Różniczkowanie numeryczne

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Różniczkowanie numeryczne"

Monika Zielińska
7 lat temu
Przeglądów:

1 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows Różczowe umercze Różczowem umerczm zwm wzcze przblżoc wrtośc pococ uc srete ee lub welu zmec w zc putc obszru. Opercę tą moż woć wuetpowo: wprowząc stosowe wzor różcowe pozwlące wrżee pożąe pocoe w oreślom puce obszru o ombc lowe wrtośc uc w putc sąsec węzłc (tzw. scemt różcowe) stosuąc wzczoe wzor różcowe o oblcz pococ w wbrc putc obszru. ostępowe te est wątowo sutecze eetwe w przpu g węzł są rozmeszczoe rówomere gż wówczs wstrcz eorote wprowzee scemtu różcowego żą ezbęą pocoą. eto geerc wzorów różcowc możem pozelć trz tegore: przez terpolcę eozczoc współczów ścsłe l welomów możlwe wższego stop poto w przpu geerow wzorów różcowc pocoe rzęu wższego ż perwsz możem zstosowć metoę sł opertorów pmętąc że rug poco to perwsz poco z perwsze pocoe z ole trzec poco to rug poco z perwsze pocoe lub perwsz poco z ruge pocoe t.:. () eto geerc wzorów różcowc przez terpolcę sprowz sę o utworze włścwego welomu terpolcego (ptrz rozzł pośwęco terpolc): stępe ego zróżczow stosową lczbę rz: " ϕ " " ϕ ϕ (). () Nleż tu zwrócć uwgę że prz tm trbe postępow różczue sę włącze uce bzowe tomst współcz terpolc e ulegą zme. eto eozczoc współczów bzue rozwęcu uc w szereg Tlor w otoczeu putu l tórego ostruow bęze wzór różcow zżąu poprwośc otworze wrtośc poszuwe pocoe o ombc lowe wrtośc uc w węzłc otczącc teże put.

2 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows Nprostsz ocepce est trzec meto sprowząc sę o egzewow wmogu b tworzo wzór różcow wł w ścsł l eomów możlwe wsoego stop. oże przestwm sposób geerc wzoru różcowego perwszą rugą pocoą prz zstosowu że z wmeoc powże meto. rzmem prz tm że węzł są rówomere rozmeszczoe w oległośc ee o rugego wzór różcow bęze wprowzo l węzł cetrlego w gweźze. eto przez terpolcę Rozwżm welom terpolc grge przecoząc przez trz węzł : () po ego zróżczowu otrzmuem: " (5) co w przpu węzłów rówooległc prowz o: ". (6) Zgoe z zleżoścą (6) wzór różcow rugą pocoą est etcz bez wzglęu położee putu w tórm tę pocoą ccem oblczć tomst wzór (6) prowz o obrze zc wzorów różcowc l putów lewego cetrlego prwego w scemce różcowm (gweźze):. (7) eto eozczoc współczów Sorzstm z rozwęc uc w szereg Tlor: O (8) tór pozwl wrzć wrtość uc w wbrm puce o ombcę lową wrtośc uc e olec pococ w m puce leżącm w ego sąseztwe. Dążm o wrże wrtośc pocoe w pożąm puce o ombc lowe wrtośc uc w węzłc otczącc czl w przpu śroowego węzł st trzec rówomer-

3 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows e rozmeszczoc węzłów (ozczoc opoweo esm ) wzorów różcowc perwszą rugą pocoą otrzmm:. (9) Rozwąc ucę w szereg Tlor w otoczeu węzł l żego z węzłów (czl we wzorze (8) przmuąc opoweo oleo poto uwzglęąc że ) orz oouąc obcęc rozwęc trzecm wrze szeregu otrzmuem l wzoru różcowego perwszą pocoą: () l wzoru różcowego rugą pocoą:. () o wou ow strom przegrupowu słów w sume po prwe stroe możem osttecze zpsć w przpu perwszm rugm:. () Żąąc b wrże stoące po lewe stroe wzorów (9) bł opoweo rówe wrżeom po prwe stroe wzorów () l owolc wrtośc uc e pococ otrzmuem w ewele uł lowc rówń lgebrczc wzczee ezc współczów wzorów różcowc: (). ()

4 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows eto wzorów ścsłc l welomu W metoze te żąm b wprowzo wzór różcow wł w ścsłe l eomów możlwe wższego stop począc o co prowz o ułu lowc rówń lgebrczc z tórego wzczm współcz opertor różcowego. Dl wzoru różcowego perwszą cz rugą pocoą zbuowego trzec węzłc (9) możem zżąć ścsłośc wów l welomów o stop rugego włącze co prowz opoweo o rówń: l wzoru perwszą pocoą : (5). (6) l wzoru rugą pocoą. Wzor (5) (6) zostł zpse w lolm ułze współrzęc zczepom w węźle cetrlm czl węźle l tórego wzcz est scemt różcow. W węźle tm żąm oleo b perwsz (5) rug (6) poco z: uc stłe bł rówe zero (rówe perwsze) uc lowe bł opoweo rówe ee zero uc wrtowe bł opoweo rówe zero w. erwsze trz olum we wzorc (5) (6) ozczą opoweo: stosow eom ego perwszą rugą pocoą tomst w czwrte olume po lewe stroe zu rówośc oblczoo wrtość wrże (9) l rozptrwe uc po prwe stroe umeszczoo wrtość pocoe w węźle cetrlm (wącą wprost z olum ruge lub trzece). Nleż tu zwrócć uwgę t że stee ścsł zleżość wążąc lczbę węzłów w scemce różcowm rzą wzcze pocoe. I t o sostruow scemtu różcowego perwszą pocoą potrzeb mmum rugą t. e porwącc sę węzłów czl ogóle wzór różcow pocoą rzęu mus zwerć co me węzłów w zu eowmrowm. Zstosowe lczb węzłów węsze o przestwoego mmum pozwl uzse wzorów różcowc wższe ołośc eże leż pmętć że lczb węzłów w gweźze e może bć przese uż ze wzglęu wstępowe eetu Rugego (ptrz rozzł o terpolc). mętć leż róweż o tm że ołość scemtu różcowego est wższ w poblżu śro cężośc zboru węzłów tórc est o tworzo est to ezleże o rzęu pocoe. Wrto róweż zwrócć uwgę t że wszste trz meto przestwoe powże w przpu tego smego rozmeszcze węzłów w scemce różcowm

5 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows 5 prowzą o etczc wrtośc współczów opertor różcowego. Ne est to w przpow gż łtwo zuwżć wszste meto mą swoe postw w terpolc welomowe. rzestwoe powże meto moż uogólć przpe owole lczb węzłów w scemce różcowm pocoe owolego rzęu co pożem poże przłze meto eozczoc współczów leż e pmętć o tm że ż ole poco est oblcz z węszm błęem. W celu wprowze wzorów ogólc w zu eowmrowm rozwżm zbór węzłów poumerowc z tórc węzeł est węzłem cetrlm. oszuuem współczów wzoru różcowego tą pocoą w tm węźle:. (7) ostępuąc poobe poprzeo czl rozwąc ucę w szereg Tlor (8) w otoczeu węzł l żego węzł sąsuącego uwzglęąc że: (8) otrzmuem:. (9) o wou ow strom przegrupowu słów w sume po prwe stroe zu rówośc moż zpsć: () co osttecze prowz o ułu lowc rówń lgebrczc opsego mcerzą Vermoe :

6 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows 6 () z tórego wzczm eze współcz:. () Dl przestwe zwązu pomęz lczbą węzłów gwz oległoścm pomęz m oścą uzsego umerczego oszcow wrtośc pocoe oom oblcze perwsze pocoe l srego prwego węzł regulre st węzłów użwąc oleo wzorów różcowc zbuowc o (mml możlw lczb węzłów ze wzglęu rzą pocoe) o 5 węzłów. Oblcze przeprowzm w puce l uc 5 tóre poco wzczo ltcze est rów 5 5 e wrtość l wos. Współcz opertor różcowego perwszą pocoą l poszczególc wzorów różcowc wzczm z ułu rówń () uwzglęąc w ego zpse lczbę węzłów gwz c wzglęą lolzcę orz położee węzł w tórm geerow est opertor. oże l przłu zpszem te uł rówń ego rozwąze w przpu brze złożom gwz pęcowęzłowe: () W uzse l tego pozostłc prostszc przpów zebro w tblc tór zwer współcz wzoru różcowego perwszą pocoą w srm prwm węźle st (ozczom o ) zbuowego pęcu węzłc. Tblc. Współcz wzoru różcowego Współcz zebre w tblc zostł worzste o oblcze przblżoe wrtośc perwsze pocoe uc 5 w puce.

7 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows Tblc. rzblżo wrtość perwsze pocoe uc 5 w puce. Oległość męz węzłm błą wzglę procetow pocoe b b b b b J w z tblc prz osttecze młc oległoścc pomęz węzłm zwęsze lczb węzłów w gweźze zecowe poprw ość uzsego oszcow e w przpu g oległośc pomęz węzłm są uże może zrzć sę stuc e oszcowe uzse prz zstosowu wzoru ższego rzęu bęze lepsze ż oszcowe uzse prz zstosowu wzoru zwerącego węce węzłów. Nestet e est możlwe sormułowe ogólego wzoru tę zleżość. Kż z meto przestwoc wże może bć róweż uogólo z wu tró wmrowe. Główą truoścą w tm przpu est zgwrtowe opoweego ( płszczźe bąź w przestrze) rozmeszcze węzłów zpewącego ostteczą stblość wprowzc wzorów. Oczwśce problem te e stee w przpu regulrc ste węzłów. oże l lustrc przestwm wprowzee wzoru różcowego opertor plce w zu wuwmrowm l regulre st węzłów. Zstosuem metoę eozczoc współczów. W zu wuwmrowm wzór Tlor przestw sę stępuąco: ( ) ( ) ( ) gze es ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ozczą umer wersz olum regulre prostoąte st węzłów przecęcu tórc zue sę rozptrw węzeł cetrl. oszuuem wzoru różcowego opertor plce czl: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). (5) Wobec tego zpsuem rozwęce uc w szereg Tlor w węźle cetrlm gwz czterec blższc mu węzłc sąsuącc optrzoc opoweo esm ( ) : ( ) ( ) orz () 7

8 cł zows Isttut Tecolog Iormcc w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe oltec Krows 8 K K K K. (6) We wzorc (6) uwzglęoo t że wbre współcz rozwęć zpsc w werszc są rówe zeru poewż lub. Dle poobe poprzeo oouem obcęc we wszstc rozwęcc po ruge pocoe oem poszczególe rów strom przegrupowuem prwą stroę uzsego w te sposób rów t b prze ws wcągąć ucę e poszczególe pocoe porówuem ą z prwą stroą rów (5) co po przęcu otowo (st regulr wrtow) prowz o: (7) osttecze ułu lowc rówń lgebrczc wzczee ewomc współczów gż żąm b prw lew stro rówośc (7) bł sobe rówe l owolc wrtośc uc e pococ wstępuącc w tm wzorze.. (8) Wzczm terz współcz tego smego opertor różcowego posługuąc sę metoą sł opertorów. W tm celu wstrcz zuwżć że opertor plce to sum rugc pococ w eruu węc o e oblcze wstrcz zstosowć wurote przł wprowzo powże () wzór różcow rugą pocoą w zu eowmrowm sumuąc współcz w porwącc sę węzłc. W rezultce l st regulre wrtowe otrzmm w etcz uzs powże (8) gż: (9) prz ozczec tc smc użte we wzorze (7) po zsumowu:. ()

Podobne dokumenty

Układ Liniowych Równań Algebraicznych

Układ Liniowych Równań Algebraicznych chł Pzowsk Isttut echoog Iformcch w Iżer ąowe Wzł Iżer ąowe Potechk Krkowsk Ukł owch Rówń gebrczch Z owm ukłem rówń gebrczch mm o cze w stuc, g wszstke zmee wstępuące w rówch ukłu wstępuą ee w perwsze