Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):"

Transkrypt

1 Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): ( ) Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x 2 (b) 7 3 x+1 5 x+2 = 3 x+4 5 x+3 2 x 4 2x 8 3x = 128 (d) (3 x ) 2x (81 ( ) x 1 1 x ) x = 9 x2 +4 (e) 5 x 25 5 x = 24 (f) = 9 2x 3 (g) 2 x+2 2 x+1 2 x 2 2 x 1 (h) 4 x +8 < 6 2 x (i) 3 2x 1 3 x Obliczyć lub uprościć: log 1 36 log log5 9 log 3 5 log log log ( ) 1 e ln log 6 2+log 6 18 log 3 2 log 9 2 ln 2+log 2 e log 1 3+log log Jaki dochód przyniesie po 4 latach lokata w wysokości 1000 zł oprocentowana w wysokości 6% rocznie jeżeli odsetki dopisywane są raz w roku? O ile zmieni się dochód jeżeli kapitalizacja jest miesięczna? 5. Nominalne oprocentowanie lokaty wynosi 6% w stosunku rocznym. Jakie jest oprocentowanie efektywne jeżeli odsetki dopisywane są co miesiąc? 6. Wpłacasz do banku 100 zł w formie lokaty długoterminowej ze stałym oprocentowaniem 6% w stosunku rocznym. Po jakim czasie wartość lokaty przekroczy 1000 zł gdy odsetki dopisywane są: raz w roku (b) co miesiąc. 7. Oprocentowanie lokaty wynosi r 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji: miesięcznej (b) dziennej n razy w roku w równych odstępach czasu. 8. Rozwiązać równania: log 3 (x+1) = 2 (b) ln 2 x+3 ln x = 4 log 2 x+log 8 x = 12 (d) log 5 x + log 5 (x + 5) = 2 + log 5 2 (e) log x 2 log 4 x = Rozwiązać nierówności: log 3 x < 1 3 (b) log 1 x 2 log 2 2 x log 2 x 2 (d) log 1 3 x 1 x + 2 log 1 (x 1) log 1 6 (e) log log 3 x + 1 > 0.

2 Matematyka Lista Rozwiązać układy: { 2 log3 x log 3 y = 2 10 y x = { { xy = 36 x (b) x log 3 y = 16 y = 9 y = log 3 x Naszkicować wykresy funkcji: y = 3 x 3 (b) y = 2 x y = log 2 (2x) (d) y = ln x. Wskazówki i odpowiedzi do zadań 2. a) 5/8 b) 1 c) 1/2 d) 2 2 e) 2 f) 1/5 g) h) (1 2) i) [1 ) (1.06) (1.005) [(1.005) 12 1] 100%. 6. a) l: 100 (1.06) l > 1000 b) m: 100 (1.005) m > a) (1 + r/12) 12 1 b) (1 + r/365) c) (1 + r/n) n a) 8 b) e 4 e c) 2 9 d) 5 e) 8 1/ a) x (0 1/ 3 3) b) x 1/4 c) x (0 1) d) x 3 e) x < a) x = 3 y = 1 lub x = 6 y = 4 b) x = 9 y = 4 lub x = 4 y = 9 c) x = 3 y = 2 lub x = 1/9 y = 1.

3 Matematyka Lista 2 3 Matematyka Lista 2 1. Wykonać podane działania (wynik zapisać w postaci algebraicznej). a) (1 3i) + (4 5i) b) ( 1 + 2i ) ( 3 6i ) c) ( 7 3i ) ( 7 + 3i ) d) 2 + 3i 1 + i e) z w z 2 w z w z + w Re z + i Im w dla z = 5 2i w = 3 + 4i. z + w 2. Znaleźć liczby rzeczywiste x y spełniające podane równania: a) x (2 + 3i) + y (5 2i) = 8 + 7i b) (2 + yi) (x 3i) = 7 i c) 1 + yi x 2i = 3i 1 x + yi d) x yi = 9 2i 9 + 2i. 3. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania: a) z 2 = 4 z b) z 2 4z + 13 = 0 c) (z + 2) 2 = ( z + 2) 2 d) (1 + i) z + 3 (z i) = 0 e) 1 + i z = 2 3i z f) z 3 = Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających podane warunki: a) 4 = z z b) Re (iz + 2) 0 c) (z i) = z 1 d) Im z 2 < 0 e) Im 1 + iz = 1 1 iz f) z z + (5 + i) z + (5 i) z + 1 = Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych: a) 3i b) 6 8i c) i d) 1 + 3i 3 4i. 6. Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki: a) z 3 + 4i = 1 b) 2 iz 5 < 3 c) z 1 + 3i 5 d) z 2i z + 1 = 1 e) z + i z f) z + 1 2i 3 oraz z 3 < Obliczyć iloczyny podanych par wielomianów: a) P (x) = x 4 3x 3 + x 1 Q (x) = x 2 x + 4 x R b) W (z) = z 3 + 5z 2 iz + 3 V (z) = (1 + i) z 2 z C. 8. Obliczyć ilorazy oraz reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany Q jeżeli: a) P (x) = 2x 4 3x 3 + 4x 2 5x + 6 Q (x) = x 2 3x + 1

4 Matematyka Lista 2 4 b) P (x) = x Q (x) = x c) P (z) = z 5 z Q (z) = (z i) Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów: a) x 3 + x 2 4x 4 b) 3x 3 7x 2 + 4x 4 c) x 5 2x 4 4x 3 + 4x 2 5x + 6 d) x 4 + 3x 3 x x Znaleźć pierwiastki podanych równań kwadratowych i dwukwadratowych: a) z 2 4z + 13 = 0 b) z 2 (3 2i) z + (5 5i) = 0 c) z 4 + 8z = 0 d) z 4 3iz = Znając niektóre pierwiastki podanych wielomianów rzeczywistych znaleźć ich pozostałe pierwiastki. a) W (x) = x 3 3 2x 2 + 7x 3 2 x 1 = 2 + i b) W (x) = x 4 2x 3 + 7x 2 + 6x 30 x 1 = 1 3i c) W (x) = x 6 2x 5 + 5x 4 6x 3 + 8x 2 4x + 4 x 1 = i x 2 = 2i d) W (x) = x 6 6x x 4 28x x 2 22x + 14 x 1 = 1 i x 2 = 2 3i. 12. Podane wielomiany rzeczywiste przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych: a) x b) x 4 + x c) x 4 x d) 4x 5 4x 4 13x x 2 + 9x Podane funkcje wymierne rozłożyć na sumy wielomianów oraz funkcji wymiernych właściwych: a) x5 3x 2 + x x 3 + 4x b) x5 + 3 x c) x4 + 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5 x 3 + 2x 2 + 3x Zaproponować rozkłady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych właściwych na rzeczywiste ułamki proste (nie obliczać nieznanych współczynników): a) c) x 2 + 2x 7 x 3 (x 1) (x + 5) 2 b) x 3 8x 4 (x 2 + 4) (x 2 + x + 3) 3 x 4 + x 3 (x + 3) 2 (x 2 4x + 5) Podane rzeczywiste funkcje wymierne właściwe rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste: a) d) 12 (x 1) (x 2) (x 3) b) x 2 x 4 1 c) 4x (x + 1) (x 2 + 1) 2 x 2 + 2x (x 2 + 2x + 2) 2 e) 1 x 3 + x f) x x 3 (x + 1) 2.

5 Matematyka Lista 3 5 Matematyka Lista 3 Zapoznać się z przykładami i zadaniami ze skryptu T. Jurlewicz i Z. Skoczylas Algebra liniowa 1 Przykłady i zadania 1. Dla następujących macierzy: A = [ ] [ B = ] C = wykonać te z działania A + B A C 2A 3B A B + C AC CA A T C T A C T C T B T (A T + C) T (C B T )A ABC ACB CA T B które są poprawne. 2. Obliczyć wyznaczniki: (b) Stosując rozwinięcie Laplace a obliczyć wyznaczniki: (b) Stosując operacje elementarne na wierszach i kolumnach obliczyć: (b) (d) (e) Znaleźć macierze odwrotne do podanych: [ ] (b) Sprawdzić poprawność obliczeń(czy AA 1 = I).

6 Matematyka Lista Rozwiązać równania macierzowe: [ ] [ ] X = (b) ([ ] 1 + 4X) = [ [ ] [ (d) 3X+ ] [ 1 3 X ] = ] = [ [ ] ] X. 7. Dla jakich wartości parametru p są układami Cramera: { px + 3y + pz = 0 (p + 1)x py = 1 2x + (p 1)y = 3p (b) px + 2z = 3 x + 2y + pz = p. 8. Korzystając ze wzorów Cramera rozwiązać układ x + 2y + 3z = 1 2x + 3y + z = 3 3x + y + 2z = 2 (b) x + 2y + 3z = 14 4x + 3y z = 7 x y + z = Stosując wzór Cramera obliczyć niewiadomą y z układu: 3x + 7y + 2z + 4t = 2y + z = 5x + 3y + 2z = x + 4y + z 1 = 0 (b) x+2y 4 = 3y+4z 6 = 5z+6s = 7s+8t = x+y+z+s+t 2 = Rozwiązać układy metodą macierzy odwrotnej: 2x y = 3 3x + y = 2 (b) x + 2y = 0 2x y = 5 x + y + z = 5 2x + 2y + z = 3 3x + 2y + z = 1 (d) x + y + z = 4 2x 3y + 5z = 5 x + 2y z = Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa. 3x + 4y + z + 2t = 3 6x + 8y + 2z + 5t = 7 (e) (b) (d) 9x + 12y + 3z + 10t = 13 3x 5y + 2z + 4t = 2 7x 4y + z + 3t = 5 5x + 7y 4z 6t = 3 3x 2y + 5z + 4t = 2 6x 4y + 4z + 3t = 3 9x 6y + 3z + 2t = 4 3x + 2y + 2z + 2t = 2 2x + 3y + 2z + 5t = 3 9x + y + 4z 5t = 1 2x + 2y + 3z + 4t = 5 7x + y + 6z t = 7 2x y + z + 2t + 3u = 2 6x 3y + 2z + 4t + 5u = 3 6x 3y + 4z + 8t + 13u = 9 4x 2y + z + t + 2u = 1

7 Matematyka Lista Wyznaczyć wierzchołek D równoległoboku ABCD o trzech kolejnych wierzchołkach A = (2 1 3) B = (2 2 3) C = (0 3 1). Obliczyć długości boków. Wyznaczyć przekątne tego równoległoboku (wektory) i ich długości. Wyrazić środkowe trójkąta ABC przez boki tego trójkąta. 13. Znaleźć wersor u który tworzy jednakowe kąty z wektorami a = (0 3 4) b = (8 6 0) i jest położony w płaszczyźnie wyznaczonej przez te wektory. 14. Korzystając z iloczynu skalarnego obliczyć kąty: między wektorami a = ( 3 0 4) b = (3 1 0); (b) między przekątnymi równoległoboku ABCD z zad. 12; w trójkącie ABD z zad Wyznaczyć rzut prostopadły wektora a = (3 4 1) na prostą tworzącą jednakowe kąty z dodatnimi osiami układu współrzędnych. 16. Obliczyć iloczyny wektorowe wektorów: a = ( 3 2 0) b = (1 5 2) (b) u = 2 i 3 k v = i + j 4 k. Sprawdzić czy odpowiednie wektory są prostopadłe. 17. Obliczyć pole powierzchni: równoległoboku z zad. 12; (b) trójkąta ABC : A = (1 1 3) B = (0 2 3) C = (2 2 1). 18. Sprawdzić czy współpłaszczyznowe są: wektory a = ( 1 3 5) b = (1 1 1) c = (4 2 0); (b) punkty P = (0 0 0) Q = ( 1 2 3) R = (2 3 4) S = (2 1 5). 19. Wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny która przechodzi przez: punkt P = (1 2 0) i jest prostopadła do n = (0 3 2); (b) punkty P 1 = (0 0 0) P 2 = (1 2 3) P 3 = ( 1 3 5); P 1 = (1 3 4) P 2 = (2 0 1) i jest prostopadła do π : xoz; (d) P = (1 1 3) i jest równoległa do a = (1 1 0) i b = (0 1 1). 20. Napisać równanie parametryczne i kierunkowe prostej która: przechodzi przez punkt P = ( 3 5 2) i jest równoległa do wektora v = (2 1 3); (b) przechodzi przez punkty P = (1 0 6) i Q = ( 2 2 4); jest wspólną krawędzią dwóch płaszczyzn: π 1 : 2x + y z + 3 = 0 i π 2 : x 2y + z 5 = Wyznaczyć kąt między: x 3 prostą l : = y 1 = z + 2 i płaszczyzną π : x z = 0; (b) plaszczyznami π 1 : x 2y + 3z 5 = 0 π 2 : 2x + y z + 3 = Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P = (2 3 1) względem: punktu S = (1 1 2); (b) płaszczyzny π : 2x y + z 6 = 0.

8 Matematyka Lista 3 8 Matematyka wskazówki i odpowiedzi 2. a) 1; b) 1; c) a) 289; b) 275; c) a) 50; b) 13; c) 44; d) 12 e) a) p 1 2 p 1 + 2; c) p R. 9. a) 5/11; b) a) z = 1 3x 4y t = 1; b) sprzeczny; c) z = 6 15x + 10y t = x 12y; d) x = ( 6 + 8t)/7 y = (1 13t)/7 z = (15 6t)/7; e) z = 1 8x + 4y t = 0 u = 1 + 2x y. 13. u = ±(1/ 17)( 2 3 2). 15. u = ( a b/ b 2 ) b = (2 2 2) gdzie b = (1 1 1). 18. użyć iloczynu wektorowego. 19. a) 3y 2z + 6 = 0; b) 19x 8y z = 0; c) 5x + z 9 = 0; d) x y + z 5 = a) (x + 3)/2 = (y 5)/( 1) = (z 2)/3; b) (x 1)/( 1) = y/2 = (z 6)/( 2). 21. a) cos α = 1/ 26; b) cos α = 3/ a) (0 5 5); b) (6 1 1).

9 Matematyka lista 4 9 Matematyka Lista 4 1. Zbadać monotoniczność ciągu: a n = 2n + 7 (b) b n = ( 1) n n c n = 1 2/n. 2. Podać wyraz a 3 a n+1 a 2n gdy: a n = n2 n + 1 (b) a n = ( 1) n+1 ( ) n 2 a n = 1 3 n n + 1 2n. 3. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu arytmetycznego oraz sumę S 20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: a 3 = 3 a 12 = 21 (b) a 1 + a 2 + a 3 = 18 a a a 2 3 = Obliczyć sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Długość najkrótszego boku jest równa p. Obliczyć pole tego trójkąta pole koła opisanego na tym trójkącie oraz pole koła wpisanego w ten trójkąt. 6. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu geometrycznego oraz sumę S 20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: a 3 = 54 a 6 = 2 (b) iloraz q = 1 2 oraz S 7 = Zamienić na ułamek zwykły (b) Rozwiązać równanie x 2 x 3 + x 4 = W okrąg o promieniu r wpisujemy kwadrat. W ten kwadrat wpisujemy okrąg. Powtarzamy tę operację uzyskując nieskończony ciąg okręgów i kwadratów. Obliczyć sumę pól tych kwadratów. 10. Obliczyć granice ciągów: a n = 2n2 n + 1 3n n (b) b n = n6 n 2 n c n = n4 n + 2 2n (d) d n = 3 n n 2 1 (f) f n = 3n + 2 n 3 n 2 n (g) g n = (e) e n = n( n n) ( 1 1 n ( n) n (h) h n = (i) i n = n n (j) j n = 1 n n n n (k) k n = n 3 n + 2 n (l) l n = 1 n n n 2 + n. 11. Oprocentowanie lokaty wynosi r 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji ciągłej (graniczny przypadek kapitalizacji n razy w roku w równych odstępach czasu gdy n ). Jakie jest efektywne oprocentowanie po czasie t lat (t 0) przy kapitalizacji ciągłej?

10 Matematyka lista Obliczyć granice przy x + oraz przy x dla funkcji f(x): x 7 x 4 +x (b) x x 3 x x 1 (d) (e) x x + 1 x 3 2 (x 2 + 1)(x + 3) (f) x 2 x + 1 x + 2 (g) x 3 3x 2 4 x2 3x Obliczyć (gdy istnieją) granice: x 2 9 lim x 3 x + 3 x 3 1 (b) lim x 1 x 2 1 x 1 lim x 1 x 1 (d) lim x 0 x + 1. x 14. Na stożku o promieniu podstawy r i wysokości x opisano kulę. Niech R(x) oznacza jej promień. Obliczyć granicę lim x 0+ R(x) lim x R(x). Czy można podać te granice nie wyznaczając funkcji R(x)? 15. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji: y = 2x3 + 2 x 3 + x 2 (b) y = x2 1 x 2 2 y = x3 + 8 x 2 4 (d) y = 16. Dobrać parametry a b R tak aby podana funkcja f(x) była ciągła: 1 1 x. f(x) = { bx + 3 : x < 1 2x 2 + x + a : x 1 (b) f(x) = { x : x 1 x 2 + ax + b : x > Wykazać że każde z poniższych równań ma pierwiastek: x 3 + x = 3 (b) x 3 + x = 3 (dokładnie jeden) x + 3 = x 2 + x 2 (d) x 3 + 3x 2 = 3 (dokładnie trzy). 18. Uzasadnić że równanie x 4 + x = 5 ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Obliczyć na kalkulatorze ten pierwiastek z dokładnością Znaleźć przyrost y funkcji y = x 2 /2 przy x = 2 zakładając przyrost x zmiennej niezależnej x równy 0.5 (b) 0.2. Wykonać odpowiedni rysunek. 20. Wyznaczyć przyrost y i iloraz różnicowy y/ x odpowiadające przyrostowi x argumentu x dla funkcji: y = ax+b (b) y = 1/(2x+1). Wyznaczyć pochodną funkcji y = y(x) jako granicę ilorazu różnicowego. 21. Obliczyć pochodne funkcji: y = ax 3 + b x + c (b) y = 9x7 + 3x 5 3x 11 y = 3 3x 2 (d) y = 5 x 2 (e) y = x + 1 x 1 (f) y = x 2 4 (g) y = 3 x 1 3 x (h) (x 2) ln x (i) y = x 3 e x (j) 3 x(ln x e x ) (k) x2 ln x e x + x ( (l) v = (4z 2 5z+13) 5 (m) s = 2 7t 2 4 ) 6 t + 6 (n) y = 5e 2x

11 Matematyka lista 4 11 (o) y = 5 x + 2 x (p) y = 3 x x 3 (r) y = ln ln x (s) y = ln (t) s = ln 5 x t 1 t (u) y = arctg(3x) (w) y = arctg(x x 2 + 1). 22. W jakim punkcie styczna do linii y = (x 8)/(x + 1) tworzy z osią Ox kąt równy połowie kąta prostego? (b) Znaleźć na linii y = e x punkt w którym styczna jest równoległa do prostej x y + 7 = 0. Jaki związek powinien zachodzić pomiędzy współczynnikami równania paraboli y = x 2 + px + q aby ta parabola była styczna do osi odciętych? (d) W jakim punkcie krzywej logarytmicznej y = ln x styczna jest równoległa do prostej y = 2x? 23. Korzystając z różniczki obliczyć przybliżoną wartość: 3 63 (b) e (d) ln Wykazać prawdziwość nierówności: x > ln(1+x) x > 0 (b) e x x+1 2x arctg x ln(1+x 2 ). 25. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: y = x(3 2 x) (b) y = x/(1 + x 2 ) y = 2x 3 12x Wyznaczyć przedziały wypukłości wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: y = x 3 3x 2 (b) y = x/(1+x 2 ) y = arctg x (d) y = x+1/x. 27. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: y = x x x 50 (b) y = x 1 x y = x x Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale: y = x 4 2x 2 +5 w [ 2 2] (b) y = 1 24x+15x 2 2x 3 w [1 3]. 29. Zbadać przebieg zmienności funkcji: y = x 3 + 3x 2 9x 2 (b) y = x2 3 x 2 ln x y =. x 30. Liczbę 20 rozłożyć na sumę takich dwóch składników dodatnich których suma kwadratów jest najmniejsza. 31. W kulę o promieniu R wpisano walec. Obliczyć przy jakiej wartosci promienia r podstawy walca pole jego powierzchni bocznej S będzie największe.

12 Matematyka lista Napisać wielomian Maclaurina z resztą R n dla podanych funkcji: e rx (b) 1 e x2 (d) ln(1 + x) (e) x x Wskazówki i odpowiedzi 1. a) b) nie monoton. c). 3. a) a 1 = 1 r = 2 b) r = 2 a 1 = 4 lub r = 2 a 1 = S 300 = (( )/2)300 = p 2 /3 5p/6 p/3. 6. a) a 1 = 486 q = 1/3 b) a 1 = a) 17/9 b) 31/ x = 1/ r a) 2 b) 0 c) + d) 0 e) 1 f) 1 g) e 2 h) 1/e i) 1/4 j) 1/2 k) 3 l) e r 1; e rt a) + b) 0 + c) 0 0 d) 1 1 e) 1 1 f) 1 1 g) 2/9 2/ a) 6 b) 3/2 c) 1/2 d) nie istnieje a) y = 2 w ± x = 0 b) y = 1 w ± x = 2 x = 2 c) y = x w ± x = 2 d) y = 1 w ± x = 0 lewostr. 16. a) b = a b) a = 1 b = a) 3ax 2 b/x 2 b) 63x 6 15x 6 +33x 12 c) 9/(3x 2) 2 d) 2/(5 5 x 3 ) e) 2/(x 1) 2 f) x/ x 2 4 g) 1/(3( 3 x) 2 (1 3 x) 2 ) h) (x 1)/x + ln x i) x 2 (x + 3)e x j) (ln x e x )/(3 3 x 2 ) + 3 x(1/x e x ) k) ((2x 1/x)(e x + x) (x 2 ln x)(e x + 1))/(e x + x) 2 l) 5(4z 2 5z + 13)(8z 5) m) 12(7t 2 4/t + 6) 5 (14t + 4/t 2 ) n) 10e 2t o) 5 x ln x ln 2 p) (3 x ln 3) x x 3x 2 r) (1/ ln x) (1/x) s) 1/(x 2) t) 1/(1 t 2 ) u) 3/(1 + 9x 2 ) w) 1/2(x 2 + 1). 22. a) ( 4 4) lub (2 2) b) (0 1) c) y = 0 y = 0: p 2 + 4q = 2 d) (2 ln 2). 23. a) 4 1/48 b) c) 1/2 + 1/800 d) a) Niech f(x) = x ln(1 + x) dla x [0 ); f (x) = x/(1 + x) > 0 dla x > 0 czyli f(x) rosnąca na [0 ); f(0) = 0 więc f(x) > 0 dla x > 0. b) Niech f(x) = e x (x + 1) dla x R; f (x) = e x 1 stąd f(x) malejąca na ( 0] i rosnąca na [0 ); f min = f(0) = 0 więc f(x) 0 dla x R. c) jak b). 25. a) : x [0 1] : x > 1 b) : x [ 1 1] : na x < 1 i na x > 1 c) : na ( 2 i na ( 2 ) : x [ 2 2]. 26. a) : (1 ) : ( 1) pp: x = 1 b) : ( 0) : (0 ) pp: x = 0 c) : (0 ) : ( 0) pp: x = a) y max = y( 6) y min = y( 2) b) y max = y(2/3) c) y min = y( 1) y min = y(1). 28. a) max: y( 2) = y(2) = 13 min: y( 1) = y(1) = 4 b) max: y(3) = 10 min: y(1) = ; wyznaczyć jako wartość największą odpowiedniej funkcji. 31. S = 4πr R 2 r 2 osiąga max dla r = R/ a) e t dla t = rx b) por. 1/(1 + x) = 1/(1 ( x)) i wzór na sumę ciągu geometr. c) e t dla t = x 2.

13 Matematyka lista 5 13 Matematyka Lista 5 1. Obliczyć całki nieoznaczone: (3x 3 +2 x 1)dx (b) x(x 1)(x 2)dx 2 3 x 3 x x (d) dx (e) dx (f) x x x 2 x (h) (9x 2 x + 1) 2 2 x dx (i) 3 dx (j) x 2. Obliczyć całki całkując przez części: xe 3x dx (b) ln x dx (e) ln x x dx (f) x2 ln x dx (g) x 2 e x dx dx (g) x + 3 dx x 2 x 2 x dx e x 2 x 5 x dx. (d) arctg x dx (h) x ln x dx (ln x) 2 dx. 3. Obliczyć całki całkując przez podstawienie: x a x dx (b) (5 3x) 10 dx + bx dx (d) xe x2 dx (e) 4. Obliczyć całki: dx x 2 + 2x + 8 (d) x dx x (e) 5. Obliczyć całki oznaczone: x x dx (b) (f) x(x + 2) dx x 2 + 2x + 2 dx x 3 4x ln 2 x x dx (f) (g) ln x x x 2 dx x 2 + 2x + 5 2x 4 + 5x 2 2 2x 3 x 1 dx. dx x 1 3x + 1 dx (b) 1 1 (x 3 x + 1)dx 2 1 x dx. 6. Wyznaczyć wzór na prędkość v(t) i drogę s(t) w ruchu prostoliniowym ze stałym przyspieszeniem a(t) = a gdy v(0) = v 0 i s(0) = s Obliczyć całki stosując podstawienie: 4 0 dx 1 + x x = t2 (b) 1 0 e x e 2x + 1 dx 2 3 dx x 2 + 2x Obliczyć całkując przez części: 2 0 xe x dx (b) 1 0 x 2 arctg xdx e 1 ( ) 2 ln x dx. x

14 Matematyka lista Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolami y = x 2 y 2 = x (b) parabolą y = 2x x 2 i prostą x + y = 0 krzywą y = ln x osią 0x i prostą x = e (d) krzywą y = (1 x 2 )5 i osiami układu. 10. Punkt materialny o masie m porusza się po linii prostej z prędkością v = (12t t 2 ) m/s. Jaką drogę przebędzie ten punkt od chwili początkowej do chwili zatrzymania się? 11. Obliczyć długość krzywej: 9y 2 = 2x 3 0 x 2 (b) y = ln(1 x 2 ) 0 x Obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu łuku paraboli y 2 = 4x dla 0 x 3 dokoła osi Ox oraz objętość bryły ograniczonej tą powierzchnią i płaszczyzną x = Posługując się całką oznaczoną wyprowadzić wzór na objętość kuli i pole powierzchni sfery o promieniu r. 14. Zbadać przekroje wykresów funkcji z = z(x y) i na tej podstawie naszkicować te wykresy: 3x + 2y + z 6 = 0 (b) z 2 = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 (d) z = xy. 15. Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego funkcji: z = xy (b) z = xe xy z = x 2 y + ln(xy). 16. Znaleźć ekstrema funkcji z = z(x y): z = x 2 + xy + y 2 2x y (b) z = x 3 y 2 (6 x y). 17. Znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji z = z(x y) w podanym obszarze: z = x 2 + 2xy 4x + 8y w obszarze D : 0 x 1 0 y 2 (b) z = x 3 + y 2 3x 2y 1 w obszarze D : x 0 y 0 x + y 1 z = x 2 xy + y 2 w obszarze D : x + y Wyznaczyć odległość punktu A = (0 3 0) od powierzchni y = zx. 19. Liczbę dodatnią a przedstawić w postaci sumy takich trzech liczb dodatnich aby ich iloczyn był największy. 20. Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 64 m 3. Do budowy ścian magazynu używane są płyty w cenie 30 zł/m 2 do budowy podłogi w cenie 40 zł/m 2 a sufitu 20 zł/m 2. Znaleźć długość a szerokość b i wysokość c magazynu którego koszt budowy będzie najmniejszy. 21. Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej y = f(x) określonej równaniem: x 2 + y 2 8x 4y + 19 = 0 (b) y 3 + 2xy + x 2 = 0 x 2 + y 4 = Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej z = f(x y) określonej równaniem: x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 2z + 2 = 0 (b) z 2 + xyx zy 2 x 3 = 0.

15 Matematyka lista Metodą mnożników Lagrange a wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji f(x y) przy danym warunku g(x y) = 0: f(x y) = x 2 + y 2 g(x y) = xy 1 (b) f(x y) = x 3 + y 3 g(x y) = x + y 2 x 0 y 0 f(x y) = 1/x + 1/y g(x y) = 1/x 2 + 1/y 2 1 x 0 y 0. Wskazówki i odpowiedzi 1. a) (3/4)x 4 + (4/3)x x x + c b) x 4 /4 x 3 + x 2 + c c) ln x 3/x + c d) 6 3 x 3 ln x + c; e) x arctg x + c g) (1/3) ln(x 3 + 8) + c h) 81/5x 5 18/4x /3x 3 x 2 + x + c i) 3/8 3 x 8 6/7 6 x a) e 3x (3x + 1)/3 + c b) x ln x x + c c) x 2 (2 ln x 1)/4 + c d) (1 + ln x)/x + c e) x arctg x (1/2) ln(x 2 + 1) + c f) x(ln x) 2 2x ln x + 2x + c. 3. a) e x2 /2 + c b) (5 3x) 11 /33 + c c) ( x 2 + 1) 3 /3 + c d) (ln x) 2 /2 + c e) (1/2)arctg(x 2 )+c f) 2( a + bx) 3 /3b+c. 4. a) (1/ 7)arctg((x+1)/ 7)+c b) x 2arctg(x + 1) + c c) x ln(x 2 + 2x + 5) (3/2)arctg((x + 1)/2) + c d) (1/6) ln((x 3 + 1)/(x + 1) 3 ) + (1/ 3)arctg((2x 1)/ 3) + c e) (1/8) ln((x 2 4)/x 2 ) + c f) x 2 /2 + ln 2x 3 x 1 + arctg(2x + 1) + c. 5. a) 2 (2 ln 7)/3 b) 2 c) 5/2. 6. v(t) = at + v 0 s(t) = at 2 /2 + v 0 t + s a) 4 2 ln 3 b) artctg e π/4 c) 1/2. 8. a) 1 3/e 2 b) π/12 (1 ln 2)/6 c) 2 5/e. 9. a) 1/3 b) 9/2 c) 1 d) 1/ s = 12 (12t 0 t2 )dt = 288 m. 11. a) 8(2 2 1)/3 b) ln 3 1/ D = 56π/3 V = 18π. 14. a) płaszczyzna; b) stożek; c) paraboloida obrotowa; d) siodło. 15. a) z x = y z y = x z xy = z yx = 1 z xx = z yy = 0; b) z x = (xy + 1)e xy z y = x 2 e xy z xy = z yx = (2x + x 2 y)e xy z xx = (2y + xy 2 )e xy z yy = x 3 e xy ; c) z x = 2xy+1/x z y = x 2 +1/y z xy = z yx = 2x z xx = 2y 1/x 2 z yy = 1/y a) z min = z(1 0) = 1; b) z max = z(3 2) = a) 3 17; b) 4 1; c) a/3 + a/3 + a/ a = b = c = a) dla x = 4 min y = 1 i max y = 3; b) max y = 1 w x = a) z 1 w (1 1) min z = 1 i max z = 2 na dwóch gałęziach; b) w ( 6 6 3) min z = 12 3 i w ( 6 6 3) max z = a) w (1 1) i w ( 1 1) min = 2; b) w (1 1) min = 2; c) w ( 2 2) min = 2 w ( 2 2) max = 2.

16 Matematyka lista 6 16 Matematyka Lista 6 1. Rozwiązać równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych: dy dx = 2y x dy (b) 2x2 dx = y dy dx = 2xy2 x 2 dy dx. 2. Znaleźć rozwiązanie r.r. spełniające warunek początkowy y(1) = 0: (1 + x 2 )xy dy dx = 1 + y2 (b) dy dx = 2xb (y 2 + 1) b R. 3. W pewnym ruchu stosunek prędkości do przebytej drogi jest wielkością stałą i wynosi 2. W chwili t = 0 przebyta droga wynosiła x = 2 cm. Obliczyć przebytą drogę do chwili t = 5 sek. 4. Wyznaczyć równanie linii przechodzącej przez punkt A(2 3) takiej że każdy odcinek stycznej do tej linii zawarty między osiami układu jest dzielony na połowy przez punkt styczności. 5. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe: dy dx = 3y x + x dy (b) dx + 2y = e3x x dy dx + x2 + xy = y. 6. Znaleźć całki szczególne spełniające dane warunki początkowe: y y = e x y(0) = 1 (b) (1 x 2 )y + xy = 1 y(0) = W chwili t = 0 skoczek spadochronowy o masie m wyskakuje z samolotu i opada swobodnie na ziemię (z zamkniętym spadochronem). Na ciało skoczka działają jedynie siła grawitacji (F g = mg) i skierowana przeciwnie do kierunku ruchu siła oporu powietrza proporcjonalna do prędkości skoczka (tzn. F o = kv gdzie k > 0 jest stałą proporcjonalności). Znaleźć wzór na prędkość opadania skoczka w chwili t > 0. (b) Jaką maksymalną prędkość może osiągnąć skoczek? 8. W chwili t = 0 agencja rządowa ma 6000 pracowników wśród których 25% to kobiety. Średnio w ciągu tygodnia agencję opuszcza 100 osób przy czym udział kobiet wśród odchodzących jest taki sam jak wśród dotychczas zatrudnionych. Średnio w ciągu tygodnia do pracy przyjmowanych jest 50 nowych pracowników z których połowę stanowią kobiety. Ilu pracowników będzie miała agencja w 40 tygodniu? (b) Jaki będzie udział kobiet wśród osób pracujących w agencji w 40 tygodniu?

17 Matematyka lista 6 17 Wskazówki i odpowiedzi 1. a) y = Cx 2 b) y = C e 1/2x c) C(1+x 2 ). 2. a) 1+y 2 = Cx 2 /(1+x 2 ) C = 2 b) y = tg(2x b+1 /(b+1)+c) i C = 2/(b+1) gdy b 1; y = tg ln(cx 2 ) i C = 1 gdy b = v(t) = dx(t)/dt v(t)/x(t) = 2; stąd x(t) = Ce 2t z C = RR: xy (x) = y(x); y = C/x z C = a) y = cx 3 x 2 b) y = ce 2x + e 3x /5 c) y = cxe x x. 6. a) y = e x (x + 1) b) y = x + 1 x a) v(t) = mg k (1 e k m t ) b) v max = mg k. 8. Niech W (t) oznacza liczbę kobiet pracujących w agencji w chwili t. Wówczas: a) W (t) = ( t) 2 ; b) W (40) t /3 100% = 100% = %.

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r.

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r. Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 011 r. 1. Mamy 6 elementów. Ile jest możliwych permutacji tych elementów jeśli: a) wszystkie elementy są różne, b) dwa elementy wśród nich są identyczne, a wszystkie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Wymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14

Wymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14 z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14 Liczby rzeczywiste Wiadomości i umiejętności rozpoznać liczby naturalne w tym pierwsze i złożone,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

PRACA KONTROLNA nr 1

PRACA KONTROLNA nr 1 XXXV KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 005r. 1. Niech f(x) = x + bx + 5. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru b, dla których: a) wykres funkcji f jest symetryczny względem

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 2014 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) ( Liczba 9 3 6 4 27) jest

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 01 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ (A) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Poziom podstawowy Klasa IIIb r.szk. 2014/2015 PLANIMETRIA(1) rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja 017 r.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.

WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB Z AUTYZMEM, W TYM Z ZESPOŁEM ASPERGERA (A2) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 2c (poziom rozszerzony)

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 2c (poziom rozszerzony) Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 2c (poziom rozszerzony) Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinny być zatem opanowane

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:

Zestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach: Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4. Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste CZĘŚĆ I ZAKRES PODSTAWOWY W nawiasach proponowane oceny: 2 poziom konieczny wymagań edukacyjnych 3 poziom podstawowy wymagań edukacyjnych 4 poziom rozszerzający wymagań edukacyjnych 5 poziom dopełniający

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą

Bardziej szczegółowo

Zadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 }

Zadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 } Zadanie 0 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y } oraz B = { (x, y) ; x R i y R i 4x + 4y 4x 5 } Zaznacz osobno zbiór B-A ( ) Niech m N. Oznaczmy zbiory : A m = { (x,

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony)

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony) Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony) Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo