Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):"

Transkrypt

1 Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): ( ) Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x 2 (b) 7 3 x+1 5 x+2 = 3 x+4 5 x+3 2 x 4 2x 8 3x = 128 (d) (3 x ) 2x (81 ( ) x 1 1 x ) x = 9 x2 +4 (e) 5 x 25 5 x = 24 (f) = 9 2x 3 (g) 2 x+2 2 x+1 2 x 2 2 x 1 (h) 4 x +8 < 6 2 x (i) 3 2x 1 3 x Obliczyć lub uprościć: log 1 36 log log5 9 log 3 5 log log log ( ) 1 e ln log 6 2+log 6 18 log 3 2 log 9 2 ln 2+log 2 e log 1 3+log log Jaki dochód przyniesie po 4 latach lokata w wysokości 1000 zł oprocentowana w wysokości 6% rocznie jeżeli odsetki dopisywane są raz w roku? O ile zmieni się dochód jeżeli kapitalizacja jest miesięczna? 5. Nominalne oprocentowanie lokaty wynosi 6% w stosunku rocznym. Jakie jest oprocentowanie efektywne jeżeli odsetki dopisywane są co miesiąc? 6. Wpłacasz do banku 100 zł w formie lokaty długoterminowej ze stałym oprocentowaniem 6% w stosunku rocznym. Po jakim czasie wartość lokaty przekroczy 1000 zł gdy odsetki dopisywane są: raz w roku (b) co miesiąc. 7. Oprocentowanie lokaty wynosi r 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji: miesięcznej (b) dziennej n razy w roku w równych odstępach czasu. 8. Rozwiązać równania: log 3 (x+1) = 2 (b) ln 2 x+3 ln x = 4 log 2 x+log 8 x = 12 (d) log 5 x + log 5 (x + 5) = 2 + log 5 2 (e) log x 2 log 4 x = Rozwiązać nierówności: log 3 x < 1 3 (b) log 1 x 2 log 2 2 x log 2 x 2 (d) log 1 3 x 1 x + 2 log 1 (x 1) log 1 6 (e) log log 3 x + 1 > 0.

2 Matematyka Lista Rozwiązać układy: { 2 log3 x log 3 y = 2 10 y x = { { xy = 36 x (b) x log 3 y = 16 y = 9 y = log 3 x Naszkicować wykresy funkcji: y = 3 x 3 (b) y = 2 x y = log 2 (2x) (d) y = ln x. Wskazówki i odpowiedzi do zadań 2. a) 5/8 b) 1 c) 1/2 d) 2 2 e) 2 f) 1/5 g) h) (1 2) i) [1 ) (1.06) (1.005) [(1.005) 12 1] 100%. 6. a) l: 100 (1.06) l > 1000 b) m: 100 (1.005) m > a) (1 + r/12) 12 1 b) (1 + r/365) c) (1 + r/n) n a) 8 b) e 4 e c) 2 9 d) 5 e) 8 1/ a) x (0 1/ 3 3) b) x 1/4 c) x (0 1) d) x 3 e) x < a) x = 3 y = 1 lub x = 6 y = 4 b) x = 9 y = 4 lub x = 4 y = 9 c) x = 3 y = 2 lub x = 1/9 y = 1.

3 Matematyka Lista 2 3 Matematyka Lista 2 1. Wykonać podane działania (wynik zapisać w postaci algebraicznej). a) (1 3i) + (4 5i) b) ( 1 + 2i ) ( 3 6i ) c) ( 7 3i ) ( 7 + 3i ) d) 2 + 3i 1 + i e) z w z 2 w z w z + w Re z + i Im w dla z = 5 2i w = 3 + 4i. z + w 2. Znaleźć liczby rzeczywiste x y spełniające podane równania: a) x (2 + 3i) + y (5 2i) = 8 + 7i b) (2 + yi) (x 3i) = 7 i c) 1 + yi x 2i = 3i 1 x + yi d) x yi = 9 2i 9 + 2i. 3. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania: a) z 2 = 4 z b) z 2 4z + 13 = 0 c) (z + 2) 2 = ( z + 2) 2 d) (1 + i) z + 3 (z i) = 0 e) 1 + i z = 2 3i z f) z 3 = Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb z spełniających podane warunki: a) 4 = z z b) Re (iz + 2) 0 c) (z i) = z 1 d) Im z 2 < 0 e) Im 1 + iz = 1 1 iz f) z z + (5 + i) z + (5 i) z + 1 = Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych: a) 3i b) 6 8i c) i d) 1 + 3i 3 4i. 6. Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki: a) z 3 + 4i = 1 b) 2 iz 5 < 3 c) z 1 + 3i 5 d) z 2i z + 1 = 1 e) z + i z f) z + 1 2i 3 oraz z 3 < Obliczyć iloczyny podanych par wielomianów: a) P (x) = x 4 3x 3 + x 1 Q (x) = x 2 x + 4 x R b) W (z) = z 3 + 5z 2 iz + 3 V (z) = (1 + i) z 2 z C. 8. Obliczyć ilorazy oraz reszty z dzieleń wielomianów P przez wielomiany Q jeżeli: a) P (x) = 2x 4 3x 3 + 4x 2 5x + 6 Q (x) = x 2 3x + 1

4 Matematyka Lista 2 4 b) P (x) = x Q (x) = x c) P (z) = z 5 z Q (z) = (z i) Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów: a) x 3 + x 2 4x 4 b) 3x 3 7x 2 + 4x 4 c) x 5 2x 4 4x 3 + 4x 2 5x + 6 d) x 4 + 3x 3 x x Znaleźć pierwiastki podanych równań kwadratowych i dwukwadratowych: a) z 2 4z + 13 = 0 b) z 2 (3 2i) z + (5 5i) = 0 c) z 4 + 8z = 0 d) z 4 3iz = Znając niektóre pierwiastki podanych wielomianów rzeczywistych znaleźć ich pozostałe pierwiastki. a) W (x) = x 3 3 2x 2 + 7x 3 2 x 1 = 2 + i b) W (x) = x 4 2x 3 + 7x 2 + 6x 30 x 1 = 1 3i c) W (x) = x 6 2x 5 + 5x 4 6x 3 + 8x 2 4x + 4 x 1 = i x 2 = 2i d) W (x) = x 6 6x x 4 28x x 2 22x + 14 x 1 = 1 i x 2 = 2 3i. 12. Podane wielomiany rzeczywiste przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych: a) x b) x 4 + x c) x 4 x d) 4x 5 4x 4 13x x 2 + 9x Podane funkcje wymierne rozłożyć na sumy wielomianów oraz funkcji wymiernych właściwych: a) x5 3x 2 + x x 3 + 4x b) x5 + 3 x c) x4 + 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5 x 3 + 2x 2 + 3x Zaproponować rozkłady podanych rzeczywistych funkcji wymiernych właściwych na rzeczywiste ułamki proste (nie obliczać nieznanych współczynników): a) c) x 2 + 2x 7 x 3 (x 1) (x + 5) 2 b) x 3 8x 4 (x 2 + 4) (x 2 + x + 3) 3 x 4 + x 3 (x + 3) 2 (x 2 4x + 5) Podane rzeczywiste funkcje wymierne właściwe rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste: a) d) 12 (x 1) (x 2) (x 3) b) x 2 x 4 1 c) 4x (x + 1) (x 2 + 1) 2 x 2 + 2x (x 2 + 2x + 2) 2 e) 1 x 3 + x f) x x 3 (x + 1) 2.

5 Matematyka Lista 3 5 Matematyka Lista 3 Zapoznać się z przykładami i zadaniami ze skryptu T. Jurlewicz i Z. Skoczylas Algebra liniowa 1 Przykłady i zadania 1. Dla następujących macierzy: A = [ ] [ B = ] C = wykonać te z działania A + B A C 2A 3B A B + C AC CA A T C T A C T C T B T (A T + C) T (C B T )A ABC ACB CA T B które są poprawne. 2. Obliczyć wyznaczniki: (b) Stosując rozwinięcie Laplace a obliczyć wyznaczniki: (b) Stosując operacje elementarne na wierszach i kolumnach obliczyć: (b) (d) (e) Znaleźć macierze odwrotne do podanych: [ ] (b) Sprawdzić poprawność obliczeń(czy AA 1 = I).

6 Matematyka Lista Rozwiązać równania macierzowe: [ ] [ ] X = (b) ([ ] 1 + 4X) = [ [ ] [ (d) 3X+ ] [ 1 3 X ] = ] = [ [ ] ] X. 7. Dla jakich wartości parametru p są układami Cramera: { px + 3y + pz = 0 (p + 1)x py = 1 2x + (p 1)y = 3p (b) px + 2z = 3 x + 2y + pz = p. 8. Korzystając ze wzorów Cramera rozwiązać układ x + 2y + 3z = 1 2x + 3y + z = 3 3x + y + 2z = 2 (b) x + 2y + 3z = 14 4x + 3y z = 7 x y + z = Stosując wzór Cramera obliczyć niewiadomą y z układu: 3x + 7y + 2z + 4t = 2y + z = 5x + 3y + 2z = x + 4y + z 1 = 0 (b) x+2y 4 = 3y+4z 6 = 5z+6s = 7s+8t = x+y+z+s+t 2 = Rozwiązać układy metodą macierzy odwrotnej: 2x y = 3 3x + y = 2 (b) x + 2y = 0 2x y = 5 x + y + z = 5 2x + 2y + z = 3 3x + 2y + z = 1 (d) x + y + z = 4 2x 3y + 5z = 5 x + 2y z = Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa. 3x + 4y + z + 2t = 3 6x + 8y + 2z + 5t = 7 (e) (b) (d) 9x + 12y + 3z + 10t = 13 3x 5y + 2z + 4t = 2 7x 4y + z + 3t = 5 5x + 7y 4z 6t = 3 3x 2y + 5z + 4t = 2 6x 4y + 4z + 3t = 3 9x 6y + 3z + 2t = 4 3x + 2y + 2z + 2t = 2 2x + 3y + 2z + 5t = 3 9x + y + 4z 5t = 1 2x + 2y + 3z + 4t = 5 7x + y + 6z t = 7 2x y + z + 2t + 3u = 2 6x 3y + 2z + 4t + 5u = 3 6x 3y + 4z + 8t + 13u = 9 4x 2y + z + t + 2u = 1

7 Matematyka Lista Wyznaczyć wierzchołek D równoległoboku ABCD o trzech kolejnych wierzchołkach A = (2 1 3) B = (2 2 3) C = (0 3 1). Obliczyć długości boków. Wyznaczyć przekątne tego równoległoboku (wektory) i ich długości. Wyrazić środkowe trójkąta ABC przez boki tego trójkąta. 13. Znaleźć wersor u który tworzy jednakowe kąty z wektorami a = (0 3 4) b = (8 6 0) i jest położony w płaszczyźnie wyznaczonej przez te wektory. 14. Korzystając z iloczynu skalarnego obliczyć kąty: między wektorami a = ( 3 0 4) b = (3 1 0); (b) między przekątnymi równoległoboku ABCD z zad. 12; w trójkącie ABD z zad Wyznaczyć rzut prostopadły wektora a = (3 4 1) na prostą tworzącą jednakowe kąty z dodatnimi osiami układu współrzędnych. 16. Obliczyć iloczyny wektorowe wektorów: a = ( 3 2 0) b = (1 5 2) (b) u = 2 i 3 k v = i + j 4 k. Sprawdzić czy odpowiednie wektory są prostopadłe. 17. Obliczyć pole powierzchni: równoległoboku z zad. 12; (b) trójkąta ABC : A = (1 1 3) B = (0 2 3) C = (2 2 1). 18. Sprawdzić czy współpłaszczyznowe są: wektory a = ( 1 3 5) b = (1 1 1) c = (4 2 0); (b) punkty P = (0 0 0) Q = ( 1 2 3) R = (2 3 4) S = (2 1 5). 19. Wyznaczyć równanie ogólne płaszczyzny która przechodzi przez: punkt P = (1 2 0) i jest prostopadła do n = (0 3 2); (b) punkty P 1 = (0 0 0) P 2 = (1 2 3) P 3 = ( 1 3 5); P 1 = (1 3 4) P 2 = (2 0 1) i jest prostopadła do π : xoz; (d) P = (1 1 3) i jest równoległa do a = (1 1 0) i b = (0 1 1). 20. Napisać równanie parametryczne i kierunkowe prostej która: przechodzi przez punkt P = ( 3 5 2) i jest równoległa do wektora v = (2 1 3); (b) przechodzi przez punkty P = (1 0 6) i Q = ( 2 2 4); jest wspólną krawędzią dwóch płaszczyzn: π 1 : 2x + y z + 3 = 0 i π 2 : x 2y + z 5 = Wyznaczyć kąt między: x 3 prostą l : = y 1 = z + 2 i płaszczyzną π : x z = 0; (b) plaszczyznami π 1 : x 2y + 3z 5 = 0 π 2 : 2x + y z + 3 = Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P = (2 3 1) względem: punktu S = (1 1 2); (b) płaszczyzny π : 2x y + z 6 = 0.

8 Matematyka Lista 3 8 Matematyka wskazówki i odpowiedzi 2. a) 1; b) 1; c) a) 289; b) 275; c) a) 50; b) 13; c) 44; d) 12 e) a) p 1 2 p 1 + 2; c) p R. 9. a) 5/11; b) a) z = 1 3x 4y t = 1; b) sprzeczny; c) z = 6 15x + 10y t = x 12y; d) x = ( 6 + 8t)/7 y = (1 13t)/7 z = (15 6t)/7; e) z = 1 8x + 4y t = 0 u = 1 + 2x y. 13. u = ±(1/ 17)( 2 3 2). 15. u = ( a b/ b 2 ) b = (2 2 2) gdzie b = (1 1 1). 18. użyć iloczynu wektorowego. 19. a) 3y 2z + 6 = 0; b) 19x 8y z = 0; c) 5x + z 9 = 0; d) x y + z 5 = a) (x + 3)/2 = (y 5)/( 1) = (z 2)/3; b) (x 1)/( 1) = y/2 = (z 6)/( 2). 21. a) cos α = 1/ 26; b) cos α = 3/ a) (0 5 5); b) (6 1 1).

9 Matematyka lista 4 9 Matematyka Lista 4 1. Zbadać monotoniczność ciągu: a n = 2n + 7 (b) b n = ( 1) n n c n = 1 2/n. 2. Podać wyraz a 3 a n+1 a 2n gdy: a n = n2 n + 1 (b) a n = ( 1) n+1 ( ) n 2 a n = 1 3 n n + 1 2n. 3. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu arytmetycznego oraz sumę S 20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: a 3 = 3 a 12 = 21 (b) a 1 + a 2 + a 3 = 18 a a a 2 3 = Obliczyć sumę wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Długość najkrótszego boku jest równa p. Obliczyć pole tego trójkąta pole koła opisanego na tym trójkącie oraz pole koła wpisanego w ten trójkąt. 6. Wyznaczyć wyraz ogólny ciągu geometrycznego oraz sumę S 20 dwudziestu początkowych wyrazów gdy: a 3 = 54 a 6 = 2 (b) iloraz q = 1 2 oraz S 7 = Zamienić na ułamek zwykły (b) Rozwiązać równanie x 2 x 3 + x 4 = W okrąg o promieniu r wpisujemy kwadrat. W ten kwadrat wpisujemy okrąg. Powtarzamy tę operację uzyskując nieskończony ciąg okręgów i kwadratów. Obliczyć sumę pól tych kwadratów. 10. Obliczyć granice ciągów: a n = 2n2 n + 1 3n n (b) b n = n6 n 2 n c n = n4 n + 2 2n (d) d n = 3 n n 2 1 (f) f n = 3n + 2 n 3 n 2 n (g) g n = (e) e n = n( n n) ( 1 1 n ( n) n (h) h n = (i) i n = n n (j) j n = 1 n n n n (k) k n = n 3 n + 2 n (l) l n = 1 n n n 2 + n. 11. Oprocentowanie lokaty wynosi r 100% w stosunku rocznym. Wyznaczyć efektywne oprocentowanie lokaty rocznej przy kapitalizacji ciągłej (graniczny przypadek kapitalizacji n razy w roku w równych odstępach czasu gdy n ). Jakie jest efektywne oprocentowanie po czasie t lat (t 0) przy kapitalizacji ciągłej?

10 Matematyka lista Obliczyć granice przy x + oraz przy x dla funkcji f(x): x 7 x 4 +x (b) x x 3 x x 1 (d) (e) x x + 1 x 3 2 (x 2 + 1)(x + 3) (f) x 2 x + 1 x + 2 (g) x 3 3x 2 4 x2 3x Obliczyć (gdy istnieją) granice: x 2 9 lim x 3 x + 3 x 3 1 (b) lim x 1 x 2 1 x 1 lim x 1 x 1 (d) lim x 0 x + 1. x 14. Na stożku o promieniu podstawy r i wysokości x opisano kulę. Niech R(x) oznacza jej promień. Obliczyć granicę lim x 0+ R(x) lim x R(x). Czy można podać te granice nie wyznaczając funkcji R(x)? 15. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji: y = 2x3 + 2 x 3 + x 2 (b) y = x2 1 x 2 2 y = x3 + 8 x 2 4 (d) y = 16. Dobrać parametry a b R tak aby podana funkcja f(x) była ciągła: 1 1 x. f(x) = { bx + 3 : x < 1 2x 2 + x + a : x 1 (b) f(x) = { x : x 1 x 2 + ax + b : x > Wykazać że każde z poniższych równań ma pierwiastek: x 3 + x = 3 (b) x 3 + x = 3 (dokładnie jeden) x + 3 = x 2 + x 2 (d) x 3 + 3x 2 = 3 (dokładnie trzy). 18. Uzasadnić że równanie x 4 + x = 5 ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Obliczyć na kalkulatorze ten pierwiastek z dokładnością Znaleźć przyrost y funkcji y = x 2 /2 przy x = 2 zakładając przyrost x zmiennej niezależnej x równy 0.5 (b) 0.2. Wykonać odpowiedni rysunek. 20. Wyznaczyć przyrost y i iloraz różnicowy y/ x odpowiadające przyrostowi x argumentu x dla funkcji: y = ax+b (b) y = 1/(2x+1). Wyznaczyć pochodną funkcji y = y(x) jako granicę ilorazu różnicowego. 21. Obliczyć pochodne funkcji: y = ax 3 + b x + c (b) y = 9x7 + 3x 5 3x 11 y = 3 3x 2 (d) y = 5 x 2 (e) y = x + 1 x 1 (f) y = x 2 4 (g) y = 3 x 1 3 x (h) (x 2) ln x (i) y = x 3 e x (j) 3 x(ln x e x ) (k) x2 ln x e x + x ( (l) v = (4z 2 5z+13) 5 (m) s = 2 7t 2 4 ) 6 t + 6 (n) y = 5e 2x

11 Matematyka lista 4 11 (o) y = 5 x + 2 x (p) y = 3 x x 3 (r) y = ln ln x (s) y = ln (t) s = ln 5 x t 1 t (u) y = arctg(3x) (w) y = arctg(x x 2 + 1). 22. W jakim punkcie styczna do linii y = (x 8)/(x + 1) tworzy z osią Ox kąt równy połowie kąta prostego? (b) Znaleźć na linii y = e x punkt w którym styczna jest równoległa do prostej x y + 7 = 0. Jaki związek powinien zachodzić pomiędzy współczynnikami równania paraboli y = x 2 + px + q aby ta parabola była styczna do osi odciętych? (d) W jakim punkcie krzywej logarytmicznej y = ln x styczna jest równoległa do prostej y = 2x? 23. Korzystając z różniczki obliczyć przybliżoną wartość: 3 63 (b) e (d) ln Wykazać prawdziwość nierówności: x > ln(1+x) x > 0 (b) e x x+1 2x arctg x ln(1+x 2 ). 25. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: y = x(3 2 x) (b) y = x/(1 + x 2 ) y = 2x 3 12x Wyznaczyć przedziały wypukłości wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: y = x 3 3x 2 (b) y = x/(1+x 2 ) y = arctg x (d) y = x+1/x. 27. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: y = x x x 50 (b) y = x 1 x y = x x Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale: y = x 4 2x 2 +5 w [ 2 2] (b) y = 1 24x+15x 2 2x 3 w [1 3]. 29. Zbadać przebieg zmienności funkcji: y = x 3 + 3x 2 9x 2 (b) y = x2 3 x 2 ln x y =. x 30. Liczbę 20 rozłożyć na sumę takich dwóch składników dodatnich których suma kwadratów jest najmniejsza. 31. W kulę o promieniu R wpisano walec. Obliczyć przy jakiej wartosci promienia r podstawy walca pole jego powierzchni bocznej S będzie największe.

12 Matematyka lista Napisać wielomian Maclaurina z resztą R n dla podanych funkcji: e rx (b) 1 e x2 (d) ln(1 + x) (e) x x Wskazówki i odpowiedzi 1. a) b) nie monoton. c). 3. a) a 1 = 1 r = 2 b) r = 2 a 1 = 4 lub r = 2 a 1 = S 300 = (( )/2)300 = p 2 /3 5p/6 p/3. 6. a) a 1 = 486 q = 1/3 b) a 1 = a) 17/9 b) 31/ x = 1/ r a) 2 b) 0 c) + d) 0 e) 1 f) 1 g) e 2 h) 1/e i) 1/4 j) 1/2 k) 3 l) e r 1; e rt a) + b) 0 + c) 0 0 d) 1 1 e) 1 1 f) 1 1 g) 2/9 2/ a) 6 b) 3/2 c) 1/2 d) nie istnieje a) y = 2 w ± x = 0 b) y = 1 w ± x = 2 x = 2 c) y = x w ± x = 2 d) y = 1 w ± x = 0 lewostr. 16. a) b = a b) a = 1 b = a) 3ax 2 b/x 2 b) 63x 6 15x 6 +33x 12 c) 9/(3x 2) 2 d) 2/(5 5 x 3 ) e) 2/(x 1) 2 f) x/ x 2 4 g) 1/(3( 3 x) 2 (1 3 x) 2 ) h) (x 1)/x + ln x i) x 2 (x + 3)e x j) (ln x e x )/(3 3 x 2 ) + 3 x(1/x e x ) k) ((2x 1/x)(e x + x) (x 2 ln x)(e x + 1))/(e x + x) 2 l) 5(4z 2 5z + 13)(8z 5) m) 12(7t 2 4/t + 6) 5 (14t + 4/t 2 ) n) 10e 2t o) 5 x ln x ln 2 p) (3 x ln 3) x x 3x 2 r) (1/ ln x) (1/x) s) 1/(x 2) t) 1/(1 t 2 ) u) 3/(1 + 9x 2 ) w) 1/2(x 2 + 1). 22. a) ( 4 4) lub (2 2) b) (0 1) c) y = 0 y = 0: p 2 + 4q = 2 d) (2 ln 2). 23. a) 4 1/48 b) c) 1/2 + 1/800 d) a) Niech f(x) = x ln(1 + x) dla x [0 ); f (x) = x/(1 + x) > 0 dla x > 0 czyli f(x) rosnąca na [0 ); f(0) = 0 więc f(x) > 0 dla x > 0. b) Niech f(x) = e x (x + 1) dla x R; f (x) = e x 1 stąd f(x) malejąca na ( 0] i rosnąca na [0 ); f min = f(0) = 0 więc f(x) 0 dla x R. c) jak b). 25. a) : x [0 1] : x > 1 b) : x [ 1 1] : na x < 1 i na x > 1 c) : na ( 2 i na ( 2 ) : x [ 2 2]. 26. a) : (1 ) : ( 1) pp: x = 1 b) : ( 0) : (0 ) pp: x = 0 c) : (0 ) : ( 0) pp: x = a) y max = y( 6) y min = y( 2) b) y max = y(2/3) c) y min = y( 1) y min = y(1). 28. a) max: y( 2) = y(2) = 13 min: y( 1) = y(1) = 4 b) max: y(3) = 10 min: y(1) = ; wyznaczyć jako wartość największą odpowiedniej funkcji. 31. S = 4πr R 2 r 2 osiąga max dla r = R/ a) e t dla t = rx b) por. 1/(1 + x) = 1/(1 ( x)) i wzór na sumę ciągu geometr. c) e t dla t = x 2.

13 Matematyka lista 5 13 Matematyka Lista 5 1. Obliczyć całki nieoznaczone: (3x 3 +2 x 1)dx (b) x(x 1)(x 2)dx 2 3 x 3 x x (d) dx (e) dx (f) x x x 2 x (h) (9x 2 x + 1) 2 2 x dx (i) 3 dx (j) x 2. Obliczyć całki całkując przez części: xe 3x dx (b) ln x dx (e) ln x x dx (f) x2 ln x dx (g) x 2 e x dx dx (g) x + 3 dx x 2 x 2 x dx e x 2 x 5 x dx. (d) arctg x dx (h) x ln x dx (ln x) 2 dx. 3. Obliczyć całki całkując przez podstawienie: x a x dx (b) (5 3x) 10 dx + bx dx (d) xe x2 dx (e) 4. Obliczyć całki: dx x 2 + 2x + 8 (d) x dx x (e) 5. Obliczyć całki oznaczone: x x dx (b) (f) x(x + 2) dx x 2 + 2x + 2 dx x 3 4x ln 2 x x dx (f) (g) ln x x x 2 dx x 2 + 2x + 5 2x 4 + 5x 2 2 2x 3 x 1 dx. dx x 1 3x + 1 dx (b) 1 1 (x 3 x + 1)dx 2 1 x dx. 6. Wyznaczyć wzór na prędkość v(t) i drogę s(t) w ruchu prostoliniowym ze stałym przyspieszeniem a(t) = a gdy v(0) = v 0 i s(0) = s Obliczyć całki stosując podstawienie: 4 0 dx 1 + x x = t2 (b) 1 0 e x e 2x + 1 dx 2 3 dx x 2 + 2x Obliczyć całkując przez części: 2 0 xe x dx (b) 1 0 x 2 arctg xdx e 1 ( ) 2 ln x dx. x

14 Matematyka lista Obliczyć pole obszaru ograniczonego parabolami y = x 2 y 2 = x (b) parabolą y = 2x x 2 i prostą x + y = 0 krzywą y = ln x osią 0x i prostą x = e (d) krzywą y = (1 x 2 )5 i osiami układu. 10. Punkt materialny o masie m porusza się po linii prostej z prędkością v = (12t t 2 ) m/s. Jaką drogę przebędzie ten punkt od chwili początkowej do chwili zatrzymania się? 11. Obliczyć długość krzywej: 9y 2 = 2x 3 0 x 2 (b) y = ln(1 x 2 ) 0 x Obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu łuku paraboli y 2 = 4x dla 0 x 3 dokoła osi Ox oraz objętość bryły ograniczonej tą powierzchnią i płaszczyzną x = Posługując się całką oznaczoną wyprowadzić wzór na objętość kuli i pole powierzchni sfery o promieniu r. 14. Zbadać przekroje wykresów funkcji z = z(x y) i na tej podstawie naszkicować te wykresy: 3x + 2y + z 6 = 0 (b) z 2 = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 (d) z = xy. 15. Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego i drugiego funkcji: z = xy (b) z = xe xy z = x 2 y + ln(xy). 16. Znaleźć ekstrema funkcji z = z(x y): z = x 2 + xy + y 2 2x y (b) z = x 3 y 2 (6 x y). 17. Znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji z = z(x y) w podanym obszarze: z = x 2 + 2xy 4x + 8y w obszarze D : 0 x 1 0 y 2 (b) z = x 3 + y 2 3x 2y 1 w obszarze D : x 0 y 0 x + y 1 z = x 2 xy + y 2 w obszarze D : x + y Wyznaczyć odległość punktu A = (0 3 0) od powierzchni y = zx. 19. Liczbę dodatnią a przedstawić w postaci sumy takich trzech liczb dodatnich aby ich iloczyn był największy. 20. Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 64 m 3. Do budowy ścian magazynu używane są płyty w cenie 30 zł/m 2 do budowy podłogi w cenie 40 zł/m 2 a sufitu 20 zł/m 2. Znaleźć długość a szerokość b i wysokość c magazynu którego koszt budowy będzie najmniejszy. 21. Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej y = f(x) określonej równaniem: x 2 + y 2 8x 4y + 19 = 0 (b) y 3 + 2xy + x 2 = 0 x 2 + y 4 = Znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej z = f(x y) określonej równaniem: x 2 + y 2 + z 2 2x 2y 2z + 2 = 0 (b) z 2 + xyx zy 2 x 3 = 0.

15 Matematyka lista Metodą mnożników Lagrange a wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji f(x y) przy danym warunku g(x y) = 0: f(x y) = x 2 + y 2 g(x y) = xy 1 (b) f(x y) = x 3 + y 3 g(x y) = x + y 2 x 0 y 0 f(x y) = 1/x + 1/y g(x y) = 1/x 2 + 1/y 2 1 x 0 y 0. Wskazówki i odpowiedzi 1. a) (3/4)x 4 + (4/3)x x x + c b) x 4 /4 x 3 + x 2 + c c) ln x 3/x + c d) 6 3 x 3 ln x + c; e) x arctg x + c g) (1/3) ln(x 3 + 8) + c h) 81/5x 5 18/4x /3x 3 x 2 + x + c i) 3/8 3 x 8 6/7 6 x a) e 3x (3x + 1)/3 + c b) x ln x x + c c) x 2 (2 ln x 1)/4 + c d) (1 + ln x)/x + c e) x arctg x (1/2) ln(x 2 + 1) + c f) x(ln x) 2 2x ln x + 2x + c. 3. a) e x2 /2 + c b) (5 3x) 11 /33 + c c) ( x 2 + 1) 3 /3 + c d) (ln x) 2 /2 + c e) (1/2)arctg(x 2 )+c f) 2( a + bx) 3 /3b+c. 4. a) (1/ 7)arctg((x+1)/ 7)+c b) x 2arctg(x + 1) + c c) x ln(x 2 + 2x + 5) (3/2)arctg((x + 1)/2) + c d) (1/6) ln((x 3 + 1)/(x + 1) 3 ) + (1/ 3)arctg((2x 1)/ 3) + c e) (1/8) ln((x 2 4)/x 2 ) + c f) x 2 /2 + ln 2x 3 x 1 + arctg(2x + 1) + c. 5. a) 2 (2 ln 7)/3 b) 2 c) 5/2. 6. v(t) = at + v 0 s(t) = at 2 /2 + v 0 t + s a) 4 2 ln 3 b) artctg e π/4 c) 1/2. 8. a) 1 3/e 2 b) π/12 (1 ln 2)/6 c) 2 5/e. 9. a) 1/3 b) 9/2 c) 1 d) 1/ s = 12 (12t 0 t2 )dt = 288 m. 11. a) 8(2 2 1)/3 b) ln 3 1/ D = 56π/3 V = 18π. 14. a) płaszczyzna; b) stożek; c) paraboloida obrotowa; d) siodło. 15. a) z x = y z y = x z xy = z yx = 1 z xx = z yy = 0; b) z x = (xy + 1)e xy z y = x 2 e xy z xy = z yx = (2x + x 2 y)e xy z xx = (2y + xy 2 )e xy z yy = x 3 e xy ; c) z x = 2xy+1/x z y = x 2 +1/y z xy = z yx = 2x z xx = 2y 1/x 2 z yy = 1/y a) z min = z(1 0) = 1; b) z max = z(3 2) = a) 3 17; b) 4 1; c) a/3 + a/3 + a/ a = b = c = a) dla x = 4 min y = 1 i max y = 3; b) max y = 1 w x = a) z 1 w (1 1) min z = 1 i max z = 2 na dwóch gałęziach; b) w ( 6 6 3) min z = 12 3 i w ( 6 6 3) max z = a) w (1 1) i w ( 1 1) min = 2; b) w (1 1) min = 2; c) w ( 2 2) min = 2 w ( 2 2) max = 2.

16 Matematyka lista 6 16 Matematyka Lista 6 1. Rozwiązać równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych: dy dx = 2y x dy (b) 2x2 dx = y dy dx = 2xy2 x 2 dy dx. 2. Znaleźć rozwiązanie r.r. spełniające warunek początkowy y(1) = 0: (1 + x 2 )xy dy dx = 1 + y2 (b) dy dx = 2xb (y 2 + 1) b R. 3. W pewnym ruchu stosunek prędkości do przebytej drogi jest wielkością stałą i wynosi 2. W chwili t = 0 przebyta droga wynosiła x = 2 cm. Obliczyć przebytą drogę do chwili t = 5 sek. 4. Wyznaczyć równanie linii przechodzącej przez punkt A(2 3) takiej że każdy odcinek stycznej do tej linii zawarty między osiami układu jest dzielony na połowy przez punkt styczności. 5. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe: dy dx = 3y x + x dy (b) dx + 2y = e3x x dy dx + x2 + xy = y. 6. Znaleźć całki szczególne spełniające dane warunki początkowe: y y = e x y(0) = 1 (b) (1 x 2 )y + xy = 1 y(0) = W chwili t = 0 skoczek spadochronowy o masie m wyskakuje z samolotu i opada swobodnie na ziemię (z zamkniętym spadochronem). Na ciało skoczka działają jedynie siła grawitacji (F g = mg) i skierowana przeciwnie do kierunku ruchu siła oporu powietrza proporcjonalna do prędkości skoczka (tzn. F o = kv gdzie k > 0 jest stałą proporcjonalności). Znaleźć wzór na prędkość opadania skoczka w chwili t > 0. (b) Jaką maksymalną prędkość może osiągnąć skoczek? 8. W chwili t = 0 agencja rządowa ma 6000 pracowników wśród których 25% to kobiety. Średnio w ciągu tygodnia agencję opuszcza 100 osób przy czym udział kobiet wśród odchodzących jest taki sam jak wśród dotychczas zatrudnionych. Średnio w ciągu tygodnia do pracy przyjmowanych jest 50 nowych pracowników z których połowę stanowią kobiety. Ilu pracowników będzie miała agencja w 40 tygodniu? (b) Jaki będzie udział kobiet wśród osób pracujących w agencji w 40 tygodniu?

17 Matematyka lista 6 17 Wskazówki i odpowiedzi 1. a) y = Cx 2 b) y = C e 1/2x c) C(1+x 2 ). 2. a) 1+y 2 = Cx 2 /(1+x 2 ) C = 2 b) y = tg(2x b+1 /(b+1)+c) i C = 2/(b+1) gdy b 1; y = tg ln(cx 2 ) i C = 1 gdy b = v(t) = dx(t)/dt v(t)/x(t) = 2; stąd x(t) = Ce 2t z C = RR: xy (x) = y(x); y = C/x z C = a) y = cx 3 x 2 b) y = ce 2x + e 3x /5 c) y = cxe x x. 6. a) y = e x (x + 1) b) y = x + 1 x a) v(t) = mg k (1 e k m t ) b) v max = mg k. 8. Niech W (t) oznacza liczbę kobiet pracujących w agencji w chwili t. Wówczas: a) W (t) = ( t) 2 ; b) W (40) t /3 100% = 100% = %.

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1 Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Sprowadzić funkcje kwadratowe do postaci iloczynowej (jeżeli istnieje) i postaci kanonicznej oraz naszkicować ich wykresy: a) 2 + b) 2 2 + 1 c) 2 + 2 d) 2 + +

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 b) + y c) + 1 + 2 2 dla 1 2 d) 8 e) + 1 f) 1 + + 2. 2. Korzystając z geometrycznej interpretacji wartości

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Lista zadań nr 2 z Matematyki II Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y

Bardziej szczegółowo

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1 WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych 1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +

Bardziej szczegółowo

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4

Zad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4 Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb

Bardziej szczegółowo

I. Funkcja kwadratowa

I. Funkcja kwadratowa Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Funkcje elementarne

Lista 1 - Funkcje elementarne Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ KOD ZDAJĄCEGO WPISUJE ZDAJĄCY symbol klasy symbol zdającego PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x

(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x . Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1 KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI DEFINICJA (funkcji elementarnych) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe wykładnicze logarytmiczne trygonometryczne Funkcje, które można

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.

3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość. 1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.

Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ II

ARKUSZ II www.galileusz.com.pl ARKUSZ II W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D)

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18) ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji . Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r.

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r. Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 011 r. 1. Mamy 6 elementów. Ile jest możliwych permutacji tych elementów jeśli: a) wszystkie elementy są różne, b) dwa elementy wśród nich są identyczne, a wszystkie

Bardziej szczegółowo

PRACA KONTROLNA nr 1

PRACA KONTROLNA nr 1 XXXV KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 005r. 1. Niech f(x) = x + bx + 5. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru b, dla których: a) wykres funkcji f jest symetryczny względem

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Zadanie 12 (3 pkt) Z warunków zadania : 2 AM = MB > > n Wprowadzenie oznaczeń, naprzykład: A = (x, y) i obliczenie współrzędnych wektorów n Obliczenie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA

BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie

Bardziej szczegółowo

Wymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14

Wymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14 z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14 Liczby rzeczywiste Wiadomości i umiejętności rozpoznać liczby naturalne w tym pierwsze i złożone,

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura

Bardziej szczegółowo

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = + Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)). MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk

WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 2f: wpisy oznaczone jako: GEOMETRIA ANALITYCZNA (GA), WIELOMIANY (W), FUNKCJE WYMIERNE (FW), FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Repetytorium z matematyki ćwiczenia Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo