METODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO

Transkrypt

1 POZNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ACADEMIC JOURNALS No 93 Electrical Engineering 2018 DOI /j Piotr FRĄCZAK METODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO W pracy przedstawiono autorską metodę macierzy rozwiniętych do analizy obwodów prądu przemiennego w ujęciu liczb zespolonych. Metoda ta polega na opisaniu obwodów elektrycznych macierzą rozwiniętą impedancji i wektorem rozwiniętym sił elektromotorycznych. Macierz impedancji i wektor sił elektromotorycznych zapisane w postaci równania macierzowego ujmują prądy gałęziowe. Obliczone wartości prądów gałęziowych obwodu elektrycznego metodą macierzy rozwiniętych, porównano z wartościami prądów wyznaczonych metodą Maxwella prądów oczkowych. Otrzymano identyczne wartości prądów gałęziowych. Ponadto metodę macierzy rozwiniętych zastosowano do obliczania mocy i energii elektrycznej odpowiednio gałęziowej i sumarycznej. Obliczenia wymienionych wielkości elektrycznych obwodu przeprowadzono w środowisku programu numerycznego Mathcad. Słowa kluczowe: metody macierzowe opisu obwodów, metoda macierzy rozwiniętych. 1. WSTĘP Opis analityczny obwodów prądu przemiennego dokonuje się za pomocą układu równań, które tworzy się za pomocą II prawa Kirchhoffa (bilans napięć w oczku obwodu)[1]. Równania te wiążą prądy gałęziowe z impedancjami gałęziowymi oraz siłami elektromotorycznych w danym oczku. Liczba prądów gałęziowych ujętych układem równań odpowiada liczbie oczek obwodu. Pozostałe prądy gałęziowe wyznaczamy za pomocą I prawa Kirchhoffa (bilans prądów w danym węźle obwodu)[1]. Prądy gałęziowe obwodu prądu przemiennego można wyznaczyć również metodą macierzową Maxwella prądów oczkowych. Metoda macierzowa Maxwella prądów oczkowych polega na opisaniu obwodu elektrycznego macierzą oczkową impedancji i macierzą jednokolumnową oczkową sił elektromotorycznych. Macierz oczkową impedancji, wektor sił elektromotorycznych oraz macierz łączącą prądy oczkowe z gałęziowymi zapisuje się w postaci równania macierzowego, które ujmuje prądy gałęziowe. Celem pracy jest opracowanie nowej metody macierzowej rozwiniętych obliczania obwodów prądu przemiennego. Zachodniopomorskie Centrum Edukacji Morskiej i Politechnicznej

2 312 Piotr Frączak 2. PREZENTACJA METODY ROZWINIĘTYCH MACIERZY OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO W celu zaprezentowania metod macierzy rozwiniętych obliczania obwodów prądu przemiennego wykorzystano obwód, którego schemat zamieszczono na rysunku 1. Rys.1. Schemat obwodu elektrycznego m-oczkowego w ujęciu liczb zespolonych Obwód elektryczny opisuje się układam m, które tworzy się za pomocą II prawa Kirchhoffa (bilans napięć w oczku obwodu). Równania te wiążą prądy gałęziowe z impedancjami gałęziowymi oraz siłami elektromotorycznych w danym oczku. Układ m równań w zapisie macierzowym ma postać:

3 Metoda macierzowa obliczania obwodów prądu przemiennego 313 Z11 Z12 Z1j Z1m I 1 E1,1 Z21 Z22 Z2j Z 2m I 2 E 2,2 = Z i1 Z i2 Z ij Z im I i E i,i I E Z m,m m1 Zm2 Zmj Zmm m Równanie (2.1) w postaci zwartej przyjmuje następującą formę: m m= m (2.1) Z I E (2.2) Macierz Z m impedancji oraz wektory E m sił elektromotorycznych i prądów Im są zdefiniowane następująco: Z11 Z12 Z1j Z1m E 1,1 I 1 Z21 Z22 Z2j Z 2m E 2,2 I 2 (2.3) = Zm E m = I m = Z i1 Z i2 Z ij Z (2.4) E im i,i I i (2.5) Zm1 Zm2 Zmj Z E mm m,m I m Macierz (2.3) znajduje się w lewej górnej części macierzy rozwiniętej impedancji (2.6) prezentowanej metoda (macierzy rozwiniętych). Z 1,1 Z 1,2 Z 1,m Z 1,m+1 Z 1,n Z Z 2,1 2,2 Z 2,m Z 2,m+1 Z 2,n Z n Z Z m,1 m,2 Z m,m Z m,m+1 Z m,n (2.6) Z m+1,1 Z m+1,2 Z m+1,m Z m+1,m+1 Z m+1,n Z n,1 Z n,2 Z n,m Z n,m+1 Z n,n Z kolei pozostałe elementy macierzy (2.6) uzupełnia się współczynnikami 0, ±1. Podstawą obliczeń współczynników są prądy od I 1 do In odpowiadające elementom macierzy rozmieszczonym na głównej przekątnej. Współczynnik ±1 danego prądu I k określa się na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa w danym węźle. Węzeł należy dobrać tak, aby wszystkie prądy towarzyszące I k posiadały indeksy mniejsze od k. Brak danego prądu w rozpatrywanym węźle oznacza się współczynnikiem 0.

4 314 Piotr Frączak Macierz rozwinięta jednokolumnowa (wektor) sił elektromotorycznych określana się w oparciu o wektora (2.4). W wektorze rozwiniętym sił elektromotorycznych wiersze od 1 do m odpowiadają wierszom wektora (2,4), natomiast wiersze od m+1 do n uzupełnia się współczynnikami 0. wektor siły elektromotorycznych definiuje się następująco: E 1,1 E 2,2 E n E m,m (2.7) ZASTOSOWANIE METODY ROZWINIĘTYCH MACIERZY DO ANALIZY OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO W celu zaprezentowania opracowanej metody macierzy rozwiniętych zastosowaną ją do obliczania wybranych wielkości elektrycznych obwodów elektrycznych Obliczanie metodą macierzy rozwiniętych prądów gałęziowych w zapisie liczb zespolonych obwodu elektrycznego Strukturę obwodu elektrycznego (rys.1) można opisać równaniem macierzowym: Zn In= E n (3.1) gdzie: Z n macierz rozwinięta impedancji(2.6), E n wektor rozwinięty sił elektromotorycznych (2.7), I n wektor rozwinięty prądów gałęziowych. Mnożąc lewostronnie równanie (3.1) przez macierz odwrotną ( Z n ) 1 do macierzy rozwiniętej impedancji Z n uzyskuje się: -1-1 Z n Zn I n= Zn En (3.2) skąd po zastosowaniu znanych właściwości macierzy: Z -1 n Zn oraz I n= I n (3.3)

5 Metoda macierzowa obliczania obwodów prądu przemiennego 315 gdzie: symbol macierz jednostkowa, otrzymuje się wektor rozwinięty prądów gałęziowych w następującej postaci: I n= Zn -1 E n (3.4) gdzie: I n wektor prądów gałęziowych. Wektor I n zdefiniowano następująco: I 1 I 2 I n I m I (3.5) m+1 I n 3.2. Obliczanie metodą macierzy rozwiniętych mocy w zapisie liczb zespolonych obwodu elektrycznego Moc gałęziowa Moc pozorna gałęziową Sg w zapisie macierzowym obwodu elektrycznego[2], wyznacza się z równania macierzowego S g =IdZdI n (3.6) gdzie: I d macierz diagonalna prądów gałęziowych, Z d macierz diagonalna impedancji gałęziowych, I n wektor sprzężony prądów gałęziowych. Macierz I d, Z d oraz wektor In są definiowane następująco: I I (3.7) I d 0 0 Ik In

6 316 Piotr Frączak z z2 0 0 Zd 0 0 zk zn I n + -jimi jim I Re I Re I 2 2 Re I k k Re I n n + -jimi + -jimi (3.8) (3.9) Moc sumaryczna Moc sumaryczną S w zapisie macierzowym obwodu elektrycznego[2], wyznacza się z równania macierzowego S = Z d In T In (3.10) gdzie: Z d macierz diagonalna impedancji gałęziowych (3.8), I n wektor prądów gałęziowych (3.5), I n wektor sprzężony prądów gałęziowych (3.9) Obliczanie metodą macierzy rozwiniętych energii w zapisie liczb zespolonych obwodu elektrycznego Energia elektryczna gałęziowa Energię elektryczną gałęziową obwodu elektrycznegowg wyznacza się z równania macierzowego (3.6), mnożąc go lewostronne przez T d W g =TdIdZdI n (3.11) gdzie: T d macierz diagonalna czasu, I d macierz diagonalna prądów gałęziowych (3.7), Z d macierz diagonalna impedancji gałęziowych (3.8), I n wek- tor sprzężony prądów gałęziowych (3.9). Macierz T d jest zdefiniowana następująco: t t2 0 0 T (3.12) d 0 0 tk tn

7 Metoda macierzowa obliczania obwodów prądu przemiennego Energia elektryczna sumaryczna Z kolei energię elektryczną sumaryczną obwodu elektrycznego W w zapisie macierzowym, wyznacza się z równania W=TZd In T I n (3.13) gdzie:t macierz jednostkowa czasu, Z d macierz diagonalna impedancji gałęziowych (3.8), I n macierz jednokolumnowa prądów gałęziowych (3.5), I n wektor sprzężony prądów gałęziowych (3.9). Macierz jednostkowa czasu T jest definiowana następująco: T t (3.14) 4. WERYFIKACJA METODY ROZWINIĘTYCH MACIERZY OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO Prądy gałęziowe w obwodach elektrycznych można obliczyć między innymi metodą prądów oczkowych Maxwella z równania [2]: I -1 n= B Io = Zo E o (4.1) gdzie: B macierz łącząca prądy oczkowe z prądami gałęziowymi, I o wektor prądów oczkowych, Z o macierz impedancji oczkowych, E o wektor sił elektromotorycznych oczkowych, I n wektor rozwinięty prądów gałęziowych (3.5). Macierze B i Z o oraz wektory Eo i Io są definiowane następująco: B B B B 1,1 1,2 1,i 1,m B B B B 2,1 2,2 2,i 2,m B B B B B k,1 k,2 k,i k,m (4.2) B B B B n,1 n,2 n,i n,m gdzie: B współczynnik ( B =0,±1 ). k,i k,i

8 318 Piotr Frączak Z -Z -Z -Z 1,i 1,m 1,1 1,2 -Z Z -Z -Z 2,1 2,2 2,i 2,m Z o -Z -Z Z -Z i,1 i,2 i,i i,m -Z -Z -Z Z m,1 m,2 m,i m,m Io E o 1 (Σ ±E) 1 1 E o2 (Σ ±E) I 2 o 2 Eo = I o E o i (Σ ±E) i I o i E o m (Σ ±E) m I om (4.3) (4.4) (4.5) 5. OBLICZANIE W PROGRAMIE MATHCAD OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO ZA POMOCĄ METODY ROZWINIĘTYCH MACIERZY W celu dokonania analizy obwodu prądu przemiennego w programie Mathcad [3] zastosowano metodę macierzy rozwiniętych. W środowisku programu Mathcad napisano odpowiednie równania (3.4), (3.6), (3.10),(3.11) i (3.13) ujmujące prądy, moce i energie oraz wpisano parametry obwodu. Ponadto obliczone prądy gałęziowe obwodu metodą macierzy rozwiniętych zweryfikowano metodą Maxwella prądów oczkowych.

9 Metoda macierzowa obliczania obwodów prądu przemiennego 319 Rys.2. Schemat obwodu elektrycznego czterooczkowego w ujęciu liczb zespolonych

10 320 Piotr Frączak

11 Metoda macierzowa obliczania obwodów prądu przemiennego 321

12 322 Piotr Frączak 5. WNIOSKI Metoda macierzy rozwiniętych analizy obwodów prądu przemiennego w ujęciu liczb zespolonych, sprowadza się do zdefiniowania dwóch macierzy (macierz rozwinięta impedancji i macierz jednokolumnowa rozwinięta sił elektromotorycznych). Analizę obwodów prądu przemiennego w ujęciu liczb zespolonych metodą macierzy rozwiniętych można przeprowadzać w środowisku programu numerycznego Mathcad. Obliczenia prądów gałęziowych obwodu prądu przemiennego metodę macierzy rozwiniętych, zweryfikowano metodą Maxwella prądów oczkowych, otrzymano identyczne wyniki. Opracowana metoda macierzy rozwiniętych obliczania obwodów prądu przemiennego w ujęciu liczb zespolonych, stanowi doskonałą pomoc dydaktyczną w nauczaniu teorii obwodów elektrycznych. LITERATURA [1] Bolkowski S., Teoria obwodów elektrycznych, wyd. 5, Warszawa, WNT 1995, ISBN [2] Frączak P., Obliczenia numeryczne obwodów elektrycznych i układów cyfrowych, Szczecin, Wydawnictwo PPH,,Zapol Dmochowski, Sobczyk Sp.j. 2012, 173 s., ISBN [3] Palczewski W., Mathcad 12,11, 2001i, 2000 w algorytmach, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 2005, ISBN THE MATRIX METHOD OF CALCULATING CIRCUITS OF AC CURRENTS The paper presents the original matrix method developed for the circuits analysis of current AC in in the record of complex numbers. This method describ electrical circuits by of the developed impedance matrix and of the developed electromotive forces vector.the impedance matrix and the vector of electromotive forces in the described form of matrix equation they contain of branch currents. The calculated values of the branch currents of the electric circuit using the developed matrix method were compared with the values of the currents determined by Maxwell's loop current method. The same values of branch currents were obtained. In addition, the developed matrix method was used to calculate the power and electric energy respectively branch and total. Calculations of the above-mentioned electrical values of the circuit were carried out in the environment of the Mathcad numerical program (Received: , revised: )