Materiały Konferencji MathPAD 2008

Transkrypt

1 Materiały Koferecji MathPAD 2008 Wydział Matematyki i Iformatyki Uiwersytetu Mikołaja Koperika w Toruiu 9-22 sierpia 2008

2 Redakcja materiałów: Mirosław Majewski ( Robert Skiba ( Okładkę projektował Mirosław Majewski ISBN Prited i Polad Wydawictwo Naukowe Uiwersytetu Mikołaja Koperika Toruń 2009 Copyright by mathpad Olie ad the autors WYDAWNICTWO NAUKOWE UNIWERSYTETU MIKOŁAJA KOPERNIKA ul. Gagaria 5, Toruń Redakcja: tel. (056) , fax dwyd@umk.pl Dystrybucja: ul. Reja 25, Toruń Tel./fax (056) books@umk.pl Wydaie I Skład: Mirosław Majewski, Robert Skiba Druk: Drukaria Cyfrowa UMK ul. Gagaria 5, Toruń, tel. (056)

3 Spis treści Katarzya Chmurska, Gdy ucziowie ie chcą mieć ormalej lekcji... Adrzej Dawidowicz, Wykorzystaie pakietu Microsoft Office do budowy zestawów sprawdzających umiejętość dowodzeia twierdzeń matematyczych... 0 Iwoa Filipowicz, Wykorzystaie systemu MuPAD w statystyce biblioteczej Eugeiusz Jakubas, Warsztaty dla auczycieli: Matematyka z Komputerem w liceum Berard Jacewicz, Skalary, wektory i co dalej? Jerzy Kołodziejczyk, Sumowaie szeregów za pomocą MuPADa Zygmut Krawczyk, Kryptarytmy z MuPADem Jerzy Kubis, Jak uowocześić lekcje matematyki przy pomocy MuPADa? Krzysztof Leśiak, Przykłady rozwiązywaia zadań z użyciem MuPADa Leo Magiera, Elemety kiematyki z programem MuPAD... 0 Kamila Majewska, Trzy rówoważe defiicje okręgu kostrukcje przy pomocy programu Geometry Expressios... 0 Mirosław Majewski, O pożyczkach, długach i przewidywaiu przyszłości z Excelem w tle... 7 Mirosław Majewski, Matematyka, MuPAD i Sztuka... 3 Broisław Pabich, Aalogie przestrzei 2D i 3D Małgorzata Pacaa-Kawalec, Zastosowaie programów CABRI w auczaiu matematyki w szkole poadgimazjalej Dauta Rozpłoch-Nowakowska, Rekurecja z MuPADem Michał Sejfried, Cztery okręgi stycze i co z tego wyika Michał Sejfried, Trójkąty zaprzyjaźioe a rodzia okręgów doskoałych... 67

4 Wprowadzeie Szaowi Państwo, Oddajemy w wasze ręce materiały kolejej koferecji mathpad. Była to już siódma asza koferecja. Od pięciu lat korzystamy z gościości Wydziału Matematyki Uiwersytetu Mikołaja Koperika w Toruiu. Dlatego, a samym wstępie, pragę podziękować Władzom Wydziału za ogromą życzliwość jakiej dozajemy za każdym razem. Tu szczególe podziękowaia ależą się Prof. Adamowi Jakubowskiemu i Prof. Adrzejowi Rozkoszowi. To dzięki im koferecja mathpad zalazła swoje miejsce w Toruiu, i mam adzieję, że Toruń pozostaie miejscem aszej koferecji tak długo, jak długo zajdzie się ktoś, kto zechce ją orgaizować. Przypuszczam, że ie sposób jest wymieić wszystkich, którzy wieśli swój wkład w orgaizację aszych spotkań. Dlatego ie będę tu próbował stworzyć takiej listy obawiam się, że mógłbym kogoś pomiąć sprawiając mu tym samym przykrość. Dziękuję więc każdemu, kto pomógł am w orgaizacji aszych spotkań i zapraszam do współpracy przy kolejych koferecjach. Dziękuję rówież uczestikom za to, że byli aktywi, iteresowali się tym co mieliśmy im do przekazaia i sami wieśli ogromy wkład w program tej koferecji bez Was ta koferecja ie mogłaby istieć. Kończąc już te przydługi wstęp pragę wspomieć jeszcze jedo azwisko Radka Rudickiego chyba ajbardziej zapracowaego człoka komitetu orgaizacyjego. To dzięki jego pracy wszystko co elektroicze (stroy www, pracowie,...) było zawsze sprawe i a czas. Radku dziękujemy za wszystko i mamy adzieję, że mimo owych obowiązków zajdziesz dla as zawsze trochę czasu. Od zakończeia koferecji do wydrukowaia tych materiałów mięło iewiele czasu, ale zdarzyło się bardzo wiele. MuPAD, asze ulubioe arzędzie, zmieił właściciela. Nowy właściciel, firma MathWorks, będzie sprzedawał MuPADa pod ową azwą Matlab Symbolic Mathematics Toolbox. Jest wiele powodów aby przypuszczać, że ta zmiaa przyiesie wiele pozytywych efektów dla as. MuPAD w owej wersji jest zitegroway z bardzo bogatym programem Matlab i liczymi tzw. toolboxami. Co więcej, asi ucziowie używając Matlab Symbolic Mathematics Toolbox w szkole zajdą dokładie to samo arzędzie a wielu uczeliach w Polsce. Matlab jest bowiem podstawowym arzędziem a wszystkich uczeliach techiczych. Wiem, że wiele osób zastaawia się jakie będą cey MuPADa w owej szacie dla szkół aktuale ceiki pokazują, że będą to cey iższe iż te, z którymi mieliśmy dotychczas do czyieia. Aktualie firma MathWorks prubuje zaleźć sposób a to, żeby Matlab mógł być dostępy w każdej polskiej szkole. Jedą z takich opcji jest Matlab Juior, który ma szase powstać w ciągu ajbliższych miesięcy. Iym ciekawym programem dydaktyczym dla matematyków jest Microsoft Math program stosukowo owy, szybko się rozwijający i oferujący wiele ciekawych arzędzi dydaktyczych a poziomie szkoły podstawowej i poadpodstawowej. Zachęcam do eksperymetów z tym programem i być może za rok zajdą się uczesticy koferecji, którzy zechcą am pokazać jak moża uczyć matematyki z MS Math.

5 Jest rówież owa Ciderella z bogatym jezykiem skryptowym. Tam da się już programować kostrukcje geometrycze, a więc możemy tworzyć obiekty geomerycze iterując lub używając kostrukcji rekurecyjych. To tyle owości. Zachęcam do poszukiwań, eksperymetowaia i do udziału w kolejej koferecji mathpad w sierpiu Za komitet orgaizacyjy Mirek Majewski

6 Gdy ucziowie ie chcą mieć ormalej lekcji. Wprowadzeie Katarzya Chmurska Na pewo my, auczyciele ie raz spotykamy się z taką sytuacją. Ostatie lekcje przed wakacjami, ostatia lekcja w Starym Roku, ostatia przed Wielkaocą Jakoś tak iezręczie prowadzić lekcję. Program programem, ale czyik ludzki Oto kilka propozycji do wykorzystaia. WIELOKĄTY FOREMNE. Wielokąt foremy to taki, który ma wszystkie boki rówe i wszystkie kąty tej samej miary. Istieją wielokąty foreme, które moża skostruować za pomocą cyrkla i liijki a są takie, dla których jest to iemożliwe. Warto wspomieć w tym miejscu iemieckiego matematyka Carla Friedricha Gaussa, który zajmował się wielokątami foremymi. Odkrył o, że -kąt foremy daje się skostruować wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą postaci 2 k p 0p p 2...p s, gdzie p 0,p, p 2,...p s są różymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzeie to jest dziś zae jako twierdzeie Gaussa-Watzela. Liczba Fermata liczba aturala postaci, gdzie jest ieujemą liczbą całkowitą. Nazwao je tak dla upamiętieia fracuskiego matematyka Fermata, który pierwszy badał ich własości. (Wikipedia) Spójrzmy a kilka pierwszych liczb Fermata:. =0 2. = 3. =2 itd. W MuPADzie moża szybko wypisać dowolą ich liczbę 2^(2^)+ $ = 0..0 otrzymując 3, 5, 7, 257, 65537, , , Uwaga! Tylko początkowe liczby Fermata są pierwsze.

7 Weźmy pierwszą liczbę Fermata F 0=p 0=3. Jakie wielokąty możemy otrzymać? - dla k=0 mamy 2 k = 2 0 =, stąd 2 k p 0=3 - dla k= mamy 2 k = 2 =2, stąd 2 k p 0=6 - dla k=2 mamy 2 k = 2 2 =4, stąd 2 k p 0=2 Druga liczba Fermata, to F = p = 5, otrzymamy wtedy: - dla k=0 mamy 2 k = 2 0 =, stąd 2 k p =5 - dla k= mamy 2 k = 2 =2, stąd 2 k p =0 - dla k=2 mamy 2 k = 2 2 =4, stąd 2 k p =20 itd. Jak widać, ie moża skostruować siedmiokąta foremego, a jest to możliwe dla siedemastokąta. Jak zatem szybko skostruować wielokąty foreme przy pomocy komputera. Możliwości jest kilka, ale ja pokażę to przy pomocy MuPADa. Zastosujmy techikę żółwia. Już w gimazjum ucziowie mogli spotkać się z programem LOGO i zasadami stosowaia tej techiki Podobie działa oa w MuPADzie. Podstawowe komedy "żółwika": forward() -idzie kroków aprzód, left(kąt), right(kąt) - skręca o zaday kąt odpowiedio w lewo lub w prawo setliecolor() -zadaje kolor rysowaej liii. Trzeba pamiętać, że początkowo kursor-żółw ustawioy jest pioowo. Na początku ależy przywołać z biblioteki te rodzaj grafiki za pomocą poleceia plot::turtle(). t:=plot::turtle(): t::forward(): t::left(pi/4): t::forward(): plot(t) A oto co otrzymamy: 2

8 Nakazaliśmy żółwikowi pójść aprzód jede krok, skręcić w lewo o kąt 45 0 i zowu zrobić krok. Jak wobec tego arysować p. kwadrat? Należy powtórzyć operację 4 razy skręcając o odpowiedi kąt. Z doświadczeia wiem, że to pójdzie łatwo, gorzej dla trójkąta. Ucziowie skręcą o kąt 60 0 i zdziwią się, że ie działa. Dlaczego? Bo kąt jest mierzoy od kieruku pioowego. Poieważ zapis poleceń jest dość pracochłoy, jest okazja do auczeia elemetów programowaia. KOMENDA FOR Składia: for i from to 0 do treść ed_for Dla kwadratu będzie to wyglądało astępująco: t:=plot::turtle(): for from to 4 do t::forward(): t::left(pi/2): t::forward(): ed_for:plot(t) Dla spotykaych w szkole wielokątów: trójkąta, kwadratu, sześciokąta zadaie jest dość proste. Dla iych p. pięciokąta, pojawi się problem o jaki kąt ależy skręcać. Wtedy możemy podeprzeć się programem Cabri, aby pokazać ucziom jak moża obliczać kąt wewętrzy wielokąta foremego, dzieląc go a przystające trójkąty. Kąt to -ta część kąta pełego, czyli. Pada śieg, pada śieg.. Co moża zrobić z choiką a lekcji matematyki? Najpierw ją arysujmy. Akt I POZIOM (NAWET SZKOŁY PODSTAWOWEJ?) GIMNAZJUM BEZ OSI, BEZ PUNKTÓW, ALE Z WYPEŁNIENIEM 3

9 figura:=plot::polygo2d([[0,3],[-,2],[-0.5,2],[-2,],[-.5,],[-3,0], [3,0],[.5,],[2,],[0.5,3],[,2],[0,3]]): plot(figura,scalig=costraied, Axes=Noe, Filled= TRUE, FillPatter= Solid, FillColor=RGB::LawGree, LieColor=RGB::Gree) Do arysowaia choiki wykorzystujemy poleceie Polygo2d z biblioteki plot. W tłumaczeiu ozacza to arysowaie wielokąta a płaszczyźie za pomocą liii łamaej od puktu do puktu, które zadajemy poprzez podaie ich współrzędych w awiasie kwadratowym. Trzecia liia zawiera iformacje a temat kolorów liii, wypełieia figury i jedakowych jedostek a osiach (Scalig=Costraied). Spójrzmy jak wygląda choika bez wypełieia Narysowaie choiki jest moim zdaiem dobrym ćwiczeiem a zazaczaie puktów w układzie współrzędych. Nie raz spotkałam się z brakiem tej umiejętości u swoich ucziów, a tu poprzez zabawę moża ją udoskoalać i utrwalać. Akt II - "WYSZCZUPLANIE" CHOINKI Choika wizualie ie jest zbyt łada. Jak ją ulepszyć? Poprzez zmiaę kształtu, gdyż jest za szeroka. Zadajmy dzieciom astępujące pytaia? Jak ją wyszczuplić? Co zmieić? Współrzędą? Którą? plot(plot::polygo2d([[0,6],[-,4],[-0.5,4],[-2,2],[-.5,2], [-3,0],[3,0],[.5,2],[2,2],[0.5,4],[,4],[0,6]]),Scalig=Costraied) 4

10 Akt III - DORYSOWYWANIE BRAKUJĄCEJ CZĘŚCI. Oto przykład iego ćwiczeia umiejętości zazaczaia i defiiowaia puktów w układzie współrzędych. Możemy poprosić dzieci o dorysowaie brakującej części drzewka. Wchodzimy tu w symetrię osiową, ale przecież ie musimy o tym mówić. Nawet a poziomie szkoły podstawowej dzieci ituicyjie albo a zasadzie prób i błędów same dojdą, którą współrzędą i jak ależy zmieić. ch:=plot::polygo2d([[0,3],[-,2],[-0.5,2],[-2,],[-.5,],[-3,0]]): plot(ch,scalig=costraied) Akt IV - PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Ćwiczeie poprzedie możemy zrealizować poprzez zastosowaie odpowiediego, gotowego przekształceia symetrii osiowej (w MuPADzie to poleceie Reflect2d, w którym defiiujemy oś symetrii poprzez dwa pukty, przez które przechodzi prosta i podając obiekt, którego obrazu poszukujemy). ch:=plot::polygo2d([[0,3],[-,2],[-0.5,2],[-2,],[-.5,],[-3,0]]): ch2:=plot::reflect2d([0,0],[0,], ch): tree:=plot::group2d(ch,ch2): plot(tree, Scalig=Costraied) A jeżeli mamy chętych i zdolych ucziów to zabawę możemy kotyuować i utworzyć choikowe szlaczki: figura:=plot::polygo2d([[0,3],[-,2],[-0.5,2],[-2,],[-.5,],[-3,0], [3,0],[.5,],[2,],[0.5,2],[,2],[0,3]]): szlak:=[]: for i from to 5 do g(i):=plot::traslate2d( [i*6,0], figura): szlak:=szlak.[g(i)]: ed_for: plot(figura,szlak, Scalig=Costraied, Axes=Noe, Filled= TRUE, FillPatter= Solid, FillColor=RGB::LawGree, LieColor=RGB::Gree) figura:=plot::polygo2d([[0,3],[-,2],[-0.5,2],[-2,],[-.5,],[-3,0], [3,0],[.5,],[2,],[0.5,2],[,2],[0,3]]): figura2:=plot::reflect2d([0,0],[,0],figura): szlak:=[]: for i from to 5 do 5

11 g(i):=plot::traslate2d( [i*6,0],figura,figura2): szlak:=szlak.[g(i)]: ed_for: szlaczek:=plot::group2d(figura,figura2,szlak): plot(szlaczek,scalig=costraied, Axes=Noe, Filled= TRUE, FillPatter= Solid, FillColor=RGB::LawGree, LieColor=RGB::Gree) Akt V - ZAPROSZENIE DO PROGRAMOWANIA. Następa choika wymaga już zastosowaia elemetów programowaia. l:=[]: l2:=[]: l3:=[]: l4:=[]: for k from 0 to 6 do l:=l.[plot::polygo2d([[-,6-2*k],[-3-k,4-k*2]],liecolor=rgb::gree)]; l2:=l2.[plot::polygo2d([[-,6-2*k],[-2-k,6-2*k]],liecolor=rgb::gree)]; l3:=l3.[plot::polygo2d([[,6-2*k],[3+k,4-k*2]],liecolor=rgb::gree)]; l4:=l4.[plot::polygo2d([[,6-2*k],[ 2+k,6-2*k]],LieColor=RGB::Gree)]; ed_for: gwiazda:=plot::polygo2d([[0,8],[-.5,7],[-,8.5],[-2,9],[0.5,9.5],[0,], [0.5,9.5],[2,9],[,8.5],[.5,7],[0,8],[2,6]],Filled = TRUE, FillPatter=Solid,FillColor=RGB::OrageRed,LieColor=RGB::Gree): goral:=plot::polygo2d([[-2,6],[0,8]],liecolor=rgb::gree): dol:=plot::polygo2d([[-9,-8],[-,-8],[-,-0],[,-0], [,-8],[9,8]],LieColor=RGB::Gree, Filled=TRUE, FillPatter=Solid,FillColor=RGB::MarsYellow): plot(l,l2,l3,l4, gwiazda,dol, goral, Scalig = Costraied, XGridVisible, YGridVisible, Axes=Origi) Po pierwsze moża po prostu auczyć ucziów tworzyć tego typu grafiki, ale klasa musi mieć pewe podstawy obsługi programu. Moża też podejść do choiki czysto matematyczie. Jakie jest pole choiki? Jak je obliczyć? Na jakie figury podzielić drzewko, aby moża było to zrobić? (p. pień to prostokąt a gałęzie to trójkąty) 6

12 Co się staie, gdy będziemy zmieiać kształt drzewka? W jaki sposób zmiaa kształtu ma wpływ a wielkość pola? Jak wpływa liczba gałązek a pole? A jak ich długość? Na poziomie szkoły poadgimazjalej moża wpleść ciąg arytmetyczy, poieważ długości wysokości trójkątów tworzą właśie taki ciąg i to od ich liczby i długości zależy pole. ale poieważ a =a 2= =a i po pomiięciu pola pia-mało ciekawe, gdyż się ie zmieia- otrzymamy taki wzór 7

13 a po uproszczeiu Jak widać a rysuku, wysokości trójkątów tworzą ciąg arytmetyczy, stąd Wielościay Platońskie. Komputer jest świetym arzędziem do wizualizacji matematyki. W swojej pracy ieustaie szukam możliwości jego zastosowaia. Aby przybliżać ucziom zaczeie matematyki i ukazać jej wpływ a rozwój iych dziedzi auki wplatam historię matematyki a moich lekcjach. Wielościay foreme są wycofae obecie z podstawy programowej, ale ja zawsze taką lekcję przeprowadzam. Jak wiadomo jest ich tylko pięć. Zae były już Platoowi (~ w.p..e.). Był to uczeń Sokratesa, świety filozof, ale podobo ie taki zów dobry matematyk. Bryłom foremym przypisał magicze własości. To, że było ich tylko pięć (magicza liczba) i wobec ieskończoej ilości iych obiektów zadziwiało uczoych. Przypisao im wobec tego ses symboliczy, zagadkowy. Każda z ich symbolizowała jede z żywiołów i jedą z pięciu zaych wtedy plaet: czworościa ogień i Jowisza sześcia ziemia i Satur ośmiościa powietrze i Merkurego dwuastościa jako ajbardziej zagadkowy symbolizował kosmos i Ziemię a dwudziestościa wodę i Weus. 20 wieków późiej Johaes Kepler w roku 596 wydaje dzieło Tajemica Kosmograficza. Opisuje w im sfery, po których krążą plaety. Pierwsza z ich to sfera, po której krąży Merkury. Jeśli a iej opiszemy ośmiościa foremy, to jest o wpisay w sferę, po której krąży Weus. Na sferze Weus opisujemy dwudziestościa, a im sferę, po której porusza się Ziemia. Jest o wpisay w sferę, po której krąży Mars a opisay a im czworościa jest wpisay w sferę Jowisza. Następie opisujemy sześcia i a im sferę Satura. Takie podejście awet dość ieźle a tamte czasy opisywało przykład wizualizacji teorii Keplera. wszechświat. Oto plot(plot::cavas(plot::scee3d(plot::sphere(, [0, 0, 0], FillColor = RGB::Red,VisibleFromTo = 0..8), plot::text3d("merkury", [20, 2, 0], TextFot=[20],VisibleFromTo = 0..6), plot::octahedro (Radius = 2.0, Ceter = [0, 0, 0],FillColorFuctio = RGB::Gree.[0.],VisibleFromTo = 6..2), 8

14 plot::sphere(2, [0, 0, 0], FillColor = RGB::Red.[0.],VisibleFromTo 8..2), plot::text3d("weus", [20, 2, 0], TextFot=[20],VisibleFromTo = 8..0), plot::icosahedro (Radius = 3, Ceter = [0, 0, 0], FillColorFuctio = RGB::Gree.[0.],VisibleFromTo = 0..6), plot::sphere(3.5, [0, 0, 0], FillColor = RGB::Red.[0.],VisibleFromTo = 2..6), plot::text3d("ziemia", [20, 2, 0], TextFot=[20],VisibleFromTo =2..4), plot::dodecahedro(radius = 4.2, Ceter = [0, 0, 0],FillColorFuctio = RGB::Gree.[0.],VisibleFromTo = 4..20), plot::sphere(4.5, [0, 0, 0], FillColor = RGB::Red.[0.], VisibleFromTo = 6..20), plot::text3d("mars", [20, 2, 0], TextFot=[20],VisibleFromTo = 6..8), plot::tetrahedro (Radius = 7.6, Ceter = [0, 0, 0],FillColorFuctio = RGB::Gree.[0.],VisibleFromTo = 8..24), plot::sphere(3., [0, 0, 0], FillColor = RGB::Red.[0.],VisibleFromTo = ), plot::text3d("jowisz", [20, 2, 0], TextFot=[20],VisibleFromTo =20..22), plot::hexahedro (Radius = 3.0, Ceter = [0, 0, 0],FillColorFuctio = RGB::Gree.[0.],VisibleFromTo = ), plot::sphere(23, [0, 0, 0], FillColor = RGB::Red.[0.],VisibleFromTo = ), plot::text3d("satur", [20, 2, 0], TextFot=[20],VisibleFromTo = , Axes=Noe)))) Z kilkuletiego doświadczeia w stosowaiu komputera a lekcjach wiem, że każdy, choćby ajmiejszy sposób przedstawieia zagadieia w sposób wizualy pomaga w przyswojeiu i zapamiętaiu wiadomości. Nie wszyscy ucziowie as zawsze i cały czas słuchają, ale ie zauważyłam, aby ie patrzyli a ekra w momecie prezetacji. Literatura. Marek Kordos, Wykłady z historii matematyki, WSP, Wikipedia. 9

15 Wykorzystaie pakietu Microsoft Office do budowy zestawów sprawdzających umiejętość dowodzeia twierdzeń matematyczych Adrzej Dawidowicz Abstrakt. Proces dydaktyczy moża umowie podzielić a cztery etapy: Przekazywaie wiedzy (wykłady, ćwiczeia, lekcje, pokazy itp.); Budowaie zestawów sprawdzających; Egzami; Obliczeie wyiku, wystawieie ocey. Motywacją do apisaia tej pracy były trudości w oceiaiu prezetacji dowodów matematyczych przez zdających egzamiy z aalizy matematyczej. Propouje się kostrukcję zestawu egzamiacyjego, który pozwala procetowo wymierzyć stopień opaowaia dowodu zadaego twierdzeia matematyczego. Treść pracy obejmuje przedstawieie dwóch początkowych etapów procesu dydaktyczego. W części pierwszej omawiae są czyości wstępe budowy zestawu. Polegają oe a przygotowaiu dowodów twierdzeń w specjalej, a wpół sformalizowaej postaci. Podjęto próbę zarysowaia listy wyrażeń kluczowych "języka pisaia dowodów twierdzeń matematyczych". Tak przygotowae dowody powiy pojawiać się a wykładach, aby wdrożyć słuchaczy do rozumieia i używaia ieco bardziej sformalizowaego języka, iż powszechie stosoway. W części drugiej demostruje się krok po kroku budowaie zestawu a przykładzie dowodu wybraego twierdzeia. Wykorzystywae jest środowisko Microsoft Office, a zwłaszcza Microsoft Word wraz z językiem makr Microsoft Visual Basic for Applicatios. Prezetacja kończy się pokazem gotowych zestawów przetestowaych a egzamiach z aalizy matematyczej dla iformatyków w latach a Wydziale Matematyki i Iformatyki UWM. Przygotowaie dowodu wybraego twierdzeia Przygotowaie ozaczeń Weźmy twierdzeie Każda fukcja f ierosąca a zbiorze przedział (otwarty), jest ciągła. Twierdzeie to orzeka o zależości między dwiema klasami fukcji: X R, której obrazem dziedziy jest klasa wszystkich fukcji rzeczywistych, ierosących, ze zbioru zbiór Y R będący przedziałem; klasa wszystkich fukcji rzeczywistych ciągłych ze zbioru X Y R będący przedziałem; X R a R w zbiór 0

16 Wprowadźmy pomoce ozaczeia. Klasę wszystkich fukcji rzeczywistych, ierosących, ze zbioru X R a zbiór Y R będziemy ozaczać SUR XY,, klasę wszystkich fukcji rzeczywistych ciągłych ze zbioru X R w zbiór Y R będziemy ozaczać C XY,. Po tych ustaleiach możemy zapisać treść twierdzeia w postaci a wpół sformalizowaej: Dowód a, b R : a b X R f SUR X, a, b f C X, a, b Postać a wpół sformalizowaa twierdzeia zawiera sporo wskazówek odośie pisaia dowodu. Jeśli twierdzeie zaczya się od kwatyfikatora dla każdego, dowód powiie zaczyać się słowem ustalmy.... ) USTALMY a, b R TAKIE, ŻE a b; 2) USTALMY X R; 3) USTALMY (W) f SUR X, a, b ; W chwili, gdy kończy się blok kwatyfikatorów, moża użyć frazy: 4) SPRAWDZENIE FORMUŁY (W2) f C X, a, b { Nawias klamrowy a końcu frazy ozacza rozpoczęcie bloku dowodu podporządkowaego puktowi 4). Wewątrz bloku stosujemy umerację kospektową drugiego poziomu (a przykład a), b), c), itd.). Aby udowodić wyrażeie (W2), trzeba je rozwiąć z defiicji lub a mocy udowodioego wcześiej twierdzeia. W tym przypadku posłużymy się defiicją ciągłości Cauchy ego: a) Z ROZWINIĘCIA (W2): (W3) y x y x X 0 f y f x Widać teraz, co w istocie ależy pokazać: dla ustaloego puktu x X i liczby 0 ależy skostruować liczbę 0 taką, że dla dowolego y X zachodzi f y f x o ile tylko y x. A oto realizacja tego plau. b) USTALMY x X, 0. Moża łączyć sąsiadujące kwatyfikatory dla każdego w jedym wyrażeiu typu USTALMY. Pozwala to skrócić ieco dowód. 0 X

17 c) KONSTRUKCJA (W4) 0 { Otwarty kolejy awias klamrowy ozajmia rozpoczęcie bloku podporządkowaego puktowi c). Do kostrukcji liczby iezbęde jest wykorzystaie założeia (W). Trzeba je ajpierw rozwiąć z defiicji lub a mocy udowodioego wcześiej twierdzeia. Tu wykorzystamy defiicję fukcji ierosącej oraz a : i) Z ROZWINIĘCIA (W): (W5) ii) (W6) x, y X x y f x f y. y x a, b X f x y Ze zdań (W5) i (W6) moża od tej chwili korzystać, gdyż są oe rozwiięciami założeia. Aby wykorzystać zdaie rozpoczyające się od kwatyfikatora "dla każdego" moża użyć frazy PODSTAWIAMY. W tym celu trzeba dyspoować obiektem, który po podstawieiu da wymagay efekt zwykle widoczy dopiero przy końcu dowodu. Do zdefiiowaia owego obiektu moża wykorzystać obiekty zdefiiowae wcześiej, fukcje i stałe uzae za stadardowe, itp.: iii) OKREŚLAMY b f ( x) f ( x) a : mi,, 2 2, ; WŁASNOŚCI { Po wprowadzeiu do dowodu owego obiektu wymieiamy jego własości, które będą wykorzystae w dalszej jego części. Może się też zdarzyć, że własość wcześiejsza służy tylko do uzasadieia własości późiejszej: () (W7) 0 ; (2) (W8) f x f x f x f x ; (3) (W9) a f x f x b ;} Teoretyczie każda z takich własości mogłaby wymagać dowodu. Wówczas moża taki dowód zagieździć lub potraktować jako dowód oddzielego lematu. Nie dotyczy to oczywiście powyższej sytuacji, gdyż wymieioe własości są dość elemetare. iv) DZIĘKI (W9) MOŻNA W (W5) PODSTAWIĆ y : f x ; BIERZEMY x X TAKIE, ŻE (W0) f x f x ; v) DZIĘKI (W9) MOŻNA W (W5) PODSTAWIĆ y : f x ; BIERZEMY x 2 X TAKIE, ŻE (W) f x2 f x ; Zauważmy, że do poprawości podstawieia y : f x a także y : f x koiecza jest iformacja zawarta w (W9). Wykorzystaie sekwecji kwatyfikatorów "dla każdego... istieje..." moża obsłużyć jedą frazą (podstawiamy... i bierzemy...). Dyspoujemy teraz dwoma owymi obiektami puktami, x X. Potrzeba będzie wzajema relacja między tymi puktami: x 2 vi) Z WARUNKU (W6), (W7), (W0), (W) WYNIKA (W2) x x x 2; W tym momecie jest możliwa defiicja liczby : 2

18 vii) OKREŚLAMY : mi x x2, x x ; WYMAGANIE (W4) WYNIKA Z (W2);} Zamkięty awias klamrowy iformuje o końcu bloku podporządkowaego puktowi c). Liczba została zdefiiowaa. Kotyuujemy wątek z drugiego poziomu zagieżdżeia: d) USTALMY y X ; Blok kwatyfikatorów w wyrażeiu (W3) został wyczerpay. Pozostaje wykazać wyrażeie pod tym blokiem. Aby je zgrabie apisać i móc odwoływać się do jego fragmetów w dalszej części dowodu zastosujemy ozaczeia: OZNACZMY (W3) y x, (W4) f y f x ; Na każdym etapie dowodu moża zastąpić jede ciąg zaków iym zwykle krótszym. Dzięki temu skomplikowae wyrażeia mogą być zapisae w zwartej postaci. Wykorzystujemy tutaj słowo ozaczmy. Wiersze zawierające ozaczeia ie są umerowae kospektowo. Mają oe raczej charakter kometarza i mogą się pojawić w dowolym pukcie dowodu. e) SPRAWDZENIE FORMUŁY (W3) (W4) { Rozpoczyamy teraz blok, w którym wyprowadzimy waruek (W4) z waruku (W3). i) Z (W3) WYNIKA (W5) x y x 2; ii) Z (W6) I (W5) WYNIKA (W6) f x f y f x ; 2 iii) Z (W6), (W0), (W) I (W8) WYNIKA (W7) f x f y f x ; iv) (W4) WYNIKA Z (W7);}} Dwa awiasy klamrowe a końcu zamykają dwa bloki. Dowód jest zakończoy. Przykład dowodu ie wprost Podamy teraz przykład dowodu ie wprost apisaego w sposób a wpół sformalizoway. W takim dowodzie po wyrażeiu "SPRAWDZENIE FORMUŁY..." piszemy "NIECH" i tu zaprzeczeie tezy, które staje się od tego mometu jedym z założeń. Celem dowodu ie wprost jest wyprowadzeie sprzeczości. Zaczmy symbolem CNT X zbiór wszystkich puktów skupieia zbioru X R. Niech FUN XY, ozacza klasę wszystkich fukcji ze zbioru X w zbiór Y. Ozaczeie LIM x, f, u czytamy: liczba u jest graicą fukcji f w pukcie x. Sformułujmy teraz twierdzeie o jedozaczości graicy fukcji w pukcie skupieia dziedziy. 3

19 Postać słowa Niech Postać symbolicza X, Y R. Niech u, v R. Załóżmy, że u jest graicą fukcji f : X Y w pukcie x i v jest graicą fukcji f w pukcie x. Jeśli x jest puktem skupieia zbioru X, to u v. f FUN X, Y x CNT X LIM x, f, u LIM x, f, v u v Dla uproszczeia dowodów zaczyających się od większej liczby kwatyfikatorów "dla każdego" iektóre z ich pomijamy a początku dowodu. Sygalizujemy to w treści twierdzeia, umieszczając te kwatyfikatory we wspólym wierszu dla obu postaci: słowej i symboliczej. W dowodzie obowiązują wtedy dokładie takie ozaczeia zmieych, jak w tym wierszu. 4

20 Dowód: ) USTALMY (W) f FUN X, Y ; (W2) x CNT X ; OZNACZMY: (W3) LIM x, f, u ; (W4) LIM x, f, v ; (W5) u v; 2) SPRAWDZENIE FORMUŁY (W3) (W4) (W5) NIE WPROST { a) NIECH (W6) u v; b) OKREŚLAMY : u v ; WŁASNOŚCI {(W7) 0 ;} c) Z ROZWINIĘCIA (W3): 0 (W8) 0 x y u f y d) DZIĘKI (W7) MOŻNA W y 0 X (W8) PODSTAWIĆ : BIERZEMY 0 O WŁASNOŚCIACH y X (W9) 0 x u f y e) Z ROZWINIĘCIA (W4): 0 (W0) 0 x y y v f y f) DZIĘKI (W7) MOŻNA W y 0 X (W0) PODSTAWIĆ : BIERZEMY ; ; ; 3 ; 3 ; O WŁASNOŚCIACH y X (W) 0 x v f y g) OKREŚLAMY mi, ; 2 WŁASNOŚCI {(W2) 0 ; (W3) ; (W4) 2 ;} h) Z ROZWINIĘCIA (W2): 0 (W5) 0 x y i) DZIĘKI (W2) MOŻNA W (W5) PODSTAWIĆ : ; BIERZEMY y X O WŁASNOŚCIACH (W6) 0 x y ; j) W (W9) PODSTAWIAMY y: y ; NA MOCY (W6), y y X (W3) I REGUŁY ODRYWANIA OTRZYMUJEMY (W7) u f y ; 3 k) W (W) PODSTAWIAMY y : y ; NA MOCY (W6), (W4) I REGUŁY ODRYWANIA OTRZYMUJEMY (W8) v f y ; 3 l) Z (W7) I (W8) WYNIKA 2 (W9) 3 ; m) SPRZECZNOŚĆ WYNIKA Z (W9) I (W7);} Koiec dowodu Wyrażeia kluczowe "języka dowodzeia twierdzeń" Studiując powyższy dowód moża dojść do wiosku, że istieje pewa (skończoa) liczba wyrażeń za pomocą których moża zapisać dowód dowolego twierdzeia. 2 3 ; ; 5

21 Poiżej przedstawioa jest w porządku alfabetyczym iepeła lista takich wyrażeń azwaych w tym opracowaiu "wyrażeiami kluczowymi języka dowodzeia twierdzeń". Fragmety wyrażeń w awiasach kwadratowych są opcjoale. WYNIKA Z ; BIERZEMY [O WŁASNOŚCIACH ]; DZIĘKI MOŻNA W PODSTAWIĆ ; BIERZEMY KONSTRUKCJA { [O WŁASNOŚCIACH ]; NA MOCY WYSTARCZY POKAZAĆ ; NIECH ; OKREŚLAMY ; [WŁASNOŚCI: ]; OZNACZMY ; PRZYPADEK { SPRAWDZENIE FORMUŁY [NIE WPROST] { SPRAWDZENIE POPRAWNOŚCI : { SPRZECZNOŚĆ WYNIKA Z ; USTALMY [TAKIE, ŻE ]; W PODSTAWIAMY I OTRZYMUJEMY ; W PODSTAWIAMY ; DZIĘKI (lub NA MOCY) OTRZYMUJEMY ; Z WYNIKA ; Z ROZWINIĘCIA : ; ZACHODZI ; Zasady porządkujące użycie iektórych wyrażeń kluczowych: ) Wyrażeie OZNACZMY... używamy bezpośredio przed akapitem, w którym wykorzystujemy wprowadzoe ozaczeie; 2) Wyrażeie Z ROZWINIĘCIA... umieszczamy w bloku dowodu, w którym to rozwiięcie jest wykorzystywae; jeśli rozwiięcie jest wykorzystywae w kilku 6

22 blokach, słowo Z ROZWINIĘCIA... umieszczamy w bloku bezpośredio adrzędym w stosuku do tych bloków, możliwie ajbliżej pierwszego bloku, w którym jest wykorzystywae. Przykład: { {w tym bloku ie wykorzystujemy Z ROZWINIĘCIA} tu umieszczamy Z ROZWINIĘCIA.. {w tym bloku wykorzystujemy Z ROZWINIĘCIA } {w tym bloku wykorzystujemy Z ROZWINIĘCIA } } 3) Powyższe zasady grają rolę wyłączie techiczą. Moża z ich zrezygować kosztem zwiększeia liczby wariatów rozwiązań uzaych za poprawe. Skutkuje to dłuższym czasem pracy komputera obliczającego wyiki egzamiu. Przygotowaie dokumetu wzorcowego Tworzeie dokumetu wzorcowego odbywa się w pięciu etapach: ) Tworzymy pusty dokumet w formacie MICROSOFT WORD, ustawiamy w im wszystkie margiesy a 2 cm i zapisujemy pod azwą WZORZEC_xx.DOC. Litery xx ozaczają tu kolejy, dwucyfrowy umer opracowaego twierdzeia. Jeśli liczba opracowaych twierdzeń przekroczy 99, trzeba użyć trzycyfrowej umeracji. 2) Na początku dokumetu umieszczamy tabelę z treścią twierdzeia. 3) Poiżej tworzymy dowód w postaci a wpół sformalizowaej, z umeracją kospektową, w dwóch kolumach. Jest to wersja wykładowa dowodu. 4) Pod dowodem w wersji wykładowej umieszczamy ramkę z wykorzystywaymi faktami (twierdzeiami) tylko w postaci symboliczej. Do wykorzystywaych faktów ie zalicza się ogólych reguł dowodzeia, tautologii, schematów dowodzeia, a także pewych początkowych faktów z daej dziedziy, p. w przypadku aalizy matematyczej ierówości trójkąta, własości liczb rzeczywistych, własości fukcji fudametalych (sg, max, mi,,, ), itp. 5) Następie kopiujemy dowód z puktu 3) a koiec dokumetu i usuwamy w im umerację kospektową. Ewetualie zmieiamy krój czcioki a czciokę o stałej szerokości, p. Courier New. Możemy też zmieić rozmiar czcioki lub ją ewetualie pogrubić. Dokumet WZORZEC_xx.DOC jest przygotoway. Geerowaie zestawu egzamiacyjego Najogóliej rzecz ujmując zamierzamy utworzyć parę dokumetów: pierwszy zawierający treść twierdzeia oraz drugi zawierający dowód z losowo poprzestawiaymi, losowo poumerowaymi akapitami. Zadaiem zdającego egzami będzie uporządkowaie akapitów w taki sposób, aby otrzymać logiczie poprawy dowód. 7

23 Puktem wyjścia jest przygotoway w poprzedim rozdziale dokumet WZORZEC_xx.DOC zawierający treść twierdzeia i dowód oraz dowód bez umeracji kospektowej, zapisay odpowiedio dobraą czcioką: Teraz skorzystamy z dwóch wzorcowych dokumetów specjalie przygotowaych do tworzeia zestawów: pierwszy o azwie TRESC.DOC i drugi o azwie ZESTAW.DOC. Plik TRESC.DOC składa się z dwóch stro formatu A5 w układzie pejzaż. Na jedej stroie jest miejsce a umieszczeie treści zadań do udowodieia (może być tylko w wersji słowej), zaś a drugiej zajduje się tabela idetyfikacyja oraz tabela odpowiedzi. Plik ZESTAW.DOC zawiera iezbęde makra do tworzeia zestawu. Przystępując do budowy zestawu tworzymy ajpierw kopię obu dokumetów o azwach a przykład TRESC_xx.DOC i ZESTAW_xx.DOC (oczywiście umer xx zestawu wpisujemy odpowiedio). Następie wykoujemy poiższe czyości ) Kopiujemy treść twierdzeia ewetualie tylko słową do dokumetu TRESC_xx.DOC (apisaie treści twierdzeia w postaci a wpół sformalizowaej może być już fragmetem egzamiu); 2) Kopiujemy dowód bez umeracji kospektowej z dokumetu WZORZEC_xx.DOC do ZESTAW_xx.DOC a wskazae miejsce; 3) W dokumecie ZESTAW_xx.DOC zazaczamy wszystkie akapity dowodu i uruchamiay makro adające tym akapitom losowe, dwucyfrowe umery z zachowaiem zasady: jeśli dwa akapity dowodu są idetycze, otrzymują idetycze umery; 4) Zazaczamy wszystkie akapity dowodu i uruchamiamy makro zamieiające etykiety (W), (W2), (W3)... a losowo wygeerowae dwuliterowe kody (p. (UK), (WT), (SA), itd.); celem tej operacji jest pozbawieie możliwości ielegalego ułożeia rozwiązaia poprzez wykorzystaie kolejości umeracji formuł; 5) Kopiujemy poumeroway dowód a koiec dokumetu, za słowem Odpowiedź ; będzie to wzorzec rozwiązaia, przydaty do usuwaia ewetualych błędów; 6) Sortujemy pierwszy dowód w dokumecie ZESTAW_xx.DOC w kolejości wzrastaia umerów lub w kolejości alfabetyczej akapitów i usuwamy (ręczie) duplikaty; 7) Formatujemy dowód do układu dwukolumowego w celu zaoszczędzeia miejsca; wstawiamy ewetualie liię rozdzielającą kolumy Zestaw jest gotowy do wydrukowaia i powieleia. Należy jedak uważać, aby ie dołączyć do powielaego zestawu stroy z odpowiedzią. Moża też wygeerować astępą wersję tego zadaia a przykład w sytuacji, gdy z powodu przeprowadzaia egzamiu w ieoptymalych warukach jesteśmy zmuszei do zastosowaia kilku wersji tego samego dowodu. Wersje różią się kolejością akapitów dowodu i dwuliterowymi kodami formuł oraz oczywiście rozwiązaiem. Uwagi końcowe Na egzamiie studet otrzymuje dwie kartki papieru. Pierwsza formatu A5 (kopia dokumetu TRESC_xx.DOC) zawiera treści zadań oraz tabelę idetyfikującą i tabelę 8

24 a wpisaie odpowiedzi. Na drugiej kartce formatu A4, będącej kopią ZESTAW_xx.DOC zajduje się kod zestawu zawierający literę wersji oraz rozsypae losowo i przemieszae między sobą akapity dowodów twierdzeń z kartki A5. Zadaie studeta polega a ułożeiu tych akapitów w sesowe bloki będące logiczie poprawymi dowodami twierdzeń. Dwucyfrowe umery akapitów studet wpisuje w odpowiediej kolejości do tabeli odpowiedzi i kartkę tę oddaje do sprawdzeia a koiec pracy. Natomiast kartkę A4 zabiera ze sobą. Wzbogaci oa jego zasób materiałów przydatych do przygotowaia się do ewetualych astępych egzamiów. W czasie egzamiu studet może korzystać wyłączie z czystych kartek jako brudopis i przyborów do pisaia. Ze stroy wykładowcy wymaga to uważego adzorowaia piszących a także zapewieia im odpowiedich waruków pracy (duża sala ze stolikami, jeda osoba przy stoliku, łatwość opuszczaia sali po apisaiu pracy, itp.). Trzeba podkreślić, że dla każdego twierdzeia istieje a ogół więcej, iż jedo poprawe rozwiązaie tz. ciąg umerów taki, że odpowiadające mu akapity tworzą poprawy logiczie dowód. Wszystkie poprawe rozwiązaia tworzą (skończoy) zbiór. Obliczeie wyiku pojedyczego rozwiązaia jest dość trude bez wsparcia komputerowego, zaś całego egzamiu praktyczie iemożliwe. Specjaly program komputerowy porówuje graf dowodu z wprowadzoym rozwiązaiem i zajduje w rozwiązaiu podciąg maksymalej długości zgody z porządkiem grafowym. Stosuek długości tego podciągu do liczby wszystkich wierzchołków w grafie, wyrażoy a przykład w procetach odzwierciedla w dużym uproszczeiu jakość rozwiązaia. Opisaa wyżej procedura produkcji zestawów staowi ok. połowy procesu techologiczego związaego z procesem dydaktyczym. W drugiej połowie tego procesu, będącej treścią oddzielego opracowaia, podstawowym arzędziem jest arkusz kalkulacyjy EXCEL, w którym, dzięki wbudowaemu językowi makr możliwe jest obliczeie wyiku egzamiu i wygeerowaie stosowych raportów. Załącziki W oddzielych dokumetach o azwach Załączik r Załączik r 2 zamieszczoo przykładowy, komplety zestaw sprawdzający, zawierający cztery twierdzeia z podstaw aalizy matematyczej. Literatura. Góriewicz, L., Igarde, R.S., Aaliza matematycza dla fizyków t. I, II PWN, Warszawa Birkholz, A., Aaliza matematycza dla auczycieli PWN, Warszawa Birkholz, A., Aaliza matematycza fukcje wielu zmieych PWN, Warszawa Leja, F., Rachuek różiczkowy i całkowy PWN, Warszawa Kuratowski, K., Rachuek różiczkowy i całkowy fukcje jedej zmieej PWN, Warszawa

25 6. Krzymowski Bogda - "Word 2000 PL - pierwsza pomoc"; 294 stroy; Wydawictwo: Help; Wydaie 999 rok ISBN Kowalczyk Grzegorz - "MS Word 2002/XP. Ćwiczeia praktycze"; 6 stro; Wydawictwo: Helio; Wydaie 2007; ISBN Rudi Walter, "Podstawy aalizy matematyczej", PWN, Warszawa Stephe Nelso L. - "Word XP Od A do Z"; 95 stro; Wydawictwo: Editio 2000, Wydaie 2003 rok; Tłumaczeie: Cyga Łukasz; ISBN Szwedowski Paweł - "Opcje graficze w Word XP"; 364 stroy; Wydawictwo: MIKOM; Warszawa 2003 r. Wydaie: I; ISBN Narzędzia. Program: Microsoft Office

26 Załączik r Zadaie. Niech a SEQ R. Jeśli ciąg liczb rzeczywistych a spełia waruek Cauchy ego, to jest ciągiem ograiczoym. Symboliczie: a CAU R a BND R } Zadaie 2. Niech A, B R i iech a, b R. {Jeśli a jest kresem górym zbioru A i b jest kresem górym zbioru B, to max ab, jest kresem górym sumy mogościowej zbiorów A i B. Symboliczie SUP A, a SUP B, b SUP A B,max a, b } Zadaie 3. Niech X, Y, Z R. Niech x R. {Iloczy fukcji ograiczoej g : X Z przez fukcję f : X Y posiadającą w pukcie x graicę 0 jest fukcją posiadającą w pukcie x graicę 0. Symboliczie: f g FUN X, Y BND X, Z LIM f, x,0 LIM f g, x,0 Zadaie 4. Kres góry dowolego iepustego zbioru A a, b ależy do tego przedziału. Symboliczie: a, b R : a b A a, b : A sup A a, b } Nazwisko Imię Rok, kieruek Data (rrrr-mm-dd) Kod zestawu: Zadaie (umery wpisywać od lewej do prawej)

27 Załączik r 2 Kod zestawu: B Zasady: a) dowód każdego z twierdzeń może zawierać wyłączie poiższe wiersze bez jakichkolwiek zmia, b) wszystkie wiersze powiy być wykorzystae, c) każdy wiersz może być użyty wielokrotie. 0 W (OP) PODSTAWIAMY :, m : k ; DZIĘKI (WU) I (AV) a ; OTRZYMUJEMY (KJ) a k W (PI) PODSTAWIAMY y: y I OTRZYMUJEMY (MI) g y M ; 2 SPRAWDZENIE FORMUŁY (TF) t y { 3 KONSTRUKCJA M R { 6 OZNACZMY (PW) SUP Aa, (BT) SUP Bb,, (OJ) SUP A B, max a, b ; 7 OKREŚLAMY M M ;} : 8 Z ROZWINIĘCIA (BT): x B (US) I x b (WU) y z z y B 20 W (PI) PODSTAWIAMY y : y ; DZIĘKI (SV) OTRZYMUJEMY (KJ); 22 SPRAWDZENIE FORMUŁY (OJ) (RI) { 24 W (RI) PODSTAWIAMY : I BIERZEMY R O WŁASNOŚCI (OP), m, m a a m 26 SPRAWDZENIE FORMUŁY (OJ) { 27 Z (DH) WYNIKA (US) LUB (WU) ; N ; R y b 28 OKREŚLAMY y : y ;} 29 SPRAWDZENIE FORMUŁY (PW) (BT) (OJ) { 30 (TF) WYNIKA Z (MI) I (AV).}} 3 PRZYPADEK (AV): { 32 SPRAWDZENIE FORMUŁY (WU) (PI) { 33 SPRAWDZENIE FORMUŁY (WU) (TF) { 34 SPRAWDZENIE FORMUŁY (PW) (BT) { 35 USTALMY y X ; 36 Z (IC) WYNIKA (SV) (YA) y z z B 38 (TF) WYNIKA Z (MI) I (DH);} 39 PRZYPADEK (MI): { 42 Z ROZWINIĘCIA (PW): x A (DH) I x a (PI) y R : z A y y z 43 Z ROZWINIĘCIA (OP): y A (DH) ; y b 44 OZNACZMY (OJ) sup A a, b ; 46 DZIĘKI (LZ) MOŻNA W (PZ) PODSTAWIĆ : k ; NA MOCY (MI) OTRZYMUJEMY a y ; z z A I 22

28 (IC) a k M ; 47 SPRAWDZENIE FORMUŁY (US) (PI) { 48 Z ROZWINIĘCIA (PW): 0 (RI) m, m a m a R 50 USTALMY b R (PW), N a, TAKIE, ŻE b A a b, (BT) A ; 5 SPRAWDZENIE FORMUŁY (PI) a M { 52 OKREŚLAMY : ;} 53 KONSTRUKCJA 0 { 54 KONSTRUKCJA y A { 55 Z ROZWINIĘCIA (BT): (DH) g y M y X R M ; ; a, 56 OZNACZMY (OJ) LIM f, x,0 (RI) LIM f g, x,0 ; 57 W (PZ)PODSTAWIAMY : M I BIERZEMY 0 TAKIE, ŻE y X (US) 0 f y x y M 58 OZNACZMY (PW) a CAU (BT) a BND R ; 59 Z ROZWINIĘCIA (OJ): (RI) (OP) x x A B max a, b I ; R z A B y z y R: y max a, b 60 W (WU) PODSTAWIAMY y : y ; DZIĘKI (YA) OTRZYMUJEMY (ZN);}}} 62 (TF) WYNIKA Z (AV) I (US);}}} 63 W (F) PODSTAWIAMY a : a, : ; BIERZEMY R O WŁASNOŚCI (PZ) a M 64 USTALMY y R; OZNACZMY (LZ) y max a, b, (IC) z A B y z ; M 65 W (PZ) PODSTAWIAMY : DZIĘKI (US) OTRZYMUJEMY (PI);} 66 SPRAWDZENIE FORMUŁY (US) (WU) { 67 OZNACZMY (WU) 0 x y, (TF) f g y ; 69 Z (PW) WYNIKA (MI) y a ; 70 Z ROZWINIĘCIA (OJ): (OP) sup A b I (PZ) sup A a 72 Z ROZWINIĘCIA (BT): (OJ) a M R N M 73 Z ROZWINIĘCIA (LZ): (KJ) y a I (ZN) y b ; ; N ; ; 23

29 74 Z ROZWINIĘCIA (RI): (OP) 0 0 y X 0 x y f g y ; 86 Z ROZWINIĘCIA (OJ): (PZ) 0 0 y X 0 x y f y ; 75 SPRAWDZENIE FORMUŁY (TF) x max a, b { 76 W (US) PODSTAWIAMY y: y I DZIĘKI (WU) OTRZYMUJEMY (AV) f y M 77 NA MOCY (BT) BIERZEMY y A ; 78 USTALMY (DH) N ; 79 SPRAWDZENIE FORMUŁY (PI) { 80 (RI) WYNIKA Z (PW) I (BT);} 8 SPRAWDZENIE FORMUŁY (OP) { 82 (TF) WYNIKA Z (MI) I (US);}}}} 83 USTALMY 0 84 Z (DH) BIERZEMY M ŻE (PI) g y y X M 85 Z ROZWINIĘCIA (PZ): (PI) t a t t R y ; y R TAKIE, A 87 Z (PZ) WYNIKA (MI) x A LUB (AV) x B ; 88 USTALMY (PW) f FUN X, Y ORAZ (BT) g BND X, Z ; 89 USTALMY (PZ) x A B ; 90 OKREŚLAMY (TF) k: ; WŁASNOŚCI (MI) k ; (AV) k ; (LZ) k N ; 9 SPRAWDZENIE FORMUŁY (IC) (LZ) { 92 (DH) WYNIKA Z (PW); 93 SPRAWDZENIE FORMUŁY (RI) { 96 USTALMY t R ; OZNACZMY y A (US) t a, (WU) ; t y 97 SPRAWDZENIE POPRAWNOŚCI (OJ): (RI) 0 A BND R { 99 (PI) WYNIKA Z (IC) I (KJ);}}} Wykorzystae fakty W zadaiu W zadaiu 2 W zadaiu 3 W zadaiu 4 (F) a M SEQ R R N R a M (każdy ciąg skończoy jest ograiczoy). 24

30 Odpowiedź 58 OZNACZMY (PW) a CAU R, (BT) a BND R ; 34 SPRAWDZENIE FORMUŁY (PW) (BT){ 72 Z ROZWINIĘCIA (BT): M R (OJ) a N M 3 KONSTRUKCJA M R { 48 Z ROZWINIĘCIA (PW): 0 (RI) m, m a m a 24 W (RI) PODSTAWIAMY : I BIERZEMY R R ; N O WŁASNOŚCI, m N (OP) m, a a m 63 W (F) PODSTAWIAMY a : a, : ; BIERZEMY R O WŁASNOŚCI N (PZ) ; a M 7 OKREŚLAMY M M ;} ; ; : 78 USTALMY (DH) N ; 5 SPRAWDZENIE FORMUŁY (PI) a M { M 27 Z (DH) WYNIKA (US) LUB (WU) ; 47 SPRAWDZENIE FORMUŁY (US) (PI) { 65 W (PZ) PODSTAWIAMY : ; DZIĘKI (US) OTRZYMUJEMY (PI);} 32 SPRAWDZENIE FORMUŁY (WU) (PI) { 90 OKREŚLAMY (TF) k: ; WŁASNOŚCI (MI) k ; (AV) k ; (LZ) k N ; 46 DZIĘKI (LZ) MOŻNA W (PZ) PODSTAWIĆ : k ; NA MOCY (MI) OTRZYMUJEMY (IC) a k M ; 0 W (OP) PODSTAWIAMY :, m : k ; DZIĘKI (WU) I (AV) OTRZYMUJEMY (KJ) a a k ; 99 (PI) WYNIKA Z (IC) I (KJ);}}} 6 OZNACZMY (PW) SUP Aa,, (BT) SUP Bb,, (OJ) SUP A B, max a, b ; 29 SPRAWDZENIE FORMUŁY (PW) (BT) (OJ) { 59 Z ROZWINIĘCIA (OJ): x A B (RI) x max a, b I (OP) ; z A B y z y R: y max a, b 93 SPRAWDZENIE FORMUŁY (RI) { 89 USTALMY (PZ) x A B ; 25

31 42 Z ROZWINIĘCIA (PW): x A (DH) I x a (PI) y z z y R: A 8 Z ROZWINIĘCIA (BT): x B (US) I x b (WU) y z z y B y R y ; a 75 SPRAWDZENIE FORMUŁY (TF) x max a, b { 87 Z (PZ) WYNIKA (MI) x A LUB (AV) x B ; 39 PRZYPADEK (MI): { 38 (TF) WYNIKA Z (MI) I (DH);} 3 PRZYPADEK (AV): { 62 (TF) WYNIKA Z (AV) I (US);}}} 8 SPRAWDZENIE FORMUŁY (OP) { 64 USTALMY y R ; OZNACZMY (LZ) y max a, b, (IC) z A B ; y z 9 SPRAWDZENIE FORMUŁY (IC) (LZ) { 73 Z ROZWINIĘCIA (LZ): (KJ) y a I (ZN) y b ; 36 Z (IC) WYNIKA (SV) (YA) z A I y z y z z B b 20 W (PI) PODSTAWIAMY y : y ; DZIĘKI (SV) OTRZYMUJEMY (KJ); 60 W (WU) PODSTAWIAMY y : y ; DZIĘKI (YA) OTRZYMUJEMY (ZN);}}} 88 USTALMY (PW) f FUN X, Y ORAZ (BT) g BND X, Z ; 56 OZNACZMY (OJ) LIM f, x,0, (RI) LIM f g, x,0 ; 22 SPRAWDZENIE FORMUŁY (OJ) (RI) { 74 Z ROZWINIĘCIA (RI): 0 (OP) 0 x y y f g y 83 USTALMY 0 0 X 53 KONSTRUKCJA 0 { 86 Z ROZWINIĘCIA (OJ): 0 (PZ) 0 f x y y y 0 X 55 Z ROZWINIĘCIA (BT): M R (DH) g y y X ; M 84 Z (DH) BIERZEMY M R TAKIE, y X ŻE (PI) g y M 57 W (PZ)PODSTAWIAMY : M ; ; 26

32 I BIERZEMY 0 TAKIE, ŻE (US) 0 f y x y y M X 52 OKREŚLAMY : ;} 35 USTALMY y X ; 67 OZNACZMY (WU) 0 x y, (TF) f g y ; 33 SPRAWDZENIE FORMUŁY (WU) (TF) { W (PI) PODSTAWIAMY y: OTRZYMUJEMY (MI) g y M ; ; y I 76 W (US) PODSTAWIAMY y : y I DZIĘKI (WU) OTRZYMUJEMY (AV) f y M 30 (TF) WYNIKA Z (MI) I (AV).}} 50 USTALMY a, b a b (PW) A a, b (BT) A ; ; R TAKIE, ŻE 44 OZNACZMY (OJ) sup A a, b ; 97 SPRAWDZENIE POPRAWNOŚCI (OJ): (RI) 0 A BND R { 80 (RI) WYNIKA Z (PW) I (BT);} 26 SPRAWDZENIE FORMUŁY (OJ) { 70 Z ROZWINIĘCIA (OJ): (OP) sup A b I (PZ) sup A a 43 Z ROZWINIĘCIA (OP): y A (DH) ; y b 92 (DH) WYNIKA Z (PW); 85 Z ROZWINIĘCIA (PZ): t R (PI) t a 79 SPRAWDZENIE FORMUŁY (PI) { 96 USTALMY t R ; OZNACZMY y A (US) t a, (WU) ; t y 66 SPRAWDZENIE FORMUŁY (US) (WU) { 54 KONSTRUKCJA y A { 77 NA MOCY (BT) BIERZEMY y A; 28 OKREŚLAMY y: y ;} 2 SPRAWDZENIE FORMUŁY (TF) t y { 69 Z (PW) WYNIKA (MI) y a; 82 (TF) WYNIKA Z (MI) I (US);}}}} t y y A 27

33 Wykorzystaie systemu MuPAD w statystyce biblioteczej Wprowadzeie Iwoa Filipowicz iwofil@ukw.edu.pl Powstające w działalości biblioteki ewidecje książek, czytelików, udostępień itp. mogą służyć jako materiał do badań statystyczych. Ich celem jest rozpozaie różych zakresów fukcjoowaia biblioteki z zamiarem wykorzystaia wyików do usprawieia aktywości biblioteczej, uzyskaia oszczędości, pozyskaia wiedzy diagostyczej i progostyczej. Zazwyczaj systemy bibliotecze posiadają moduł iformacyjo-statystyczy. Jedakże zdecydowaa większość bibliotek (publiczych, szkolych, gmiych) ie zakupuje tego dodatkowego i kosztowego programu. Poza tym moduł te wykouje ajprostsze badaia statystycze, tj. elemetare statystyki opisowe i ie posiada istrumetów do aalizy szeregów rozdzielczych oraz aalizy korelacji, regresji, wariacji. System MuPAD jest bardzo przydatym arzędziem do badaia zjawisk statystyczych. MuPAD dyspouje obszerą aparaturę matematyczą oraz bogatą bibliotekę statystyczą-stats. Oferuje oa szeroki zestaw arzędzi (charakterystyki statystycze, testy, reguły ich obliczaia, itd.). Możemy wykorzystywać procedury wyzaczające średie, miary położeia i rozproszeia, współczyiki skośości, rozrzutu oraz wskaźiki progostycze. Biblioteka stats oferuje też szereg istrumetów do aalizy wariacji, regresji, korelacji i testowaia hipotez. Poadto, MuPAD udostępia różorode struktury daych do prezetacji zbiorowości statystyczej (ciągi, zbiory, listy, macierze próbek). Posiada także obszerą galerię wizualizacji zjawisk statystyczych takich jak: histogramy, wykresy serii daych, regresje, aimacje. Szczegółowy opis arzędzi zawartych w stats, wraz z przykładami i objaśieiami, zamieszczoo w pomocy. Celem tej pracy jest prezetacja możliwości zastosowaia systemu MuPAD do badań statystyczych w obszarze bibliotekarstwa i czytelictwa. Posłużymy się gotowymi procedurami z biblioteki stats, a do aalizy szeregów rozdzielczych wykorzystamy aparaturę matematyczą systemu. Szeregi statystycze Przedmiotem aszych badań będzie pewie zbiór osób i rzeczy zway zbiorowością statystyczą. Przypomijmy, że cechy (tz. zmiee statystycze) służą do scharakteryzowaia tej zbiorowości. Staowią je wszystkie właściwości poszczególych elemetów badaej zbiorowości, które elemety rozróżiają. Cechy występują w postaci ilościowej i jakościowej. Cecha ilościowa jest mierzala i podawaa w określoych jedostkach miary, p. wiek, częstotliwość, itp. Cecha jakościowa jest iemierzala i podlega jedyie stwierdzeiu czy oa występuje lub ie występuje, p. płeć, wykształceie, itp. 28

34 Grupowaie statystycze to czyość wyodrębieia z masy statystyczej jakościowo jedorodych grup poklasyfikowaych według jedej lub kilku cech. Oczywiście, klasy muszą być rozłącze i w sumie staowić całą zbiorowość. Efektem grupowaia są szeregi statystycze: rozdzielcze, wyliczające, dyamicze i kumulujące. Przedstawiają oe strukturę zbiorowości i są prezetowae za pomocą tablicy statystyczej. Na przykład poiższa tablica ukazuje zmiay w pewej zbiorowości w kolejych okresach czasu. Kolumy(klasy): do4 lat, 5-20 lat, 2-27 lat, lat, lat, powyżej 60 lat tworzą szereg rozdzielczy. Czytelicy Miejskiej Biblioteki Publiczej w latach według wieku Lata Liczba czytelików W tym czytelicy: do 4 lat > Szereg rozdzielczy moża przedstawić graficzie wykorzystując wykresy pudełkowe z biblioteki plot. Najpierw dla daych każdej klasy utworzymy listę. Następie z biblioteki - plot wybierzemy klasę Boxplot. Wykres obiektów tej klasy wskazuje ajwiększy i ajmiejszy elemet listy i mediaę (patrz poiższy rysuek). dae:=[2670, 2779, 987, 7384]: // zakres do 4 lat dae2:=[462, 4467, 4325, 420]: // zakres 5-20 dae3:=[5478, 532, 5329, 4862]: // zakres 2-27 dae4:=[5478, 532, 5329, 4862]: // zakres dae5:=[4393, 4792, 5450, 4579]: // zakres dae6:=[2099, 2793, 24, 2033]: // zakres powyżej 60 lat h:=plot:: Boxplot(dae, dae2, dae3, dae4, dae5, dae6): plot(h) Miary położeia Miary położeia charakteryzują zbiorowość statystyczą iezależie od różic występujących pomiędzy poszczególymi obserwacjami. Wskazują miejsce, w którym leży wartość ajlepiej reprezetująca wszystkie wielkości w szeregu 29

35 statystyczym. Moża powiedzieć, że miary położeia iformują o przeciętym poziomie wartości aalizowaej cechy w badaej zbiorowości statystyczej jako całości. Wyrażają przy pomocy liczb pewe prawidłowości, które ie moża ujawić w pojedyczych obserwacjach. Miary położeia dzielimy a dwie grupy: średie klasycze (średia arytmetycza, geometrycza, harmoicza, kwadratowa) oraz średie pozycyje (wartość modala (domiata), wartość środkowa (mediaa), kwartyle). Przyjmijmy, że cecha (zmiea statystycza) x może przybierać wartości x,...,x. Liczebość badaej zbiorowości ozaczmy literą, a liczebość klasy i, w szeregu rozdzielczym, ozaczamy przez f i, przy czym i =, 2,..., k. Symbol k ozacza liczbę klas. Oczywiście, f + f f k =. Średia arytmetycza Średia arytmetycza ważoa Średia harmoicza Średia geometrycza X x H i i xi k i i k i f xi fi xi G x... x Średia arytmetycza jest miarą przeciętego poziomu wartości cechy. Jest to wartość abstrakcyja, która może odpowiadać kokretej wartości cechy. Średią geometryczą obliczamy przede wszystkim wtedy, gdy mamy do czyieia z cechą, dla której występują zacze różice między jej wartościami. Średia ta jest miej wrażliwa a wartości krańcowe iż średia arytmetycza. Średia harmoicza jest odwrotością średiej arytmetyczej odwrotości poszczególych jedostek zbiorowości statystyczej. Jest stosowaa, gdy wartości jedostek podawae są w formie odwrotości. Przykład Na podstawie daych zamieszczoych w tabeli oblicz średią liczbę odwiedzi biblioteczych. Biblioteka w latach według liczby odwiedzi 30

36 Lata Rocza liczba odwiedzi biblioteczych w tys. cecha x Najpierw przedstawmy wykres słupkowy liczby odwiedzi biblioteczych w latach Poleceie plot: :Bars2d sięga bezpośredio do biblioteki plot i wybiera klasę Bars2d. dae7:=[200, 240, 300, 420, 630]: h:=plot::bars2d(dae7, BarStyle=boxes): plot(h) W celu obliczeia współczyika wzrostu wizyt biblioteczych ależy dodać kolumę tempa wzrostu. Koleje tempo wzrostu obliczamy według wzoru x i+/x i. Skorzystamy z komedy zip z parametrem _divide, która tworzy ową listę A przez podzieleie odpowiedich elemetów list daych: [240, 300, 420, 630], [200, 240, 300, 420]. A:=zip([240.0, 300.0, 420.0, 630.0], [200, 240, 300, 420 ], _divide) [.2,.25,.4,.5] Biblioteka w latach według liczby odwiedzi Lata Rocza liczba odwiedzi biblioteczych w tys. Tempo wzrostu liczby wizyt , , ,4 3

37 ,5 W celu obliczeia średiej geometryczej i średiej do listy A zastosujemy poleceia mea, geometricmea oraz harmoicmea zawarte w bibliotece stats. // średia arytmetycza stats::mea(a).3375 // średia geometrycza stats::geometricmea(a) // średia harmoicza stats::harmoicmea(a) Przykład 2 Na podstawie daych zamieszczoych w tablicy oblicz średi staż pracy pracowików zatrudioych w bibliotece aukowej. Pracowicy biblioteki aukowej Staż pracy w latach Liczba pracowików W celu obliczeia średiej arytmetyczej ważoej w powyższym szeregu rozdzielczym dodajmy kolumę środka przedziału klasowego. Pracowicy biblioteki aukowej Staż pracy w latach Środek przedziału x i Liczba pracowików f i Następie obliczamy średią arytmetycza ważoą stosując wzór: 32

38 A:=[2*2, 6*7, 0*4, 4*9, 8*2] [24, 42, 40, 26, 36] s:= s2:= // średia arytmetycza ważoa s:=float(s/s2) X k i k fi x i Tak, więc średi staż pracy pracowików biblioteki aukowej wyosi prawie 8 lat. i Średie pozycyje są wartościami pewych kokretych jedostek zbiorowości statystyczej, wybraych ze względu a ich położeie w tej zbiorowości. Należy pamiętać, że przy ich wyzaczaiu dae liczbowe muszą być uporządkowae rosąco lub malejąco. Wartość środkowa Me (mediaa) dzieli uporządkoway zbiór (x,...,x ) jedostek zbiorowości a dwie rówe części pod względem liczebości wyrazów. Jeśli liczba jedostek jest ieparzysta, to mediaą jest wartość jedostki środkowej. Jeśli jest liczbą parzystą, to mediaą jest średia arytmetycza dwóch wartości leżących w środku uporządkowaego zbioru. Mediaę Me sz szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymi wyzaczamy według wzoru zamieszczoego w poiżej. Mediaa, gdy jest liczba ieparzystą Mediaa, gdy jest liczbą parzystą Mediaa szeregu rozdzielczego przy czym Me fi Me x ( ) / 2 x x 2 ( / 2) ( / 2) i Me l f f f 2 sz o s s l o dola graica przedziału klasowego L, w którym zajduje się wartość środkowa wyzaczoa przez szereg kumulacyjy, i - wielkość przedziału klasowego L, f s liczebość przedziału L, f f s- suma liczebości przedziałów poprzedzających przedział L, ogóla liczebość szeregu, tz. = f f k 33

39 Przykład 3 Wyzaczyć mediaę uporządkowaego zbioru (20, 56, 267, 299, 350, 4) jedostek zbiorowości. W tym celu wykorzystujemy procedurę media, zawartą w bibliotece stats z parametrem Averaged. // mediaa stats::media([20, 56, 267, 299, 350, 4], Averaged) 283 Przykład 4 Obliczyć mediaę liczby wypożyczeń książek studetów IV roku. Studeci IV roku według liczby wypożyczeń książek Liczba wypożyczeń Liczba studetów - fi Skumulowaa liczba studetów = 30 Wyzaczeie przedziału klasowego L ustalamy astępująco: Obliczamy połowę ogólej liczebości szeregu, tj. /2 = 5 Odczytujemy przedział klasowy L przy pomocy szeregu kumulacyjego i umeru 5. Otóż umer 5 mieści się w liczbie 7 występującej w szeregu kumulacyjym. Ta liczba 7 wyzacza szukay przedział klasowy L, tj. L = Stosując wzór określający mediaę Me sz szeregu rozdzielczego otrzymamy: Me:=2+(30-2 +)/4*(5 - (7+6)) 26 Wartość modala (domiata) jest tą wartością w ciągu (x,...,x) jedostek zbiorowości, która powtarza się ajwiększą liczbę razy (ajczęściej). Komeda modal zawarta w bibliotece stats wyzacza domiatę (umieszczoą w awiasach kwadratowych) oraz jej liczbę powtórzeń. Przykład 5 Wyzaczyć domiatę liczby wypożyczeń książek w klasie IV w miesiącu marcu: 3,, 4, 5, 3, 2,, 4, 5, 2,, 3,7, 3. Stats:: modal(3,, 4, 5, 3, 2,, 4, 5, 2,, 3,7, 3) 34

40 [3], 4 Miary rozproszeia Miary rozproszeia ależą do charakterystyk opisujących rozkład cechy. Iformują as, jak duże są odchyleia między poszczególymi wartościami jedostek zbiorowości a średią (arytmetyczą, geometryczą, itd.). Im miejsze jest odchyleie tym większe jest zaczeie średiej. Najprostszą miarą rozproszeia jest rozstęp, czyli różica pomiędzy ajwiększą i ajmiejszą wartością w zbiorowości statystyczej, tj. R = x max - x mi. Zasadiczo miary te dzielą się a względe (wariacja, odchyleie przecięte, odchyleie stadardowe) oraz bezwzględe (przecięty współczyik zmieości, stadardowy współczyik zmieości). Miary rozproszeia pozwalają stwierdzić, czy zbiorowość jest jedoroda czy też iejedoroda. Jeśli bowiem rozproszeie jest duże, moża przyjąć to jako ozakę iejedolitości badaej zbiorowości lub jako ozakę występowaia czyika, który wartości jedostek statystyczych różicuje. Odchyleie przecięte Odchyleie przecięte ważoe d i xi X d w k i fi xi X k i fi Wariacja Odchyleie stadardowe i Var x X i 2 i S x X i 2 Odchyleie stadardowe ważoe S w k i fi xi k fi i X 2 Przecięty współczyik zmieości V p d X lub V p d X w Stadardowy współczyik zmieości 35

41 V s S X lub V s S X w Przykład 6 W oparciu o dae zamieszczoe w tabeli oblicz średią arytmetyczą ważoą, odchyleia oraz ważoe współczyiki zmieości zarobków godziowych pracowików biblioteki. Zarobki godziowe pracowików biblioteki Płace godziowe w zł Środek przedziału płac - xi Liczba pracowików - fi Dla daych: środków przedziałów płac i liczb pracowików tworzymy listy L, L2. W celu obliczeia żądaych ważoych miar posługujemy się komedami sum oraz zip z parametrem _mult. L:=[3, 8, 3, 8, 23, 28]: L2[2, 4, 0, 7, 3, 2]: L3:=zip(L, L2, _mult): x:= : f:= : fx:=sum(l3[i], i=..6): sredia:=fx/f: d:=sum(l2[i]*abs(l[i]-sredia), i=..6): s:=sum(l2[i]*abs(l[i]-sredia)^2, i=..6): // sredia arytmetycza ważoa sredia:=fx/f // odchyleie przecięte ważoe odchyleie_p:=d/f // odchyleie stadardowe ważoe odchyleie_s:=sqrt(s/f)

42 // przecięty ważoy współczyik zmieości V_p:=odchyleie_p/sredia // stadardowy ważoy współczyik zmieości V_s:=odchyleie_s/sredia W przybliżeiu średi godziowy zarobek pracowika rówa się 4,7 a odchyleia przecięte oraz stadardowe wyoszą odpowiedio 5,0 i 6,3. Tak, więc płace godziowe pracowików odchylają się od poziomu średiej płacy o około 30%. W przedziale [4,7-6,3, 4,7+6,3] mieści się około 75% obserwacji, czyli 75% pracowików otrzymuje wyagrodzeie godziowe z przedziału [8.4, 2]. Aaliza współzależości zjawisk Celem aalizy współzależości jest wykazaie czy między zjawiskami w badaej zbiorowości istieje zależość, jaki ma charakter i stopień ścisłości. Szczególym rodzajem powiązaia jest związek korelacyjy, w którym wraz ze zmiaą wartości jedej cechy zmieiają się wartości iej cechy. W odiesieiu do cech ilościowych mówimy o korelacji dodatiej (tj., gdy wzrost wartości jedej cechy powoduje wzrost wartości drugiej cechy) i ujemej (tj., gdy wartości jedej cechy rosą to wartości drugiej cechy maleją). Istieie związku korelacyjego (fukcyjego, stochastyczego) moża ustalić przez porówaie przebiegu szeregów charakteryzujących badae zjawisko, za pomocą wykresu korelacyjego lub współczyików (p. Pearsoa, Spearmaa). Przykład 7 Ustalić, czy istieje związek korelacyjy (stochastyczy) pomiędzy semestralą oceą z języka polskiego a liczbą wypożyczoych książek z biblioteki szkolej wśród ucziów V klasy. Nr uczia Ocea semestrala - cecha y Liczba wypożyczoych książek - cecha x Nr uczia Ocea semestrala - cecha y Liczba wypożyczoych książek - cecha x 2, , , , , , , , , , , , , ,

43 8 3, , , , , ,0 24 3, , , , , , , , , ,0 2 Do aszych badań serie daych jedostek cech x oraz y przedstawiamy w postaci listy, odpowiedio xdata, ydata. Następie wywołujemy procedurę Scatterplot z biblioteki plot, która prezetuje rozproszeie jedostek statystyczych cech x oraz y wraz z ich liią regresji. xdata:=[2, 3, 4, 3, 4, 5, 5, 6, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 7, 0, 0, 20, 2, 24, 22, 22, 26, 24, 27, 27, 22, 3, 2]: ydata:=[2.8, 2.8, 3.0, 3.0, 2.8, 3.2, 3.0, 3.2, 3.2, 3.0, 3.2, 3.2, 3.4, 4.0, 4.4, 4.2, 4.0, 3.0, 4.6, 4.4, 4.6, 4.4, 4.8, 4.6, 5.0, 4.8, 5.0, 4.2, 3.6, 4.0]: q:=plot::scatterplot(xdata, ydata): plot(q) Powyższy wykres wskazuje a istieie związku korelacyjego, poieważ pukty układają się wzdłuż przekątej. Jest to związek korelacyjy liiowy dodati, co potwierdza, że wzrost liczby przeczytaych książek wpływa a poprawę ocey z języka polskiego. Przykład 8 Na podstawie tabeli wylicz średią, wariację i odchyleie stadardowe cech x oraz y. Ustal, czy istieje związek korelacyjy pomiędzy wiekiem pracowika a liczbą di pracy w 2007 roku. 38

44 Nr pracowika Wiek pracowika cecha x Liczba di przepracowaych w 2007 roku cecha y Serie daych jedostek statystyczych cech x oraz y orgaizujemy w postaci macierzy próbek o 2 kolumach i 3 wierszach. W pierwszej kolumie umieszczamy poszczególe wartości cechy x, a w drugiej kolumie jedostki cechy y. Dla obliczeia podstawowych charakterystyk statystyczych korzystamy z komed: sample, variace, stdev z parametrem Populatio z biblioteki stats. stats::sample([[24, 242], [2, 252], [27, 230], [35, 240], [38, 23], [34, 24], [44, 237], [4, 229], [46, 225], [52, 29], [54, 25], [62, 20], [58, 209]]) float(stats::mea(%, )) float(stats::mea(%, 2)) float(stats::stdev(%,, Populatio))

45 float(stats::stdev(%, 2, Populatio)) float(stats::variace(%,, Populatio)) float(stats::variace(%, 2, Populatio)) W celu zaobserwowaia korelacji między cechami x oraz y wywołamy procedurę Scatterplot z biblioteki plot. xdata:=[24, 2, 27, 35, 38, 34, 44, 4, 46, 52, 54, 62, 58]; ydata;=[242, 252, 230, 240, 23, 24, 237, 229, 225, 29, 25, 20, 209]: b:=plot::scatterplot(xdata, ydata): plot(b) Powyższy wykres wskazuje, iż istieje związek korelacyjy, poieważ pukty układają się wzdłuż przekątej. Jest to związek korelacyjy ujemy, który potwierdza, że wraz ze wzrostem wieku pracowików maleje liczba przepracowaych di roboczych. Przykład 9 W oparciu o dae zamieszczoe w tabeli ustalić, czy istieje związek korelacyjy (fukcyjy tj. każdej wartości jedej cechy odpowiada jeda jedozaczie określoa wartość iej cechy) pomiędzy akładami fiasowymi a zakup książek a liczbą książek w bibliotece. Rok rozliczeiowy Nakłady fiasowe w zł cecha x Liczba książek w wolumiach cecha y

46 Serie daych jedostek statystyczych cech x oraz y zorgaizujemy w postaci list xdata, ydata. Aby zaobserwować korelację wywołamy procedurę Scatterplot z biblioteki plot. Wykorzystamy też poleceia pozwalające ustalić kolor i rozmiar puktów (PoitColor, PoitSize) oraz barwę i szerokość liii (LieColor, LieWidth). xdata:=[80000, 50000, 50000, 00000, 70000, , , , , ]: ydata:=[2660, 2, 3950, 3340, 4200, 5660, 7350, 7790, 9200, 9000, 940]: aklad:=plot::scatterplot(xdata, ydata): aklad::poitcolor:=rgb::red: aklad::poitsize:=3*uit::mm: aklad::liecolor:=rgb::black: aklad::liewidth:=*uit::mm: plot(aklad) Powyższy wykres wskazuje, że istieje związek korelacyjy fukcyjy o charakterze dodatim, czyli liczba książek rośie wraz z wydatkowaymi a ie środkami fiasowymi. Współczyiki korelacji Do oszacowaia stopia ścisłości związku korelacyjego służą róże współczyiki. Wskazują oe, w jakim stopiu dwa zjawiska są ze sobą powiązae i z jaką siłą jedo zjawisko wywołuje zmiaę drugiego. Załóżmy, że cecha (zmiea statystycza) x przybiera wartości x,...,x, atomiast cecha y osiąga wartości y,...,y. Współczyik korelacji r xy Pearsoa wyliczamy ze wzoru: 4

47 r xy i xi X yi Y i i 2 2 i ( xi X ) ( y Y ) Współczyik korelacji Pearsoa stosujemy, gdy obie cechy (zmiee) są ilościowe i mają rozkład zbliżoy do ormalego oraz gdy związek między cechami jest liiowy. Te współczyik przybiera wartości z przedziału [-, ]. Jeśli r xy = - lub r xy =, to między zmieymi zachodzi zależość fukcyja odpowiedio, ujema bądź dodatia. W przybliżeiu możemy przyjąć, że r xy < 0.5 ozacza słabo-średią korelację, atomiast 0.5 < r xy < wyraża korelację wysoką. Przykład 0 Na podstawie daych zamieszczoych w tabeli wyzacz współczyik korelacji Pearsoa. Numer pracowika Wiek - cecha x Staż pracy - cecha y

48 Serie jedostek statystyczych cech x oraz y zorgaizujemy w postaci list X, Y. Do obliczeia współczyika Pearsoa zastosujemy procedurę correlatio z biblioteki stats. X:=[2, 35, 24, 24, 24, 35, 24, 38, 38, 35, 38, 38, 38, 35, 38, 43, 38, 35, 43, 43 ]: Y:=[3, 5, 3, 3, 6, 6, 6, 8, 8, 6, 8, 8, 8, 6, 8, 8, 6, 5,, ]: float(stats::correlatio(x, Y)) Współczyik korelacji wyosi w przybliżeiu 0,82. To ozacza, że współzależość wieku pracowika i jego stażu pracy w bibliotece jest wysoka i ma charakter dodati Przejdźmy teraz do zdefiiowaia współczyika korelacji rag Spearmaa, który służy do badaia współzależości pomiędzy dwoma cechami ilościowymi jak rówież jakościowymi. Współczyik te odosi się do aalizowaia kolejości zgodości wartości cech x oraz y i zajduje zastosowaie przede wszystkim, gdy występuje iewielka liczba (ok par) par (x i, y i) jedostek statystyczych. Wskaźik Spearmaa stosujemy do badaia stopia zgodości zespołów pracowiczych, badaia opiii grup czytelików o bibliotece, przeczytaych książkach itp. Obliczaie współczyika rozpoczyamy od ustawieia wartości jedej cechy w ciąg malejący i każdemu elemetowi tego ciągu przyporządkowujemy koleją liczbę aturalą, staowiącą jego ragę. W przypadku, gdy jedakowe wartości występują wielokrotie przypisujemy im taką samą ragę rówą średiej arytmetyczej z kolejych rag przypadających a te wartości. Niech cecha x będzie ilością dzieci, u których wpływ a wybór czyteliczy ma auczyciel. W poiższych dwóch tabelach przedstawioo sposób wyzaczaia ragi poszczególych wartości tej cechy. Tabela Nr szkoły Liczba dzieci, u których wpływ a wybór czyteliczy ma auczyciel cecha x Raga - cix (wyzaczoa przy pomocy tabeli 2) 8 0,5 = (0+)/ ,5 = (3+4)/2 43

49 , ,5 Tabela 2 Uporządkowaa malejąco cecha x Miejsce, które cecha x zajmuje w ciągu Współczyik r s Spearmaa wyliczamy ze wzoru: r s 6 2 di i 2 (, ) gdzie jest ilością wartości cech, d i = c ix c iy c ix jest ragą i-tej jedostki statystyczej cechy x, c iy jest ragą i-tej jedostki cechy y. Współczyik Spearmaa przyjmuje wartości z przedziału [-, ]. Jeśli r s jest bliskie jedości, to badae cechy wykazują silą zależość (współbieżość). Miaowicie, r s = wyraża idealą zgodość rag, a r s = -, maksymalą iezgodość rag. W przypadku r s bliskiego zero, mówimy o czysto losowym ułożeiu rag, a więc pełej ich iezależości od siebie. Przykład Na podstawie daych zamieszczoych w tabeli wyzacz współczyik korelacji rag Spearmaa określający związek pomiędzy liczbą dzieci, u których wpływ a wybór czyteliczy ma auczyciel a liczbą dzieci, u których wpływ a wybór czyteliczy mają ie czyiki. 44

50 Nr szkoły Liczba dzieci, u których wpływ a wybór czyteliczy ma auczyciel cecha x Liczba dzieci, u których wpływ a wybór czyteliczy mają osoby dorosłe cecha y Raga cix Raga ciy ,5 0, , , ,5 8, , ,5 4 Serie rag jedostek statystyczych cech x oraz y zorgaizujemy w postaci list Cx, Cy. Do obliczeia współczyika Spearmaa zastosujemy komedę sum. Cx:=[0.5, 2, 5, 8, 3.5, 2, 0.5, 7, 9,, 6, 3.5]: Cy:=[0.5, 2, 5, 8.5, 3, 2, 8.5, 7, 0.5,, 6, 4]: e:=sum((cx[i]-cy[i])^2, i=..2): //współczyik Spearmaa Rs:=-6*e/(2^3-2) Współczyik rag Spearmaa przyjmuje wysoką wartość 0, 9755 co potwierdza, że przy wyborze książki dzieci ze szkół r -2 kierują się przede wszystkim opiią auczyciela. Dodatkowo przedstawmy wykres słupkowy wartości cech x oraz y z użyciem klasy Bars2d z biblioteki plot. Dx:=[8, 28, 20, 0, 23, 4, 8, 5, 9, 30, 8, 23]: Dy:=[28, 63, 49, 3, 6, 6, 3, 4, 28, 65, 47, 55]: h:=plot::bars2d(dx, Dy, BarStyle=Boxes): plot(h) 45

51 Fukcje regresji Aaliza regresji zajmuje się wyjaśiaiem mechaizmu wzajemego oddziaływaia a siebie wartości dwóch zmieych. Wskazuje oa, jak kształtują się średie wartości jedej cechy (zmieej objaśiaej, zależej) przyporządkowae kokretym wartościom cechy drugiej (zmieej objaśiającej, iezależej). Wyrażeie zależości pomiędzy badaymi cechami za pomocą fukcji azywa się regresją. Niech x i, y i, i będą empiryczymi wartościami cech, odpowiedio x oraz y, atomiast f fukcją regresji. Symbolem ŷ i = f(x i) określamy wartość zmieej zależej (cechy y) przyporządkowaą wartości x i zmieej iezależej (cechy x). Najczęściej w praktyce występuje liiowa fukcja regresji o rówaiu f(x) = a + b x. Fukcja ta posiada dwa parametry a oraz b. Parametr b osi azwę współczyika regresji cechy y względem cechy x i wyraża średią zmiaę wartości cechy y, gdy cecha x zmieiła wartość o jedą jedostkę. Regresja f powia być jak ajlepiej dopasowaa do daych empiryczych. Metodą matematyczą pozwalającą a właściwe jej dopasowaie jest tzw. klasycza metoda ajmiejszych kwadratów. Metoda ta wyzacza fukcję f, aby suma kwadratów odchyleń poszczególych wartości empiryczych yi od wartości fukcji regresji f(x i) = a + b x i = ŷ i była jak ajmiejsza. Należy pamiętać, że to dopasowaie jest obarczoe błędem, zwaym średim błędem szacuku, który dla zmieej y wyraża się astępującym wzorem: przy czym: S y i ŷ i dae teoretycze, y i - dae empirycze, k liczba szacowaych parametrów. Obliczoy średi błąd szacuku iformuje, o ile wskutek wpływu zakłócających iych czyików ie uwzględioych w aszym badaiu, przeciętie się moża pomylić szacując wartości cechy y. Wielkość tego błędu wyzacza, więc dokładość przewidywaia wartości cechy y a podstawie fukcji regresji. Tego rodzaju yi k yˆ i 2 ; 46

52 obliczeia mają bardzo duże zaczeie praktycze przy ustalaia stopia dokładości (prawdziwości) wszelkiego rodzaju progoz. Przykład 2 Na podstawie daych zamieszczoych w tabeli ustal regresję między liczbą zatrudioych pracowików w bibliotece a kosztami ogółem utrzymaia tych pracowików w bibliotekach. Numer biblioteki Liczba zatrudioych pracowików cecha x Ogóle koszty utrzymaia etatów (w tys. zł.) cecha y ,2 35,0 230,7 282,8 375,8 45, 580,2 600, Serie jedostek statystyczych cech x oraz y zorgaizujemy w postaci list xdata, ydata. W celu zaobserwowaia stopia zależości i rozproszeia daych empiryczych wywołamy procedurę Scatterplot z biblioteki plot. xdata:=[7, 0, 6, 2, 28, 33, 4, 45, 47, 48, 5]: ydata:=[95.2, 35.0, 230.7, 282.8, 375.8, 45., 580.2, 600., 640.0, 680.0, 700.0]: koszty:=plot::scatterplot(xdata, ydata, LiesVisible=FALSE): plot(koszty) Zauważmy, że pukty wyzaczoe a układzie współrzędych układają się prawie wzdłuż liii prostej. Możemy, zatem wysuąć hipotezę, iż ajlepiej dopasowaą do daego zbioru puktów będzie fukcja liiowa. Biblioteka stats zawiera procedurę LiReg, która wyzacza parametry a i b regresji liiowej oraz odchyleie kwadratowe. W rezultacie wywołaia procedury LigReg z aszymi seriami daych empiryczych stats::lireg(xdata, ydata) [[ , ], ] 47

53 otrzymamy fukcję regresji postaci f(x) = * x oraz kwadratowe odchyleie Na poiższym rysuku fukcja regresji zazaczoa jest czerwoą liią. xdata:=[7, 0, 6, 2, 28, 33, 4, 45, 47, 48, 5]: ydata:=[95.2, 35.0, 230.7, 282.8, 375.8, 45., 580.2, 600., 640.0, 680.0, 700.0]: koszty:=plot::scatterplot(xdata, ydata): plot(koszty) Uzyskay współczyik regresji wyosi 3,795, czyli przy zwiększeiu zatrudieia w bibliotece o jedego pracowika koszty ogółem utrzymaia etatów wzrosą średio o około 3,795 tys. złotych. Rówaie regresji pozwala oszacować średie wartości zmieej zależej y dla dowolie zadaej wartości x. Ma to szczególe zaczeie w praktyce plaistyczej biblioteki. W celu wyliczeia średiego błędu szacuku dla zmieej y zastosujemy operator $, pozwalający a wyprodukowaie ciągu teoretyczych wartości cechy y wyzaczoych z rówaia regresji. xdata:=[7, 0, 6, 2, 28, 33, 4, 45, 47, 48, 5]: yreg:= * xdata[i] $ i=..: [yreg] [95.03, , , , , , , 69.33, , , ] Następie dla daych z list ydata oraz yreg obliczamy średi błąd szacuku przy pomocy komedy sum. ydata:=[95.2, 35.0, 230.7, 282.8, 375.8, 45., 580.2, 600., 640.0, 680.0, 700.0]: s:=sum((ydata[i] - yreg[i])^2, i=..): Sy:=sqrt(s/(-2)) W rezultacie uzyskaliśmy średi błąd szacuku Sy wyoszący 2,03. Tak, więc szacując wartość cechy y przeciętie możemy pomylić się o 2, 03 tys. zł. Podsumowaie System MuPAD dyspouje szerokim wachlarzem arzędzi do badań statystyczych. Oprócz elemetarych statystyk opisowych oferuje wiele procedur z zakresu aalizy wariacji, regresji, korelacji i testowaia hipotez. Poadto, MuPAD udostępia różorode struktury daych do prezetacji zbiorowości statystyczej i posiada obszerą galerię wizualizacji zjawisk statystyczych. Należy przyzać, że biblioteka stats ie zawiera gotowych procedur statystyczej aalizy szeregów rozdzielczych. Jedakże bogata aparatura matematycza systemu i jego własy język 48

54 programowaia, przypomiający Delphi, pozwala a utworzeie iezbędych algorytmów, co dodatkowo potwierdza wysoką przydatość MuPADa do badań statystyczych w obszarze bibliotekarstwa i czytelictwa. Literatura. J. Maj, Statystyka w bibliotece i jej otoczeiu, Warszawa M. Majewski, MuPAD dla iecierpliwych, Olkusz, Lubli M. Huczek, B. Żołędowska, Statystyka dla bibliotekozawców, Sosowiec K. Zając, Zarys metod statystyczych, Warszawa

55 Warsztaty dla auczycieli: Matematyka z Komputerem w liceum. Wprowadzeie Eugeiusz Jakubas Eugeiusz@Jakubas.pl W czasie warsztatów uczesticy będą mieli możliwość zapozaia się z 67 lekcjami matematyki w liceum z zastosowaiem komputerów. W iiejszym opracowaiu przedstawioo 3 przykładowe lekcje. Klasa. liceum. Określaie wzoru fukcji kwadratowej a podstawie wykresu (test). Test jest podsumowaiem wiadomości dotyczących własości fukcji kwadratowej omówioych z ucziami a wcześiejszych lekcjach. Określaie wzoru fukcji kwadratowej y = ax 2 + bx + c polega a wyzaczaiu wartości współczyików a, b, c. Należy to robić a podstawie wykresu, zając współrzęde wierzchołka paraboli i współrzęde puktu przecięcia paraboli z osią Oy. Współczyiki moża wpisywać w dwóch postaciach, w postaci dziesiętej, p. -,5 lub w postaci ułamkowej, p. 3/2. Aby określić współczyik a ależy pamiętać, że fukcja y = ax 2 + bx + c ma taki sam kształt jak fukcja y = ax 2. Należy więc potraktować wierzchołek paraboli jako pukt y (0, 0) i obliczyć a ze wzoru: a = 2. x Do wyzaczeia współczyika b wykorzystujemy wzór a współrzędą b wierzchołka paraboli x w =, ajlepiej w postaci przekształcoej: b = -2 a xw. 2 a 50

56 Współczyik c odczytujemy bezpośredio z wykresu jako pukt przecięcia paraboli z osią OY. Jeśli rozwiązaie jest prawidłowe, program przyzaje pkt. i rysuje parabolę w kolorze zieloym. Jeśli rozwiązaie jest złe, program ie przyzaje żadego puktu i rysuje czerwoą parabolę o współczyikach podaych przez użytkowika. Klasa 2. liceum. Wykresy fukcji trygoometryczych. Na lekcji ucziowie pozają sposoby kostrukcji wykresów fukcji trygoometryczych. Aimacja : kostrukcja fukcji y = six. Aimacja została zatrzymaa dla przykładowego kąta 57 o. Wartość si57 o jest obliczoa jako iloraz r y Poieważ r =, więc si57 o = y. Wartość ta jest przeiesioa a główy układ współrzędych dla argumetu 57 o i powstaje odpowiedi pukt wykresu. Wykoując taką kostrukcję dla wszystkich kątów, otrzymujemy siusoidę. Aimacja 2: kostrukcja fukcji y = cosx. Kostrukcja ta polega a przeiesieiu wartości cosiusa z osi poziomej koła trygoometryczego, a główy układ współrzędych. Rysuek wyjaśia to dla kąta 47o. Wartość cos47o jest obliczoa jako iloraz. r y Poieważ r =, więc cos47o = x. Wartość ta jest przeiesioa a główy układ współrzędych dla argumetu 47 i powstaje odpowiedi pukt wykresu. Wykoując taką kostrukcję dla wszystkich kątów, otrzymujemy cosiusoidę. 5

57 Aimacja 3: kostrukcja fukcji y = tgx. W tej kostrukcji ajpierw dla daego kąta budoway jest trójkąt prostokąty, którego jeda z przyprostokątych umieszczoa jest a osi Oy, zaś druga przyprostokąta ma długość i jest umieszczoa a osi Ox. Pukty wykresu powstają z przeiesieia współrzędej y a główy układ współrzędych. Pioowe liie dla kątów 90 o i 270 o, w których wartość tagesa ie jest określoa, azywamy asymptotami. Rysuek wyjaśia kostrukcję dla kąta 76 o. Wartość tg76 o jest obliczoa jako iloraz r y. Poieważ x = r =, więc tg76 o = y. Wartość ta jest przeiesioa a główy układ współrzędych dla argumetu 76 o i powstaje odpowiedi pukt wykresu. Wykoując taką kostrukcję dla wszystkich kątów, otrzymujemy tagesoidę. Aimacja 4: kostrukcja fukcji y = ctgx. W tej kostrukcji ajpierw dla daego kąta budoway jest trójkąt prostokąty, którego pioowa przyprostokąta ma długość, zaś druga przyprostokąta umieszczoa jest a osi Ox i ma początek w środku koła. Kostrukcja polega a przeiesieiu wartości cotagesa z osi poziomej a główy układ współrzędych, jako wartości fukcji. Pioowe liie dla kątów 0 o, 80 o i 360 o, w których wartość cotagesa ie jest określoa, azywamy asymptotami. Rysuek wyjaśia kostrukcję cotagesa dla kąta 335 o. 52

58 Wartość ctg335 o jest obliczoa jako iloraz r y. Poieważ y = r =, więc ctg335 o = x. Wartość ta jest przeiesioa a główy układ współrzędych dla argumetu 335 o i powstaje odpowiedi pukt wykresu. Wykoując taką kostrukcję dla wszystkich kątów, otrzymujemy cotagesoidę. Klasa 3. liceum. Ekstrema fukcji. Na lekcji ucziowie pozają pojęcie ekstremum (miimum i maksimum) fukcji. Ituicyje rozumieie pojęć miimum i maksimum fukcji zostaje wprowadzoe a x 4x x przykładzie fukcji y = 4x Uwaga: Program wyzacza ekstrema fukcji tylko dla takiego fragmetu wykresu fukcji, który jest widoczy a ekraie. Końce przedziałów moża zmieiać, wpisując odpowiedie wartości do okieek ozaczoych symbolami: " < x < " i "< y <". 3 Dla x = - fukcja ma miimum rówe,0833. Ozacza to, że w małym 2 otoczeiu puktu x = - wartość ta jest ajmiejsza. Zauważ, że po lewej stroie tego puktu fukcja maleje, zaś po prawej rośie. 77 Dla x = fukcja ma maksimum rówe 6,467. W tym przypadku jest to 2 ajwiększa wartość w otoczeiu puktu x =. Po lewej stroie tego puktu fukcja rośie, po prawej maleje. Dla x = 4 fukcja ma drugie miimum o wartości puktu fukcja maleje, po prawej rośie Po lewej stroie tego 28 Poieważ fukcja igdzie ie przyjmuje wartości miejszych iż, więc jest to 3 globalie ajmiejsza wartość fukcji. Największej wartości fukcja ta ie przyjmuje. Za pomocą programu ucziowie pozają miima i maksima iych fukcji. 53

59 2 Dla x = 2 fukcja y = x 4x 5 ma maksimum, poieważ z obu stro tego puktu wartości fukcji są miejsze iż 9. To maksimum ie jest jedak ajwiększą wartością fukcji. Dla x = - i x = 5 fukcja ma miima rówe 0. Fukcja y = x ie ma ekstremum. Dla puktu x = 0 fukcja osiąga wprawdzie ajmiejszą wartość rówą 0, ale ie jest to miimum, poieważ z lewej stroy puktu fukcja ie jest określoa. Nie istieje więc otoczeie, w którym wartość ta jest ajmiejsza. Fukcja y = x ma w pukcie x = 0 miimum. Z obu stro puktu wartości są większe iż 0. Po serii przykładów ituicyjego rozumieia pojęć miimum i maksimum fukcji wprowadza się ich defiicje. Fukcja f(x) ma w pukcie x 0 miimum rówe f(x 0), jeżeli istieje otoczeie puktu x 0, w którym f(x 0) jest ajmiejszą wartością fukcji. 54

60 Fukcja f(x) ma w pukcie x 0 maksimum rówe f(x 0), jeżeli istieje otoczeie puktu x 0, w którym f(x 0) jest ajwiększą wartością fukcji. Literatura. Podręcziki: "Matematyka przyjema i pożytecza" - liceum, klasa, 2, 3, Wydawictwo Szkole PWN

61 Wektory Skalary, wektory i co dalej? Berard Jacewicz bja@ift.ui.wroc.pl W podstawowym auczaiu fizyki mówimy, że wielkości fizycze są dwóch typów. Jeśli do określeia potrzeba jest tylko liczba (dodatia lub ujema) i jedostki, to taką wielkość azywamy skalarem. Jeśli oprócz tego trzeba podać kieruek, to taką wielkość uzajemy za wektor. Czasem wielkości wektorowe azywa wielkościami skierowaymi. Tutaj uwaga atury termiologiczej. Przy określaiu wektora swobodego w podręczikach szkolych wymieia się trzy jego cechy: kieruek, zwrot i wartość. Przy tym kieruek rozumie się jako prosta, a której leży wektor. Po ustaleiu kieruku moża jeszcze wybierać jede z dwóch możliwych zwrotów zwaych przeciwymi. Według tej defiicji ie może być kieruków przeciwych. Takie rozumieie słowa kieruek jest jedak sprzecze ze zaczeiem w języku ogólym i z ituicją kojarzoą z tym słowem. Zresztą i fizycy auczający a poziomie akademickim używają tego słowa a pojęcia obejmujące rówież zwrot, co przejawia się w mówieiu czy pisaiu o kierukach przeciwych. Kokrete przykłady a to zalazłem w dwóch podręczikach autorów polskich, zob. [2, 3]. Warto też wiedzieć, że takie odrywaie kieruku od zwrotu występuje tylko w polskiej oświacie. Nie ma tego w literaturze iemieckiej, rosyjskiej ai agielskojęzyczej. Wobec tego w iiejszym wykładzie będę się trzymać defiicji, według której wektor ma dwie istote cechy: kieruek i wartość, a kieruek to prosta ze zwrotem. Na pierwszych latach studiów wprowadza się rozróżieie wektorów a dwa podtypy: wektory zwyczaje zwae bieguowymi i pseudowektory zwae też osiowymi. Wektorami bieguowymi są: wektor wodzący, przemieszczeie, prędkość, pęd, siła, dipolowy momet elektryczy, a osiowymi: prędkość kątowa, momet pędu, momet siły, dipolowy momet magetyczy. Te dwa podtypy zachowują się różie przy odbiciach i przy iwersji przestrzeej wektory bieguowe odbijają się tak, jak tego oczekujemy, a wektory osiowe oprócz odbijaia w wybraej płaszczyźie trzeba pomożyć przez mius jede; atomiast przy iwersji wektory bieguowe zmieiają zwrot a przeciwy, a osiowe zachowują swój kieruek (ze zwrotem). Teraz trochę więcej o wektorach osiowych. Przy rozważaiu rówowagi a dźwigi posługujemy się mometem siły M r F, gdzie r jest wektorem wodzącym, a F siła. Obydwa czyiki tego iloczyu wektorowego są wektorami bieguowymi, więc przy iwersji zmieiają zwrot a przeciwy to ozacza, że dwa razy występuje czyik, zatem całość ie zmieia zaku. W takim razie momet siły jest wektorem osiowym. Z defiicji iloczyu wektorowego wiemy, że wektor M jest prostopadły do r i F, czyli do płaszczyzy, w której obraca się Kieruek stroa, w którą ktoś lub coś się zwraca, kieruje, porusza; także: droga, liia 56

62 dźwigia. Kto uczył tych zagadień w szkole wie, że to właśie sprawia pewe kłopoty. Pojawia się bowiem pytaie: czemu waruek rówowagi a dźwigi opisuje się przez wektory wychodzące poza płaszczyzę samej dźwigi? Zazwyczaj odpowiada się, że to wiąże się z osią obrotu dźwigi, a ta oś musi być prostopadła do dźwigi i płaszczyzy jej obracaia. To może jeszcze być przekoujące. Weźmy iy przykład: wirujące ciało sztywe. Przypisujemy mu prędkość kątową i momet pędu (kręt) L. Obie te wielkości są wektorami osiowymi i mają kieruek prostopadły do płaszczyzy obracaia bryły. Co do zwrotu przyjęło się powoływaie a śrubę prawoskrętą, ale przecież śruba lewoskręta byłaby rówie dobra. Musimy chyba przyzać, że ie ma aturalego sposobu przypisywaia zwrotu wektorom czy L. Jeszcze iy przykład: pole magetycze. Dwie wielkości służące do jego opisu: atężeie pola magetyczego H i idukcja magetycza B są też wektorami osiowymi. Aalogiczie do pola elektryczego fizycy posługują się liiami sił pola magetyczego jako krzywymi styczymi do wektorów B. Należy zadać pytaie: jakich sił? Tradycyja odpowiedz, jaką moża zaleźć w bardzo starych podręczikach są to siły działające a bieguy magetycze. Taka odpowiedź ie może zadowalać, bo jak dotąd ie wykryto pojedyczych bieguów magetyczych. Pole magetycze wyzaczamy badając jego działaie a prądy elektrycze albo ruchome ładuki elektrycze. Siła działająca a pojedyczy ładuek elektryczy w ruchu jest zawsze prostopadła do wektora idukcji magetyczej B, a więc i do tzw. liii sił. Zatem azywaie owych krzywych liiami sił ie jest a miejscu, gdy odwołujemy się do działaia pola magetyczego a ładuki elektrycze. W przytoczoych dotąd przykładach wielkości fizyczych są oe wielkościami skierowaymi, ale przypisyway im jak wektorom bieguowym kieruek jedowymiarowy sprawia pewe kłopoty pojęciowe, ie jest więc do końca aturaly. Aby przekoać się o istieiu iych możliwości, zapozajmy się z wielkościami od dawa zaymi matematykom, mającymi kieruek dwuwymiarowy. Przedtem jedak przypomijmy, że obrazem geometryczym wektora jest odciek skieroway ze strzałką przy wyróżioym pukcie, który uzajemy za koiec odcika, zob. Rys. po lewej. Strzałka może też być umieszczoa gdzieś między puktami brzegowymi, zob. Rys. po prawej. Rys. Wektor z różie zazaczoym zwrotem. Wektor ma jako istote cechy kieruek i wartość. Ale kieruek składa się z liii prostej, która za Louestem [4] azywam astawieiem wektora, oraz z grotu a tej prostej, którą wszyscy azywamy zwrotem. Dwa wektory o tym samym astawieiu azywamy rówoległymi. Dla ustaloego astawieia możliwe są tylko dwa zwroty 57

63 azywają się oe przeciwymi. Dwa wektory o tym samym kieruku możemy azwać zgodie rówoległymi. Wielowektory Ia wielkość skierowaa to dwuwektor (bivector), którego astawieiem jest płaszczyza, a zwrotem zakrzywioa strzałka leżąca a tej płaszczyźie. Powio być oczywistym, że dla ustaloego astawieia możliwe są tylko dwa róże zwroty, które azwiemy przeciwymi. (Po zamkięciu owej zakrzywioej strzałki do okręgu zwrot jest zgody z ruchem zegara albo przeciwy patrz Rys. 2.) Wartość dwuwektora to pole powierzchi. W te sposób możemy przedstawiać dwuwektory jako figury płaskie z zakrzywioymi strzałkami a ich, patrz Rys..3 po lewej. Zwrot moża też zobrazować jako strzałkę umieszczoą a brzegu figury, patrz Rys. 3 po prawej. Kształt figury ie jest waży, istoty jest tylko jej zwrot i pole powierzchi. Rys. 2 Dwa zwroty dwuwymiarowe. Rys. 3 Dwuwektor z różie zazaczoym zwrotem. Podsumujmy cechy dwuwektora:. kieruek: (a) astawieie płaszczyza, (b) zwrot zakrzywioa strzałka a płaszczyźie, 2. wartość pole powierzchi. Rys. 4 Iloczy zewętrzy wektorów. Dwuwektor moża otrzymać z dwóch wektorów a i b astępująco: wybieramy jede z wektorów jako pierwszy, iech to będzie a. Potem przez przesuiecie 58

64 rówoległe przykładamy początek wektora b do końca wektora a otrzymując dwa boki rówoległoboku i wykreślamy dwa rówoległe odciki aby otrzymać cały rówoległobok, zob. Rys. 4 po lewej. Rówoległobok jest figura mającą obrazować szukay dwuwektor B. Wektory a ib leżące a brzegu figury wyzaczają zwrot B (a rysuku jest to zwrot przeciwy do ruchu wskazówki zegara). Dwuwektor B otrzymay w wyiku tego przepisu azywa się iloczyem zewętrzym wektorów a i b, a jako zak możeia wybrao kli: B a Wartość otrzymaego dwuwektora to pole powierzchi rówoległoboku wyrażoe wzorem B a b si, gdzie jest kątem między wektorami. Jest to taka sama wartość jak dla iloczyu wektorowego, więc możemy uzać, że iloczy zewętrzy powiiśmy wykorzystywać tam, gdzie do tej pory mieliśmy iloczy wektorowy wektorów bieguowych. Iloczy wektorowy B a b jest wektorem prostopadłym do dwuwektora B i spełiającym regułę śruby prawoskrętej. Przedstawieie dwuwektora w postaci () (zwae także rozkładem a czyiki w iloczyie zewętrzym) oczywiście ie jest jedozacze, bo jego czyiki a i b mogą być ie, byleby wyzaczały tę samą płaszczyzę i to samo pole powierzchi figury. Po przyłożeiu do siebie wektorów b i a w iej kolejości (patrz Rys. 4 po prawej) widzimy zmiaę zwrotu a przeciwy, co wyrażamy tożsamością a b b a (2) ozaczającą, że iloczy zewętrzy wektorów jest atyprzemiey. Właśie z możliwości przedstawieia dwuwektorów przez dwa wektory wzięła się ich azwa. Warto jeszcze zobaczyć, jak działa iwersja przestrzea a dwuwektory. Weźmy dwuwektor z lewej części Rys. 4 i poddajmy go iwersji względem środka rówoległoboku, co pokazuje Rys. 5. Widzimy, że po iwersji wektory stały się przeciwe, ale dwuwektor jest taki sam jak przedtem, bo jego zwrot jest adal przeciwy do ruchu wskazówek zegara. Rozumiemy więc, dlaczego dwuwektory zachowują się względem iwersji iaczej iż wektory. b () Rys. 5. Iwersja działająca a dwuwektor. Moża pójść dalej i wprowadzić wielkości trójwymiarowe z aturalym astawieiem jako przestrzeią trójwymiarowa. Trzeba jedak zdefiiować zwrot trójwymiarowy otóż jest połączeie ruchu okrężego z ierówoległym do iego ruchem postępowym. Rysujemy go w postaci dwóch splecioych strzałek, z których jeda jest prostoliiowa, jak a Rys. 6. Zwrot jest uważay za taki sam, jeśli oba ruchy zostają jedocześie obrócoe, to też widać a Rys. 6. Dlatego możliwe są 59

65 tylko dwa róże zwroty trójwymiarowe w przestrzei trójwymiarowej drugi zwrot ukazay jest a Rys. 7 zwae przeciwymi. Tym dwóm zwrotom odpowiadają dwa rodzaje śrub (które łączą ruch postępowy z obrotowym): lewoskręta i prawoskręta, albo dwa typy liii śrubowych pokazae a Rys. 8. Z tych powodów zwrot trójwymiarowy azyway jest też skrętością prawą albo lewą. Rys. 6 Jede zwrot trójwymiarowy. Rys. 7 Drugi zwrot trójwymiarowy. Rys. 8 Dwa zwroty trójwymiarowe. Jesteśmy teraz gotowi zdefiiować trójwektor (trivector) jako obiekt geometryczy o astępujących cechach:. kieruek: (a) astawieie przestrzeń 3-wymiarowa, (b) zwrot skrętość; 2. wartość objętość. Obrazem geometryczym trójwektora jest bryła z dwiema splecioymi strzałkami albo fragmetem liii śrubowej w środku, patrz Rys. 9. Na tym rysuku pokazay jest trójwektor o zwrocie prawoskrętym. 60

66 Rys. 9 Trójwektor ze zwrotem w środku. Rys. 0 Trójwektor ze zwrotem a powierzchi. Moża też przesuąć zakrzywioą strzałkę w stroę wskazaą przez strzałkę prostoliiową i umieścić tę zakrzywioą a brzegu bryły, jak to pokazuje Rys. 0. Oba Rysuki 8 i 9 ukazują trójwektory o tej samej skrętości prawej, ale różie zazaczoej. Trójwektor moża zbudować z wektora c i dwuwektora B astępująco. Koiec wektora c przykładamy do brzegu B i przesuwamy go rówolegle po tym brzegu, aby otrzymać ukośy walec o podstawie B, patrz Rys. Rys. Iloczy zewętrzy dwuwektora z wektorem. W te sposób otrzymuje się wszystkie potrzebe cechy trójwektora T: jego zwrotem jest zakrzywioa strzałka dwuwektora B połączoa z prostoliiową strzałką 6

67 wektora c ; w przykładzie ukazaym a rysuku otrzymujemy skrętość prawą. Nastawieie jest tylko jedo w przestrzei trójwymiarowej, a wartość jest aturalie daa jako objętość walca. Przedstawioe działaie przypisujące trójwektor T czyikom c i B azywa się iloczyem zewętrzym i ozaczae jest kliem: T c B. Określamy też iloczy zewętrzy w odwrotej kolejości czyików zakładając przemieość tego iloczyu: B c c B (3) Trójwektor moża też przedstawić jako iloczy zewętrzy trzech wektorów po rozkładzie dwuwektora a czyiki B a b, co daje T c ( a b), patrz Rys. 2. Właśie z tej możliwości przedstawiaia trójwektorów wzięła się ich azwa. Rys. 2 Iloczy zewętrzy trzech wektorów. Zadaie. Pokazać a rysukach, że trzy trójwektory c ( a b), a ( b c) i b ( c a) są rówe. W te sposób wyrażeie c ( a b) jest symetrycze względem cykliczej zamiay czyików. Udowodioa w Zadaiu rówość a ( b c) c ( a b) w połączeiu z (3) daje a ( b c) ( a b) c, co ozacza, że iloczy zewętrzy wektorów jest łączy. Zadaie 2. Sprawdzić a rysukach, że zachodzi łączość a 62 ( b c) ( a b) c. Omówioe dotąd dwuwektory i trójwektory, a także zae dobrze skalary i wektory obejmuje się łączą azwą wielowektorów (multivectors). Przy tym skalar to wielowektor zerowego rzędu, wektor pierwszego, dwuwektor drugiego, trójwektor trzeciego rzędu. Są do pomyśleia rówież twory czwartego i wyższych rzędów, ale do tego ie wystarczy już przestrzeń trójwymiarowa. Wielkości dwuwektorowe w mechaice Wielkości fizycze opisywae dotąd przez pseudwektory warto obrazować przez dwuwektory, dzięki czemu wielkości te stają się bardziej poglądowe. Otóż momet siły M, prędkość kątowa i kręt L przyjmiemy za dwuwektory. Ich wartości zostawiamy bez zmia, a dwuwymiarowy kieruek pojawia się aturalie ze zjawisk opisywaych przez te wielkości. W przypadku mometu siły i krętu wystarczy apisać wzory wyrażające je przez zwykłe wektory: M r F, L r p (4) Wiadomo, że kolejość czyików jest waża, ale tutaj zadaa jest oa przez samo zjawisko. Dla mometu siły wektor siły F jest zaczepioy a końcu wektora wodzącego r, bo tak rozumie się ramię siły (odciek skieroway poprowadzoy od

68 puktu odiesieia do puktu przyłożeia siły). Dla krętu jest podobie: wektor pędu p jest umiejscowioy a końcu wektora wodzącego r opisującego położeie cząstki o pędzie p. Przy iterpretacji mometu siły jako powierzchi skierowaej moża prosto wyrazić waruek rówowagi dźwigi, zob. Rys. 3. Dwuwektory przedstawioe przez dwa rówoległoboki skierowae r F oraz r 2 F2 powiy być przeciwe. Rys. 3 Waruek rówowagi dźwigi dwustroej. Wierzchołek trójkąta jest puktem podparcia. W przypadku prędkości kątowej kierukiem jest płaszczyza, w której odbywa się obracaie, a zwrot jest zaday przez obrót. Nawet sam kąt obrotu możemy uważać za wielkość dwuwektorową, bo zawsze wiąże się z pewą płaszczyzą, w której się go mierzy. Wartość dwuwektora będzie oczywiście rówa wartości skalarej kąta. Zauważmy, że i są przykładami dwuwektorów, których ie musimy określać przez iloczy zewętrzy wektorów. W szczególie prostym przypadku obracaia w stałej płaszczyźie prędkość kątowa i kąt są związae prostym wzorem aalogiczym do związku między wektorem wodzącym a prędkością liiową. Przyjrzyjmy się bliżej ruchowi cząstki po okręgu. Oprócz prędkości liiowej i kątowej wprowadza się jeszcze prędkość polową. Jeśli wektor wodzący r zaczepioy jest w środku tego okręgu, to jest to pochoda pola powierzchi zakreślaej przez wektor wodzący względem czasu. Pole s powierzchi zakreślaej w czasie t, to pole trójkąta o bokach r oraz r v t, patrz Rys. 4. W takim razie dwuwektor tej powierzchi zapiszemy s r 2 d dt r, r 2 Stosowie do tego dwuwektor prędkości polowej wyosi v t (5) (6) lim t 0 s t r 2 v. (7) 63

69 Rys. 4 Powierzchia zakreślaa w ruchu po okręgu. W tradycyjym języku zay jest związek między prędkością kątową a prędkością liiową v i wektorem wodzącym: r v. 2 r Przy dopuszczeiu dwuwektorów ależałoby te związek zapisać jako r v. 2 r Zowu ie ma dowolości w kolejości czyików iloczyu zewętrzego, bo to właśie wektor v jest zaczepioy w pukcie r, a ie a odwrót. Sytuacje opisaa wzorem (9) zilustrowaliśmy a Rys. 5. (8) (9) Rys. 5 Prędkość kątowa w ruchu po okręgu. W podaych przykładach zastąpieie wektorów osiowych przez dwuwektory sprzyja poglądowości w przedstawiaiu wielkości fizyczych. Trzeba tylko uzać, że kieruki owych wielkości są wyzaczoe przez płaszczyzy istote dla rozważaych zjawisk. Są to więc wielkości skierowae, ale o kieruku dwuwymiarowym. Wielkości dwuwektorowe w magetostatyce Pole magetycze jest wytwarzae przez prądy elektrycze. Najlepszym modelem fizyczym dwuwektora jest płaski obwód elektryczy. Jego wartością jest właśie pole powierzchi objętej przez obwód, jego astawieiem jest płaszczyza obwodu, a zwrot jest zaday przez kieruek płyącego prądu. Te dwuwektor moża azwać powierzchią skierowaą s obwodu. Związaa z im jest astępa wielkość dwuwektorowa, miaowicie momet magetyczy m I s obwodu, gdzie I jest atężeiem prądu. Wielkości opisujące pole magetycze, tz. atężeie pola magetyczego H i idukcja magetycza B tradycyjie uważao za wektory osiowe. Teraz uzamy je za dwuwektory H i B. Jeśli już się a to zgodzimy, to możemy się zastaowić ad tym, czym zastąpić używae dotąd pojęcie liii pola magetyczego. Otóż 64

70 zamiast liii ależy teraz posługiwać się powierzchiami, które w każdym swoim pukcie będą stycze do dwuwektorów pola magetyczego. Wprowadzam więc pojęcie tzw. powierzchi pola magetyczego według astępującej defiicji są to powierzchie gładkie, do których w każdym pukcie są stycze dwuwektory atężeia H pola magetyczego. Zauważmy, że ta defiicja jest aalogicza do określeia liii pola elektryczego. Owym powierzchiom trzeba jeszcze adać zwrot zgody ze zwrotem dwuwektora H. Warto podać kilka przykładów powierzchi pola magetyczego dla ajprostszych układów wytwarzających pola magetycze. Skoro wektory H są prostopadłe do dwuwektorów H, to asze powierzchie są prostopadłe do tradycyjych liii pola magetyczego. To spostrzeżeie pomaga zaleźć powierzchie pola magetyczego wokół ieskończoego przewodu prostoliiowego, w którym płyie prąd elektryczy. Przypomijmy, że liie pola są wtedy współśrodkowymi okręgami prostopadłymi do samego przewodu, jak pokazuje Rys. 6. Po chwili zastaowieia dojdziemy do przekoaia, że rodzia powierzchi prostopadłych do tych liii to półpłaszczyzy przechodzące przez sam przewód i odchodzące do ieskończoości, jak a Rys. 7. Po adaiu tym półpłaszczyzom zwrotów przekoujemy się, że są to zwroty zgode ze zwrotem prądu płyącego w przewodzie, jeśli sam przewód uzamy za brzeg każdej półpłaszczyzy. Rys. 6 Liie pola magetyczego dla prądu prostoliiowego. Rys. 7 Powierzchie pola magetyczego dla prądu prostoliiowego. Iym przykładem jest kołowa pętla z prądem (obwód kołowy). W tym przypadku liie pola magetyczego są krzywymi zamkiętymi, leżącymi w płaszczyzach prostopadłych do pętli i przychodzących przez jej środek, patrz Rys. 8. Na Rys. 9 65

71 po lewej ukazao ich więcej w jedej z takich płaszczyz. Przekroje powierzchi pola z ową płaszczyzą są widocze a Rys. 9 po prawej. Rys. 8 Liie pola magetyczego wokół obwodu kołowego. Potrzebe powierzchie pola otrzymuje się przez obracaie tych krzywych wokół osi symetrii obwodu, zob. Rys. 20. Są oe swoistymi bąblami przechodzącymi przez przewodik kołowy. Jeda z powierzchi pola jest płaszczyza samej pętli z przeciwymi zwrotami wewątrz i a zewątrz pętli. Ta płaszczyza jest zazaczoa a Rys. 20 mociejszym szarym kolorem. Rys. 9 Pole magetycze obwodu kołowego ukazae w płaszczyźie przechodzącej przez środek. Po lewej: liie pola. Po prawej: powierzchie pola, przecięte z płaszczyzą. Rys. 20 Powierzchie pola magetyczego wokół obwodu kołowego. Pamiętamy, że liie pola elektryczego zaczyają się i kończą a ładukach (jeśli w ogóle mają jakiś koiec). Iterpretujemy tę cechę mówiąc, że ładuki elektrycze są źródłami pola elektryczego. Omówioe dotąd przykłady prądów elektryczych (liia prosta i okrąg) ukazują aalogiczą cechę pola magetyczego: powierzchie pola mają swoje brzegi a prądach, które są źródłami pola magetyczego. Poadto 66

72 zwroty tych powierzchi są zgode ze zwrotami prądów płyących a ich brzegach. Widać to bardzo ładie a astępym przykładzie, miaowicie polu magetyczym w soleoidzie. Tam powierzchie pola są prostopadłe do osi soleoidu, przez co kończą się a prądach, a zwroty mają zgode z prądami, co ilustruje Rys. 2 dla soleoidu o przekroju kołowym. Rys. 2 Powierzchie pola magetyczego w soleoidzie kołowym. Warto jeszcze pokazać powierzchie pola magetyczego wytwarzaego przez dwa rówoległe ieskończoe przewody prostoliiowe. Na Rys. 22 prądy o jedakowym atężeiu płyą w kierukach przeciwych, a a Rys. 23 w zgodych. W obydwu przykładach powierzchie pola w puktach bardzo bliskich przewodom są podobe do sytuacji ukazaej a Rys. 7, gdyż w pobliżu jedego przewodu jego pole przeważa ad polem od drugiego przewodu. W przypadku zgodych prądów powierzchie pola bardzo daleko od pary przewodów zowu są podobe do sytuacji z Rys. 7, poieważ w dużej odległości dwa przewody stają się ieodróżiale i moża je traktować jak jede przewód z prądem o podwojoym atężeiu. Rys. 22 Powierzchie pola magetyczego dla dwóch rówoległych prądów prostoliiowych, płyących w przeciwych kierukach. 67

73 Rys. 23 Powierzchie pola magetyczego dla dwóch rówoległych i zgodych prądów prostoliiowych. Udało mi się jeszcze zaleźć [5] powierzchie pola dla superpozycji (złożeia) dwóch pól magetyczych: jedego pochodzącego od prądu prostoliiowego o atężeiu I i drugiego od prądu kołowego o atężeiu I 2, patrz Rys. 24. Na Rys. 25 jest ukazaa jeda taka powierzchia dla I I2, a a Rys. 26 dla I 2 2I. Pozostałe powierzchie otrzymuje się przez obracaie tej jedej wokół przewodu prostoliiowego. Rys. 24 Kofiguracja dwóch prądów: prostoliiowego i kołowego. 2 Rys. 25 Powierzchia pola magetyczego dla kofiguracji z Rys. 9, gdy. I I 68

74 2 Rys. 26 Powierzchia pola magetyczego w przypadku, gdy 2. Na zakończeie chcę zazaczyć, że ie postuluje całkowitego usuięcia wektorów osiowych z fizyki. Mają oe wszak swoje zalety rachukowe czy graficze (trudiej jest arysować powierzchie iż liie). Uważam tylko, że w procesie auczaia powio się zaleźć miejsce a wskazaie dwuwektorowej atury pewych wielkości fizyczych. Potem moża stwierdzić, że istieje rówoważy opis matematyczy pozwalający zastąpić je przez wektory osiowe, co czasem upraszcza pewe obliczeia czy przedstawieie graficze. Literatura. Uiwersaly słowik języka polskiego, red. Staisław Dubisz, t.2, PWN, Warszawa Adrzej K. Wróblewski, Jausz A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki, t., PWN, Warszawa 976, str Roma S. Igarde, Adrzej Jamiołkowski: Elektrodyamika klasycza, PWN, Warszawa 980, str. 76 i Pertti Louesto, Risto Mikkola, Vesa Vierros: J. Comp. Math. Sci. Teach. 9(989) Berard Jacewicz, Piotr Brzeski: Magetic field surfaces, Europea Joural of Physics, 26(2005) I I 69

75 Streszczeie Sumowaie szeregów za pomocą MuPADa Jerzy Kołodziejczyk Celem referatu jest prezetacja wybraych elemetów teorii szeregów przez pryzmat możliwości obliczeiowych promgramu MuPAD. Wstęp W kursie aalizy matematyczej zajduje się m. iymi teoria szeregów. W ramach tych zajęć kształcoa jest umiejętość badaia zbieżości szeregów, obliczaia (choć zaczie rzadziej) sum szeregów zbieżych. Programy komputerowe typu CAS (Computer Algebra System), a w szczególości MuPAD, dają dobrą okazję a eksperymetowaia z szeregami. Dzięki takim rozważaiom możemy doprowadzić do lepszego rozumieia pojęcia szeregu, badaie tempa zbieżości, itp. Dodatkową korzyścią z takiego eksperymetowaia jest kształceie umiejętości iterpretowaia wyików otrzymywaych za pomocą programu komputerowego, poddawaia ich weryfikacji, doskoaleia procedur obliczeiowych. Poadto zyskujemy okazję do kształceia umiejętości uogóliaia pojęć. Przed podjęciem próby uogólieia daego pojęcia, ależy się zastaowić ad ogólymi warukami, które podczas uogóliaia powiy być zachowae. W przypadku uogóliaia pojęcia sumy szeregu a klasę iektórych szeregów rozbieżych, będziemy oczekiwali, że: ) suma szeregu zbieżego w zwykłym sesie będzie rówa sumie uogólioej, 2) operacja uogólioego sumowaia szeregu (tj. obliczaia sumy uogólioej) jest liiowa, czyli jeśli szeregi szereg ( ka lb ) ma sumę ka lb. a oraz b mają sumy uogólioe A i B, to Wszystkie omawiae iżej metody posiadają własości ) oraz 2), ale odpowiedie dowody pomiiemy. Szeregi zbieże Zaczijmy od przypomieia podstawowych wiadomości o szeregach. Dla daego szeregu a i i istieje graica rozpatrzmy ciąg ( A ) jego sum częściowych... A lim A A a a a 2. Jeżeli, to szereg a azywamy zbieżym do sumy A. W przeciwym wypadku szereg azywa się rozbieżym. Istieje wiele kryteriów pozwalających sprawdzić, czy szereg jest zbieży czy ie. Zwykle zaczie łatwiej zbadać zbieżość szeregu iż wyzaczyć jego sumę. Program MuPAD dostarcza am procedur ułatwiających obliczaie skończoych sum, sprawdzeie zbieżości i obliczeie sum wielu szeregów zbieżych. 70

76 Prezetację sposobów obliczaia sum szeregów zbieżych rozpocziemy od obliczeia sumy szeregu i 2 i ciąg jego sum częściowych A wpisując poleceia: a:=->/2^; A:=->(sum(a(i), i =..)). W tym celu defiiujemy ciąg (fukcję) 2 a oraz Otrzymamy potwierdzeie ich przyjęcia przez program komputerowy w postaci fukcyjej, 2 a( i). i Teraz możemy obliczyć graicę ciągu a oraz graicę ciągu sum częściowych (sumę daego szeregu). limit(a(), = ifiity); limit(a(), = ifiity) 0 Zwróćmy uwagę, że poleceie hold pozwoli a zachowaie zaku sumy: hold(sum(/2^i, i =..)); sum(/2^i, i =..) i 2 i 2 Podobie zbadamy zbieżość i obliczymy sumę jeszcze kilku szeregów. delete a: a:=->(-)^(+)/; limit(a(), = ifiity) l(2) ( ) delete a: a:=->/^2: limit(a(), = ifiity) delete a: a:=->/^3; limit(a(), = ifiity), float(%) (3) Szereg harmoiczy i jest rozbieży do ieskończoości: delete a: a:=->/: limit(a(), = ifiity) a szereg aprzemiey ( ) - rozbieży 7

77 delete a: a:=->(-)^(+): limit(a(), = ifiity) udefied Rozpatrzmy jeszcze jede zbieży szereg!. Bezpośredie powtórzeie procedur opisaych wyżej, tym razem ie pozwoli rozstrzygąć o zbieżości tego szeregu. Mamy, bowiem delete a: a:=->!/^;limit(a(), = ifiity)!. Sytuacji ie poprawi awet dodatkowe określeie typu zmieej. limit(a(), = ifiity) assumig(, Type::Iteger)! Mimo tych trudości możemy dowieść zbieżości daego szeregu za pomocą graiczego kryterium D Alemberta oraz programu MuPAD. W tym celu wystarczy wykoać astępujące poleceia: d:=->a(+)/a(): limit(d(), = ifiity) e Sumowalość szeregów w sesie Cesaro Tw. Cesaro: Jeżeli ciąg ( a ) jest zbieży do a, to ciąg jego sum częściowych ( ) jest rówież zbieży do a. Twierdzeie odwrote ie jest prawdziwe. Dla przykładu ciąg aprzemiey choć sam ie jest zbieży. a ( ) ma ciąg średich sum częściowych ( ) i i A zbieży do zera, Powyższe twierdzeie wykorzystao do wprowadzeia pojęcia sumowalości szeregu i uogólioej sumy szeregu. Szereg i a i azywamy sumowalym w sesie Cesaro (lub krócej C-sumowalym), jeśli A szereg i jego średich arytmetyczych sum częściowych A a a2 a jest i zbieży. Sumę szeregu średich arytmetyczych sum częściowych azywamy uogólioą (w sesie Cesaro) sumą szeregu i Moża wykazać, że dowoly szereg zbieży jest rówież C-sumowaly, a suma i suma uogólioa tego szeregu są rówe. Zobaczmy kilka przykładów szeregów C-sumowalych. Istieją szeregi rozbieże, które są sumowale w sesie Cesaro. Na przykład, szereg ( ) i i ie jest zbieży. Te sam fakt MuPAD wyjaśi swoimi obliczeiami: limit((-)^(+), = ifiity) lim ( ) 72 a i.

78 Sytuacje ie zmiei się awet wtedy, gdy sprecyzujemy zakres zmieej : limit((-)^(+), = ifiity) assumig(, Type::Iteger) lim ( ) Rozpatryway szereg jest jedak sumowaly w sesie Cesaro, a uogólioą jego sumą jest 2. delete a: a:=->(-)^(+): A:=->sum(a(i), i =..): AA:=->sum(A(i), i =..)/ i dalej Ai i limit(aa(), = ifiity) 2 Szereg harmoiczy i i ie jest sumowaly w sesie Cesaro. delete a: a:=->/; A:=->sum(a(i), i =..): AA:=->sum(A(i), i =..)/; limit(aa(), = ifiity)assumig(, Type::Iteger) EULER psi( i ) lim i gdzie psi(i) ozacza wartość logarytmiczej pochodej ' () i. () i Sumowalość w sesie Höldera Jeśli kilkukrote iteracyje zastosowaie metody Cesaro do daego szeregu a, utworzy owy szereg zbieży do A, to mówimy, że szereg a jest sumowaly w sesie Höldera (lub też H-sumowaly), a liczbę A azywamy sumą uogólioą w sesie Höldera. Szeregiem sumowalym w sesie Höldera jest p. zastosowaie metody Cesaro daje delete a: a:= ->(-)^(+)*: A:=->sum(a(i), i =..): AA:=->sum(A(i), i =..)/ skąd Ai i limit(aa(), = ifiity) assumig(, Type::Iteger) 4 73 ( ). Dwukrote

79 Dwukrote zastosowaie metody Cesaro pozwala zsumować szereg delete a: a:=->(-)^(+)*^3: A:=->sum(a(i), i =..): AA:=->sum(A(i), i =..)/: limit(aa(), = ifiity) assumig(, Type::Iteger) 8 Sumowalość w sesie Poissoa ( ) 3. Dla daego szeregu a tworzymy szereg potęgowy a x. Jeżeli szereg potęgowy jest zbieży dla 0 x, a jego suma f ( x ) ma graicę lim f ( x) A, to x szereg a azywamy sumowalym w sesie Poissoa (P-sumowalym), a liczbę A jego sumą uogólioą w sesie Poissoa. Szereg ( ) dla 0 x do sumy 2. jest P-sumowaly, gdyż szereg potęgowy ( ) x jest zbieży delete a: a:=->(-)^(+): f:=x->sum(a()*x^, =..ifiity): limit(f(x), x =, Left) 2 Szereg ( ) delete a: assume(x,type::iterval(0,)): a:=->(-)^(+)*2^; f:=x->sum(a(i)*x^i, i =..ifiity); limit(f(x), x=, Left); ( ) 2 jest sumowaly w sesie Poissoa, a jego uogólioą sumą jest x 2 3 i a() i x i Szereg ( ) 2 (różiący się od poprzediego zakresem ideksów) jest rówież P-sumowaly, ale w tym przypadku uogólioa suma jest rówa delete a: assume(x,type::iterval(0,)): a:=->(-)^(+)*2^; f:=x->sum(a(i)*x^i, i = 0..ifiity);

80 limit(f(x), x=, Left); x i 3 ( ) 2 a() i x i 0 Podobie aprzemiey szereg kwadratów kolejych liczb aturalych, tj. ( ) 2 jest sumowaly w sesie Poissoa, a jego uogólioą sumą jest 0. delete a: assume(x,type::iterval(0,)): a:=->(-)^(+)*^2; f:=x->sum(a(i)*x^i, i =..ifiity); limit(f(x), x=, Left); x 0 ( ) 2 a() i x 2 i 0 Czytelik zechce sprawdzić, że tę samą uogólioą sumę Poissoa ma szereg o iym zakresie ideksów: ( ) 0 2 Proszę sprawdzić, czy aprzemiey szereg czwartych potę kolejych liczb aturalych jest sumowaly w sesie Poissoa. Jeśli tak, to jaka jest jego uogólioa suma? Uwaga. Istieje związek między sumowalością w sesie Cesaro i sumowalością w sesie Poissoa: Każdy szereg C-sumowaly jest rówież P-sumowaly, a obie uogólioe sumy są rówe. Fakt te ozacza, że sumowalość w sesie Poissoa jest pojęciem ogóliejszym iż sumowalość w sesie Cesaro. Sumowalość w sesie Borela Dla daego szeregu x x f ( x) e A! a. Jeżeli szereg o sumach częściowych A tworzymy fukcję x A! jest zbieży dla dużych x, a jego sumy dążą do A gdy x dąży do ieskończoości, to szereg a azywamy sumowalym w sesie Borela (krótko B-sumowalym), zaś liczbę A sumą uogólioą w sesie Borela tego szeregu. Przykładem szeregu B-sumowalego jest szereg aprzemiey ( ) uogólioą w sesie Borela sumą jest 2., a jego delete a: a:=->(-)^(+): A:=->sum(a(i), i =..): f:=x->(sum(a()*x^/!)/e^(-x), =..ifiity) 75

81 x i dalej A( ) x 0! E x limit(f(x), x = ifiity) 2 Literatura. G.M. Fichteholz, Rachuek różiczkowy i całkowy, t. II, PWN, Warszawa. 76

82 Streszczeie Kryptarytmy z MuPADem Zygmut Krawczyk zkraw@poczta.oet.pl Kryptarytm (ag. cryptarithm) to bardzo ciekawa i populara łamigłówka matematycza. W iiejszej pracy przedstawiam krótką historię kryptarytmów oraz sposoby ich rozwiązywaia za pomocą MuPADa. Pojawią się także zadaia podobe do kryptarytmów. Krótka historia kryptarytmów. Kryptarytm powstaje z zastąpieia większości lub wszystkich cyfr wyrażeia arytmetyczego (p. sumy, iloczyu) przez litery lub ie symbole. Oczywiście takim samym literom (symbolom) muszą odpowiadać idetycze cyfry, a różym literom (symbolom) róże cyfry. Poadto żada liczba ie może zaczyać się zerem. Klasyczy kryptarytm ma dokładie jedo rozwiązaie i zawiera co ajmiej raz każdą z 0 cyfr. Na przykład z rówości = 6336 możemy otrzymać astępujący kryptarytm: a b c d + e f g h i j j i. Rozwiązaie kryptarytmu polega a zalezieiu cyfr ukrytych pod literami (symbolami). Powyższy kryptarytm ma 336 rozwiązań i zupełie ie adaje się a zadaie logicze. Zadaia tego typu są dosyć stare i trudo wskazać ich pierwszego autora. Pierwszy kryptarytm opublikoway został w USA w czasopiśmie America Agriculturist w 864 roku. Zaym twórcą kryptarytmów był amerykański autor łamigłówek Sam Loyd. Najbardziej zay jest kryptarytm: S E N D + M O R E M O N E Y, którego autorem jest mistrz łamigłówek Hery Dudeey. Po raz pierwszy opublikoway był w dziale łamigłówkowym brytyjskiego miesięczika Strad Magazie w 924 roku pod azwą słowa arytmetyka ( verbal arithmetic ). Następie w roku 93 M. Vatriquat (ps. Mios) w belgijskim czasopiśmie Sphiks wprowadził azwę crypt-arithmetic. Późiej słowo to zostało skrócoe do słowa cryptarythm. W roku 945 Ala Waye opublikował po raz pierwszy w czasopiśmie America Mathematical Mothly iteresujący podwójie prawdziwy kryptarytm postaci: 77

83 F O R T Y T E N + T E N S I X T Y. Tutaj oprócz sumy liczb zapisaych cyframi prawdziwa jest rówież suma liczb zapisaych słowie. J. A. H. Huter w roku 955 zastosował słowo alfametyk ( alphametic ) do ozaczeia kryptarytmu, w którym litery tworzą słowa lub zwroty. Na świecie kryptarytmy stały się mode w latach 60 ubiegłego wieku. W Polsce zadebiutowały a łamach Życia Warszawy w rubryce Rozkosze łamaia głowy redagowaej przez Lecha Pijaowskiego. Najprawdopodobiej pierwszy polski kryptarytm miał postać: C H M U R A + C H M U R A D E S Z C Z. Oczywiście jest to kryptarytm klasyczy. W ostatich latach kryptarytmy zowu stały się populare. Pojawiają się w podręczikach do matematyki, czasopismach szaradziarskich i matematyczych, różorodych kokursach i mistrzostwach o tematyce matematyczo-logiczej. Oto krótki przegląd kryptarytmów: fiał I Pucharu Polski w Rozwiązywaiu Łamigłówek (2004 r.): UCHO + UCHO SŁUCH fiał II Pucharu Polski w Rozwiązywaiu Łamigłówek (2005 r.): LEW x LEW SF?F?FKS SFINKS fiał III Pucharu Polski w Rozwiązywaiu Łamigłówek (2006 r.): 3 x SZARIK = 4 * RIKSZA fiał XI Mistrzostw Polski w Rozwiązywaiu Łamigłówek (2007 r.): WYRAZ + WYRAZ + WYRAZ = ZDANIE fiał XII Mistrzostw Polski w Łamaiu Głowy (2008 r.): GONG+GONG+GONG+GONG+GONG+GONG+GONG = DZWON fiał IV Mistrzostw Polski w Grach Matematyczych i Logiczych (2006 r.): 78

84 ABC x ABC * * * * * * A * * * B * * * * * * fiał V Mistrzostw Polski w Grach Matematyczych i Logiczych (2007 r.): a b x c d e f g h i Magazy Miłośików Matematyki (4/2007) W I L K N I E J E L U D Z I Rozwiązujemy kryptarytmy z MuPADem. Kryptarytmy możemy rozwiązywać stosując róże algorytmy, w zależości od rodzaju kryptarytmu i własych upodobań. Na początku rozwiążmy astępujący prosty kryptarytm: TAK TKA KAT Poieważ mamy tutaj tylko trzy róże litery, więc wystarczy zastosować pętlę for do. // TAK + TKA = KAT for i from 02 to 987 do //i=tak k:=i mod 0; a:=(i div 0) mod 0; t:=i div 00; if k<>a ad k<>t ad a<>t ad k<>0 the j:=00*t+0*k+a; s:=00*k+0*a+t; //j=tka, s=kat if i+j=s the prit(i,j,s) ed_if ed_if ed_for: Kryptarytm te ma jedo rozwiązaie: = 954. Przejdziemy teraz do kryptarytmu z fiału V Mistrzostw Polski w Grach Matematyczych i Logiczych (2007 r.). Zastosuję tutaj pętlę for i, dzięki której moża łatwo wybierać róże cyfry. // ab c = de + fg = hi 79

85 A:={,2,3,4,5,6,7,8,9}: for a i A do for b i A mius {a} do for c i A mius {a,b} do for d i A mius {a,b,c} do for e i A mius {a,b,c,d} do for f i A mius {a,b,c,d,e} do for g i A mius {a,b,c,d,e,f} do for h i A mius {a,b,c,d,e,f,g} do for i i A mius {a,b,c,d,e,f,g,h} do x:=0*a+b; y:=0*d+e; //x=ab, y=de z:=0*f+g; t:=0*h+i; //z=fg, t=hi if x*c=y ad y+z=t the prit(x,c,y,z,t) ed_if ed_for ed_for ed_for ed_for ed_for ed_for ed_for ed_for ed_for Kryptarytm te ma rówież jedo rozwiązaie: 7 4 = 68, = 93. Gdyby w rozwiązaiu mogła występować cyfra zero, to kryptarytm te miałby trzy dodatkowe rozwiązaia: 7 2 = 34, = 90; 8 2 = 36, = = 76, = 90. Rozwiążmy teraz ieco iy kryptarytm: feudalizm eeddi. Do sprawdzeia, czy cyfry w słowie feudalizm są róże wykorzystam dwie struktury MuPADa, listę i zbiór. Jak wiadomo, elemety w liście mogą się powtarzać, a w zbiorze ie. // eeddi 2 = feudalizm for e from to 3 do for d from 0 to 9 do for i from 0 to 9 do if e<>d ad e<>i ad d<>i the :=(000*e+0*d+i)^2; // =eeddi A:=umlib::g_adic(,0); a:=ops(a); B:=A[j] $ j=..a; b:=ops({b}); if a=b the prit(,sqrt()) ed_if ed_if ed_for ed_for ed_for: Otrzymaliśmy jedo rozwiązaie:

86 Sprawdźmy, czy moża utworzyć podoby kryptarytm zawierający pod pierwiastkiem liczbę dziesięciocyfrową o różych cyfrach. W tym celu wystarczy w powyższym programie zwiększyć zakres zmieej e do 9. Otrzymamy zów jedo rozwiązaie: Wystarczy teraz zaleźć wyraz dziesięciocyfrowy o różych literach i mamy owy kryptarytm, p.: eutralizm aattm. Zadaia podobe do kryptarytmów. Istieje wiele zadań logiczych podobych do kryptarytmów. Poiższe pochodzi z fiału paryskiego XXII Międzyarodowych Mistrzostw w Grach Matematyczych i Logiczych: p p x p p p p p p Tutaj p ozacza cyfrę parzystą a cyfrę ieparzystą. Oto program rozwiązujący to zadaie. // p x p = pp pp:={2,4,6,8}: pp0:=pp uio {0}: :={,3,5,7,9}: for i0 i pp do for i i do for i2 i do for i3 i do for i4 i pp do x:=00*i0+0*i+i2; y:=0*i3+i4; a:=x*i4; b:=x*i3; z:=x*y; if a<000 ad b<000 ad z<0000 the A:=umlib::g_adic(a,0); B:=umlib::g_adic(b,0); Z:=umlib::g_adic(z,0); P:={A[],A[3],B[2],Z[],Z[2]}; N:={A[2],B[],B[3],Z[3],Z[4]}; if P itersect ={} ad N itersect pp0={}the prit (x,y,a,b,z) ed_if ed_if ed_for ed_for ed_for ed_for ed_for: Otrzymujemy jedo rozwiązaie: = Rozwiążmy teraz podobe zadaie z fiału VI Mistrzostw Polski w Grach Matematyczych i Logiczych: 8

87 p p p x p p p p p p p p p p p p p p p. Tym razem p ozacza cyfrę będącą liczbą pierwszą. // ppp x pp = ppppp P:={2,3,5,7}: for i i P do for i2 i P do for i3 i P do for i4 i P do for i5 i P do x:=00*i+0*i2+i3; y:=0*i4+i5; a:=x*i5; b:=x*i4; z:=x*y; if a>000 ad b>000 ad z>0000 the A:=umlib::g_adic(a,0); A:=A[i] $ i=..ops(a); B:=umlib::g_adic(b,0); B:=B[i] $ i=..ops(b); Z:=umlib::g_adic(z,0); Z:=Z[i] $ i=..ops(z); X:=_uio({A},{B},{Z}); if X subset P the prit (x,y,a,b,z) ed_if ed_if ed_for ed_for ed_for ed_for ed_for: Rozwiązaie zadaia jest astępujące: = Postaramy się teraz odtworzyć dzieleie, zae pod azwą problemu czterech czwórek : * 4 * * * * * * * * 4 : * * * * * * * * 4 * * * * * * * * * * 4 * * * * * * * * * Poiższy program rozwiązuje te problem. 82

88 // problem czterech czwórek for i from 00 to 999 do for i from to 9 do for i2 from to 9 do for i3 from to 9 do x:=000*i+400+0*i2+i3; z:=i*x; a:=i*i; b:=4*i; c:=i2*i; d:=i3*i; a:=(z div 000)-a; b:=0*a+((z div 00) mod 0)-b; c:=0*b+((z div 0) mod 0)-c; if a<000 ad b>999 ad c<000 ad d>999 ad z> the if a<000 ad a>00 ad b<000 ad b>00 ad c<000 ad c>00 the if z mod 0=4 ad a mod 0=4 ad (c div 0) mod 0=4 the prit(x,i,z) ed_if ed_if ed_if ed_for ed_for ed_for ed_for: Tym razem zadaie ma cztery rozwiązaia: : 846 = 49; : 848 = 48; : 943 = 48; : 949 = 46. Podsumowaie Powyższe rozważaia pokazują, że MuPAD doskoale adaje się do rozwiązywaia kryptarytmów i iych zadań logiczych. Struktury MuPADa pozwalają a zastosowaie różorodych algorytmów. Wydaje się, że opiia mówiąca o zgubym wpływie programów komputerowych a kryptarytmy jest ieuzasadioa. Na wspomiaych kokursach ie ma możliwości rozwiązywaia za pomocą komputerów. Natomiast programy komputerowe mogą służyć p. do układaia kryptarytmów i sprawdzaia ilości ich rozwiązań. Na zakończeie propouję rozwiązać ietypowy kryptarytm: Literatura CHŁOP potęgą jest i BASTA.. Majewski M.: MuPAD dla iecierpliwych, PWN, Warszawa Jeleński S.: Lilavati, PZWS, Warszawa

89 Jak uowocześić lekcje matematyki przy pomocy MuPADA? Streszczeie Jerzy Kubis Nauczaie matematyki w liceum przy pomocy tradycyjych metod (kreda i tablica) w wielu przypadkach tylko częściowo umożliwia rozwiązaie jakiegoś problemu lub zadaia. Dużo czasu a lekcjach poświęca się a przekształcaie wyrażeń, obliczeia rachukowe. a ie skupia się a istocie problemu. Mając do dyspozycji a lekcji matematyki komputer z odpowiedim oprogramowaiem takim jak MuPAD możemy zaczie rozszerzyć rozwiązaie aszych zadań. Część żmudych i ic ie woszących, a zaych już dobrze ucziom, przekształceń możemy zlecić MuPADowi Jest to szczególie waże gdy pracujemy z młodzieżą zdolą w klasach z rozszerzoą matematyką. Celem mojego artykułu jest pokazaie a kilku przykładach wykorzystaia MuPADa a lekcjach matematyki. Wstęp Uważam, że auczaie matematyki przy pomocy odpowiedich programów komputerowych, a w szczególości MuPADa, zaczie ułatwia prowadzeie zajęć. W czasie takiej lekcji moża zapozać ucziów z większą partią materiału, rozwiązać zadaia o wyższym poziomie trudości oraz a każdym etapie rozwiązywaego zadaia dokoywać jego wizualizacji. Taki sposób prowadzeie zajęć przyczyia się w zaczym stopiu do lepszego zrozumieia przez ucziów daej partii materiału lub samego zadaia. Stosując komputer a lekcji zauważam większe zaiteresowaie matematyką przez ucziów To uowocześieie lekcji matematyki, w moim pojęciu, polega główie a tym, że cały czas pracuję z MuPadem pokazując, o ile to możliwe, poszczególe etapy rozwiązywaego zadaia.. Kostrukcja liczby 3 Pierwszym zadaiem, które chciałbym zaprezetować jest pokazaie a osi liczbowej 3, gdzie ε N W klasie pierwszej w trakcie omawiaia liczb rzeczywistych pokazujemy położeie a osi liczbowej liczby 2 lub iej zawierającej pierwiastek stopia drugiego. Przy tej okazji wyjaśiamy ucziom, że liczby 3 2 ie moża skostruować przy pomocy cyrkla i liiału, tak jak to uczyiliśmy z liczbą 2. Jak wiadomo kostrukcja tej liczby zaa jest w matematyce jako problemem delijski (podwojeie sześciau). Rozwiązaie tego problemu moża otrzymać 84

90 metodami aalityczymi. Liczbę tę moża między iymi otrzymać jako rozwiązaie układu rówań: y = x 2 i y 2 = 2x co graficzie moża pokazać ucziom a wykresie. W wyiku przecięcia się tych krzywych a osi odciętych otrzymujemy wartość 3 2, a a osi rzędych 3 4. Zadaie to moża uogólić i zaleźć graficzie liczbę 3 i 2 3. Zapisując odpowiedie istrukcje w MuPADzie otrzymujemy rodzię fukcji y = i parabolę y=x 2 f:=x->x^2: g:=x->sqrt(*x): plotfuc2d(f(x), g(x) $ =2..8,x=0..3,YRage=-..6,Scalig=Costraied,LegedVisible=FALSE) x Posługując się powyższym układem rówań moża rozwiązaie problemu delijskiego sprowadzić do przecięcia się paraboli z rodzią okręgów: y = x 2 (x - 2 ) 2 + (y - 2 ) 2 = 2 4 Graficze rozwiązaie tego układu przedstawioo poiżej. O2:=plot::Implicit2d((x-3/2)^2+(y-/2)^2=5/2,x=-..,y=- 2..0,Scalig=Costraied): O3:=plot::Implicit2d((x-2)^2+(y-/2)^2=7/4,x=-..0,y=- 2..0,Scalig=Costraied): O4:=plot::Implicit2d((x-5/2)^2+(y-/2)^2=3/2,x=-..0,y=- 3..0,Scalig=Costraied): O5:=plot::Implicit2d((x-3)^2+(y-/2)^2=37/4,x=-..0,y=- 3..0,Scalig=Costraied): O6:=plot::Implicit2d((x-7/2)^2+(y-/2)^2=25/2,x=-..0,y=- 4..0,Scalig=Costraied): 85

91 O7:=plot::Implicit2d((x-4)^2+(y-/2)^2=65/4,x=-..0,y=- 4..0,Scalig=Costraied): plot(o,o2,o3,o4,o5,o6,o7,p) Fukcje z parametrem Iym zagadieiem, do którego MuPad adaje się doskoale są fukcje i rówaia z parametrem. Sformułujmy astępujące zadaie. Daa jest fukcja kwadratowa o rówaiu f(x)= x 2 +2(m+)x m+4 z parametrem m ε R. Wyzaczy rówaie krzywej, a której zajdują się wierzchołki wszystkich parabol tej rodziy. Wykorzystując MuPada możemy sporządzić wykres rodziy tej fukcji, który wraz z odpowiedimi istrukcjami przedstawioo poiżej łączie z rozwiązaiem y = -x 2 + x +5. Na lekcji pokazuję dwa oddziele rysuki. Najpierw ucziowie zapozają się z wykresem parabol, dzięki MuPadowi mają możliwość zobaczyć rodzię krzywych, astępie rozwiązują zadae, które aosimy do programu i sprawdzamy czy dobrze obliczyliśmy. f:=:x->x^2+2*(m+)*x-m+4: plotfuc2d(f(x) $ m=-6..6,-x^2+x+5, x=-6..8,yrage= ,LegedVisible=FALSE) 86

92 Iterpretacja geometrycza ilorazu różicowego Przy pomocy MuPada możemy pokazać koleje etapy zajdowaia ilorazu różicowego. Jako przykład ich am posłuży fukcja y = x 2 dla x 0 = 2 przy zmieiającej się wartości x = 4, 3, 2.5, 2.. Poiżej przedstawiłem wykres fukcji wraz z kolejymi prostymi będącymi kolejymi rówaiami ilorazu różicowego. Chcąc uzyskać wykresy ilorazu dla iej fukcji wystarczy zmieić azwę fukcji pukt x 0 oraz przyrosty zmieej x. Na powyższym rysuku zamieściłem kilka ilorazów różicowych fukcji y = x 2. Na lekcji pokazuję je oddzielie w te sposób ucziowie widzą jak zmieia się wykres gdy x dąży do x 0. Poiżej przedstawiam istrukcje w MuPADzie. W każdej chwili moża zmieić fukcję oraz wartości x 0 i x i aszkicować wykres iej fukcji. f:=x->x^2: x0:=2: x:=4: x2:=3: x3:=2.5: x4:=2.: G:=plot::Fuctio2d(f(x),x=-..4.5,LieColor=RGB::Blue): G:=plot::Fuctio2d(f(x0)+(x-x0)*(f(x)-f(x0))/(x-x0),x=-..4.5, LieColor=RGB::Red): G3:=plot::Fuctio2d(f(x0)+(x-x0)*(f(x3)-f(x0))/(x3-x0),x=-..4.5, LieColor=RGB::Blue): G2:=plot::Fuctio2d(f(x0)+(x-x0)*(f(x2)-f(x0))/(x2-x0),x=-..4.5, LieColor=RGB::Gree): G4:=plot::Fuctio2d(f(x0)+(x-x0)*(f(x4)-f(x0))/(x4-x0),x=-..4.5, LieColor=RGB::Black): plot(g,g,g2,g3,g4) Zadaia optymalizacyje Do tego typu zadań MuPad jest bardzo pomocy, gdyż umożliwia am wykreśleie fukcji będącej przedmiotem aszego zadaia. Fukcje, które są rozwiązaiem zadaia optymalizacyjego są przeważie bardzo złożoe i sporządzeie wykres bez pomocy w tym przypadku MuPada byłoby praktyczie iemożliwe. W tym przypadku wybrałem dwa zadaia. 87

93 Na okręgu o promieiu długości r opisao trójkąt róworamiey. Wyzacz ekstremum i przedziały mootoiczości fukcji R = f(x), gdzie z jest miarą kąta przy podstawie trójkąta, a R długością promieia okręgu opisaego a tym trójkącie. Rozwiązaiem tego zadaia dla r= jest fukcja przedstawioa poiżej: x cot x 2 si(2 x) Narysowaie wykresu tej fukcji bez pomocy odpowiediego oprogramowaia byłoby wręcz iemożliwe. Na lekcjach odbywających sie bez pomocy komputera oblicza się pochodą fukcji, szuka ekstremum i sprawdza się czy jest to miimum fukcji. Wykres te wosi dodatkowe elemety do rozwiązaia tego zadaia. Ucziowie widzą, jak zmieia się stosuek R/r w całej dziedziie tego zadaia. Mogą zaobserwować, że w przedziale (0.5,.4) stosuek te ie wiele się zmieia. r:=x->cot(x/2)/si(2*x) plotfuc2d(r(x),x=0..pi/2,yrage=0..2) Zakończeie W iiejszej pracy przytoczoo tylko iewielkie fragmety zastosowaia MuPADa a lekcji matematyki. Najczęściej wykorzystywaymi procedurami, jak moża było zauważyć, są procedury graficze, procedura solve, obliczaie graic i pochodej fukcji oraz peli rolę bardzo rozbudowaego kalkulatora. MuPADa stosuję do wszystkich działów matematyki w liceum. Uważam, że program te jest doskoałym arzędziem dydaktyczym i prowadzi do lepszego zrozumieia matematyki przez ucziów. Literatura. A. Cewe, H. Nahorska, Matura Zbiór Zadań, Wydawictwo Podkowa Gdańsk Zalewska, E Stachowski, I ty zostaiesz Euklidesem, Oficya Wydawiczo- Poligraficza "ADAM", Warszawa E. Bańkowska, D. Stakiewicz, Matematyka w zastosowaiach zbiór zadań dla szkół średich Wydawictwo Podkowa Bis Gdańsk

94 4. M. Majewski, MuPAD dla iecierpliwych, Agecja Reklamowa OMEGA ART, H. Steihaus, Kalejdoskop Matematyczy Wydawictwa Szkole i Pedagogicze,Warszawa Rybak, Komputer a lekcjach matematyki w szkole średiej Wydawictwo Podkowa Bis, Gdańsk W. Krysicki, H. Pisarewska, T. Świątkowski Z Geometrią za pa brat. Wyd. Iskry Warszawa

95 Przykłady rozwiązywaia zadań z użyciem MuPADa Wprowadzeie Krzysztof Leśiak Krzysztof.Lesiak@mat.umk.pl Celem iiejszego opracowaia jest pokazaie w jaki sposób moża wykorzystać system algebry komputerowej (tutaj: MuPAD) do rozwiązywaia zadań. Dla ilustracji możliwej metodologii postępowaia wybrao kilka przykładów charakterystyczych dla auki w szkole średiej. Starao się przy tym (ie zawsze wystarczająco skuteczie) uikać trywialego podejścia polegającego a automatyzacji rachuków i rysuków. Dlatego też zadaia typu,,rozwiąż rówaie, rozwiązywae atychmiast przez komputer za sprawą pojedyczej komedy, ie staowią tu główego celu, a służą jedyie jako arzędzie rozwiązywaia bardziej rozbudowaych zagadień. Jedo z ważiejszych obecie stawiaych pytań w dziedziie użytkowaia komputerów brzmi: jak wiarygodie prowadzić obliczeia? Model obliczeń umeryczych ie zawsze wystarcza, szczególie w matematyce, gdzie wykouje się obliczeia w sposób symboliczy, a komputerów używa ie tylko do stawiaia hipotez, ale coraz częściej rówież do przeprowadzaia dowodów. Do jakiego stopia symboliczy model obliczeń oferoway przez systemy algebry komputerowej moża wykorzystywać w matematyce szkolej wspierając uczia w jego poszukiwaiach? Tego ie sposób szybko i jedozaczie oceić, ale warto próbować. Ktoś kiedyś powiedział:,,w matematyce ie ma specjalej drogi dla królów. Moża by jedak dodać:,,ale ic ie przeszkadza temu, abyśmy zaczęli budować autostradę dla wszystkich. Komedy MuPAD-a ekspoowae są zawsze w oddzielym wierszu; w tekście poprzedzoe są pioową kreską, podczas gdy w działającym a komputerze programie awiasem kwadratowym,,[. Opis wykorzystywaych komed zajduje się w systemie pomocy programu. Zakłada się u czytelika zajomość elemetów programowaia w środowisku MuPAD w zakresie p. [2]. Jak zwykle, moża rówież uruchomić program, wprowadzić podae iżej rozwiązaia i,,pobawić się modyfikując kod. W trakcie dłuższej sesji dobrze jest pamiętać o zwaliaiu zawartosci już iepotrzebych zmieych komedą delete. Zadaie Zaleźć współczyiki stechiometrycze w rówaiu reakcji wybuchu itrogliceryy x C3H5N3O9 y CO2 + z H2O + t N2 + u O2. ( [4]). Nadmiar zmieych i rozwiązań Wypisujemy zależości uklad := {3*x=y, 5*x=2*z, 3*x=2*t, 9*x=2*u} Rozwiązujemy układ rówań liiowych solve(uklad, {x,y,z,t,u}) 90

96 3 z 9 z 2 z 6 z t, u, x, y, z z Dorzucamy wartość zmieej z fukcjoującej jako parametr wartości miaowika) uklad2 := uklad uio {z=5} Rozw := solve(uklad2, {x,y,z,t,u}) {[ t 3, u 9, x 2, y 6, z 5]} Chcemy się jeszcze dostać do wartości zmieych Rozw[] [ t 3, u 9, x 2, y 6, z 5] Rozw[][4] y 6 rhs(rozw[][4]) 6 Największy wspóly dzielik? 9 (a podstawie gcd( rhs(rozw[][]), rhs(rozw[][2]), rhs(rozw[][3]), rhs(rozw[][4]), rhs(rozw[][5]) ) Dodatie? for i from to 5 do is( rhs( Rozw[][i] )>0 ) ed_for TRUE Zatem zaleźliśmy miimaly układ dodatich współczyików całkowitych. Samodzielie obieramy zmieą a parametr Zmiea x jako parametr woly solve( uklad,{y,z,t,u} ) t x, u x, y 3 x, z x Widać, że x 2 skutkuje. Zmiea y jako parametr woly Rozw := solve( uklad,{x,z,t,u} ): Rozw; Obieramy za y ajmiejszy wspóly miaowik (NWW miaowików) y := lcm(2,2,3,6) 6 for i from to 4 do prit( Rozw[][i] ) ed_for; prit( text2expr("y")=y ) t u x z y

97 Podobe zadaia Zadaie 2 Zaleźć współczyiki w rówaiu reakcji: ) hydrolizy węgliku gliu (przy produkcji metau dla celów laboratoryjych) x Al4C3 + y H2O z CH4 + t Al(OH)3 2) wyżeraia przez metaol powierzchi atyoksydacyjej a alumiium x CH3OH + y Al2O3 z Al(OCH3)3 + t H2O 3) utleiaia alkoholu w orgaizmie (reakcja w uproszczeiu) x C2H5OH + y O z CH3COOH + t H2O 4) utleiaia aftaliy x C0H8 + y O2 => z CO2 + t H2O Stolarz produkuje 2 rodzaje stolików: szachowy i ocy. Stolik szachowy kosztuje 440 zł, ale wymaga zużycia materiałów za 200 zł i wykoyway jest przez 6 godzi, podczas gdy stolik ocy kosztuje 260 zł, pochłaia materiały o wartości 00 zł, a jego wykoaie zabiera 5 godzi pracy. Stolarz pracuje tygodiowo przez 5 di po 8 godzi każdego dia i ie może wydać a materiały więcej iz 000 zł a tydzień. Wyzaczyć optymaly (ajbardziej zyskowy) pla produkcji. (Źródło: [5]). Przygotowaia koszt czas cea materiałów wykoaia produktu Stolik szachowy 200 zł 6 h 440 zł Stolik ocy 00 zł 5 h 260 zł max. 000 zł 40 h? Wypisujemy zależości dla zmieych decyzyjych: x - liczba stolików szachowych, y - liczba stolików ocych koszt := 200*x + 00*y czas := 6*x + 5*y ograiczeia jawie podae w zadaiu: ograiczeia := [koszt <= 000, czas <= 40] dołączamy waruki ieujemości (ograiczeia aturale) ograiczeia := apped( ograiczeia, x>=0, y>=0 ) i określamy fukcję celu cea := 440*x + 260*y zysk := cea - koszt Niekoiecza acz użytecza ilustracja graficza Szkicujemy obszar decyzyjy z użyciem gotowej komedy ObszarD := liopt::plot_data([ograiczeia,zysk], [x, y]): plot(obszard); 92

98 Następie szkicujemy wykres fukcji celu (zysku) przy uwzględieiu ograiczeń (a potrzeby wizualizacji poza obszarem decyzyjym zerujemy fukcję celu): zysk_ogr := proc(x,y) local zogr; begi if (x>=0) ad (y>=0) ad (200*x+00*y<=000) ad (6*x+5*y<=40) the zogr:=240*x+60*y: else zogr:=0: ed_if: retur(zogr); ed_proc: plotfuc3d(zysk_ogr, x=0..7, y=0..0, Mesh=[200,200]) Rachuki poświadczające obserwacje geometrycze Zajdujemy wierzchołki obszaru decyzyjego (wielokąta): W := liopt::corers([ograiczeia,zysk],[x,y]): Wierzcholki := W[]; 5 [0,0],[0,8],,5,[5,0] 2 Niejako przy okazji wyszukiwaia wierzchołków system zbadał gdzie realizuje się maksimum W; prit(uquoted, "Pukt realizacji maksimum (x,y)= ".W[3]); prit(uquoted, "Wartość maksymala = ".W[2]); 5 5 [0,0],[0,8],,5,[5,0],400,,5 2 2 Pukt realizacji maksimum Wartość maksymala = ( xy, ),5 2 93

99 Suche rozwiązaie Nie stosując żadych wizualizacji bezpośredio rozwiązujemy zagadieie PL (tj. programowaia liiowego) polegające a maksymalizacji zysku (wyrażoego fukcją celu) przy zadaych ograiczeiach: liopt::maximize([ograiczeia, zysk]) 5 OPTIMAL, y 5, x,400 2 Iterpretacja wyiku: w przeciągu tygodia ależy produkować 5 stolików ocych i 2 stoliki szachowe oraz dodatkowy stolik szachowy raz a 2 tygodie. Zadaie 3 Bak propouje astępujący pla oszczędzaia: i - w miesiącu oprocetowaie 5,%, - w 2 miesiącu oprocetowaie 5,2% - w każdym astępym miesiącu oprocetowaie o 0,% wyższe aż do 8 miesiąca, atomiast - w 9 miesiącu oprocetowaie 0% (oprocetowaia w skali roczej). Wyzaczyć wartość odsetek przy lokacie 0000 zł. (Źródło: [6] oferta baku BPH w 2008 r). Przygotowaia Tworzymy fukcje aliczające odsetki i wartość lokaty po miesiącu przy zadaym oprocetowaiu roczym p %. odsetki := (x,p) -> (p/00 * x) / 2 lokata := (x,p) -> x + odsetki(x,p) lokata(0000,5); float(%) Bezpośredia iteracja Zobaczmy jak arasta lokata 0000 zł w przeciągu 8 miesięcy przy stałym oprocetowaiu 5,45%. w:= 0000: p:= 5+45/00: for i from to 8 do w := lokata(w,p): prit(i,float(w)); ed_for: 94

100 , , , , , , , , A teraz przy oprocetowaiu rosącym co miesiąc o 0,% począwszy od 5,% w:= 0000: p:= 5.: for i from to 8 do w := lokata(w,p): p:=p+/0: prit(i,float(w)); ed_for:, , , , , , , , Zwróćmy uwagę a to, że symulowae wcześiej stałe oprocetowaie 5.45% staowi średią oprocetowań w systemie arastającego oprocetowaia. _plus(5+k/0 $ k=..8)/8: float(%) 5,45 Jak widać oba systemy (oprocetowaie arastające i ze średią oprocetowań) praktyczie się ie różią. Uwzględijmy jeszcze 9 miesiąc, jak w treści zadaia: w:=0000: p:=5+/0: for i from to 8 do w := lokata(w,p): p:=p+/0: prit(i, float(w)); ed_for: i:=9: p:=0: w:=lokata(w,p): prit(i,float(w)); 95

101 , , , , , , , , , Dla porówaia system ze średią oprocetowań daje p:= ( _plus(5+k/0 $ k=..8) +0 )/9: float(%) w:= 0000: for i from to 9 do w:= lokata(w,p): prit(i,float(w)); ed_for:, , , , , , , , , Policzmy jeszcze średie oprocetowaie za okres 9 miesięcy (średie oprocetowaie to ie to samo co średia oprocetowań!). Względy przyrost odsetek w stosuku do wartości wkładu początkowego: dw:= (w-0000)/0000: float(%) Procetowy przyrost odsetek w stosuku do wkładu początkowego: pdw := dw*00: float(%) Procetowy przyrost odsetek w stosuku roczym (9:2) - tzw. średie oprocetowaie: ypdw:= solve( pdw=(9/2)*y, y ); float(ypdw[]) Ogóly model ze zmieym oprocetowaiem Zaczijmy od procetu składaego (ze stałym oprocetowaiem roczym). Chcemy zaleźć odsetki od wkładu złożoego a lokacie dającej procet od sta w stosuku roczym za okres czasu liczoy w miesiącach przy kapitalizacji comiesięczej (z dołu). 96

102 NaliczOdsetki := proc(wklad,procet,czas) local odsetki, lokata; begi lokata:=wklad; for i from to czas do // odsetki przy jedorazowej kapitalizacji odsetki := lokata * (procet/00) /2: lokata := lokata + odsetki: ed_for; // suma odsetek za caly czas odsetki := lokata - wklad; retur(odsetki); ed_proc NaliczOdsetki(00,5,2): float(%) NaliczOdsetki(0000, 6.075, 9): float(%) Jak widać w systemie z arastającym oprocetowaiem dostajemy wyraźie miej iż sugeruje średie oprocetowaie, gdyby je przyjąć jako stałe oprocetowaie w stosuku roczym. Teraz chcemy aliczać odsetki wg plau z arastającym oprocetowaiem. NaliczOdsetkiWgPlau := proc(wklad,plaoproc) local odsetki, lokata; begi lokata:=wklad; for p i plaoproc do // odsetki przy jedorazowej kapitalizacji odsetki := lokata * (p/00) /2: lokata := lokata + odsetki: ed_for; // suma odsetek za caly czas odsetki := lokata - wklad; retur(odsetki); ed_proc Pla := [5+/0,5+2/0,5+3/0,5+4/0]: float(%) [5.,5.2,5.3,5.4] NaliczOdsetkiWgPlau(0000,Pla): float(%) PlaBPH := [5+k/0 $ k=..8, 0]: float(%) [5.,5.2,5.3,5.4,5.5,5.6,5.7,5.8,0.0] NaliczOdsetkiWgPlau(0000,PlaBPH): float(%) Zadaie 4 Zaleźć z dokładością do miejsca po przeciku rozwiązaie układu rówań liiowych 9,03x 9,04y 8,05x,03y 97

103 Rozwiązaie bezpośredie Podajemy układ rówań uklad := [9.03*x *y = 8,.05*x +.03*y = ] i go rozwiązujemy Rozw := solve(uklad,[x,y]); [ x , y ] Pomociczo defiiujemy fukcję obciaia liczby do miejsca po przeciku obetij := wartosc > float(truc(0*wartosc)/0) aby podać rozwiązaie zadaia x := rhs(rozw[][]): x := obetij(x): prit(uquoted, "x = ".x); y := rhs(rozw[][2]): y := obetij(y): prit(uquoted, "y = ".y); x y Upraszczamy współczyiki układu Skoro chcemy rozwiązać układ z dokładością do miejsca po przeciku zaokrąglmy jego współczyiki ukladuprosz := [9*x + 9*y = 8, *x + *y = ] Rozw := solve( ukladuprosz, [x,y] ); Hmm... rozwiązaie zikęło. Rozwiążmy asz uproszczoy układ graficzie. zakrx := 3..5: zakry := : Prosta[] := plot::implicit2d(ukladuprosz[], x=zakrx, y=zakry): Prosta[2] := plot::implicit2d(ukladuprosz[2], x=zakrx, y=zakry): plot(prosta[],prosta[2]); Wygląda a to, że po uproszczeiu układ jest sprzeczy (proste są rówoległe). Łatwo to widać odejmując stroami rówaia ukladuprosz[]; ukladuprosz[2], 9*ukladUprosz[2]; ukladuprosz[] - 9*ukladUprosz[2]; 9 x 9 y 8 x y,9 x 9 y 9 0 Przyjrzyjmy się bliżej zaikaiu rozwiązań przy zaokrąglaiu współczyików w rówaiach. Wykorzystamy do tego zmiay parametru d odzwierciedlającego stopień zaokrągleia współczyika rzeczywistego do wartości całkowitej ( d 0 98

104 - sztuczie powiększoy współczyik a miejscu po przeciku, d - peła zgodość z wyjściowym współczyikiem, d 0 - zaokrągleie współczyika do liczby całkowitej). Rozwiązaia algebraicze w zależości od parametr d uzyskujemy astępująco: ukladparam := [(9+(-d)*0.03)*x + (9+(-d)*0.04)*y = 8, (+(-d)*0.05)*x + (+(-d)*0.03)*y = ] Otrzymay wyik ma ieco skomplikowaą postać (którą tu pomijamy). Aimacja rozwiązaia graficzego w zależości od parametru d (obrao przebieg d od -0 do 0 zamiast od - do 0 żeby uwypuklić obserwatorowi zachodzące zmiay) lepiej ilustruje omawiaą sytuację iż formaly wyik ilościowy. zakrx := -0..0: zakry := -0..0: zakrd := -0..0: Prosta[] := plot::implicit2d(ukladparam[], x=zakrx, y=zakry, d=zakrd): Prosta[2] := plot::implicit2d(ukladparam[2], x=zakrx, y=zakry, d=zakrd): plot(prosta[],prosta[2]); Jak widać (a odpowiedio powiększoej aimacji) rozwiązaie,,ucieka w prawy doly róg" w miarę zaburzaia dokładych współczyików aż do,,zikięcia w ieskończoości", gdy współczyiki zaokrąglą się do całkowitych. (Powyżej ujęcia aimowaego wykresu dla trzech wartości d ). Rozwiążmy to jeszcze raz Bacziej przyjrzawszy się rozwiązaiom widzimy, że od samego początku miały oe charakter umeryczy. Pouczei,,feomeem zikających rozwiązań" rozwiązujemy asz układ jeszcze raz, tym razem symboliczie, a zaokrągleń dokoujemy dopiero a dokładych wartościach otrzymaego rozwiązaia. uklad := [(9+3/00)*x + (9+4/00)*y = 8, (+5/00)*x + (+3/00)*y = ]; Rozw := solve(uklad, [x,y]); prit(uquoted, "Z dokładością do miejsca po przeciku ". "x = ".float( obetij(rhs( Rozw[][] )) ).", ". "y = ".float( obetij(rhs( Rozw[][2] )) )); 903 x 226 y 2 x 03 y 8, x , y

105 Z dokładością do miejsca po przeciku x 4., y 3.2 Otrzymay bezpośredio a początku wyik został potwierdzoy w sposób wiarygody. Literatura. V. Hermas,,,Ecoomic Modelig, MuPAD ad some Didactical Remarks MathPAD Olie, Vol 4/ (2005); 2. M. Majewski, MuPAD dla iecierpliwych, Edukacja z TI Omega Art. 3. M. Majewski, Reflectios o the Use of Computer Graphics i Teachig Mathematics, MathPAD Olie, Vol. 4/ (2005); 4. W.W. Sawyer, W poszukiwaiu modelu matematyczego, Wiedza Powszecha Matematyka się liczy. Podręczik do kl. liceum i techikum, WSiP Bak BPH (sierpień 2008); 7. Wikipedia (edycja agielska i polska) ; e.wikipedia.org, pl.wikipedia.org. 00

106 Elemety kiematyki z programem MuPAD Wprowadzeie Leo Magiera leo.magiera@pwr.wroc.pl Kiematyka zajmuje się geometryczym opisem ruchu (przemieszczaiem się ciał względem siebie) i jest właściwie działem matematyki. Jeśli rozmiary poruszającego się ciała są małe w porówaiu z długością drogi jaką pokouje to ciało, wówczas poruszające się ciało azywamy puktem materialym. Poruszający się pukt materialy zakreśla liię (tor ruchu). Tor opisujemy zależością wektora położeia (wektora wodzącego) od czasu r r() t. Wektory prędkości i przyspieszeia są pochodymi wektora położeia względem czasu [] dr 2, dv v a d r. 2 dt dt dt We współrzędych kartezjańskich wektor położeia zapisujemy tak r r( x, y, z). Stąd składowe kartezjańskie prędkości dx dx dx vx, vx, vx. dt dt dt Podobie wyrażają się składowe kartezjańskie wektora przyspieszeia (pochode po czasie składowych wektora prędkości) dv dv x y dvz ax, ay, az. dt dt dt Wartości wektorów, czyli ich długości, Pitagorasa. obliczamy korzystając z twierdzeia v vx vy v z, 2 2 a a 2 x ay a z. Zatem dla zadaej zależości wektora położeia od czasu wiemy już, w jaki sposób obliczyć składowe kartezjańskie wektorów prędkości i przyspieszeia oraz długości tych wektorów. Wektor położeia puktu materialego może być zaday w iych układach współrzędych. Najpopulariejszymi są układy: kulisty, bieguowy i cylidryczy. Wtedy po przejściu do współrzędych kartezjańskich moża skorzystać z podaych zależości i obliczyć p. wartości prędkości czy przyspieszeia.. Składowe prędkości i przyspieszeia W iektórych problemach kiematyki iteresować as będą składowe stycza i ormala przyspieszeia oraz składowe radiala i poprzecza wektorów prędkości i przyspieszeia. 0

107 Składowa stycza wektora przyspieszeia to rzut tego wektora a kieruek wektora prędkości, a składowa poprzecza wektora przyspieszeia to rzut tego wektora a kieruek prostopadły do wektora prędkości. Składowa radiala wektora to rzut tego wektora a kieruek wektora położeia, a składowa poprzecza wektora to rzut tego wektora a kieruek prostopadły do wektora położeia. Przyjmijmy, że wektor położeia jest zaday we współrzędych bieguowych r,. Wzory opisujące składowe radiale i traswersale są dla wielu studetów trude do zapamiętaia. Oto oe: v r r a r r a r r r 2, v, r, 2. gdzie symbol kropki ad literą ozacza różiczkowaie po czasie. Pokażemy w jaki sposób - korzystając z MuPADa [2] - moża otrzymać powyższe wzory. Podstawowe czyości prowadzące do ich wyzaczeia obejmują zdefiiowaie wektorów jedostkowych i obliczeie odpowiedich iloczyów skalarych. W obliczeiach korzystać będziemy z biblioteki algebry liiowej lialg export(lialg): Wprowadzamy: a) wektor położeia x(t):=r(t)*cos(`&phiv;`(t)): y(t):=r(t)*si(`&phiv;`(t)): r_:=matrix([x(t),y(t)]): Fukcje r( t), ( t ) są współrzędymi bieguowymi wektora położeia. b) defiicje prędkości i przyspieszeia v_:=diff(r_,t): a_:=diff(v_,t): Chcemy otrzymać składowe radiale prędkości i przyspieszeia, więc potrzeby am będzie wektor jedostkowy rówoległy do wektora położeia r er. r Dla MuPADa zapiszemy to tak er_:=r_/dlugoscr_: // wektor jedostkowy dlugoscr_:=simplify((traspose(r_)*r_)^(/2)): // długość wektora położeia Teraz możemy już obliczyć składową radialą prędkości (jako iloczy skalary) vr:=simplify(traspose(v_)*er_) r( t) r( t) t 2 r( t) 02

108 Współrzęda radiala wektora położeia jest dodatia (r(t) >0), dlatego powyższy wyik moża uprościć do postaci vr r. W aalogiczy sposób obliczamy składową radialą przyspieszeia ar:=simplify(traspose(a_)*er_) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r t t r t r t t t rt () 2 Pamiętamy, że r(t)>0, dlatego powyższy wyik moża zapisać w prostszej postaci r r 2 Wyzaczymy teraz składowe traswersale wektora prędkości i wektora przyspieszeia. W tym celu zbudujemy wektor jedostkowy w kieruku traswersalym (prostopadłym do wektora położeia). Wychodzimy z iloczyu skalarego wektorów jedostkowych. e Po zróżiczkowaiu tego rówaia względem czasu otrzymujemy er er er er er 2 er 0. dt dt dt er Z ostatiej rówości widać, że wektory, er są wzajemie prostopadłe. dt r e r Iteresujący as wektor jedostkowy otrzymujemy jako wyik dzieleia wektora przez jego długość d e e dt d e W postaci zrozumiałej dla MuPADa zapisujemy powyższą zależość tak ephi_:=simplify(diff(er_,t)/(traspose(diff(er_,t))*diff(er_,t))^(/2)): Koleje kroki obliczeiowe obejmują: a) obliczeie składowej traswersalej prędkości v v e. vphi:=simplify(traspose(v_)*ephi_) dt. t 2 ( t) r( t) 2. Powyższy wyik moża zapisać jako v r. b) obliczeie składowej traswersalej przyspieszeia a a e. 03

109 aphi:=simplify(traspose(a_)*ephi_) 2 2 ( t) 2 r( t) ( t) r( t) ( t) r( t) 2 t t t t r( t) ( t) t Powyższy wyik moża zapisać w zwartej postaci a r 2 r. Otrzymamy teraz zależości opisujące składowe styczą i ormalą przyspieszeia. W tym celu wykoujemy proste przekształceia v v ev, dv dv v ev dv dev a ev v. dt dt dt dt Pierwszy składik powyższej sumy jest wektorem przyspieszeia styczego. Czyli składową styczą przyspieszeia moża obliczyć jako pochodą wartości prędkości względem czasu a t 04 dv. dt Drugi składik sumy opisuje przyspieszeie ormale poieważ wektory e v oraz e v są wzajemie prostopadłe (ich iloczy skalary zika). Widać to w po wykoaiu prostych przekształceń ee v v e e e e 2e e 0. v v v v v Oczywiście składową styczą przyspieszeia moża rówież obliczyć jako rzut wektora przyspieszeia a kieruek wektora prędkości v a. t a aev v Składową ormalą przyspieszeia obliczamy korzystając z tw. Pitagorasa a t2 aa a. Zapiszemy zależości prowadzące do wyzaczeia składowych styczej i ormalej przyspieszeia w postaci zrozumiałej dla mupada: v:=(traspose(v_)*v_)^(/2): at:=diff(v,t): lub jako rzut wektora przyspieszeia a kieruek prędkości oraz ev_:=v_/v: //wektor jedostkowy rówoległy do wektora prędkości at:=traspose(a_)*ev_: //składowa stycza przyspieszeia a:=(traspose(a_)*a_-at^2)^(/2): 2

110 lub iaczej (jako rzut wektora a kieruek ormaly do wektora prędkości) e_:=diff(ev_,t)/(traspose(diff(ev_,t))*diff(ev_,t))^(/2): a:=traspose(a_)*e_: Uwaga Do obliczaia iloczyów skalarych moża także korzystać z fukcji scalarproduct 2. Przykłady Po tym krótkim wprowadzeiu rozwiążemy dwa zadaia przykładowe. Przykład Ruch jest opisay parametryczymi rówaiami toru 2 gt x Vo cos( ) t, y Vosi( ) t. 2 Wyzaczyć składowe styczą i ormalą przyspieszeia oraz promień krzywizy toru. Rozwiązaie: W zadaiach dotyczących ruchu iejedowymiarowego warto korzystać z zapisu wektorowego. Rozwiążemy więc asze zadaie korzystając z rachuku wektorowego. Zapisujemy wektor położeia w postaci macierzy x:=v0*cos(`α`)*t: y:=v0*si(`α`)*t-g*t^2/2: r_:=matrix([x,y]): Teraz zapisujemy wektory prędkości i przyspieszeia v_:=diff(r_,t): a_:=diff(v_,t): Do obliczeia wartości prędkości i wartości przyspieszeia skorzystamy z biblioteki lialg, w której zajduje się procedura obliczaia iloczyu skalarego export(lial): assume([v0,`α`,g,t],type::real): v:=sqrt(scalarproduct(v_,v_)) g t g t v0 si( ) 2 v0 cos( ) v 0 si( ). Prostszą postać wyiku otrzymamy wydając poleceie Simplify Simplify(v) Uwaga g t si( ) g t v0 2 v 0. Długość wektora moża obliczyć bez korzystaia z procedury scalarproduct. Przykładowo dla długości wektora prędkości moża zapisać rówież tak sqrt(traspose(v_). v_): Obliczamy wartość przyspieszeia 05

111 a:=sqrt(scalarproduct(a_,a_)) Widać tu potrzebę zadeklarowaia dziedziy dla parametru g. Wprowadzamy dziedziy dla wszystkich parametrów występujących w zadaiu 2 g assume(v0>0): assume(g>0): assume(`α`,type::iterval(0,pi/2)): i obliczamy iteresujące as składowe przyspieszeia at:=simplify(diff(v,t)); g g t v0 si( ) g t si( ) g t v0 2 v a:=simplify(sqrt(a^2-at^2)); // z tw. Pitagorasa g t si( ) g t v0 2 v Simplify(a); g v0 cos( ) g v0 cos( ) g t si( ) g t v0 2 v0 Zauważmy, że procedura obliczeia pierwiastka ie została wykoaa do końca. Dla promieia krzywizy mamy. R:=Simplify(v^2/a); g v0 cos( ) g t si( ) g t v0 2 v Otrzymay wyik (ułamek) moża jeszcze uprościć Pozostał jeszcze do obliczeia promień krzywizy toru. Obliczeie wykoamy poprzez wyzaczeie składowych przyspieszeia at:=diff(v,t): a:=sqrt(simplify(a^2-at^2)): `ρ`:=v^2/a: Simplify(`ρ`) R cos t 2 2 Uwagi Promień krzywizy toru moża rówież wyzaczyć ze zaych z matematyki zależości R 2 2 (3/2) 3 ( x y ) v, xy xy v a 06

112 gdzie kropka ad symbolem fukcji ozacza różiczkowaie po parametrze. Zauważmy jeszcze, że ostatią zależość moża zapisać tak R 3 r r r. a dla MuPADa tak v^3/sqrt(scalarproduct(crossproduct(v_,a_),crossproduct(v_,a_))): Wyik obliczeń jest bardzo rozbudoway, dlatego pomijamy jego wyświetleie. Radykalie uproszczoą postać wyiku otrzymujemy poprzez zastosowaie poleceia Simplify dla wyrażeń cząstkowych `ρ`:=simplify(v^3/ sqrt(simplify(scalarproduct( Simplify(crossProduct(v_,a_)), Simplify(crossProduct(v_,a_)))))): Przykład 2 Współrzęde bieguowe poruszającego się puktu materialego mają postać gdzie r 0, b, c - stałe. r t e r b c t t 2 bt 2 0 3, 2, a) Sporządzić wykres trajektorii ruchu dla przykładowych wartości parametrów: r0, b 0.2, c 2. b) Obliczyć składowe radialą i traswersala prędkości oraz wartość prędkości. c) Wyzaczyć długość wektora przyspieszeia. d) Sporządzić wykresy zależości prędkości i przyspieszeia od czasu dla powyższych daych Rozwiązaie Wpisujemy współrzęde trajektorii r:=r0*t^2*e^(-b*t)/(+t^2): `&phiv;`:=b+c*t^(2/3): a) Do wykreśleia trajektorii ruchu korzystamy z fukcji Polar plot(plot::polar(subs([r,`&phiv;`],r0=,b=0.2,c=2.),t=0..6)) 07

113 b) Rozpoczyamy od obliczeia składowych prędkości vr:=simplify(diff(r,t)) r t e b t b t bt t 2 vphi:=r*diff(`&phiv;`,t) c r0 t e 2 3 t bt 2 Obliczeie wartości prędkości poprzedzimy zdefiiowaiem dziedzi dla parametrów assume(r0>0): assume(t>=0): v:=simplify(sqrt(vr^2+vphi^2)) bt bt r0 t e b t b t 2 4 c r0 t e t t Łatwo zauważyć, że powyższy wyik moża zapisać w prostszej postaci (wyłączeie przed pierwiastek wyrażeia 2 2bt / r e t c) Obliczamy długość wektora przyspieszeia (poprzez obliczeie jego składowych) ar:=simplify(diff(r,t,t)-r*diff(`&phiv;`,t)^2): aphi:=simplify(r*diff(`&phiv;`,t,t)+2*vr*diff(`&phiv;`,t)): a:=sqrt(simplify(ar^2+aphi^2)): Wyik obliczeń jest tu bardzo rozbudoway, dlatego rezygujemy z jego wyświetleia. d) Sporządzamy wykresy wartości prędkości i przyspieszeia plotfuc2d(subs(v,r0=,b=0.2,c=.3),t=0..6,yaxistitle="v") 08

114 plotfuc2d(subs(a,r0=,b=0.2,c=.3),t=0..6,yaxistitle="a") Podsumowaie Do rozwiązywaia zadań z kiematyki ie trzeba pamiętać wzorów, wystarczy zajomość defiicji wielkości występujących w zadaiach oraz dostęp do programu algebry komputerowej p. MuPADa i umiejętość korzystaia z jego możliwości. Literatura. Lucja Jacek, Krótki wykład z fizyki ogólej, Oficya Wydawicza Polotechiki Wrocławskiej, Wrocław 997, str Mirosław Majewski, MuPAD Pro Computig Essetials, Spriger-Verlag, Berli, Heidelberg,

115 Trzy rówoważe defiicje okręgu kostrukcje przy pomocy programu Geometry Expressios. Streszczeie Kamila Majewska Wiele współczesych defiicji i twierdzeń matematyczych arodziło się już w starożytości. Niektóre z ich pomimo długiego upływu lat adal są żywe i chętie stosowae, ie ieco odeszły w zapomieie. Sytuacja ta ma miejsce rówież w przypadku defiicji okręgu przedstawiaej ucziom już w szkole podstawowej. Artykuł ma a celu prezetację trzech różych, aczkolwiek rówoważych sobie defiicji okręgu. Praca jest także ukłoem w stroę współczesych środków dydaktyczych - prezetuje możliwość wprowadzeia pewych pojęć za pomocą programu Geometry Expressios. Wprowadzeie Grecja była jedą z pierwszych, a zarazem główych kolebek rozwoju starożytej cywilizacji. Już wówczas dbao o rozwój wszelkich aspektów życia - zarówo cielesych, jak i umysłowych. Skutkiem takiej postawy był ciągły rozwój sztuki, kultury, a także auki. To starożytość dała podwaliy wielu współczesym dziedziom auki, także matematyce. W uczoych głowach postawały ituicje matematycze, twierdzeia, a także defiicje aktuale do dia dzisiejszego. W tym czasie rozwięły się rówież trzy róże, aczkolwiek rówoważe defiicje okręgów. Najstarsza z ich pochodzi z VI wieku p..e. jej sformułowaie przypisuje się Talesowi2. Druga defiicja jest dziełem Euklidesa3( III wiek p..e.), zaś trzecia ależy do Apoloiusza4 (II wiek p..e. ). Najczęściej używaą, a co za tym idzie ajbardziej zaą defiicją jest defiicja Euklidesa, popularyzowaa przez współczese podręcziki szkole. Oczywiście środki jakie w swojej pracy wykorzystywał 2 Tales z Miletu( ur. ok. 624 p..e., zm. ok. 545 p..e. ), starożyty grecki filozof, matematyk, astroom, iżyier, polityk, podróżik i kupiec, zaliczay do siedmiu mędrców starożytej Grecji, uzaway za twórcę podstaw auki i filozofii europejskiej. Tales prowadził badaia ad udowodieiem swoich twierdzeń oraz twierdzeń wcześiej postawioych przez matematyków egipskich, dając podstawy auce przez zapoczątkowaie systematyczej rozbudowy pojęć i twierdzeń geometryczych. Przypisuje się mu wiele twierdzeń z geometrii współczesej. 3 Autor pierwszych prac teoretyczych z matematyki. Główe jego dzieło to Elemety ( traktat arytmetyczy i geometryczy, obejmujący swym zakresem podstawowe zagadieia obu tych auk). Elemety są pierwszą próbą aksjomatyczego ujęcia geometrii i były podstawowym podręczikiem geometrii do XIX wieku. 4 Apoloiusz z Pergi, żył ok. 260 p..e. - ok. 90 p..e., matematyk i astroom grecki, iteresował się główie geometrią a zwłaszcza krzywymi stożkowymi. Napisał traktat Κωνικά (Koika - "Stożkowe"), w którym opisuje i adaje azwy takim krzywym jak elipsa, parabola i hiperbola, już w starożytości azywao go "Wielkim Geometrą". 0

116 Euklides zaczie odbiegają od tych używaych w dzisiejszej szkole. Współczesy auczyciel ma szeroką gamę wyboru. Jedą z możliwości jest oczywiście komputer z odpowiedim oprogramowaiem. Kocepcja jaką prezetuję bazuje a programie Geometry Expressios umożliwiającym dyamiczą wizualizację rozważań geometryczych. Program Geometry Expressios został opracoway przez grupę Saltire Software, umożliwia o pracę zarówo pod systemem Widows jak i w rodziie systemów Liux. Trzy róże spojrzeia a defiicję okręgu Z uwagi a przyzwyczajeia szkole zrezygujmy z chroologii historyczej i rozpoczijmy od defiicji szkolej. Rys. Rys. Rys. 2 Rys. 3 Defiicja (okrąg Euklidesa) Okręgiem o daym środku C i promieiu r azywamy zbiór wszystkich puktów płaszczyzy P, których odległość od środka C jest rówa długości r daego odcika. Program Geometry Expressios umożliwia prezetację tej defiicji okręgu.. Korzystając z opcji Elemety zazaczmy pukt C środek przyszłego okręgu. 2. Prowadzimy odciek o początku w pukcie C, zaś końcowi odcika przypisujemy pukt P. 3. Zazaczmy odciek CP i korzystając z podmeu Deklaracje określamy długość odcika rówą r. Aby arysować dowoly pukt okręgu Euklidesa o środku C i promieiu r moża postąpić astępująco. 4. Korzystając z podmeu Elemety zazaczamy dowoly pukt Q a płaszczyźie. 5. Prowadzimy odciek CQ o początku w pukcie C, zaś końcowi odcika przypisujemy pukt Q. 6. Zazaczmy odciek CQ i korzystając z podmeu Deklaracje określamy długość odcika rówą r, program samodzielie dopasuje długość odcika CQ. Aby arysować cały okrąg ( wszystkie pukty) moża wykoać astępujące kroki. 7. Mierzymy kąt pomiędzy odcikiem CP i CQ, w tym celu korzystamy z podmeu Deklaracje. W wyiku tego działaia program wprowadzi zmieą θ wyrażającą wielkość tego kąta. 8. Dzięki opcji Miejsce geometrycze dostaiemy obraz drogi jaką przebędzie pukt Q w zależości

117 od kąta θ (Rys.2). W tym celu zazaczamy pukt Q i defiiujemy wartości, jakie θ może przyjmować (patrz Rys.3) Program umożliwia także aimację ruchu puktu Q (mamy komputerowy cyrkiel), co wśród ucziów budzi ajwiększe zaiteresowaie. W tym celu ależy w opcji Zmiee zazaczyć zmieą Ѳ i za pomocą ituicyjych strzałek uruchomić aimację. Defiicja 2 (okrąg Talesa) Okręgiem o średicy AB azywamy zbiór utworzoy z puktów A i B oraz wszystkich puktów P płaszczyzy takich i tylko takich, dla których kąt APB jest kątem prostym. Rys. 3 Droga puktu P Rys. 4 Na początek spróbujmy arysować pojedyczy pukt P okręgu Talesa o średicy AB. W Geometry Expressios moża zrobić to w astępujący sposób.. Odkładamy odciek AB korzystając z opcji Odciek w podmeu Elemety. 2. Z dowolie wybraego puktu P prowadzimy odciki PA i PB. 3. Za pomocą meu Deklaracje ustalamy kąt pomiędzy tymi odcikami jako kąt prosty. Program samodzielie dostosuje długości odcików PA oraz PB. 4. Aby arysować cały okrąg jako miejsce geometrycze puktów wystarczy zmierzyć kąt pomiędzy odcikami AB i AP. Rys Zazaczamy pukt P i rysujemy jego miejsce geometrycze, w zależości od kąta θ podając zakres jego zmieości (wystarczy że θ zmieia się od 0 do 80 ). Kostrukcję puktu P okręgu Talesa o średicy AB moża przeprowadzić ieco iaczej (podejście kostrukcyje).. Przez koiec A średicy prowadzimy dowolą prostą. 2. Obliczamy kąt pomiędzy średicą AB i tą prostą. 3. Kostruujemy prostopadłą przechodzącą przez drugi koiec B średicy. 4. Pukt przecięcia tych dwóch prostopadłych prostych jest szukaym puktem P okręgu Talesa. W tym przypadku okrąg Talesa jako miejsce geometrycze puktów P rysujemy jak poprzedio. w obu przypadkach moża pokazać aimację rysowaia okręgu. Co ma wspólego okrąg Talesa o średicy AB z okręgiem Euklidesa? Oczywiście prawdziwe jest astępujące twierdzeie. Okrąg Talesa o średicy AB jest okręgiem Euklidesa, którego środkiem jest środek C odcika AB, a promień r jest rówy. 2

118 Fakt te moża wykazać metodami geometrii szkolej. Istotie, jeśli dowoly pukt P płaszczyzy (róży zarówo od A jak i od B) jest odległy od C o r, to kąt PAC jest rówy kątowi APC, zaś kąt CPB jest rówy kątowi CBP, bo kąty aprzeciw rówych boków w trójkącie są sobie rówe. Zatem kąt APB jest kątem prostym, gdyż suma kątów w trójkącie APB wyosi 80, co dowodzi, że pukt P jest puktem okręgu Talesa o średicy AB. Odwrotie, załóżmy że pukt P płaszczyzy jest takim puktem, że kąt APB jest kątem prostym. Prowadząc przez pukty A i B proste rówoległe odpowiedio do PB i PA otrzymamy czworokąt który jest prostokątem ( patrz Rys.6 ). A poieważ przekąte prostokąta połowią się to pukt P jest puktem okręgu Euklidesa o środku w pukcie C i promieiu długości r =. Rys. 6 Oczywiście przedstawioe tu rozumowaie moża zweryfikować eksperymetalie w programie Geometry Expressios. Defiicja 3 (okrąg Apoloiusza). Okręgiem wyzaczoym przez odciek AB oraz pukt M ie leżący a jego symetralej ( rówoważie dwa pomocicze odciki różych długości a = AM oraz b = BM ) azywamy zbiór wszystkich puktów P płaszczyzy takich, że stosuek ich odległości od końca A do odległości od końca B daego odcika jest rówy stosukowi (= ). Rys. 7 t Na początek spróbujmy arysować w Geometry Expressios pojedyczy pukt P okręgu Apoloiusza wyzaczoego przez odciek AB i pukt M. Moża zrobić to astępująco.. Korzystając z meu Elemety odkładamy odciek AB, rysujemy symetralą t tego odcika i wybieramy pukt M ie ależący do tej symetralej. 2. Mierzymy długości odcików AM i BM, adając im wartości odpowiedio a i b. 3

119 3. Zazaczamy dowoly pukt P, rysujemy odciek AP i mierzymy jego długość x. 4. Rysujemy odciek PB i adajemy mu długość y = (wtedy oczywiście = ). Program automatyczie dopasuje położeie puktu P. Aby arysować cały okrąg Apoloiusza ( wszystkie pukty P ) wystarczy zmieiać wartości x długości odcika AP ( patrz Rys. 8). Moża także obserwować aimację rysowaia okręgu dobierając zakresy x. Rys. 8 Co okrąg Apoloiusza ma wspólego z poprzedimi okręgami? Z eksperymetu widzimy, że okrąg Apoloiusza przecia prostą AB w dwóch puktach. Pukty te łatwo skostruować. Niech K będzie puktem przecięcia dwusieczej kąta wewętrzego przy wierzchołku M trójkąta AMB z prostą AB, zaś L puktem przecięcia dwusieczej kąta zewętrzego tegoż trójkąta przy tym samym wierzchołku. Wtedy, odpowiedio z twierdzeia o dwusieczej kąta wewętrzego i zewętrzego w trójkącie mamy = = i = =. Ozacza to, że pukty K i L są puktami okręgu Apoloiusza, leżącymi a prostej AB. Co więcej, dwusiecze te są do siebie prostopadłe, a zatem pukt M jest puktem okręgu Talesa o średicy KL. Jeśli P jest dowolym puktem aszego okręgu Apoloiusza, to możemy dla iego powtórzyć aalogicze rozumowaie jak dla puktu M. Odpowiedie dwusiecze przetą prostą AB w tych samych puktach K i L (wyika to z jedozaczości podziału w daym stosuku). A zatem każdy pukt aszego okręgu Apoloiusza jest puktem okręgu Talesa o średicy KL. Moża udowodić, że wyikaie odwrote jest także prawdziwe, co z uwagi a koieczość prowadzeia dłuższych rozważań tu pomiiemy. Ostateczie mamy więc twierdzeie. Okrąg Apoloiusza wyzaczoy przez odciek AB i pukt M jest okręgiem Talesa o średicy KL. 4

120 Twierdzeie to daje wiele techiczych możliwości rysowaia okręgu Apoloiusza, wystarczy zastosować to co robiliśmy wcześiej. Zakończeie Na zakończeie warto także wspomieć o podejściu aalityczym, które umożliwia program. Zilustrujemy to właśie w ajbardziej skomplikowaym przypadku okręgu Apoloiusza.. Dzięki możliwości wykoywaia rachuków symboliczych w programie moża szybko wyzaczyć wzór okręgu, a także jego środek i promień. W tym celu wprowadzamy współrzęde puktów A i B. Dla uproszczeia przyjmijmy, że współrzęde puktu A = (0,0) zaś B = (v,0). 2. Zazaczamy miejsce geometrycze wyzaczoe przez pukt P, a astępie korzystamy z podmeu Wyliczeia. Przy pomocy opcji Rówaie uwikłae wyzaczmy rówaie okręgu (Rys.9). Rys. Rys. 9 t 3. Korzystając z opcji Deklaracje rysujemy okrąg o rówaiu wcześiej wyzaczoym (dla przejrzystości, aby rysuek był cały czas czytely zostały ukryte pewe jego elemety ) ( Rys. 0) 4. Program samodzielie wyzaczy am środek C okręgu. Zauważmy, że do wyzaczoego w te sposób koła ależy odpowiedio pukt A lub pukt B zależy to od położeia puktu M (jeżeli pukt M zajduje się po lewej stroie prostej t czyli długość odcika AM < BM to do koła ależy pukt A (rys. 0), jeśli atomiast AM > BM to koło zawiera pukt B). Rys. 0 Literatura. Eryk Kurcius, Rówoważe defiicje okręgu, kwartalik Matematyka i komputery, r 5. 5

121 2. Jerzy Bedarczuk, Urok przekształceń afiiczych, Biblioteczka Matematycza, r. 36, Warszawa Materiały pobrae ze stroy dia

122 O pożyczkach, długach i przewidywaiu przyszłości z Excelem w tle Wprowadzeie Mirosław Majewski majewski@mupad.com Niewiele mamy programów komputerowych tak bardzo użyteczych i tak mało doceiaych przez auczycieli matematyki jak Excel. Mamy go a każdym komputerze, jest więc zawsze dostępy do użycia, a stosujemy go iezmierie rzadko lub wcale. Główym celem tego krótkiego tekstu jest pokazaie jak Excel może być wykorzystay w auczaiu matematyki w szkole średiej, rówież a uczeli wyższej, i do jakich problemów możemy go stosować. Tekst te ie jest przewodikiem po Excelu czy samouczkiem Excela. Nie pokazuję tu jak używać programu. Pokazuję atomiast jaką matematykę możemy w im uprawiać i z jakim skutkiem. Drugim, iejako uboczym celem tego tekstu jest pokazaie pewych zagadień matematyki stosowaej, które zyskują w zachodich szkołach dużą popularość jako tzw. quatitative reasoig, czyli po polsku umiejętość wioskowaia ilościowego. W wielu szkołach a średim poziomie, gdzie ucziowie są bardzo słabi lub ze względu a ich specjalość ie potrzebują tradycyjej matematyki, wioskowaie ilościowe uważa się za ajbardziej iezbędy i bardzo praktyczy kawałek matematyki, którą uczeń powiie opaować. O istocie Excela Excel jest arzędziem o dość wyrafiowaej i zarazem przedziwej kocepcji. Mamy tu kolumy i wiersze komórek, z których każda może służyć do przechowaia liczb, wzorów lub po prostu tekstu. Jeśli komórka zawiera wzór, to to co widzimy a ekraie ie jest wzorem, ale wartością tego wzoru obliczoą dla aktualych wartości jego składików. Tu warto zwrócić uwagę a to, że w Excelu mamy zawsze do czyieia z obliczeiami a liczbach i igdy ie mamy do czyieia z operacjami symboliczymi. Każda z komórek w Excelu ma swój adres, p. A7, B34, HH245, co ozacza odpowiedio komórkę w kolumie A i 7 wierszu, komórkę w kolumie B i wierszu o umerze 34 oraz komórkę w kolumie HH i wierszu 245. Adresy komórek mogą być używae we wzorach, p. w komórce A możemy mieć wzór =(A2+B3)*D4, co ozacza dodaj zawartość komórek A2 i B3, a otrzymay wyik pomóż przez to co jest w komórce D4. Wyik otrzymay z użyciem tego wzoru będzie pokazay w komórce A, czyli tam gdzie jest asz wzór. Jeśli takowy wyik ie istieje, gdyż p. zawartość jedej z komórek jest tekstem, to pokazae zostaie wyrażeie #VALUE! sugerujące, że coś się ie dało policzyć. Domyślamy się już, że komórki do 7

123 których odosi się asz wzór w A mogą zawierać odiesieia 5 do iych komórek, tamte do jeszcze dalszych, itd. W te sposób mogą się tworzyć awet bardzo długie łańcuchy odiesień. Istote jest jedak to, że za każdym razem jak zmieimy wartość lub wzór w jedej z komórek takiego łańcucha, to Excel przelicza zawartość wszystkich komórek, aby uwzględić poczyioe zmiay. Ta bardzo iteresująca własość pozwala a prowadzeie iteraktywych eksperymetów, co za chwilę zobaczymy w dalszych częściach tego artykułu. Drugą, iezwykle ważą cechą Excela jest to, w jaki sposób program wykouje kopiowaie zawartości jedej komórki do iej. Jeśli kopiowaa komórka zawiera odiesieia do iych komórek, to Excel ie zachowuje adresów tych komórek, a zamiast tego zachowuje kieruki i odległości. Przypuśćmy dla przykładu, że asz wzór zawierał odiesieie do komórki zajdującej się o 2 rzędy powyżej i trzy kolumy w lewo. Po skopiowaiu takiego wzoru a ie miejsce, te sam wzór w owym miejscu będzie odwoływał się dalej do komórki zajdującej się o 2 rzedy powyżej i trzy kolumy w lewo względem owego miejsca. Dla przykładu, wzór =A23+A7 po przeiesieiu go o 2 rzędy w dół i dwie kolumy w prawo będzie miał astępującą postać =C25+C9. Ta waża własość pozwala utworzyć wzór i potem go skopiować w ie miejsca ale tak, aby cały czas zachowywał relacje z otoczeiem. Dla przykładu, jeśli asz wzór jest sumą liczb z jakiejś kolumy tabeli, to skopiowaie go do sąsiedich komórek utworzy wzory sumujące ie kolumy tej samej tabeli. O stałych i zmieych We wzorach tworzoych w Excelu możemy mówić o dwóch typach podstawowych składików: stałe i zmiee. Stała jest iczym iym jak odwołaiem do komórki posiadającej własą azwę lub wtedy, gdy odwołujemy się z użyciem zaku $, p. $A$23. Każde odwołaie do iej komórki bez użycia zaku $ tworzy zmieą. Możemy rówież mówić o jakby zmieych ograiczoych, czyli sytuacjach kiedy używay tylko jedego zaku $, p. $A23, lub A$23. Co to wszystko zaczy? Wzór zawierający odiesieie z podwójym zakiem $ zachowa to odiesieie, bez względu a to, gdzie go skopiujemy. Dla przykładu wzór =3*x+2*y lub =3*$A$2+2*$C$5 pozostaie tym samym wzorem po skopiowaiu. Natomiast wzór bez użycia azw lub ie zawierający odwołaia z podwójym $ zmiei odwołaia tak, aby zachować relacje z otoczeiem, czyli zachowa kieruki i odległości. Odwołaia z jedym zakiem $ są zmieymi o ograiczoej swobodzie. Oto kilka przykładów: =A+B - w tym przypadku A i B są zmieymi, =x+a w tym przypadku x jest stałą a A zmieą, =$A+B$ w tym przypadku $A jest zmieą, która może przyjmować dowole odwołaia w zakresie kolumy A, atomiast B$ może przyjmować odwołaia do komórek zajdujących się w rzędzie o umerze. 5 Odiesieia często azywa się referecjami lub odwołaiami. 8

124 Rysuek. pokazuje jak to wygląda w praktyce. Na rysuku pokazao trzy wzory zdefiiowae z użyciem stałych i zmieych oraz ich kopie w dwóch różych miejscach obok z prawej stroy i poiżej. W te sposób możemy sprawdzić jak się zachowują stałe i zmiee o ograiczoej swobodzie. Na tymże rysuku komórka ozaczoa żółtym tłem została azwaa jako x. To do iej kierują się wszystkie odwołaia zawierające tę azwę, p. =x+a. Rys. Zmiee i stałe we wzorach Excela (komórka C jest stałą x) Modele ciągów i fukcji Zaim zajmiemy się rzeczami, które zostały zapowiedziae we wstępie, przyjrzyjmy się jeszcze przez chwilę kocepcji ciągów i fukcji w Excelu. Na początek zauważmy, że będziemy rozróżiać pomiędzy obiektami matematyczymi, takimi jak ciągi czy fukcje, i ich implemetacjami w Excelu. To co reprezetuje obiekt matematyczy w Excelu azywać będziemy modelem daego obiektu. A więc będziemy mówić o modelu ciągu czy fukcji. Dlaczego tak jest zaraz zobaczymy a przykładach. Na początek zauważmy, że poieważ Excel zawsze operuje a wartościach liczbowych dyskretych, to fukcja w Excelu jest reprezetowaa przez dyskrety ciąg swoich wartości dla wybraych elemetów z dziedziy fukcji. W te sposób modele fukcji w Excelu będą bardzo podobe do modeli ciągów. Jedya subtela różica może polegać a tym, że modele ciągów bedą zawsze używały jako argumetów liczb całkowitych, podczas gdy modele fukcji mogą używać jako argumetów dowolych liczb wymierych przedstawioych w postaci dziesiętej. 2 Rysuek 2. pokazuje przykład modelu ciągu a oraz fukcji y si 2x cos3x w Excelu. Obok, z prawej stroy, pokazao wzory użyte do stworzeia tych modeli. 9

125 Rys 2. Model ciągu i fukcji utworzoy w Excelu Zrobieie wykresu dla każdego z tych modeli jest idetyczą procedurą. W każdym przypadku używamy tego samego typu wykresu (scatter plot). Rysuek 3. przedstawia wykresy obu modeli. Ze względu a to, że wyrazy ciągu szybko osiągają duże wartości, wykres został ograiczoy do przedziału 0 x 6. Rys 3. Wykres ciagu a = 2 i fukcji y=si2x+cos3x Oczywiście o modelowaiu ciągów i fukcji w Excelu moża powiedzieć dużo więcej i my to zrobimy za chwilę, ale a kokretych zastosowaiach. 20

126 Przychody i wydatki Zaczijmy a początek od prostego przykładu. Przykład Pewego dia Jaś Malutki, uczeń szkoły podstawowej, zastaawiał się jak zdobyć pieiądze a smakołyki. Zauważył w klasie, że różi ucziowie używają zakładek do książek. Mama poradziła więc Jasiowi, aby zaczął robić takie zakładki i sprzedawać je w klasie. W te sposób Jaś mógłby zarobić a łakocie. Tu pojawił się jedak problem czy takie zakładki to rzeczywiście dobry iteres? Jak to sprawdzić? Jaś wziął się systematyczie do aalizy przedsięwzięcia. Oczywiście robił to w Excelu, bo tam są takie wygode kratki. No więc mamy a początek wydatki:. Nożyczki: 6 zł 2. Kredki do malowaia zakładek: 2 zł 3. Karto a wyprodukowaie 0 zakładek: 0.80 zł Dalej astępuje to co dobre, czyli zyski.. Sprzedaż 0 zakładek: 5 zł A teraz pojawia się ajważiejsze pytaie od jakiego mometu Jaś zaczie rzeczywiście zarabiać? W tym celu Jaś stworzył dwa wzory: Wzór wydatków: , gdzie jest liczbą wykoaych zakładek liczoych w dziesiątkach. Wzór zysków: 5, gdzie jest liczbą wykoaych zakładek liczoych w dziesiątkach. Teraz wystarczy zrobić wykres i zobaczyć jak wyglądają obie fukcje. Rys 4. Model i wykres wydatków i przychodów Jasia Teraz Jaś wiedział już, że po wykoaiu około 40 zakładek przychody będą większe iż wydatki i zaczie się zarabiaie pieiędzy. No dobrze, a dokładie kiedy? A ile trzeba zarobić zakładek, aby została kwota 5.50 zł potrzeba a lody? Tu Jaś poszperał w Excelu i zalazł dość ciekawe arzędzie goal seek. Należało gdzieś a boku utworzyć sobie pomociczy warsztat i zastosować goal seek (w polskiej wersji Excela arzędzie to ma ic ie zaczącą azwę szukaj wyiku ). Wyik pokazuje, że po wykoaiu 43 zakładek wytwarzaie zakładek zaczie przyosić zysk. 2

127 Natomiast a pierwsze lody Jaś zarobi, gdy wykoa 56 zakładek, co zowu goal seek policzył w mgieiu oka. Kometarz Zauważmy ilu rzeczy ucziowie auczą się z tak prostego przykładu. Mamy tu umiejętości zarówo atury ekoomiczej pozajemy co to są koszty stałe, koszty zmiee, fukcja kosztów, fukcja przychodów i fukcja zysku. Pozajemy rówież bardzo istote pojęcie ekoomicze, tzw. break-eve poit, czyli pukt w którym zaczya się rzeczywisty zysk. Z umiejętości matematyczych ucziowie dowiedzą się jak zbudować model fukcji w Excelu, jak zaleźć pukt przecięcia się dwóch takich fukcji. Do tego dochodzą jeszcze umiejętości iej atury model utworzoy w Excelu, w zależości od tego jak zostaie skostruoway, może posłużyć do wielu ciekawych eksperymetów. W aszym przykładzie, Jaś może sprawdzić co się staie jak uda mu się kupić tańsze ożyczki, lepszy ale droższy karto, kredki iej firmy. Każda taka zmiaa w modelu pokaże co się staie z obiema fukcjami, gdzie przetą się w owych warukach. Tylko obliczeia wykoae za pomocą arzędzia goal seek trzeba będzie powtórzyć, bo Excel ich ie przeliczy poowie. Z dydaktyczego puktu widzeia możemy zaobserwować fukcjoowaie zasady białej i czarej skrzyki, tym razem awet w różych odcieiach. To co się dzieje w Excelu, gdy tworzymy fukcje i experymetujemy z imi, jest bardzo przezroczystą skrzyką możemy obserwować mechaizmy działaia procesów obliczeiowych. Gdybyśmy tu zastosowali zwykłe matematycze rozwiązaie rówaia ( 6 2) to otrzymamy zaczie miej przezroczystą skrzykę iż model w Excelu. Wreszcie to co zrobi dla as goal seek jest już typową czarą skrzyką, ale w tej sytuacji raczej ie ma lepszego rozwiązaia, jeśli ie chcemy wyjść z obliczeiami poza Excel. Tu zdecydowaie warto zazaczyć, że z dydaktyczego puktu widzeia Excel jest zaczie miej kłopotliwy dla auczyciela w użyciu iż p. dowoly CAS. Tam większość poleceń to typowe czare skrzyki i auczyciel musi się ieźle apracować, aby process auczaia ie stracił a wartości. Ciągi rekurecyje Pójdźmy teraz kawałek dalej. Przykład 2 Po jakimś czasie Jaś Malutki stwierdził, że ma w szufladzie 000zł zarobioych a zakładkach i zaczął się zastaawiać co zrobić, aby te pieiądze też przyosiły mu zysk. Słyszał od rodziców o iflacji i wiedział już, że jego zarobki tracą a wartości, jeśli leżą w szufladzie. Przy kolacji rozmawiając z rodzicami i bratem dostał od ich astępujące propozycje: Brat zaoferowal Jasiowi, że pożyczy od iego te pieiądze a rower, a po 3 latach zwróci Jasiowi jego pieiądze i dołoży mu jeszcze 20 zł za każdy rok pożyczki. Tata zapropoował Jasiowi podoby układ, rówież a 3 lata, z tym że co roku dołoży Jasiowi 2% aktualej wartości pożyczki. 22

128 Kometarz Mama zapropoowała ieco zmieioą ofertę taty, dokładając Jasiowi co miesiąc % aktualej wartości pożyczki. Którą ofertę Jaś powiie wybrać? Każda z tych ofert wygląda bardzo podobie, prawie idetyczie. Jak przedtem, tak i teraz, Jaś postaowił sprawdzić w Excelu, która oferta jest lepsza. Po utworzeiu w arkuszu trzech kolum z odpowiedimi wzorami, Jaś otrzymał model problemu wraz z rozwiązaiem. Poiżej pokazujemy to rozwiązaie oraz wzory w im użyte (lewy góry róg modelu, te z kwotą 000, ma położeie A). Model pokazuje, że oferta mamy była ajlepsza. Zauważmy, czego tym razem auczą się ucziowie? Mamy tu do czyieia z ciągami zadaymi w postaci rekurecyjej. Pojęcie rekursji jest dość trude do wytłumaczeia w szkolej matematyce, podczas gdy tutaj występuje w sposób zupełie aturaly i właściwie iczego ie trzeba tłumaczyć. Wystarczy zwrócić uwagę jak te trzy ciągi zostały utworzoe, aby uczeń zrozumiał istotę rzeczy. Jak w prawie każdym przypadku, wykres pokazuje jak asz model fukcjouje. Możemy aoczie przekoać się, że pozorie te sam procet liczoy w skali roczej i miesięczej, daje zupełie róże wyiki. Rys 5. Model zysków Jasia z pożyczki (z prawej stroy wzory użyte w tym modelu) 23

129 Rys 6. Wykres zysków Jasia z pieiędzy pożyczoych rodzicom i bratu Ile to będzie warte w przyszłości? Z tego miejsca możemy pójść jeszcze kawałek do przodu i skomplikować asz problem jeszcze bardziej. Przykład 3 Po zastaowieiu się Jaś uzał, że żade z propoowaych przez rodziców i brata rozwiązań ie satysfakcjouje go w pełi. Dlaczego? Za jakiś czas, kiedy zyski z wytwarzaia zakładek zaczą się zowu gromadzić w szufladzie, trzeba będzie poowie zastaawiać się co z imi zrobić. Tu Jaś zwrócił uwagę a okolicze baki i zaczął zastaawiać się, jak fukcjouje system oszczędzaia pieiędzy w takim baku i dlaczego baki tak chętie pożyczają pieiądze ludziom? Dość prosty model, rówież wykoay w Excelu pokazał, że systematycze oszczędzaie przyosi zyski stroie oszczędzającej. Kostruując swój model, Jaś postaowił przeaalizować osobo co się będzie działo z depozytem początkowym i miesięczymi wpłatami. W tym celu utworzył trzy kolumy: depozyt, wpłaty i razem. Oto co otrzymał aalizując tylko dwa lata, przy założeiu, że oprocetowaie kota jest w skali 0.5% miesięczie (czyli 6% roczie): 24

130 Sta kota Rys 7. Model kota bakowego za okres 24 miesięcy No i jeszcze wykres otrzymaych ciągów. 4000, , , , ,00 500,00 000,00 500,00 0,00 Aaliza stau kota bakowego Depozyt Wpłaty Razem miesiące Kometarz Rys 8. Wykres staów kota bakowego w okresie 24 miesięcy W tym przykładzie mamy dość sporo iteresujących iformacji. Na początek zauważmy, że otrzymae tu rozwiązaie może być wyrażoe wzorem: 25

131 A A 0 ( i) gdzie: A 0 ozacza wpłatę poczatkową, A -sta kota w miesiącu, i -stopę procetową oraz F- wpłaty miesięcze. Prawa część wzoru zawiera sumę dwóch wyrażeń: pierwsze z ich odpowiada kolumie Depozyt w modelu Excela, atomiast drugie, to z F, odpowiada kolumie Wpłaty. Zwróćmy uwagę a to, że ituicje przekształcoe we wzory matematycze mogą prowadzić do zaczie bardziej skomplikowaych rozwiązań iż te wyikające bezpośredio z logiki sytuacji. Wzory rekurecyje zastosowae w aszym modelu są zaczie prostsze iż wzór matematyczy pokazay powyżej. Niezwykle ciekawe jest to co pokazuje otrzymay wykres. Tu widać wyraźie, że sta kota bakowego jest budoway przez systematycze oszczędzaie, a ie depozyt jedorazowy. Otrzymay tu model jest bardzo elastyczy. Praktyczie możemy użyć go w każdej sytuacji związaej z oszczędzaiem czy pożyczaiem pieiędzy w/z baku. Dla przykładu założeie, że kwota wpłacoa a początku jest ujema odpowiada sytuacji, kiedy pożyczamy pieiądze z baku i oddajemy je w ratach. To prowadzi do iteresujących problemów, p. ile musimy wpłacać miesięczie, aby spłacić dług w ciągu określoej liczby miesięcy lub lat? Jakie musiałoby być oprocetowaie, abyśmy byli w staie spłacić dług w realym czasie, z realymi wpłatami? Wreszcie warto rozważyć jeszcze ią sytuację. Możemy założyć, że wpłacamy a początku określoą sumę a określoy procet i wybieramy co roku pewą stałą kwotę. Pytaie a ile lat to am starczy i ile aprawdę otrzymamy z baku? Wreszcie asz model moża tak zmodyfikować, aby moża było za każdym razem wpłacać ią kwotę i uwzględić zmieiające się oprocetowaie kota. Podobe modele możemy kostruować dla wielu iych sytuacji, iekoieczie związaych z ekoomią. Możemy w te sposób skostruować modele zaych ciągów, p. ciągu Fiboacciego F,, ciągu Lucasa L, i wielu iych. Mając takie modele możemy sprawdzać własości tych ciągów, p. L =F -+F +, 5F =L -+L +, itd. W gąszczu ograiczeń Na zakończeie przyjrzyjmy się jeszcze jedemu przykładowi, który z puktu widzeia matematyki szkolej jest uważay za bardzo skomplikoway. Modele budowae w Excelu pozwalają a bardzo ituicyje rozwiązaia w wielu prostszych przypadkach. 26 F Przykład 4 Produkcja zakładek rozwijała się coraz lepiej. Ja Trochę Większy zaczął produkować dwa rodzaje zakładek kartoowe, te po 5 zł za 0 sztuk oraz metalowe z wytłaczaym wzorem, po 25 zł za 0 sztuk. Brat i koledzy pomagali w wytłaczaiu i malowaiu zakładek. Sklepy w miasteczku składały regulare zamówieia po co ajmiej 200 zakładek kartoowych i tyle samo metalowych kupowaych główie przez turystów. Koszt kartou i farby a zakładki kartoowe był 0.80 zł za 0 sztuk, atomiast koszt ciekiej blachy a te metalowe wyosił 3.5zł od arkusza a 0 sztuk zakładek. Pewego dia Ja Trochę Większy zastaawiał się ad ograiczeiami w produkcji zakładek. Zasoby pieiędzy a zakup materiałów i ograiczoy czas a ich wykoywaie oraz popyt sprawiały, że trzeba było ostrożie plaować produkcję. Ja mógł przezaczyć miesięczie 250 zł a materiały, koledzy i brat mogli pomagać parę razy w tygodiu, ale ie więcej iż 50 godzi tygodiowo razem. Wykoaie 0 zakładek każdego typu wymagało około pół godziy. Problem Jaa polegał tym razem a tym, aby ( i) i

132 zdecydować ile zakładek każdego typu tygodiowo będzie robioe, aby zapewić sobie ajwyższy zysk wykorzystując optymalie pieiądze i czas pracy. Rozwiązaie problemu Ja rozpoczął od sformułowaia rówań. Zakładając, że x ozacza liczbę zakładek papierowych produkowaych w dziesiątkach, a y liczbę zakładek metalowych, Ja sformułował ierówości: 0.8x 0.5x x y y 0.5y Dwie pierwsze odzwierciedlają zamówieia ze sklepów, trzecia ierówość opisuje ograiczeia fiasowe Jaa, a ostatia czas Jaa i kolegów a pracę. Wreszcie ależało wyrazić zysk jako fukcję obu zmieych: zysk 5 x 25y. Sformułowaie rówań iewiele pomogło, dlatego Ja postaowił zobaczyć jak to wygląda a rysuku. To dało się zrobić stosukowo prosto w Excelu. Wystarczyło zrobić wykres brzegu obszaru każdej z ierówości, zakładając przy tym, że obie zmiee mogą przyjmować wyłączie wartości dodatie. Oto dae liczbowe dla wykresu A poiżej sam wykres: 27

133 y Liia 2 Liia 3 Liia 4 Liia x 00 Rys 9. Wykres ograiczeń obszaru, w którym szukamy ajwiększego zysku Teraz wystarczyło zauważyć, że zysk jest fukcją liiową dwóch zmieych, co ozacza, że ajwiększa wartość zysku będzie przyjmowaa w jedym z wierzchołków obszaru ograiczoego przez te cztery liie proste. Trzy z widoczych puktów są dość proste do wyzaczeia, mają oe współrzęde: (20,20), (20, 66.86), oraz (80,20). Pozostał do wyzaczeia pukt przecięcia się liii 3 i 4. Tu goal seek wystarczył do otrzymaia puktu: (37.037,62.963) Dokończeie rozwiązaia było już proste: Wiosek był zatem astępujący: zysk jest ajwiększy-77.50, gdy wykoamy 200 zakładek kartoowych i 668 metalowych. Bardzo iteresującą ilustracją tego i wielu podobych przykładów może być tzw. wykres bąbelkowy. W aszym przykładzie będą to kółka lub sfery, których środki mają współrzęde wyliczoych puktów, a powierzchia jest rówa wartości fukcji zysk w tych puktach (jak w powyższej tabeli). Oto taki wykres: 28

134 Kometarz Rys 0. Wykres fukcji zysk dla wierzchołków obszaru, w którym szukamy zysków Powyższy przykład pokazuje, że proste przykłady optymalizacji z dwoma zmieymi są w zasięgu aszych ucziów. Potrzeba jest im tylko iewielka zajomość geometrii aalityczej rówiaia prostych a płaszczyźie i fukcji liiowej w przestrzei, umiejętość rozwiązywaia prostych układów rówań liiowych i zajomość wykoywaia wykresów w Excelu. Opisay tu przykład pokazuje, że zajomość elemetów geometrii aalityczej może pomóc w rozwiązywaiu problemów ekoomiczych, które są dość istote w plaowaiu produkcji. Zadaia optymalizacji liiowej z więcej iż dwoma zmieymi mogą być rówież rozwiązywae w Excelu. Potrzebe będzie w tym celu arzędzie zae jako Solver. Podsumowaie Matematyka, której auczamy w szkole może mieć wiele postaci. Te same zagadieia mogą być auczae a wiele sposobów. Możemy auczać matematyki w sposób klasyczy, tj. tak jak jej uczoo dotychczas, pokazując pięko liczb pierwszych, wielościaów o bardzo skomplikowaej strukturze, elegackich własości klasyczej geometrii i wielu iych podobych zagadień. Możemy jedak auczać matematyki iaczej, zwracając uwagę a bezpośredią użyteczość auczaych zagadień, tak jak to zostało pokazae w tym artykule. Bez wątpieia, dla wielu ucziów zagadieia bezpośredio awiązujące do ich fiasów mogą być zaczie bardziej pomoce iż cała pięka, ale przez ich zupełie iedoceiaa matematyka klasycza. W każdym przypadku warto jest zwrócić uwagę a ilustrację auczaego zagadiaia zarówo tę graficzą jak i każdą ią, która pozwoli ucziom zrozumieć omawiay problem. W wielu przypadkach modele budowae w Excelu mogą posłużyć jako komputerowe laboratoria, gdzie uczeń może samodzielie 29

135 dochodzić do rozwiązań i eksperymetować z omawiaym zagadieiem. Wszędzie tam, gdzie mamy do czyieia z sytuacjami, które mogą być ilustrowae przez użycie ciągów, Excel może być bardzo efektywym arzędziem. Kostruowaie modeli w Excelu i rozwiązywaie z ich pomocą problemów, może być zaczie łatwiejsze iż z użyciem zaczie mociejszych arzędzi, jak Maple, MuPAD czy Derive. Jest to rozwiązaie iewątpliwie tańsze zakładając, że a prawie każdym komputerze jest zaistalowaa jakaś wersja MS Office. Na koiec zauważmy, że Excel ie jest arzędziem uiwersalym i zupełie ie adaje się do rozwiązywaia wielu zagadień matematyki szkolej. Autor jest przekoay, że pomysłowość auczycieli ie ma graic i auczyciele zający Excela będą w staie skoktruować rozwiązaia dla wielu zagadień, które w tej chwili wydają się być poza zasięgiem możliwości tego programu. Literatura. Quatitative Reasoig tools for today s iformed citize, Sevilla A., Somers K., Key College Publishig, Quatitative methods for busiess studets (upublished lecture otes) Majewski M., 3. Excel User, a web site for busiess users, 30

136 Wprowadzeie Matematyka, MuPAD i Sztuka Mirosław Majewski majewski@mupad.com Przedstawioy tu dokumet jest próbą zapisaia wykładu przedstawioego a koferecji mathpad Poieważ miał to być wykład zamykający koferecję, autor postaowił odstąpić od tematów poważych i pokazać zastosowaia MuPADa w sztuce dziedziie dość odległej od typowych zastosowań systemów algebry komputerowej. Z wielu powodów tekst te jest ograiczoy do kilku wybraych tematów i w każdym przypadku jest to tylko bardzo fragmetaryczy szkic zagadieia. Temat Matematyka, MuPAD i Sztuka moża rozwijać w wielu kierukach i zakresie przekraczającym objętość dowolie grubej książki oraz zakresie czasowym jedej lub wielu koferecji. Celem tego tekstu było przedstawieie kilku prostych szkiców adających się do użycia w klasie a lekcji matematyki i zachęceia ucziów do dalszych eksperymetów. Z tego też główie powodu przedstawioe tu fragmety kodu MuPADa są dość moco uproszczoe i, mam adzieję, zrozumiałe awet dla początkującego użytkowika programu. Matematyka i sztuka Licze dokumety i dzieła sztuki, zarówo te odległe historyczie jak i współczese pokazują związki matematyki ze sztuką. Estetyka figur matematyczych jest tak bliska aturze ludzkiej, że stosujemy figury matematycze istyktowie i bez zastaawiaia się czy używamy okręgów, elips, trójkątów czy iych figur matematyczych. Wpływy matematyki zajdujemy zarówo w dziełach bardzo wyrafiowaych cywilizacji jak i plemio pierwotych. Załączoe tu fotografie pokazują motywy geometrycze spotykae w sztuce plemio pierwotych a Boreo. Mamy tu stary kilim (rys. ), tkay przez kobiety plemieia Iba jego główym motywem są sześciokąte spirale przypomiające arośl a dziobie dzioborożca. Te rodzaj sztuki istieje od setek lat a stare kilimy są bardzo ceioe przez kolekcjoerów. Niektóre z ich mają wzór tak bardzo skomplikoway, że aaliza matematycza takiego wzoru mogłaby posłużyć jako temat pracy doktorskiej z zakresu matematyka i sztuka. 3

137 Rys. Kilim wykoay przez kobiety plemieia Iba pokryty jest bogatym motywem zawierającym licze elemety geometrycze Rys. 2 Drzewo życia, populary motyw w sztuce plemio Boreo, zawiera licze spirale i przypomia trochę fraktale zae matematyce współczesej Rysuek 2 pokazuje drzewo życia, amalowae w 960 roku przez człoków plemieia Keyah z miejscowości Log Nawas, zajdujące się obecie w Muzeum Narodowym Sarawaku a Boreo. Mamy do czyieia z iezmierie bogatym wzorem przypomi-ającym fraktale z liczymi spiralami, okręgami i rozetami. 32

138 Matematyka, a ściślej geometria, jest obeca w sztuce każdej cywilizacji poczyając od bardzo prymitywych wzorów plemio afrykańskich do iezwykle wyrafiowaej sztuki Islamu. Spotykamy ją zarówo a przedmiotach użytku codzieego, takich jak aczyia kuchee, dyway czy meble, jak rówież a domach jako dekoracje lub elemety plaów budyków, ogrodów czy awet całych miast. Oprócz sztuki, w której matematyka jest stosowaa w sposób kompletie ituicyjy, dość często spotykamy dzieła sztuki, w których twórca używa matematyki jako warsztatu do tworzeia swojego dzieła. Taką jest zaa a całym świecie sztuka Islamu, jak rówież twórczość wielu artystów takich jak Maurits Corelis Escher (7/6/898 27/03/972), George William Hart i wielu iych. Od mometu wyalezieia komputerów mamy do czyieia z owym kierukiem komputerowej sztuki matematyczej. Na początku były to raczej próby wizualizacji pojedyczych obiektów matematyczych. Nieco późiej pojawiły się dzieła bardziej dojrzałe, gdzie stopień komplikacji jak i artyzm stają się celem główym. Zaim zatem przejdziemy do główego celu tego artykułu przypomijmy krótko co powszechie azywa się sztuką matematyczą. Xah Lee, matematyk specjalizujący się w wizualizacji matematyczej zdefiiował to astępująco dzieło sztuki wizualej jest matematycze jeśli oddziałuje a matematyków i posiada zdecydowaą strukturę matematyczą. Xah Lee rozróżia pomiędzy sztuką matematyczą a sztuką ilustrującą kocepcje matematycze. Jego zdaiem różego rodzaju wzory posadzek w pracach Eschera są przykładem sztuki matematyczej, podczas gdy mrówki a wstędze Moebiusa są tylko przykładem sztuki ilustrującej kocepcję matematyczą. Wreszcie w pracach wielu współczesych matematyków mówi się często o algorytmiczej sztuce, czyli takiej, która zawiera elemety rekurecji, symetrii, symetrii, czy jest oparta a wzorach matematyczych. Teraz, kiedy wiemy już coś o sztuce matematyczej, zobaczmy jakie prace o charakterze artystyczym możemy tworzyć z MuPADem. MuPAD jako studio artystycze MuPAD ma wiele do zaoferowaia dla kogoś, kto chce mieć włase studio matematyczo-artystycze. Mamy tu iezliczoą liczbę gotowych obiektów matematyczych lub szabloów pozwalających tworzyć takie obiekty. Mamy bogate możliwości defiiowaia koloru i oświetleia. Wreszcie mamy język programowaia pozwalający a tworzeie skomplikowaych obiektów i sce. No a do tego wszystkiego mamy losowość pozwalającą a tworzeie, często kompletie iezamierzoych, ale i iezwykłych obiektów. Dla przykładu, możemy stworzyć obraz, a właściwie trójwymiarową kolekcję wielościaów, tak jak poiżej, a astępie zagrzebać je w piasku pustyi, zatopić w wodzie, lub powiesić je w sposób kompletie dowoly w przestrzei. To wszystko może być wykoae w sposób w pełi kotroloway przez umieszczeie odpowiedich parametrów w kodzie, lub zmiay dokoae w kamerze wirtualej (jak poiżej). Oto przykład prostej scey z kilkoma wielościaami zatopioymi w wodzie. Pewe z parametrów zostały wpisae do kodu, atomiast ie zostały zmieioe już w kamerze wirtualej. A := plot::hexahedro(radius =.0, Ceter = [0, 0, 0]): B := plot::tetrahedro(radius =.5, Ceter = [4, 0, 0]): 33

139 C := plot::octahedro(radius = 2.0, Ceter = [8, 0, 0]): De := plot::icosahedro(radius = 2.5, Ceter = [3, 0, 0]): Ee := plot::dodecahedro(radius = 3.0, Ceter = [9, 0, 0]): F := plot::plae([0, 0, 0], [0, 0, ]): plot(a,b,c,de,ee,f, Axes=Noe, ViewigBox = [-3..25, -8..8, -3..3]) Tak użyte obiekty graficze są w dużym stopiu zdefiiowae, choć cały czas możemy kotrolować ich parametry i modyfikować w zależości od aszych potrzeb. Oprócz takich obiektów mamy bogatą kolekcję poleceń szabloów, są imi te wszystkie poleceia, w których aby cokolwiek utworzyć musimy wpisać wzór opisujący krzywą lub powierzchię. Takimi szabloami są dla przykładu wszelkie poleceia za pomocą których tworzymy krzywe i powierzchie we współrzędych bieguowych, czy parametryczych. Wszystkie te obiekty zajdują się w bibliotece plot. Listę wszystkich poleceń z tej biblioteki otrzymamy za pomocą poleceia ifo(plot). Oto co moża zaleźć w wersjach 4.x MuPADa. ifo(plot) Library plot : graphical primitives ad fuctios for two ad threedimesio-al plots Iterface: plot::ambietlight, plot::arc2d, plot::arrow2d, plot::arrow3d, plot::bars2d, plot::bars3d, plot::box, plot::boxplot, plot::camera, plot::cavas, plot::circle2d, plot::circle3d, plot::clippigbox, plot::coe, plot::coformal, plot::coordiatesystem2d, plot::coordiatesystem3d, plot::curve2d, plot::curve3d, plot::cylider, plot::cylidrical, plot::desity, plot::distatlight, plot::dodecahedro, plot::ellipse2d, plot::ellipsoid, plot::fuctio2d, plot::fuctio3d, plot::group2d, plot::group3d, plot::horbital, plot::hatch, plot::hexahedro, plot::histogram2d, plot::icosahedro, plot::implicit2d, plot::implicit3d, plot::iequality, plot::itegral, plot::iteratio, plot::lie2d, plot::lie3d, plot::listplot, plot::lsys, plot::matrixplot, plot::mupadcube, plot::octahedro, plot::ode2d, plot::ode3d, plot::parallelogram2d, plot::parallelogram3d, plot::piechart2d, plot::piechart3d, plot::plae, plot::poit2d, plot::poit3d, plot::poitlight, plot::poitlist2d, plot::poitlist3d, plot::polar, plot::polygo2d, plot::polygo3d, plot::qqplot, plot::raster, plot::rectagle, plot::reflect2d, plot::reflect3d, plot::rotate2d, plot::rotate3d, plot::scale2d, plot::scale3d, plot::scatterplot, 34

140 plot::scee2d, plot::scee3d, plot::sequece, plot::sparsematrixplot, plot::sphere, plot::spherical, plot::spotlight, plot::streamlies2d, plot::sum, plot::surface, plot::surfacestl, plot::surfaceset, plot::sweep, plot::tetrahedro, plot::text2d, plot::text3d, plot::trasform2d, plot::trasform3d, plot::traslate2d, plot::traslate3d, plot::tube, plot::turtle, plot::vectorfield2d, plot::vectorfield3d, plot::waterma, plot::xrotate, plot::zrotate, plot::copy, plot::delauay, plot::getdefault, plot::hull, plot::modify, plot::setdefault Zauważmy, że w bibliotece plot, oprócz obiektów graficzych zajduje się duża liczba poleceń przemieszczających obiekty. Mamy więc traslacje, rotacje, odbicia, oraz trasformacje afiicze, gdzie zadajemy macierze trasformacji. Bardzo często jeda krzywa, powtórzoa wiele razy z różymi parametrami może posłużyć do stworzeia bardzo ciekawego efektu graficzego. Oto przykład, w którym krzywa zadaa w postaci parametryczej [2si(t)+cos(at), cos(3t)+si(5t)], dla t od 0 do 2π i a=..9, tworzy obraz przeciających się krzywych Lissajous. Parametr a może być użyty, tak jak tu, do wykoaia wielokrotych kopii obiektu lub do jego aimacji. Krzywa := plot::curve2d( [2*si(t)+cos(a*t), cos(3*t)+si(5*t)], t=0..2*pi, LieColor=[0/a,0/a,0/a], LieWidth=a/20*uit::pt, Mesh=500 ) $ a=..9: plot(krzywa, Axes=Noe) Drugą iezwykle ważą własością MuPADa jest to w jaki sposób defiiujemy kolor obiektów. Sam fakt, że możemy deklarować kolor w opisie RGB, czyli z podaiem ilości poszczególych składików koloru czerwoego (R), zieloego (G), iebieskiego (B) oraz przezroczystości koloru, sprawia, że mamy do dyspozycji ieskończoą liczbę kolorów. Do tego kolor może być zaday w postaci płaskiej, tęczy, lub za pomocą fukcji. Róże deklaracje koloru pokażemy w kolejych przykładach. Niewątpliwie jedym z ajbardziej atrakcyjych arzędzi do tworzeia sztuki matematyczej jest programowaie. Tu warto przyjrzeć się tzw. sztuce algorytmiczej, t.j. takiej która da się opisać za pomocą algorytmów matematyczych. Jak wykazują asze doświadczeia z ucziami, awet w szkole podstawowej, wiele ciekawych rzeczy moża otrzymać poprzez traslacje i skalowaie obiektów matematyczych. Oto przykład otrzymay poprzez wielokrote powieleie modelu 35

141 twierdzeia Pitagorasa, tzw. drzewo Pitagorasa. Do utworzeia tego drzewa użyliśmy grafiki żółwia dzięki czemu kwadraty i trójkąty ie mają wypełieia. Bardzo podobe drzewo może być utworzoe z wypełioych kwadratów i trójkątów. Rys. 3 Drzewo Pitagorasa otrzymae przez powielaie i skalowaie kwadratów Ią iezmierie użyteczą fukcją w tworzeiu sztuki matematyczej może być losowość, czyli tworzeie obiektów matematyczych z losowymi parametrami, losowo zadaym kolorem i w losowo wybraym położeiu. Poiżej pokazuję przykład, w którym jedyą rzeczą stałą jest pojęcie okręgu. Wszystko ie zostało określoe losowo. rad := radom(0..255)/256: RAND := radom(0..00): Kola := plot::circle2d( RAND()/8, [RAND()*.4, RAND()], Filled=TRUE, FillPatter=Solid, FillColor=[rad(),rad(),rad(),rad()/0], LieColor=[rad(),rad(),rad(),rad()] ) $ a=..500: plot(kola, Axes=Noe) 36

142 Malowaie za pomocą krzywych i odcików Niewątpliwie pierwsze dzieła artystycze człowieka składały się z kilku kresek. My zacziemy podobie. Obrazek ze słońcem i siusoidami Powszechie uważa się, że wykresy fukcji są stosukowo mało ciekawe. Prawdą jest, że wykres pojedyczej liii prostej, paraboli czy siusoidy ie wywoła w ikim zachwytu. Ale gdyby użyć kilka takich siusoid i dołożyć do ich jakieś ie obiekty? Zaczijmy zatem a początek od zadeklarowaia fukcji, za pomocą której będzimy mogli otrzymywać cosiusoidy o różych okresach. To może wyglądać p. tak: Gora := -> plot::fuctio2d(cos(*x), x=-pi..pi) Teraz, wykoaie kilku gór da się zrobić jedym poleceiem: Gora() $ =..5 Możemy rówież pomalować asze góry a róże kolory, p. tak RadColors := radom(..0): KL := radom(..0): Gora := -> plot::fuctio2d(cos(*x), x=-pi..pi, LieColor=[/KL(),/KL(),/KL(), /KL()] ): Zauważmy, że asze kolory są zupełie losowe i za każdym razem asze dzieło będzie miało ie kolory co zachęca do eksperymetów. Nasza defiicja koloru zawiera rówież czwartą współrzędą określającą przezroczystość obiektów. To ozacza, że musimy dołożyć jakiś dodatkowy obiekt o zdecydowaych kolorach, iaczej całe asze dzieło będzie dość mdłe. Oto jak wygląda kod MuPADa tworzący 5 cosiusoid o różych okresach, czerwoe słońce i szare tło. KL := radom(..0): Gora := -> plot::fuctio2d(cos(*x), x=-pi..pi, 37

143 LieColor=[/KL(),/KL(),/KL(), /KL()] ): Sloce := plot::circle2d(0.75,[0,2], Filled=TRUE, FillColor=RGB::Red, FillPatter=Solid,LieColor=RGB::Red ): Gory := plot::scee2d(gora() $ =..5,Sloce,BackgroudColor=RGB::Gray95): plot(gory, Axes=Noe) A poiżej załączoa jest jeda z wersji wykresu jaki MuPAD dla as wykoał. Jeśli ktoś bardzo chce to może zastąpić kolor tła, obecie RGB::Gray95, kolorem losowym, p. BackgroudColor=[/KL(),/KL(),/KL(), /KL()] i wtedy otrzymamy dość eksperymetaly program do tworzeia siusoidalych krajobrazów z czerwoym słońcem. Losowy wybór parametrów może być zastosoway w wielu iych miejscach, p. losowe kolory słońca, losowa średica słońca, itp. Podobe eksperymety możemy przeprowadzić z iymi zaymi fukcjami. Obrazek z łąką i słońcem Zaczie więcej ciekawych eksperymetów możemy przeprowadzić z krzywymi zadaymi w postaci rówań parametryczych czy we współrzędych bieguowych. Nasza cosiusoida w postaci bieguowej może kreślić kształty zae w matematyce jako róże a ich wielokrote połączeie, jak w poprzedim przykładzie, utworzy zupełie ciekawe wzory. Oto asz poprzedi przykład zmodyfikoway przez wprowadzeie współrzędych bieguowych i poleceia wykoującego trasformacje afiicze y=ax+b, gdzie A jest macierzą kwadratową 2x2, a b jest wektorem przesuięcia. Oczywiście idąc z duchem poprzediego przykładu używamy losowych parametrów zarówo do trasformacji jak i do kolorów. Dodatkowo w tym przykładzie w tym przykładzie dołożyliśmy długi prostokąt w podstawie obrazka aby cała asza kostrukcja ie wisiała kompletie w powietrzu. Oto asz kod rysujący łąkę z kwiatkami o losowych kolorach, z losowym ich ułożeiem i rozmiarem, oraz losowym tłem. 38

144 KL := radom(..0): Rozeta := -> plot::polar([cos(*x),x], x=-pi..pi, LieColor=[/KL(),/KL(),/KL(), /KL()]): Kwiatek := Rozeta() $ =2..8: DuzoKwiatkow := plot::trasform2d( [2*KL(),KL()],[KL(),0,0,KL()], Kwiatek ) $ i=..9: Sloce := plot::circle2d(4,[-8,5], Filled=TRUE, FillColor=RGB::Orage, FillPatter=Solid, LieColor=RGB::Red ): Ziemia := plot::rectagle(-2..30, , Filled=TRUE, FillColor=RGB::Orage, FillPatter=Solid, LieColor=RGB::Orage ): ObrazZKwiatkami := plot::scee2d(ziemia, Sloce, DuzoKwiatkow, Axes=Noe, BackgroudColor=[/KL(),/KL(),/KL(), /KL()] ): plot(obrazzkwiatkami) Obrazki z pajęczyą Niezmierie iteresujące rzeczy moża utworzyć używając zwykłych odcików i fukcji trygoometryczych. Wyobraźmy sobie zatem, że mamy krzywą w postaci parametryczej lub bieguowej i łączymy pukty a iej odcikami. Jeśli zrobimy to w sposób zorgaizoway, to możemy otrzymać deseie pokrywające obszar wewątrz krzywej. Oto jede z takich przykładów. Tym razem jest to kompleta procedura, której musimy zadawać parametry do wykoaia wykresu. To wszystko, reszta, czyli otrzymay obrazek zależy wyłączie od tego jakie parametry zadamy. 39

145 Jeśli ktoś bardzo chce to może dowolie modyfikować procedurę zmieiając rówaie krzywej po której się poruszamy, teraz jest to koło, lub deklaracje fukcji koloru. Zauważmy poczas eksperymetów jak działa tu aimacja. SpiderNet := proc(move, move, rc, gc, bc) local r, lies, x, y, x, y; begi r :=.0: lies := [FAIL $ 36]: for i from 0 to 360 do theta := float(i*pi/80); x := r * cos(move * theta); y := r * si(move * theta); x := r * cos(move * theta); y := r * si(move * theta); lies[i+] := plot::lie2d([x, y],[x, y], Color = [abs(rc*si(i*pi/360)), abs(gc*si(i*pi/360 + PI/4)), abs(bc*si(i*pi/360 + PI/2))], VisibleAfter = i/36 ); ed_for: plot::group2d(op(lies),axes = Noe, Scalig = Costraied) ed_proc: plot(spidernet(3,7,0.6,0.8,0.2)): plot(spidernet(98,278,0.6,0.3,0.9)): Teraz, tak utworzoe elemety graficze mogą być użyte do tworzeia bogatszych kostrukcji graficzych, p. jako wzory a płytkach, a dalej skalowae i przesuwae po płaszczyźie w celu utworzeia barwych posadzek. Zachęcam czytelika do eksperymetowaia z wykresami fukcji w różych układach współrzędych. Jest to świat iezmierie iteresujący i kryjący jeszcze wiele tajemic. To wszystko to był dopiero początek, a co dalej? Biblioteka graficza MuPADa, jak rówież ie jego cechy opisae w tym dokumecie zachęcają do modelowaia obiektów matematyczych w ieco bardziej frywolej postaci iż ta z jaką mamy do czyieia w podręczikach matematyki. Możemy zatem tworzyć całe scey z obiektów matematyczych zwracając bardziej 40

146 uwagę a efekt artystyczy iż a realia matematycze. Przykładów do takiej twórczości mamy wiele w Iterecie (patrz literatura a końcu tego tekstu), lub w aszym otoczeiu (patrz rys. 4, a astępej stroie). Na zakończeie postawmy sobie jeszcze waże pytaie jaką wartość mają takie eksploracje dla aszych ucziów? Czego oi auczą się w trakcie tych eksperymetów? Oto iektóre, waże moim zdaiem, aspekty poszukiwań artystyczych z MuPADem. Nasi ucziowie: Literatura. Pozają róże obiekty matematycze, ich rówaia i, co ważiejsze, ich własości. 2. Nauczą się maipulowad obiektami matematyczymi poprzez odpowiedi dobór parametrów, dziedzi fukcji, i trasformacji. 3. Nauczą się tworzyd algorytmy graficze i ich odpowiediki jako programy matematycze. 4. Będą pogłębiad swoje umiejętości rozwiązywaia problemów. 5. Bedą pozawad wartości estetycze obiektów matematyczych, 6. i miejmy adzieję, że będą umieli zastosowad tę całą wiedzę w codzieych zastosowaiach wizualizacji matematyczej.. Majewski M., MuPAD dla iecierpliwych, Agecja Reklamowa OMEGA ART, Xah Lee, Algorithmic Mathematical Art, 2005, 3. M.C. Escher oficjala stroa 4. Koferecja Bridges 5. Mathematical Art page 4

147 Rys 4. Ulica w Zhou Zhuag z okami i drzwiami zasłaiaymi chińskimi kratami, które mogą być uważae jako bardzo praktycze zastosowaia sztuki matematyczej 42

148 Wstęp Aalogie przestrzei 2D i 3D Broisław Pabich pabich@iterklasa.pl Spośród wielu aalogii, które wykorzystujemy w dydaktyce matematyki do odkrywaia i weryfikowaia owej wiedzy, rozszerzaia jej pojęć i twierdzeń, moża wykorzystać aalogię przez rozszerzeie wymiaru. Ucziowie a lekcjach matematyki mają często okazję korzystać z iej przeosząc własości plaimetrii do stereometrii. Wiedzą, że odpowiedikiem okręgu jest sfera, koła - kula, kwadratu sześcia, wielokąta - wielościa, itd. Szczególie wdzięczym zagadieiem do eksploracji z komputerem jest poszukiwaie aalogii i różic pomiędzy teorią trójkąta i teorią czworościau. Wirtuale kostrukcje w przestrzei 3D wykoywae przy użyciu programu CABRI 3D otwierają szerokie możliwości badaia klasyczej geometrii w trzecim wymiarze. Narzędzia prostej i okręgu dołączoe do tego programu przypomiają am klasycze kostrukcje a płaszczyźie wykoywae przy użyciu cyrkla i liijki a przykład w programie CABRI II PLUS. Jest więc okazja, by wspólie z ucziami podjąć się ie tylko teoretyczych badań ad porówaiem obu teorii ale pozać je w sposób odkrywczy a potem poszukiwać przyczy, dla której te teorie zbliżają się do siebie lub są ze sobą iekompatybile. Aalogii przestrzei 2D i 3D ależy poszukiwać:. w relacjach koicydecji, prostopadłości i rówoległości obiektów odpowiadających obu przestrzeiom. Zauważamy wówczas, że obiektom plaimetrii odpowiadają w przestrzei 3D astępujące obiekty aalogicze: puktom a płaszczyźie - pukty w przestrzei, względie szczególe proste, prostym a płaszczyźie - proste w przestrzei względie szczególe płaszczyzy, bokom wielokąta - krawędzie wielościau względie odpowiedie jego ściay. 2. w zaych z plaimetrii własości trójkąta, które sugerują przeiesieie a przestrzeń trójwymiarową astępujących kostrukcji: symetrale boków trójkąta i ich puktu przecięcia, dwusiecze kątów trójkąta i ich puktu przecięcia, środkowe trójkąta i ich pukt przecięcia, wysokości i ich pukt przecięcia. 3. w zadaiach kostrukcyjych, gdyż wiele z ich tworzoych w plaimetrii prowokuje do aalogiczej ich realizacji w przestrzei 3d z wykorzystaiem cyrkla i liijki: kostrukcja styczej do okręgu (zaych jest pięd różych kostrukcji) a styczej do kuli, stycza do dwóch okręgów o różych promieiach a stycza do dwóch różych kul, kostrukcja kwadratu wpisaego w koło a kostrukcja sześciau wpisaego w kulę, 4. w izometriach, jedokładościach, iwersjach i przekształceiach afiiczych, 5. w zaych czyościach wykoywaych a płaszczyźie takich jak: 43

149 tworzeie wielokątów gwiaździstych, poszukiwaie przekrojów wielokątów, rówoważośd pól wielokątów przez ich rozkład, parkietowaie płaszczyzy, ogóle własości wielokątów (ilośd przekątych, suma miar kątów wewętrzych, twierdzeie Pitagorasa, zasada Cavalieriego itd.) Podstawowe kostrukcje płaskie i przestrzee Kurs plaimetrii w edukacji szkolej rozpoczyamy od wprowadzaia jej pojęć pierwotych, które potem łączymy w logiczą całość, spajając je aksjomatami, z których wyika możliwość kostruowaia figur geometryczych i badaia ich własości. Faktyczie w programie współczesej polskiej szkoły z wielu powodów ie realizuje się oficjalie tego kursu geometrii w opisay sposób, choć spryty auczyciel potrafi wpleść jego elemety tak, by choć w części zdać sprawę ucziowi z istieia takiego podejścia do geometrii. Podobie rzecz się ma w auczaiu stereometrii, gdzie rówież wprowadzamy jej pojęcia pierwote. Są oe jedyie rozszerzeiem zbioru pojęć pierwotych plaimetrii. I tu rówież uczeń pozaje (z założeia) aksjomaty które wykorzystuje późiej w rozwiązywaiu zadań. Zadaia te jedak ie mają takiego charakteru, jakie oszą ze sobą zadaia z plaimetrii. Nie rozwiązujemy ich w taki sposób jak w plaimetrii. Dla przykładu mówiąc utwórz prostą prostopadłą do płaszczyzy z daego puktu ie leżącego a iej wykoujemy a kartce papieru jedyie szkic rzutu tej sytuacji przestrzeej. Moża też takie poleceie wykoać a modelu przestrzeym, ale tego w praktyce ikt ie robi. Teraz, dyspoując programem CABRI 3D sytuacja zmieia się diametralie. Wszystkie kostrukcje, szkicowae dotychczas a kartce papieru możemy teraz fizyczie wykoywać za pomocą przestrzeego cyrkla i liijki. Cyrkiel przestrzey to zwykły cyrkiel wykoujący maipulacje a wybraych wcześiej płaszczyzach. Powodzeie kostrukcji zależy jedyie od wiedzy, pomysłowości i sprytu użytkowika programu CABRI 3D. Narzędzia programu CABRI 3D sprawiają, że przestrzee kostrukcje wykouje się w aalogiczy sposób jak kostrukcje płaskie. Aalogia ta jest wyikiem uogólieia zaych pojęć plaimetrii a stereometrię, p. prosta płaszczyza, okrąg sfera, koło kula, kwadrat sześcia czy wreszcie trójkąt czworościa. Tym sposobem podstawowe kostrukcje plaimetrii moża teraz powielać a lekcjach stereometrii. Kwadrat a koło, sześcia a kula Nie będę dalej rozwijał tych problemów ukażą się oe wkrótce w kolejej książeczce z serii Cabrista. Chciałbym atomiast zwrócić uczestikom Koferecji a jede z ich i potraktować go jako specjaly problem koferecyjy, z uwagi a pewą trudość dydaktyczą, jaka w im tkwi. Pragąłbym, aby uczesticy Koferecji rozwiązując go, spojrzeli a iego przez pryzmat aalogii 3D do 2D i oceili: czy przeiesieie wybraej przez ich aalogii utrudił rozwiązaie zadaia, 44

150 czy wybór tej aalogii ie był trafy, czy trzeba było go zmieid, czy istieje kilka różych aalogii które moża dostrzec w tym zadaiu, jeśli tak, to która z ich jest ajbardziej przejrzysta i trafie doprowadzająca do rozwiązaia, czy rozwiązujący problem ajpierw poszukiwał rozwiązaia a potem aalogii czy a odwrót? Problem te i stąd i zowąd pojawił się w trakcie XXII warsztatów CABRI w Krakowie w paździeriku 2007 r., gdy chciałem w programie CABRI 3D poruszać jedym puktem w przestrzei sześcia przy ieruchomej płaszczyźie, by obserwować jego wszystkie możliwe przekroje. Przyszedł mi wówczas pomysł umieszczeia go w kuli i poruszaia go przez maipulowaie jedym z wierzchołków umieszczoym a sferze tej kuli.. rys. Zabrałem się do zadaia i iestety okazało się, że ie jest oo takie baale do skostruowaia. Pomysł przyszedł do głowy jeszcze tego samego wieczoru, ale dopiero po przypomieiu sobie pewych problemów związaych z. I tu ie wspomę, z czym, gdyż to ułatwiłoby to rozwiązaie zadaia, a cały smak polega a tym, by każdy z uczestików doszedł sam do iego. Być może zrodzi się w te sposób więcej metod rozwiązaia tego problemu, co będzie kolejym, przykładem zaego porzekadła: lepiej rozwiązać jedo zadaie kilkoma sposobami, iż kilka zadań tym samym sposobem. Temat zadaia Daa jest kula o środku S i dowoly pukt A a jej brzegu. Skostruuj sześcia, którego jedym z wierzchołków jest pukt A, a pozostałe wierzchołki leżą a sferze tej kuli. Proszę o rozwiązaie tego zadaia przez wszystkich uczestików i odpowiedź a pytaia postawioe powyżej. 45

151 Literatura. Broisław Pabich, "Stereometria z Cabri " Biblioteczka Cabristy r 4, MATH-COMP-EDUC Broisław Pabich, "Pierwsze kroki z Cabri 3D", Biblioteczka Cabristy r 6, MATH-COMP-EDUC Aiela Erefeucht, "Ciekawy czworoscia", PWN

152 Zastosowaie programów CABRI w auczaiu matematyki w szkole poadgimazjalej Wprowadzeie Małgorzata Pacaa-Kawalec mkawalec@scholaris.pl Proces auczaia matematyki w dzisiejszej szkole trudo wyobrazić sobie bez stosowaia techologii iformacyjej wspomagającej go, bowiem umiejęte wykorzystaie programów komputerowych może przyieść wiele korzyści w auczaiu matematyki. Szczególa uwagę chcę zwrócić a dydaktycze aspekty programów Cabri II, Cabri II Plus oraz Cabri 3D, których stosowaie w auczaiu matematyki pozwala zaiteresować ucziów tym przedmiotem i motywuje ich do pracy. Komputery w auczaiu matematyki ułatwiają: wprowadzaie defiicji i pojęć matematyczych poprzez ich dyamiczą wizualizację przeprowadzaie rozumowaia empiryczego i odkrywaie twierdzeń dowodzeie twierdzeń uogóliaie twierdzeń i poszukiwaie aalogii rozwiązywaie zadań z uwzględieiem różych przypadków ich rozwiązaia dydaktycze wykorzystaie błędów ucziowskich spowodowaych schematyczym rozumowaiem kształtowaie języka matematyczego kształtowaie wyobraźi uczia. przygotowaie przez auczyciela różych materiałów do wykorzystaia w procesie dydaktyczym Stosowaie komputera w auczaiu ma też waży aspekt psychologiczy. Uczeń sam staje się odkrywcą, przez co mobilizuje się do pracy, chętiej dyskutuje i wymieia poglądy z auczycielem i kolegami. Potwierdza to stwierdzeie psychologa amerykańskiego Jerome S. Bruera: Im bardziej dziecko potrafi traktować uczeie się jako odkrywaie czegoś, a ie jako uczeie się o czymś, tym siliej wystąpi u iego tedecja do uczeia się a zasadzie autoomiczego samoagradzaia się, a jeszcze lepiej a zasadzie agrody, jaką staowi samoodkrycie. Przedstawię kilka propozycji rozwiązań dydaktyczych, które mogą zaleźć zastosowaie w szkole poadgimazjalej. Wprowadzaie defiicji i odkrywaie własości fukcji trygoometryczych. 47

153 Przedstawioy obok rysuek ilustruje kąt w układzie współrzędych, a którego drugim ramieiu obray został dowoly pukt o współrzędych (x,y). Wykoaie w programie Cabri II Plus takiej kostrukcji i odpowiedie jej zastosowaie, poprzez wykorzystaie dyamiki tego programu i wbudowaej opcji kalkulatora, ułatwia ucziom odkrycie defiicji fukcji trygoometryczych, a także pewych własości tych fukcji. rys. 2 Rola współczyików w rówaiu paraboli ax bx c, y a 0. Realizując materiał dotyczący fukcji kwadratowej zwracamy szczególą uwagę a rolę współczyika a we wzorze tej fukcji. Skostruowae wykresu tej fukcji w programie Cabri II lub Cabri II Plus daje możliwość płyej zmiay wartości wszystkich współczyików, a poprzez to spostrzeżeie wpływu ich wartości a kształt paraboli a także dostrzeżeie iych ciekawych faktów, jak p. w jaki sposób zmieia się położeie wierzchołka paraboli przy zmiaie kolejo współczyików a, b oraz c. W rówaiu paraboli: 2 y ax bx c, a 0 zakładamy, że: b, c cost, a zmiee. Kostrukcja Cabri II daje możliwość dostrzeżeia, że wierzchołek paraboli porusza się wzdłuż prostej rys. 2. Moża ją dodatkowo wykreślić dzięki opcjom tego programu: Ślad lub Miejsce geometrycze. Rówaie tej prostej łatwo moża wyzaczyć w oparciu o wzory a współrzęde wierzchołka paraboli. Miaowicie: x w b 2a a b 2x w rys. 2 y w 4a c 2 b 4a c 2 b 2b x w c b 2 x w 48

154 Zatem yw b xw c jest rówaiem prostej, wzdłuż której porusza się 2 wierzchołek paraboli, jeśli zmieiamy wartość współczyika a, atomiast współczyiki b i c są stałe. Ciekawszą sytuację mamy wtedy, gdy zmiaie ulega współczyik b, atomiast a oraz c są stałe. Program Cabri II daje możliwość zaobserwowaia, że w tym przypadku wierzchołek paraboli porusza się po krzywej, która także jest parabolą. Jakie jest jej rówaie? Wykoamy odpowiedie obliczeia w oparciu o wzory a współrzęde wierzchołka daej paraboli. stąd b x w 2a b 2 ax w ; y w 4a 4ac b 4a 2 4ac 4a 4a 2 x 2 w a x 2 w Jak widać jest ią parabola o przeciwym współczyiku a i tym samym współczyiku c, co pokrywa się z doświadczeiem przedstawioym a rysuku 3. W przypadku, kiedy zmieiamy tylko współczyik c przy zachowaiu stałych wartości współczyików a i b obserwujemy, że wierzchołek paraboli porusza się po prostej rówoległej do osi rzędych rys. 4. Jej rówaie ma postać: b x w 2a c rys. 3 rys. 4 49

155 Twierdzeie Pitagorasa w przestrzei Rozważmy zadaie: Sześcia ABCDA B C D rozcięto płaszczyzą BDA a dwa wielościay. Wyzacz pola wszystkich ścia otrzymaego ostrosłupa, a astępie oblicz sumę kwadratów pól ścia będących trójkątami prostokątymi i porówaj z kwadratem pola ściay BDA. Opisaą sytuację przedstawia rys. 5. Poiższe obliczeia uzasadiają rówość pola kwadratu ściay BDA rys. 5 z sumą pól ścia, które są trójkątami prostokątymi. P P P ABA' ADA' ABD 2 a 2 P BDA' P 3 BDA' a P ABA a ' 3 a a a 2 4 Rysuek 6 ilustruje prawdziwość aalogiczego twierdzeia dla dowolego prostopadłościau. Bardzo łatwo jest dostrzec opisae powyżej zależości wykoując kostrukcje w programie Cabri 3D oraz wykorzystując opcje tego programu, m.i. opcję Kalkulator. rys. 6 50