PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:

Transkrypt

1 PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta, oznaczamy go jedną z greckich liter np: (alfa), (beta), (gamma), (delta). W przypadku kątów zawartych w figurach płaskich, mamy jeszcze jedną możliwość opisanie kąta dużymi literami, pochodzącymi od wierzchołków figury. Musimy w pierwszej kolejności opisać figurę dużymi literami, a następnie tworzymy nazwę kątów, która składa się z trzech liter najbliższych wierzchołków, przy czym literę stojącą przy wierzchołku kąta, stawiamy w nazwie kąta na drugim miejscu. 1

2 Podział kątów Kąty dzielimy na podstawie ich miary: Kąty wierzchołkowe Kąty wierzchołkowe - to kąty powstałe poprzez przecięcie się dwóch prostych. Kąty 2

3 wierzchołkowe mają taką samą miarę. Kąty przyległe Kąty przyległe - to kąty leżące na jednej prostej. Ich suma wynosi Oblicz miarę kąta, jeżeli kąt ma oraz wiedząc, że są to kąty przyległe. dane: obliczenia: Kąty naprzemianległe i odpowiadające Z kątami naprzemianległymi mamy do czynienia, gdy dwie proste równoległe zostaną przecięte trzecią prostą. Kąty odpowiadające to dwa kąty leżące w tym samym miejscu, ale na innej prostej. 3

4 Kąty naprzemianległe kąt jest naprzemianległy w stosunku do danego, gdy jest kątem wierzchołkowym do kąta odpowiadającego. Kąty odpowiadające i naprzemianległe mają taką samą miarę. W związku z tym w układzie dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią prostą, mamy do czynienia z dwoma miarami kątów kątów tej samej miary są dwie pary. Te same kąty przedstawimy na rysunku (są oznaczone tym samym kolorem): OZNACZENIA FIGUR PŁASKICH Długości boków, czy innych odcinków zawierających się w figurach płaskich, możemy oznaczać na dwa sposoby: Za pomocą małych liter. Sami dobieramy litery, ale pamiętajmy, że boki o tej samej długości, musimy oznaczyć tą samą literą. 4

5 Za pomocą dużych liter zapisywanych w wierzchołkach. Nazwa danego boku jest tworzona za pomocą dwóch liter (zapisywanych alfabetycznie), opisujących wierzchołki, stanowiące końce danego boku. Oznaczając wierzchołki danej figury dużymi literami, zaczynamy od wierzchołka w lewym dolnym rogu, a następnie opisujemy pozostałe przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. UWAGA: Gdy mamy na myśli długość danego boku ( np. zapisując bok we wzorze na pole, obwód itp.) nazwę boku należy zapisać pomiędzy pionowymi kreskami: AB ). PODZIAŁ I NAZEWNICTWO FIGUR PŁASKICH Ogólnie figury płaskie dzielimy pod względem liczby ich boków, mamy: - trójkąty (3 boki), - czworokąty (4 boki), - pięciokąty (5 boków), - sześciokąty (6 boków),... 5

6 Istotny jest podział wewnętrzny dwóch grup figur: trójkątów i czworokątów. Podział trójkątów Trójkąty dzielimy pod względem dwóch kryteriów: boków i kątów: Nazwa trójkąta powinna zawierać dwa człony nazywające trójkąt pod względem obu kryteriów. - trójkąt równoramienny prostokątny 6

7 Podział czworokątów Ponadto wyróżniamy dwa specyficzne rodzaje trapezów: trapez równoramienny (którego ramiona mają taką samą długość); trapez prostokątny jeden z jego kątów jest prosty. Figury foremne Są to figury, które mają wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty tej samej miary. Przykładowo: trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny, czworokątem foremnym jest kwadrat. 7

8 KĄTY W FIGURACH W czworokątach Suma miar wszystkich kątów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi. Miary kolejnych kątów w pewnym czworokącie wynoszą:,,. Oblicz miarę czwartego kąta. dane: obliczenia: Poszczególne czworokąty mają ponadto pewne własności związane z miarą ich kątów: - równoległobok W równoległoboku przeciwległe kąty (dwa kąty ostre i dwa kąty rozwarte) mają taką samą miarę, a suma dwóch różnych (sąsiadujących) kątów wynosi. 8

9 - trapez W trapezie zachodzą następujące związki: - prostokąt W prostokącie (więc także w kwadracie) wszystkie kąty są proste. W trójkątach Suma miar wszystkich kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi. Ponadto: - w trójkącie równobocznym Wszystkie kąty mają tą samą miarę, która wynosi. - w trójkącie równoramiennym Kąty przy podstawie mają tą samą miarę. 9

10 Kąty w okręgu Okrąg może zawierać dwa rodzaje kątów: - kąt wpisany jego wierzchołek i ramiona są oparte na okręgu; - kąt środkowy jego wierzchołek znajduję się w środku okręgu, a ramiona są oparte na obręczy okręgu; Należy zapamiętać 3 zależności: - dwa kąty wpisane, oparte na tym samym łuku, mają tą samą miarę; - jeżeli mamy dane dwa kąty: środkowy i wpisany, oparte na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego; 10

11 - kąt wpisany oparty na połowie okręgu, jest kątem prostym. OBWODY FIGUR PŁASKICH Poniższych wzorów nie trzeba uczyć się na pamięć. Wystarczy, że zrozumiemy, jak zostały stworzone i możemy uzyskać je sami. Obwód figury płaskiej jest sumą wszystkich jej boków. 11

12 12

13 Oblicz obwód prostokąta o długości 6cm i szerokości 4cm. dane: wzór: Odpowiedź: Obwód prostokąta wynosi 20cm. 13

14 POLA FIGUR PŁASKICH Pola figur płaskich mają jednostki kwadratowe (np. ). Zanim przedstawimy poszczególne wzory, należy jeszcze wyjaśnić dwa pojęcia: wysokość figury jest to odcinek łączący jeden z wierzchołków figury i przeciwległy bok (podstawę), opuszczony na ten bok pod kątem prostym. Oznaczamy literą h. przekątna czworokąta - odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki czworokąta. Oznaczamy literą d (ewentualnie e i f ). Wzory na pola figur płaskich 14

15 Oblicz pole trapezu, którego podstawy mają długość 10cm i 6cm, a wysokość ma długość 5cm. dane: wzór: UWAGI: Gdy figura poszczególne odcinki ma oznaczone innymi literami, wzory należy zapisać za pomocą tych liter. Dla prostokąta oznaczonego literami c i d wzór będzie miał postać: Niektóre wzory można wykorzystać na kilka sposobów. Przykładowo w przypadku trójkąta pole możemy obliczyć za pomocą 3 zestawów podstaw i opadających na nie wysokościach: 15

16 Pole trójkąta prostokątnego. W przypadku trójkąta prostokątnego, gdy za podstawę przyjmujemy jeden z boków tworzący kąt prosty, to wysokością jest drugi z boków, tworzących kąt prosty, dlatego wzór na pole trójkąta prostokątnego może przyjąć postać: KOŁO I OKRĄG Pomiędzy kołem i okręgiem jest zasadnicza różnica. Okrąg składa się wyłącznie z obręczy, a koło jest wypełnione w środku: W związku z tym koło ma zarówno obwód, jak i pole. W przypadku okręgu, możemy obliczać tylko obwód, bo okrąg jako pusty w środku, nie ma pola. 16

17 Zarówno okrąg, jak i koło mają trzy podstawowe parametry: - środek okręgu (środek koła) oznaczany literą O lub S ; - średnica oznaczana literą d lub D. Średnica jest dwa razy większa od promienia: d = 2r; - promień oznaczany literą r. Obwód i pole We wzorach na pole i obwód mamy do czynienia z wartością przybliżeniu równa 3,14. (czytaj: pi), która jest w obwód okręgu i koła: pole koła: Oblicz obwód i pole koła o promieniu 5cm. dane: r = 5cm obliczenia: 17