Układ Liniowych Równań Algebraicznych

Transkrypt

1 chł Pzowsk Isttut echoog Iformcch w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe Potechk Krkowsk Ukł owch Rówń gebrczch Z owm ukłem rówń gebrczch mm o cze w stuc, g wszstke zmee wstępuące w rówch ukłu wstępuą ee w perwsze potęze; moż go skrótowo zpsć prz pomoc stępuącego wzoru:,,,,..., m..., () w którm ozczoo opoweo: - eemet mcerz główe ukłu, - eemet wektor ewomch, - eemet wektor prwe stro. W zeżośc o proporc czb owo ezeżch rówń m o czb wstępuącch w ch zmech, możem meć o cze z trzem stucm:. m > - okreśo ukł rówń,. m - ozczo ukł rówń,. m < - eookreśo ukł rówń. W sze częśc tego rozzłu zmem sę przpkem rugm z wmeoch powże, cz ozczom ukłem rówń. D ukłu rówń owch, w którm czb zmech est rów czbe rówń m wruek owe ezeżośc est rówowż żąu b mcerz głów ukłu, o eemetch, mł wzczk róż o zer ( et( ) ). W tke stuc ukł rówń () m eo tko eo rozwąze. Poże omówm postwowe meto ego zow. eto te możem pozeć we ktegore:. meto emce, o którch zczm: metoę emc Guss, metoę rozkłu U, metoę Choeskego - Bchewcz;. meto terce, o którch eżą: meto Jcobego, meto Guss Se. Do zet meto emcch eżą męz m łtwość rozwązw ukłu rówń z weom prwm strom (stuc często wstępuąc w prktce), możwość preczego oszcow czsu obczeń postwe rozmru z cz wreszce gwrc uzsk wku po wkou możwe o okreśe z gór czb operc. Zetą meto tercch est prostot gortmu eweke zpotrzebowe pmęć opercą w trkce obczeń. Wszstke te meto zostą przestwoe poże w brze postwowe wers, pommo że kż z ch m wee wrtów ostosowch p. o szczegóch postc mcerz. eto emc Guss Z ukłu rówń (), któr w postc mcerzowe możem krótko zpsć ko: gze: D, ()

2 m chł Pzowsk Isttut echoog Iformcch w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe Potechk Krkowsk m m,, D. () uwzgęąc fkt, że m, tworzm tbcę (), którą stępe rówowże przeksztłcm tk, b oprowzć ą o postc trókąte góre (5). Opercę tę zwm krokem w przó. k k k k k, (). (5) Przeksztłce prowzm korzstąc z fktu, że: przestwee wóch wersz, przemożee wszstkch eemetów wersz przez tę smą czbę, oe o eemetów eego wersz opoweo eemetów ego wersz, oe o eemetów eego wersz opoweo kombc owe eemetów ch wersz, przeksztłcą tbcę rówowże, cz w sposób e zmeąc rozwąz ukłu rówń. Obcze rozpoczm o perwsze koum tbc (). Nszm ceem est tke przeksztłcee wersz te tbc o umerch,..., m, b w perwsze koume powło sę w ch zero. W tm ceu kżego wersz wzczm możk m stępe możm przez te możk eemet perwszego wersz oem o opowech eemetów wersz. Nstępe opercę tę powtrzm ruge koum, rozpocząc przeksztłce o wersz trzecego kotuuem koech koum z kżm rzem rozpocząc przeksztłce o wersz o umerze, ż ozem o koum wersz m. Ogóe wzor, pozwące wzczć owe, zmeoe wrtośc eemetów tbc () po wemowu eemetu w koume (ptrz wzór ()) mą postć: m,,..., k k m k,,...,. () m k,,...,

3 chł Pzowsk Isttut echoog Iformcch w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe Potechk Krkowsk N koem etpe obczeń, zwm krokem wstecz, okouem bo emc eemetów tbc powże przekąte główe, bo, korzstąc ze wzorów (7), wzczm wrtośc wszstkch skłowch wektor w koeośc o o :,,,...,. (7) D epszego przestwe opsego powże sposobu postępow rozwążem metoą emc Guss ukł trzech owch rówń gebrczch przestwo poże (8).. (8) Obcze w kroku w przó rozpoczm o utworze z tego ukłu rówń przez ołączee wektor wrzów woch o mcerz współczków stosowe tbc mące postć (9):,,,,,,,,, (9),,,, możk służące o wemow eemetów są rówe opoweo: m,5 () m,5 zpszem e prz opowech werszch tbc, pmętąc, że możm przez e eemet wersz perwszego oem e opoweo o eemetów wersz rugego trzecego:,,,,,,,,,5. (),,,,,5 W wku otrzmm rówowżą tbcę (), w które wszstke eemet perwsze koum poże przekąte główe są rówe :,,,,,,5,,. (),,5,, ogcze przeksztłcm koumę rugą, rozpocząc zł o eemetu. Stosow możk bęze rów:,5 m,, (),5 zpszem go poobe k poprzeo prz opowem werszu tbc, pmętąc róweż, że możm przez ego eemet wersz rugego oem e o eemetów wersz trzecego:,,,,,5,5,,,,,,,. ()

4 chł Pzowsk Isttut echoog Iformcch w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe Potechk Krkowsk w rezutce otrzmuąc rówowżą tbcę (5) sprowzoą o postc trókąte góre:,,,,,,5,,. (5),,,, Krok wstecz zrezuem wzcząc z koech rówń, począc o osttego, poszczegóe ewome,,, :,,,,5,,,,,,,,. () N zkończee zwróćm eszcze uwgę kk stuc szczegóch z km możem sę zetkąć stosuąc metoę emc Guss w obczech:. w trkce obczeń może sę zrzć, że przekąte główe tbc pow sę ( ); e moż wówczs wprost skorzstć ze wzoru () (zeee przez ), ek wstrcz zuwżć, że przeceż rozwąze ukłu owch rówń gebrczch e zeż o koeośc tch rówń, wobec tego wstrcz zmeć rówe z zerem przekąte główe z owom m rówem zuącm sę poże przekąte główe e posącm zer w koume, b móc kotuowć obcze;. gb ek okzło sę, że wszstke eemet w koume orz poże przekąte główe są rówe ozczłob to że mcerz głów ukłu rówń () est osobw, wobec tego te ukł rówń e m eozczego rozwąz;. w ceu poprw stbośc umercze meto eż stosowć proceurę zwą wmą wersz ewetue wmę koum; wm wersz poeg tm, że prze rozpoczęcem zerow eemetów tbc w e koume wszukuem wększ z ch co o moułu, tk zmem wersze b wprowzć go przekątą główą, sz proceur emc przebeg bez zm; wm koum przebeg ogcze, te, że w poszukwu wększego co o moułu eemetu przeszukuem wersz e koumę, estet uboczm skutkem wm koum est koeczość zpmętw sekwec wm (zm koum zme koeość skłowch w wektorze ewomch!);. obczee wzczk wścowe mcerz est trwe w przpku g zoste o sprowzo o postc trókąte góre (wosek z twerze o obczu wzczk przez rozwęce wzgęem wersz ub koum). eto rozkłu U eto t poeg zstąpeu eego ukłu owch rówń gebrczch o ewomch, opsego mcerzą pełą, wom ukłm rówń o te sme czbe ewomch, ecz opsm mcerzm trókątm górą U oą. Jk to uż zostło pokze powże (krok wstecz w metoze emc Guss) rozwąze ukłu rówń opsego mcerzą trókątą est łtwe, wstrcz tko zchowć opoweą koeość wzcz wrtośc ewomch. Postępowe rozpocz sę o wzcze mcerz U tkch, że: U, (7) gze mcerz est mcerzą główą ukłu (). Wówczs zchoz U D, (8) eże terz wprowzm ozczee

5 chł Pzowsk Isttut echoog Iformcch w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe Potechk Krkowsk U Y, (9) to zmst ukłu rówń () o ewomch otrzmm w ukł rówń () róweż o ewomch: U Y. () Y D Do wzcze eemetów mcerz U wkorzstm zeżość (7). Jest o źrółem ezeżch rówń. Poewż ek poszukwch ewomch est, to okłe z ch możem okreść rbtre. Wobec tego przmm, że współczk. Wówczs: uk k u k k,,...,,,..., k k u. () k k,,..., u Prz włścwe koeośc prowze obczeń (p. gortm Crout, w którm przemee wzczm wersz mcerz U koumę mcerz ) zwsze mm o cze z stucą w które z eego rów wzczm tko eą ewomą u k ub k. ok postępow prześeźm przkłze rozwąz ukłu rówń: 7 9. () 5 8 Wruek (7) moż w szm przpku przestwć ko: u u uu u u u 7 5, () co prowz o stępuącego zestwu rówń wzczee ewomch u k orz k : u u u u u u u u u u u u u u 7 u u u u u u, () 5

6 chł Pzowsk Isttut echoog Iformcch w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe Potechk Krkowsk cz osttecze ukł rówń () przmą postć: 8 9, (5) po wzczeu z koech rówń ewomch,,, orz,,, () zzem osttecze rozwąze probemu () w postc (7): 8 9. (7) Prz okz, korzstąc z twerzeń o wzczkch możem zuwżć, że: u U U U ) et( ) et( ) et( ) et( ) et(. (8) eto Choeskego eto Choeskego, poobe k meto rozkłu U poeg zstąpeu eego ukłu rówń o ewomch opsego mcerzą pełą wom ukłm rówń róweż o ewomch, e z to opsm mcerzm trókątm. Różc w stosuku o meto rozkłu U poeg tm, że w metoze Choeskego mcerz U est trspozcą mcerz. Z fktu tego wką pewe ogrcze postć mcerz, mowce mcerz t mus bć smetrcz ( ) orz oto okreśo ( > kżego tkego, że, przpek tk est ość częst w prktce, p. prz rozwązwu probemów żerskch etoą Eemetów Skończoch). Wówczs:, (9) e, przez ogę o (9) (): D, () orz: D Y Y. () ogcze o przpku rozkłu U, w ceu wzcze eemetów mcerz posłużm sę zeżoścą (9). Jest o źrółem rówń, z którch ee ) ( est ezeże prowz o poższch wzorów (). Gb w trkce obczeń we wzorze () po perwstkem powł sę czb uem, ozcz to, że wścow mcerz e est oto okreśo meto Choeskego stosowć e moż.

7 chł Pzowsk Isttut echoog Iformcch w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe Potechk Krkowsk 7,,...,,,..., k k k k k. () W ceu epszego zpoz sę z tokem postępow prz stosowu meto Choeskego, rozwążm prz e zstosowu stępuąc ukł rówń:. () Wruek (9) moż tu przestwć stępuąco:, () co prowz o stępuącego ukłu rówń wzczee ewomch :. (5) Osttecze ukł rówń () przmą w szm przpku postć:, () poobe k w metoze rozkłu U wzcząc z koech rówń perw ewome,,, stępe,,, zuem rozwąze probemu () w postc (7):

8 chł Pzowsk Isttut echoog Iformcch w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe Potechk Krkowsk. (7) Poobe k poprzeo, korzstąc z twerzeń o wzczkch, możem stwerzć, że: et( ) et( ) et( ) et( ) et( ). (8) eto terce Kż meto terc otcząc rozwąz probemu F ( ), o poprwego zefow wmg po wóch formc: po perwsze fukc terce, czsem zwe róweż schemtem tercm, po ruge wruku ub wruków zkończe obczeń. Fukc terc służ o wzcze koeego, epszego w sese pewch orm, przbże poszukwego rozwąz probemu postwe przbże poprzeego tomst wruk zkończe obczeń służą o stwerze, cz ostto zezoe przbżee est te obre, b obcze zkończć. O e fukc terc zeż ścśe o ks probemu meto ego rozwąz, o te wruk zkończe obczeń zwke eżą o wóch ktegor:. błą zbeżośc, rozum ko orz orm z zm rozwąz ostto wkom { } kroku tercm orm z beżącego rozwąz ozcz umer terc:, gze { } { } { } ε z ; (9). błą resuum, rozum ko orz orm z wrże F ( ) obczoe rozwąz be- : żącego { } rozwąz początkowego { } F F { } ( ) ε. () r ( ) D zge (), prz przęcu strowe orm eukesowe wruk (9) () przmą opoweo postć:. błą zbeżośc: { } ( ) ( ) ε z ; () 8

9 chł Pzowsk Isttut echoog Iformcch w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe Potechk Krkowsk 9. błą resuum: r ε. () bęą oe etcze zrówo meto Jcobego k meto Guss-Se. Istotm z puktu wze prktczego stosow meto terce est eszcze tk zw wruek zbeżośc, któr poe krter koecze ub wstrczące zbeżośc meto terce. I tk w przpku obwu rozwżch tu meto wstrczącm, ecz e koeczm wrukem zbeżośc est ścsłe zomowe przez goę (wruek () speło kżego ): >, () ub ot okreśoość mcerz. eto Jcobego Schemt terc meto Jcobego przestw sę stępuąco: { }. () Wruk zkończe obczeń () (). D epszego przestwe toku postępow prowzącego o uzsk wku zstosum metoę Jcobego o rozwąz z:. (5) W obczech przmm pukt strtow (). Jko krterum zkończe obczeń przmm wruek, ε ε ε r z. { },,,5 () Schemt terc meto Jcobego z (5) zgoe z () est zeżoścą (7): { } { } { } { } { } 7 7, (7) co prowz o stępuącch rezuttów:

10 chł Pzowsk Isttut echoog Iformcch w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe Potechk Krkowsk { },5,5,5,5,,,,5, (8),,,,7 { } { }, 59 { }, (9) { } D, 77 D, (5) { },5,5,5,,,,,57, (5),,,, { } { }, 9 { }, (5) { } D, 58 D, (5) osttecze po tercch: { },9989 { } { },57, { }, { } { } { },9995 { } { },, (5) { },75,9 < ε { }, (55) { } D ε D,97 <. (5) eto Guss-Se Schemt terc meto Guss-Se róż sę o schemtu tercego meto Jcobego tm, że owch wrtośc zmech zcz sę użwć tchmst k tko stą sę ostępe (począc o koeego rów) e opero w stępe terc: { }. (57) Wruk zkończe obczeń () () są tke sme k w metoze Jcobego. Poże rozwążem ze (5), () poowe, prz tch smch wrukch zkończe obczeń, tm rzem ek posługuąc sę metoą Guss-Se. Zgoe z (57) schemt terc wgą tu stępuąco:

11 { } { } { } chł Pzowsk Isttut echoog Iformcch w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe Potechk Krkowsk 7 { } { } { } co prowz o stępuącch rezuttów: { } { } 7 { } { }, (58),5,5,5,5,,,,5, (59),,,, { } { }, 7, () { } D, 5 D, () { },5,5,5,79,,,,, (),,,, { } { }, { }, () { } D, 9 D, () osttecze po 8 tercch: { 7},999 { 7} { 7},79, { 7},9 { 8} { 7} { },9 < ε 8 { 8},99958 { 8} { 8},8 (5) { 8},8, () { 8} D,5 < ε D. (7) Jk wć, w przpku rozwżego z meto Guss-Se okzł sę stote szbsz ż meto Jcobego (prz te sme okłośc obczeń zsk czbe terc est rów %, prz prktcze etczm czse wko ee terc kżą z meto). Stuc tk est zgo z oczekwm, poewż stosuąc kżm kroku tercm brze ktue formce o postc wektor ewomch (meto Guss-Se) eżło oczekwć przspesze obczeń.