Termin nadsyłania rozwiązań upływa 31 stycznia 2004 r.

Transkrypt

1 Konkurs zdniowy Zdni konkursowe Jkie potęgi? Wyznczyć wszystkie liczby nturlne n tkie, że liczb n + 1 jest potęgą liczby nturlnej o wykłdniku większym od 1. Witold Bednrek (Łódź) Podzielność sumy. Niech S(n) ozncz sumę wszystkich dzielników liczby nturlnej n. Wyznczyć wszystkie liczby nturlne n, które są iloczynmi co njwyżej pięciu Sn (różnych) liczb pierwszych i tkie, że liczb jest cłkowit. n Witold Bednrek (Łódź) Średni potęg dzielników. Niech S m (n) i d(n) oznczją odpowiednio sumę m-tych potęg wszystkich dzielników liczby nturlnej n i liczbę tych dzielników. Wykzć, że Smn Ì dn nm Pweł Kubit (Krków) Początek ciągu. Ciąg ( 0, 1,,...) liczb rzeczywistych m nstępujące włsności: (1) i j = i+j + i-j dl liczb cłkowitych nieujemnych i orz j tkich, że i ³ j, () i = i+1 dl wszystkich liczb cłkowitych nieujemnych i, (3) 0 > 1 > > 0. Wyznczyć 0, 1 i. Zpożyczenie Jkie wielominy? Wyznczyć wszystkie wielominy W o współczynnikch zespolonych tkie, że dl wszystkich liczb zespolonych u i v zchodzi: jeśli u + v jest liczbą rzeczywistą, to W(u) + W(v) jest liczbą rzeczywistą. Werner Mnich (Opole) Termin ndsyłni rozwiązń upływ 31 styczni 004 r. Wyniki konkursu (zeszyt 5(97), 00) Do konkursu przystąpiło tym rzem 49 osób, które łącznie ndesłły 189 rozwiązń. Spośród nich odrzuciliśmy 13 rozwiązń, w czym główny udził mją błędy w zdniu Mksymlną liczbę 13 punktów z rozwiąznie wszystkich zdń zdobyli Wldemr Górski i Jerzy Witkowski. 4/003 MATEMATYKA 43

2 Po rz pierwszy w konkursie wzięli udził: Krzysztof Kmiński, Pweł Kliber, Krzysztof Płuch i Piotr Świnrski. Serdecznie witmy ich w nszym gronie i życzymy uzyskni tytułu luret konkursu. Zgodnie z trdycją wyniki konkursu przedstwimy według ustlonego schemtu: , , , , W kżdej z tych czwórek pierwsz liczb ozncz numer zdni, drug mksymlną liczbę punktów przyznwnych z rozwiąznie, trzeci liczbę rozwiązń co njmniej częściowo poprwnych, czwrt liczbę rozwiązń odrzuconych. Poprwne lub częściowo poprwne rozwiązni ndesłły nstępujące osoby (liczby w nwisch oznczją sumy punktów uzysknych w konkursie, poprzedzjące je liczby to osttnie cyfry numerów rozwiąznych zdń). Krystin Brtniczek, Würselen: 1,, 5, (53), Włodzimierz Bąk, Zbiersk: 1,, 3, 4, (154), Witold Bednrek, Łódź: 1,, 3, 5, (68), Włdysłw Biel, Mszn Doln:, 3, (86), Mri Binkowsk, Toruń: 1,, 3, 5, (133), Tdeusz Czepiel, Ktowice:, (133), Henryk Drzewiecki, Słwków: 1,, 3, 4, (173), Jcek Golusd, Kmień Pomorski: 1, 3, (10), Wldemr Górski, Olesno: 1,, 3, 4, 5, (6), Leszek Grznk, Chechło: 1,, 3, 4, 5, (153), Leo Hämmerling, Akwizgrn: 1, 3, (34), Zbigniew Jkubów, Niendow:, 3, 4, (54), Jerzy Kcierzyński, Żry: 1,, 3, 5, (37), Krzysztof Kmiński, Pbinice:, 3, (6), Zbigniew Krczmrczyk, Lublin: 1, 3, (141), Zbigniew Krno, Biłystok: 1,, 3, 4, (80), Pweł Kliber, Poznń: 1,, 3, 4, 5, (11), Jcek Klisowski, Lublin: 1,, 3, 4, 5, (47), Piotr Kmiecik, Jrosłw: 1,, 3, 5, (169), Henryk Korncki, Augustów: 1,, 3, 5, (11), Michł Kremzer, Gliwice: 1,, (39), Piotr Kryszkiewicz, Milicz: 5, (56), Leszek Krzywonos, Lublin: 1,, 3, 4, (19), Pweł Kubit, Krków: 1,, 3, 5, (9), Piotr Kumor, Olsztyn: 1,, 3, 4, 5, (47), Agt Lubieneck-Płzik, Snok: 1,, 3, (6), Stnisłw Łnowy, Gliwice: 1,, 3, 4, (108), Czesłw Młyńczk, Włcz:, (175), Pweł Njmn, Jworzno:, 3, (144), Jnusz Olszewski, Suwłki: 1,, 3, 4, 5, (107), Ryszrd Pgcz, Zwdzkie: 1,, 3, 4, 5, (193), Krzysztof Płuch, Lubin: 1,, 3, (3), Mciej Pnkowski, Rdom: 1, (60), Piotr Pwlikowski, Kluczbork:, (57), Pweł Piotrowski, Pbinice: 1,, 3, 4, 5, (48), Kzimierz Ponitowski, Jsło:, (90), Eugeniusz Potocki, Krpcz: 1,, 3, 4, 5, (15), Józef Rączk, Zmość: 1,, 3, 4, 5, (154), Ryszrd Rudnicki, Włocłwek: 1,, 3, 4, 5, (90), Jerzy Senet, Krków: 1,, 3, 4, 5, (79), Zbigniew Sklik, Pyskowice: 1,, 3, (13), Jerzy Śliwiński, Bełchtów: 1,, (91), Piotr Świnrski, Budy Kupientyńskie:, (1), Józef Tymicki, Lublin:, (31), Witold Urbńczyk, Brudzowice: 1, 3, (186), Szymon Wąsowicz, Jworze: 1,, 3, 5, (19), Michł Wenderlich, Bydgoszcz: 1,, 3, 4, 5, (77), Jerzy Witkowski, Rdlin: 1,, 3, 4, 5, (101). Rozwiązni zdń konkursowych Ciąg i potęgi. Niech liczby dodtnie, b, c, d tworzą rosnący ciąg rytmetyczny. Wykzć, że wtedy + d d > b b c. 44 Dw rozwiązni zostły odrzucone. W jednym z nich twierdzono fłszywie, że dl + r dodtnich liczb i r jest > 1 + r MATEMATYKA 4/003

3 W rozwiąznich stosowno głównie włsności funkcji wypukłych (nierówność Jensen) orz twierdzenie Lgrnge o wrtości średniej, Kol. Jerzy Kcierzyński podł brdzo interesujące rozwiąznie z pomocą cłki oznczonej. Poniewż nierówność Jensen już nierz pojwił się w nszym konkursie, postnowiliśmy przedstwić inne podejście. Rozwżmy minowicie funkcję f(x) = x x, x > 0, czyli f(x) = e xlnx. Łtwo sprwdzić, że dl x > 0 otrzymujemy f (x) = f (x)(ln x + 1) orz f ìì x = f x«¼ ln x + 1 ³ ² ¾ + 1. x Ö Wobec tego funkcj f jest rosnąc w zbiorze liczb dodtnich, bo w tym zbiorze f (x) > 0. Niech z kolei (, b, c, d) będzie rosnącym ciągiem rytmetycznym. Wtedy (1) b - = d - c > 0. N podstwie twierdzeni Lgrnge, zstosownego do funkcji f i przedziłów á, bñ orz ác, dñ, stwierdzmy, że istnieją liczby s i t tkie, że < s < b i c < t < d orz () f (b) - f () = f (s)(b - ), f (d) - f (c) = f (t)(d- c). Poniewż s < t, f jest funkcją rosnącą, więc wrunki (1) i () prowdzą do wniosku, że f (b) - f () < f (d) - f (c), czyli + d d > b b c. Uwg 1. Ze sposobu dowodu wnosimy, że złożeni twierdzeni będącego przedmiotem zdni możn osłbić. O liczbch dodtnich, b, c, d wystrczy minowicie złożyć, że < b c < d i b - d - c. Uwg. Kol. Leo Hämmerling zncznie uogólnił zdnie. Wykzł minowicie, że jeżeli ( 1,,..., n ), n >, jest rosnącym ciągiem rytmetycznym o wyrzch dodtnich, to 1 n + + n- n-1 1 n n-1 + > 157. Ciąg czterowyrzowy. Trójk (-, 1, 4) jest ciągiem rytmetycznym tkim, że po zminie kolejności wyrzów otrzymujemy ciąg geometryczny (1, -, 4). Czy istnieje różny od stłego ciąg czterowyrzowy o tkiej włsności? W rozwiąznich stosowno różne pomysły. Często jednk było to żmudne i trudne do sprwdzeni bdnie wielu przypdków. Oto proste rozumownie. Niech ( 1,, 3, 4 ) będzie różnym od stłego ciągiem rytmetycznym, z którego z pomocą permutcji s = ¼ ² «³ ¾ k1 k k k możn otrzymć ciąg geometryczny k 3 Ö 1 k k 3 k4 Wtedy wyrzy ciągu ( 1,, 3, 4 ) są różne od zer (dlczego?). Ze względu n dogodność zpisu przyjmijmy oznczenie k = c Wtedy z pomocą powyższej permutcji s możn 1 ¼ ² z ciągu rytmetycznego ¼ k ² k3 k4 «³ otrzymć ciąg geometryczny «1 ³ ¾ c c c c Ö ¾ c c c Ö 4/003 MATEMATYKA 45

4 więc ciąg postci (1, q, q, q 3 ) tki, że q ¹ 1. Ciąg ten powstł (w opisny sposób) z pewnego ciągu rytmetycznego i tym smym zchodzi lterntyw wrunków: 1 + q = q + q 3, 1 + q = q + q 3, 1 + q 3 = q + q, bo w czterowyrzowym ciągu rytmetycznym sum wyrzów skrjnych jest równ sumie wyrzów środkowych. Łtwo sprwdzić, że oprócz liczby 1 rozwiązniem tej lterntywy jest tylko liczb -1. Wtedy (1, q, q, q 3 ) = (1, -1, 1, -1). Ciągu tego jednk nie możn otrzymć z niestłego ciągu rytmetycznego, bo ciąg tki jest ściśle monotoniczny, więc nie może zwierć dwóch jednkowych wyrzów. Odpowiedź n pytnie jest ztem negtywn. Uwg. Koledzy Zbigniew Krno i Leszek Krzywonos udowodnili, że dl n ³ 3 wszystkimi niestłymi n-wyrzowymi ciągmi rytmetycznymi tkimi, że po zminie kolejności ich wyrzów powstje ciąg geometryczny, są ciągi (-,, 4) orz (4,, -), ¹ 0. Z powodu szczupłości miejsc przeznczonego w Mtemtyce n nsz konkurs, nie możemy jednk opublikowć ich brdzo interesujących dowodów Równnie. Rozwiązć równnie (1) (xy) z = (xz) y w liczbch nturlnych x, y, z. W wielu rozwiąznich korzystno z tego, że funkcj f t = OQ t mleje w przedzile t (e, ). Uzsdnino to posługując się rchunkiem pochodnych. Nie jest to jednk konieczne. Otóż widomo, że pr (, 4) jest jedynym rozwiązniem równni x y = y x w liczbch nturlnych tkim, że y > x (p. W. Sierpiński, O rozwiązywniu równń w liczbch cłkowitych, PWN, Wrszw 1956, s. 107; W. Sierpiński, Wstęp do teorii liczb, Bibliotek Mtemtyczn, t. 5, PZWS, Wrszw 1965, s. 44). Rozwiązniem równni (1) w liczbch nturlnych jest oczywiście kżd trójk postci (m, n, n). Niechj więc dlej trójk (x, y, z) liczb nturlnych tk, że y ¹ z będzie rozwiązniem równni (1). Podnosząc do potęgi x obie strony równości (1) otrzymujemy (xy) xz = (xz) xy, przy czym xy ¹ xz. N mocy powyższej uwgi o równniu x y = y x mmy stąd (xy, xz) = (, 4) lub (xy, xz) = (4, ). W obu przypdkch spełniony jest wrunek x (dlczego?), więc x = 1 lub x =. Wnosimy z tego, że rozwiąznimi równni (1) tkimi, że y ¹ z mogą być tylko trójki: (1,, 4), (, 1, ), (1, 4, ) i (,, 1). Spełniją one istotnie równnie (1) i wrz z trójkmi postci (m, n, n) stnowią wszystkie rozwiązni tego równni w liczbch nturlnych. 46 MATEMATYKA 4/003

5 1574. Dwie krwędzie czworościnu. Czworościn m krwędzie o długościch cłkowitych i wymierną objętość. Wykzć, że jeżeli wtedy dokłdnie dwie krwędzie mją przystą długość, to są one przeciwległymi krwędzimi czworościnu. Cztery rozwiązni odrzuciliśmy. W jednym z nich twierdzono bezpodstwnie, że ściny czworościnu o wymiernej objętości i cłkowitych krwędzich mją wymierne pol (p. uwg po rozwiązniu zdni); w innym rozwiązniu stosowno błędny wzór n objętość czworościnu (p. Mtemtyk 5/001, s. 306). W wielu przypdkch było brk jkiegokolwiek rysunku, co zncznie utrudniło sprwdznie rozwiązń. Zdnie jest podobne do zdni konkursowego 1545, toteż njczęściej i rozwiązni były podobne. Aby udowodnić tezę zdni, wystrczy pokzć, że nie istnieje czworościn o krwędzich cłkowitych, wymiernej objętości i dokłdnie dwóch krwędzich o wspólnym wierzchołku i przystej długości. Rozwżmy ztem czworościn ABCD o wymiernej objętości V i cłkowitych krwędzich (p. rys.). Złóżmy, że i b są liczbmi przystymi, pozostłe krwędzie mją długości nieprzyste. Widomo, że wtedy (1) 1V = + b - m - k b + b b - m - l b c - k - l (p. Mtemtyk 4/00, s. 47). Po prostych rchunkch otrzymujemy stąd () (1 V ) = 4 b c + ( + b - m )(b - l )(c + - k ) - - (b - l ) - b (c + - k ) - c ( + b - m ). Wnosimy stąd, że 1V jest liczbą cłkowitą (dlczego?). Poniewż º b º 0 (mod ) i c º k º l º m º 1 (mod ), więc º b º 0 (mod 4) orz c º k º l º m º 1 (mod 4). Wobec tego po prostych rchunkch równość prowdzi do wniosku, że (1V) º 3 (mod 4). Tym smym doszliśmy do sprzeczności, bo kwdrt liczby nturlnej nigdy nie dje reszty 3 przy dzieleniu przez 4. Pokzliśmy, że jeżeli czworościn m krwędzie o długościch cłkowitych i wymierną objętość orz dokłdnie dwie jego krwędzie mją przystą długość, to krwędzie te nie mogą wychodzić ze wspólnego wierzchołk. Tym smym muszą to być krwędzie przeciwległe. Uwg. Istnieje wiele czworościnów spełnijących podne w zdniu wrunki. Tkim jest np. czworościn równościenny, w którym kżd ścin jest trójkątem równormiennym o bokch 3, 3, 4. Łtwo sprwdzić, że objętość tkiego czworościnu wynosi 8/3. Wrto jeszcze zuwżyć, że pol ścin są liczbmi niewymiernymi. 4/003 MATEMATYKA 47

6 1575. Ściny czworościnu. Czy istnieje czworościn o trzech ścinch prostokątnych i jednej rozwrtokątnej? Aż 5 osób twierdziło, że nie istnieje czworościn mjący podną w zdniu włsność. Wtedy nie przyznwliśmy żdnych punktów. Niektóre rozwiązni nie były w pełni poprwne, bo podwno w nich ukłd złożony z czterech trójkątów o żądnych włsnościch (np. z pomocą sitki ) nie troszcząc się, czy istnieje czworościn, którego ścinmi są dne trójkąty. Często korzystno z ukłdu współrzędnych, co rczej nie jest zbyt elegnckim podejściem. Kilk osób podło nstępujący (lub podobny) prosty przykłd. Wrunki zdni spełni minowicie czworościn ABCD tki, że AB = AC =, _ AD _ = kąty BAC, BAD i CAD mją odpowiednio po 10, 90, 90. Możn bez trudu wyliczyć, że wtedy _ BC _ = 3 orz _ BD _ = _ CD_ = 6 (dlczego?). Dlej otrzymujemy równość BC = BD + CD, któr ozncz, że trójkąt BCD jest prostokątny, czworościn ABCD m trzy ściny prostokątne i jedną rozwrtokątną. Uwg. Czworościn tki nie istnieje wśród czworościnów trójprostokątnych, tzn. tkich, które przy jednym wierzchołku mją trzy kąty (płskie) proste. Jedn ścin tkiego czworościnu jest bowiem zwsze trójkątem ostrokątnym, co pozostwimy do sprwdzeni Czytelnikowi. n Zdnie wierszem zdne Pirci z Rtio z tego są znni, Że zwsze modnie chodzą ubrni. Kiedyś nosili koszulki w pski, Terz ich oczy zdobią przepski. Co trzeci pirt z owej złogi Przepską lewe oko ozdobił. Prwe pod tką przepską chow Cłej złogi równ połow. Siedmiu z powodu kiepskiego wzroku, Nie chce przepski nosić n oku. I to już wszyscy strsi i młodzież. Ilu pirtów uległo modzie? Ndes³³ Bo en Mrsz³ek, SP w Rciborowicch. 48 MATEMATYKA 4/003