WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0

Transkrypt

1 WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T dla A = B = ( ) C = Które z iloczynów: A 2 B AB 2 BA 2 B 2 A istniej i dlaczego? Oblicz te które istniej je±li A = 2 2 B = Dane s macierze: A = B = C = D = Oblicz B C + [(D T 2A) D]. 4. Zastosuj rozwini cie Laplace'a do trzeciego wiersza wyznacznika i nast pnie stosuj c wzór Sarrusa oblicz jego warto±. 5. Oblicz wyznaczniki: 0 0 1) ) ) [ ].

2 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) a a a a cos 2 1 sin 2 1 cos 2 y 2 sin 2 y 1 cos 2 z sin 2 z 1 cos 2 t 4 sin 2 t 1 a b m n r s b c n p s t c a p m t r 1 + a b c a 1 + b c a b 1 + c a 2 b 2 c 2 a b c Odpowiedzi ; 2. ; 4. a 4 a 2 + 1; 5. 8; 6. 4; 7. 0; 8. 0; a + b + c; 10. (a b) (a c) (b c). 6. Rozwi» ukªady równa«: 1) 2 + y z + t = 1 y + z t = 1 + y + z t = 1. 2

3 2) (oznaczony) ) (nieoznaczony) 2y + 4z = 2 + 8y 6z + t = y z + t = 0 y + 2z = 2 4 6y + 2z + t = 2 2 y + 5z + 75t = 1 2 y 11z 15t = 1 4) (sprzeczny) 5y + 2z + 4t = 2 7 4y + z + t = y 4z 6t = 5) (sprzeczny) 6) (r. zale»ne) 7) + y + z 2t + u = y + 4z t + u = 2 + y + 5z 2t + u = y + 8z t + 9u = 2 + 2y + z 2t + u = 4 + 6y + 5z 4t + u = 5 + 2y + 7z 4t + u = y + 2z t + u = 6 8) 9) + y + z = 1 + 2y + z = y + 4z = 2 + 2y + z = 2 + y + z = 1 y + z = 2 + y + z = 0 y + z = y + 5z + 7t = 2 2 y + z + t = 4 + 2y + 2z + 2t = 1 + y + z + 5t =

4 10) + y = 4 2 y = 2 + y = 4 11) + y = 4 2 y = 2 + y = 4 12) + y = y = y = 0 1) 2 y = 6 y = 9 4 2y = 6 14) + y + 2z = 4 + y z = y + z = 5 15) + y + 2z = 4 + y z = y + z = 6 16) + y + z = 0 + 4y 4z = y 5z = 0 17) 2 + y + z t = 0 2y + z + 2t = 0 y + 2z + t = 0 18) 2 + y + z 2 = 0 + y + z 2 = 0 + y + z = 0 y + z 1 = 0 4

5 19) + y + 2z = 4 y + z = y z = 2 + 2y + z = 6 20) 21) y z t = 1 2 y + 2z t = 2 + z 2t = 1 4 2y + 4z 4t = 2 y z t = 1 2 y + 2z t = 2 + z = 4 2y + 4z 2t = 4 22) + 2y + z t = 1 2 y + z + t = 2 + 2y + z t = 2 y + z + t = 5 2) { + y + z = 2 y + z + 2t + v = 1. Odpowiedzi. 10. = 2 y = 2; 11. ukªad sprzeczny; 12. ukªad sprzeczny; 1. = y = = y + 2 y = y z = 1; 15. ukªad sprzeczny ; 16. = 8z y = 7z z = z; 17. R y = 1 +t z = 5 t = t; 18. ukªad sprzeczny ; 19. = 1 y = 1 z = 1; 20. = z + y = 4z + z = z t = 1; 21. = z + y = y z = z t = 4 4z y 22. ukªad sprzeczny; 2. = y = z + 2 z = z t = t v = 1 2t. 7. Niech A = (1 1 1) B = (1 1 ) C = ( 2). Oblicz k t mi dzy wektorami AB i AC. 8. Oblicz pole trójk ta którego wierzchoªkami s punkty A = (1 2 ) B = ( 1 0) C = (0 0 1). 9. Sprawd¹ czy punkty A = (1 0) B = (2 4 5) C = ( 5 9) i D = (0 1 2) nale» do jednej pªaszczyzny. 10. Poka»»e ±rodki boków dowolnego czworok ta k a wierzchoªkami równolegªogoku. 11. Poka»»e przek tne równolegªoboku przecinaj si w poªowie. 5

6 12. Dla jakich warto±ci parametrów m i k wektory a = (4 6k) b = (2m 1 4) s równolegªe? 1. Znajd¹ k t mi dzy wektorami: ( 1) a = 1 2 ) 2 ( b = ) 2) a = (1 1) b = ( ) ) a = ( ) b = ( ). 14. Dla jakiej warto±ci parametru λ wektory a = (1 2 ) b = (λ λ) s do siebie prostopadªe? 15. Sprawd¹ czy trójk t ABC 1) A = (5 4) B = ( 2) C = (2 5) 2) A = (5 4 1) B = ( 2) C = (1 6 5) jest prostok tny. 16. Znajd¹ cosinusy kierunkowe wektora a = (1 1 2). 17. Znajd¹ rzut prostok tny wektora a = (2 1 1) na o± o kierunku wektora b = (1 2 1). 18. Znajd¹ wektor jednostkowy m prostopadªy do wektorów a = (2 1 1) b = (1 2 1). 19. Oblicz pole trójk ta o wierzchoªkach: 1) P = ( 4 ) Q = (6 2 ) R = (0 1 5) 2) P = ( 2 2) Q = (4 2) R = (0 ). 20. Poka»»e pole równolegªoboku zbudowanego na przek tnych danego równolegªoboku jest równe podwojonemu polu danego równolegªoboku. 21. Wyprowad¹ twiedzenie sinusów. Wskazówka: Wykorzystaj fakt»e warunkiem aby niewspóªlinowe wektory a b c tworzyªy trójk t jest a+ b+ c = 0. Nast pnie wykorzystaj iloczyn wektorowy. 22. Oblicz obj to± równolegªo±cianu o wierzchoªkach O = (0 0 0) P = ( 4 ) Q = (6 2 ) R = (0 1 5). 2. Wyka»»e punkty P = (1 2 1) Q = (0 1 5) R = (1 1 2) S = ( 1 0) le» w jednej pªaszczy¹nie i oblicz pole czworoboku o wierzchoªkach P Q R S. 24. Wyka»»e punkty P = (0 1 2) Q = ( 1 1) R = (4 1 0) S = ( 1 1 5) s wierzchoªkami trapezu i policz jego wysoko±. 6

7 25. Wyka»»e obj to± równolegªo±cianu zbudowanego na przek tnych ±cian danego równolegªo±cianu jest równa podwojonej obj to±ci danego równolegªo±cianu. 26. Napisz równania prostej przechodz cej przez punkty: 1) P = (1 1 1) Q = ( 1 2 1) 2) P = (1 1) Q = ( 1 2). 27. Napisz równanie prostej przechodz cej przez punkt P = (2 1 2) i równolegªej = 1 t do prostej l : y = 1 + 2t. z = 1 + t 28. Napisz równanie pªaszczyzny przechodz cej przez: 1) punkty P = (0 0 2) Q = (4 0 1) R = (2 1 2) = 2 + t 2) prost l : y = 1 + 2t i punkt P = (2 1 0) ) proste l 1 : 4) proste l 1 : z = 1 t 29. Czy przez proste l 1 : pªaszczyzn? 0. Przedstaw prost l : = 2 + t y = 1 + 2t z = 1 t = 2 + t y = 1 + 2t z = 1 t 1. Wyznacz dziedzin funkcji: 1) f() = ) f() = ) f() = 1 4) f() = l 2 : l 2 : = 2 + t y = 1 + 2t z = 1 t = 2s y = 4s z = 2s = 1 + s y = 1 2s z = 1 + 2s l 2 : { 2y + 5z = 1 2 y + 2z = 2. = 1 + s y = 1 2s z = 5 + 2s mo»na poprowadzi w postaci parametrycznej. 5) f() = ( + 7) 25 ( + 11) 7 ( ) 5/ (2 9) 9/5 6) f() = ( + 1) + (4 ) 15 7) f() = log p (2 + 1) p > 0 p 1 8) f() = log p ( 2 ) p > 0 p 1 7

8 9) f() = log p (2 8) p > 0 p 1 10) f() = log 2 [1 log 1 2 ( )] 11) f() = 1 tg + 2. Oblicz granice 1) lim 2 2) lim ) lim ) lim ) lim ) lim ) lim sin 1+cos 2. (1+)(1+2)(1+) 1 8) lim 0 ( 9) lim ) 4 10) lim ( 1) 2 11) lim 0 (1+) 2 (1+2) 2 12) lim ) lim ) lim ) lim 2 ( 2 2) 20 ( 12+16) 10 16) lim ) lim 0 18) lim ) lim ) lim ) lim ) lim 0 e e 2) lim ) lim 1 + ln ) lim 0 a b a > 0 b > 0 8

9 26) lim 0 a a a > 0 27) lim a a+ 2a a+2 a a > 0 28) lim 0 e e sin 29) lim 0 sin cos 0) lim 0 1 ctg 1) lim 2 2) lim π 4 tg 2 tg ( π 4 +) ) lim 2 sin ) lim ln(ln ) 5) lim 1 ( 1 ln ln ) 6) lim 1 (1 ) ln(1 ) 7) lim 0 ( 1 1 sin ) (1+)(1+2)(1+) 1 8) lim 0 ( 9) lim ) 4 40) lim ( 1) 2 41) lim 0 ln(1+) 42) lim 0 + ln ln sin 4) lim ) lim ( 1) 2 45) lim ( (e 1 1) ) π 2 arctg 46) lim ln(+1) ln ( 1 47) lim 0 sin ) Oblicz pochodne nast puj cych funkcji: 1) f() = a + b + c 2) f() = 4 ) f() = 4) f() = 2 5) f() = ( + 1) 7 6) f() = (2 + 1) 2 na dwa sposoby 7) f() = 2 1 (+1) 9

10 8) f() = (2 1)( + 1) 9) f() = ) f() = a 2 + b + c 11) f() = ) f() = ( + ) 1) f() = ) f() = u() v() w() 15) f() = 1 cos 4 16) f() = arcsin( 2 ) 17) f() = sin ( f() g() ). 4. Oblicz pochodne f f f funkcji 1) f() = 2 2) f() = e. 5. Wyznacz przedziaªy monotoniczno±ci i ekstrema funkcji: 1) f() = + 2 2) f() = (+1)2 2 ) f() = 2 ln 4) f() = ln ( e + 1 ) 5) f() = e Oblicz caªki 10

11 1) ( 2 ) d 2) d ) ( ) a + a2 + a 2 d 4) ( ) a + a2 + a 2 da 5) (1 ) d 6) ( ) d 7) d 8) d 9) 1 sin 2 d 10) ) ) d d d 1) ( + 1)( + 1) d 14) (1 ) 2 15) 4 16) (1+ ) 2 d d d 17) 8 d 18) 5 (8 ) 6 d 19) d 20) d ) cos sin d 22) cos 5 sin d 2) (arctg ) d 24) d (arcsin ) ) ln 26) d ln d 27) cos(1 ) d 28) d +4 29) d 1 2 0) tg d 1) sin 2 1+cos 2 d 2) e sin cos d ) e 2 d 4) 2 e d 5) d ) d ) d ) d 9) d 40) + d 41) d ) d 4) d 44) d ) d ) d ) d ) d 1 (2+) 2 49) d ) d