s 6 48 m 6 D 5 55 m D 5 q dm /s D m 7 8 D m 5 m q 5 dm /s D 5 9 m 4 m D 5 q 55 dm /s D 5 D m 75 m 48 m 8 D 5 D D q 55 dm /s 9 q 5 dm /s q 55 dm /s Rs 6 Scem sec perśceowe zsle z edego źródł Wcows Powższe de dl sec przedswoe rs 6 zeswoo w belc 6 orz 6 Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

53 5 Rozwązwe przblżoe rówń elowc rers sec przewodów Tbel 6 r przewodu r węzł począowego r węzł ońcowego Długość [m] Średc [m] Współcz Mg Rozbor wod w węzłc Tbel 6 r węzł Pobór wod q [l/s] r węzł Pobór wod q [l/s] Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

54 7 Rozwązwe ułdów rówń elowc 5 Dl przęc dołdośc ε H m orz ε Q dm /s rozwąze uzso po 6 ercc Oblczoe wrośc cśeń w węzłc orz przepłwów w głęzc zeswoo w belc 6 64 Rzęde cśeń pezomerczc w węzłc Tbel 6 r węzł śee [m H O] r węzł śee [m H O] Przepłw w głęzc sec Tbel 64 r głęz Przepłw [l/s] r głęz Przepłw [l/s] Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

55 Ierpolc prosmc fuc Uwg wsępe W welu wpdc zcodz oeczość zsąpe fuc zde somplowm wzorem lczm m wrżeem brdze prosm Koeczość ego przblże wć może p z powodu rudośc cłow fuc zęso eż fuc zd es w sposób dsre M o p mesce prz wszelc espermec pomrowc Uzsą zleżość dobrze es przedswć w posc rów ze względu łwość wgodę dlszego sosow wów bdń Zdą fucę órą leż zsąpć ą zw sę fucą przblżą lub prosmową oms fucę z pomocą óre dooue sę przblże zw sę fucą przblżącą lub prosmuącą W prce częśce posć fuc prosmuącc ogrcz sę do wrżeń będącc ombcą lową pewe lczb fuc bzowc wbrc pror Jeśl przez u u K u ozczm fuce bzowe o d fuc będze przblż ombcą pu: u u K u zleżą od współczów óre leż wlczć Podswowe zsd prosmc fuc cągłc w przedzle domęm podł Weersrss Rlso 97 Są o dw sępuące werdze: dl dowole fuc cągłe w pewm przedzle domęm see zbeż do e w m przedzle cąg welomów; dl dowole fuc cągłe o orese π see edose zbeż do e cłe os rzeczwse cąg welomów rgoomerczc Isee szereg możlwc do wboru bz Wbór e zleż od pu zgde óre es przedmoem rozwązw Dl welu zsosowń o bzę wgode es prząć p edom Przęce e sprowdz zgdee prosmc do przblże bde fuc welomm -ego sop Przpde ego pu prosmc es wsrcząc dl omwc w eszm podręczu zgdeń z ego względu zose omówo dołde oms szczegółowe wdomośc zwąze z doborem sosowem ego rodzu bz pode Legrs 974 Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

56 Welom erpolce 55 Welom erpolce ec w przedzle b oreślo będze fuc rzeczws f ec będze usloc m wrośc rgumeu m c że < < < < m 4 Pu o c odcęc zw sę węzłm lub pum erpolc Zde erpolce poleg zlezeu welomu P sop e węszego ż pewe ór w węzłc erpolc przme e sme wrośc fuc przblż z dl órego zcodzą rówośc f P m 5 Welom zw es welomem erpolcm przblżącm fucę f M o ogólą posć: P 6 Dowód se welomu P spełącego wrue 5 es esomplow Wsrcz w m celu rozprzć welom 6 o współczc rze ezc podswć do rów 5 Orzmue sę w e sposób ułd m rówń lowc z ewdomm o posc: K K m m K K K m f f f m 7 Wzcz uworzo z perwszc wersz olum mcerz współczów ego ułdu rówń es róż od zer poewż wszse pu erpolc są róże Rlso 97 Dlego eż rząd mcerz współczów ułdu rówń 7 rów sę mesze z dwu lczb m Jeśl m ułd m dołde edo rozwąze Zem lczb url dl óre zde erpolce m rozwąze pow bć rów zmeszoe o lczbe węzłów erpolc W celu zleze welomu wsrcz rozwązć ułd 7 Welom e prz m zw es welomem erpolcm Lgrge Welom erpolc Lgrge Poszuue sę welomu P sop ór przmue decze wrośc pew fuc f w puc Poszuw welom zpsć moż w posc P L f L f L f L f 8 gdze: L welom sop ższego lub rówego óre spełą wrue dl L δ 9 dl Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

57 Ierpolc prosmc fuc Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode 56 Jeśl L es welomem zeruącm sę dl moż go zpsć w posc L [ ] Z druge sro z 9 w że L zem K K Po podsweu do orzmuem L K K K K dl ; z wąem gdze: es smbolem loczu Osecze formułę erpolcą 8 orzmuem w posc f f P K K K K Jes o zw formuł erpolc Lgrge Zleżość ę moż zpsć sosuąc ocę mcerzową W m celu wzór zpsuem w forme: B B B B L K 4 Wprowdząc sępuące ozcze: [ ] f f f B B B B B B B B B X f L K K K welom P moż przedswć w posc loczu: P X L f 5 Mcerz L zw es mcerzą Lgrge Ozcząc dle

58 Welom erpolc Lgrge 57 moż zpsć że A A L f A A P A A A A X A 6 J wdć welom e es zdefow poprzez mcerz olumową A W wpdu różczow lub cłow ego welomu w przedzle wsrcz węc zróżczowć lub scłowć mcerz werszową X Przłd Ierpolc welomm Lgrge Przez węzł erpolc f f f 7 poprowdzć welom Lgrge rs Korzsąc z rów moż oleo wlczć: Mcerz Lgrge przme posć: L L L L zś e locz przez weor wrośc węzłowc es rów A L f Welom erpoluąc będze węc sępuąc: f P - węzł Rs Przłd oblczoego welomu erpolcego Lgrge Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

59 58 Ierpolc prosmc fuc Jego wres przedswoo rs P 6 4 Ierpolc fucm slem Ierpolcę ego pu sosue sę główe w celu połącze puów fuc zde dsree rzwą możlwe głdą Przmue sę prz m że mrą głdośc es wrość rzwz cłowe rozume o b E f d 7 Krzwą głdszą będze rzw ór d mmlą wrość rzwz cłowe Fuc sle es fucą rzeczwsą rzędu zdefową dl żdego eśl w żdm przedzle gdze : es o welomem sop m cągłe pocode ż do rzędu włącze Fuc sle es zem włm złożo z welomów sop że sm fuc e pocode e mą w puc ecągłośc W prce częśce sosue sę fuce rzecego sop u omówo zose lo e przpde Omówee fuc wższc sop moż zleźć w lerurze Soer 979 D es przedzł b Przedzł e podzelo es podprzedzł z pomocą szeregu puów leżącc wewąrz spełącc wrue < < < < < b W żdm z puów podzeloego przedzłu ze są wrośc fuc f czl: f f f f W m wpdu fuc sle ozcz dle smbolem S będze włm złożo z welomów sop że sm fuc e pocode e będą mł w puc ecągłośc Iseą dw werdze ruące o edozczośc oreśle włsośc mmlzc rzwz e fuc Soer 979 Mówą oe że spośród wszsc fuc mącc cągłe pocode do drugego rzędu włącze włśe fuc sle S mąc dodowo edą z poższc włsośc: zerowe sę drugc pocodc ońcc przedzłu czl S S b oresowość oreśloe wrośc perwsze pocode ońcc przedzłu S α S b β mmlzue wrżee 7 Poewż f es mrą rzwz fuc w puce w e wszue że pomędz wszsm fucm mącm cągłą pocodą drugego rzędu w b fuc sle S es głdsz w m sese że de meszą z możlwc wrośc rzwz cłowe 7 Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

60 4 Ierpolc fucm slem Wdzł Iżer Lądowe Środows PG 59 Fucę sleą moż wzczć podswe pode wcześe e defc Ozcząc: S M mąc uwdze f że es o fuc sop czl że e drug pocod es fucą lową moż psć sępuącą formułę erpolcą: M M S 8 łuąc orzmuem dl wrżee perwszą pocodą A M M S 9 sępe smą fucę B A M M S 6 6 ze słm A B Poewż S S orzmuem dw rów 6 6 B A M B M z órc wzczm obe słe A B : 6 6 M M A M B Z druge sro fucę S moż rozwąć w ooczeu puu w szereg Tlor Uwzględąc w rozwęcu wrz zwerące pocode do III rzędu włącze orzmuem!!! S S S S S Poewż w przedzle sąd węc!!! S S S S S 4 dl

61 Ierpolc prosmc fuc Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode 6 Wrżąc dle pocode z pomocą M uzsue sę ońcową posć fuc slee S γ β α 5 gdze: M M S M S M M A M S γ β α W e sposób fuc S wrżo es poprzez e pocode II rzędu w puc Ic wrość moż wzczć worzsuąc wrue cągłośc perwsze pocode S rówe 9 w puc z S S Orzmue sę zleżość 6 6 M M M M 6 órą po uporządowu zpsuem sępuąco: 6 M M M 7 W e sposób orzmuem rówń zwerącc ewdomc M M M M Dw bruące rów uzsue sę z wruów e fuc S speł brzegc przedzłu p: S S b czl M M Ułd e moż zpsć przerzśce w posc rówń d M M M λ μ 8 w órc: 6 d λ μ λ Jeśl dodowo wprowdzm zleżośc wące z przęc wruów brzegc: λ μ d d o przme o posć

62 4 Ierpolc fucm slem Wdzł Iżer Lądowe Środows PG 6 d d d d d d M M M M M M μ λ μ λ μ λ μ λ μ λ 9 Przedswo ułd rówń es ułdem dobrze uwruowm Wdć że λ μ orz λ μ Podo współcz λ μ zleżą lo od sposobu podzłu przedzłu b e od wrośc fuc w puc podzłu T włsość może bć worzs do udowode werdze Soer 979 że mcerz współczów ułdu 9 es eosoblw dl dowolego podzłu przedzłu b Ułd e moż rozwązć meodą rozłdu mcerz współczów dwe mcerze róąe co wdomo prowdz do brdzo efewego lgormu opsego w puce Przłd Ierpolc lmgrmu z pomocą fuc slee Lmgrmem zw sę rzwą reprezeuącą przebeg zm sów wod w czse w dm przerou rze Zem zmeą ezleżą es u czs zś zmeą zleżą s wod H czl pozom zwercdł wod lczo od przęego pozomu porówwczego zer wodowszu Poewż s wod merz sę w oreśloc ermc lmgrm es fucą zdą w posc belrcze W rozwązwm u przłdze es o ops z pomocą 6 puów przedswo w bel Tbel Obserwow lmgrm sów wod r puu [] H [cm] r puu [] H [cm]

63 6 Ierpolc prosmc fuc H [cm] węzł erpolc erpolc low welomm sop erpolc fucą sleą z welomm sop [] Rs W erpolc lmgrmu fucą sleą Oblczoe współcz fuc slee erpoluące lmgrm Tbel α β γ Zgode z podm opsem fuc slee zde erpolc poleg wzczeu współczów rów 5 Współcz e wzcz sę przez rozwąze ułdu 9 meodą rozłdu mcerz współczów lgorm Toms Proces oblczeń przebeg według poższego scemu: wcz de z lość węzłów erpolc c współrzęde ; zbudu ródgolą mcerz współczów ułdu 9 oblcząc współcz λ μ rówń 8 orz oblcz słdowe weor prwc sro d ; Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

64 5 Aprosmc fuc z pomocą welomów 6 uzupeł ułd wprowdząc rów wące z wruów zerow sę druge pocode ońcc przedzłu M M ; 4 rozwąż ułd rówń sosuąc meodę rozłdu mcerz; 5 oblcz współcz fuc slee 5: α β γ Orzme w wu oblczeń wrośc współczów rów 5 przedswoo w bel rsuu pozo uzs w erpolc fucą sleą Dl porów zzczoo róweż w erpolc lowe 5 Aprosmc fuc z pomocą welomów Złóżm że f es fucą cągłą w przedzle b Zlezee przblże prosmc e fuc poleg zlezeu współczów pewego welomu P ór będze dobrze przblżł w m przedzle fucę f Poęce dobre prosmc m ses lo w wpdu ed zdefowe es rerum crerzuące błąd mędz fucą f welomem P Zwle sosue sę edo z dwóc sępuącc rerów Legrs 974 Krerum zebszew Współcz welomu prosmuącego leż dobrć b msml różc mędz wroścą fuc f welomem P osągęł mmum Zem wmg sę u b E m ε m gdze ε f P b Te rodz prosmc zw sę prosmcą edosą lub prosmcą zebszew Krerum meszego błędu wdrowego Współcz welomu prosmuącego leż dobrć b sum wdrów różc mędz wroścą fuc f welomem P w b osągęł mmum czl b E ε d m gdze ε f P Aprosmcę prz zsosowu ego rodzu rerum zw sę prosmcą w sese meszc wdrów lub meodą meszc wdrów Dlsze rozwż ogrczm do prosmc w sese meszc wdrów w wpdu ed fuc prosmow f zd es w sposób dsre W o z fu że w żer wode e rodz prosmc es sosow częśce Perwsze sformułowe meod meszc wdrów podł Legedre w rou 86 Rozwął ą późe Guss podąc e podsw memcze óre są sosowe do dzs bez węszc zm Złd sę że welośc zwąze są ze sobą ezą zleżoścą f Jes ed o oreślo płszczźe w sposób dsre Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

65 Ierpolc prosmc fuc Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode 64 z pomocą puów o współrzędc Zde poleg zlezeu fuc P lepe przblżące fucę oreśloą rs Rs Ilusrc problemu prosmc zleżośc f welomem P W m celu leż wbrć welom P zleż od prmerów oreślć wrośc c prmerów b zmmlzowć fucę rerlą E M o posć ] [ P E K wdć es fucą welu zmec ór osąg esremum w puce gdze: E E E K Różczuąc fucę E uzsue sę sępuąc ułd rówń: ] [ ] [ ] [ P P E P P E P P E K Mąc uwdze posć fuc rerle moż wzć że powższ wrue defue e esremum mmum Jes o ułd rówń lgebrczc o ewdomc ór m edozcze rozwąze lo w wpdu gd fuc prosmuąc P zleż lowo od prmerów Wrue e es speło gdż P es welomem ecą crersczą ułdu es smer mcerz współczów W wpdu elowe zleżośc fuc f od prmerów ułd e es ułdem rówń elowc rozwąze ego ułdu es wdomo zgdeem złożom Z ego względu w zsdze e sosue sę do prosmc fuc elowc

66 5 Aprosmc fuc z pomocą welomów 65 względem c prmerów z wąem c óre przez prose przeszłcee moż sprowdzć do rów lowego W bel przedsw sę przłd ego pu przeszłceń Przeszłce lerzuące eóre fuce Kcprzńs 974 Tbel f owe zmee sprowdzące fucę f do posc lowe z u b z l l l b u b z b u q b z lg b u b z l l b u l b z b u b z b u Zsosowe meod meszc wdrów zlusrowo poże przłdem prosmc rzwe przepłwu dl dego przerou ceu Przłd Aprosmc rzwe przepłwów meodą meszc wdrów W drulce or owrc brdzo częso worzsue sę zw rzwą przepłwów Lmbor 97 Jes o zleżość pomędz sem wod ężeem przepłwu w dm przerou rze Zleżość ę uzsue sę w wu pomrów zem zd es o w sposób belrcz: gdze: H s wod Q ężee przepłwu lczb pomrów H Q H Q H Q H Q Dl łweszego orzs z e zleżośc poszuue sę fuc ór w mrę dobrze opsze zleżość QH w zrese zmeośc H Z pr wdomo że zleżość ę moż suecze prosmowć mędz m rzwą poęgową o ogólm rówu Lmbor 97: Q H b prz czm brdzo częso przmue sę że W e suc rówe uprszcz sę do posc Q H b J wdć es o rówe elowe względem współcz b W celu zlerzow Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

67 66 Ierpolc prosmc fuc rów moż dooć przeszłce polegącego obusrom logrmowu prz bel Orzmue sę w e sposób rówe: gdze: Z l Q l b u l H Z u Zgode z prmer leż dobrć b wrżee Z u E ε 4 osągęło mmum J wdomo m o mesce gd E [ Z u ] E [ Z u u ] 5 Zem w celu wzcze opmlc wrośc prmerów leż rozwązć powższ ułd rówń Ułd e moż zpsć w posc mcerzowe u u Z 6 u Zu Sosuąc do rozwąz ego ułdu wzor rmer orzmue sę: gdze: W W W W W W Z u u u Z W Z u u u Z u Po uwzględeu przeszłce lerzuącego wrośc prmerów orz b w rówu wścowm wosą: epw /W b W /W Zgode z opsm wże oem posępow woo przłdowe oblczee współczów rzwe przepłwów dl dc zmeszczoc w bel Wem są sępuące wrośc współczów: Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

68 6 Porówe erpolc prosmc b 99 Zem fuc IX w m wpdu m posć: QH 79 H 99 7 prz czm H leż zdwć w cm orzmuąc w Q w m /s rsuu porówo pomr z bel z wroścm oblczom wg rów 7 Rs W prosmc rzwe przepłwów Obserwow zleżość QH Tbel H [cm] Q [m /s] H [cm] Q [m /s] H [cm] Q [m /s] Porówe erpolc prosmc Proces erpolc es wrżlw wbór węzłów erpolc Eweule częso ezcze złóce wrośc fuc w puc erpolc mogą brdzo zcze zmeć fucę erpoluącą Spośród meod erpolc cem zlem w sosuu do erpolc welomowe crerzue sę meod erpolc fucm slem De o rzwą o mmle rzwźe cłowe w przedzle b podo prz zgęszczu podzłu b fuce slee są zbeże do fuc órą erpoluą Włsośc e e mą welom erpolce Meod erpolc pozwlą przblżee fuc oreśloc złożom rówm z pomocą prosc wrżeń Sową oe podswę meod cłow umerczego óre będą omówoe w rozdzle 4 Z defc zd erpolc wdomo że fuc erpoluąc mus przecodzć przez pu gdze Poewż pomr obrczoe są błędm zwle dl odcęe orzmue sę róże wrośc rzęde W osewec erpolc se sę emożlw W wpdu ed rzeb przblżć fuce oreśloe espermele co w zsdze es regułą we wszelc zgdec ecczc leż sosowć meod prosmce Aprosmc es mło wrżlw wbór węzłów prosmc eśl lo lczb węzłów es wsrcząco duż są oe włścwe rozmeszczoe w przedzle b W meodc c sępue wgłdze co reduue wpłw błędów wrośc fuc prosmowe w węzłc prosmc Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

69 Meod poszuw esremum fuc ede zmee 4 Przedswee problemu Brdzo częso rozwąze problemu z zresu żer wode poleg zlezeu lepszego rozwąze z puu wdze przęego rerum ośc co wmg sosow ec opmlzcc W rozdzle m rozprzm lo prossz przpde gd rerum ośc lub cze fuc celu es fucą ede zmee Im słow będzem poszuwl esremum fuc f w przedzle prz czm zwle będze o esremum mmum rs 4 Złdm prz m że fuc es cągł Rs 4 Fuc f posdąc esremum mmum w puce op Jeśl rozprw fuc es różczowl o poszuw pu esreml moż oreślć worzsuąc e perwszą pocodą Wrue se esremum: df 4 d umożlw oblczee wrość zmee dl óre fuc f przmue wrość esremlą Jeśl w m puce e pocod II rzędu es dod f d > 4 d o es o esremum mmum Jeśl fuc f e es zd w we posc e włścwośc e są ze o lepe es użć umerczc meod poszuw e esremów Złóżm że: w przedzle b fuc f posd mmum w puce α b ; fuc f es mleąc w przedzle α rosąc w przedzle α b Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

70 4 Przedswee problemu 69 Fucę o powższc włścwoścc rs 4 zw sę fucą umodlą Kus Delews-Tułec Oproc 9 Rs 4 Fuc umodl f w przedzle b W celu zleze meszego przedzłu zwerącego pu esreml α wsrcz oblczć wrośc fuc f lo w puc leżącc wewąrz przedzłu b Rs 4 Wbór dwóc puów w przedzle b umożlwąc oreślee rószego przedzłu zwerącego esremum fuc f W m celu leż wbrć dw pu orz rs 4 b < < < b Jeżel f f o α 4 W przpdu przecwm eżel W e sposób orzmue sę szereg podprzedzłów f > f o α b 44 b dl 45 c że żd sęp podprzedzł zwr es w poprzedm b b 46 W powższe zleżośc des ozcz umer erc prz czm zś b b Jeżel długość olec podprzedzłów zmerz do zer b 47 o szereg uworzoe odpowedo przez począ przedzłów c ońce b są zbeże do puu α W podeścu m położee esremum mmum oreśle es z pewą Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

71 7 4 Meod poszuw esremum fuc ede zmee dołdoścą Będzem poszuwl ego puu dl órego spełoe es sępuące rerum: α ε ε 48 gdze ε es dodą lczbą reprezeuącą złożoą dołdość Wszse ze meod poszuwe esremum mmum fuc ede zmee różą sę mędz sobą sposobem podzłu przedzłu b w órm wsępue pu esreml Zm ed przsąpm do c prezec omówm pewą epową meodę poszuw esremum fuc f polegącą rozwązu lgebrczego rów elowego 4 Wzczee esremum fuc przez rozwąze rów elowego Rozprzm fucę umodlą f ór w przedzle b posd esremum Jego położee moż wzczć rozwązuąc sępuące rówe wące z dobrze zego wruu se esremum: df g 49 d Im słow pu esreml wzcz rozwąze rów lgebrczego Poewż zwle es o rówe elowe do ego rozwąz leż zsosowć edą z meod omówoc w rozdzle meod bsec meod seczc meod erc prose lub meod ewo Z pocode II rzędu oreśl rodz esremum Dołdesze wśee ou posępow zwer poższ przłd Przłd 4 Rozprzm edos przepłw w le owrm o rpezowm przerou poprzecz Jego prmer są sępuące rs 4: pole powerzc przerou czego A podłuż spde łu s współcz szorsośc według Mg clee srp łu : m leż oblczć szeroość d łu B rs 4 ór zpew msmle ężee przepłwu Q Do rozwąz zd zsosum meodę seczc Rs 4 Przeró poprzecz rozprwego łu Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

72 4 Wzczee esremum fuc przez rozwąze rów elowego 7 Rozpoczm rozwąze zd od sformułow fuc celu Przepłw edos opsue rówe Mg / / Q R s A 4 W rówu 4 R es promeem drulczm defowm sępuąco A R 4 p gdze p es obwodem zwlżom przerou poprzeczego łu Prz zdc wroścc prmerów A s orz m z rów 4 w że ężee przepłwu w le Q rośe wrz ze wzrosem prome drulczego R Zem Q m gd R m 4 Poewż rówe 4 wszue że prz de wrośc pol powerzc przerou czego A promeń drulcz R będze rósł dl mleącc wrośc obwodu zwlżoego p R m gd p m 44 o ozcz że leż zleźć ą wrość szeroośc d łu B ór zpew mmlą wrość obwodu zwlżoego p Dl przerou rpezowego promeń drulcz es rów p B m 45 węc fucę celu możem sformułowć sępuąco: B B m m p 46 Głęboość wsępuącą w powższe fuc leż wrzć poprzez ze prmer łu W m celu worzsue sę wzór pole powerzc przerou czego łu w szłce rpezu: A B m 47 ór sępe zpsuem w posc: m B A 48 Jes o rówe wdrowe względem Jego rozwąze przebeg w dobrze z sposób Koleo oblczm: b 4 c B 4m A 49 b ± 4 Z oczwsc powodów poszuwm rozwązem es lo perwse dod czl: / b B B 4m A 4 m Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

73 7 4 Meod poszuw esremum fuc ede zmee Po wsweu rów 4 do rów 45 fuc celu przmue oseczą posć: / 4 B B m A p B B m m 4 m Wrue 49 ór w m przpdu przmue posć: prowdz do sępuącego rów: dp g B 4 db / 4 B B m A g B m 44 m Jego perwse oreśl poszuwe esremum fuc pb Dl sępuącego zeswu dc: A 75 m s 5 orz m 5 perwse rów 44 es położo w przedzle m Wres fuc celu 4 w m przedzle przedswoo rsuu 4 p [m] B[m] Rs 4 Wres fuc celu pb dl przęc dc Wrość perws B 4 m rów 44 oblczoo meodą seczc opsą w rozdzle z dołdoścą ε Proces erc wmgł wo erc Prz oblczoe szeroośc d łu w le pue msmle możlwe ężee przepłwu Q 58 m /s zś głęboość wos 887 m Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

74 4 Meod podzłu przedzłu rz rówe częśc 7 4 Meod podzłu przedzłu rz rówe częśc Rozprzm przedzł α b zwerc esremum fuc f rs 44 f Rs 44 Podzł przedzłu b rówe częśc Wewąrz przedzłu b przmm dw pu o współrzędc b b 4 4 Rozprw przedzł podzelo zosł rówe częśc Poewż w żde erc część ezwerąc esremum es odrzuc o ego począow długość es reduow / rz: b b b 4 / Po wou K erc esremum fuc f zdze sę w sępuącm przedzle: K K K b b 4 leż zuwżć że w e meodze wrość fuc celu f es oblcz K rz b Przłd 4 W wu pomrów polowc w wbrm przerou poprzeczm ceu dspouem zeswem pomerzoc wrośc sów wod H orz odpowdącc m ężeń przepłwów Q Zem z es zesw dc H Q dl prz czm ozcz lczbę woc pomrów Doouem prosmc fuc QH zde w sposób dsre rzwą o rówu: gdze α β orz γ są prmerm óre leż oreślć Q α H γ β 4 Zuwżm że zde o es brdzo podobe do zd rozwązwego w przłdze Jed w poprzedm przpdu sosow formuł prosmuąc rzwą przepłwu bł prossz Bł ą bowem formuł 4 w óre pror przęo γ To pozwo- Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

75 74 4 Meod poszuw esremum fuc ede zmee lło dooć lerzc rów prosmuącego wzczć ego eze współcz α orz β meodą meszc wdrów W przpdu rów 4 sposób posępow e es możlw Jego sruur e pozwl lerzcę względem wszsc rzec prmerów co uemożlw oreślee c wrośc wspomą meodą meszc wdrów Jed sformułowe wże zde moż rozwązć orząc omówoą w rozdzle meodę meszc wdrów z zprezeową wcześe meodą opmlzc W rówu 4 H es zw sem wod reprezeue położee zwercdł wod w ceu w sosuu do rbrle przęego pozomu porówwczego Zem es o wrość względ Poewż s wod wrż es w cemerc o w z rów 4 prmer γ powe bć wrżo w c smc edosc Zuwżm edocześe że ego wrość mus bć węsz od ższego pomerzoego su wod Rozwąze zczm od sformułow fuc celu óre esremum mmum będzem poszuwl Przmm że m o posć logczą do sosowe w meodze meszc wdrów czl: β F α β γ [ Q α H γ ] m 4 Złóżm róweż że wrość prmeru γ es z Zem w rówu leż oreślć wrośc dwóc pozosłc prmerów mowce α orz β Poewż prz ze wrośc γ rówe rzwe prosmuące 4 es elowe względem prmeru β doom ego obusroego logrmow: lq lα β lh γ 4 Po wprowdzeu owc zmec: z l Q l α β u l H γ orzmue sę sępuąc welom I sop: zu u 44 Krerum meszego błędu wdrowego w m przpdu przmue posć: E [ z u ] 45 zś ułd rówń ór spełą współcz fuc prosmuące mmlzuące wrżee 45 es sępuąc: u u z 46 u zu Zsosowe wzorów rmer de sępuące rozwąze ułdu: W W 47 W W Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

76 4 Meod podzłu przedzłu rz rówe częśc 75 gdze: W u u W z u u z u W zu z u W osewec dl zde wrośc prmeru γ meod meszc wdrów umożlwł oreślee wrośc dwóc pozosłc prmerów: α e β Zem ząc osecze wrośc wszsc rzec prmerów moż oblczć odpowdącą przęe wrośc γ wrość fuc rerle 4: F γ [ Q α H γ ] 48 Posępuąc w przedswo wże sposób dl oleo złdc wrośc prmeru γ γ γ γ moż oblczć odpowdące wrośc fuc celu F F F F Proces e moż prowdzć w sposób zorgzow worzsuąc polecoą w reśc zd meodę podzłu przedzłu w órm zdue sę mmum fuc 48 rówe częśc Zsosum przedswo sposób posępow do prosmc zleżośc QH przedswoe rsuu 4 45 β 4 5 H [cm] Q [m /s] Rs 4 Zleżość QH uzs w wu pomrów polowc Współrzęde poszczególc puów prosmowe zleżośc QH zeswoo w b 4 Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

77 76 4 Meod poszuw esremum fuc ede zmee Pomerzoe s wod H odpowdące m ęże przepłwów Q Tbel 4 umer puu H [cm] Q [m /s] Poewż omw meod poszuw esremum fuc es wż lo dl fuc umodlc wro sprwdzć wres przęe fuc rerle 48 Je wres dl przęego zeswu dc przedswoo rsuu 4 J wdć fuc celu Fγ m w przęm przedzle edo esremum mmum czl speł wrue umodlośc Zem położee esremum moż oreślć brdze efewe sosuąc meodę opmlzc polegącą podzle rówe częśc Oblcze woe zgode z opsm lgormem dl przęc dc dł sępuące w: mmlą wrość fuc rerle Fα β γ przmue dl γ 6 cm; opmle wrośc γ odpowdą sępuące wrośc pozosłc prmerów α 88 orz β 9 Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

78 4 Meod podzłu przedzłu rz rówe częśc 77 4 F [m /s ] γ [cm] Rs 4 Wres fuc celu Fγ dl rzwe przepłwu zde w b 4 prosmowe rówem 4 Zem formuł prosmuąc zleżość przedswoą rsuu 4 m posć: 9 H 88 H 6 Q H [cm] Q [m /s ] Rs 4 Zleżość QH orzm w wu pomrów czre pu e prosmc rówem 49 l cągł Worzsuąc formułę 49 leż pmęć o zsosowm w rce prosmc ułdze edose S wod leż podswć w cm orzmuąc ężee przepłwu w m /s Oczwśce formuł 49 obowązue w przedzle w órm woo prosmcę fuc QH Je wres le zdc dc pomrowc przedswoo rsuu 4 Wro zwrócć uwgę f wąc z rsuu 4 Oóż zsosow fuc prosmuąc 4 zcze lepe przblż zleżość QH ż zsosow Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

79 78 4 Meod poszuw esremum fuc ede zmee w rozdzle fuc 5 lub cze fuc 4 z prmerem γ Wrość fuc celu dl γ 6 cm wos o podczs gd e wrość dl γ es rów 5 rs 4 44 Meod złoego podzłu Rozprzm odce o długośc b pozo rs 45 Rs 45 Podzł odc o długośc b dwe częśc z worzsem złoe lczb Przmue sę że odce e dzelo es dwe częśc zgode z zsdą złoego podzłu eśl speło es sępuąc relc: b 44 b Wprowdzee owe zmee b τ 45 umożlw zpse rów 44 w sępuące posc lub rówowże Wróż ego rów es rów τ 46 τ τ τ co ozcz że m oo dw perws ± 5 τ 48 Z defc 45 w że τ mus bć lczbą dodą zem leż wbrć lo dod perwse 5 τ Odwroość orzme lczb b 68 Φ 4 τ 68 zw sę złoą lczbą Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

80 44 Meod złoego podzłu 79 Hsor złoe lczb es brdzo dług o że pocodz ze Sroże Grec Je defc wąże sę z zw złom prosoąem w órm sosue rószego bou do dłuższego es rów b 68 rs 46 Rs 46 Zło prosoą w órm b 68 Zleżość es powszece sosow w rceurze o wrżąc pożąde proporce pomędz wmrm brł budu Zsdę złoego podzłu moż zsosowć w procese poszuw esremum fuc f Złóżm że w przedzle b e wrość es z w dwóc wbrc puc orz Pu e leż wbrć b bł spełoe sępuące wru: < orz gdze τ 68 b b b b b τ τ b 4 b f Rs 47 Podzł przedzłu b z zsosowem złoego podzłu sępe przedzł es reduow zgode z zsdm podm w poprzede meodze podzłu rówe częśc Proces oblczeow według meod złoego podzłu przebeg sępuąco: Icc meod Z zleżośc 4 b b τ τ b b 4 4 Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

81 8 4 Meod poszuw esremum fuc ede zmee orzmue sę odpowedo Reduc długośc przedzłu Jeśl f > f o W przpdu przecwm b b τ b 44 τ b 45 b ; τ b ; τ b b b Wrue zończe procesu ercego Jeśl b ε 48 o proces oblczeń es ończo eśl e leż powrócć do puu Przłd 4 Rozprzm problem budow łu o długośc L przerou rpezowm poz rs 4 w órm ężee przepłwu powo wosć Q Wru gruowe w mescu wo łu pozwlą prząć clee ego srp rówe : m Rs 4 Przeró poprzecz proeowego łu łow osz wo łu es sumą oszu wo wopu orz umoce uszczele ego d srp Pomąc szczegół zwąze z proeowem łów przmm że łącz osz ego budow wese: K A L p L 4 gdze: L długość łu A pole przerou czego łu p obwód zwlżo przerou Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

82 44 Meod złoego podzłu 8 osz wop m beżącego łu osz wo umoce łu długośc m Dzeląc obusroe rówe 4 przez długość łu L orzmm łącz osz wo mb łu : K A p 4 L Zde poleg m b ząc sępuące de: ężee przepłwu Q spde d łu s współcz szorsośc wg Mg poclee srp łu m edosow ce wo wopu edosow ce umoce łu dobrć ą szeroość d łu B prz óre cłow osz wo łu będze mml Zem rozwąze sprowdz sę do zleze esremum mmum zleże od szeroośc d łu B fuc celu zdefowe wzorem 4: B A p m 4 Do rozwąz leż zsosowć opsą wcześe meodę złoego podzłu Kluczową wesą es u oblczee wrośc fuc B W m celu leż worzsć dobrze ze rówe przepłwu usloego edosego Przepłw uslo edos w le owrm opsue rówe Mg: / / Q R s A 44 gdze R es promeem drulczm zdefowm wzorem A R 45 p Pole powerzc przerou czego łu rpezowego A ego obwód zwlżo p oblcz sę sosowm uż formułm: p B m A B m Wrośc fuc celu B lczm sępuąco: Przmuem wrość szeroośc d łu B Oblczm głęboość ormlą w le rozwązuąc rówe Mg 44 względem czl poszuuem perws rów: / / f Q R s A 48 Poewż rówe o es elowe do ego rozwąz sosuem edą ze zc meod przblżoc meodę bsec seczc ewo p Oblczm prmer przerou rpezowego czl pole powerzc przerou obwód zwlżo według wzorów Oblczm wrość fuc celu 4 Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

83 8 4 Meod poszuw esremum fuc ede zmee Proces poszuw esremum mmum polecoą meodą złoego podzłu przebeg zgode z podm wcześe e lgormem o zcz perw oreśl sę przedzł w órm fuc B m esremum mmum sępe z przęą dołdoścą ε oblcz sę ego przblżoe położee Dl sępuącego rbrle przęego zeswu dc: Q 5 m /s s 6 5 m zł/m /m przerou zł/m/m fuc celu B m szł przedswo rs 4 Jedocześe swerdzoo że esremum fuc zdue sę w przedzle 7 m Rs 4 Wres fuc celu B Dl złożoe dołdośc rozwąz ε m po 4 ercc orzmo opmlą szeroość d łu B m óre odpowd głęboość orml 45 m Prz e szeroośc osz wo mer beżącego łu wos m 77 zł 45 Meod worzsuąc cąg lczb Fboccego Spośród wszsc meod podzłu meod worzsuąc cąg lczb Fboccego wmg mesze lczb erc ąg Fboccego es defow sępuąco: F F F 49 dl 4 prz czm F F Kolem wrzm cągu są sępuące lczb: 5 8 Szereg 49 zpropoowł mem włos Fbocc żąc w Pzze w lc 8 5 Jego zwso es dobrze ze w sor u poewż o o zcowł wprowdzee cfr rbsc do Europ Wzór 49 es rezulem bdń e prowdzł Fbocc d populcą rólów Fbocc lzowł sępuąc problem: pr rólów żącc łące żdego mesąc wde św dwóę poomsw smc smcę Urodzoe ról e gą róweż żdego mesąc rodzą prę rólów smc smcę Fbocc poszuwł Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

84 45 Meod worzsuąc cąg lczb Fboccego 8 odpowedz sępuące pe: le pr rólów będze żło łące po upłwe edego rou? ąg Fboccego m brdzo eresuącą włścwość W mrę wzrosu lczb ego wrzów sosue dwóc olec wrzów zmerz do wrośc odpowdące poprzedo zdefowe złoe lczb Ф z: F F przłd dl 6 orzmue sę Φ F F 6 5 dl 68 Proces oblczeń przebeg sępuąco: Icc meod Proces rozpocz sę od oblcze sępuące wrośc 4 b c 4 ε gdze ε ozcz złożoą dołdość rozwąz sępe poszuue sę e wrośc dl óre zcodz relc F < c F 4 Reduc długośc beżącego przedzłu W olec ercc w ule rozprwm przedzle wbere są dw pu o sępuącc współrzędc: b F 4 F b F 44 F owe grce przedzłu zwerącego esremum są oblcze lerwe: Jeśl f f o lew brzeg przedzłu e uleg zme czl oms prw b Jeśl f > f o lew brzeg es przesuw oms prw e b b Zbeżość procesu ercego Po wou erc począow długość przedzłu zose zreduow do wrośc: F F F b b ε b L 45 F F F F Wro dodć że w rce procesu ercego wrość fuc rerle f es oblcz rz Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

85 84 4 Meod poszuw esremum fuc ede zmee Przłd 44 Złóżm że przed puem zrzuu śceów wod płąc w rzece es sco leem zś poże ego puu sąpło dobre wmesze śceów z wodą W e suc ocercę leu rozpuszczoego w rzece poże zrzuu śceów oreśl rówe Sreeer Pelps zpse w sępuące posc Adms : τ τ e e b L b τ s 44 gdze: ocerc leu rozpuszczoego w wodze [mg/l] s ocerc leu rozpuszczoego w se sce [mg/l] L bocemcze zporzebowe leu w puce wmesz śceów [mg/l] b sł szbośc usuw BZT [ - ] sł reerc powerz [ - ] τ czs przemeszcz sę zeczszczeń w ceu [] Rozprw fuc posd esremum mmum Jego położe oreśl przeró rze w órm mogą wsąpć rcze wru leowe dl orgzmów zwerzęcc Meodą Fbocc ego leż oreślć rcz czs wsąpe mmum ocerc leu esremum mmum fuc τ ego wrość orz odpowdące mu położee mmum wzdłuż os rze Temperur wod w rzece wos 5 zś śred prędość e przepłwu es rów V 5 m/s 87 m/ Oblcze leż woć dl sępuącc dc: s 8 mg O /l b 6 /d 6 /d L 5 mg O /l b Rs 44 Wres ocerc leu τ Opmlzc z worzsem cągu lczb Fbocc ego wmgł wo erc dl przęe dołdośc rozwąz ε Oblczo rcz ocerc leu rozpuszczoego w wodze o wrośc r 6 mg/l wsąp po czse τ r 58 w przerou rze położom w odległośc od puu zrzuu śceów r V τ r m Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

86 łowe umercze 5 ł ozczoe w żer wode W rce rozwązw welu zgdeń z zresu żer wode pow sę porzeb umerczego oblcze wrośc cł ozczoe Poże przedswoo l przłdów wsępow cłe ozczoc Alzuąc róże przpd przepłwu wod drolodz operuą zw rzwm sumowm Krzw sumow o fuc czsu zdefow o cł ozczo z welośc podlegące sumowu Wrość cł oreśl łączą lość de welośc ór wsąpł od umowe przęego czsu począowego Do częśce sosowc w proeowu drologczm rzwc ego pu leżą: rzw sumow przepłwu V Q τ dτ gdze: V obęość wod przepłęł przez wbr przeró rze w przedzle czsowm umowe przę czs począow czs Q ężee przepłwu τ zme cłow; rzw sumow flrc F f τ dτ gdze: F obęość wod w przez powerzcę ereu do gruu w przedzle czsowm umowe przę czs począow czs f ężee flrc τ zme cłow; rzw sumow opdów mosferczc S P τ dτ gdze: S obęość wod spdł powerzcę ereu w przedzle czsowm umowe przę czs począow czs Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

87 86 5 łowe umercze P ężee opdów τ zme cłow J moż zuwżć wzczee żde z wmeoc rzwc sumowc wmg umerczego oblcz wrośc cł ozczoe Jedm z wżeszc prmerów crerzuącc ce wod w wbrm mescu es pole przerou czego Dl ceów urlc formc o przeroc dosrczą pomr polowe W osewec przeró poprzecz ceu es zdefow w sposób dsre z pomocą zboru puów órc współrzęde zosł pomerzoe rs 5 B m b H H pozom porówwcz Rs 5 Przeró poprzecz łu urlego Jeśl dl dowolego pełe łu su wod es wmg zomość odpowdącego mu pol powerzc przerou o ego wrość orzmue sę po oblczeu sępuące cł: A B Hdb b 54 Tą smą cłę leż polczć eśl ccem wzczć średą głęboość wod w lzowm przerou ceu B A Hs Hdb b B B 55 B b A Hb H s H Rs 5 Śred głęboość w przerou ceu urlego Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

88 5 ł ozczoe w żer wode 87 W welu zgdec drul łów wsępue porzeb uśrede de fuc w przerou poprzeczm łu lub w wbrm poe pomrowm od d łu do zwercdł wod Problem e docz uśred c welośc prędość przepłwu emperur wod lub ocerc domesz rozpuszczoe w wodze Uśredee w poe wmeoc welośc woue sę z pomocą sępuącc formuł: U u z dz T τ z dz c z dz 56bc Z Z Z gdze: Z wzesee d łu pod przę pozom porówwcz wzesee zwercdł wod w le pod przę pozom porówwcz U uśredo w poe prędość przepłwu uz T uśredo w poe emperur wod τz uśredo w poe ocerc cz z zme cłow Poewż fuce podcłowe uz τz orz cz orzmwe są poprzez pomr zem są oe przedswoe w posc dsree co wmg umerczego oblcz cłe Kole przłd docz gospodr wode Wżą formcą dl użowów zborów reecc worzswc dl celów ocro przed powodzą es obęość progozowe fl wezbrowe Oblczm ą podswe obserwowego lub progozowego ęże przepłwu w rozprwm przerou rze: T W Q d 57 gdze: W obęość fl wezbrowe czs Q ężee przepłwu T czs rw wezbr Idecze cł oblcze są w począowm ońcowm przerou rozprwego odc rze w rce blsow ms lub obęośc wod Wro dodć że wele zc formuł umerczego rozwązw rówń różczowc zwczc szeroo sosowc w drulce moż wprowdzć sosuąc meod umerczego cłow Ab róo wść ę wesę rozprzm problem rozwąz zgde począowego sępuącego rów różczowego zwczego: d d f 58 Złóżm że w puce wrość fuc es z: szm celem es zleze przblżoe wrośc fuc w sępm puce o zcz ozczoe smbolem W m celu cłuem rówe 58: orzmuąc d f d 59 Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

89 88 5 łowe umercze f d 5 Zleże od zsosowe formuł przblżące wrość cł ozczoe w rówu 5 orzmue sę odpowedą meodę umerczego rozwązw rów różczowego zwczego 58 Problem e zose omówo brdze szczegółowo w rozdzle 6 5 umercze oblcze wrośc poedczc cłe ozczoc Przedswoe w poprzedm podrozdzle cł ozczoe łącz wspól cec Ic wrośc dołdc e moż oblczć W zwązu z m będzem poszuwl c przblżoc wrośc Zem będzem mel fucę ede zmee f zdą w przedzle b elem posępow es oblczee przblżoe wrośc cł fuc f w m przedzle b I f d 5 W m celu rozprw przedzł dzelo es podprzedzł o długośc z pomocą zboru puów leżącc wewąrz b : < < < < < < b gdze b 5 es lczbą podprzedzłów łę 5 moż przepsć w rówowże posc: I b f d I f d 5 Przedmoem przblżoc oblczeń es cł I : I f d 54 Isee szereg dobrze zc meod umerczego oblcz cłe ozczoc zw wdrur róże werse meod prosoąów meod rpezow meod Smpso e Wszse wmeoe meod moż wprowdzć sosuąc edole podeśce w posc formuł ewo-oes Ogól de ego podeśc poleg prosmc fuc f w przedzle b welomem erpolcm Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

90 5 umercze oblcze wrośc poedczc cłe ozczoc Wdzł Iżer Lądowe Środows PG 89 b m b d F d f I 55 gdze F m es welomem sop m m m m m m F L 56 Zleże od przęego sop welomu m orzmue sę róże p oseczc formuł Rozprzm eóre z c Welom sop m : F Welom e przmue słą wrość w cłm rozprwm przedzle Zleże od złożoe ego wrośc w podprzedzle - orzmue sę rodzę formuł zlczc do meod prosoąów Są oe sępuące: wers : przmuąc F f orzmue sę f d f d F I 57 w osewec rs 5 b f I d f I 58 Rs 5 Meod prosoąów wers wers b: przmuąc F f orzmue sę f d f d F I 59 w osewec rs 54

91 5 łowe umercze Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode 9 b f I d f I 5 Rs 54 Meod prosoąów wers b wers c: przmuąc F f / orzmue sę f d f d F I / / 5 w osewec rsue 55 b f I d f I / 5 Rs 55 Meod prosoąów wers c Wsępuąc we wzorc 5 5 zme f / ozcz wrość fuc f w środu przedzłu

92 5 umercze oblcze wrośc poedczc cłe ozczoc Wdzł Iżer Lądowe Środows PG 9 Welom sop m : F Welom e zme sę lowo W podprzedzle zdefow es sępuąco: f f f f f f f f F 5 Zem f f f f f 54 b Przblżoą wrość cł d d F I 55 oblcz sę sępuąco: d 56 Podswee współczów orz do rów 56 prose przeszłce prowdzą do sępuące wrośc cł w podprzedzle f f d f I 57 f b - Rs 56 Ilusrc przblże cł meodą rpezów

93 9 5 łowe umercze Prz edosm podzle przedzłu b cos cłę I oblcz sę sępuąco: b f f f f I f d f f L f 58 oms prz podzle eedosm gd odległośc pomędz pum wewąrz przedzłu b są róże cł I es rów: I b f d f f 59 Jeśl codz o dołdość oblcze cł me dołde są dwe perwsze werse meod prosoąów orz b Ieresuące es porówe dołdośc meod rpezów orz meod prosoąów wers c Oszcow c błędów są sępuące pr le 6: dl meod rpezowe E b f ξ ; 5 dl meod prosoąów wers c E 4 gdze ξ b b f ξ 5 Zuwżm że e wr meod prosoąów zpew węszą dołdość ż meod rpezow J moż zuwżć błąd meod es zdeermow przez ro cłow Jeśl fucę podcłową opsue z formuł o błąd meod moż zmeszć zmesząc ro cłow Jedże brdzo częso e sposób zwęsze dołdośc e może bć sosow poewż cł mus bć lczo z zdm wącm z pomrów ereowc lub lbororc roem cłow Welom sop m : F Welom e prowdz do dobrze ze powszece sosowe meod Smpso J poprzedo przedzł b es edose dzelo cos podprzedzłów z pomocą węzłów włącząc sre węzł Oblczee cł 5 moż woć worzsuąc welom sop órm odce po odcu zsępuem fucę f rs 57 W m celu uwzględm podprzedzł o długośc czl dwuroe dłuższe ż sosowe w meodze prosoąów rpezów Zem mm węzł erpolc w órc ze są wrośc fuc f: f f f Worzsuąc powższe węzł moż sosruowć welom Lgrge sop m Ogól formuł welomu Lgrge w m przpdu przme sępuącą posć: Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

94 5 umercze oblcze wrośc poedczc cłe ozczoc Wdzł Iżer Lądowe Środows PG 9 f f f F 5 Rs 57 Ilusrc meod Smpso W podprzedzle cłę z powższego welomu oblczm sępuąco: 4 f f f d f f f d F 5 Przedswm powższą formułę w sposób podob do formuł poprzedo omwc: f f f f f f d F 5 J moż zuwżć w rzeczwsośc es o formuł zblżo do formuł meod prosoąów ł es rów loczow podsw prosoą o szeroośc orz ego wsoośc rówe pewe średe wżoe rs 58: 6 4 f f f

95 94 5 łowe umercze Rs 58 Ierprec meod Smpso Dl dowolego podprzedzłu formuł Smpso przmue posć: F d f 4 f f 5 oms dl cłego przedzłu cłow b orzmue sę b / I f d f 4 f f 54 Wzór 54 obowązue dl przse lczb podprzedzłów rs 59 Rs 59 łowe meodą Smpso w wpdu przse lczb podprzedzłów Jeżel lczb podprzedzłów es eprzs o w osm podprzedzle b b leż oblczć dodową cłę rs 5: Rs 5 umercze cłowe meodą Smpso prz eprzse lczbe podprzedzłów Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

96 5 umercze oblcze wrośc poedczc cłe ozczoc 95 b F d f 8 f 5 f 55 b Osecze w m wpdu przblżo wrość cł ozczoe I es rów: I / b f f d f d f 4 f b f f 8 f 5 f b b d 56 I wr meod Smpso moż orzmć eśl do erpolc zsosuem welom Lgrge sop m F Przłd 5 Worzsuąc pomr dromercze wbrego przerou poprzeczego ceu przedswoe rsuu 5 orz zeswoe w bel 5 oblczć pole przerou czego łu meodą rpezową J wdć przeró łu ops es z pomocą 9 puów Ic położee defuą współrzęde X H prz czm X es odległoścą od lewego brzegu zś H es głębooścą wod rs 5 Pomerzoe głęboośc wod w wbrc puc przerou poprzeczego ceu X [m] H [m] Tblc 5 W m wpdu cł 54 przblżo formułą meod rpezowe przme posć: A B H X dx X X H H 5 gdze: lczb pomerzoc puów X odcę puu H głęboość w puce Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

97 96 5 łowe umercze B szeroość ceu pozome zwercdł wod Rs 5 Scem pomerzoego przerou poprzeczego ceu Po podsweu dc do wzoru 5 orzmuem: A m umercze oblcze wrośc cłe podwóc ł podwóe wsępuą w drulce w drolog rówe częso omówoe w poprzedm podrozdzle cł poedcze Jo pow przłd rozprzm problem oreśle ęże przepłwu le owrm Z wąem łów lbororc ężee przepłwu w łc owrc oreślm meodą pośredą podswe pomerzoc prędośc przepłwu w wbrc puc ego przerou poprzeczego W m celu worzsuem ego defcę Przez obęoścowe ężee przepłwu w le rozume sę obęość wod ór przepłw w edosce czsu przez ego przeró poprzecz zoreow prosopdle do weor prędośc Moż węc psć: z gdze: Q ężee przepłwu u lol prędość przepłwu A pole powerzc przerou czego łu Q u da 57 A Ią pową sucą w óre pową sę cł podwóe es proces elmc edego z wmrów gd zgdee dwuwmrowe es reduowe do zgde edowmrowego W m przpdu zms eedosego rozłdu de welośc w przerou poprzeczm wprowdzm rozłd edos Ozcz o słą wrość de welośc w przerou poprzeczm W rce uśred leż przesrzegć sępuące ogóle zsd: cłow srumeń welośc przez przeró prz e rzeczwsm rozłdze mus bć rów srumeow wącemu z welośc uśredoe Zsosowe e zsd pozwl psć wrżee średą prędość przepłwu w przerou ceu: rs 5: Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

98 5 umercze oblcze wrośc cłe podwóc 97 gdze U es średą prędoścą przepłwu w przerou Q U u z da 58 A A Jeśl uśredoą prędość wprowdzm do rów eerg lub pędu płącego srume wod o odpowede blse wmeoc welośc będą złócoe Ab sorgowć wące z uśrede eścsłośc wprowdz sę współcz orece Są oe defowe sępuąco: A u da A A u da α β 59 b U A U A gdze α es współczem orguącm eergę eczą współcz orols lub de S Ve zś β es współczem orguącm pęd J moż zuwżć oblczee żdego z wmeoc współczów wmg oblcze cł podwóe Rs 5 Rozłd prędośc w przerou poprzeczm łu owrego Podobe cł podwóe muszą bć oblcze w rce uśred w poprzeczm przerou łu c welośc slrc ocerc rozpuszczoe w wodze domesz lub emperur wod c z da T τ z da 54 A A A gdze: śred ocerc rozpuszczoe domesz w przerou ceu cz ocerce pomerzo lole T śred emperur wod w przerou ceu τ z emperur wod pomerzo lole Rozprzm przepłw w le owrm Jego przeró m szł prosoą o wmrc B H rs 5 Złóżm że w przerou poprzeczm ze są prędośc przepłwu u z Zde poleg oblczeu ęże przepłwu W m celu worzsuem ego defcę wrżoą wzorem 57 Prędość przepłwu leż scłowć po powerzc prosoąego przerou czego przedswoego rsuu 5 A Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

99 98 5 łowe umercze Rs 5 Obszr cłow w rce oblcz ęże przepłwu w le prosoąm Dl prosoąego obszru cłow o wmrc B H moż psć: B H H B Q u z A u z dz d u z d d dz 54 A Koleość oblcz cłe poedczc e es so Obdwe cł mogą bć oblczoe meodm przblżom omówom wcześe W m celu rozprw obszr cłow es dzelo mesze podobszr ze słm roem przesrzem w eruu orz w eruu z ze słm roem rówm z W rezulce obszr cągł porw m omóre-podobszrów o wmrc z rsuu 5 ężee przepłwu w le oblcze es sępuąco: Q H B m m * u A 54 * z da u z d dz u z u A gdze: m des omór odeso do eruu des omór odeso do eruu z A pole powerzc omór * u prędość przepłwu reprezew dl omór Rs 5 Prosoą obszr cłow por przez m omóre o wmrc z Formuł 54 es wż prz edosm podzle przerou łu omór gd A cos Jed w prce pową sucą es pomr prędośc w puc rozłożoc w przerou łu w sposób erówomer Zem żdemu puow w órm pomerzoo prędość przepłwu przpsue sę omórę o e powerzc W e suc ężee przepłwu oblczm według eco zmodfowego wzoru: Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

100 5 umercze oblcze wrośc cłe podwóc 99 Q u A gdze: des puu w órm pomerzoo prędość cłow lczb puów pomrowc w rozprwm przerou łu u pomerzo prędość przepłwu w puce A pole powerzc omór przpse puow 54 Alogcze formuł sosuem prz uśredu ocerc domesz emperur wod podswe woc pomrów puowc Odpowede wzor mą sępuącą posć A c A T A τ A w órc cłowe pole powerzc przerou czego łu es rówe A A 546 W wmeoc wże przpdc uśred dołdość oblcze cł es zdeermow przez woe puowe pomr uśrede welośc Je zwęszee moż uzsć poprzez zwęszee lczb puów pomrowc w przerou łu Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

101 Rozwązwe rówń różczowc zwczc 6 Wprowdzee W welu dzedzc ec brdzo częs es suc gd fuc ede zmee opsuąc d proces wsępue w rówu pod zem pocode cąc oreślć ę fucę leż rówe scłowć Im słow de es rówe różczowe zwcze celem posępow es zlezee fuc spełące e W prce żerse brdzo częso rówe różczowe opsuące bd proces e de sę scłowć żdm ze zc sposobów cłow W e suc edm wścem es sorzse z meod przblżoego rozwązw rówń różczowc Sosuąc e orzmuem poszuwą fucę w posc dsree z w posc zboru lczb opsuącc e wrość w wbrc puc przedzłu cłow Przmm że de es rówe d f 6 d Jego rozwąze poleg zlezeu fuc ór w przedzle b speł e Jed od fuc wmg sę podo b spełł o pewe dodowe wru W zgdec ecczc przedmoem poszuw es zwsze ed fuc spełąc rówe różczowe Tmczsem wdomo że ogóle rozwąze rów 6 m posć fd 6 Isee węc esończee wele rozwązń różącc sę słą cąc orzmć edo oree rozwąze fucę łd sę oprócz wruu spełe rów 6 dodowe wru Iseą dwe możlwośc formułow problemu rozwąz różące sę sposobem formułow wruów dodowc Rozprzm e oleo De es rówe różczowe zwcze 6 f 6 leż zleźć fucę ór w przedzle b speł powższe rówe począu przedzłu przme zdą wrość 64 Zem spośród esończoe lczb rozwązń rów órm są rzwe różące sę słą cłow wberm lo ę ór przecodz przez pu począow o współrzędc T sformułowe zde rozwąz rów 6 zw sę zgd- Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

102 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc eem począowm rów różczowego zwczego Zgdee o m prwe zwsze rozwąze Wsrcz b fuc f bł cągł płszczźe orz ogrczo Zgdee począowe formułue sę że dl rówń różczowc zwczc wższc rzędów przłd dl rów drugego rzędu f 65 brzm oo sępuąco: leż zleźć fucę ór w przedzle b speł powższe rówe począu przedzłu zrówo fuc e perwsz pocod przme zde wrośc Ogóle moż powedzeć że w zgdeu począowm rów różczowego zwczego -ego rzędu leż zdć wruów z fucę e pocode do rzędu włącze Drug sposób formułow problemu rozwąz rówń różczowc zwczc docz rówń wższc rzędów lub ułdów rówń przłd dl rów II rzędu 45 brzm o sępuąco: leż zleźć fucę ór w przedzle b speł wmeoe rówe różczowe ońcc przedzłu przme zde wrośc: orz b b 68 Zem rozwąze mus prześć przez pu o współrzędc orz b b T sformułowe zgdee os zwę zgde brzegowego rów różczowego zwczego W przecweńswe do zgde począowego órego rozwąze see prwe zwsze zlezee fuc spełące rówe orz rzucoe wru obu brzegc przedzłu b może bć emożlwe W żer wode rów różczowe zwcze wsępuą w opse welu wpdów przepłwu wod prz czm formułowe są dl c zrówo zgde począowe brzegowe Szczególe częso wsępue problem począow ułdu rówń różczowc zwczc o ep rozwązw różczowc rówń cząsowc pu perbolczego prbolczego meodą elemeów sończoc 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc zwczc W zgdeu począowm rów różczowego pu 6 codz o oblczee dl w pewm przedzle b ego rozwąz óre przme w puce zdą wrość począową Złd sę prz m see edozczość ego rozwąz Sosowe w m celu meod umercze umożlwą oblczee przblże wrośc rozwąz dołdego w wbrc puc przedzłu b O wborze meod oblczeń decdue w główe merze lczb roów orz żąd dołdość rozwąz ec będze de rówe różczowe zwcze rzędu perwszego 6 d f 69 d Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

103 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc Przmue sę że fuc f es cągł w pewm obszrze D zwrm w płszczźe zmec rzeczwsc Podo złd sę że fuc f es ogrczo w m obszrze orz że speł wrue Lpscz Krupowcz 986; Legrs 974; Rlso 97 W obszrze m szum ego rozwąz rów 69 óre przedze przez d pu począow o współrzędc W m wpdu będzem oczwśce szuć rozwąz przblżoego z przblżeń wrośc rozwąz ścsłego w puc rs 6 Różc os zwę długośc rou cłow ozcz sę ą zwle smbolem b Rs 6 Fuc e umercze przblżee Węszość sosowc meod oper sę rówu powsącm z 69 przez ego scłowe Prowdz o do formuł órą moż zpsć sępuąco: d f d 6 f d 6 f d 6 łę po prwe sroe 6 zsępue sę wrżeem przblżącm W zleżośc od sposobu e oblcz orzmue sę odpowedego pu meodę przblżoego cłow rówń różczowc zwczc Sosowe meod rozwązw rówń różczowc dzel sę dwe zsdcze grup: meod edoroowe meod weloroowe Meodą edoroową zw sę ą meodę w óre przblżoą wrość fuc oblcz sę lo podswe wrośc z poprzedego rou czl Meodą weloroową es meod w óre do oblcze oecz es zomość co me dwóc wcześeszc wrośc czl l Meod rozwązw rówń różczowc zwczc mogą bć we eśl wrżee es w posc G l lub ewe eśl dą zleżość pu G l czl w posc rów elowego względem Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

104 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc 6 Meod we edoroowe Isee wele wc meod edoroowc rozwązw rówń różczowc zwczc Ic przegląd podą Rlso 97 Krupowcz 986 Dle omw sę lo eóre meod Rozwęce w szereg Tlor Jeśl z es pu leżąc do rzwe o współrzędc moż oblczć przblżoą wrość w puce worzsuąc rozwęce e fuc w szereg Tlor: p p K K 6 p! gdze: f f f f d Meod es rzdo sosow ze względu oeczość oblcz pocodc wższc rzędów Meod Euler łmc Meod poleg zsąpeu rzwe w przedzle e sczą w puce Orzmue sę węc 64 f Wdć że es o meod órą moż wprowdzć z poprzede pomąc w rozwęcu Tlor czło z wższm pocodm ż perwsz Ideczą zleżość orzmue sę gd w 6 zsąpm cłę polem prosoą rs 6 czl Rs 6 Zsąpee pol pod rzwą f polem prosoą meod Euler f 65 ϕ scz δm g ϕ f f Rs 6 Geomercz erprec meod Euler Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

105 4 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc Rs 64 Zleżość błędów od welośc rou cłow Ierprecę geomerczą e meod przedswoo rs 6 Krzwą zsępuem odcem prose ór es sczą do rzwe w puce Przblżee wrośc fuc oblcz sę dodąc do wrośc poprzede przros f Przblżee o es m lepsze m mesz es ro co lusrue rs 6 Zleżość błędu meod od welośc es fucą rosącą co scemcze przedswoo rs 64 ozcząc błąd przez δ m Jedże zmesze rou cłow powodue wzros lośc oblczeń zem wzros błędu wącego z zorągleń ozczoego przez δ z Gd es dosecze młe błąd zorągleń może przewżć dlsze zmesze może powodowć e poprwę pogorszee wu oblczeń gdż cłow błąd es sumą błędu meod błędu zorągleń W z ego że see pew opml wrość op dl óre cłow błąd es mml Powższe uwg o błędc odoszą sę do wszsc meod cłow clee f clee f / / Rs 65 Geomercz erprec ulepszoe meod Euler Meod Euler ulepszo W meodze e zsępue sę rzwą odcem prose ór es do e scz w połowe przedzłu zms w poprzede meodze w puce Do oblcze przblżoe wrośc w puce worzsue sę meodę Euler czl f 66 f / Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

106 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc 5 lub ozcząc cze f f 67 Z ole borąc pod uwgę wzór 6 łwo moż zuwżć że logczą formułę do 67 de o gd cłę zsąpm polem prosoą o wsoośc f co przedswoo rs 66 Rs 66 Oblcze cł w 4 w ulepszoe meodze Euler Meod Rugego-Ku Meod es lgebrczm uogóleem ulepszoe meod Euler Poleg o zlezeu wrże zgodego z rozwęcem w szereg Tlor ż do pewe poęg bez oblcz pocodc Przmuąc zgodość wrzów zwerącc ż do poęg p mm: gdze: f f μ λ f μ λ λ α α K α p p 68 μ λ λ K λ p f p p p p p p gdze α μ λ są współczm óre leż oreślć Sposób oreśle c współczów moż prześledzć przłdze w órm zosą uwzględoe wrz rozwęc do włącze czl dl p W m wpdu formuł 68 przmą posć: α α 69 prz czm: f f μ λ Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

107 6 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode Wswee do 69 wrże orz zsąpee wrże rozwęcem w szereg Tlor woół puu z zcowem pocodc I rzędu prowdz do formuł f f f f λ α μ α α α Po e uporządowu orzmuem ] [ f f f f f f f λ α μ α α α λ μ α α α 6 Z druge sro z rozwęc Tlor w wrżee ] [ f f f f 6 Porówuąc ze sobą 4 4 orzmue sę zleżośc λ α μ α α α 6bc z órc w że: μ λ μ μ α μ α 6bc Przmuąc μ / orzmuem α α Zleżość 69 przme węc posć 64 gdze: f f Są o formuł decze z 67 Z ole przmuąc w 6 μ orzmuem α / α / czl 65 gdze: f f Te wr meod Rugego-Ku zw sę róweż meodą Euler-uc W podob sposób uwzględąc olee wrz rozwęc Tlor moż uzsć szereg wrów e meod Legrs 974 I mm: uwzględąc

108 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc 7 gdze: f f f ; uwzględąc gdze: f f f f ; 4 uwzględąc gdze: f f 9 9 f 4 f f ; uwzględąc gdze: f f f f f Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

109 8 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc 4 6 f ; uwzględąc 8 gdze: f f 9 9 f f f f f f Meod we weloroowe łuąc rówe f orzmue sę zą uż zleżość 6 czl f d 6 Fuc zmee ezleże f ez es w przedzle le z es w puc Ozcz o że ze są wrośc f f f f Moż węc zsosowć welom erpolc Lgrge w celu przblże fuc f mędz węzłm Jeśl doo sę esrpolc fuc f e przedzł o orzmue sę prose wrżee pu F czl zw scem w Ogól posć formuł we es sępuąc Rlso 97: q p β f 6 Sosuąc welom erpolce Lgrge moż orzmć szereg wrów w zleżośc od wrośc p q W szczególm przpdu przmuąc p orzmuem grupę formuł pu Adms-Bsfor óre dl różc wrośc q mą posć: Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

110 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc 9 q f f 6 q f 6 f 5 f 6b q 55 f 59 f 7 f 9 f 6c 4 Sposób oblcze współczów formuł esrpolce przedsw sę dl q czl dl wpdu ed dooue sę erpolc z pomocą welomu Lgrge sop Welom e wdomo z podrozdzłu moż zpsć w posc P X L F 64 Przmuąc że węzłem począowm es pu o współrzędc orzmuem f f 65 f P łuąc e welom w przedzle mędz z w grcc od do poewż począe zosł sprowdzo do puu orzmue sę czl 5 9 d d d f 5 4 P d f f Osecze rówe 4 przme posć 5 f 6 f f 66 W podob sposób moż wprowdzć e formuł erpolce Przłd 6 Trsformc fl wezbrowe przez poedcz zbor Poedcz zbor o lowe crersce rsformue flę wezbrową zgode z rówem Szmewcz dq P Q 6 d K Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

111 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc gdze: P z fuc zleż od czsu reprezeuąc ężee dopłwu do zbor Q poszuw fuc czsu reprezeuąc ężee odpłwu ze zbor K sł reec leż wzczć fucę Q dl rozwązuąc powższe rówe meodą esrpolcą Adms 6b wedząc że: wrue począow m posć Q P ; 6 dopłw do zbor zme sę w czse zgode z rówem P P Pm ep Tm Tm gdze: P P m T m zde prmer; ro cłow wos lczb roów Zleco do rozwąz formuł Adms m posć Q Q 5Q 6Q Q 6 J wdć do rozpoczęc oblczeń wmg es zomość Q w puc Do wzcze c zsosuem meodę edoroową Euler ulepszoą órą zgode z 67 zpszem Q Q Q 5 Q 5 64 gdze: Q Q Meodę ę leż sosowć dl dwóc perwszc roów czl dl gdż Q ze es o wrue począow Algorm rozwąz opsego wcześe zgde moż przedswć w sępuące posc: podsw: Q P ; dl powórz operce: podsw oblcz Q według wzoru 64; dl 4 powórz operce: podsw oblcz Q według wzoru 6 Dzłe lgormu zlusrowo przłdem oblczeń Przęo że: ro cłow wos sł reec wos K prmer fuc P są rówe: P 5 m /s P m m /s m lczb roów cłow wos Oblczoą fucę Q przedswoo rs 6 órm dl porów zzczoo róweż fucę P Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

112 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc PQ [m /s] P Q [] Rs 6 Fuc Q orzm o w rsformc fuc P przez zbor 6 Meod ewe edoroowe Do e grup meod rozwąz rówń różczowc zwczc zlcz sę ewą meodę Euler orz ewą meodę rpezową Obdwe meod moż łwo wprowdzć worzsuąc ogól wzór 6 Meodę ewą Euler orzmuem o w przblże pol rpezu rzwolowego polem prosoą o wmrc f rs 47 czl f d f 67 Rs 67 Zsąpee pol pod rzwą f polem prosoą ew meod Euler Rówe 6 przme węc posć f 68 Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

113 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc Jeśl w rówu 6 cłę zsąpm polem rpezu prosolowego rs 68 o orzmm ewą meodę rpezową f d f f 69 f f 64 J wdzm formuł meod ewe Euler orz ewe meod rpezów prowdzą do lgebrczc rówń elowc Zem w żdm rou cłow poszuwą wrość orzmm rozwązuąc elowe rówe lgebrcze dowolą meodą opsą w rozdzle częśce sosow wr meod erc prose zw lgormem predor-oreor przedswoo w puce 64 Obdwe wmeoe meod leżą do częśce sosowc meod rozwązw ułdów rówń różczowc zwczc Rs 68 Zsąpee pol pod rzwą f polem rpezu ew meod rpezow Przłd 6 zs opróż zbor reecego Oblczć czs oecz do przgoow zbor reecego przęce fl wezbrowe o zcz czs w órm zwercdło wod w zboru H z począowego pozomu H p rs 6 obż sę do pozomu pożądego H Oblczee leż woć przmuąc sępuące złoże de: począow pozom wod w zboru wos H p 5 m pp zś pozom do órego leż obżć zwercdło wod wos H m pp; dopłw wod do zbor e zme sę w czse wos q m /s; Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

114 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc odpłw wod odbw sę przez upus de prz ego cłowm owrcu Jego powerzc wos A 5 m zś współcz wdu ϕ 65; pozom wod sowsu dolm es sł wos H d 5 m pp; powerzcę zbor pozome zwercdł wod będącą fucą pełe zbor FH defue bel 6 rs 6 q H p H Q H d pozom porówwcz Rs 6 Scem zbor reecego Zleżość powerzc zbor od ego pełe Tbel 6 H [m pp] F [m ] Dl pośredc wrośc H wrość FH oblcz sę erpoluąc lowo pomędz pum Zem FH zdefow es sępuąco: F H F dl H H F F F H H dl H < H < H H H F6 dl H H 6 H [m pm] F[ m ] Rs 6 Zleżość powerzc zbor od ego pełe Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

115 4 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc Dl zbor przedswoego rs 6 moż psć sępuące różczowe rówe reec: dh q Q 6 d F H w órm cwlow odpłw Q es fucą różc pozomów wod w zboru poże zpor: Q ϕ A g H H 6 d Do rozwąz zsosum ew scem Euler 68 ór m posć: H H H 64 gdze: des puu oblczeowego ro cłow w czse Podswąc przęe de zleżośc orzmuem: H H q ϕ A g H H d 65 F H Poewż zsosow scem cłow es ew orzme rówe es elowe Zsosum węc meodę erc prose Złóżm edocześe że perwsze przblżee oblczm wą meodą Euler 65: H H q ϕ A g H H d 66 F H T oblczo w orguem sosuąc 65 w posc: H H q ϕ A g H H d 67 F H gdze: des erc Proces ouuem do cwl gd różc wów w dwóc olec ercc speł wrue: H H ε 68 gdze: ε przę dołdość rozwąz Zem odpowedź pe o czs opróże zbor orzmuem rozwązuąc rówe różczowe zwcze 6 z wruem począowm: H H p 69 e eresue s posć fuc H lecz czs po órm zwercdło wod w zboru osąge wrość H Rówe różczowe leż węc cłowć z roem do cwl spełe wruu H H 6 Algorm oblczeń moż zpsć w sępuące ogóle posc: podsw H H p ; Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

116 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc 5 oblcz perwsze przblżee H według 66; oblcz sępe przblżee H według 67; 4 sprwdź wrue 68: eśl es speło: podsw: H H podsw przedź do puu 5 eśl e es speło: podsw: H H przedź do puu ; 5 sprwdź wrue 6; eśl e es speło: przedź do puu ; eśl es speło zończ oblcze poewż es poszuwm czsem po órm zwercdło wod osąge pozom H Oblcze woe według powższego lgormu dl przęc dc wzł że przgoowe zbor przęce fl wezbrowe wmg o 7 godz 6 mu W e uzso przmuąc dołdość rozwąz rów elowego ε 5 m Kro cłow zmeo w olec wrc zd w grcc od 8 s do 7 s Zm e e mł soego wpłwu w osecz Przłd 6 Oblczee rzwe spęrze Oblczee rzwe spęrze poleg wzczeu proflu zwercdł wod w le ór wwołue budowl pęrząc prz dm ężeu przepłwu rs 6 W m celu leż scłowć rówe różczowe zwcze opsuące ruc uslo wolozme w le z wruem począowm odpowdącm spęrzeu w przerou posdowe budowl W ułdze współrzędc rs 6 rówe o moż zpsć w sępuące posc Szmewcz : de S 6 d gdze: E cłow eerg meccz lczo względem przęego pozomu odese S spde l eerg Eergę mecczą E defue wrżee αq E ga 6 zś spde l eerg prz wrżeu oporów rucu przez rówe Mg oreśl wzór gdze: rzęd zwercdł wod w puce α współcz de S-Ve Q S 6 4 R A Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

117 6 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc Q g A R ężee przepłwu przspeszee grwce powerzc przerou czego łu promeń drulcz przerou czego współcz szorsośc łu wg Mg Q r s pozom odese r Rs 6 Profl zwercdł wod wwoł budowlą pęrzącą Rówe 6 rozwązuem ewą meodą rpezową 64 E E S S 64 gdze: des przerou oblczeowego ro cłow Podswąc do powższego wzoru wrże 6 6 orzmuem αq αq ga Q 4 R A ga A Q 4 R 65 Poewż w przerou budowl pęrzące o dese z es rzęd zwercdł wod p wąc z przęego pęrze p 66 o m smm w rówu 65 wszse zmee z desem są ze Rówe o es węc rówem z edą ewdomą reprezeuącą rzędą zwercdł wod w przerou odległm od zpor o Rówe es ed elowe gdż A A orz R R Rozwązuąc e edą z meod rozwązw rówń lgebrczc elowc orzmuem przblżoą wrość sępe decz o posępow powrzm dl sępego odc łu Oblcze prowdzm do mesc w órm speło es sępuąc wrue: r Y m 67 gdze: Y głęboość orml w le odpowdąc ężeu przepłwu Q Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

118 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc 7 Powższ wrue oreśl oec rzwe spęrze Oblczo profl zwercdł wod w le Tbel 6 Ides przerou m Rzęd d r [m pp] Rzęd zw wod [ m pp] Głęboość [m] Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

119 8 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc Ops lgorm rozwąz zsosowo do wzcze rzwe spęrze w le rpezowm o sępuącc prmerc: szeroość łu B 5 m clee srp łu M 5 spde d łu s 5 współcz szorsośc wg Mg głęboość orml Y 5 m ężee przepłwu Q m /s rzęd zwercdł wod po podpęrzeu w przerou budowl: p 85 m W oblczeń uzse prz rou cłow 5 m orz dołdośc rozwąz rów elowego 65 meodą seczc ε 5 przedswoo w bel 6 64 Meod ewe weloroowe Jeśl do erpolc fuc f w rówu 6 worzs zose róweż pu ez f orzmuem zleżość w posc rów elowego: G czl zw scem ew Dl grup orzmc w e sposób scemów ogól formuł m sępuącą posć Rlso 97: q p β f 64 Współcz β moż oblczć w wpdu scemów wc z pomocą welomów erpolcc Lgrge przmuąc odpowede wrośc prmerów p q Złdąc p orzmue sę formuł pu Adms-Moulo: ' ' ' q f f 64 q f 8 f 5 f 64b q f 5 f 9 f 9 f 64c 4 Sposób wprowdze powższc wzorów zlusruem prosszm wrem meod W celu wprowdze formuł 64 przez węzł orz prowdzm low welom erpolc Lgrge rs 69 ' Rs 69 Scem do wprowdze ewe formuł Adms-Moulo dl q Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

120 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc 9 Pocodą w węźle zm z poprzedego rou oblczeń lub z zdego wruu począowego oms e zm e w węźle Low welom m posć dl 64 Wprowdźm ow ułd współrzędc że X Wzór powższ zpszem sępuąco: X X dl X 644 Oblczm cłę z pocode X w przedzle Orzmm X dx X dx 645 Wswąc orzm w cłow do ogólego wzoru 6 orzmue sę rówe 646 czl poszuwą formułę 64 W podob sposób moż wprowdzć pozosłe formuł pu Adms-Moulo J w z rówń 64 w wpdu scemów ewc orzmue sę wrżee w posc rów elowego G órego rozwąze es brdze somplowe Do rozwązw ego pu rówń sosue sę zwle meodę predor-oreor Ide e meod es sępuąc: ząc wrośc w puc ż do -ego włącze oblcz sę perwsze przblżee w puce sosuąc scem w czl dooue sę predc q β f ; 647 ząc o przblżee dooue sę ore wu meodą erc prose czl f q f β f gdze f zś es desem erc β 648 Proces e prowdz sę do momeu uzs wsrcząco dołdego rozwąz Moż powedzeć że meod predor-oreor es prczą relzcą ewe meod weloroowe Meod weloroowe wmgą wcześesze zomośc pewe lczb puów Pu e moż oblczć sosuąc meod edoroowe Zuwżm ed że rówe 64 es decze z formułą ewe meod rpezowe 64 czl w zsdze es meodą edoroową Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

121 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode Z dośwdczeń w że scem we są me dołde od ewc edże e z ole wmgą dość dołdego oreśle począowe wrośc ewdome 65 Rozwązwe ułdów rówń różczowc zwczc Poze meod rozwązw zgde począowego rów różczowego moż uogólć przpde rówń Złóżm że ułd rówń rzędu perwszego sprowdzć moż do posc f d d f d d f d d K M K K 649 gdze: ozcz rozmr ułdu Powższ ułd w zpse weorowm przme posć F Y Y d d 65 gdze: Y weor o słdowc F fuc weorow o słdowc f f f Wru począowe oreśl weor Y o słdowc: Wszse poprzedo omówoe meod dą sę bez rudu uogólć ułd rówń czl przpde weorów fuc weorowc przłd wzor Rugego-Ku rzędu drugego dl ułdu rówń moż zpsć w posc weorowe sępuąco: K Y Y K Y F K Y F K 65 gdze: w v u f f f m l m l Y F K K f u v w l f u v w m f u v w m w l v u f

122 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc l f u v l w m m f u v l w m u u v v l w w m Alogcze moż przedswć w zpse weorowm żdą ą meodę rozwązw rówń różczowc zwczc W welu zgdec orzmue sę ułd rówń różczowc zwczc órc e wro sprowdzć do rozprwe wcześe posc 65 przłd rozwązuąc rów różczowe cząsowe meodą elemeów sończoc o czm będze mow w rozdzle 7 pom problem rozwąz ułdu rówń różczowc zwczc o posc: dy S AY 65 d gdze S es zwle mcerzą słą A es mcerzą zmeą zleżą od w zgdec elowc róweż od Y Dgolzc ego ułdu w celu sprowdze go do posc 65 es eopłcl Mcerze S A są zwle psmowe Ic eleme ezerowe zlolzowe są w ogrczoe odległośc od główe przeąe zś poz psmem wszse eleme są zerowe Do rozwązw ego pu rówń różczowc zwczc lepe es sosowć meod A-sble czl e meod órc obszrem bsolue sblośc es cł lew półpłszczz zespolo Re z < Dlqus Borc 98; Plczews 999 Ozue sę że spośród wszsc meod rozwązw ułdów rówń różczowc zwczc meodm A-sblm są lo e meod óre spełą sępuące wru Jowsc 98: są meodm ewm są rzędu e wższego ż Wru e spełą lo meod spośród meod lsczc mowce: meod ew Euler meod ew rpezów ew scem Adms-Moulo II rzędu Meod e opsć moż edą formułą wspólą Y Y θ Y θy 65 Dl θ es o scem Euler ew dl θ 5 es o ew scem rpezow W eórc przpdc dobre rezul uzsue sę prz θ / co odpowd zw scemow Gler Wzcząc z rów 65 weor pocodc orzmm Y S AY 654 Po wsweu ego wrże do rów meod 65 orzmue sę zleżość Y Y θ S A Y θs A Y Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

123 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc órą po przeszłceu uporządowu moż zpsć sępuąco: lub róce gdze: R S θa F S θ A Y S θa Y S θ A Y 655 R Y F 656 Osecze węc problem rozwąz ułdu rówń różczowc zwczc w posc 65 sprowdzo zosł do problemu rozwąz ułdu rówń lgebrczc Poszuw weor Y orzmuem rozwązuąc w żdm rou czsowm ułd 656 Ułd e es low eśl eleme mcerz A e zleżą od Y Jeśl A zleż od Y ułd es elow W m drugm przpdu leż zsosowć erce rozwąze ułdu rówń sosuąc p meodę ewo lbo meodę erc prose Jeśl mcerze S orz A są psmowe o mcerz R es róweż psmow 66 Rozwązwe rówń różczowc zwczc rzędu wższego ż ede De es rówe różczowe rzędu III d d d f 657 d d d leż zleźć fucę spełącą e orz zde wru począowe: dl : d d d d d d d d Rówe o moż zsąpć ułdem rówń w sposób sępuąc: czl: d d du d d u dv u v f u v 658bc d d d d d d d u 659 d du v 659b d dv f u v 659c d z wrum począowm: dl : u v Powższ o posępow m crer ogól gdż żde rówe -ego rzędu moż zsąpć ułdem rówń rzędu perwszego Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

124 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc Przłd 64 Rozwąze ułdu rówń różczowc zwczc opsuącc przepłw wod w szol omorze wrówwcze Przepłw euslo w szol omorze wrówwcze rs 64 opsue ułd rówń różczowc zwczc o posc zewerńs Urso 969: L dv g d F dz d Z KV V 64 F V Q 64 gdze: V prędość wod w szol [m/s] Z wzesee zwercdł wod w omorze pod przę pozom porówwcz [m] L długość szol [m] F s pole przerou poprzeczego szol [m ] F pole przerou poprzeczego omor [m ] g przspeszee grwce [m/s ] Q z fuc czsu reprezeuąc odpłw ze szol [m /s] K L /R 4/ współcz szorsośc szol wg Mg R promeń drulcz szol [m] s Z Z zbor Fs V F omor L szol Q Rs 64 Scem ssemu zbor-szol-omor wrówwcz Wru począowe dl ego ułdu mą posć: dl Q V F s Z KV V 64b Ułd e leż rozwązć meodą Rugego-Ku sosuąc formuł IV rzędu czl 67 łowe leż prowdzć do cwl zu osclc w omorze wrówwcze Ułd rówń moż przeszłcć do posc: dv g Z K V V F V Z 644 d L Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

125 4 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc dz d Fs V Q G V 645 F Zsosowe przęego wru meod Rugego-Ku dl ego ułdu rówń prowdz do formuł: F V Z 646 l l l G 646b V l FV Z 646c G V 646d l FV Z 646e G V 646f F V Z 646g 4 l l G V V V Z Z l l l l4 647b 6 Algorm oblczeń przedswć moż w sępuące posc: podsw oblcz począowe wrośc V orz Z według wzorów 64 b; oblcz współcz: l l l 4 l 4 relzuąc formuł 646 b c d e f g ; oblcz orz V Z według wzorów 647 b; 4 sprwdź wrue usle sę przepłwu w szol: V V ε eśl e es speło podsw przedź do puu ; eśl es speło zończ oblcze pmęąc że lczb puów cłow wos Dl zlusrow dzł lgormu woo oblcze w órc przęo że: ro cłow wos s dopuszczl zm prędośc wod w szol w rucu uslom ε długość szol wos L m średc szol wos D s 5 m średc omor wos D 9 m współcz szorsośc szol wg Mg wos sępue gwłowe zmęce dopłwu wod do urb z fuc Q m posć: Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

126 6 umercze rozwązwe zgdeń począowc rówń różczowc 5 Q Q dl dl > ; przepłw począow w szol wos Q 5 m /s zś Orzme w oblczeń przedswoo rs 64 orz w bel 64 Z [m] V [m/s] 4 4 Z V [s] Rs 64 Oblczoe fuce Z V W oblczeń omor wrówwcze Tbel 64 [s] Z [m] V [m/s] Q [m /s] [s] Z [m] V [m/s] Q [m /s] Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

127 6 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc 6 umercze rozwązwe zgdeń brzegowc ułdów rówń różczowc zwczc Jeśl wmgm b rozwązw ułd rówń różczowc zwczc spełł zde wru e lo w puce począowm przedzłu cłow b le że ego ońcu o sformułow problem es zgdeem brzegowm ułdu rówń różczowc zwczc W poprzedm przpdu wru zde począu przedzłu cłow zpewł edozcze rozwąze Orzmwo e przemerząc przedzł b z roem cłow oblcząc fuce w olec węzłc oms w m przpdu wru zde począu przedzłu e zpewą edozczego rozwąz problemu gdż przęe przpdowo pozosłe wru brzegu zwle e zpewą spełe wruów wmgc ońcu przedzłu cłow b Jes o zsdcz różc pomędz zgdeem począowm opsm w puce 65 zgdeem brzegowm W e suc leż oczewć że meod sosowe do rozwąz zgde brzegowego będą mł crer erc W osewec łd prc w przpdu zgde brzegowego es eporówwle węsz ż w przpdu zgde począowego Drug zsdcz różc pomędz zgdeem począowm brzegowm docz se rozwąz O le o perwsze prcze zwsze m rozwąze eśl lo speło es wrue Lpscz o rozwąze zgde brzegowego może e seć Soer Bulrsc 98 Sdrdowe sformułowe zgde brzegowego ułdu rówń różczowc zwczc o posc d g L 66 d gdze: brzm sępuąco: poszuuem rozwąz ułdu 66 w przedzle b ego b spełło oo wruów zdc w puce orz wruów zdc w puce b Zuwżm że zdefow problem może bć formułow róweż dl rówń różczowc zwczc rzędu wższego ż J bowem wdomo z puu 66 żde rówe rzędu moż zsąpć ułdem rówń rzędu perwszego Do rozwąz zgde brzegowego ułdu rówń różczowc zwczc sosue sę dwe ls meod Są o meod srzłu orz meod różcowe zwe eed relscm Press 99 Meod srzłu polegą przęcu wrośc wszsc zmec zleżc e lo zdc o wrue brzegow począu przedzłu cłow sępe clczm rozwązwu zgde począowego W rce rozwązw eze wrośc w puce począowm są modfowe b orzmć spełee wruu brzegowego zdego ońcu przedzłu cłow oms meod różcowe wmgą zsąpe rówń różczowc przblżącm e rówm lgebrczm Orzmue sę w e sposób ułd rówń lgebrczc ór leż domąć worzsuąc zde wru brzegowe sępe rozwązć go W rezulce orzmue sę wrośc fuc w węzłc oblczeowc przedzłu cłow óre edocześe spełą zde wru ego brzegc W drulce łów owrc formułowć moż zrówo zgde począowe zgde brzegowe rówń różczowc zwczc Rozwąze zgde począowego rów rucu usloego wolozmeego w wu órego orzmo zw rzwą spęrze w le wwołą budowlą pęrzącą przedswoo Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

128 6 umercze rozwązwe zgdeń brzegowc ułdów rówń 7 w przłdze 6 Dl ego smego rów moż sformułowć problem rozwąz ór d sę sprowdzć do sdrdowego zgde brzegowego Rozprzm rówe przepłwu usloego wolozmeego w le owrm zpse w sępuące posc Szmewcz d d Q Q α 4 ga 66 R A gdze: rzęd zwercdł wod lczo od przęego pozomu porówwczego Q ężee przepłwu A powerzc przerou czego łu R promeń drulcz przerou czego α współcz de S-Ve g przspeszee grwce współcz szorsośc wg Mg Złóżm że odcu łu o długośc L bez dopłwu boczego pue przepłw uslo eedos rs 6 Q L L Rs 6 Odce łu Złóżm róweż że w wu pomrów ze są: rzęd zwercdł wod począu odc rzęd zwercdł wod ońcu odc L L ężee przepłwu Q cos Przmm podo że współcz szorsośc wg Mg ór e zme sę długośc łu cos es ez Sformułum sępuąc brdzo prcz problem: wzczć położee zwercdł wod L óre ońcc odc łu przme zde wrośc orz L L że odpowdącą e suc wrość współcz szorsośc Zuwżm że sformułow problem es czm m zgdeem brzegowm sępuącego ułdu rówń różczowc zwczc: d d Q Q α 4 ga 66 R A d 66 d Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

129 8 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc Podobe zgdee moż sformułowć w suc gd z es współcz szorsośc oms eze es ężee przepłwu Q Rozwązuąc problem brzegow ułdu rówń d d Q Q α 4 ga 664 R A dq 665 d orzmuem profl zwercdł wod spełąc rzucoe wru ońcc odc łu orz ężee przepłwu Q Rozwąze ułdu meodą różcową orz meodą srzłu przedswoo odpowedo w przłdze 65 orz w przłdze 66 Przłd 65 Wzczee proflu zwercdł wod orz ęże przepłwu w le meodą różcową Przedzł cłow rówń L dzelm z pomocą węzłów odc o długośc Rówe 664 prosmuem ewą meodą rpezową 64 E E S S 65 Po zsąpeu eerg E orz spdu l eerg S wrżem 6 6 orzmue sę rówe lgebrcze Q Q Q ga ga α α R A 4 R 4 A Q 65 Podobe rów moż zpsć dl żdego przedzłu Orzmuem w e sposób ułd rówń W rówc c wsępue ewdomc Jes o rzędc zwercdł wod w węzłc orz ężee przepłwu Q Ułd zmm wprowdząc dw zde wru brzegc łu L Jes o ułd elowc rówń lgebrczc ór moż zpsć w sępuące posc: AX B 65 gdze: B L T weor prwc sro X Q T weor ewdomc T smbol rspozc Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

130 6 umercze rozwązwe zgdeń brzegowc ułdów rówń 9 Mcerz A es mcerzą rzdą o wmrze sruurze przedswoe rs 65 Je eleme są zdefowe sępuąco: 654b dl 654cd 4 R αq αq Q Q 4 ga ga A R A dl 654e Q Q α α Q ga ga 4 R A R elem uwzględe włścwego zu człou rc w rówu 65 wrżee Q zsąpoo wrżeem QQ Rozwąze ułdu 65 meodą ewo lub meodą erc prose es łopolwe gdż w welu przpdc proces erc es ezbeż Sueczą meodą rozwąz ego ułdu es sępuąc lgorm będąc modfcą meod erc prose w órm A * X B 655 * X X A A 656 gdze: es desem erc Q 4 A 654f Dl leż prząć A* AX Po przęcu perwszego przblże proces erc ouue sę do cwl gd olee przblżee speł sępuące wru dołdośc rozwąz X X ε dl H X X εq 657b gdze ε H ε Q ozczą dołdość oblcze odpowedo rzęde zwercdł wod orz ęże przepłwu Q Opsą wże meodę rozwąz zgde brzegowego zsosum do wzcze ułdu zwercdł wod ęże przepłwu w poeczm le Kł m długość L 4 m przeró rpezow o szeroośc d 5 m cleu srp : 5 spde d es zme wos s w perwsze połowe orz s 5 w druge Współcz szorsośc wg Mg wos Kł podzeloo 4 odców o słe długośc m Rzęde d rosą lowo od m począu łu do m w środu ego długośc sępe zmeszą sę do m ońcu łu Rs 65 Sruur mcerz A Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

131 6 Rozwązwe rówń różczowc zwczc W przerou górm przęo pozom wod m co odpowd głęboośc H m W przerou dolm przęo L m czl głęboość H L m W oblczeń przedswoo rs 65 Orzmemu proflow zwercdł wod odpowd ężee przepłwu Q 668 m /s [m pp] 4 5 [m] Rs 65 Ułd zwercdł wod w le o zmem spdu d Perwsze przblżee rzędc zwercdł wod orz ęże przepłwu przęo rbrle Mowce złożoo droscze pełee odc łu do rzęde m orz Q 5 m /s Rozwąze z dołdoścą ε H orz ε Q uzso po 5 ercc Ułd rówń lowc w żde erc rozwązwo meodą elmc Guss w wers uwzględące włącze ezerowe eleme mcerz A* Przłd 66 Wzczee proflu zwercdł wod orz wrośc współcz wg Mg meodą srzłu Rozwąze zgde brzegowego ułdu rówń moż orzmć rozwązuąc cąg zgdeń począowc o posc d E d S 66 E E 66 Problem e m edo rozwąze Poewż E E rozwąze o będze zleżło od wboru począowe wrośc współcz szorsośc Rozwązem zgde brzegowego będze rozwąze zgde począowego prz dobre wrośc b speło bł drug wrue brzegu L rs 66 Wprowdźm fucę EL E L 66 F EL E L 664 defuącą różcę pomędz oblczoą wroścą E w puce L dl dego zdm wruem brzegowm w m puce E L Rozwąze zgde brzegowego sprowdz sę w e suc do wzcze mesc zerowego powższe fuc Wr- Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

132 6 umercze rozwązwe zgdeń brzegowc ułdów rówń ość F moż oblczć dl dowole wrośc W m celu leż wzczć wrość rozwąz zgde począowego 664 w puce L EL Jeśl z es pr wrośc c że F F < 665 o perwse rów F moż oblczć edą spośród zc meod poszuw mesc zerowego fuc meod połowe seczc ewo d Proces erc ończ sę gd speło es wrue: gdze: ε dołdość oblcze rzęde zwercdł wod F ε 666 E E EL E ; E ; E ; F L Rs 66 Rozwąze zgde brzegowego o rozwąze cągu zgdeń począowc Posępuąc w ops wże sposób rozwążm sępuące zgdee: w le prosm o długośc L 9 8 m mącm przeró rpezow o szeroośc w de B 5 m cleu srp : 5 orz sł spde d s leż wzczć profl zwercdł wod orz współcz szorsośc według Mg eśl wdomo że ężee przepłwu wos Q m /s zś rzęde zwercdł wod ońcc łu są rówe 75 m pp orz L m pp Rzęde d łu zmeą sę lowo od wrośc m pp do 9 m pp Przęo sł przesrze ro cłow m Przedzł w órm es perwse rów 664 oreśloo blcuąc fucę F z erwłem 5 Rozwąze zd z dołdoścą ε orzmo uż po ercc Wlczo wrość współcz szorsośc wos zś oblczo profl zwercdł wod przedswoo rs 66 [m pp] [m] Rs 66 Ułd zwercdł wod w le oblcz meodą srzłu Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

133 Rów różczowe o pocodc cząsowc 7 Przłd rówń w żer wode Wele przpdów przepłwu wod wżc z żersego puu wdze opswc es z pomocą rówń różczowc cząsowc Rów e orzmuem gd w lzowm zwsu wsępue węce ż ed zme ezleż Jes o zem pow suc w żer wode gdż zws przepłwu są zwle zmee w przesrze w czse Rów różczowe o pocodc cząsowc są wem lolego sosow podswowc zsd zcow ms eerg pędu Z ego powodu lczb pów rówń lub c ułdów es ogrczo Podobe rów opsuą brdzo róże proces zws Ogóle zw sę e rówm fz memcze Jedm z soc dzłów żer wode es przepłw wod w ośrodu porowm zw zwle flrcą w gruce Rów opsuące ruc wod w gruce wprowdz sę z zsd zcow ms orz z zcow pędu ór w m przpdu sprowdz sę do zego rów Drc ego J wdomo rówe dwuwmrowe eusloe flrc może bć przedswoe w sępuące ogóle forme: A B B w 7 gdze: czs współrzęde przesrzee fuc reprezeuąc zw cśee pezomercze w czło źródłow A B współcz rów Zleże od zcze e przpszem prmerom A B w powższm rówu orzmć możem sępuące podswowe przpd Flrc obszrow ze swobodm zwercdłem wod rs 7 Przmuąc A μ B z orzmuem uogóloą posć rów Boussesq μ z z w 7 w órm: rzęd swobodego zwercdł wod gruowe z z rzęd spągu wrsw wodoośe współcz flrc Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode

134 7 Przłd rówń w żer wode μ μ odsączlość porowość efew w w zsle zewęrze ezleże od p flrc W rówu 7 współcz B prz pocodc II rzędu zleż od poszuwe fuc co omplue problem ego rozwąz Do celów prczc częso dooue sę lerzc przmuąc p z cos co prowdz do rów lowego órego rozwąze es zdecdowe łwesze w porówu z 7 Włścwe przęce słe wmg dobre zomośc modelowego zws euslo flrc obszrow pod cśeem rs 7 Przmuąc A s B T m orzmuem rówe opsuące eusloą flrcę wod w wrswe wodoośe pod cśeem s T T w 7 prz czm: rzęd l cśeń T T m przewodość wrsw rów loczow współcz flrc orz mąższośc wrsw wodoośe m s s współcz zsobośc sprężse w w zsle zewęrze wrsw wodoośe Rs 7 Flrc obszrow ze swobodm zwercdłem Rs 7 Flrc euslo pod cśeem Flrc uslo ze swobodą powerzcą Przmuąc / orz z cos orzmuem rówe F 74 w órm es cśeem pezomerczm zś F F w reprezeue zsle wód podzemc przez cz zewęrze J wdzm e przpde flrc opsue dobrze ze rówe Posso Wdzł Iżer Lądowe Środows PG

135 4 7 Rów różczowe o pocodc cząsowc Flrc uslo pod cśeem rs 7 Przmuąc B m cos w orzmuem dobrze ze rówe Lplce 75 w órm es zw cśeem pezomerczm Powższe rówe opsue lscze zgdee budowcw wodego m es flrc pod budowlą pęrzącą w edorode wrswe gruu rs 7 Rs 7 Uslo flrc pod cśeem W eórc succ moż prząć że prmer rucu wod są decze we wszsc płszczzc poowc rówoległc do Ozcz o że lzow przepłw wod es zgdeem edowmrowm Jego rówe ogóle orzmue sę zedbuąc w 7 czło reprezeuąc zmeość fuc w eruu Podswowe przpd flrc edowmrowe orzmue sę z rów ogólego w sposób logcz do przedswoego dl flrc dwuwmrowe euslo flrc w przpdu edowmrowm Przmm w rówu 7 że prmer rucu e zleżą od Wówczs rówe o możem zpsć w sępuące posc: gdze: D z μ es współczem dfuz w D 76 μ Rówe o es dobrze zm edowmrowm rówem dfuz Może oo opswć p przepłw wod w obszrze mędz dwom begącm rówolegle w eruu os łm w órc pozom wod zmeą sę w czse ezleże od sebe rs 74 Romuld Szmewcz Meod umercze w żer wode