EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05

2 Nr zd Klucz punktowni zdń zmkniętych Odp. A B A D B B D A A C D B C C D D B A C A C C B D B Zdnie. ( pkt) Rozwiąż równnie 3 Schemt ocenini zdń otwrtych 8x + 8x 3x 3= 0. I sposób rozwiązni (metod grupowni) Przedstwimy lewą stronę równni w postci iloczynowej stosując metodę grupowni wyrzów 8 ( + ) 3( + ) = 0 x 8x 3 + 8x 3= 0, Stąd x = lub x x x lub ( ) x = lub x =. ( x )( x ) = 0 ( )( )( ) x 3 x+ 3 x + = 0. Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje... p. gdy zpisze lewą stronę równni w postci iloczynu, np.: ( 8x 3)( x ) +, przy czym postć t musi być otrzymn w sposób poprwny, i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. Zdjący otrzymuje... p. gdy wyznczy bezbłędnie wszystkie rozwiązni równni: x = lub x = lub x =. II sposób rozwiąznie (metod dzieleni) 3 Stwierdzmy, że liczb jest pierwistkiem wielominu 8x + 8x 3x 3. Dzielimy wielomin przez dwumin x +. Otrzymujemy ilorz 8x 3. Zpisujemy równnie w postci ( )( ) = 0 x x. Stąd ( )( )( ) x =. x 3 x+ 3 x + = 0, czyli Schemt ocenini II sposobu rozwiązni x = lub x = lub Zdjący otrzymuje... p. 3 gdy podzieli wielomin 8x + 8x 3x 3 przez dwumin x +, otrzym ilorz 8x 3 i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy Zdjący otrzymuje... p. gdy wyznczy bezbłędnie wszystkie rozwiązni równni: x = lub x = lub x =.

3 Zdnie 7. ( pkt) Rozwiąż nierówność x. Rozwiąznie Rozwiąznie nierówności kwdrtowej skłd się z dwóch etpów. Pierwszy etp rozwiązni: Znjdujemy pierwistki trójminu kwdrtowego 5x 5: podjemy je bezpośrednio, np. zpisując pierwistki trójminu lub postć iloczynową trójminu lub zznczjąc n wykresie x = 3, = 3 5 x 3 x + 3 x lub ( )( ) obliczmy wyróżnik tego trójminu nstępnie stosujemy wzory n pierwistki: Δ= 0 5 ( 5) = 30, x = = 3, x = = Drugi etp rozwiązni: Podjemy zbiór rozwiązń nierówności: 3 x 3 lub 3, 3 lub x 3, 3, np. odczytując f x = 5x 5. go ze szkicu wykresu funkcji ( ) Schemt ocenini -3 3 x Zdjący otrzymuje... p. gdy: zrelizuje pierwszy etp rozwiązni i n tym poprzestnie lub błędnie zpisze zbiór rozwiązń nierówności, np. 5 x 3 x+ 3 i n tym o rozłoży trójmin kwdrtowy n czynniki liniowe, np. ( )( ) poprzestnie lub błędnie zpisze zbiór rozwiązń nierówności, o obliczy lub pod pierwistki trójminu kwdrtowego x = 3, x = 3 i n tym poprzestnie lub błędnie zpisze zbiór rozwiązń nierówności, o zznczy n wykresie miejsc zerowe funkcji ( ) f x = 5x 5 i n tym poprzestnie lub błędnie zpisze zbiór rozwiązń nierówności, relizując pierwszy etp popełni błąd (le otrzym dw różne pierwistki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd rchunkowy przy obliczniu wyróżnik lub pierwistków trójminu kwdrtowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. Zdjący otrzymuje... p. gdy: pod zbiór rozwiązń nierówności: 3 x 3 lub 3, 3 lub x 3, 3 sporządzi ilustrcję geometryczną (oś liczbow, wykres) i zpisze zbiór rozwiązń nierówności w postci: 3 x 3 3

4 pod zbiór rozwiązń nierówności w postci grficznej z poprwnie zznczonymi końcmi przedziłów 3 3 x Kryteri ocenini uwzględnijące specyficzne trudności w uczeniu się mtemtyki. Akceptujemy sytucję, gdy zdjący poprwnie obliczy lub pod pierwistki trójminu x = 3, x = 3 i zpisze, np. x 3, 3, popełnijąc tym smym błąd przy przepisywniu jednego z pierwistków, to z tkie rozwiąznie otrzymuje punkty.. Jeśli zdjący pomyli porządek liczb n osi liczbowej, np. zpisze zbiór rozwiązń nierówności w postci x 3, 3, to przyznjemy punkty. Zdnie 8. ( pkt) Ze zbioru liczb nturlnych dwucyfrowych losowo wybiermy jedną liczbę. Oblicz prwdopodobieństwo zdrzeni A polegjącego n tym, że otrzymmy liczbę podzielną przez 9 lub podzielną przez. Rozwiąznie Zbiór zdrzeń elementrnych Ω zwier 90 liczb nturlnych dwucyfrowych. Jest to model klsyczny. Wśród tych liczb jest osiem liczb podzielnych przez 9, le nie przez, sześć liczb podzielnych przez, le nie przez 9, orz dwie liczby podzielne zrówno przez 9 jk i przez. Ztem = 8+ + = A. Stąd ( ) 8 P A = = Schemt ocenini Zdjący otrzymuje... p. gdy pod liczbę wszystkich zdrzeń elementrnych: Ω= 90 liczbę wszystkich zdrzeń elementrnych sprzyjjących zdrzeniu A: A = wszystkie zdrzeni elementrne sprzyjjące zdrzeniu A :, 8,, 7, 3, 5, 8, 5, 0, 3, 7, 8, 8, 90, 9, 99 i n tym zkończy lub dlej popełni błędy. Zdjący otrzymuje... p. gdy obliczy i zpisze, że P( A ) =. 90 Uwgi. Jeżeli otrzymny wynik końcowy jest liczbą większ od, to zdjący otrzymuje 0 punktów z cłe rozwiąznie.. Jeżeli zdjący pod jedynie P( A ) =, to otrzymuje punkt. 90

5 Zdnie 9. ( pkt) Kąt α jest ostry i spełni równość I sposób rozwiązni Rysujemy trójkąt prostokątny i wprowdzmy oznczeni. 7 + =. Oblicz wrtość wyrżeni sinα cosα. c α b Korzystjąc z definicji funkcji tngens w trójkącie prostokątnym, lewą stronę równości 7 + = możemy zpisć, nstępnie przeksztłcić nstępująco: b + b c + = + = =. b b b b b b b Z drugiej strony zuwżmy, że szukne wyrżenie sinα cosα jest równe =. c c c Poniewż c 7 b =, więc b c = 7. Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje... p. gdy wykorzyst definicje lub włsności funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, c doprowdzi wyrżenie + do postci i n tym zkończy lub dlej popełni błędy. b Zdjący otrzymuje... p. gdy obliczy i zpisze, że wrtość szuknego wyrżeni sinα cosα jest równ 7. II sposób rozwiązni sinα cosα sin α + cos α Poniewż + = + = =, więc z równości cosα sinα sinα cosα sinα cosα 7 sinα cosα = wynik, że szukny iloczyn sinα cosα przyjmuje wrtość 7. Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje... p. gdy zpisze sin α + cos α + = sinα cosα sinα cosα sinα cosα = = sin α + cos α sinα cosα + cosα sinα i n tym zkończy lub dlej popełni błędy. 5

6 Zdjący otrzymuje... p. gdy obliczy i zpisze, że wrtość szuknego wyrżeni sinα cosα równ się 7. III sposób rozwiązni Poniewż α jest kątem ostrym, więc > 0 i równość w postci tg α + = 0. Równnie powyższe m dw rozwiązni: =, = Gdy =, to cosα = i 7 + = możemy zpisć sinα =. Wtedy ( + ) ( ) sinα cosα == = = = = Gdy zś =, to cosα = i 7 33 sinα =. Wtedy ( ) ( ) sinα cosα == = = = = Schemt ocenini III sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje... p gdy zpisze, że równnie tg α + = 0 m dw rozwiązni: =, 7 33 =, pondto w jednym przypdku obliczy wrtość cosα i sinα i n tym zkończy lub dlej popełni błędy. Zdjący otrzymuje... p. gdy obliczy i zpisze, że wrtość szuknego wyrżeni sinα cosα równ się 7. Uwg 7 33 Jeżeli zdjący obliczy jedną z wrtości, np.: =, pod jej wrtość przybliżoną 0,339, odczyt z tblic przybliżoną wrtość kąt α 7 orz przybliżone wrtości sinα 0, 9, cosα 0,953 i n tej podstwie obliczy przybliżoną wrtość wyrżeni sinα cosα 0, 9 0,953 0, 7, to otrzymuje punkt.

7 Zdnie 30. ( pkt) Udowodnij, że dl wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prwdziw jest nierówność 3 3 x + y x y+ xy. I sposób rozwiązni 3 3 Nierówność x + y x y+ xy przeksztłcmy równowżnie, otrzymując kolejno 3 3 x + y x y xy 0, ( x 3 x y) ( y 3 xy ) + 0, ( ) ( ) x x y y x y 0, ( x y)( x y ) 0, ( x y) ( x y) T nierówność jest prwdziw, gdyż ( x y) 0 + 0, x+ y 0, gdyż liczby x i y są nieujemne. To kończy dowód. dl dowolnych liczb rzeczywistych x i y orz II sposób rozwiązni 3 3 Nierówność x + y x y+ xy przeksztłcmy równowżnie, otrzymując kolejno 3 3 x + y x y xy 0, ( x 3 + y 3 ) ( x y+ xy ) 0, ( x y)( x xy y ) xy( x y) ( x y)( x xy y xy) 0 ( x+ y)( x xy+ y ) 0, , + +, ( x+ y)( x y) 0. T nierówność jest prwdziw, gdyż ( x y) 0 x+ y 0, gdyż liczby x i y są nieujemne. To kończy dowód. dl dowolnych liczb rzeczywistych x i y orz Schemt ocenini I i II sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje... p. gdy x y x y 0 zpisze nierówność w postci ( )( ) zpisze nierówność w postci ( x y)( x xy y ) i n tym zkończy lub dlej popełni błędy Zdjący otrzymuje... p. gdy uzsdni prwdziwość nierówności Uwg 3 3 x + y x y+ xy. Jeżeli zdjący przejdzie w swoim rozumowniu z postci ( x y)( x xy y ) xy( x y) do postci x xy+ y xy 0 bez zznczeni, że skoro x i y są nieujemne, to ich sum też jest nieujemn, le dokon dzieleni obu stron nierówności przez x + y i dlej przeprowdzi poprwne rozumownie, to otrzymuje punkt.

8 Zdnie 3. ( pkt) W prostokącie ABCD punkt P jest środkiem boku BC, punkt R jest środkiem boku CD. Wykż, że pole trójkąt APR jest równe sumie pól trójkątów ADR orz PCR. D R C P A B I sposób rozwiązni Przedłużmy prostą AR orz bok prostokąt BC. Proste te przecinją się w punkcie M. Rozptrujemy trójkąty ADR orz RCM. M ARD = CRM (kąty wierzchołkowe), kąty przy wierzchołkch D i C są proste orz DR = RC, stąd n podstwie cechy przystwni trójkątów kbk wnioskujemy, że trójkąt ADR jest przystjący do trójkąt RCM. Z przystwni trójkątów mmy AR = RM. Pole trójkąt APR jest równe polu trójkąt RPM, poniewż ob trójkąty mją równe podstwy ( AR = RM ) orz tką smą wysokość poprowdzoną z wierzchołk P. PΔ APR = PΔ RPM = PΔ PCR + PΔRCM, z fktu przystwni trójkątów RCM orz ADR mmy: P = P + P ΔAPR ΔPCR ΔADR D A R C P B Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje... p. gdy zpisze, że pole trójkąt APR jest równe polu trójkąt RPM i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy Zdjący otrzymuje... p. gdy przeprowdzi pełne rozumownie. 8

9 II sposób rozwiązni D R C P A b B b Oznczmy: AD = orz AB = b, stąd BP = PC =, CR = RD =. b b Obliczmy pol trójkątów prostokątnych PCR, RDA: P Δ PCR = = orz 8 b b b b 3b PΔ RDA = = ztem PΔ PCR + PΔ RDA = + =. 8 8 Trójkąt ABP jest prostokątny i jego pole jest równe b b =. Pole trójkąt APR jest różnicą pol prostokąt ABCD i sumy pól trzech trójkątów prostokątnych b b 3b ABP, PCR orz RDA ztem PΔ APR = b + =. 8 8 Otrzymliśmy równość PΔ APR = PΔ PCR + PΔ RDA. III sposób rozwiązni D A T R K T O b Podzielimy prostokąt ABCD n części, jk n rysunku. Pole trójkąt APR zpisujemy w nstępujący sposób: jest to sum pól trójkątów K = b, T = K = b orz pol trójkąt AOR, którego pole jest 8 3 równe: PAOR = b T = b b = b. 3 3 Zpisujemy sumę: PAPR = b+ b+ b= b 8 8 Pole trójkąt ARD jest równe K = b. Sumujemy pol trójkąt ARD orz PCR 3 i otrzymujemy: PARD + PPCR = b + b = b, czyli wykzliśmy, że PARD + PPCR = PAPR. 8 8 Uwg Zmist zpisywć pole prostokąt ABCD w zleżności od długości boków możemy użyć 3 innego oznczeni, np. P, wtedy otrzymujemy: K = P, T = P, PAOR = P i dlej 8 K C P B 9

10 3 3 PAPR = P+ P+ P= P orz PARD + PPCR = P+ P= P. 8 8 Schemt ocenini II i III sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje... p. 3 gdy zpisze, że pole trójkąt APR stnowi pol prostokąt ABCD, np. zpisze b b 3b PAPR = b+ b+ b= b lub PΔ APR = b + = i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. Zdjący otrzymuje... p. gdy przeprowdzi pełne rozumownie. IV sposób rozwiązni Poprowdźmy odcinki PN i RM łączące środki boków prostokąt. Niech S będzie punktem ich.przecięci. D R C Trójkąty ADR i RMA są przystjące, więc mją równe pol, trójkąty PCR i RSP też są przystjące, więc ich pol też są równe, tkże trójkąty AMO i PSO są przystjące, więc ich pol też są równe. Ztem P + P = P + P = P + P + P = P + P + P = co nleżło wykzć. N A ( ) ( ) ( ) ADR PCR AMR RSP AOR AMO RSP AOR PSO RSP = P + P + P = P + P = P AOR PSO RSP AOR OPR APR S O M Schemt ocenini IV sposobu rozwiązni Zdjący otrzymuje... p. gdy ustli, że trójkąty ADR i RMA są przystjące, trójkąty PCR i RSP są przystjące orz trójkąty AMO i PSO są przystjące i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. Zdjący otrzymuje... p. gdy przeprowdzi pełne rozumownie. P B Zdnie 3. ( pkt) Dny jest ciąg rytmetyczny ( n ) o różnicy r 0 i pierwszym wyrzie =. Pierwszy, drugi i czwrty wyrz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrzem ciągu geometrycznego. Oblicz ilorz tego ciągu geometrycznego. I sposób rozwiązni Ze wzoru n n-ty wyrz ciągu rytmetycznego otrzymujemy = + r = + r orz = + 3r = + 3r. Ciąg (,, ), czyli (, + r, + 3r) jest geometryczny, więc z włsności ciągu geometrycznego otrzymujemy równnie 0

11 ( r) ( 3r) + = +, + r+ r = + r, r r = 0, r r = 0. ( ) Stąd r = 0 lub r =. Jednk z złożeni r 0, więc r =. Ciąg geometryczny m postć (, +, + 3 ) = (,,8). Obliczmy ilorz tego ciągu: q = =. Schemt ocenini I sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni... p. Zdjący zpisze wyrzy i w zleżności od r (lub od i r), np.: = + r, = + 3r (lub r = +, = + 3r ) zpisze zleżność między wyrzmi ciągu geometrycznego, np.: = ) i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. = (lub Rozwiąznie w którym jest istotny postęp... p. Zdjący zpisze wyrzy i w zleżności od r (lub od i r), np.: = + r, = + 3r (lub = + r, = + 3r ) orz pod zleżność między wyrzmi ciągu geometrycznego, np.: = (lub = ) i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. Pokonnie zsdniczych trudności zdni... 3 p. Zdjący zpisze równnie z jedną niewidomą, np.: ( r) ( 3r) lub dlej popełni błędy. + = + i n tym poprzestnie Rozwiąznie pełne... p. Zdjący wyznczy ilorz ciągu: q =. Uwg Jeżeli zdjący wyznczy poprwnie r = 0 lub r = i nie odrzuci r = 0 i doprowdzi rozwiąznie konsekwentnie do końc, podjąc dw ciągi geometryczne i dwie wrtości ilorzu, to otrzymuje 3 punkty. II sposób rozwiązni Niech q ozncz ilorz ciągu geometrycznego (,, ). Ztem Liczby =, = q i rytmetycznego, więc Zuwżmy, że q, bo gdyby = q= q i = q = q. = q to odpowiednio pierwszy, drugi i czwrty wyrz ciągu 3( ) =, 3 ( q ) = q, 3( q ) = q, 3( q ) ( q )( q ) q =, to ciąg ( ) = +. Dzieląc obie strony otrzymnego równni przez q mmy byłby stły, co jest niemożliwe, bo r 0. n

12 3= q +, q =. Schemt ocenini II sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni... p. Zdjący zpisze wyrzy i w zleżności od q (lub od i q), np.: = q, = q (lub = q, = q ) 3 = zpisze zleżność między wyrzmi ciągu rytmetycznego, np.: ( ) i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. Rozwiąznie w którym jest istotny postęp... p. Zdjący zpisze wyrzy i w zleżności od q (lub od i q), np.: = q, = q (lub = q, = q ) orz zpisze zleżność między wyrzmi ciągu rytmetycznego, np.: ( ) 3 = i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. Pokonnie zsdniczych trudności zdni... 3 p. Zdjący zpisze równnie z jedną niewidomą, np.: 3 ( q ) = q i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. Rozwiąznie pełne... p. Zdjący wyznczy ilorz ciągu: q =. Zdnie 33. ( pkt) Wyzncz równnie osi symetrii trójkąt o wierzchołkch A = (, ), B = (, ), C = ( 0, ). I sposób rozwiązni Obliczmy długości boków trójkąt ABC: AB = 5, BC = 5, AC = 0. Zuwżmy, że jest to trójkąt równormienny, w którym AB = BC = 5, więc osią symetrii trójkąt ABC jest symetrln odcink AC. By znleźć równnie osi symetrii trójkąt S =,. wyznczmy współrzędne środk odcink AC: ( ) Wyznczmy równnie prostej BS, korzystjąc ze wzoru n prostą przechodząc przez dw punkty: ( x ) y =, y = 3x +. Odpowiedź: Równnie osi symetrii trójkąt ABC m postć: y = 3x +. II sposób rozwiązni Obliczmy długości boków trójkąt ABC: AB = 5, BC = 5, AC = 0. Zuwżmy, że jest to trójkąt równormienny, w którym AB = BC = 5, więc osią symetrii trójkąt ABC jest symetrln odcink AC.

13 By znleźć równnie osi symetrii trójkąt, wyznczmy współczynnik kierunkowy prostej AC: =, nstępnie współczynnik kierunkowy prostej prostopdłej do AC: = = 3. AC 3 Wyznczmy równnie prostej zwierjącej symetrlną boku AC i przechodzącej przez punkt B: y+ = 3 x, ( ) y = 3x +. Odpowiedź: Równnie osi symetrii trójkąt ABC m postć: y = 3x +. III sposób rozwiązni Obliczmy długości boków trójkąt ABC: AB = 5, BC = 5, AC = 0. Zuwżmy, że jest to trójkąt równormienny, w którym AB = BC = 5, więc osią symetrii trójkąt ABC jest symetrln odcink AC. Ztem jego osią symetrii jest symetrln boku AC, będąc zbiorem punktów równo oddlonych od obu końców odcink. Niech K ( x, y) będzie punktem nleżącym do symetrlnej boku AC. Ztem AK = KC. ( x ) ( y ) ( 0 x) ( y) + + = +, x + x+ + y y+ = 00 0x+ x + 3 y+ y, x+ 8y 8 = 0, 3x+ y = 0, y = 3x +. Odpowiedź: Równnie osi symetrii trójkąt ABC m postć: y = 3x +. Schemt ocenini I, II i III sposobu rozwiązni Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni... p. Zdjący obliczy długości dwóch boków trójkąt ABC: AB = 5, AC = 0 i BC = 5 obliczy współrzędne środk odcink AC: S = (, ) obliczy współczynnik kierunkowy prostej AC: AC = 3 obliczy współrzędne wektor AC zpisze, że szukną osią symetrii jest symetrln boku AC i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... p. Zdjący S =, i współczynnik kierunkowy prostej obliczy współrzędne środk odcink AC: ( ) AC: AC = 3 uzsdni, że szukną osią symetrii jest symetrln boku AC i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. AC 3

14 Uwg Przyjmujemy, że jko uzsdnienie wystrczy rysunek w ukłdzie współrzędnych. Pokonnie zsdniczych trudności zdni... 3 p. Zdjący S =, orz współczynnik kierunkowy obliczy współrzędne środk odcink AC: ( ) symetrlnej boku AC: = 3 obliczy współrzędne środk odcink AC: = (, ) S orz zpisze, że oś symetrii tego trójkąt przechodzi przez punkt B obliczy współrzędne wektor AC orz zpisze, że oś symetrii tego trójkąt przechodzi przez punkt B i jest prostopdł do wektor AC zpisze równnie symetrlnej boku AC: ( x + ) + ( y ) = ( 0 x) + ( y ) i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. Rozwiąznie pełne... p. Zdjący wyznczy równnie osi symetrii trójkąt ABC: y= 3x + (3x+ y = 0). Uwg Jeżeli zdjący nie uzsdni, że osią symetrii trójkąt ABC jest symetrln boku AC (np. nie sporządzi rysunku w ukłdzie współrzędnych po wyznczeniu równni symetrlnej boku AC nie sprwdzi, że punkt B leży n tej symetrlnej), to może otrzymć co njwyżej 3 punkty. Zdnie 3. (5 pkt) W ostrosłupie prwidłowym czworokątnym ścin boczn o polu równym 0 jest nchylon do płszczyzny podstwy pod kątem 0. Oblicz objętość tego ostrosłup. Rozwiąznie Przyjmijmy oznczeni jk n rysunku. S H h O Pole jednej ściny bocznej jest równe 0, ztem h = 0. 0 M

15 Cosinus kąt nchyleni ściny bocznej do płszczyzny podstwy jest równy Stąd =, h h=, h =. cos0 =. h Pole ściny bocznej jest równe = 0. Ztem długość krwędzi podstwy jest równ = 5. Obliczmy wysokość bryły, korzystjąc z tw. Pitgors. ( ) H + = h, ( ) H = h, H = 0 5, H = 5. Ztem wysokość ostrosłup jest równ H = 5. Obliczmy objętość ostrosłup 0 5 V = P p H = H = 0 5 = Odpowiedź: Objętość ostrosłup jest równ V =. 3 Schemt ocenini Rozwiąznie, w którym postęp jest niewielki, le konieczny n drodze do pełnego rozwiązni zdni... p. Zdjący zpisze równnie: h = 0 zdjący zpisze zleżność: cos0 = h i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. Rozwiąznie, w którym jest istotny postęp... p. Zdjący zpisze ukłd równń: h = 0 cos 0 = h zpisze równnie = 0 i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. 5

16 Pokonnie zsdniczych trudności zdni... 3 p. Zdjący obliczy długość krwędzi podstwy lub wysokość ściny bocznej: = h = 5 i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy. Rozwiąznie zdni do końc, lecz z usterkmi, które jednk nie przekreślją poprwności rozwiązni (np. błędy rchunkowe)... p. Zdjący obliczy wysokość ostrosłup: H = 5 i n tym poprzestnie lub dlej popełni błędy popełni błąd rchunkowy przy obliczniu długości krwędzi podstwy lub wysokości ostrosłup i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zdnie do końc. Rozwiąznie pełne... 5 p. 0 5 Zdjący obliczy objętość ostrosłup: V =. 3