Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):
|
|
- Edyta Karczewska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): ( ) Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x 2 (b) 7 3 x+1 5 x+2 = 3 x+4 5 x+3 2 x 4 2x 8 3x = 128 (d) (3 x ) 2x (81 ( ) x 1 1 x ) x = 9 x2 +4 (e) 5 x 25 5 x = 24 (f) = 9 2x 3 (g) 2 x+2 2 x+1 2 x 2 2 x 1 (h) 4 x +8 < 6 2 x (i) 3 2x 1 3 x Obliczyć lub uprościć: log 1 36 log log5 9 log 3 5 log log log ( ) 1 e ln log 6 2+log 6 18 log 3 2 log 9 2 ln 2+log 2 e log 1 3+log log Jaki dochód przyniesie po 4 latach lokata w wysokości 1000 zł oprocentowana w wysokości 6% rocznie jeżeli odsetki dopisywane są raz w roku? O ile zmieni się dochód jeżeli kapitalizacja jest miesięczna? 5. Nominalne oprocentowanie lokaty wynosi 6% w stosunku rocznym. Jakie jest oprocentowanie efektywne jeżeli odsetki dopisywane są co miesiąc? 6. Wpłacasz do banku 100 zł w formie lokaty długoterminowej ze stałym oprocentowaniem 6% w stosunku rocznym. Po jakim czasie wartość lokaty przekroczy 1000 zł gdy odsetki dopisywane są: raz w roku (b) co miesiąc. 7. Oprocentowanie lokaty wynosi r 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji: miesięcznej (b) dziennej n razy w roku w równych odstępach czasu. 8. Rozwiązać równania: log 3 (x+1) = 2 (b) ln 2 x+3 ln x = 4 log 2 x+log 8 x = 12 (d) log 5 x + log 5 (x + 5) = 2 + log 5 2 (e) log x 2 log 4 x = Rozwiązać nierówności: log 3 x < 1 3 (b) log 1 x 2 log 2 2 x log 2 x 2 (d) log 1 3 x 1 x + 2 log 1 (x 1) log 1 6 (e) log log 3 x + 1 > 0.
2 Matematyka Lista Rozwiązać układy: { 2 log3 x log 3 y = 2 10 y x = { { xy = 36 x (b) x log 3 y = 16 y = 9 y = log 3 x Naszkicować wykresy funkcji: y = 3 x 3 (b) y = 2 x y = log 2 (2x) (d) y = ln x. Wskazówki i odpowiedzi do zadań 2. a) 5/8 b) 1 c) 1/2 d) 2 2 e) 2 f) 1/5 g) h) (1 2) i) [1 ) (1.06) (1.005) [(1.005) 12 1] 100%. 6. a) l: 100 (1.06) l > 1000 b) m: 100 (1.005) m > a) (1 + r/12) 12 1 b) (1 + r/365) c) (1 + r/n) n a) 8 b) e 4 e c) 2 9 d) 5 e) 8 1/ a) x (0 1/ 3 3) b) x 1/4 c) x (0 1) d) x 3 e) x < a) x = 3 y = 1 lub x = 6 y = 4 b) x = 9 y = 4 lub x = 4 y = 9 c) x = 3 y = 2 lub x = 1/9 y = 1.
3 Matematyka Lista 2 3 Matematyka Lista 2 1. Wykonać podane działania (wynik zapisać w postaci algebraicznej). a) (1 3i) + (4 5i) b) ( 1 + 2i ) ( 3 6i ) c) ( 7 3i ) ( 7 + 3i ) d) 2 + 3i 1 + i e) z w z 2 w z w z + w Re z + i Im w dla z = 5 2i w = 3 + 4i. z + w 2. Znaleźć liczby rzeczywiste x y spełniające podane równania: a) x (2 + 3i) + y (5 2i) = 8 + 7i b) (2 + yi) (x 3i) = 7 i c) 1 + yi x 2i = 3i 1 x + yi d) x yi = 9 2i 9 + 2i. 3. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania: a) z 2 = 4 z b) z 2 4z + 13 = 0 c) (z + 2) 2 = ( z + 2) 2 d) (1 + i) z + 3 (z i) = 0 e) 1 + i z = 2 3i z f) z 3 = Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających podane warunki: a) 4 = z z b) Re (iz + 2) 0 c) (z i) = z 1 d) Im z 2 < 0 e) Im 1 + iz = 1 1 iz f) z z + (5 + i) z + (5 i) z + 1 = Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych: a) 3i b) 6 8i c) i d) 1 + 3i 3 4i. 6. Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki: a) z 3 + 4i = 1 b) 2 iz 5 < 3 c) z 1 + 3i 5 d) z 2i z + 1 = 1 e) z + i z f) z + 1 2i 3 oraz z 3 < Obliczyć iloczyny podanych par wielomianów: a) P (x) = x 4 3x 3 + x 1 Q (x) = x 2 x + 4 x R b) W (z) = z 3 + 5z 2 iz + 3 V (z) = (1 + i) z 2 z C. 8. Obliczyć ilorazy oraz reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany Q jeżeli: a) P (x) = 2x 4 3x 3 + 4x 2 5x + 6 Q (x) = x 2 3x + 1
4 Matematyka Lista 2 4 b) P (x) = x Q (x) = x c) P (z) = z 5 z Q (z) = (z i) Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów: a) x 3 + x 2 4x 4 b) 3x 3 7x 2 + 4x 4 c) x 5 2x 4 4x 3 + 4x 2 5x + 6 d) x 4 + 3x 3 x x Znaleźć pierwiastki podanych równań kwadratowych i dwukwadratowych: a) z 2 4z + 13 = 0 b) z 2 (3 2i) z + (5 5i) = 0 c) z 4 + 8z = 0 d) z 4 3iz = Znając niektóre pierwiastki podanych wielomianów rzeczywistych znaleźć ich pozostałe pierwiastki. a) W (x) = x 3 3 2x 2 + 7x 3 2 x 1 = 2 + i b) W (x) = x 4 2x 3 + 7x 2 + 6x 30 x 1 = 1 3i c) W (x) = x 6 2x 5 + 5x 4 6x 3 + 8x 2 4x + 4 x 1 = i x 2 = 2i d) W (x) = x 6 6x x 4 28x x 2 22x + 14 x 1 = 1 i x 2 = 2 3i. 12. Podane wielomiany rzeczywiste przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych: a) x b) x 4 + x c) x 4 x d) 4x 5 4x 4 13x x 2 + 9x Podane funkcje wymierne rozłożyć na sumy wielomianów oraz funkcji wymiernych właściwych: a) x5 3x 2 + x x 3 + 4x b) x5 + 3 x c) x4 + 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5 x 3 + 2x 2 + 3x Zaproponować rozkłady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych właściwych na rzeczywiste ułamki proste (nie obliczać nieznanych współczynników): a) c) x 2 + 2x 7 x 3 (x 1) (x + 5) 2 b) x 3 8x 4 (x 2 + 4) (x 2 + x + 3) 3 x 4 + x 3 (x + 3) 2 (x 2 4x + 5) Podane rzeczywiste funkcje wymierne właściwe rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste: a) d) 12 (x 1) (x 2) (x 3) b) x 2 x 4 1 c) 4x (x + 1) (x 2 + 1) 2 x 2 + 2x (x 2 + 2x + 2) 2 e) 1 x 3 + x f) x x 3 (x + 1) 2.
5 Matematyka Lista 3 5 Matematyka Lista 3 Zapoznać się z przykładami i zadaniami ze skryptu T. Jurlewicz i Z. Skoczylas Algebra liniowa 1 Przykłady i zadania 1. Dla następujących macierzy: A = [ ] [ B = ] C = wykonać te z działania A + B A C 2A 3B A B + C AC CA A T C T A C T C T B T (A T + C) T (C B T )A ABC ACB CA T B które są poprawne. 2. Obliczyć wyznaczniki: (b) Stosując rozwinięcie Laplace a obliczyć wyznaczniki: (b) Stosując operacje elementarne na wierszach i kolumnach obliczyć: (b) (d) (e) Znaleźć macierze odwrotne do podanych: [ ] (b) Sprawdzić poprawność obliczeń(czy AA 1 = I).
6 Matematyka Lista Rozwiązać równania macierzowe: [ ] [ ] X = (b) ([ ] 1 + 4X) = [ [ ] [ (d) 3X+ ] [ 1 3 X ] = ] = [ [ ] ] X. 7. Dla jakich wartości parametru p są układami Cramera: { px + 3y + pz = 0 (p + 1)x py = 1 2x + (p 1)y = 3p (b) px + 2z = 3 x + 2y + pz = p. 8. Korzystając ze wzorów Cramera rozwiązać układ x + 2y + 3z = 1 2x + 3y + z = 3 3x + y + 2z = 2 (b) x + 2y + 3z = 14 4x + 3y z = 7 x y + z = Stosując wzór Cramera obliczyć niewiadomą y z układu: 3x + 7y + 2z + 4t = 2y + z = 5x + 3y + 2z = x + 4y + z 1 = 0 (b) x+2y 4 = 3y+4z 6 = 5z+6s = 7s+8t = x+y+z+s+t 2 = Rozwiązać układy metodą macierzy odwrotnej: 2x y = 3 3x + y = 2 (b) x + 2y = 0 2x y = 5 x + y + z = 5 2x + 2y + z = 3 3x + 2y + z = 1 (d) x + y + z = 4 2x 3y + 5z = 5 x + 2y z = Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa. 3x + 4y + z + 2t = 3 6x + 8y + 2z + 5t = 7 (e) (b) (d) 9x + 12y + 3z + 10t = 13 3x 5y + 2z + 4t = 2 7x 4y + z + 3t = 5 5x + 7y 4z 6t = 3 3x 2y + 5z + 4t = 2 6x 4y + 4z + 3t = 3 9x 6y + 3z + 2t = 4 3x + 2y + 2z + 2t = 2 2x + 3y + 2z + 5t = 3 9x + y + 4z 5t = 1 2x + 2y + 3z + 4t = 5 7x + y + 6z t = 7 2x y + z + 2t + 3u = 2 6x 3y + 2z + 4t + 5u = 3 6x 3y + 4z + 8t + 13u = 9 4x 2y + z + t + 2u = 1
7 Matematyka Lista Wyznaczyć wierzchołek D równoległoboku ABCD o trzech kolejnych wierzchołkach A = (2 1 3) B = (2 2 3) C = (0 3 1). Obliczyć długości boków. Wyznaczyć przekątne tego równoległoboku (wektory) i ich długości. Wyrazić środkowe trójkąta ABC przez boki tego trójkąta. 13. Znaleźć wersor u który tworzy jednakowe kąty z wektorami a = (0 3 4) b = (8 6 0) i jest położony w płaszczyźnie wyznaczonej przez te wektory. 14. Korzystając z iloczynu skalarnego obliczyć kąty: między wektorami a = ( 3 0 4) b = (3 1 0); (b) między przekątnymi równoległoboku ABCD z zad. 12; w trójkącie ABD z zad Wyznaczyć rzut prostopadły wektora a = (3 4 1) na prostą tworzącą jednakowe kąty z dodatnimi osiami układu współrzędnych. 16. Obliczyć iloczyny wektorowe wektorów: a = ( 3 2 0) b = (1 5 2) (b) u = 2 i 3 k v = i + j 4 k. Sprawdzić czy odpowiednie wektory są prostopadłe. 17. Obliczyć pole powierzchni: równoległoboku z zad. 12; (b) trójkąta ABC : A = (1 1 3) B = (0 2 3) C = (2 2 1). 18. Sprawdzić czy współpłaszczyznowe są: wektory a = ( 1 3 5) b = (1 1 1) c = (4 2 0); (b) punkty P = (0 0 0) Q = ( 1 2 3) R = (2 3 4) S = (2 1 5). 19. Wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny która przechodzi przez: punkt P = (1 2 0) i jest prostopadła do n = (0 3 2); (b) punkty P 1 = (0 0 0) P 2 = (1 2 3) P 3 = ( 1 3 5); P 1 = (1 3 4) P 2 = (2 0 1) i jest prostopadła do π : xoz; (d) P = (1 1 3) i jest równoległa do a = (1 1 0) i b = (0 1 1). 20. Napisać równanie parametryczne i kierunkowe prostej która: przechodzi przez punkt P = ( 3 5 2) i jest równoległa do wektora v = (2 1 3); (b) przechodzi przez punkty P = (1 0 6) i Q = ( 2 2 4); jest wspólną krawędzią dwóch płaszczyzn: π 1 : 2x + y z + 3 = 0 i π 2 : x 2y + z 5 = Wyznaczyć kąt między: x 3 prostą l : = y 1 = z + 2 i płaszczyzną π : x z = 0; (b) plaszczyznami π 1 : x 2y + 3z 5 = 0 π 2 : 2x + y z + 3 = Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P = (2 3 1) względem: punktu S = (1 1 2); (b) płaszczyzny π : 2x y + z 6 = 0.
8 Matematyka Lista 3 8 Matematyka wskazówki i odpowiedzi 2. a) 1; b) 1; c) a) 289; b) 275; c) a) 50; b) 13; c) 44; d) 12 e) a) p 1 2 p 1 + 2; c) p R. 9. a) 5/11; b) a) z = 1 3x 4y t = 1; b) sprzeczny; c) z = 6 15x + 10y t = x 12y; d) x = ( 6 + 8t)/7 y = (1 13t)/7 z = (15 6t)/7; e) z = 1 8x + 4y t = 0 u = 1 + 2x y. 13. u = ±(1/ 17)( 2 3 2). 15. u = ( a b/ b 2 ) b = (2 2 2) gdzie b = (1 1 1). 18. użyć iloczynu wektorowego. 19. a) 3y 2z + 6 = 0; b) 19x 8y z = 0; c) 5x + z 9 = 0; d) x y + z 5 = a) (x + 3)/2 = (y 5)/( 1) = (z 2)/3; b) (x 1)/( 1) = y/2 = (z 6)/( 2). 21. a) cos α = 1/ 26; b) cos α = 3/ a) (0 5 5); b) (6 1 1).
9 Matematyka lista 4 9 Matematyka Lista 4 1. Zbadać monotoniczność ciągu: a n = 2n + 7 (b) b n = ( 1) n n c n = 1 2/n. 2. Podać wyraz a 3 a n+1 a 2n gdy: a n = n2 n + 1 (b) a n = ( 1) n+1 ( ) n 2 a n = 1 3 n n + 1 2n. 3. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu arytmetycznego oraz sumę S 20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: a 3 = 3 a 12 = 21 (b) a 1 + a 2 + a 3 = 18 a a a 2 3 = Obliczyć sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Długość najkrótszego boku jest równa p. Obliczyć pole tego trójkąta pole koła opisanego na tym trójkącie oraz pole koła wpisanego w ten trójkąt. 6. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu geometrycznego oraz sumę S 20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: a 3 = 54 a 6 = 2 (b) iloraz q = 1 2 oraz S 7 = Zamienić na ułamek zwykły (b) Rozwiązać równanie x 2 x 3 + x 4 = W okrąg o promieniu r wpisujemy kwadrat. W ten kwadrat wpisujemy okrąg. Powtarzamy tę operację uzyskując nieskończony ciąg okręgów i kwadratów. Obliczyć sumę pól tych kwadratów. 10. Obliczyć granice ciągów: a n = 2n2 n + 1 3n n (b) b n = n6 n 2 n c n = n4 n + 2 2n (d) d n = 3 n n 2 1 (f) f n = 3n + 2 n 3 n 2 n (g) g n = (e) e n = n( n n) ( 1 1 n ( n) n (h) h n = (i) i n = n n (j) j n = 1 n n n n (k) k n = n 3 n + 2 n (l) l n = 1 n n n 2 + n. 11. Oprocentowanie lokaty wynosi r 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji ciągłej (graniczny przypadek kapitalizacji n razy w roku w równych odstępach czasu gdy n ). Jakie jest efektywne oprocentowanie po czasie t lat (t 0) przy kapitalizacji ciągłej?
10 Matematyka lista Obliczyć granice przy x + oraz przy x dla funkcji f(x): x 7 x 4 +x (b) x x 3 x x 1 (d) (e) x x + 1 x 3 2 (x 2 + 1)(x + 3) (f) x 2 x + 1 x + 2 (g) x 3 3x 2 4 x2 3x Obliczyć (gdy istnieją) granice: x 2 9 lim x 3 x + 3 x 3 1 (b) lim x 1 x 2 1 x 1 lim x 1 x 1 (d) lim x 0 x + 1. x 14. Na stożku o promieniu podstawy r i wysokości x opisano kulę. Niech R(x) oznacza jej promień. Obliczyć granicę lim x 0+ R(x) lim x R(x). Czy można podać te granice nie wyznaczając funkcji R(x)? 15. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji: y = 2x3 + 2 x 3 + x 2 (b) y = x2 1 x 2 2 y = x3 + 8 x 2 4 (d) y = 16. Dobrać parametry a b R tak aby podana funkcja f(x) była ciągła: 1 1 x. f(x) = { bx + 3 : x < 1 2x 2 + x + a : x 1 (b) f(x) = { x : x 1 x 2 + ax + b : x > Wykazać że każde z poniższych równań ma pierwiastek: x 3 + x = 3 (b) x 3 + x = 3 (dokładnie jeden) x + 3 = x 2 + x 2 (d) x 3 + 3x 2 = 3 (dokładnie trzy). 18. Uzasadnić że równanie x 4 + x = 5 ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Obliczyć na kalkulatorze ten pierwiastek z dokładnością Znaleźć przyrost y funkcji y = x 2 /2 przy x = 2 zakładając przyrost x zmiennej niezależnej x równy 0.5 (b) 0.2. Wykonać odpowiedni rysunek. 20. Wyznaczyć przyrost y i iloraz różnicowy y/ x odpowiadające przyrostowi x argumentu x dla funkcji: y = ax+b (b) y = 1/(2x+1). Wyznaczyć pochodną funkcji y = y(x) jako granicę ilorazu różnicowego. 21. Obliczyć pochodne funkcji: y = ax 3 + b x + c (b) y = 9x7 + 3x 5 3x 11 y = 3 3x 2 (d) y = 5 x 2 (e) y = x + 1 x 1 (f) y = x 2 4 (g) y = 3 x 1 3 x (h) (x 2) ln x (i) y = x 3 e x (j) 3 x(ln x e x ) (k) x2 ln x e x + x ( (l) v = (4z 2 5z+13) 5 (m) s = 2 7t 2 4 ) 6 t + 6 (n) y = 5e 2x
11 Matematyka lista 4 11 (o) y = 5 x + 2 x (p) y = 3 x x 3 (r) y = ln ln x (s) y = ln (t) s = ln 5 x t 1 t (u) y = arctg(3x) (w) y = arctg(x x 2 + 1). 22. W jakim punkcie styczna do linii y = (x 8)/(x + 1) tworzy z osią Ox kąt równy połowie kąta prostego? (b) Znaleźć na linii y = e x punkt w którym styczna jest równoległa do prostej x y + 7 = 0. Jaki związek powinien zachodzić pomiędzy współczynnikami równania paraboli y = x 2 + px + q aby ta parabola była styczna do osi odciętych? (d) W jakim punkcie krzywej logarytmicznej y = ln x styczna jest równoległa do prostej y = 2x? 23. Korzystając z różniczki obliczyć przybliżoną wartość: 3 63 (b) e (d) ln Wykazać prawdziwość nierówności: x > ln(1+x) x > 0 (b) e x x+1 2x arctg x ln(1+x 2 ). 25. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: y = x(3 2 x) (b) y = x/(1 + x 2 ) y = 2x 3 12x Wyznaczyć przedziały wypukłości wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: y = x 3 3x 2 (b) y = x/(1+x 2 ) y = arctg x (d) y = x+1/x. 27. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: y = x x x 50 (b) y = x 1 x y = x x Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale: y = x 4 2x 2 +5 w [ 2 2] (b) y = 1 24x+15x 2 2x 3 w [1 3]. 29. Zbadać przebieg zmienności funkcji: y = x 3 + 3x 2 9x 2 (b) y = x2 3 x 2 ln x y =. x 30. Liczbę 20 rozłożyć na sumę takich dwóch składników dodatnich których suma kwadratów jest najmniejsza. 31. W kulę o promieniu R wpisano walec. Obliczyć przy jakiej wartosci promienia r podstawy walca pole jego powierzchni bocznej S będzie największe.
12 Matematyka lista Napisać wielomian Maclaurina z resztą R n dla podanych funkcji: e rx (b) 1 e x2 (d) ln(1 + x) (e) x x Wskazówki i odpowiedzi 1. a) b) nie monoton. c). 3. a) a 1 = 1 r = 2 b) r = 2 a 1 = 4 lub r = 2 a 1 = S 300 = (( )/2)300 = p 2 /3 5p/6 p/3. 6. a) a 1 = 486 q = 1/3 b) a 1 = a) 17/9 b) 31/ x = 1/ r a) 2 b) 0 c) + d) 0 e) 1 f) 1 g) e 2 h) 1/e i) 1/4 j) 1/2 k) 3 l) e r 1; e rt a) + b) 0 + c) 0 0 d) 1 1 e) 1 1 f) 1 1 g) 2/9 2/ a) 6 b) 3/2 c) 1/2 d) nie istnieje a) y = 2 w ± x = 0 b) y = 1 w ± x = 2 x = 2 c) y = x w ± x = 2 d) y = 1 w ± x = 0 lewostr. 16. a) b = a b) a = 1 b = a) 3ax 2 b/x 2 b) 63x 6 15x 6 +33x 12 c) 9/(3x 2) 2 d) 2/(5 5 x 3 ) e) 2/(x 1) 2 f) x/ x 2 4 g) 1/(3( 3 x) 2 (1 3 x) 2 ) h) (x 1)/x + ln x i) x 2 (x + 3)e x j) (ln x e x )/(3 3 x 2 ) + 3 x(1/x e x ) k) ((2x 1/x)(e x + x) (x 2 ln x)(e x + 1))/(e x + x) 2 l) 5(4z 2 5z + 13)(8z 5) m) 12(7t 2 4/t + 6) 5 (14t + 4/t 2 ) n) 10e 2t o) 5 x ln x ln 2 p) (3 x ln 3) x x 3x 2 r) (1/ ln x) (1/x) s) 1/(x 2) t) 1/(1 t 2 ) u) 3/(1 + 9x 2 ) w) 1/2(x 2 + 1). 22. a) ( 4 4) lub (2 2) b) (0 1) c) y = 0 y = 0: p 2 + 4q = 2 d) (2 ln 2). 23. a) 4 1/48 b) c) 1/2 + 1/800 d) a) Niech f(x) = x ln(1 + x) dla x [0 ); f (x) = x/(1 + x) > 0 dla x > 0 czyli f(x) rosnąca na [0 ); f(0) = 0 więc f(x) > 0 dla x > 0. b) Niech f(x) = e x (x + 1) dla x R; f (x) = e x 1 stąd f(x) malejąca na ( 0] i rosnąca na [0 ); f min = f(0) = 0 więc f(x) 0 dla x R. c) jak b). 25. a) : x [0 1] : x > 1 b) : x [ 1 1] : na x < 1 i na x > 1 c) : na ( 2 i na ( 2 ) : x [ 2 2]. 26. a) : (1 ) : ( 1) pp: x = 1 b) : ( 0) : (0 ) pp: x = 0 c) : (0 ) : ( 0) pp: x = a) y max = y( 6) y min = y( 2) b) y max = y(2/3) c) y min = y( 1) y min = y(1). 28. a) max: y( 2) = y(2) = 13 min: y( 1) = y(1) = 4 b) max: y(3) = 10 min: y(1) = ; wyznaczyć jako wartość największą odpowiedniej funkcji. 31. S = 4πr R 2 r 2 osiąga max dla r = R/ a) e t dla t = rx b) por. 1/(1 + x) = 1/(1 ( x)) i wzór na sumę ciągu geometr. c) e t dla t = x 2.
13 Matematyka lista 5 13 Matematyka Lista 5 1. Obliczyć całki nieoznaczone: (3x 3 +2 x 1)dx (b) x(x 1)(x 2)dx 2 3 x 3 x x (d) dx (e) dx (f) x x x 2 x (h) (9x 2 x + 1) 2 2 x dx (i) 3 dx (j) x 2. Obliczyć całki całkując przez części: xe 3x dx (b) ln x dx (e) ln x x dx (f) x2 ln x dx (g) x 2 e x dx dx (g) x + 3 dx x 2 x 2 x dx e x 2 x 5 x dx. (d) arctg x dx (h) x ln x dx (ln x) 2 dx. 3. Obliczyć całki całkując przez podstawienie: x a x dx (b) (5 3x) 10 dx + bx dx (d) xe x2 dx (e) 4. Obliczyć całki: dx x 2 + 2x + 8 (d) x dx x (e) 5. Obliczyć całki oznaczone: x x dx (b) (f) x(x + 2) dx x 2 + 2x + 2 dx x 3 4x ln 2 x x dx (f) (g) ln x x x 2 dx x 2 + 2x + 5 2x 4 + 5x 2 2 2x 3 x 1 dx. dx x 1 3x + 1 dx (b) 1 1 (x 3 x + 1)dx 2 1 x dx. 6. Wyznaczyć wzór na prędkość v(t) i drogę s(t) w ruchu prostoliniowym ze stałym przyspieszeniem a(t) = a gdy v(0) = v 0 i s(0) = s Obliczyć całki stosując podstawienie: 4 0 dx 1 + x x = t2 (b) 1 0 e x e 2x + 1 dx 2 3 dx x 2 + 2x Obliczyć całkując przez części: 2 0 xe x dx (b) 1 0 x 2 arctg xdx e 1 ( ) 2 ln x dx. x
14 Matematyka lista Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolami y = x 2 y 2 = x (b) parabolą y = 2x x 2 i prostą x + y = 0 krzywą y = ln x osią 0x i prostą x = e (d) krzywą y = (1 x 2 )5 i osiami układu. 10. Punkt materialny o masie m porusza się po linii prostej z prędkością v = (12t t 2 ) m/s. Jaką drogę przebędzie ten punkt od chwili początkowej do chwili zatrzymania się? 11. Obliczyć długość krzywej: 9y 2 = 2x 3 0 x 2 (b) y = ln(1 x 2 ) 0 x Obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu łuku paraboli y 2 = 4x dla 0 x 3 dokoła osi Ox oraz objętość bryły ograniczonej tą powierzchnią i płaszczyzną x = Posługując się całką oznaczoną wyprowadzić wzór na objętość kuli i pole powierzchni sfery o promieniu r. 14. Zbadać przekroje wykresów funkcji z = z(x y) i na tej podstawie naszkicować te wykresy: 3x + 2y + z 6 = 0 (b) z 2 = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 (d) z = xy. 15. Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego funkcji: z = xy (b) z = xe xy z = x 2 y + ln(xy). 16. Znaleźć ekstrema funkcji z = z(x y): z = x 2 + xy + y 2 2x y (b) z = x 3 y 2 (6 x y). 17. Znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji z = z(x y) w podanym obszarze: z = x 2 + 2xy 4x + 8y w obszarze D : 0 x 1 0 y 2 (b) z = x 3 + y 2 3x 2y 1 w obszarze D : x 0 y 0 x + y 1 z = x 2 xy + y 2 w obszarze D : x + y Wyznaczyć odległość punktu A = (0 3 0) od powierzchni y = zx. 19. Liczbę dodatnią a przedstawić w postaci sumy takich trzech liczb dodatnich aby ich iloczyn był największy. 20. Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 64 m 3. Do budowy ścian magazynu używane są płyty w cenie 30 zł/m 2 do budowy podłogi w cenie 40 zł/m 2 a sufitu 20 zł/m 2. Znaleźć długość a szerokość b i wysokość c magazynu którego koszt budowy będzie najmniejszy. 21. Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej y = f(x) określonej równaniem: x 2 + y 2 8x 4y + 19 = 0 (b) y 3 + 2xy + x 2 = 0 x 2 + y 4 = Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej z = f(x y) określonej równaniem: x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 2z + 2 = 0 (b) z 2 + xyx zy 2 x 3 = 0.
15 Matematyka lista Metodą mnożników Lagrange a wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji f(x y) przy danym warunku g(x y) = 0: f(x y) = x 2 + y 2 g(x y) = xy 1 (b) f(x y) = x 3 + y 3 g(x y) = x + y 2 x 0 y 0 f(x y) = 1/x + 1/y g(x y) = 1/x 2 + 1/y 2 1 x 0 y 0. Wskazówki i odpowiedzi 1. a) (3/4)x 4 + (4/3)x x x + c b) x 4 /4 x 3 + x 2 + c c) ln x 3/x + c d) 6 3 x 3 ln x + c; e) x arctg x + c g) (1/3) ln(x 3 + 8) + c h) 81/5x 5 18/4x /3x 3 x 2 + x + c i) 3/8 3 x 8 6/7 6 x a) e 3x (3x + 1)/3 + c b) x ln x x + c c) x 2 (2 ln x 1)/4 + c d) (1 + ln x)/x + c e) x arctg x (1/2) ln(x 2 + 1) + c f) x(ln x) 2 2x ln x + 2x + c. 3. a) e x2 /2 + c b) (5 3x) 11 /33 + c c) ( x 2 + 1) 3 /3 + c d) (ln x) 2 /2 + c e) (1/2)arctg(x 2 )+c f) 2( a + bx) 3 /3b+c. 4. a) (1/ 7)arctg((x+1)/ 7)+c b) x 2arctg(x + 1) + c c) x ln(x 2 + 2x + 5) (3/2)arctg((x + 1)/2) + c d) (1/6) ln((x 3 + 1)/(x + 1) 3 ) + (1/ 3)arctg((2x 1)/ 3) + c e) (1/8) ln((x 2 4)/x 2 ) + c f) x 2 /2 + ln 2x 3 x 1 + arctg(2x + 1) + c. 5. a) 2 (2 ln 7)/3 b) 2 c) 5/2. 6. v(t) = at + v 0 s(t) = at 2 /2 + v 0 t + s a) 4 2 ln 3 b) artctg e π/4 c) 1/2. 8. a) 1 3/e 2 b) π/12 (1 ln 2)/6 c) 2 5/e. 9. a) 1/3 b) 9/2 c) 1 d) 1/ s = 12 (12t 0 t2 )dt = 288 m. 11. a) 8(2 2 1)/3 b) ln 3 1/ D = 56π/3 V = 18π. 14. a) płaszczyzna; b) stożek; c) paraboloida obrotowa; d) siodło. 15. a) z x = y z y = x z xy = z yx = 1 z xx = z yy = 0; b) z x = (xy + 1)e xy z y = x 2 e xy z xy = z yx = (2x + x 2 y)e xy z xx = (2y + xy 2 )e xy z yy = x 3 e xy ; c) z x = 2xy+1/x z y = x 2 +1/y z xy = z yx = 2x z xx = 2y 1/x 2 z yy = 1/y a) z min = z(1 0) = 1; b) z max = z(3 2) = a) 3 17; b) 4 1; c) a/3 + a/3 + a/ a = b = c = a) dla x = 4 min y = 1 i max y = 3; b) max y = 1 w x = a) z 1 w (1 1) min z = 1 i max z = 2 na dwóch gałęziach; b) w ( 6 6 3) min z = 12 3 i w ( 6 6 3) max z = a) w (1 1) i w ( 1 1) min = 2; b) w (1 1) min = 2; c) w ( 2 2) min = 2 w ( 2 2) max = 2.
16 Matematyka lista 6 16 Matematyka Lista 6 1. Rozwiązać równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych: dy dx = 2y x dy (b) 2x2 dx = y dy dx = 2xy2 x 2 dy dx. 2. Znaleźć rozwiązanie r.r. spełniające warunek początkowy y(1) = 0: (1 + x 2 )xy dy dx = 1 + y2 (b) dy dx = 2xb (y 2 + 1) b R. 3. W pewnym ruchu stosunek prędkości do przebytej drogi jest wielkością stałą i wynosi 2. W chwili t = 0 przebyta droga wynosiła x = 2 cm. Obliczyć przebytą drogę do chwili t = 5 sek. 4. Wyznaczyć równanie linii przechodzącej przez punkt A(2 3) takiej że każdy odcinek stycznej do tej linii zawarty między osiami układu jest dzielony na połowy przez punkt styczności. 5. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe: dy dx = 3y x + x dy (b) dx + 2y = e3x x dy dx + x2 + xy = y. 6. Znaleźć całki szczególne spełniające dane warunki początkowe: y y = e x y(0) = 1 (b) (1 x 2 )y + xy = 1 y(0) = W chwili t = 0 skoczek spadochronowy o masie m wyskakuje z samolotu i opada swobodnie na ziemię (z zamkniętym spadochronem). Na ciało skoczka działają jedynie siła grawitacji (F g = mg) i skierowana przeciwnie do kierunku ruchu siła oporu powietrza proporcjonalna do prędkości skoczka (tzn. F o = kv gdzie k > 0 jest stałą proporcjonalności). Znaleźć wzór na prędkość opadania skoczka w chwili t > 0. (b) Jaką maksymalną prędkość może osiągnąć skoczek? 8. W chwili t = 0 agencja rządowa ma 6000 pracowników wśród których 25% to kobiety. Średnio w ciągu tygodnia agencję opuszcza 100 osób przy czym udział kobiet wśród odchodzących jest taki sam jak wśród dotychczas zatrudnionych. Średnio w ciągu tygodnia do pracy przyjmowanych jest 50 nowych pracowników z których połowę stanowią kobiety. Ilu pracowników będzie miała agencja w 40 tygodniu? (b) Jaki będzie udział kobiet wśród osób pracujących w agencji w 40 tygodniu?
17 Matematyka lista 6 17 Wskazówki i odpowiedzi 1. a) y = Cx 2 b) y = C e 1/2x c) C(1+x 2 ). 2. a) 1+y 2 = Cx 2 /(1+x 2 ) C = 2 b) y = tg(2x b+1 /(b+1)+c) i C = 2/(b+1) gdy b 1; y = tg ln(cx 2 ) i C = 1 gdy b = v(t) = dx(t)/dt v(t)/x(t) = 2; stąd x(t) = Ce 2t z C = RR: xy (x) = y(x); y = C/x z C = a) y = cx 3 x 2 b) y = ce 2x + e 3x /5 c) y = cxe x x. 6. a) y = e x (x + 1) b) y = x + 1 x a) v(t) = mg k (1 e k m t ) b) v max = mg k. 8. Niech W (t) oznacza liczbę kobiet pracujących w agencji w chwili t. Wówczas: a) W (t) = ( t) 2 ; b) W (40) t /3 100% = 100% = %.
Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) 2 2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 + +
Bardziej szczegółowoMatematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 b) + y c) + 1 + 2 2 dla 1 2 d) 8 e) + 1 f) 1 + + 2. 2. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.
Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoZad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4
Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoPoniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ
KOD ZDAJĄCEGO WPISUJE ZDAJĄCY symbol klasy symbol zdającego PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI
FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy
Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie
Bardziej szczegółowoA. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Bardziej szczegółowo3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.
1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowo1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.
1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowoARKUSZ II
www.galileusz.com.pl ARKUSZ II W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D)
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoEgzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r.
Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 011 r. 1. Mamy 6 elementów. Ile jest możliwych permutacji tych elementów jeśli: a) wszystkie elementy są różne, b) dwa elementy wśród nich są identyczne, a wszystkie
Bardziej szczegółowoPRACA KONTROLNA nr 1
XXXV KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 005r. 1. Niech f(x) = x + bx + 5. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru b, dla których: a) wykres funkcji f jest symetryczny względem
Bardziej szczegółowoElementy logiki (4 godz.)
Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI
FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoModel odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II
Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Zadanie 12 (3 pkt) Z warunków zadania : 2 AM = MB > > n Wprowadzenie oznaczeń, naprzykład: A = (x, y) i obliczenie współrzędnych wektorów n Obliczenie
Bardziej szczegółowoZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.
ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoWymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14
z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14 Liczby rzeczywiste Wiadomości i umiejętności rozpoznać liczby naturalne w tym pierwsze i złożone,
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy
Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).
MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 2f: wpisy oznaczone jako: GEOMETRIA ANALITYCZNA (GA), WIELOMIANY (W), FUNKCJE WYMIERNE (FW), FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita
Bardziej szczegółowo